2. Udzbenik Matematika 4 b

Др Душан Липовац Ружица Вукобратовић Снежана Тешић

МАТЕМАТИКА

УЏБЕНИК СА РАДНИМ ЛИСТОВИМА ЧЕТВРТИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ

4Б

импресум

Библиотека ШКОЛСКА КЊИГА Др Душан Липовац Ружица Вукобратовић Снежана Тешић

МАТЕМАТИКА ЗА ЧЕТВРТИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ УЏБЕНИК СА РАДНИМ ЛИСТОВИМА ДРУГИ ДЕО I издање Рецензенти Проф. др Јанош Пинтер мр Љубица Грковић Татјана Којић, проф. Издавач ИЗДАВАЧКА КУЋА

АТОС www.atos.co.yu Крагујевац Владимира Булатовића Виба 8 Поштански фах 163 e-mail: [email protected] Тел/факс: (034) 30 20 90; 30 20 92 За издавача Владимир Тодоровић, оснивач Уредник Драган Којовић Ликовно-графичко уређење и дизајн Нела Таталовић Илустратор Биљана Миросављевић Лектор Невенка Витковић-Милојевић Тираж 2 000 примерака Штампа Колор Прес, Лапово Министар просвете и спорта Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника у четвртом разреду основне школе решењем број: 650-02-00098/2007-06, од 23. 03. 2007. године.

разред

4. Драга децо, Пред вама су још две књиге предмета математика и то за ову годину, сличне онима које сте имали у претходним разредима. Математику ви често зовете МАТИШ. Настава тог предмета из ове две књиге ће наставити да вам открива “фазоне” којима ћете лакше учити математику и/или МАТИШ. Нашу помоћ, дакле, помоћ уџбеника математике, ћете користити тако што ћете најпре, на почетку сваке стране, на неком задатку, научити одређено правило, а затим проверити како се исто правило примењује на новим задацима. Остале задатке на истој страни треба самостално да решите примењујући сличне поступке као у решеним примерима. Решења и одговоре на питања уписујете на линијама које смо вам оставили, односно у слободне и празне површи. Ако за неки одговор немате довољно простора, забележите га у својој свесци. Решене задатке не треба да памтите, већ је потребно да уочите уз које правило се они решавају. На новим задацима које самостално решавате, примењујте већ стечена знања и настојте да откријете што више нових поступака и правила са бројевима и њиховим операцијама. Тамо где је потребно упамтити - правило, закључак, обавештење - побринули смо се да буду уоквирени или посебно истакнути. Посебни “фазони” вас очекују у геометрији. Није било могуће да се нађе “краљевски пут” у геометрију, али су понуђени поступци да можете да је учите играјући се : уочавањем, сечењем, премештањем, бојењем, попуњавањем. Кренимо, другари, у освајање нових знања из математике.

Аутори

3

предговор Овим уџбеником математике она се учи самосталним радом ученика. Зато све што треба да се упише, уписује се у простор који је за то намењен. Уџбеник садржи велики број задатака и питања. Ученик треба да покуша самостално да реши сваки задатак. Након решавања групе сличних задатака, може се извести закључак. Ако неки задатак, после више покушаја, ученик не може самостално да реши, тек онда га решава уз помоћ других ученика или учитељице.

Аутори

4

4.

КВАДАР И КОЦКА. Рогљаста и обла тела ................................................................................................................ Својства квадра .................................................................................................................................................................. Својства коцке .................................................................................................................................................................. Елементи квадра и коцке .............................................................................................................................................. Мрежа за модел квадра и коцке ................................................................................................................................ Мрежа и модел квадра и коцке ................................................................................................................................ Површина коцке .............................................................................................................................................................. Површина квадра ............................................................................................................................................................. Израчунавање површине квадра и коцке ............................................................................................................ Примена израчунавања површине квадра и коцке ......................................................................................... МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ - I ДЕО. Појам множења и дељења ............................................................................. Веза множења и дељења .............................................................................................................................................. Улога нуле и јединице у операцијама множења и дељења .......................................................................... Нула и јединица у множењу и дељењу ................................................................................................................... Множење природног броја декадном јединицом ........................................................................................... Дељење декадном јединицом ................................................................................................................................... Множење и дељење природних бројева декадном јединицом ................................................................ Множење збира и разлике .......................................................................................................................................... Множење вишецифреног броја једноцифреним бројем .............................................................................. Множење вишецифреног броја једноцифреним бројем .............................................................................. Примена израчунавања површине квадра и коцке ......................................................................................... Дељење збира и разлике .............................................................................................................................................. Дељење вишецифреног броја једноцифреним бројем .................................................................................. Дељење вишецифреног броја једноцифреним делиоцем ........................................................................... Множење вишецифреног броја двоцифреним бројем .................................................................................. Множење вишецифреног броја двоцифреним бројем .................................................................................. Дељење вишецифреног броја двоцифреним бројем ..................................................................................... Дељење вишецифреног броја двоцифреним делиоцем ............................................................................... Множење вишецифреног броја вишецифреним бројем ............................................................................... Множење вишецифреног броја вишецифреним бројем ............................................................................... Дељење вишецифреног броја вишецифреним бројем .................................................................................. Дељење вишецифреног броја вишецифреним бројем .................................................................................. Неке олакшице у множењу .......................................................................................................................................... Множење и дељење - разни задаци ......................................................................................................................... МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ - II ДЕО. Изводљивост множења у скупу N .............................................................. Замена места чинилаца ................................................................................................................................................. Здруживање чинилаца .................................................................................................................................................. Замена места и здруживање чинилаца ................................................................................................................. Множење збира и разлике .......................................................................................................................................... Својства множења ........................................................................................................................................................... Зависност производа од промене чинилаца ..................................................................................................... Зависност производа од промене чинилаца ..................................................................................................... Својства множења .......................................................................................................................................................... Зависност количника од промене дељеника и делиоца ........................................................................... Зависност количника од промене дељеника и делиоца ........................................................................... Редослед рачунских операција ................................................................................................................................ Решавање једначина са множењем и дељењем .............................................................................................. Једначине са множењем и дељењем ....................................................................................................................

разред

САДРЖАЈ

7 9 11 12 13 15 16 17 18 19 20 22 23 24 25 27 29 31 33 34 35 36 38 39 41 43 45 47 48 50 51 53 54 56 58 60 61 62 63 64 65 67 68 69 71 72 74 78 5

садржај Решавање неједначина са множењем ................................................................................................................... 79 Неједначине са множењем и дељењем ................................................................................................................ 81 Решавање једначина и неједначина ........................................................................................................................ 82 Задаци са множењем и дељењем ............................................................................................................................ 86 МАТЕМАТИЧКИ ИЗРАЗИ. Прости и сложени изрази ............................................................................................... 88 Вредност сложеног израза ................................................................................................................................................. 89 Решавање задатака помоћу израза ................................................................................................................................ 90 Математички изрази .............................................................................................................................................................. 92 РАЗЛОМЦИ. Писање и читање разломака .................................................................................................................... 96 Упоређивање разломака ..................................................................................................................................................... 98 Разломци .................................................................................................................................................................................... 102 Oбнављање градива IV разреда ...................................................................................................................................... 104 Задаци за младе математичаре ...................................................................................................................................... 107 Преглед неких важнијих јединица ................................................................................................................................ 111 Преглед назива својстава и правила у појединим рачунским радњама ..................................................... 112

6

4.

разред

КВАДАР И КОЦКА РОГЉАСТА И ОБЛА ТЕЛА

Предмети из наше околине имају различите облике. На слици су приказани предмети облика лопте, ваљка, купе, коцке, квадра и пирамиде.

Именуј сваки од ових предмета и кажи какав има облик. Неки предмети, на пример ормари, сандуци и други, имају облик квадра. Неки имају облик коцке. Кровови кућа и њима слични предмети имају облик пирамиде.

КВАДАР

КОЦКА

ПИРАМИДА

Геометријска својства тела проучавамо на неким стварним телима (од картона, дрвета, гипса, жице итд.). Таква се тела називају модели геометријских тела. Свако од ова три тела: квадар, коцка и пирамида, ограничено је само равним површима. Те површи се називају стране тела, па кажемо да су има све стране равне. Ова тела називају се рогљаста тела (учићемо касније шта је то рогаљ). Стога кажемо: Тела ограничена само равним површима називају се рогљаста тела.

7

уџбеник ВАЉАК

КУПА

ЛОПТА

Ваљак је ограничен са две равне и једном кривом површи, купа једном равном и једном кривом, а лопта само једном кривом површи. Ова тела се називају обла тела. Према томе, можемо рећи: Тела ограничена кривим, или кривим и равним површима, називају се обла тела.

1.

Посматрај слику, па реци шта показује свака стрелица.

Која геометријска тела су ограничена: а) само равним површима; б) само једном кривом површи; в) равним и кривим површима?

2.

Какве површи запажаш: а) на рогљастим телима б) на облим телима

8

разред

4.

СВОЈСТВА КВАДРА На слици су приказани разноврсни предмети из наше околине: ормар, шибица, радио-апарат и картонска кутија.

Лако можете уочити да су сви ови предмети истог облика - облика квадра. На слици је приказан квадар чија су темена означена словима па га можемо именовати квадар АBCDEFGH. Његове стране обележене су бројевима 1, 2, 3, 4, 5 и 6. теме H G

5

4 1 D

3 6

F

2

C

ивица страна

висина

E

а

н ри

ши А B дужина Стави испред себе модел квадра (на пример кутију шибица) и означи његове стране бројевима. Непосредно посматрање модела помоћи ће ти да лакше упознаш својства квадра. Квадар је ограничен са 6 страна. Његове стране су правоугаоници означени са 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Сваке две наспрамне стране квадра су подударне, а по међусобном положају оне су паралелне. Паралелни су следећи парови наспрамних страна квадра: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6. Дужи које ограничавају стране квадра називају се ивице. Квадар има 12 ивица. Оне се могу разврстати у три групе по 4 ивице које су међусобно паралелне и једнаке по дужини, што се може записати: а) |АD| = |BC| = |EH| = |FG|. б) |AB|=|DC|=|EF|=|HG|. в) |АЕ|=|DH|=|BF|=|CG|. Квадар има 8 темена. Из сваког темена полазе по 3 различите ивице. Тако се у темену B састају ивице: АB, BC и BF. Три ивице које полазе из истог темена представљају три димензије квадра: дужину, ширину и висину. 9

уџбеник

S

1.

На слици је приказан квадар. Напиши:

M

а) горњу и десну страну квадра; б) ивице које су једнаке ивици АМ;

P D

в) темена која припадају задњој страни; г) ивице које ограничавају предњу страну;

C

A

д) страну која је једнака страни АBPМ.

2.

R

B 3 cm

Од жице је направљен модел квадра. Колико је жице утрошено за тај модел?

5 cm

3.

Одреди збир дужина ивица стране ABCD и њој наспрамне стране.

12 cm

H

E

G F

D

5 cm

C 2 cm

4.

5.

A 4 cm Квадар има ивице дужине 4 dm, 5 dm и 10 dm. Ако сваку ивицу повећамо за 2 dm колико ће онда износити збир дужина свих ивица квадра?

За колико је збир дужина ивица првог квадра већи од збира дужина ивица другог? 7 cm 2 cm

3 cm

4 cm 2 cm 10

B

4 cm

разред

4.

СВОЈСТВА КОЦКЕ

Коцка је квадар чије су све стране подударни квадрати. Све ивице коцке су једнаке. Према томе, квадар и коцку можемо описати на следећи начин.

a

Квадар је рогљасто тело ограничено са 6 правоугаоника, а кад су базе квадрати, са 2 квадрата и 4 правоугаоника. Коцка је геометријско тело ограничено са 6 квадрата. a a H 1.

G

Наведи све ивице ове коцке: E

F

Коцка има темена и то су: Стране које имају заједничку ивицу EF су: и

.

D

A 2.

3.

C

B

Колико различитих квадара можеш да саставиш од ових коцки тако да их све користиш.

Ивица коцке је 8 dm. Израчунај збир дужина свих ивица те коцке. B

4.

