20 Επαναληπτικά Θέματα (2017-2018)

20 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 – σχολικό έτος 2014-2015)

Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας Δημήτρης Οικονομοπούλου Βάσια Παπαπαναγιώτου Κώστας Πετρόπουλος Βασίλης Σκίτσας Νώντας

ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς από:

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 1ο Έστω συνάρτηση

lim x 

f : R  R συνεχής και γνησίως μονότονη για την οποία ισχύει ότι:

f  x   f  x   lim  2015 , με  ,   R και 0     . x  x  x

Α. Να αποδείξετε ότι

f     και f     

Β. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της

f.

Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό

Ε. Αν επιπλέον ισχύει ότι

lim

x 

xo   ,   , τέτοιο ώστε:

   , 4 

τέτοιο ώστε :

f  xo    f  xo     xo   xo  

f   

f  2   f  3  2

f  2x f  4x  1 , να υπολογίσετε το όριο: lim x  f  x  f  x

Θέμα 2ο Έστω οι δυο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει ότι

f  1 

f , g με πεδίο ορισμού το διάστημα 1,   , με   R ,

 1 , f 1  g 1  1 και f  x   g  x    f  t  g  t  dt , για κάθε 1 2

x  1,   . Α. Να δείξετε ότι

g  x   2  f  x  , για κάθε x  1,   .

Β. Να αποδείξετε ότι:

xo  1,   τέτοιο ώστε f  xo  g  xo  

i.

Υπάρχει

ii.

Η εξίσωση

2 .  1

2  3 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα 1,   .  2 f  x   2   1

Γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση Δ. Αν επιπλέον ισχύει ότι

f   x  g  x  

f  x  g  x έχει λύση στο 1,   . x

f   x   g   x  , για κάθε x  1,   , να βρείτε τους τύπους των f , g .

2

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 3ο Έστω συνάρτηση

f , με D f   0,   , για την οποία ισχύει:

f  x   0 και f  f  x    x  f  x  , για κάθε x  0 Α. Να δείξετε ότι η Β. Να βρείτε το

f αντιστρέφεται και ότι f 1  x  

f 1

Γ. Να αποδείξετε ότι αν η στο

f  x x

f

f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο xo τότε και η f είναι παραγωγίσιμη

xo .

Δ. Αν η

f είναι παραγωγίσιμη για κάθε xo   0,   και γνησίως φθίνουσα τότε:

i.

να βρεθεί το πρόσημο της

ii.

να βρεθεί το

iii.

να δείξετε ότι και η

Ε. Έστω μιγαδικός

f

f  1 f 1 είναι γνησίως φθίνουσα.

z που ικανοποιεί τη σχέση z  4  3i  1 (1).

6  z  z  10

i.

να δείξετε ότι

ii.

να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν την (1) και για τους οποίους ισχύει ότι:

8 f  z  z   f 8 z  z  .

3

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 4ο 2x

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο R για την οποία ισχύει :

f ( x)  2 x 

 2x  t   dt για κάθε 2 

 f  0

xR. Α. Να αποδείξετε ότι

f ( x)  e 2 x  1 , x  R . 1

Β. Έστω συνάρτηση g συνεχής στο R για την οποία ισχύει:

 x  g ( x  t ) dt  f ( x) , για κάθε x  R . 0

1

i.

Να αποδείξετε ότι

 g (t ) dt  2 . 0



ii.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει

  (0,1)

τέτοιο ώστε

 g (t ) dt  1 0

x

iii.

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

 g (t ) dt  1  x  g ( x) έχει μια τουλάχιστον λύση στο  0,1 . 0

Γ. Δίνεται η ευθεία

  :

y x2  0.

C f τέμνει την ευθεία  σε μοναδικό σημείο με τετμημένη    0,1 .

i.

Να δείξετε ότι η

ii.

