20 Ejercicios de Levas

6.1 Un seguidor debe moverse gradualmente hacia afuera 1 in. Con aceleración constante mientras la leva gira 90. Durante los siguientes 90 de rotación la leva debe continuar moviéndose hacia afuera con desaceleración constante, de retorno de aceleración durante 70 y desaceleración durante 80 los ultimo a 30 debe estar constante. (a) Construta y dimensionde el diagrama de aceleraciones del seguidor (b) Cosntruya los diagramas de velocidad y desplazamiento. a. La aceleración 410 210 a( )

4

4

0  210

4

 410

4

0

100

200

300

400



b. Diagrama de velocidades y desplazamiento

2

0.03 0.02

1.5 s(  )

0.01 v(  )

1

 0.01

0.5 0

0  0.02

0

100

200

 0.03

300

0



100

200 

  0  0.1 360 l1  0.5

l1  0.5

1  90 2  90

3  70

4  80

5  30

300

400

Ecuaciones del movimiento l1

s1 ( )  2

1 s2( )  2

l2 2

2

2



2

2

 (   1)  4

l2 2

 (   1)  l2  1.5

s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

s4 ( ) 

l1 3

2

2

 (   1  2 )  l1  1.5

s5 ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3  ( ) )

s6( )  2

l1 4

2

2

 (   1  2  3)  4

l1 4

 (   1  2  3)  2 l1  0.5

s7 ( )  if (   1  2  3  s6 ( )  s5 ( ) ) s8 ( )  0. s ( )  if (   1  2  3  4  s8  ( )  s7 ( ) )

6.2 Un seguidor debe moverse hacia afuera 2. Debe tener aceleración constante durante 60, luego debe moverse con velocidad contante durante 30 y luego desacelerar por 90. El movimiento de retorno debe ser con aceleración constante por 60 y desaceleración por 90 los 30 últimos debe detenerse Diagrama de aceleraciones

Diagrama de velocidades

20

v () s(  )

10

 0

a( )  Ecuaciones

l1

s1 ( )  2

1

s2 ( ) 

l2 2

2



d

2

d

2

s ( )

2

 (   1 )

s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) ) s4( )  2

l1 2

2

2

 (   1)  4

l1 2

 (   1)  l1

s5 ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3  ( ) )

0

100

200 

300

s6 ( ) 

l1 3

2

2

 (   1  2 )  l1

s7 ( )  if (   1  2  3  s6 ( )  s5 ( ) ) l1 l1 2 s8 ( )  2  (   1  2  3)  4  (   1  2  3)  2l1 2 4 4 s9 ( )  if (   1  2  3  4  s8  ( )  s7  ( ) ) s10( )  15.5 s ( )  if (   1  2  3  4  5  s10  ( )  s9  ( ) )

6.3 Un seguidor debe moverse hacia afuera 2 in con movimiento armónico simple mientras la leva efectúa media revolución. El seguidor debe retornar con movimiento armónico simple durante los 150 y detenerse durante 30 Grafica aceleracion

Grafica velocidad 0.02 0.01 v(  )

0  0.01  0.02

0

100

200 

300

400

Grafica desplazamiento 2 1.5 s(  )

1 0.5 0

0

100

200

300



Ecuaciones s1 ( ) 

l1

s2 ( ) 

l2

2

2

  1  cos 

  

  1  



 1  cos 





  (   1 )  2

  0.611 

s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) ) s4 (  )  0 s ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3 ( ) )

6.4 El ejercicio del problema 6.1 pero usando movimiento cicloidal Grafico de aceleraciones 510

4

0 a( )  510

4

 110

3

0

100

200 

300

400

Grafico velocidad

v(  )

grafico desplazamiento

0.04

2

0.02

1.5 s(  )

0  0.02  0.04

1 0.5

0

100

200

300

0

400

0

100

200





Ecuaciones s1 ( )  l1 



 1

s2 ( )  l2 

  1

 2





1 

  sin 



1 

    

   1  

 sin 

 

  (   1 ) 

  1 

2

s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

s4 ( )  l1 1 



(   1  2 ) 3



1 

 sin 

 

  (   1  2 )  3

  1 

s5 ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3  ( ) )

s6 ( )  l1 1 



(   1  2  3 ) 4



1 

 sin 

 

  (   1  2  3 ) 

s7 ( )  if (   1  2  3  s6 ( )  s5 ( ) ) s8 ( )  0. s ( )  if (   1  2  3  4  s8  ( )  s7( ) )

4

 