Мрав се креће по ивицама коцке од темена А задатом путањом до темена B. а) Колико центиметара је дугачка путања којом се креће мрав ако је ивица коцке 2 dm 5 cm? б) Колико још има ивица коцке које га могу довести до темена B? Те ивице обој различитим бојама. A 11

ЕЛЕМЕНТИ КВАДРА И КОЦКЕ

Напиши на линијама називе геометријског тела ограниченог са:

1.

а) 6 правоугаоника

;

б) 6 квадрата

;

в) 2 квадрата и 4 правоугаоника

.

Посматрај квадар на слици, па напиши: а) парове наспрамних (једнаких) страна квадра;

2.

H Колико има ових парова?

E

б) четворке ивица једнаких дужина. Колико се четворки са једнаким ивицама добило?

G F

D

C

A

B

3.

Дужине три ивице из истог темена квадра су редом: 4 cm, 5 cm и 6 cm. Нацртај у свесци тај квадар и одреди колика је укупна дужина свих његових ивица.

4.

Колико ће бити потребно канапа за везивање пошиљке као на слици? На крајеве за црвени печат одлази 20 cm. 20 cm

20 cm

cm

Користећи знаке за нормалност ( ⊥ ) и паралелност ( II ) упиши у таблицу у каквом су односу ивице нацртаног квадра. AB BC BF FG EF AE

5.

H E

G

AB BC

F

BF FG D A 12

20

C B

EF AE

разред

4.

МРЕЖА ЗА МОДЕЛ КВАДРА И КОЦКЕ

На следећој слици приказан је модел квадра. Замисли да је он израђен од хартије или картона.

Ако пресечеш модел квадра дуж ивица можеш га отворити и положити свих шест страна на равну површ стола.

Тако је добијена МРЕЖА КВАДРА. На следећој слици приказана је мрежа квадра чије су дужине ивица из истог темена редом: 39 mm, 21 mm и 13 mm.

5 4 6 1

5

3

2

3 4

6

2

1

Можеш поступити и обратно: на јачој хартији или картону нацртај мрежу квадра, па хартију савиј дуж испрекиданих линија и састави модел квадра. На сличан начин можеш добити МРЕЖУ КОЦКЕ. Ако на јачој хартији или картону нацрташ мрежу коцке и картон савијеш дуж испрекиданих линија, можеш лако саставити модел коцке.

13

уџбеник 1.

Нацртај у свесци мрежу квадра чије дужине ивица износе 3 cm, 4 cm, 6 cm.

2.

Нацртај мрежу коцке чија дужина ивице износи 35 mm.

3.

Направи модел коцке чија је дужина ивице 1 dm.

4.

Направи модел квадра чије су дужине ивица 7 cm, 5 cm и 3 cm.

5.

Да ли можеш од ове фигуре склопити модел квадра? Правоугаонике, односно квадрате који су подударни, обој истом бојом. Колико ти је различитих боја потребно? Обој и ивице једнаких дужина истом бојом. Колико ти је потребно различитих боја?

6.

7.

8.

Из темена А нацртане су три ивице квадра. Нацртај квадар коме припадају теме А и три нацртане ивице.

A Да ли можеш од сваке приказане фигуре да склопиш модел коцке? Фигуру од које се може склопити коцка, нацртај на картону, исеци је и савиј тако да добијеш модел коцке.

Свака страна на моделу коцке означена је једним словом. Напиши одговарајућа слова на мрежи површи коцке. D L V

G 14

H

R

G

R

D V

МРЕЖА И МОДЕЛ КВАДРА И КОЦКЕ 1.

2.

Нацртај мрежу површи квадра чије су дужине ивица 4 cm 5 mm, 2 cm, 1 cm 5 mm.

Све ивице ових фигура које су једнаких дужина обој истом бојом. Колико ти је потребно различитих боја за сваку фигуру?

Подударне стране обој истом бојом. Колико је различитих боја потребно за сваку фигуру?

3.

4.

5.

6.

7.

Замисли да су ти дали две карте чије су дужине ивица 15 cm и 10 cm и две карте чије су дужине ивица 10 cm и 5 cm. Које још карте мораш исећи да би саставио модел квадра?

Модел коцке од дрвета, чија је ивица 6 cm, пресечен је тако да су од њега добијена два једнака модела квадра. Колике су димензије ових квадара?

Модел квадра има за основу квадрат. Колика треба да му буде ивица која представља висину модела да би се од њега могла добити два модела коцке?

Колика ће бити ивица коцке чији се модел може направити од жице дужине 72 cm?

Колико је потребно центиметара жице да се направи модел квадра ако су дужине његових ивица прва три броја друге десетице, који нису дељиви ни са 2 ни са 3?

15

уџбеник

ПОВРШИНА КОЦКЕ 3 Посматрањем уочавате да се мрежа коцке састоји из површи 6 подударних квадрата чије су странице једнаке ивицама коцке. Означимо са P1 површину једног квадрата. Тада имамо да је:

a

4 a

5

2

6

1

P1 = а · а или, краће: P1 = а2. Пошто се коцка састоји од 6 подударних квадрата, њену површину добијамо кад површину једног квадрата повећамо 6 пута:

P = 6 · P1 = 6 · а · а = 6 · а2, па је: P = 6 а2

1.

2.

Израчунај површину коцке ако је њена ивица а = 15 dm.

Збир дужина свих ивица једне коцке је 48 cm. а) Израчунај површину те коцке. б) Нацртај мрежу коцке.

3.

4.

5.

16

Ако се стране једне коцке положе у раван једна до друге, добија се правоугаоник дужине 60 cm. Колика је површина те коцке?

Површина коцке је 54 m2. Одреди њену ивицу.

Купатило облика коцке странице 2 m треба поплочати керамичким плочицама чије су димензије 20 cm и 10 cm. Колико је плочица потребно?

разред

4.

ПОВРШИНА КВАДРА 4 На слици се види да се мрежа квадра састоји из површи 6 правоугаоника, од којих су по два наспрамна подударна. На приказаној мрежи подударни су правоугаоници означени бројевима: 1 и 3; 2 и 4; 5 и 6. Означимо са P1 површину правоугаоника 2, односно правоугаоника 4, са P2 површину правоугаоника 5, односно правоугаоника 6, и са P3 површину правоугаоника 1, односно правоугаоника 3. Значи да је: P1 = а · b; P2 = а · c; P3 = b · c. Површина целог квадра је: P = 2 · P1 + 2 · P2 + 2 · P3, односно:

c

5

3

c

b

6

1

2

P = 2 · а · b + 2 · а · c + 2 · b · c или P = 2 · ( а · b + а · c + b · c )

Израчунај површину квадра ако су његове ивице: а = 5 dm, b = 3 dm, c = 2 dm. P=2 · ( 5 · 3 + 5 · 2 + 3 · 2 ) dm2 = 2 · 31 dm2 = 62 dm2 1.

Израчунај површину квадра ако су његове ивице: а = 8 cm, b = 4 cm и c = 1dm.

2.

Колико је квадратних дециметара картона потребно да би се направила кутија облика квадра дужине 30 cm, ширине 20 cm и висине 25 cm?

3.

Сандук дужине 1 m 2 cm, ширине 80 cm и висине 40 cm обложен је споља са свих страна лимом. Колико је лима употребљено ако се не рачунају отпаци?

4.

Збир дужина свих ивица једног квадра износи 56 cm. Колика је површина квадра ако је дужина 6 cm а ширина 5 cm?

5.

Површина квадра, чија је основа квадрат, износи 80 dm2. Ивица његове основе је 4 dm. Одреди висину квадра.

17

ИЗРАЧУНАВАЊЕ ПОВРШИНЕ КВАДРА И КОЦКЕ 1.

Површина коцке је 20 dm2 13 cm2 42 mm2. Колика је површина једне стране коцке?

2.

Збир дужина свих ивица једног квадра износи 88 cm. Колика је његова површина ако је дужина 6 cm, а ширина 5 cm?

Која је од три приказане коцке развијена у мрежу? 6

3.

2

1

2 2

1

3

2

1

3

3

3

1

4.

Димензије квадра су 3 m, 6 m и 9 m. За колико је његова површина већа од површине коцке ивице 3 m?

5.

Основа квадра је квадрат странице 3 cm. Одреди висину квадра ако је његова површина 138 cm2.

6.

18

Површина коцке је 54 m2. Одреди њену висину.

7.

Одреди површину квадра чија је површина свих бочних страна 450 cm2, а ивице основе су му 40 mm и 50 mm.

8.

Ако све бочне стране једне коцке положимо у раван, једну до друге, добијамо правоугаоник дужине 40 cm. Колика је површина те коцке?

5

4

ПРИМЕНА ИЗРАЧУНАВАЊА ПОВРШИНЕ КВАДРА И КОЦКЕ 1.

Базен облика квадра димензија 40 m, 20 m и 3 m треба поплочати керамичким плочицама чије су димензије 20 cm и 10 cm. Колико је плочица потребно?

2.

Дужина књиге је 24 cm, ширина 20 cm и дебљина 8 cm. Колико је потребно картона за корице ове књиге?

3.

4.

5.

6.

Од картона треба направити 10 кутија облика коцке са поклопцем. Ивица сваке кутије је 50 cm. Колико ће картона бити потребно? (За отпатке се рачуна по свакој кутији 10 cm2).

Колико је лима потребно за отворену посуду облика коцке чија је ивица 4 dm?

Колика је површина зида за кречење у једној дворани која има облик квадра, дужине 12 m, ширине 8 m и висине 50 dm, ако има на једном зиду три једнака прозора дужине 2 m и висине 25 dm, а на другом зиду врата квадратног облика странице 28 dm?

Квадар чија је дужина 4 cm, ширина 3 cm и висина 2 cm обојен је са свих страна црвеном бојом и подељен на квадратне центиметре. Колико се добило коцки чија је: а) једна страна обојена црвеном бојом; б) две стране обојене црвеном бојом; в) три стране обојене црвеном бојом? а) б) в) 19

уџбеник

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ - I ДЕО ПОЈАМ МНОЖЕЊА И ДЕЉЕЊА Да бисмо одредили површину правоугаоника страница дужине 5 cm и ширине 11 cm, разделићемо га на пет хоризонталних редова. Површина сваког хоризонталног реда једнака је 11 cm2. Значи, површина целог правоугаоника једнака је 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 55 (cm2). Површину тог правоугаоника можемо израчунати и операцијом множења. Биће:

7

11

5 · 11 = 55. Израз 5 · 11 називамо производ бројева 5 и 11, а ти бројеви називају се чиниоци. Збир од а једнаких сабирака, од којих је сваки једнак b називамо производ бројева а и b и означавамо га а · b. Ако знамо површину правоугаоника (55 cm2) и дужину његове странице, на пример 11 cm, дужину друге странице одређујемо дељењем: 55 : 11 = 5. Поделити 55 са 11 значи одредити такав број x који множењем са 11 даје 55. Поделити број а бројем b значи израчунати такав број x који множењем бројем b даје број а. Пишемо:

а : b = x, јер је x · b = а.

Број x назива се количник броја а и броја b, број а дељеник, а број b делилац, па пишемо: x = а : b. 9 · 65 је производ бројева 9 и 65

585 : 9 је количник бројева 585 и 9

9 · 65 = 585 чиниоци производ

585 : 9 = 65 дељеник делилац количник ·9 65

585 :9

1.

20

Представи у облику производа следеће збирове: а) 9 + 9 + 9 + 9 + 9

;

б) 45 + 45 + 45 + 45 + 45 + 45

;

в) 125 + 125 + 125 + 125

.

2.

3.

а) 5 · 34

;

б) 3 · 100

;

в) 4 · 4

;

г) 4 · 0

;

д) 8 · 56

;

ђ) 17 · 1

.

Попуни празна поља: ·6 ·8 :8 ·7

б) 12

·7

в) 720 ·9

480

:9 ·4

560

:8

г) 600 :4

99

·4 : 15

64

·3 :7

50

12 30

x∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Попуни табелу: а

b

a·b

54

a:b

324

318

3 4

47

Израчунај па обој квадрат са тачним резултатом. а) 133 · 3 = 366

7.

:3

80

б) 8 · x < 48

x∈{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

6.

:5

У сваком од примера заокружи бројеве из скупа који су решења датих неједначина. а) x · 3 > 6

5.

