2. Stabilità Dei Sistemi Di Controllo in Retroazione e Stabilizzazione

CARATTERIZZAZIONE CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI ST STABILIZZANTI ABILIZZANTI

   e C (s)

−  

u

P (s)

 y

H (s) 

•  Assunzioni:

P (s), C (s), H (s) razionali fratte, P (s)1 strettamente pro-

pria, C (s) e H (s) proprie. Ipotesi semplificativa: H (s) = 1.

•   Definizioni. –  S : insieme insieme delle delle funzioni funzioni di trasferi trasferimen mento to raziona razionali li fratte, fratte, proprie proprie,, con tutti i poli a parte reale minore di zero.

–

 C (P ): insieme dei controllori  C (s) che rendono stabile internamente il sistema di controllo.

•   Problema. –  Assegnato 1

l’impianto P (s) determinare l’insieme dei controllori (P ).

C

Nel caso in cui  P (  P (s) derivi da un sistema in equazioni di stato (A,B,C,D ( A,B,C,D =  = 0), ovvero  P (  P (S ) =  C (  C (sI 

A)−1 B , si assume che gli autovalori di  A  coincidono con i poli di P  di  P ((s).

 −  −

CARATTERIZZAZIONE CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI ST STABILIZZANTI ABILIZZANTI

•  (I) Impianto stabile: –

P (s)

∈ S 

L’insieme dei controllori stabilizzanti `e

 C (P ) = C (s) = 1 − P Q((ss))Q(s) ,

 Q(s) ∈ S 

–   Dimostrazione:

Q(s)

⇒   Le 4 f.d.t. {1, C (1s)+, P C ((ss),)P C ((ss))P (s)} ∈ S 

=

∈ S 

⇒

C (s) stab stabili ilizz zzan ante te =

–  Espressione

Q(s) =

C (s) 1 + C (s)P (s)

 ∈ S 

della funzione di sensitivit`a S  e  e della funzione di trasfer-

imento ad anello chiuso W :

–  Espressioni

W (s) =

C (s)P (s) = 1 + C (s)P (s)

P (s)Q(s)

S (s) =

1 = 1 + C (s)P (s)

1

− P (s)Q(s)

delle altre due f.d.t.: C (s) = 1 + C (s)P (s)

Q(s)

P (s) = 1 + C (s)P (s)

P (s)[1

− P (s)Q(s)]

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Esempio. Determinare un controllore tale da stabilizzare l’impianto P (s) =

10 (1 + s)(1 + 0.1s)

e da rendere nullo l’errore a regime di inseguimento ad un gradino unitario in ingresso.

•  Soluzione. Insieme dei controllori stabilizzanti che risolvono il problema

 Q(s) C  s , ( ) =  1 − P (s)Q(s)

 Q(s) ∈ S , Q(0) = 0.1 .

•   Scelta Q(s): Q(s) = 0.1

=

⇒

C (s) =

1 (1 + s)(1 + 10s) 10 s(1 + s/11)

•  Osservazione: il problema `e risolto anche dal controllore integrale C (s) =

K  , s

 ∈

K   (0 , 1.1)

determinato attraverso metodi classici 2. Tale controllore stabilizzante corrisponde alla scelta della funzione: Q(s) =

2

10K (1 + s)(1 + 0.1s) s3 + 11s2 + 10s + 100K 

Criterio di Routh-Hurwitz, luogo delle radici

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Esempio. –  Determinare

un controllore tale da stabilizzare l’impianto

P (s) =

10 (1 + s)(1 + 0.1s)

e da rendere nullo l’errore a regime di inseguimento ad una rampa unitaria in ingresso.

•   Soluzione. –  Insieme

dei controllori stabilizzanti che risolvono il problema 3

 Q(s) C  s , ( ) =  1 − P (s)Q(s)

–   Scelta

∈ S ,

S (0) = 0,

Q(s):

Q(s) = –  Soddisfacimento

a  = 0.21;

3

Q(s)

as + b  , s+1

∈

 DS (0) = 0 .

∈

a  R, b  R

specifica:

b  = 0.1;

⇒

=

C (s) =

1 (1 + 2.1s)(1 + s)(1 + 0.1s) s2 (1 + s/12) 12

S (0) indica il valore in s  = 0 della funzione di sensitivit`a S (s); DS (0) indica il valore in s  = 0 della

derivata rispetto a s  della funzione di sensitivit`a  S (s).