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f , την ευθεία

yy είναι

  και

τον

e2   2  6  1 τ. μονάδες. 2

4

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 5ο Έστω συνάρτηση ισχύει ότι 2

f , δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία

f   x   1 , για κάθε x  R . f  x  dx 

1 4  x  f    2 x  dx , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα   6 2  2 

Α. Αν



Β. Αν

 f  x  dx  10 , να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

1

3

1

Γ. Αν επιπλέον, ισχύει ότι τουλάχιστον ένα Δ. Έστω η ευθεία i.

ii.

x1  1,3 τέτοιο ώστε f  x1   5



0

x2   0,3 τέτοιο ώστε f  x2   0 .

  :

y  x 1. f τέμνει την ευθεία    σε ακριβώς ένα σημείο με

x3   0,3 .

Θεωρώντας τη συνάρτηση μοναδικό

1

   f  x   f   x  x  dx  f   1 , τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει

Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τετμημένη

 f  x  dx . 3

  0,3

g  x   f  x   y στο διάστημα  0,3 , να αποδείξετε ότι υπάρχει

τέτοιο ώστε:

g   

3  x1  x2 2

5

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 6ο Δίνεται η συνάρτηση

g  x 

ln x , με x  0 . x

Α. Να βρεθεί το σύνολο τιμών και το πρόσημο της

g.

f , ορισμένη στο  0,   , για την οποία ισχύει

Β. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση

x2 f 2  x   x3 f  x  f   x   ln x , για κάθε x  0 . Επιπλέον δίνεται ότι f  e  

1 και e

lim f  x    .

x 0

i.

Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις

ii.

Να λυθεί η εξίσωση

iii.

Να βρεθεί το σημείο της τετμηνένης

f και g είναι ίσες.

xe  e x C f στο οποίο, κατά τη χρονική στιγμή to , ο ρυθμός μεταβολής της

x  to  είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης y  to  , με

x  to   y  to   0 .    x  1 x    ln   x 1     x   Γ. Να υπολογιστεί το lim   x   x  x  1      Δ. Έστω συνάρτηση

K  x    f  t  dt x

1

lim  K  x  1  K  x 

i.

Να υπολογιστεί το όριο

ii.

Να δειχθεί ότι η συνάρτηση

iii.

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

x 

 f  t  dt x

1 x

άξονα xx και την κατακόρυφη ευθεία

είναι σταθερή.

K , τον

x  e.

6

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 7ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

f , με f : (0,)  R για την οποία ισχύει :

x  x 2  ln x  x  f ( x)  x 2     για κάθε x  (0,)  2  Α. Να αποδείξετε ότι

Β. Να βρεθεί το

lim

x 

 lim  x  x 0 

Γ. Έστω μιγαδικός

z z 3  z 3 z  1

ii.

zR ή zI

iii.

z 1

lim

x 

 1  f    x 

z ώστε: 2 z z 3  5 z 3 z  7  0 . Να δείξετε ότι:

i.

iv.

f ( x) 1 x

 3i  4  x 2  x 2 z  x f  x   x  x

 

Δ. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

xo  1, 2  τέτοιο ώστε f ( xo ) 

2 . xo

7

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 8ο Έστω η συνάρτηση

f , με D f  f  D f   1, 4 , δυο φορές παραγωγίσιμη με f   x   0 για κάθε

x  1, 4 . Έστω, επίσης, η συνάρτηση g με g  x   ln x  4 x  1 . Α. Να δείξετε ότι η εξίσωση Β. Να λυθεί η ανίσωση:

g  x   0 έχει μοναδική ρίζα.

 x2  2 2 ln    4x  4  x  2  x2

Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

Δ. Αν επιπλέον ισχύει ότι

  1, 4

ώστε:

 f        f   . ln  4    

f 1  4 f  4  xo  1, 4  , τέτοιο ώστε: f   xo    f  4  .

i.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό

ii.

Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

iii.

Να βρείτε τα

iv.

