2° Trabajo de Mecrock-kirsch

Universidad de Atacama Departamento de Minas Copiapó

Mecánica de Rocas Ecuación de KIRSCH y teoría de fractura de Hoek-Brown

Nombre: Segovia Profesor: Fecha: del 2014 Nivel:

Francesco Olivares Hugo Olmos Naranjo 24 de Octubre 502

Teoría de Fractura Hoek-Brown y ecuaciones de Kirsch- Mecanica de Rocas 2014

Introducción Hoy en día la ecuación de Kirsch es una de la más usada en mecánica de rocas para el cálculo de la resistencia a los esfuerzos y elasticidad del macizo rocoso. Junto con lo postulado por Hoek-Brown, son capaces de determinar el estado tensional alrededor de una labor, aunque la ecuación de Kirsch se acota más a labores de características subterráneas y de forma circular. Por un lado, Kirsch necesita conocer de antes los esfuerzos insitu y las dimensiones de la labor, en cambio Hoek-Brown depende de las propiedades del macizo rocoso y de los esfuerzos resultantes aplicados a una muestra de roca intacta (ensayo de compresión uniaxial y triaxial).

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Tabla de contenido Introducción........................................................................................................ 1 Criterio de Hoek – Brown..................................................................................... 3 Determinación de las constantes del material.................................................6 Criterio generalizado (2002)............................................................................... 7 Desarrollo de las ecuaciones de Kirsch.........................................................................12 Nomenclatura..................................................................................................... 12 Ecuaciones de Kirsch..................................................................................... 14 Esfuerzos en los límites de la excavación......................................................14 Ejemplo de uso de las ecuaciones............................................................................... 19 Conclusión........................................................................................................ 24 Bibliografía........................................................................................................ 25

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Criterio de Hoek – Brown El criterio de fractura de Hoek-Brown es un criterio empírico adecuado para macizos rocosos. Aunque originalmente se desarrolló para el diseño de excavaciones subterráneas, su uso se extendió a otras aplicaciones, siempre referido a terrenos rocosos. En el presente apartado se analiza el origen y justificación del criterio en su versión de 1980 y se describe la última versión 2002. Criterio original de 1980

σ 1=σ 3 + √ mσ c σ 3 + s σ 2c

√

σ 1=σ 3 +σ c m

Ec. (3)

σ3 +s σc

Donde

σ 1 : Esfuerzo principal mayor en el debilitamiento. σ 3 : esfuerzo principal menor aplicado a la muestra. σ c : es la resistencia uniaxial a la compresión de la roca inalterada en la muestra. m y s: constantes que dependen de las propiedades de la roca y del grado de su fracturación antes de ser sometida a los esfuerzos principales (s=1 para la roca intacta)

Esta relación se puede representar gráficamente mediante un diagrama tal y como se muestra en la siguiente figura 1. La resistencia a la compresión uniaxial de la muestra se logra sustituyendo

σ 3 =0

en la ecuación (3) lo que

da:

σ cs =√ s σ 2c

Ec. (4) 3

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σ cs =σ c



Para roca inalterada



Para roca fracturada de antemano

, donde s = 1 s0,33 todos los esfuerzos de la periferia son a compresión Los esfuerzos en las paredes disminuyen desde un máximo de 3p para K=0 hasta un valor de 2p para K=1

Estos valores se pueden apreciar de forma gráfica en la siguiente figura

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Figura n°8. Variación en los esfuerzos de la periferia (techo, piso y cajas) de una excavación circular con la variación en la relación k de los esfuerzos aplicados

Solución de kirsch en el contorno de la labor Al final se puede decir que el estado de esfuerzos en el contorno de una labor circular esta determinada por las siguientes expresiones:

   pz  (1  k )  2(1  k ) cos 2     p z (3k  1) (B)

   pz (3  k ) (A)

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Figura n°9. Estado tensional en el contorno de la labor según KIRSCH.