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  (I) Impianto stabile: –   Schema

P (s)

∈ S 

controllore +     +  

e



Q(s)

 u

P (s) 

–  Osservazione:

il controllore nullo  C (s) = 0, ovvero corrispondente a

Q(s) = 0, `e stabilizzante.

–  Osservazione:

la classe dei controllori stabilizzanti pu`o essere scritta

nella forma generale

 (s) + M (s)Q(s) C(P ) = C (s) = X  , Y (s) − N (s)Q(s)

 Q(s) ∈ S 

dove X (s), M (S ), Y (s), N (s) sono specifiche funzioni di trasferimento appartenenti a

 S .

In particolare, risulta: X (s) = 0;

M (s) = 1;

Y (s) = 1;

N (s) =  P (s).

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  (II) Impianto instabile: –  Ogni

P (s)

∈ S 

4

impianto instabile P (s) pu`o essere scritto nella forma P (s) =

N (s) , M (s)

N (s), M (s)

∈ S ,

detta  fattorizzazione coprima  su . Infatti, posto

 S 

bn−1sn−1 + . . . + b1 s + b0 P (s) = n , s + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0

allora N (s) e M (s) si possono scegliere come: bn−1 sn−1 + . . . + b1s + b0 N (s) = (s + 1)n sn + an−1sn−1 + . . . + a1 s + a0 M (s) = (s + 1)n

Analogamente, anche un generico controllore stabilizzante cnc −1 snc −1 + . . . + c1 s + c0 C  (s) = nc s + dnc −1 snc −1 + . . . + d1s + d0 0

ammette una fattorizzazione coprima su C 0 (s) =

con X (s), Y (s)

 S , ovvero:

X (s) Y (s)

∈ S   espressi come:

cnc−1 snc −1 + . . . + c1s + c0 X (s) = (s + 1)nc

snc + dnc−1 snc −1 + . . . + d1 s + d0 Y (s) = (s + 1)nc 4

P (s) ha almeno un polo a parte reale maggiore o uguale a zero.

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Risultato –

La classe dei controllori stabilizzanti `e

 X (s) + M (s)Q(s) C(P ) = C (s) = Y (s) − N (s)Q(s) ,

dove X (s), Y (s), N (s), M (s)

 Q(s) ∈ S 

∈ S   soddisfano la condizione:

N (s)X (s) + M (s)Y (s) = 1,

con N (s), M (s) rappresentazione coprima di P (s). –  Espressione

della funzione di sensitivit`a S  e della funzione di trasfer-

imento ad anello chiuso W : W (s) =

C (s)P (s) = 1 + C (s)P (s)

N (s)[X (s) + M (s)Q(s)]

S (s) =

1 = 1 + C (s)P (s)

M (s)[Y (s)

–  Espressioni

− N (s)Q(s)]

delle altre due f.d.t.: C (s) = 1 + C (s)P (s)

M (s)[X (s) + M (s)Q(s)]

P (s) = 1 + C (s)P (s)

N (s)[Y (s)

− N (s)Q(s)]

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Dimostrazione parte sufficiente C (s) =

X (s) + M (s)Q(s) , Y (s) N (s)Q(s)

Q(s)

−

∈ S  =⇒

Le quattro f.d.t.

 ∈ S 

•  Dimostrazione parte necessaria. Sia C (s) stabilizzante e sia N  (s) C (s) = , N  (s), M  (s) ∈ S  M  (s) una sua fattorizzazione coprima su  S . Ci`o implica che V (s) = (N (s)N  (s) + M (s)M  (s))− ∈ S . c

c

c

c

c

1

c

Adesso sia Q(s) la soluzione dell’equazione M c (s)V (s) = Y  (s)

− N (s)Q(s)

( )



e quindi anche soluzione dell’equazione N (s)N c(s)V (s) + M (s)[Y (s)

− N (s)Q(s)] = 1.

Utilizzando la seconda delle seguenti equivalenze N (s)X (s)+M (s)Y (s) =  N (s)[X (s)+M (s)Q(s)]+M (s)[Y (s) N (s)Q(s)] = 1,

−

e confrontandola con l’equazione ( ), risulta



N c(s)V (s) =  X (s) + M (s)Q(s).

Quindi, in definitiva, C (s) =

N c(s) N c (s)V (s) X (s) + M (s)Q(s) = = M c(s) M c (s)V (s) Y (s) N (s)Q(s)

−

con Q(s) =  Y  (s)N c (s)V (s)

− X (s)M  (s)V (s) ∈ S . c

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Assegnato P (s), il problema consiste nel trovare un controllore stabilizzante X (s) Y (s)   soluzioni dell’equazione C 0 (s) =

con X (s), Y (s)

∈ S 



N (s)X (s) + M (s)Y (s) = 1.