300

6.5 Haga lo mismo del problema 6.2 pero otro movimiento para la sobre aceleración Grafico aceleración 110

3

0 a( )  110

3

 210

3

0

100

200 

Grafico posición 4

3 s(  ) 2

1

0

0

100

200

300



Ecuaciones s1 ( )  l1  1  cos   

   2 1  



s2 ( )  1 

l2 2



 (   1 )

s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

s4 ( )  l3 sin  

 

(   1  2 )  3

  1.78 

s5 ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3  ( ) )

300

400

s6 ( )  l4 cos  



(   1  2  3 ) 

  1.12 

2 4

s7 ( )  if (   1  2  3  s6 ( )  s5 ( ) )

s8 ( )  l5 1  sin  





(   1  2  3  4 ) 

  0.12 

2 5

s9 ( )  if (   1  2  3  4  s8  ( )  s7  ( ) ) s10( )  0 s ( )  if (   1  2  3  4  5  s10  ( )  s9  ( ) )

6.6 Haga lo mismo del ejercicio 6.3 pero use movimiento armónico simple

Grafica aceleracion

Grafica velocidad

Grafica desplazamiento

2

0.02

1.5

0.01 v(  )

s(  )

0

0.5

 0.01  0.02

1

0 0

100

200 

300

400

0

100

200 

300

Ecuaciones s1 ( ) 

l1

s2 ( ) 

l2

2

2

  1  cos 

  

  1  



 1  cos 





  (   1 ) 

  0.611 

2

s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) ) s4 (  )  0 s ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3 ( ) )

6.7 Dibuje la curva desplazamiento-tiempo de un seguidor de leva que se eleva 3 in en los primeros 180 de rotación de la leva, se detiene 45 y luego desciende con rotación restante de la leva. La elevación debe ser movimiento parabólico descenso movimiento armónico simple. Grafico desplazamiento

Perfil leva

4 120

3

150

s(  ) 2

s (  ) 180

90 5 4 3 2 1 0

30

0

210

1

330 240

0

60

300 270

0

100

200

300





Ecuaciones l1

s1 ( )  2

1

2



2

s2 (  )  3 s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

s4 ( ) 

l3 2

 1  cos  





 180

(   1  2 )  3

 

s ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3 ( ) )

6.10 Debe diseñarse una leva usando superficies estándares de levas para intervalos discretos de la rotación de la leva. En la figura. Se muestra el desplazamiento s vs ángulo de rotación de la leva. Las elevaciones, las velocidades y las aceleraciones en los puntos A,B;c son las siguientes DATOS :

3 L3   L 2

1  2  3  4

2

L  4.2

L1  0

B1  36

L2  L L4  2.5L 

SISTEMA DE ECUACIONES : 2  3  4

2L2

 L3

2

2 3

L3

L4 2

4 3

2  

 5

2

4

3  1.8

 2  2

4  1.1

Given

2  3  4

8.4

 6.3

2

2 3

6.3 2

4 3

10.5 2

4

2  

 5

 1.083 Find 2   3   4   1.276    3.295

VALORES PARA LA GRAFICA

 2  62.05

 1  36

ECUACIONES PARA SUPERFICIES ESTANDAR DE LEVAS:  3  73.10

4  188.79

L3  6.3

L4  10.5

s 1( )  0  1    s 2( )  L2    sin    2   2   s 3( )  L2  L3 sin  2 3   

s 4( ) 

L4 2

1 2        1  cos      4  4    4  

 1  cos 



  

s ( ) 

  0  1   360

s 1( ) if 0    36 s 2(   36) if 36    98.05 s 3(   98.05) if 98.05    171.15 s 4(   171.15) if 171.15   360

15

10 s(  ) 5

0

0

100

200 

300

400

v(  )

3

0.2

410

0.1

210

3

a( )

0

0 3

 0.1  0.2

 210

3

0

100

200

300

 410

400

0

100



200

300

400



Perfil de la leva: Rb  20

120 150

Rb s(  ) 180

90 50 40 30 20 10 0

60 30

0

210

330 240

300 270 

 180

6.12 .En la figura se muestran las curvas desplazamiento tiempo, velocidad tiempo, aceleración tiempo. La leva gira a velocidad constante w y el valor máximo pico de la aceleración es 5 unidades. La ecuación de la aceleración es

Intengrando encontramos la ecuación de velocidad 2

v( )  h 

w

1

 cos  2  





 

1 

Intengrado por segunda vez encontramos la ecuación de desplazamiento

2

s ( )  h 

 sin  2 

w



2 



 

1 

Valor máximo para velocidad B/2

2

v( max)  h 

w

1

Para desplazamiento máximo se despeza de la aceleracion h  5

1

2 2

2  h  w

6.14

a)