Zona de influencia Para diseñar excavaciones el concepto de zona de influencia es relevante. Se entiende como el dominio sobre el que una excavación genera una perturbación significativa del estado tensional. La presencia de una excavación vecina puede afectar el estado tensional del área donde se va a realizar otra excavación, esto podría llegar a afectar la nueva excavación al punto de hacerla fallar. La zona de influencia determina el campo cercano y el campo lejano. Si se considera una excavación circular en un campo hidrostático de esfuerzo de magnitud p y un radio de la labor a, entonces para una distancia desde el centro de la labor de r=5a. a2 r2

( )

σ r = p∗ 1−

a2 r2

( )

σ θ =p∗ 1+

τ r =0

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Figura n°10. de la relación esfuerzo  al vertical con distancia largo del eje para k=0

Variación del tangencial esfuerzo aplicado pz radial r a lo horizontal

Se los valores ecuaciones;

reemplazan en estas

σ r =0.96 p σ θ =1.04 p τ r =0 Se puede demostrar que para r=5a, el estado tensional no es significativamente diferente que el campo lejano (estado tensional original) De esta forma la excavación 1 no afecta al estado de la excavación, dado que esta está fuera de su zona de influencia. Para el diseño se pueden considerar ambas excavaciones aisladas.

Figura n°11. Límites de influencias de ambas labores circulares.

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Teoría de Fractura Hoek-Brown y ecuaciones de Kirsch- Mecanica de Rocas 2014 En general, la interacción será insignificante si los centros de las excavaciones se encuentran a una distancia mayor a 6 veces el radio mayor de las dos excavaciones. Importante notar que la zona de influencia está determinada por la forma de la excavación y por el estado tensional pre-minería.

Esfuerzos independientes del tamaño de la excavación Debemos notar que los esfuerzos alrededor de un orificio circular, en un macizo de roca infinito (ec. de Kirsch) no incluyen términos como el radio del túnel a, sino que incluyen términos independientes de la dimensión a/r. Esto quiere decir que en las cajas de un túnel circular de un metro se puede inducir los mismos niveles de esfuerzos que en las cajas de un túnel de 10 metros, en la misma roca elástica. Este fenómeno provoco mucha confusión en el pasado, debido a que algunos autores concluyeron que en vista que los esfuerzos inducidos en la roca alrededor de la cavidad son independientes del tamaño de la excavación, la estabilidad de la excavación también era independiente de su tamaño. Si el macizo rocoso fuera perfectamente elástico y libre de defectos, podría ser que esta conclusión resultara razonablemente correcta, pero no es el caso cuando se trata de macizos ya fracturados de por sí. Aunque los esfuerzos sean idénticos, la estabilidad de una excavación en un macizo rocoso fracturado y fisurado la controlara la relación entre el tamaño de la excavación y el tamaño de los bloques en el macizo rocoso. En consecuencia, al aumentar el tamaño de la labor en una formación de roca típicamente fisurada no aumentaran los esfuerzos aunque seguramente provocara una disminución en la estabilidad.

Ejemplo de uso de las ecuaciones

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Teoría de Fractura Hoek-Brown y ecuaciones de Kirsch- Mecanica de Rocas 2014 A una profundidad de 450 metros se realiza una excavación de 3 metros de diámetro la roca posee un peso unitario de 26KN/M3, una resistencia a la compresión uniaxial de 60 mpa y una resistencia a la tracción de 3 Mpa. Cuál es el stress alcanzado en el límite de la excavación? a)k=0,3 b)k=2.5 Asumiendo que no hay fortificaciones, y que en el límite de la excavación solo

 r  r

 existe compresión uniaxial

ya que

=

=0

La solución para el estrés tangencial es

 





2 4 1  pz (1  k )(1  a 2 )  (1  k )(1  3 a 4 ) cos 2  r r 2 

Se reduce después de r = a

 

1 pz   (1  k )(1  1)  (1  k )(1  3)  cos 2 2 

 

1 pz   (1  k )(2)  (1  k )(4)  cos 2 2 

   pz  (1  k )  2(1  k ) cos 2  Asumiendo que el stress vertical es solo por el peso, se aplica la regla de heim

 z  z

 z  11.7( MPa) Ahora como las direcciones de los esfuerzos principales son 0° y 90° Para K = 0.3