разред

Напиши производе у облику збира једнаких сабирака:

а) 90

4.

4.

; 399

199

б) 109 · 6 = 606

; 694

в) 214 · 4 =

654

896

; 856

848

Дељеник је једнак разлици бројева 4 317 и 3 365, а делилац је највећи парни једноцифрени број. Израчунај количник.

21

ВЕЗА МНОЖЕЊА И ДЕЉЕЊА У трећем разреду смо научили да су множење и дељење узајамно супротне рачунске операције. ·2

·4

440

832 :2

1.

2.

3.

:4

Израчунај производе, а затим провери дељењем: 84 · 7 =

јер је

175 · 5 =

јер је

446 · 2 =

јер је

324 · 3 =

јер је

Уочи везу множења и дељења, па повежи парове: 86 · 9 =

4 · 239 =

956 : 4 =

828 : 3 =

3 · 276 =

218 · 4 =

224 · 3 =

774 : 9 =

872 : 4 =

672 : 3 =

Од датих бројева састави тачне једнакости тако да у свакој користиш рачунску операцију множење или дељење. 990, 198 и 5

4.

·

=

·

=

:

=

:

=

8, 608 и 76

296, 3 и 888

7, 952 и 136

Половину броја 364 увећај 4 пута. Провери тачност решења.

364

5.

22

Реши једначине: 5 · x = 735

x · 7 = 651

x : 4 = 219

792 : x = 9

x=

x=

x=

x=

1.

2.

разред

4.

УЛОГА НУЛЕ И ЈЕДИНИЦЕ У ОПЕРАЦИЈАМА МНОЖЕЊА И ДЕЉЕЊА Записаћемо збирове у облику производа: а) пет сабирака, од којих је сваки једнак 1; б) три сабирка, од којих је сваки једнак 0. а) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 · 1 = 5; б) 0 + 0 + 0 = 3 · 0 = 0. Напиши у облику производа: а) 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1= б) 0+0+0+0+0+0= 3.

4.

Израчунај вредности датих израза и упиши на линијама. а) 6 · 1;

б) 1 · 6;

6.

7.

8.

г) 0 · 6;

д) 1 · 1;

ђ) 100 · 1.

Попуни празна поља тако да једнакости буду истините: а)

· 17 = 17

б)

· 25 = 0 5.

в) 6 · 0;

· 37 = 37 80 ·

б) 1 ·

= 12

=0

·1=0

Ниједан број се не дели нулом. Ако бисмо хтели делити, на пример, 6 са 0, то значи да би требало наћи број x такав да је 0 · x = 6. За било коју вредност x производ 0 · x једнако је нула, а не 6. Нула не може бити делилац, па кажемо да нулом нема смисла делити. Одреди вредност израза: а) 0 : 27 =

б) 17 : 1 =

в) 0 : 100=

г) 85 : 1 =

д) 1 : 1 =

ђ) 5 000 : 1 =

е) 10 : 10 =

ж) 0 : 700 =

Попуни празна поља тако да образоване једнакости буду истините: а) 8 :

=1

б) 34 :

=1

:8=0

0:

=0

в) 25 :

: 1= 19 =1

За какво значење променљивих су истините вредности? а) 25 : x = 25, x =

б) 1: x = 1, x =

в) y : 14 = 1, x =

г) m : 5 = 0, x =

Када је један од чинилаца 1, онда је производ једнак другом чиниоцу. Ако је један од чинилаца нула, онда је производ такође нула. Ако је дељеник нула, онда је и количник нула. Ако је делилац један, онда је количник једнак дељенику. 23

НУЛА И ЈЕДИНИЦА У МНОЖЕЊУ И ДЕЉЕЊУ 1.

2.

Израчунај производ па закључи чему је једнак производ било ког природног броја и нуле. 7·0=

0 · 17 =

2 782 · 0 =

0 · 2 · 105 =

Израчунај: 0 : 15 = 0,

, јер је 0 · 15 = 0

0 : 475 =

, јер је

0 : 25 006 =

, јер је

Чему је једнак количник нуле и било ког природног броја?

3.

4.

5.

Реши једначине: а) 32 756 - (10 459 - 10 478) · x = 32 756

;

б) 123 297 + (3 840 - 5 670) · x = 123 297

;

в) (4 870 + 2 530) · x + (9 786 - 8 967) · x = 0

.

Израчунај: 2 · 3 · 967 · 0 · 42 565 =

;

738 · 2 · 425 · 0 · 7 =

;

(25 · 385 · 0) : 28 =

;

Образложи резултат.

.

Попуни таблицу: ·

15

356

289

11 503

326 502

1 Закључи чему је једнак производ било ког природног броја и броја 1.

6.

Израчунај за које се вредности променљивих добијају истините једнакости: а) 3 235 : x = 3 235 б) x : 2 876 = 1

24

; ;

в) 1 : y = 1 г) y : 2 356 = 0

; .

1.

4.

разред

МНОЖЕЊЕ ПРИРОДНОГ БРОЈА ДЕКАДНОМ ЈЕДИНИЦОМ Израчунај: 5 · 10 = 5 Д = 50 23 · 10 = 23 Д = 230

Број се множи са 10 тако што му се здесна допише нула.

123 · 10 = 1 123 · 10 = 2.

Израчунај: 5 · 100 = 5 С = 500 23 · 100 = 23 С= 2 300

Број се множи са 100 тако што му се здесна допишу две нуле.

123 · 100 =

3.

1 123 · 100 = Израчунај: 5 · 1 000 = 5Х = 5 000 23 · 1 000 = 23Х = 23 000 Број се множи са 1 000 тако што му се здесна допишу три нуле.

123 · 1 000 = 1 123 · 1 000 = 4.

Израчунај: 5 · 10 000 = 50 000 23 · 10 000 = Број се множи са 10 000 тако што му се здесна допишу четири нуле.

123 · 10 000 = 1 123 · 10 000 =

5.

Израчунај: 5 · 100 000 = 23 · 100 000 = Природни број се множи неком декадном јединицом тако што му се здесна допише онолико нула колико их има та декадна јединица.

123 · 10 000 000 =

6.

Израчунај: 36 · 1 000 000 = 529 · 10 000 000 = 848 · 1 000 000 000 =

7.

3m=

cm;

15 km =

m;

174 kg

g;

16 hl =

l;

36 kg =

g;

286 t =

kg. 25

уџбеник 8.

Израчунај: 360 · 10 =

;

6 284 · 10 000 = 9.

11.

1 000 · 100 000 =

;

1 000 · 1 000 000 =

;

3·

6·

= 60 000;

53 ·

= 300 000;

7·

= 5 300 000;

= 48 000 000; 253 ·

= 70 000;

70 ·

= 25 300 000;

= 700 000;

700 ·

= 7 000 000;

На стовариште је једног дана довежено 125 t угља, а сутрадан 95 t. Колико је килограма угља довежено за ова два дана? Израчунај: а) 825 mm · 10 =

mm =

cm;

6 830 cm · 10 =

cm =

dm;

б) 275 dm · 10 = 600 m · 10 =

cm2;

г) 275 m2 · 100 =

6 830 cm2 · 100 =

cm2 =

dm2;

600 a · 100 =

д) 825 mg · 1 000 =

mg =

g;

g=

kg;

dm=

m;

m=

mm2 =

ђ) 275 kg · 1 000 = 600 kg · 1 000 =

km;

m2 =

a;

a=

hа;

kg =

t;

t.

Израчунај: а) 6 203 · 10 =

;

300 300 · 101 =

26

;

= 6 000;

6 830 g · 1 000 =

13.

3 620 · 1 000 =

6·

в) 825 mm2 · 100=

12.

;

Упиши други чинилац:

48 ·

10.

;

268 · 100 =

;

б) 7 504 · 100 =

;

в) 830 005 · 1 000 =

7 504 · 102 =

;

830 005 · 103 =

Упиши у таблицу производе датих бројева са 10, 100 и 1 000. 5 328

629

285

35

3 245

538

28

7

1 000

435

65

4

· 10

· 100

· 1 000

; ;

1.

Делилац је број 10. Израчунај:

2.

80 : 10 = 8, јер је 8 · 10 = 80

3.

Делилац је број 100. Израчунај: 400 : 100 = 4, јер је 4 · 100 = 400

800 : 10 = 80, јер је 80 · 10 = 800

4 600 : 100 = 46, јер је

850 : 10 =

14 000 : 100 =

1 000 : 10 =

14 000 : 100 =

130 000 : 10 =

4.

разред

ДЕЉЕЊЕ ДЕКАДНОМ ЈЕДИНИЦОМ

=

520 000 : 100 =

Делилац је број 1 000. Израчунај:

4.

8 000:1 000 = 8, јер је 8·1 000=8 000

Делилац је број 10 000. Израчунај: 90 000 : 10 000 =

18 000 : 1 000 =

390 000 : 10 000 =

20 000 : 1 000 =

300 000 : 10 000 =

1 200 000 : 1 000 =

1 000 000 : 10 000 =

Решавањем ових задатака уочили сте следеће: Број који се завршава нулама дели се неком декадном јединицом тако што му се изостави онолико нула колико нула има та декадна јединица.

5.

6.

7.

8.

9.

Изрази дециметре у метрима: 60 dm =

m;

700 dm =

m;

920 dm =

m.

501 000 l =

hl.

m; 200 000 mm =

m.

Изрази у хектолитрима: 3 600 l =

hl;

24 000 l =

hl;

Умањи сто пута следеће бројеве: 100 =

190 000 =

11 000 =

201 000 =

Изрази у метрима: 2 000 mm =

m; 31 000 mm =

Изрази у хектарима: 350 000 m2 = 83 000 000 dm2 =

hа;

625 000 а =

hа;

hа. 27

уџбеник 10.

11.

12.

Умањи хиљаду пута следеће бројеве: 1 000 =

;

13 000 =

;

1 010 000 =

;

7 000 =

;

60 000 =

;

2 000 000 =

.

Реши једначине и провери тачност решења: 100 · x = 1 800;

1 000 · а = 340 000;

10 000 · m = 3 260 000;

x=

а=

m=

x=

а=

m=

100 = 3 400 : x;

3 040 000 : x = 1 000;

10 000 = 578 040 000 : х

x=

х=

х=

x=

х=

х=

Израчунај: а) 62 500 mm : 10 = 32 400 cm : 10 = в) 59 000 mm2 : 100 =

kg;

г) 82 000 m2 : 100 = 600 000 а : 100 =

m km; a hа;

ђ) 1 000 000 kg : 1 000 =

t

1 000 000 ml : 1 000 =

l.

Израчунај: а) 54 900 : 10 =

б) 36 000 : 100 =

54 900 : 101 =

28

30 000 m : 1000 =

g

5 400 000 g : 1000 =

15.

dm;

dm2;

д) 3 560 000 mg : 10 =

14.

б) 203 500 dm : 10 =

cm2

3 054 000 cm2 : 100 =

13.

cm

;

в) 456 000 : 1 000 =

36 000 : 102 =

;

456 000 : 103 =

Одреди количнике датих бројева и бројева 10, 100 и 1 000 па их упиши у таблицу. 340

8 750

200

4 700

81 400

4 000

15 000

3 000

29 000

: 10

: 100

: 1 000

Колико би метара била дебела књига која би имала 10 000 000 листова, ако би 100 листова било дебело 1 cm?

.

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА ДЕКАДНОМ ЈЕДИНИЦОМ 1.

2.

3.

4.

Одреди број који је толико пута већи од 739 колико пута је број 2 000 већи од 20.

Број 876 је стоти део неког броја. Који је то број?

Одреди број који је од 800 000 мањи толико пута колико је пута број 9 мањи од 72.

Израчунај: а) збир производа 2 481 · 10 и производа 30 000 · 100; б) разлику количника 58 030 : 10 и количника 34 100 : 100; в) разлику количника 12 000 : 120 и производа 10 · 0; г) збир производа 3 701 · 100 и количника 39 100 : 10.

5.

Упиши у празна поља потребне бројеве тако да важе успостављени односи. :

> 8 400

:

>

·5

>

>

·

·

:2

: 10

>

>

>

>

4 200

700

·

·8

Упиши у празне кружиће потребне бројеве тако да успостављени односи буду истинити.