Να δείξετε ότι υπάρχουν

  1, 4 

ώστε:

 f     f      f      0 .

f 1 και f  4  . x1 , x2  1, 4  τέτοια ώστε: f   x1   2 f   x2   3 .

Θέμα 9ο Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση

f : R  R για την οποία ισχύει:

f  x   2 f 1  x   3 f  x  1  12 x , για κάθε x   1,1 . Α. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα Β. Να δείξετε ότι



1 1

1   1,1 τέτοιο ώστε f  1   0 .

f  x  dx  2

Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα Δ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

2   1,1

   1,1

τέτοιο ώστε

τέτοιο ώστε

f  2   1

 e f    2 f     f      e  f      

8

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 10ο f : 0,    R , για την οποία ισχύει:

Έστω η συνεχής συνάρτηση



x

1

 f  t  t  ln t   dt 

Δίνεται, επίσης, η συνάρτηση

i.

ii.

F  x    f  t  dt . x

0

 x  Να δείξετε ότι: f  x    x  ln x   0 Να βρείτε το σύνολο τιμών της x

x2 1 (1), για κάθε x  0 . 2

, x0 , x0

f καθώς και το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης:

e

1

e x ln x  e e1 iii.

Να μελετήσετε την



x2 x1

F ως προς την κυρτότητα και να δείξετε ότι:

x x  F  x  dx   x2  x1   F  1 2  , για κάθε x1 , x2 με e  x1  x2 .  2 



x2  e

f  t  dt  x 2 

iv.

Να λύσετε την ανίσωση

v.

Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

e



2e e

   0,1

f  t  dt  e . τέτοιο ώστε:

f     f  t  dt  f    1  f    . 

0

9

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 11ο Έστω η συνάρτηση

f : R  R , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισχύουν:

z  f  t  z  dt  x  1 , για κάθε x  R και με z  C .

(1):

 x  1



(2):

2 f  x   1  f  2  , για κάθε x  R .



(3):

Η γραφική παράσταση της

2015



z

10

f  t  dt  

x z



z 1

f , C f , τέμνει την ευθεία y  1 στο σημείο με τετμημένη

xo  1 .

z  1.

i.

Να αποδείξετε ότι:

ii.

1  Να δείξετε ότι ο μιγαδικός  z   z 

iii.

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης

iv.

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της στον άξονα xx με τετμημένη

2015

I .   z2  z  2 .

f  δέχεται τουλάχιστον μία εφαπτομένη παράλληλη

  1, 2  .

10

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 12ο Έστω συνάρτηση

g παραγωγίσιμη και κυρτή στο R .

Δίνονται επίσης οι συναρτήσεις 

f  x   g  x   2e x 1 



h  x   2e x1  x 2  2

f , h με πεδίο ορισμού το R για τις οποίες ισχύει: x3 1  2x  3 3

Α. Να δείξετε ότι: i.

η h είναι γνησίως αύξουσα. x

ii.

το πεδίο ορισμού της

Β. Αν επιπλέον ισχύει ότι

lim x 1

 ht dt  x et 1 dt K  x   1 h x 

1



είναι το

R.

g  x   x2  3 1  x 1 2

g 1 και g  1 .

i.

Να βρείτε τα

ii.

Να δείξετε ότι η

iii.

Να δείξετε ότι

f είναι κυρτή.

f  2   f  0   4 και ότι f  x  2   f  x   2 για κάθε x  1 .

11

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 13ο Έστω ο μιγαδικός αριθμός z ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση z  1  z  1  4 (1). 2

2

Α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

i.

1 2z , όπου z μιγαδικός που ικανοποιεί την (1). z2 Να δείξετε ότι οι εικόνες του u κινούνται στο μοναδιαίο κύκλο.

ii.

Αν

iii.

Να βρείτε τους

Β. Έστω ο μιγαδικός

u

z  x  yi να δείξετε ότι z  u  2

1  x2 , με 1  x  1 . 5  4x

zo , uo για τους οποίους το μέτρο z  u γίνεται μέγιστο.