( )

0

•  Metodi per determimare C  (s) –  Metodi

classici: luogo delle radici, criterio di Nyquist, sintesi per

tentativi . . . . –  Metodi

sistematici: funzioni ad anello chiuso  W  associate a control-

lori stabilizzanti, equazioni polinomiali, . . .

•   Esempio. L’impianto P (s) =

1

s 1 `e stabilizzabile attraverso un controllore proporzionale con un guadagno

−

opportuno. In particolare, assumendo per P (s) la fattorizzaione comprima seguente P (s) =

N (s) , M (s)

N (s) =

1 , s+1

M (s) =

s 1 , s+1

−



l’equazione ( ) risulta soddisfatta per X (s) = 2 e Y (s) = 1. Pertanto C 0 (s) = 2 e

 1 Q(s) 2 +  ss − +1 , C(P ) = C (s) = 1 1 − s + 1 Q(s)

 Q(s) ∈ S  . 

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Schema generale controllore stabilizzante C (s) =



 M (s)

e

X (s) + M (s)Q(s) Y (s) N (s)Q(s)

−

X (s)

+      Q(s) +  

+   +      Y −1 (s)

 u

N (s) 

• Osservazione:

se P (s)

∈ S   si ha N (s)

= P (s), M (s) = 1, X (s) =

0, Y (s) = 1 e quindi lo schema del controllore si riduce al seguente

e

+     +  



Q(s)

P (s) 

 u

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

Un metodo sistematico per determinare un controllore stabilizzante C 0 (s).

•   Posizioni: - { p , . . . , p }: poli (distinti) di P (s) con parte reale  ≥ 0. - {m , . . . , m }: molteplicit`a dei poli  { p , . . . , p }. - {z  , . . . , z  }: zeri (distinti) di P (s) con parte reale  ≥ 0. - {m , . . . , m }: molteplicit`a degli zeri  {z  , . . . , z  , . . . , z  }.  m : numero di poli di P (s) con parte reale ≥ 0. - N  :=  m : numero di zeri di P (s) con parte reale ≥ 0. - N  := 1

r

 p 1

1

 p r

1

r

l

z 1

z l

1

 p

r i=1

 p i

z

l i=1

z i

i

l

- E : eccesso poli-zeri di P (s).

•  Passo 1. Si sceglie la funzione di trasferimento W (s) in modo da garantire la stabilit`a interna del sistema di controllo: W (s) =

(s

mz1

mz l l F (s) + 1)N  p +N z +E  1

− z  ) ·· · (s − z  ) 1

(s

−

 p

dove  F (s) =  f N p  −1sN  −1 + . . . + f 1 s + f 0  `e un polinomio di grado  N  p determinato in modo da soddisfare le   condizioni di interpolazione :

  W ( p ) = 1  D W ( p ) = 0   ·· ·  W ( p ) = 1  D W ( p ) = 0 1

h

1

h  = 1, . . . , m p1

−1 (***)

···

r

h

r

h  = 1, . . . , m pr

−1

•  Passo 2. Calcolo del controllore stabilizzante: C 0 (s) =

W (s) 1 P (s) 1 W (s)

−

−1

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Esempio. P (s) = –   Forma

s 1 , s(s 2)

− −

E  = 1, N  p = 2, N z = 1

W (s): W (s) =

(s 1)F (s) (s + 1)3

−

con F (s) =  f 1 s + f 0  tale da soddisfare le condizioni di interpolazione:

–   Controllore:

  W (0) = 1 ⇒  W (2) = 1 C 0(s) =

F (s) = 14s

−1

14s 1 s 9

− −

•  Osservazione. Le condizioni di interpolazione (***) equivalgono a poter esprimere la funzione di sensitivit`a nel seguente forma: S (s) = 1

m p1

m pl

− W (s) = (s − p(s) + 1)··· (s − p− ) 1

N  p +N z

dove H (s) `e un polinomio di grado N z + E 

H (s) l 1+E 

− 1.

Applicando al precedente esempio, si ottiene S (s) = 1

s + 3) − W (s) = s(s (−s 2)( , + 1) 3

e quindi H (s) =  s + 3.