54

>

540

8 600

>

860

>

>

6.

> 580

1 400

>

16 800

:

>

>

9

>

5 400

>

86

>

> 18

86 000

> 1 800

43 000

>

430

29

7.

Брзина светлости је 300 000 km у секунди. Колика је удаљеност Сунца од Земље кад светлост пређе ту удаљеност за 500 секунди? Одговор:

8.

Колико је времена потребно да се напише милион цифара, ако се у току сваког минута испише по 100 цифара? Одговор:

9.

Колико откуцаја учини човеково срце за 15 година, ако у току једне године учини просечно 40 000 000 откуцаја? Одговор:

10.

Једна врста птице улови просечно по 100 гусеница за 1 час. Колико би 10 оваквих птица могло да улови гусеница за 100 дана, ако би их ловиле по 10 часова на дан? Одговор:

11.

Колико је вагона потребно да се превезе 1 000 000 kg пшенице, ако у један вагон стане 10 000 kg пшенице? Одговор:

12.

Колико корака би требало да направи робот конструисан да пређе 240 000 m, ако би дужина његовог корака била 80 cm? Одговор:

13.

Да ли су тачне једнакости: а) (74 000 : 10) : 10 = 74 000 : (10 · 10); б) ( 6 200 000 : 100) : 100 = 6 200 000 : (100 · 100); в) (9 000 000 000 : 1 000) : 1 000 = 9 000 000 000 : 1 000 000?

30

разред

4.

МНОЖЕЊЕ ЗБИРА И РАЗЛИКЕ Множење збира и разлике бројем применили смо већ код одређивања производа двоцифреног и једноцифреног броја, на пример: 94 · 7 = (90 + 4) · 7 = 90 · 7 + 4 · 7

94 · 7 = (100 - 6) · 7 = 100 · 7 - 6 · 7

=

=

= На датој слици уочи множење збира бројем.

(5+3)·4

=

5 ·4

5 ·4+3·4

3 ·4

(5+3)·4=5·4+3·4 Одредимо производ (9+14) · 5 на оба начина посматрајући на бројевним тракама:

1

2

3

4

5

6

7

8

9 + 14

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ·5

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100105110 115120 9 · 5 + 14 · 5 Израчунајмо: (220 - 187) · 5 Први начин: (220 - 187) · 5 = 33 · 5 = Други начин: (220 - 187) · 5 = 220 · 5 - 187 · 5 = Представимо множење збира бројем помоћу површине правоугаоника страница а + b, c.

c

a·c

b·c

a

(a+b)·c=a·c+b·c

b a+b 31

уџбеник Уочили сте на примерима особине множења збира бројем, односно множења разлике бројем. Ове особине важе за било које природне бројеве. Множење збира бројем записаћемо овако: ( а + b ) · c = а · c + b · c . Множење разлике бројем записаћемо овако: ( а - b ) · c = а · c - b · c . Бројеви а, b и c су било који природни бројеви. 1.

2.

Израчунај: 88 · 9 = (80 + 8) · 9 = 80 · 9 + 8 · 9 = 125 · 6 = 313 · 3 = 248 · 4 = Применом множења збира и разлике израчунај на два начина. а) (32 + 19 + 25) · 4 = б) (27 + 38 - 46) · 60 = в) (426 + 28 + 32) · 2 = г) (79 + 275 - 256) · 10 = д) (85 + 56 - 21) · 8 =

3.

4.

32

Најпре напиши у облику производа, па израчунај: а) 10 · 25 + 10 · 18 + 10 · 9 = (25 + 18 + 9) · 10 = б) 125 · 3 + 125 · 4 = в) 46 · 2 + 2 · 37 - 2 · 55 = г) 3 · 160 - 3 · 100 = д) 540 · 9 + 460 · 9 = ђ) 395 · 300 + 395 · 700 = е) 2 597 · 895 - 1 596 · 895 = Упореди дате изразе користећи знаке , =. а) 50 · ( 27 – 20 – 5 )

50 · 27 – 50 · 20 – 50 · 5

б) 41 · ( 15 + 12 – 6 )

41 · 15 + 41 · 12 – 41 · 6

в) ( 510 – 320 – 90 ) · 7

510 · 7 – 320 · 7 – 90 · 7

4.

разред

МНОЖЕЊЕ ВИШЕЦИФРЕНОГ БРОЈА ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ

Вишецифрене бројеве множимо једноцифреним као што троцифрене бројеве множимо једноцифреним. На следећим примерима понови множење троцифреног броја једноцифреним: 234 · 2

324 · 3

234 · 4

Помоћу табеле месних вредности израчунај 1 354 · 7. Х

С

Д

Ј

1 354 · 7 9 478

Ј:7·4=28 Д:7·5+2=37

2 7

1.

2.

3.

4.

5.

6.

3 1

2 5

8

с:7·3+3=24 Х:7·1+2=9

9 4 7 8 Израчунај на краћи начин у свесци. 2 547 · 3

1 385 · 6

20 576 · 9

13 418 · 6

8 109 · 4 250 307 · 9

43 126 · 4 800 295 · 7

37 019 · 8 2 359 065 · 4

За ученике једне школе купљено је 9 дечјих бицикала. Један бицикл кошта 5 420 динара. Колико је плаћено за ове бицикле?

Израчунај површину правоугаоника чије су странице 2 010 mm и 7 mm.

Колико километара прелети авион за 6 часова ако за 1 час прелети 1 080 km?

У фабрици одеће сашивено је 10 235 хаљина, а за сваку хаљину утрошено је по 4 m тканине. Још је сашивено 8 056 хаљина, а за сваку је утрошено 3 m тканине. Колико је метара тканине утрошено за све ове хаљине? Живинарска фарма има 5 645 кокошака, 3 870 патака и 3 400 гусака. За исхрану једне кокошке потребно је 3 kg хране месечно, за једну патку 5 kg, а за једну гуску 4 kg хране месечно. Колико је килограма хране месечно потребно за сву ову живину?

33

МНОЖЕЊЕ ВИШЕЦИФРЕНОГ БРОЈА ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ

1.

Напиши вредност непознате за коју се добија истинита једнакост: а) 31 · b = b

;

г) 15 · n = n · 15

2.

;

;

д) 2 · m = m + 5

в) 21 · c = 21 ;

ђ) d · d = d

Не множећи, стави уместо звездица знак < или знак > тако да образоване неједнакости буду истините. а) 48 · 2 · 3 * 48 · 5;

3.

б) 55 · а = 0

б) 67 · 3 · 4 * 67 · 7;

в) 38 · 9 * 38 · 4 · 5.

Израчунај: 12 365 · 8 + 10 136 · 7 = 24 351 · 5 - 14 728 · 3 = 352 006 · 9 - 307 432 · 8 = 1 035 070 · 6 + 234 056 =

4.

Попуни празна места: ·5

·2

· 10

21 564

5.

6.

7.

34

Ако је 15 873 · 7 = 111 111, напиши одмах (без израчунавања) чему је једнак производ: 15 873 · 14 =

15 873 · 42 =

15 873 · 21 =

15 873 · 49 =

15 873 · 28 =

15 873 · 56 =

15 873 · 35 =

15 873 · 63 =

На основу примера 12 345 679 · 9 = 111 111 111, одмах, не рачунајући, напиши резултате множења: 12 345 679 ·18 =

12 345 679 · 54 =

12 345 679 · 27 =

12 345 679 · 63 =

12 345 679 · 36 =

12 345 679 · 72 =

12 345 679 · 45 =

12 345 679 · 81 =

Звездице замени одговарајућим цифрама: а) 7 * * 5 · 9 66 105

б) * * * * · 7 33 264

в) * * * 4 · 3 22 272

г) 7 * 5 * 9 · 8 6 * 4* 5*

; .

ПРИМЕНА ИЗРАЧУНАВАЊА ПОВРШИНЕ КВАДРА И КОЦКЕ

1.

2.

3.

Уместо звездица упиши потребне бројеве тако да производ буде тачан. **3·7 31*1

314 · * *2*6

6 ** ·6 * ***

* 1* · * *8**

*1*·* 2 4*0

На којој је удаљености ударио гром, ако је од блеска муње до тренутка када се чуо тутањ прошло 8 секунди? (Брзина звука је 340 m у секунди).

Колико се пута повећа неки број ако му се дода три пута већи број?

4.

Требало је један број помножити са 6, али је грешком подељен са 6 и добијен је број 15. Који је број требало да се добије множењем?

5.

За једну десетину секунде Земља крећући се око Сунца пређе 3 km. Колико ће километара Земља прећи: а) за 1 секунду; б) за 1 минут; в) за 1 час?

6.

Брзи воз прелази 220 km на час, а авион 580 km на час. Колико ће километара бити дужи пут који је прелетео авион од пута који је прешао воз после 8 часова вожње?

7.

Фабрика је производила прве седмице по 4 326 чоколада дневно, а друге седмице по 5 034 дневно. Колико је произвела за обе седмице?

35

уџбеник

ДЕЉЕЊЕ ЗБИРА И РАЗЛИКЕ

Одредимо количник бројева: (90 + 72) : 9 (90 – 72) : 9 Одредићемо количник на два начина: а) (90 + 72) : 9 = 162 : 9 = 18 (90 - 72) : 9 = 18 : 9 = 2 б) 90 : 9 + 72 : 9 = 10 + 8 = 18 90 : 9 - 72 : 9 = 10 - 8 = 2. Уочимо да је: (90 + 72) : 9 = 90 : 9 + 72 : 9

(90 - 72) : 9 = 90 : 9 - 72 : 9.

Пази: Сваки сабирак је дељив са 9. Умањеник и умањилац су дељиви са 9. Уочено на овим примерима важи и за друге природне бројеве. Природни бројеви а и b морају бити дељиви са c. (а+b):c=а:c+b:c (а - b):c=а:c - b:c Ово својство дељења користи се да би се у неким задацима олакшало израчунавање, на пример: 396 : 4 = (400 - 4) : 4 = 400 : 4 - 4 - 4 : 4 = 100 - 1 = 99.

1.

Израчунај користећи својства дељења збира и разлике: а) 808 : 8 = (800 + 8) : 8 = 800 : 8 + 8 : 1 = б) 594 : 6 = в) 424 : 4 = г) 891 : 9 =

2.

Израчунај на два начина: а) (425 + 15) : 5 = б) (707 - 49) : 7 = в) (360 - 240) : 10 =

3.

36

Збир бројева 78 и 48 умањи 6 пута. Израчунај на два начина.

Уочи како смо графички представили количник 1 750 : 5.

1 750

4.

1 000

:5

200

700

:5

140

50

:5

10

350

Израчунај на приказани начин. 6 672 : 6 = (6 000 + 600 + 72) : 6 = 7 350 : 7 = 3 060 : 3 = 5 450 : 5 = 9 633: 3 = 3 273 : 3 =

5.

Упореди дате изразе користећи >, , , , 370. Збир броја 15 · x и броја 70 биће већи од 370 само када је први сабирак 15 · x већи од 370 – 70, па ће из претходне неједначине да произађе: 15 · x > 370 – 70 15 · x > 300. Број x не може да добије вредност 20 јер тада 15 · 20 није веће, већ једнако броју 300. Утолико пре број x не може да буде мањи од 20. Значи, решења ове неједначине су сви природни бројеви већи од 20 и они чине скуп: x = { 21, 22, 23, 24, ... }. Ова неједначина има онолико решења колико има природних бројева већих од 20, а то је бесконачно много.

3.

Неки природни број је помножен са 40, па је од тог производа одузето 200, те је добијен природни број већи од 1 000. Записивањем услова овог задатка настаје неједначина: 40 · x – 200 > 1 000. Разлика производа 40 · x и броја 200 већа је од 1 000 само ако је умањеник 40 · x већи од збира разлике и умањиоца 1 000 + 200, па из претходне произлазе следеће неједначине: 40 · x > 1 000 + 200, 40 · x > 1 200. Број x не може да буде ни 30 ни било који број мањи од 30. Према томе, решења ове неједначине су природни бројеви: а скуп свих решења може се записати у облику: x = { 31,

,

,

,

, ... }.

И ова неједначина има бесконачно много решења.

4.