   31,59( MPa ) Θ = 0 se tiene que

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   1, 7( MPa) Θ = 90 se tiene que

Para K = 2.5

   5,85(MPa ) Θ=0

   76, 05( MPa) Θ = 90

en este caso podemos ver que se supera la resistencia de 60 MPa en la corona y en el piso

Si en la misma situación anterior se construye un túnel de 6 metros de diámetro paralelo al anterior y al mismo nivel, la separación entre los centros de ambas excavaciones es de 10 metros . Se considera la distancia a la cual se produzcan 5% de influencia en los esfuerzos Si se asume influencia hidrostática tenemos

r 





2 2 4 1  pz (1  k )(1  a 2 )  (1  k )(1  4 a 2  3 a 4 ) cos 2  r r r 2 

K = 1, θ = 0 Por lo tanto





r 

2 2 4 1  pz (1  1)(1  a 2 )  (1  1)(1  4 a 2  3 a 4 ) cos 0   r r r 2 

r 

2 1  pz (2)(1  a 2 )   r 2 





 r  p z  (1  a 2 )   r 2

 1

 1

Asumiendo un 5% de influencia se tiene

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1 a

a2

a

2

r2

r

r2

 0.95

 0.05

 0.05

r  a 20 Como tenemos una excavación de diámetro de 3 metros a=1.5 Y también tenemos una excavación de 6 metros de diámetro a= 3 Por lo tanto los resultados seria Se tienes r1 de 6,7 m para el de diámetro de 3 metros Y para r2 de 13.4 para el diámetro de 6 metros Recordando que la distancia que los separa es de 10 metros lo que se concluye es que la excavación 1 no influye en el excavación 2, pero la excavación 2 si influye en la excavación 1 Por lo tanto queda demostrado que la presencia de una excavación vecina puede afectar el estado tensional del área donde se va a realizar el otra excavación llegando al punto de hacerla fallar.

Excavación 1

excavación 2

Calculando los esfuerzos Para la excavación número 2 con K=0.3 24

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



2 4 1    11, 7  (1  0,3)(1  3 2 )  (1  0,3)(1  3 3 4 ) cos 0  10 10  2

 r  12.48( MPa)





2 2 4 1  pz (1  k )(1  a 2 )  (1  k )(1  4 a 2  3 a 4 ) cos 2  r r r 2 

r 

 r  4.20 MPa  r  0MPa pz Entonces para la primera excavación tenemos

K

=12.48 Mpa y

4.2  0.336 12.48

Luego para la primera excavación tenemos que los límites de la excavación

Para 0°

 

1 pz   (1  k )(1  1)  (1  k )(1  3)  cos 2 2 

1    12.48   (1  0.335)(1  1)  (1  0.336)(1  3)  cos 0 2

   33.246MPa

Otro ejercicio analizado

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Resultados

El programa Excel nos permite varias rápidamente varios parámetros y ver qué pasa con el comportamiento del macizo rocoso.

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Conclusión Llegamos a la conclusión que los esfuerzos alrededor de un orificio circular, en un macizo de roca. Que en las cajas de un túnel circular de 4 metro se pueden inducir los mismos niveles de esfuerzos que en las cajas de un túnel de 10 metros, en la misma roca elástica. Este problema crea confusión por la independencia de los esfuerzos inducidos del tamaño Si el macizo rocoso fuera perfectamente elástico y libre de defectos, podría ser que esta conclusión resultara razonablemente correcta, pero no es el caso cuando se trata de macizos ya fracturados de por sí.

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Bibliografía  

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Esfuerzos alrededor de excavaciones subterráneas (Hugo Olmos Naranjo) Definición preliminar de las secciones tipo de sostenimiento en los túneles proyectados por métodos convencionales. Publicación en INGEOPRES, n°192 Mayo 2010 Hoek E. (1983), Strenght of jointed masses. Geotechnique, 33 (3), pp. 187-223 Carta para evaluar el índice de resistencia geológica en macizos rocosos fracturados. Marinos y Hoek (2000)

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