DAT OS   0  1   360 r4  180

1  15

Rb  100 rodillo  10

r2  300

1  60

Rp  Rb  rodillo

3  30

2  30 3 4       15     1      1

s1 ( )  1  10 

s2 ( )  1



s3()  if   1 s2()  s1()



4 5      3    1  2      1   2      1 2 s4( )  1  1  10    15   6      3 3 3         



s5()  if   1  2 s4()  s3() s6 (  )  0





 ()  if   1  2  3 s6()  s5  ()

100 1  ( ) 0.01 4

110

1

10

100 

3

110



5    1  

6 



120

90 200

60

150 150

30

100 50

Rb  (  ) 180

0

0

210

330 240

300 270 

 180

b)

  0

porque es radial y no existe excentricidad

rod  10 Rp  Rb  rod

 ( 90)  0

C) ANTIGUO PERFIL φ ( 90)  15

NUEVO PERFIL

90 200

120

60

150 150

30

100 50

Rb  (  ) 180

0

0

210

330 240

300 270 



180

6.28 Diseñe un perfil polinomio que satisfaga las siguientes condiciones De las Condiciones obtenemos las ecuaciones 0

co

L

co  c1  c2  c3  c4  c5

0

c1

v

c1  2 c2  3c3  4c4  5 c5

0

c2

0

2c2  6 c3  12 c4  20 c5

0     0   0   Find ( co  c1   c2   c3   c4   c5  )   10 L  4 v   7 v  15 L     6 L  3 v 

El perfil de la leva viene dado por s ( )  ( 10L  4V)  



 

3

 ( 7v  15L)  



 

4

 ( 6 L  3 V)  



 

5

6.30 En la figura se muestra un perfil parcial de desplazamiento de una leva de alta velocidad con las condiciones: a) Que perfiles se deben usar de a y b y entre f y g Entre a y b se va a usar un perfil semi-armonico Entre f y g un perfil semi cicloidal b) Vamos a determinar las ecuaciones y valores para los angulos y altura resolviendo un sistema de ecuacies El siste consta de 8 ecuaciones y 8 incongnitas las cuales se considero.. igualar aceleraciones, velocidades en cada uno de los puntos del perfil

Ecuaciones

6  ( 2)  0.7

2 2

0.5 4 2



0.5



1

5 36

0.3

2

2 3

0.3 3

2

0.2

2

4

2

0.2

0.2

4

2

2 5



0.2

L6

2 5

6

L6

2 L7

6

7

L6  L7

2

0.9

1  2  3  4  5  7

2   6

Resolviendo e sistema de ecuaciones obtenemos los valor para el perfil 1  76.94

l1  0.7

2  43.195

l2  0.5

3  47.31

l3  0.3

4  38.63

l4  0.2

5  27.31

l5  0.2

6  30

l6  0.345

7  96.25

l7  0.555

1.5

1 s(  )

0.5

0

0

100

200 

c) Para el grafico de velocidad

300

400

0.02 0.01 v(  )

0  0.01  0.02

0

100

200

300

400

 Grafico aceleleracion

110 510 a( )

3

4

0  510

4

 110

3

0

100

200

300

400

 6.31 La figura muestra una curva de desplazamiento de descenso total de los perfiles h-3 velocidad constante y c4. Suponga que B1=B2=B3=30 y que valor absoluto de la aceleración máxima alcanzada durante el ciclo de descenso es de 0.00163 cuál es la distancia total de descenso L?

0.4 0.3 s(  ) 0.2 0.1 0

0

20

40

60

80



Resolviendo el sistema de ecuacines obtenemos l1  0.0916

l3  0.2673

l2  0.14 1  30

3  30

2  30

Y las ecuaciones para el sistema son s1 ( ) 

l1 2

  cos   

   0.4073   21  



s2 ( )  l2 1 





(   1 )  2

  0.27 

s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

s4 ( )  l3  1 



  1  2 3



s ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3 ( ) )

La distancia total L es

L=l1+l2+l3 L=0.5

1 

 sin   



  1  2   3

   0.009 

6.32 En la figura se muestra la mayor parte de una curva del perfil de aceleración trapecial de elevación total. Desafortunadamente B6 no se conoce. Si la elevación total es de 1.5 in determine B6 y complete y dimensione las curvas de a v y s.