Напиши скуп решења неједначина: а) 14 · x + 30 > 100 б) 10 · b – 80 > 30

80

НЕЈЕДНАЧИНЕ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1.

2.

Пажљивим посматрањем бројева,без израчунавања, утврди зашто су истините ове неједнакости: а) 508 + 26 < 508 + 76

;

б) 812 – 210 > 812 – 250

;

в) 6 · 9 + 37 < 6 · 8 + 58

;

г) 400 : 8 – 75 > 400 : 8 – 100

;

Без рачунања или употребе рачунара, напиши уместо звездице одговарајући знак >, 5 823 + c

;

б) c · 237 > 5 · 237

в) 3 510 – 12 < 3 510 – c

;

г) 890 – 38 < c – 38

7.

а) 2 · 102 < n · 102 < 8 · 102

;

а) 8 · x < 42

.

; ;

б) y: 2 < 9

;

в) 9 · x > 60

;

д) x · x < 1

;

ђ) 14 : y > 6

.

Реши неједначине: а) а : 7 < 8

;

б) 60 : b 8

;

Напиши скуп решења неједначина: а) 97 + x < 103 в) а · 10 < 100

9.

б) 3 · 103 < n · 103 < 9 · 103

Напиши скуп решења неједначина:

в) 72 : x > 48 : x 8.

.

Одреди скуп решења неједначина:

г) y : 1 > 85 6.

;

; ;

г) 48 : b < 6

.

Одреди скуп природних бројева који су решења неједначина: а) 8 · x + 60 < 220

;

б) 14 · x – 40 > 30

в) 9 · y – 20 < 340

;

г) 15 · y +100 >1 000

; . 81

РЕШАВАЊЕ ЈЕДНАЧИНА И НЕЈЕДНАЧИНА 1.

2.

Реши једначине и провери тачност решења: а) 18 · x = 90;

б) 24 · x = 72;

в) 36 : а = 9;

г) 35 · б = 140.

Реши једначине: а) x · 60 = 55 800 27 · x = 15 336 б) x : 400 = 235 x : 107 = 356 в) 66 060 : x = 90 61 620 : x = 65

3.

Најпре састави, па онда реши једначине у којима је: а) делилац 18, а количник 5 214; б) делилац 23, а количник 921; в) дељеник 3 185, а количник 65; г) дељеник 7 068, а количник 93.

4.

5.

6.

7.

8. 82

Реши једначине и провери тачност решења: а) 45 · x = 945;

б) 74 · y = 4 292;

в) 33 · x = 396;

г) 31 · y = 372.

Реши једначине и провери тачност решења: а) 368 : x = 23;

б) y : 31 = 18;

в) m : 34 = 12;

г) 945 : n = 35.

Реши једначине: а) ( x + 790 ) : 279 =10

;

б) 2 870 + x : 100 = 2 900

;

в) ( 840 : x ) : 2 = 140

;

г) 225 : ( x : 9) = 25

.

Реши једначине: а) ( x + 42 ) : 5 = 20

;

б) ( x + 16 ) · 5 = 100

;

в) ( x – 14 ) : 2 = 8

;

г) ( x – 40 ) · 3 = 36

.

Одреди све природне бројеве х, за које се добија тачна неједнакост: а) x+2 3;

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

в) 36 + а > 70.

Знајући да је производ 126 и 35 једнак 4 410, без израчунавања, одреди количнике и реши једначине: а) 4 410 : 126; г) 126x = 4 410; е) 4 410 : x = 126;

11.

б) 5 · c < 35;

б) 4 410 : 35; д) x : 35 = 126; ж) 4 410 : x = 35.

в) x · 35 = 4 410; ђ) x : 126 = 35;

За које се вредности непознате добија тачна једнакост: а) 25 : x = 25; г) а : 1 = а; е) 0 : x = 0?

б) y : 14 = 1; д) м : 5 = 0;

в) 1 : x = 1; ђ) x : x = 1;

б) 10 · а < 60; д) 300 : k > 30;

в) b + 75 < 100; ђ) m – 16 > 24.

Реши неједначине: а) x · 8 < 120; г) n : 4 > 18; Реши једначине: а) x + x = 24; в) 2 · x + 3 · x = 155; д) а + а + а – 17 = 40;

б) x + x + x = 180; г) а + а + 18 = 88; ђ) 5 · а – 11 = 44.

Одреди број x ако је: а) x · x = 49; в) x · x · x · x = 24;

б) x · x · x = 1 000; г) x · x · x · x · x · x · x = 107.

Реши једначине: а) 26 + x = 100; в) 72 + x = 50;

б) 109 – x = 0; г) 64 – x = 1 100.

Реши неједначине: а) 240 : x < 60;

б) x : 15 >18;

в) 180 – x 20;

в) 12 · k < 60.

Реши једначине: а) ( x – 380 ) · 50 = 25 000; в) 640 : ( 25 – x ) = 200 : 5;

б) 20 · 20 + 30 · x = 1 000; г) 800 : x – 56 = 240 : 10

Одреди број x тако да следеће једнакости буду истините: а) ( x : 12 ) : 5 = 4;

б) ( 72 · x ) : 12 = 90;

в) ( 96 : x ) · 12 = 48.

Састави задатак који се решава једначином 253 + 54 · x = 577 Реши помоћу једначине следеће задатке. а) За кречење зидова собе биле су потребне 4 једнаке кутије беле боје и још 3 kg зелене боје. Укупно је потрошено 19 kg боје. Колико је килограма беле боје било у свакој кутији? б) За превоз 35 t угља било је припремљено неколико камиона. На сваки камион натоварене су по 4 t угља, после чега је остало да се превезе јо 7 t угља. Колико је камиона било припремљено? в) Када би Душан био 5 пута старији, тада би заједно са својом сестром имао 74 године. Колико година има Душан ако његова сестра има 14 година?

27.

Заокружи на бројевој полуправој: а) црвеном бојом оне бројеве који чине истинитом неједначину: 5 · x – 25 > 890; б) плавом бојом оне бројеве који чине истинитом једначину: 5 · x – 25 = 890.

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 84

28.

Следеће исказе изрази математичким симболима: а) број 2 205 већи је од броја а, 105 пута б) број x мањи је од броја 3 640, 140 пута в) број 238 392 већи је од броја 473, m пута Одреди бројеве који су у овим изразима означени словима.

29.

30.

Две групе грађана обавезале су се да засаде у парку 490 стабала. Колико садница треба да засади свака група ако је број садница распоређен према броју грађана и ако прва група има 34 грађана, а друга 36?

Реши неједначине: а) x · 50 > 2 400; б) 28 · x < 1 512; в) x: 109 > 27; г) 6 860 : x > 70; д) x: 45 < 256; ђ) 19 437 : x < 57.

31.

Из пристаништа која се налазе на растојању од 510 km испловили су истовремено у сусрет један другом моторни чамац и хидробус. Хидробус је пловио брзином од 19 km на час. Којом је брзином пловио моторни чамац ако су се сусрели после 15 часова?

85

ЗАДАЦИ СА МНОЖЕЊЕМ И ДЕЉЕЊЕМ 1.

2.

3.

У јануару је фабрика произвела 4 758 t хартије, у фебруару 366 t мање. Колико је дана радила фабрика у сваком од ова два месеца ако је у јануару и фебруару било укупно 50 радних дана?

За 5 дана фабрика је произвела 420 трактора. Колико трактора фабрика произведе за 20 дана, ако је дневна производња иста?

4.

Бруто маса канте са 16 l петролеја износи 18 kg 100 g, а бруто маса исте канте са 7 l петролеја 10 kg 900 g. Колика је маса 1 l петролеја, а колика празне канте?

5.

Два возила кренула су истовремено из места А и B један другом у сусрет. Једно возило прелази за 1 час просечно 65 km 700 m, а друго 73 km 200 m. Колико је растојање између ова два места ако се возила сретну после 3 часа?

6.

На камиону с приколицом треба превести 1 080 mc ражи. У свакој вожњи довози се на камиону по 30 mc, а на приколици 2 пута мање. Колико вожњи треба обавити да би се превезла цела количина ражи?

7.

Камион је кренуо из места А у место B и прелази за 1 час просечно 65 km 400 m. Колико ће бити удаљен од места B после 3 часа вожње ако растојање између два места износи 205 km 200 m?

8.

Једна фарма је за 4 дана потрошила за исхрану крава 108 mc силаже. Колико ће дана трајати залиха од 432 mc силаже ако се буде једнако трошило као претходних дана?

9.

86

Земља кружи око Сунца и за један дан пређе пут од 2 405 624 km. Колики пут пређе Земља за годину дана (365 дана)?

Један трактор, чији плугови захватају бразду ширине 1 m 6 dm, пређе за 10 минута 1 km. Да ли овај трактор испуни за 8 часова дневну норму орања од 6 ha 50 a?

10.

Кроз московски метро сваког дана и ноћи прође 3 600 возова, а у сваком возу нађе се у просеку по 700 путника. Колико путника превезе московски метро за годину дана?

11.

У продавницу је довежена на два камиона со; на једном од њих 2 250 kg, а на другом 2 790 kg. Колико је било укупно врећа соли ако је свака врећа имала масу 90 kg? Реши задатак на два начина.

12.

60 kg кокса и 100 kg каменог угља развијају једнаке количине топлоте. Колико је килограма каменог угља потребно као замена за: а) 720 kg; б) 960 kg кокса?

13.

14.

15.

За једну секунду Дунав улива у Црно море 5 853 950 l воде. Колико воде улива за 1 час?

Једна тона обичне воде садржи 50 gr соли, а у 1 t морске воде има 35 kg соли. Која количина обичне воде садржи онолико соли колико се добије испаравањм 200 kg морске воде?

На једну њиву довежено је за сејање 45 врећа пшенице, а на другу 69 врећа. На другу њиву довежено је пшенице 1 t 920 kg више него на прву. Колико је килограма пшенице довежено на обе њиве?

16.

Од 40 kg млека добија се 1kg 800 g маслаца. Колико се маслаца добија од: а) 80 kg; б) 20 kg; в) 160 kg; г) 200 kg; д) 400 kg млека?

17.

Млекара је за 6 дана произвела 3 t 240 kg сира. Од 1 kg млека добије се 90 g сира. Колико је млека прерађено у сир сваког дана?

87

уџбеник

МАТЕМАТИЧКИ ИЗРАЗИ. ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ ИЗРАЗИ Раније си упознао две врсте математичких израза – просте и сложене. Прост израз је број или променљива. Простим називамо изразе у којима се јавља само једна рачунска радња, на пример: а) збир два броја 250 + 380; 156 + x; а + 340; а + b. б) разлику два броја: 850 – 160; а – 40; 280 – x; а – b. в) производе два броја: 150 · 16; а · 40; 40 · б; а · b. г) количник два броја: 360 : 45, а : б; 20 : b; а : b. Прости изрази који садрже непознату (једну или две) називају се прости изрази са непознатом.

Сложеним називамо изразе у којима се јављају две рачунске операције или више рачунских операција. Они настају кад се назначи нека операција између два или више израза. На пример: а) производ једног броја и једног простог израза, као: ( 38 + 15 ) · 6 ; 3 · а – 15 ; ( а – b ) : 8 ; c – 4 : x, итд. Ове изразе читамо: производ броја b и збир бројева 38 и 15; разлика производа бројева 3 и а и броја 15; количник разлике бројева а и b и броја 8 и разлика броја c и количника бројева 4 и x; б) два проста израза, као: ( а + b ) · ( а – b ); ( x – 30 ) + 4 · y; 4 · а – b: 15 итд. Ове изразе читамо: производ збира и разлике бројева а и b; збир разлике бројева x и 30 и производа броја 4 и y; разлика производа броја 4 и а и количника бројева b и 15; в) више простих и сложених израза, као: а·b+c·d+m; 1.

( а : b + c) · d ;

( а · b + c : d + x ) : m итд.

Напиши у облику израза: а) збир броја 290 и количника 280 : 4; б) разлику производа 32 · 108 и броја 501; в) производ броја 490 и разлике 57 – 27; г) количник збира 63+437 и броја 50.

2.

3.