Γ. Για το μιγαδικό z που ικανοποιεί την (1) να δείξετε ότι:

1 z

i.

z

ii.

z 2  z  3  3z 2  z  1

4 , όπου z μιγαδικός που ικανοποιεί την (1). z Να δείξετε ότι καθώς η εικόνα του z κινείται στο μοναδιαίο κύκλο, η εικόνα του w κινείται σε

Δ. Έστω ο μιγαδικός w  z  i.

έλλειψη.

w  R τότε και z  R .

ii.

Να αποδείξετε ότι αν

iii.

Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών

z και w , καθώς κινούνται στον κύκλο και στην

έλλειψη αντίστοιχα, βρίσκονται σε σταθερή απόσταση.

12

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 14ο Έστω η συνεχής συνάρτηση

g , με Dg  R , για την οποία ισχύει ότι g  x   0 , για κάθε x  R . f με f  x   

Δίνεται, επίσης, η συνάρτηση Α. Αν ισχύει ότι Β. Για

f  x  

3

1

x 3

1



u  2



u  2



g  t  dt du , με x  R και   R .



g  t  dt du να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου  .

  1, να δειχθεί ότι:

i.

η

f είναι κυρτή

ii.

η

f έχει ακριβώς δύο ρίζες

iii.



x 3 2

g  t  dt  

Γ. Έστω η συνάρτηση μεταξύ της

x4 x 3



u 1 2



g  t  dt du

h  x   x  4  x  g  x  . Αν E1 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται

C f , του xx , του yy και της κατακόρυφης ευθείας x  2 και E2 το εμβαδόν που

περικλείεται μεταξύ της

Ch , του xx και των κατακόρυφων ευθειών x  0 και x  2 , να δειχθεί ότι

2E1  E2 .

Θέμα 15ο Δίνεται η συνάρτηση Α. Να δείξετε ότι η

f  x   2 x3  4 x  1

f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 1 .

Β. Να δείξετε ότι η εξίσωση Γ. Να δείξετε ότι

f  x   0 έχει μοναδική αρνητική ρίζα.

f 1  e x  x 2  x   0 , για κάθε x  R

Δ. Έστω οι μιγαδικοί z  C για τους οποίους ισχύει



7

7 1 3 z  5    f 1  x    dx  2 z  5 (1). 1 12  

f 1  x  dx

i.

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

ii.

Να δείξετε ότι οι εικόνες των

iii.

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών ικανοποιούν και τη σχέση

1

z ανήκουν σε κυκλικό δίσκο.

 2z  i f 1   2z  i

z οι οποίοι, εκτός από τη σχέση (1),

   0. 

13

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 16ο Έστω f

συνεχής συνάρτηση με f : (0, )  R για την οποία ισχύει η σχέση f ( x)  e 



x 1

f (t ) dt , t2

για κάθε x  (0,) . Α. i.

Να δείξετε ότι η

ii.

Να δείξετε ότι

g ( x)  e



1 x

f ( x)

είναι σταθερή στο (0, ) .

1

Β. Να δείξετε ότι

f ( x)  e x για κάθε x  (0,) . 2

e   f ( x)dx  e για κάθε x  (0,) . 1

Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό Δ. Έστω, επίσης, συνάρτηση

  (1, 2)

τέτοιο ώστε



2 1

1



f (t )dt  e .

g για την οποία ισχύει ότι: g 1  0 , g  1  e και

1 f  x x g   x   g  x    2 2 dt , για κάθε x  0 . 0 x t Να αποδείξετε ότι: i.

g  x   e x ln x

ii.

η εξίσωση

g 2  x   g   x   g  t  dt έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 1, e  . e

x

14

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 17ο Έστω συνάρτηση

f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R , με f  γνησίως φθίνουσα στο R .

Επιπλέον ισχύει ότι: 

f  2  x   f  2  x   2 f  2  , για κάθε x   2, 2



f  0   f  4  και f   2    f   4   1

Α. i.