Rb  10

  0  1   360

3

4

1  45

4  60

2  90

5  105

rodillo  0.5 10

d  1.5 10

3  60

a1( )  d  

   1  

a2( )  d

a4( )  2d  

a3( )  if (   1  a2( )  a1( ) )



  1  2 

3   1.5 10 

3

a5( )  if (   1  2  a4( )  a3  ( ) ) a6( )  d a7( )  if (   1  2  3  a6( )  a5( ) )

a8( )  d  



a9( )  if (   1  2  3  4  a8  ( )  a7  ( ) ) a10( )  0 a( )  if (   1  2  3  4  5  a10  ( )  a9  ( ) )

3

210

3

110 a( )

0 3

 110

3

 210

0

100

200 

300

400

  1  2  3  4  5

 d 

v1( ) 

d 2 1

( )

2

3

v2( )  d  (   1)  35 10

v3( )  if (   1  v2  ( )  v1  ( ) )

v4( ) 

d 3

3

2

 (   1  2 )  1.5 10

3

(   1  2 )  170 10

v5( )  if (   1  2  v4  ( )  v3( ) ) 3

v6( )  d  (   1  2  3)  167.510 

v7( )  if (   1  2  3  v6  ( )  v5  ( ) )

v8( ) 

d 2 5

3

2

 (   1  2  3  4 )  d  (   1  2  3  4 )  80 10

v9( )  if (   1  2  3  4  v8( )  v7( ) )



2

v10( ) 

42.5 10

 (   1  2  3  4)



2

 2 42.510  5 v ( )  if (   1  2  3  4  5  v10  ( )  v9( ) )

0.2

0.15

v9(  ) 0.1

0.05

0

0

100

200 

300

400

s1 ( ) 

s2 ( ) 

d 6 1 d 2

( )

3

3

2

(   1 )  35 10

(   1 )  0.5

s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

s4 ( ) 

d

3

33

 (   1  2 ) 

d 2

3

2

(   1  2 )  170 10

(   1  2 )  9.75

s5 ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3  ( ) )

s6 ( ) 

d 2

3

2

 (   1  2  3 )  167.510 

(   1  2  3 )  21

s7 ( )  if (   1  2  3  s6 ( )  s5 ( ) )

s8 ( ) 

d 65

3

(   1  2  3  4 ) 

d 2

2

3

(   1  2  3  4 )  80 10

(   1  2  3  4 )  28.5

s9 ( )  if (   1  2  3  4  s8  ( )  s7  ( ) ) 4

s10( )  2.8510 



 42.5 10 3 (   1  2  3  4) 2 3  2 42.5 10 2 5 



 1  



s ( )  (   1  2  3  4  5  s10  ( )  s9 ( ) )

40

30

s9(  )20

10

0

0

100

200 

300

400

   1  2  3  4  

5



6.33 Describa el movimiento y velocidad del segidor para la leva descrita en el movimiento 6.32 6.34 Los dos siguientes perfiles de aceleración se elevan 1.5 in en tanto B1=165°, B2=110° esboce y dimensione las curvas de aceleración y compare sus resultados con los problema a) Movimiento armónico simple formado por h1 y h2

s1 ( )  l1  1  cos   

   2 1  



s2 ( )  l2 sin 





3

  (   1 ) 

s(  )

  1.5 

2 2

2

1

s ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

0

0

100

200 

Velocidad

Aceleración

210

0.03

110

4

 110

4

 210

4

 310

4

 410

4

0.02

0

0.01 a( )

v(  )

0  0.01  0.02  0.03

4

0

100

0

100

200 

200 

b) Ciclidal fromado por c1 y c2 3

s1 ( )  l1 



 1

s2 ( )  l2 



1 

  1

 2

 sin   

   1  



1 



 sin   



s(  )

  1   2

 

2

1

 1.5 0

0

100

200 

s ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

Velocidad

Aceleración

0.03

410

0.02

210

v(  ) 0.01

a( )

0  0.01

0

100

200

4

4

0  210

4

 410

4



0

100

200 

6.35 En la figura se muestra una gráfica de una leva de elevación detención retorno. Los perfiles de la leva citados son h1, velocidad constante, c2, detención, c3 y h4 se sabe que l3=l5=l6=1 B3=120 Y B6 = 60 Resolviendo el sistema de ecuaciones   l1

l2

2 1

2

l2

1

2

2

2  3

1

l1  l2 

2.0

2 

5



 3

1  2  4  5 l1 4 1



1 2

4 



2

 3

 0.66666666666 666666667   0.62278436961 82101841    0.51880828397 158305436   Find ( 1  2   4   5   l2   l1)   1.33333333333 33333333   0.59471526543 064891422     0.40528473456 935108578 

Datos l1  0.40

l3  1

l2  0.60 3  120

5  76.20

1  37.81 4  29.22

6  60

2  35.52

Ecuaciones s1 ( ) 

l1

  1  cos   

   1  



2

s2 ( )  l2

  1 2



 0.40

s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

s4 ( )  l3 

  1  2



3



1 

 sin  

 