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

Procedura sistematica per determinare la classe dei controllori stabilizzanti

 X (s) + M (s)Q(s) C (P ) = C (s) = Y (s) − N (s)Q(s) ,

•  Passo 1. Fattorizzazione P (s) P (s) =

5

 Q(s) ∈ S 

B (s) B−(s)B+ (s) = A(s) A−(s)A+ (s)

dove B− (s) e B+(s) (A−(s) e A+ (s)) contengono tutte le radici a parte reale rispettivamente minore <  0 zero e

• Passo 2.

 ≥ 0 del polinomio B (s) (A(s)). Calcolo del polinomio F (s), di grado N  −  1, in modo che  p

le condizioni di interpolazione (***) siano soddisfatte dalla funzione di trasferimento B+(s)F (s) W (s) = . (s + 1)N  p +N z +E −1 z

•  Passo 3. Calcolo del seguente polinomio di grado N  + E  − 1: − − B (s)F (s) (s + 1) H (s) = N  p +N z +E  1

+

A+(s)

•  Passo 4. Calcolo espressioni di X (s) Y (s), N (s), M (s):

  X (s) = B−(sA)(−s(+s)F 1)(s)    N (s) = AB−(−s()(s)sB+ (1)s) ;

N z +E  1 ;

+

5

 p

N 

−

H (s) Y (s) = z (s + 1)N  +E −1 M (s) =

A+ (s)  p (s + 1)N 

    

Posizioni e notazioni su P (s) sono le stesse usate nel metodo sistematico per determinare C 0 (s).

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Espressione finale della classe dei controllori stabilizzanti.

 A−(s)F (s) A (s)  + − (s + 1) B−(s)(s + 1) C(P ) = C (s) = H (s) B− (s)B (s)  −  − A− (s)(s + 1) (s + 1) +

N  p Q(s)

z

N  +E  1

+

,

N  p Q(s)

N z +E  1

  Q(s) ∈ S  

0

•  Il controllore stabilizzante C  (s) assume la forma: C 0 (s) =

X (s) A− (s)F (s) = Y (s) B−(s)H (s)

In particolare,  C 0 (s) `e propria (ordine pari a quello di  P (s) meno uno6).

•  La classe delle funzioni di trasferimento ad anello chiuso W (s) risulta:    B (s)F (s) A (s)B (s)B− (s) Q(s), Q(s) ∈ S  W (P ) = W (s) = (s + 1) − + A−(s)(s + 1) +

+

 p

+

z

2N  p

N  +N  +E  1

La classe delle funzioni di sensitivit`a ad anello chiuso S (s) risulta:

 S (P ) = S (s) = (s +A1)(s)H (s) −  − AA (s(s)B)(s (+s)1)B−(s) Q(s), − +

+

 p

+

z

2N  p

N  +N  +E  1

•  Osservazione: poich´e W (s) e S (s) sono tali che

 Q(s) ∈ S 

W (s) + S (s) = 1,

allora i polinomi F (s) (grado N  p 1) e H (s) (grado N z +E  1) soddisfano

−

−

la relazione seguente:  p

z

B+ (s)F (s) + A+ (s)H (s) = (s + 1)N  +N  +E −1. 6

L’ordine pu` o risultare anche minore nel caso (non generico) in cui zeri di A− (s) e B− (s) si cancellano

rispettivamente con zeri di H (s) e F (s).

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Rivisitazione esempio. s−1 P (s) = , s(s − 2) –  Passo

E  = 1, N  p = 2, N z = 1

1. Fattorizzazione P (s):

A−(s) = 1, –  Passo

A+(s) =  s (s

− 2),

B− (s) = 1,

B+(s) =  s

−1

2. Calcolo del polinomio F (s) (di grado 1): F (s) = 14s

–  Passo

−1

3. Calcolo del polinomio H(s) (di grado 1): H (s) =  s

–  Passo

−9

4. Calcolo espressioni di X (s) Y (s), N (s), M (s):

  X (s) = 14ss+−11 ;   N (s) = s − 1 ; (s + 1) 2

–   Controllore

C 0 (s)

C 0(s) = –  Classe

  9 Y (s) = ss −  +1  s(s − 2)   M (s) = (s + 1) 2

14s 1 s 9

− −

dei controllori stabilizzanti: 14s 1 s(s 2) Q(s) + s+1 (s + 1)2 , (P ) = C (s) = s 9 s 1 Q(s) s + 1 (s + 1)2

C

   

− − −  − −

  Q(s) ∈ S  

CARATTERIZZAZIONE DEI CONTROLLORI STABILIZZANTI

•  Esempio. P (s) = –  Passo

10(s 1)(s + 5) , s(s + 2)(s + 4)