Прочитај изразе: а) 32 : 8+69 : 23;

б) (31+9) · (31 – 9);

За које су вредности променљиве из скупа 1, 2, 3, 4 једнаке вредности израза: а) 16 – 2 · y и 30 : y;

б) 3 · y + 5 и 12 – 4 · y; ;

88

в) 17 · 38 – 146 : 73.

в) 48 : y и 24 – 3 · y. ;

.

разред

4.

ВРЕДНОСТ СЛОЖЕНОГ ИЗРАЗА

Шта је вредност сложеног израза? Сваком изразу који је састављен од бројева можемо израчунати вредност. Вредност израза је крајњи резултат обављања свих рачунских операција које се у изразу јављају. Покажимо то на примерима. Колика је разлика броја 840 и његове шестине? Задатак се решава изразом: 840 – 840 : 6 = 840 – 140 = 700. Вредност овог израза је број 700, а одговор је: број 840 је за 700 већи од његове шестине. Колики је збир броја 900 и производа бројева 58 и 40? Израз који произлази из овог задатка има облик: 900 + 58 · 40 = 900 + 2 320 = 3 220. Вредност израза је број 3 220, а одговор је: збир броја 900 и производа бројева 58 и 40 јесте број 3 220. Одреди производ збира и разлике бројева 850 и 800. Записаћемо задатак у облику израза: (850+800) · (850 – 800)= 1 650 · 50 = 82 500. Решење задатка је вредност израза, а то је број 82 500. Значи, производ збира и разлике бројева 850 и 800 је број 82 500. За колико је производ бројева 240 и 20 већи од њеиховог количника? Овај се задатак решава изразом: 240 · 20 – 240 : 20 = 4 800 – 12 = 4 788. Вредност израза – број 4 788 – даје одговор на питање за колико је производ бројева 240 и 20 већи од њиховог количника. Колика је четвртина збира броја 3 600 и његове половине? Из текста задатка произлази израз: (3 600+3 600 : 2) : 4 = (3 600 + 1 800) : 4 = 5 400 : 4 = 1 350. Вредност овог израза је број 1 350 и он одговара на питање колика је четвртина збира броја 3 600 и његове половине. Вредност сложених израза у којима се јављају променљиве можемо израчунати само ако променљивим доделимо вредност.

1.

Одреди вредност израза: а) 48 · x + 90, за x = 20;

б) 380 : x – ( 120 : 5 ), за x = 10. ;

2.

.

Израчунај вредност израза 1 978 · ( x : 9 ) ако је: а) x = 2 709;

б) x = 2 799; ;

в) x = 2 844; ;

г) x = 3 024; ;

. 89

уџбеник

РЕШАВАЊЕ ЗАДАТАКА ПОМОЋУ ИЗРАЗА Многи проблеми из свакодневног живота најлакше се решавају ако се тражени број запише у облику израза. Ево неких примера: 1.

У магацину је било 250 t цемента, па је довежено још14 камиона по 5 t. Колико сада има цемента у магацину? Израз: 250 + 14 · 5 =

2.

t цемента.

Из базена, у којем је било 34 000 kg рибе, одвежено је једног дана у рибарнице 7 камиона по 6 t. Колико је килограма риба остало у безену? 340 000 – 7 · 6 000 =

. У безену је остало

kg рибе.

3.

У књижару је допремљено 24 пакета по 2 850 свезака са квадратићима, као и 18 пакета по 1 650 свезака са линијама. Колико је укупно свезака допремљено?

4.

У магацин је једног дана довежено 850 врећа од по 50 kg цемента а одвежено 370 врећа. Колико је килограма цемента остало у магацину?

5.

Један камион је прешао 2 100 km. На сваких 100 km трошио је 16 l бензина. Колико је литара бензина укупно потрошио?

6.

На градилишту су радиле три групе од по 108, 96 и 124 радника. Смештени су у 8 једнаких барака. Колико је радника било у свакој бараци?

7.

У биоскопској сали са 400 седишта ученици су попунили 24 реда са по 12 седишта у сваком реду. Колико је седишта остало слободно?

8.

Из силоса, у коме је било 1 400 t пшенице, једног дана је утоварено 25 вагона по 15 t и 35 вагона по 15 t. Колико је пшенице остало у том силосу?

9.

10.

90

. Сада у магацину има:

Са 720 hа добијено је просечно по 9 t пшенице са сваког хектара и са 560 hа по 8 t просечно по хектару. Од тога је испоручено пекарама 250 t, а за семе задржано 36 t. Остало је продато. Колико је пшенице продато? Од 5 g семена добија се 1 175 струкова расада. Засејано је 12 g и одабрано за расађивање 2 500 струкова. Колико је струкова расада одбачено?

разред

4.

11.

Са једне парцеле добијено је 350 t кромпира, а са друге је довежено 20 камиона по 4 600 kg. Од тога је испоручено 160 t, а остало је смештено у 4 једнака магацина. Колико је кромпира смештено у сваком од тих магацина?

12.

Шеснаест радника може да заврши посао за 96 радних часова. За које ће време исти посао завршити 8 радника?

13.

За један оброк за 16 крава потребно је 80 kg сена. Колико је сена потребно за један оброк за 27 крава?

14.

Горани су у 8 леја произвели по 850 садница. Прва 4 дана су расађивали по 250 садница а наредних 5 дана по 270 садница. Колико им је садница остало незасађено?

15.

Радници су за 6 дана ископали укупно 42 m канала. Следећих 8 дана копали су по 3 m више него што су просечно дневно копали првих 6 дана. Колико су укупно ископали за тих 8 дана?

16.

17.

Ученици једне школе организовали су сакупљање књига за библиотеке у сеоским школама. Прва три разреда испунила су дату обавезу и сваки је разред сакупио по 720 књига. Четврти разред је сакупио 1 200 књига. Сакупљене књиге су послате у 6 школа. Колико је књига добила свака школа ако је у сваку упућен једнак број? При једнаком приносу добијено је: са једне њиве 261 t, а са друге 207 t пшенице. Једна њива је за 18 hа мања од друге. Одреди површину сваке њиве.

18.

Ученици III и IV разреда такмичили су се чији ће разред освојити више бодова на квизу. Сваки од 34 ученика III разреда освојио је по 15 бодова, а сваки од 32 ученика IV разреда по 16 бодова. За колико су бодова победили ученици IV разреда?

19.

За разредну збирку разгледница 17 ученика је донело по 24 разгледнице, 8 ученика по 30, преосталих 7 ученика по 18 разгледница. Све су разгледнице распоредили у 6 једнаких албума. Колико је разгледница било у сваком од тих албума?

20.

Ако је прва група од 15 ученика засадила укупно 105 садница, колико ће садница засадити друга група од 12 ученика ако буду садили по 3 саднице више од прве групе?

91

МАТЕМАТИЧКИ ИЗРАЗИ

1.

2.

3.

Израчунај вредност израза: a) 342 001 - 78 822 : 87

;

5.

.

Израчунај вредност израза: a) 13 - 3 · 4 + 1 616 : 8 а) ( 754 + 611 ) · 10

;

б) 40 - 15 · 6 : 3 - 10 · 0

;

.

б) 10 · ( 6 000 - 5 096 )

в) ( 98 322 - 34 042 ) : 10

;

д) 62 470 : ( 9 876 - 9 866 )

4.

б) ( 333 · 150 ) : ( 40 759 - 40 684 )

;

г) ( 34 364 - 34 114 ) : 25 ;

;

ђ) ( 53 765 - 53 245 ) : 130

;

Израчунај вредност израза: a) 700 254 - 4 052 · 9

;

б) 104 370 : 10 - 7 989

.

Запиши задатак и обави следеће операције стављајући заграде где је потребно. а) Разлику бројева 2 731 и 1 021 подели са 57. б) Сабери 1 026 са производом бројева 741 и 57.

6.

Запиши у облику израза, па израчунај: а) Разлику бројева 9 203 и 9 089 повећај 206 пута па затим добијени производ повећај за 4 879. б) Одреди количник разлике бројева 162 920 и 6 095 и збира бројева 150 и 275.

7.

а) Производ бројева 729 и 427 подели са 183 и добијени количник сабери са разликом бројева 7 256 и 5 897. б) Од броја 60 000 одузми производ бројева 305 и 62 и добијену разлику сабери са бројем 5 489. в) Збир бројева 66 547 и 65 309 подели разликом бројева 1 360 и 824 и добијени количник помножи са 207. г) Од разлике бројева 96 098 и 42 001 одузми количник бројева 6 867 и 63 и добијену разлику повећај за 5 789.

92

8.

У две вреће било је 184 kg 600 g грашка. У првој врећи било је 4 пута мање грашка него у другој. Колико је било грашка у свакој врећи?

9.

У две кесе је 48 ораха. У једној од њих има 3 пута више него у другој. Колико има ораха у свакој кеси?

10.

Брат је 4 пута старији од сестре, а сестра 9 година млађа од брата. Колико година има сестра, а колико брат?

11.

Брат има 2 пута више година него сестра, а отац 6 пута више него кћи. Заједно сво троје имају 63 године. Колико година има свако од њих?

12.

Бициклиста је путовао од једног града до другог 5 часова возећи брзином од 12 km/h. Колико би времена провео на путу да је возио 15 km/h?

13.

У три фабрике ради 880 радника. У другој фабрици ради 2 пута мање радника него у првој, а у трећој 30 радника више него у првој. Колико радника ради у свакој фабрици?

14.

Од 5 kg пшенице добија се 4 kg брашна, а од 2 kg брашна 3 kg хлеба. Колико се килограма хлеба може добити од 300 kg пшенице?

15.

а) Сладолед садржи 7 делова воде, 2 дела маслаца и 2 дела шећера. Колико је потребно маслаца за 8 kg 800 g сладоледа? б) Да би се спремила чорба од зеља, осим воде, масти и брашна, потребно је још 5 делова меса, 4 дела зеља и 2 дела зелени. Колико је потрошено меса, ако је зеља потршено 300 g више него зелени?

16.

17.

Ученик је помножио неки број посебно бројем 7 и посебно бројем 16. Затим је добијене производе сабрао. Добио је број 230. Који је број ученик помножио бројем 7 и бројем 16?

Ученик је замислио број, помножио га бројем 12, а затим бројем 9 и саопштио да је први производ већи од другог за 270. Који је број замислио ученик?

93

18.

На три дрвета слетело је 36 врабаца. Када су са једног дрвета одлетела 4 врапца, са другог 6 а са трећег 8, на та три дрвета остао је исти број врабаца. Колико је врабаца слетело на свако дрво?

19.

На две суседне станице било је укупно 120 вагона. Када са прве станице пређе на другу 30 вагона, а са друге на прву 20 вагона, на првој станици биће исто толико вагона колико и на другој. Колико је вагона било на свакој станици у почетку?

20.

Једног дана горани су засадили на једном брду 3 000 стабала, што је за 600 стабала више него на другом брду и за 800 стабала мање него на трећем брду. Колико је укупно стабала засађено тога дана?

21.

22.

Са две једнаке њиве извађено је: са прве 48 врећа, а са друге 74 вреће кромпира. Са друге њиве извађено је 1 300 kg кромпира више него са прве. Колико је свега извађено кромпира?

23.

Једном оловком можемо написати линију дужине 70 km. Колико речи од по 5 слова можемо написати том оловком ако је дужина линије у једној речи 5 cm?

24.

У три аутобуса сместила су се 42 ученика. На првој станици из првог аутобуса прешло је у други 8 ученика, а из другог у трећи 7, па је тада у сваком аутобусу био исти број ученика. Колико је ученика било првобитно у сваком аутобусу?

25.

Два авиона полетела су истовремено у сусрет један другом из два града, чије је међусобно растојање 6 400 km. Сусрела су се после 4 часа. Брзина једног од њих је 750 km/h. Одреди брзину другог авиона.

26.

94

У једном граду има 6 530 деце. Жена је за 610 више него мушкараца и 360 мање него деце. Колико у том граду има становника?

Један брод је прешао 440 km а други 620 km. Други брод је пловио 9 часова дуже. Колико времена је пловио сваки брод ако су се кретали истом брзином?

27.

28.

29.

30.

31.