Να βρεθεί η κυρτότητα της

ii.

Να δειχθεί ότι:

f  x    x  f  0  , για κάθε x   0,1

f  x   x  2  f  2  , για κάθε x  1, 2 

και Β. Να δειχθεί ότι η

f.

f παρουσιάζει ακριβώς μία θέση τοπικού ελαχίστου και ακριβώς μία θέση τοπικού

μεγίστου. Γ. Έστω το χωρίο

 που περικλείεται μεταξύ της C f και της ευθείας   : y  f  2  . Να δειχθεί ότι:

i.

     2

ii.

   2

2 0

 f  2  f  x   dx

15

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 18ο Έστω

z1 , z2 οι ρίζες της εξίσωσης z 2   z  1  0 με    2, 2  και w  C με w  2i .

Ισχύει ότι Α. Αν

z1  w  2i 

2015

 z2  w  2i 

2014

  z1  w  2i   z2  w  2i 

Β. Να υπολογίσετε την παράσταση Γ. Να δείξετε ότι

 0.

τότε να δείξετε ότι

  z1  w  2i 

w  2i  1 και w  2i 

 R .

2014

 z2  iw  2 

2014

1 w  2i

Δ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών:

w  1  3i και iw  1821

z1 z2  , να δείξετε ότι u   2  2 . z2 z1

Ε. Αν

u

ΣΤ. Αν

v  z12  wi  2 

4029

i.

v  i

ii.

w  uv  1   2

, να δείξετε ότι:

Θέμα 19ο Έστω ο μιγαδικός αριθμός

z για τον οποίο ισχύει z  i  Im  z   1 (1).

Α. Να βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης C που είναι ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του Β. Έστω επίσης μιγαδικός

  z .

w για τον οποίο ισχύει w2  2iw  1  w2  2iw  1  2 w2  1 (2).

i.

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

ii.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένας μιγαδικός που ικανοποιεί τις σχέσεις (1) και (2).

Γ. Να αποδειχθεί ότι από το σημείο

w.

  , 1 , με   R , άγονται πάντα δύο εφαπτομένες προς τη C ,

κάθετες μεταξύ τους. Δ. Έστω ότι τα σημεία επαφής, των εφαπτόμενων ευθειών Να αποδειχθεί ότι η καμπύλη C χωρίζει το τρίγωνο Ε. Να βρεθεί το



ώστε το εμβαδόν του τριγώνου

1 ,  2

με την C , είναι τα

,  αντίστοιχα.

 σε λόγο εμβαδού 2 προς 1.

 να γίνεται ελάχιστο.

16

Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο! 20 Επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ λυκείου (έτος 2015)

Θέμα 20ο Σώμα βάρους Β μετακινείται σε οριζόντιο επίπεδο με τη βοήθεια ενός τεντωμένου σχοινιού που σχηματίζει γωνία



με το οριζόντιο επίπεδο.

Μια μεταβαλλόμενη δύναμη

F που ασκείται στο σώμα μέσω του σχοινιού έχει μέτρο που δίνεται από τη

σχέση:

  F        και



γωνία

F

  , όπου   0,   2

Β

μια θετική σταθερά ανεξάρτητη από τη

θ

.

Α. Να αποδείξετε ότι η δύναμη

F γίνεται ελάχιστη όταν η γωνία  αποκτά τιμή ώστε να ισχύει

   . Β. Έστω ότι η γωνία



τη χρονική στιγμή

χρονική στιγμή αυξάνει με ρυθμό στιγμή

to αυξάνει με ρυθμό 0, 2 rad / sec και η σταθερά  την ίδια

0, 4 / sec . Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η γωνία  , τη χρονική

to , ώστε να ελαχιστοποιείται η δύναμη F .

Γ. Έστω ότι για την προηγούμενη συνάρτηση Να αποδείξετε ότι:



 2 0

F   d    

F   ισχύει ότι   3 . 3 4

17