−

E  = 1, N  p = 1, N z = 1

1. Fattorizzazione P (s):

A− (s) = (s+2)(s+4), A+(s) =  s, B− (s) = 10(s+5), B+ (s) =  s 1

−

–  Passo

2. Calcolo del polinomio F (s) (di grado 0): F (s) =

–  Passo

−1

3. Calcolo del polinomio H(s) (di grado 1): H (s) =  s + 3

–  Passo

4. Calcolo espressioni di X (s) Y (s), N (s), M (s):

  X (s) = − 10((ss++2)(5)(ss++4)1) ;  s + 5)(s − 1)  N (s) = (s 10( ; + 2)(s + 4)(s + 1)

–   Controllore

   s  M (s) = s + 1  3 Y (s) = ss + +1

C 0 (s):

C 0 (s) =

− 10((ss++2)(5)(ss++4)3)

–  Classe

C

dei controllori stabilizzanti: s (s + 2)(s + 4) Q(s) + 10(s + 5)(s + 1) s + 1 , (P ) = C (s) = s+3 10(s + 5)(s 1) Q(s) s + 1 (s + 2)(s + 4)(s + 1)

   

−

 −

−

  Q(s) ∈ S  

MODELLO DEL PENDOLO INVERSO CON CARRELLO

 

z 



   



x 

              mg             l    θ         



•

 M 

u



•  Equazioni dinamiche del moto

  (M  + m)¨x + ml(θ¨ cos θ − θ¨ sin θ) = u  m(¨ x cos θ + lθ¨ − g sin θ ) = 0 2

•  Sistema non lineare con 1 ingresso e 2 uscite (4 variabili di stato): x

x˙

θ

θ˙

• • • •

u



Sistema non lineare tempo invariante a dimensione finita (causale)

 z   x

MODELLO DEL PENDOLO INVERSO CON CARRELLO

•  Condizione di equilibrio: u(t) = 0,

x(t) = 0,

θ(t) = 0,

z (t) = 0.

•  Modello linearizzato nell’intorno dell’equilibrio: 

u

 z 

G(s)

 x

•  Espressione matrice di trasferimento G(s):

    g −   G (s)  − s M ls M  m g ( ( + ) )    =  G(s) =  ls − g  G (s) z

2

2

2

x

s2 (M ls2

− (M  + m)g)

•  Poli e zeri di G (s) e G (s)    m  g   m  g  poli(G ) ≡   poli(G ) = 0, 0, − 1 + M  l , 1 + M  l zeri(G ) = {∅}   g  g  zeri(G ) = − l , l •   Osservazione: entrambe le funzioni di trasferimento hanno un polo a z

z

x

x

z

x

parte reale maggiore (equilibrio instabile) e un polo doppio in s = 0, prodotto dal moto del carrello (in assenza di attrito). La funzione di trasferimento Gx (s) ha anche uno zero a parte reale maggiore di zero (azione del pendolo sul carrello) che `e tanto pi`u vicino al polo quanto pi`u la massa m  del pendolo `e piccola rispetto alla massa M  del carrello.

MODELLO DEL PENDOLO INVERSO CON CARRELLO

•  Stabilizzazione del pendolo inverso con carrello attraverso retroazione della posizione z   della massa del pendolo +    e C (s)

y0

u

−  

•  Funzione di trasferimento impianto −1 , P (s) = s (s − 1) 2

–  Passo

7

E  = 4, N  p = 3, N z = 0

2

1. Fattorizzazione P (s):

A−(s) =  s + 1, –  Passo

 y =  z 

P (s)

A+(s) =  s 2 (s

− 1),

B−(s) =

−1,

B+(s) = 1

2. Calcolo del polinomio F (s) (di grado 2). Forma W (s): W (s) =

F (s) (s + 1)6

con F (s) =  f 2 s2 + f 1s + f 0  tale da soddisfare le condizioni di interpolazione:

  W (0) = 1  DW (0) = 0 ⇒  W (1) = 1 7

Posizioni:  Ml/g = 1, M  + m = 1

F (s) = 57s2 + 6s + 1.