  1  2  3

  1 

 sin   

  1  2  3  4  

s5 ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3  ( ) ) s6 ( )  2 l3 s7 ( )  if (   1  2  3  s6 ( )  s5 ( ) )

s8 ( )  l3  1 

  1  2  3  4



5



1 



5

s9 ( )  if (   1  2  3  4  s8  ( )  s7  ( ) )

s10( )  l3  1  sin   





  1  2  3  4  5   2 6

s ( )  if (   1  2  3  4  5  s10  ( )  s9  ( ) )

 

   l3 

Velocidad

Aceleración 210

0.02 0.01 v(  )

110

3

3

0 a( )

 0.01  0.02  0.03

0

100

200

300

400

0  110

3

 210

3



0

100

200

300

400



6.36 El diagrama S de una leva de elevación-detención-retorno-detención, que usa el perfil de movimiento uniforme, se muestra en la figura. El ángulo de presión para un seguidor de rodillo en traslación sin excentricidad está dado por:

  at an

   ro  S  v

a) Esboce la curva del angulo de presión y determine para que valor de ocurrirá la máxima d si ro=1

Desplazamiento

Perfil leva

120

1

90 2.5

60

2

150

s(  )

30

1.5

0.5

0

s(  )  ro 180

1

0

210

0

100

200 

300

330

400 240

300 270 

 180

Angulo de presión

b) Que valor debe tener ro para que d sea en todas partes menor que 5 t 1( ) 

v ( ) 5

 s ( )

el valor máximo para cuando d=5 es de 1 0.5 0 t1(  ) 0.5 1  1.5

0

100

200

300

400



c) Repita las pares a) y b) con movimiento cicloidal Desplazamiento

Perfil levas

120

90 2.5

60

2

150

30

1.5 s(  )  ro 180

1

0

210

330 240

300 270 

 180

1 s(  ) 0.5

0

0

100

200

300

400



Angulo de presión

Que valor debe tener ro para que d sea en todas partes menor que 5 0.5 0 t1(  ) 0.5 1  1.5

0

100

200

300

400



6.37 Se requiere una leva tal que el seguidor de eleva 50 mm en una rotación de 120 de la leva, se detenga durante 60 , regrese en 120, detenga 60. La velocidad de la leva es de 60 rpm. a) Escoja los perfiles cicloidales de desplazamiento para la elevación y el retorno que conduzcan a perfiles de desplazamiento y velocidad continuos despues esboce las curvas Desplazamiento

velocidad

0.02

1 0.01

s(  )

v(  )

0.5

0  0.01

0

 0.02

0

100

200

300

400

0

100





Aceleración

Ecuaciones 4

610

4

210 a( )

4

 210

4

 610

0

100

200

200

300



b) Determine la velocidad máxima

c) Determine aceleración máxima

400

300

400

d) Cuál es la magnitud del desplazamiento cuando la rotación de la levas es de 220

e) Hay picos infinitos en el perfil sobreacelerado si es asi cuales las ubicaciones

310

5

110

5

sa ( ) 

sa (  )  110

5

 310

5

0

100

200 

300

400

d

3

d

3

s ( )

6.38 La figura muestra un perfil de desplazamiento parcialmente terminado para una revolución completa de una leva de disco. La elevación total del seguidor de rodillo en traslación es de 2 in a) Encuentre el perfil que falta las curvas de aceleraciones y velocidades Desplazamiento

velocidadad 0.04

3

0.02

2

v(  )

s(  )

0  0.02  0.04

1

 0.06

0

0

100

200

300

Aceleración 3

210

0 3

 210

3

 410

3

 610

0

100

200

300

400



Ecuaciones s1 ( )  l1 



 1



1 2 

 sin  2  





 

1  

s2 ( )  l1 s3 ( )  if (   1  s2 ( )  s1 ( ) )

s4 ( )  l2 1 



  1  2 3



1 

 sin   

 

  1  2  3

  1.4 

s5 ( )  if (   1  2  s4 ( )  s3  ( ) )

s6 ( )  l3 1 



  1  2  3 4



1 

100

200 

400



a( )

0

 sin   

 

  1  2  3  4

 

300

400

s7 ( )  if (   1  2  3  s6 ( )  s5 ( ) ) s8 (  )  0 s ( )  if (   1  2  3  4  s8  ( )  s7( ) )

Para la región 1 Velocidad y aceleración cuando B1/2

Aceleración

Para la región 2 Velocidad B2

Aceleraciones