Два дечака трчала су у сусрет један другом. Један је прелазио за свака 3 минута 350 m, а други за свака 4 минута 450 m. Дечаци су се срели после 12 минута. Колико је растојање прешао сваки дечак до сусрета? Двојица мотоциклиста су кренули истовремено у сусрет један другом. Први се кретао брзином од 1 km у минуту, а други брзином од 750 m у минуту. Кад су се срели, први мотоциклиста је прешао 60 km више од другог. Колики је пут прешао сваки од њих до сусрета? Два дечака се такмиче у трчању. Млађи претрчи за сваки минут 120 m, а старији 160 m. Млађи је почео да трчи један минут раније од старијег. После колико ће минута старији дечак стићи млађег? Двојица бициклиста су кренули истовремено у истом правцу и смеру из два места. Брзина кретања првог бициклисте је 17 km/h, а брзина кретања другог 13 km/h. Први бициклиста је стигао другог после 3 часа. Одреди растојања између места из којих су бициклисти кренули.

Миши, Вери и њиховој мами је 65 година. Вери и мами је 50 година, а Миши и мами 55 година. Колико година има свако од њих?

32.

У три корпе има 10 лубеница. У трећој корпи има више него у другој, а мање него у првој. Одреди: а) у којој корпи има највише лубеница; б) у којој корпи има најмање лубеница; в) колико лубеница може бити у свакој корпи; г) колико решења има задатак под в?

33.

У воћњаку је засађено 3 600 стабала јабука, крушака и шљива. Број крушака је пети део укупног броја стабала, а на сваке 3 шљиве долази по 5 јабука. Колико је засађено јабука, колико крушака а колико шљива?

34.

Са једне њиве пожњевено је 123 t ражи, са друге 30 t мање него са прве, а са треће 4 пута мање него са прве две њиве заједно. Сва раж сипана је у џакове од по 75 kg. Дванаести део свих џакова послат је у млин. Колико је џакова ражи отпремљено у млин?

95

уџбеник

ЗАПРЕМИНА КОЦКЕ И КВАДРА ЗАПРЕМИНА КОЦКЕ На слици је приказана коцка ивице 5 cm издељена на кубне центиметре. У првом слоју је по 5 коцки од 1 cm3 у пет редова и то је 5 · 5 cm3 =25 cm3. Таквих слојева има 5, па је запремина целе коцке 5 · 25 cm3 = 125 cm3. Запремину коцке смо израчунали тако што смо три пута множили мерни број ивице коцке: (5 · 5 · 5) cm =125 cm3. Ако дужину ивице неке коцке означимо са а, а запремину са V онда применом претходног поступка закључујемо да је: V = а · а · а или V = а3

5 cm 1 cm3

Запремина коцке је једнака трећем степену мерног броја њене ивице.

1.

Израчунај запремину коцке, ако је њена ивица: а) а = 8 dm;

96

б) a = 23 cm;

в) a = 4 m 9 dm;

г) a = 2 dm 5 cm 6 mm.

2.

Од две коцке прва има дужину ивице три пута већу од дужине ивице друге коцке. Колико пута је запремина прве коцке већа од запремине друге коцке?

3.

Нацртај у свесци коцку. Измери њену страницу и израчунај P и V те коцке.

На слици је приказан квадар димензија 6 cm, 5 cm и 4 cm. У првом слоју тог квадра има (6 · 4) cm3, а има 5 таквих слојева, па је запремина овог квадра: (6 · 4 · 5) cm3 Димензије квадра су дужина а = 6 cm, ширина b = 4 cm и висина c= 5 cm. Запремину овог квадра смо израчунали множењем мерних бројева његове висине, ширине и дужине. Према томе, општи образац за израчунавање запремине квадра је:

разред

4.

c = 5 cm

ЗАПРЕМИНА КВАДРА

b = 4 cm

V=а·b·c а = 6 cm Запремина квадра једнака је производу мерних бројева његових димензија (дужине, ширине и висине).

1.

Израчунај запремину квадра димензија: а) a = 4 cm; b = 3 cm; c = 7 cm.

б) a = 15 dm; b = 50 cm; c = 1 m.

2.

Колико литара воде је потребно да се напуни акваријум димензија 1 m 2 dm, 6 dm и 8 dm.

3

Нацртај у свесци квадар. Измери његове странице, па израчунај површину и запремину тог квадра.

97

уџбеник

ЗАПРЕМИНА КОЦКЕ И КВАДРА

1.

Колико се литара воде може усути у акваријум облика квадра чије су димензије 6 m , 8 m и 36 dm?

2.

Бала сена има облик коцке ивице 50 cm. Колика је маса бале ако 1 dm3 сена има 200 g?

3.

Акваријум облика коцке чија је ивица 70 cm, напуњен jе водом до висине од 50 cm. Колико је кубних центиметара остало празно?

4.

У хали дужине 21 m, ширине 12 m и висине 5 m ради 28 радника. Колико кубних метара ваздуха долази на сваког радника?

5.

Колико кутија шибица може да се сложи у један сандук облика квадра дужине 50 cm, ширине 40 cm и висине 30 cm, ако је једна кутија дужине 10 cm, ширине 8 cm и висине 5 cm?

6.

Од 10 dm3 снега добија се 1 l воде (остало је ваздух). Колико ће се литара воде добити од снежног покривача дебелог 4 cm, који је покрио школско двориште правоугаоног облика дужине 52 m и ширине 28 m?

7.

Које димензије може имати квадар чија је запремина 12 dm3 ? (Дужине ивица изражавају се природним бројевима.) Одреди запремину тела приказаних на слици.

8.

4 4 10

5

7 4

3 4

12

9.

98

Базен облика квадра дужине 16 m , ширине 8 m и дубине 3 m пуни се кроз цев кроз коју прође 30 hl воде за један сат. За које ће се време напунити базен?

разред

4.

ЈЕДИНИЦЕ ЗА ЗАПРЕМИНУ ЗАПРЕМИНА ТЕЛА У својој околини видиш људе, животиње, предмете итд. То су разна тела. Сва та тела се налазе у простору и заузимају део простора. Део простора који заузима (запрема) тело назива се запремина тела. Стални облик и запремину имају чврсти предмети. Течности (вода, млеко) и растрасите материје (песак, брашно) имају сталну запремину, али немају сталан облик. Гасови немају ни сталан облик, ни сталну запремину. Запремину тела меримо неким другим телом. То је најчешће јединична коцка. Приказани квадар означен са V је измерен V јединичном коцком V1 и добијен је број 8, па записујемо: V = 8 · V1 8 · V1 показује колико се јединичних коцки садржи у кадру V и назива се ЗАПРЕМИНА КВАДРА V. Ово је јединица мере a) б)

. Колико ових јединица има у свакој фигури? в) г)

V1

д)

Јединице за запремину: Запремина тела се мери јединичном коцком. Јединице за мерење запремине су представљене коцком чије су дужине ивица 1 m, 1 dm, 1 cm, 1 mm. Кубни дециметар је коцка чија је ивица 1 dm = 10 cm. Ако поређамо кубне центиметре дуж ивице AB, биће их 10. То је: 1 ред = 10 cm. На страници ABCD стане 10 таквих редова, јер је BC = 10 cm То је (10 · 10) cm3 Коцка има 10 слојева, јер је АЕ = 10 cm. Дакле, 10 слојева, по 10 редова и у сваком реду 10 cm3, тј. (10 cm3 · 10) · 10 + (10 · 10 · 10) cm3 = 1 000 cm3 Јединице мере за запремину су: кубни метар - 1m3 - то је коцка ивице 1m; кубни дециметар - 1 dm3 - то је коцка ивице 1 dm; кубни центиметар - 1 cm3 - то је коцка ивице 1 cm; кубни милиметар - 1 mm3 - то је коцка ивице 1 mm. Даљим посматрењем слике налазимо да је: 1 m3 = 1 000 dm3; 1 dm3 = 1 000 cm3; 1 cm3 = 1 000 mm3. 3 Значи, 1 m = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3 = 1 000 000 000 mm3 99

уџбеник Односи наведених јединица за запремину приказани су прегледно на следећи начин: 1 m3 1m

· 1 000

· 10

1 dm3 1 dm

· 1 000

· 10

1 cm3 1 cm

· 1 000

· 10

1 m3 = 1 000 dm3 1 dm3 = 1 000 cm3 1 cm3 = 1 000 mm3

1 mm3 1 mm

Знамо да се јединица за запремину течности (или неке растресите материје) назива литар. У ствари, један литар течности испуни суд облика коцке чија ивица има дужину 1 dm. Значи, 1 l = 1 dm3. Маса 1 l воде износи 1 000 g, тј, 1 kg.

1l

=

1 dm3

=

1 kg

Јединице за запремину веће од кубног метра су: кубни декаметар ( 1 dam3), кубни хектометар ( 1 hm3), и кубни колометар ( 1 km3). Између ових јединица постоји оваква веза: 1 dam3 = 1 000 m3 ; 1 hm3 = 1 000 000 m3 ; 1 km3 = 1 000 000 000 m3 . Значи, 1 кm3 = 1 000 hm3 = 1 000 000 dam3 = 1 000 000 000 m3 Уради у свесци следеће задатке: 1.

2.

100

Колико има: а) кубних дециметара у 7 m3; 16 m3; 108 m3; 25 000 cm3; б) кубних центиметара у 14 dm3; 253 dm3; 6 m3; 458 000 mm3; в) кубних милиметара у 38 cm3; 21 dm3; 205 dm3; 5 m3; 78 m3; г) литара у 17 cm3; 304 dm3; 47 000 cm3; 9 m3? a) Изрази у кубним дециметрима и кубним центиметрима: 20 467 cm3; 108 046 cm3; 510 009 000 mm3. б) Изрази у кубним километрима и кубним хектометрима: 54 030 hm3; 508 045 hm3; 408 085 000 dam3.

разред

4.

РАЗЛОМЦИ. ПИСАЊЕ И ЧИТАЊЕ РАЗЛОМАКА Поновимо оно што смо научили о разломцима у прва три разреда. 1.

На датим дужинама су неки делови обојени. а) Обојене делове изразићемо разломком. б) Запиши речима како се чита сваки разломак. једна половина

в) Посматрај обојене делове дужи, па знацима =, >, < упореди одговарајуће 1 1 1 1 1 1 1 1 разломке: 2 4 8 9 6 3 5 10

1 7

1 10

1 1 1 1 1 Записи 2 , 4 , 3 , 6 , 9 , ... називају се разломци. Број испод црте одређује на колико је једнаких делова подељена свака фигура и назива се именилац разломка. Број изнад црте одређује колико је тих делова издвојено, и назива се бројилац разломка. Свака фигура је подељена на 4 дела, а 3 дела су обојена. Обојени део круга, квадрата и правоугаоника 3 пишемо као разломак овако: 4 Читамо: три четвртине.

2.

Преброј на колико је једнаких делова подељена свака фигура и колико је од тих делова оивичено црвеном бојом. Разломак се односи на оивичени део фигуре. Напиши га речима.

3 8

5 6

3 4

2 5

6 10

101

уџбеник

Када су именилац и бројилац једнаки, вредност разломка је цело, тј. 1=

Настави да исписујеш разломке:

1=

3 5 = 3 5

=

2 4 = 2 4

=

=

6 8 = 6 8

= ...

= ...

За разломке кажемо да су међусобно једнаки, тј. 1 = 2 = 3 = 4 . 2 4 6 8 3.

4.

Обојени део сваке фигуре напиши као разломак.

Обој део фигуре исказан разломком.

4 7

5 8

3 4

2 5

1 4 5.

6.

102

7 10

1 cm представља: 1 а) 1 десети део дециметра, па се може записати као dm, 10 1 б) 1 стоти део метра, па се може записати као m. 100 Напиши као разломак: а) 3 mm =

cm, 1m2 =

б) 1 cm3 =

dm3 =

а= m3.

hа =

km2;

разред

4.

УПОРЕЂИВАЊЕ РАЗЛОМАКА 1 Колико има половина цео правоугаоник?

1.

Четвртина?

1 2

Осмина?

Колико има четвртина у половини?

1 2

1 4

Колико има осмина у половини? Колико има осмина у четвртини?

1 8

1 4 1 8

1 8

1 4 1 8

1 8

1 4 1 8

1 8

1 8

Користећи слику из претходног задатка напиши изостављене бројиоце:

2.