MODELLO DEL PENDOLO INVERSO CON CARRELLO

•  Stabilizzazione del pendolo inverso con carrello attraverso retroazione della posizione z   della massa del pendolo (continua) –  Passo

3. Calcolo del polinomio H(s) (di grado 3): (s + 1)6 F (s) H (s) = =  s 3 + 7s2 + 22s + 42. 2 s (s 1)

− −

–  Passo

4. Calcolo espressioni di X (s) Y (s), N (s), M (s): 2

3

  X (s) = − (57s(s++61)s + 1) ;    N (s) = − 1 ; (s + 1) 2

  Y (s) = s + 7s + 22s + 42   (s + 1)  s 2(s − 1)  M (s) = (s + 1) 3

2

4

–  Classe

2

3

dei controllori stabilizzanti: 2

  − (57s(s++61)s + 1) +  s(2(s s+−1)1) Q(s) C (P ) = C (s) = s + 7s + 22s + 42 , 1  Q(s) + 2

3

2

(s + 1)3

–   Controllore

(s + 1)4

C 0 (s)

0

C  (s) = –  Funzione

3

−

  Q(s) ∈ S  

(s + 1)(57s2 + 6s + 1) s3 + 7s2 + 22s + 42

di trasferimento e funzione di sensitivi`a ad anello chiuso:

2 C 0 (s)P (s) s 57 + 6s + 1 W  (s) = = 0 1 + C  (s)P (s) (s + 1)6 0

0

S  (s)

s2 ( s 1 = = 1 + C 0 (s)P (s)

3

− 1)(s

+ 7s2 + 22s + 42) (s + 1)6

MODELLO DEL PENDOLO INVERSO CON CARRELLO

•  Stabilizzazione del pendolo inverso con carrello attraverso retroazione della posizione x  del carrello +    e C (s)

y0

u

−  

•  Funzione di trasferimento impianto 2s − 1 P (s) = , − s (s 1) –  Passo

E  = 2, N  p = 3, N z = 1

2

1. Fattorizzazione P (s): 2

A− (s) =  s +1, A+ (s) =  s (s 1), B− –  Passo

 y =  x

8

2

2

P (s)

−

√  (s) = 2s+ 2,

B+(s) =  s

− √ 12

2. Calcolo del polinomio F (s) (di grado 2). Forma W (s): (s W (s) =

− √ 12 )F (s) (s + 1)5

con F (s) =  f 2 s2 + f 1s + f 0  tale da soddisfare le condizioni di interpolazione:

  W (0) = 1  DW (0) = 0 ⇒  W (1) = 1 8

Posizioni:  Ml/g = 1, M  = m = 1/2

√  √  √  F (s) = (66 + 38 2)s − (5 2 + 2)s − 2. 2

MODELLO DEL PENDOLO INVERSO CON CARRELLO

•  Stabilizzazione del pendolo inverso con carrello attraverso retroazione della posizione x  del carrello (continua) –  Passo

3. Calcolo del polinomio H(s) (di grado 2):

− (s − √  )F (s) = s s (s − 1)

H (s) = –  Passo

1 2

(s + 1)5

2

2

√  + 6s − 50 − 38 2.

4. Calcolo espressioni di X (s) Y (s), N (s), M (s):

 √  s √  s √  − (5 2 + 2) − 2 ;  X (s) =  (66 + 38 (22)s + √  2)(s + 1)    N (s) = 2s − 1 ; (s + 1) 2

2

4

–  Classe

 √  + 6s − 50 − 38 2

2 Y (s) = s

(s + 1)

2

   

s2(s 1) M (s) = (s + 1)3

−

dei controllori stabilizzanti

 C(P ):  √  s √  s √  s s (66 + 38 2) − (5 2 + 2) − 2 ( − 1) √  Q(s) +  (s + 1) (2s + 2)(s + 1) √  C  s , ( ) =  s + 6s − 50 − 38 2 2s − 1 − (s + 1) Q(s)  (s + 1) 2

2

3

2

2

2

–   Controllore

4

C 0 (s)

  Q(s) ∈ S  

√  − √  √ 2] − √  √  − −

(s + 1)[(66 + 38 2)s2 (5 2 + 2)s 0 C  (s) = (2s + 2)(s2 + 6s 50 38 2) –  Funzione

di trasferimento e funzione di sensitivit`a ad anello chiuso:

C 0 (s)P (s) 0 W  (s) = = 1 + C 0(s)P (s) S 0(s)

(s

2

=

− √ 

s (s 1 = 1 + C  (s)P (s) 0

√ 

√ 

1 )[(66 + 38 2)s2 (5 2 + 2)s 2 (s + 1)5 2

− 1)(s

+ 6s 50 (s + 1)5

−

√ 

− − 38

2)

−

√ 

2]