1=

2

;

1=

2 = ; 4 4

4

;

1=

2 = ; 8 4

8

1 = ; 2 4

;

4 = ; 8 4

1 = ; 2 8

4 = ; 8 2

1 1 = ; 4 8

6 = ; 8 4

2 = ; 4 8

2 = ; 2 4

3 = ; 4 8

2 4 = ; = ; 2 8 4 8

Користећи исту слику упореди разломке и упиши знак >, m )? г) Како ће се променити разлика ако умањеник (а) смањимо за природни број m ( а > m), а умањилац (b) увећамо за природни број m ( b > m ), а при том да остане у важности да је а + m > b + m? д) Како ће се променити разлика ако умањеник и умањилац умањимо за природни број m и при том је а – m > b – m? ђ) Какав однос мора да постоји између а и b за а∈N и b∈N, да би се и c∈N, где је c = а – b? е) Какав однос мора постојати између а и b, па да за а∈N и b∈N је и c∈N0, где је c = а – b? Нека је дат производ бројева а и b, тј. а · b = p. а) Како се мења производ ако а повећамо m пута ( m∈N )? б) Како се мења производ ако b повећамо m пута ( m∈N )? в) Како се мења производ ако и а и b повећамо m пута ( m∈N )? г) Како се мења производ ако а повећамо m пута ( m∈N ), b смањимо m пута ( m∈N ), а при том је m делилац b? д) Које својство множења природних бројева изражава запис а · b = b · а? ђ) Које својство множења природних бројева изражава запис: а · ( b · c ) = ( а · b ) · c, где је c∈N? е) Које својство множења природних бројева изражава запис: ( а + b ) · c = а · c + b · c, где је c∈N? ж) Које својство множења природних бројева изражава запис: ( а – b ) · c = а · c – b · c, где је c N и а > b?

13.

14.

15.

16.

Нека је нула један чинилац, а неки природан број и представља други чинилац. Да ли је истинит запис а · 0 = 0 · а = 0? Запиши речима: за свако а∈N је а · 1=1 · а = а. За свако а∈N и свако b∈N вреди а · b = c, c∈N. Речима запиши ово својство множења.

Мења ли се количник, ако дељеник: а) неколико пута повећамо, б) неколико пута смањимо?

17.

Мења ли се количник, ако делилац: а) неколико пута повећамо, б) неколико пута смањимо?

18.

Мења ли се количник, ако дељеник и делилац истовремено: а) неколико пута повећамо, б) неколико пута смањимо?

19.

Који природни број има својство да природни бројеви подељени њиме остану непромењени?

20.

Који број има својство да подељен било којим природним бројем даје исти количник који је једнак њему самом?

21.

22.

23.

24.

Напиши број којим никад не делимо јер дељење њиме не би имало никаквог смисла.

Одреди решења датих неједначина у скупу природних бројева: а) 94+4 · x > 112; в) 85 – 5 · y < 54;

б) 68+7 · x>103; г) 84 – 6 · y 9 990 : 999+999 : 999. Запиши скупове решења неједначина: а) 250 · x < 1 500; в) 1 155 : x > 77;

б) 350 · x > 1 750 и x < 9; г) x: 18 > 450 и x < 8 102. 111

ЗАДАЦИ ЗА МЛАДЕ МАТЕМАТИЧАРЕ 1.

Дечак има 6 кликера, и то жутих мање него црвених, зелених више него црвених. Којих кликера има највише? Колико има кликера од сваке боје? Напомена: Реши исти задатак са 7 кликера.

2.

У три пакета има 10 књига. У трећем пакету је више књига него у другом, али мање него у првом. У којем пакету има највише књига, а у којем најмање? Колико је књига у сваком пакету? Колико решења има овај задатак?

3.

Стева, Миша и Бојан имају 36 оловака. Кад је Стева дао Миши 6 оловака, а Миша Бојану 4 оловке, сваки од њих је имао исти број оловака. Колико је оловака имао сваки од њих на почетку? 6

С

6-4

М

4

Б 4.

5.

6.

Сваком од троје деце мајка је дала исти број поморанџи. Када су деца појела по 4 поморанџе, остало им је укупно онолико поморанџи колико је добио свако од њих. Колико је поморанџи добило свако дете?

Збир два броја је 990. Један број је 10 пута већи од другог. Одреди те бројеве.

Збир два броја је 500. Ако први број повећамо 5 пута, збир та два броја износи 740. Одреди који су то бројеви. x x

x

x

x

x 740

112

x

500

y y

7.

Олга је одговорила на питање колико има година: “Пре 9 година имала сам једну четвртину садашњег броја година.” Колико година има Олга? 9

8.

9.

Колико је сада сати ако је преостали део дана 5 пута већи од дела дана који је прошао?

Када је Пера узео из једне корпе половину свих јабука и још једну јабуку, Вера половину преосталих јабука и још једну, а Божа половину јабука које су остале, у корпи су остале још 3 јабуке. Колико је јабука било у корпи? Пера Вера Божа остало

1

10.

Када су ученици прешли

6+1

1

3

1 1 целог пута и још 8 km, остало им је да пређу 4 2 8 2

3 целог пута

и још 2 km. Колика је дужина пута?

прешли

11.

треба да пређу

Ако Миша добије половину новца који већ има и још 5 динара, имаће 20 динара. Колико новца има Миша? x x 5 2 20

12.

13.

14.

У правоугаоник дужине 8 cm и ширине 6 cm уцртан је други правоугаоник чије су странице на растојању 1 cm од страница првог правоугаоника. За колико је обим првог правоугаоника већи од обима другог?

У свакој од ове две кесе има по 84 ораха. Из прве кесе узет је известан број ораха, а из друге онолико колико је преостало у првој. Колико је ораха остало у обе кесе?

Ако 3 кокошке снесу за 3 дана 3 јаја, колико би јаја снело 12 кокошака за 6 дана?

113

15.

Погоди који сам троцифрени број замислио: када од њега одузмем број написан са три шестице, добијам број написан са три тројке.

16.

Пера, Васа и Огњен имају заједно 150 значака. Ако Пера да Огњену 15 значака, а Васи 4 значке, онда ће сва тројица имати исти број значака. Колико значака има сада сваки дечак?

17.

Васа је упитао деду колико има година. Деда је одговорио: “Ако број мојих година смањиш 6 пута и добијени број смањиш за 6, добићеш 6.” Колико је година имао деда?

18.

Збир два броја већи је од једног од њих за 150, а од другог за 250. Колики је збир тих бројева?

19.

Производ два броја већи је од једног од њих 30 пута, а од другог 20 пута. Колики је производ тих бројева?

20.

У воћњаку има 360 стабала јабука и вишања. Половина броја стабала вишања једнака је броју стабала јабука. Колико је стабала јабука, а колико вишања у том воћњаку?

21.

а) помоћу четири пута написане цифре 9

;

б) помоћу шест пута написане цифре 9

;

в) помоћу пет пута написане цифре 1

;

г) помоћу пет пута написане цифре 5

;

д) помоћу пет пута написане цифре 3

.

22.

”Колико је сада сати?” – питао је Стева оца. “Ево, па рачунај: до краја дана остало је три пута мање времена од оног које је прошло од његовог почетка” – одговорио је отац. Колико је било сати тада?

23.

1 Два пешака су ишла из села у град. Када су прешли 3 пута, сели су да се одморе. “Колико нам је остало још да идемо?” – питао је један од путника оног другог. “ Остао нам је 12 km дужи пут од пута који смо до сада прешли” – одговорио је други. Колико је растојање између града и села?

24.

114

Користећи знаке рачунских радњи, напиши број сто:

Црв пузи по стаблу липе. Преко ноћи се попне за 4 m, а у току дана се спусти за 2 m. На крају осме ноћи црв се попео на врх липе. а) Колико је висока липа? б) Колико је укупно метара црв прешао?

25.

Маса гуске, патке и кокошке износи укупно 12 kg. Гуска има два пута већу масу него патка и кокошка заједно, а патка три пута већу него кокошка. кокошка Колико килограма има кокошка?

гуска

26.

27.

28.

патка

Нада каже: “Када сам имала 5 година, моја сестра је имала 14 година, а сада сам два пута млађа од ње.” Колико је сада Нади година?

Група дечака из једног села крене пешице у град брзином од 4 km/h. После једног часа за дечацима крене бициклом њихов учитељ брзином од 12 km/h. После колико времена ће учитељ стићи дечаке?

Пас је појурио за зецом који је био 360 m испред њега, брзином од 15 m/s. После колико секунди ће га стићи, ако зец трчи брзином од 12m/s.

29.

У једној корпи је 9 kg јабука више него у другој. Ако се из прве корпе пренесе у другу 12 kg, у другој корпи биће два пута више јабука него у првој. Колико је јабука било у свакој корпи?

30.

Растојање од 200 m могу да претрче: ној за 12 секунди, коњ за 10 секунди, антилопа за 8 секунди. Које растојање може претрчати свака од ових животиња за 1 час ако наставе да трче истом брзином?

31.

Воз се креће од града А до града B. Растојање од А до прве станице C је 240 km и воз га је прешао брзином од 60 km/h. Преостали део пута CB воз је прешао за 1 час мање крећући се истом брзином. Колико је километара од града C до града B? A 60 km C B 240 km

?

115

ПРЕГЛЕД НЕКИХ ВАЖНИЈИХ ЈЕДИНИЦА Дужина 1 mm · 10

1 cm

· 10

1 dm · 10

1 m · 1000 1 km 1 mm = 1 cm 10 cm = 1 dm

Број којим се прерачунава је 10.

10 dm = 1 m 1 000 m = 1 km

Површина 1 mm2 · 100 1 cm2 · 100 1 dm2 · 100

1 m2 · 100 1 a · 100 1 ha · 100 1 km2 100 mm2 = 1 cm2 100 cm2 = 1 dm2 100 dm2 = 1 m 2

Број којим се прерачунава је 100.

100 m2 = 1 a 100 a = 1 ha

Запремина

100 ha = 1 km2

1 mm3 ·1 000 1 cm3 · 1 000 1 dm3 · 1 000 1 m3 1 000 mm3 = 1 cm3 Број којим се прерачунава је 1 000.

1 000 cm3 = 1 dm3 1 000 dm3 = 1 m3

Маса 1 mg· 1000 1 g· 1000 1kg · 1000 1 t 1 000 mg = 1 g 1 000 g = 1 kg Број којим се прерачунава је 1 000. 1 000 kg = 1 t

Време

1 s · 60

1 min · 60

1h · 60

1 dan

60 s = 1 min 60 min = 1 h 24 h = 1 dan

116

ПРЕГЛЕД НАЗИВА СВОЈСТАВА И ПРАВИЛА У ПОЈЕДИНИМ РАЧУНСКИМ РАДЊАМА Једнакост са рачунарским операцијама Сабирање a+b=z

Одузимање a-b=r

Множење a·b=p

Дељење a:b=k

Називи

Својства

Важнија правила

a + b су сабирци z је збир ( сума) a + b је збир

Замена места сабирака: a+b=b+a

Нула као сабирак: a+0=a 0+b=b 0+0=0

Здруживање сабирака: ( a + b ) + c = a + ( b + c)

Непроменљивост збира: ( a + m ) + ( b - m) = a + b

a је умањеник b је умањилац r је разлика а - b је разлика

a и b су чиниоци p је производ а · b је производ

a је дељеник b једелилац k је количник а : b је количник

Нула као умањилац: а-0=а Непроменљивост разлике: (a+m)-(b+m)=a-b (a-m)-(b-m)=a-b Замена места чинилаца: a·b=b·a

Нула као чинилац: а·0=0·а=0 0·0=0

Здруживање чинилаца: (a·b)·c=a·(b·c) Множење збира и разлике ( a+ b ) · c = a · c + b · c (a-b)·c=a·c-b·c

Непроменљивост производа: a · b = ( a · m ) · ( b : m)

Дељење збира и разлике: (а+b):c=a:c+b:c (а-b):c=a:c-b:c

Нула као дељеник: 0:а=0

Под условом да је c делилац а и b

Непроменљивост количника: ( a · m ) : ( b · m ) = a: b ( a : m ) : ( b : m ) = a: b Нулом се не дели

117

117