2-sinyaller_ve_sistemler

SİNYALLER VE SİSTEMLERİN MATLAB YARDIMIYLA BENZETİMİ 2.1. Sinyal Üretimi Bu laboratuarda analog sinyaller ve sistemlerin sayısal bir ortamda benzetimini yapacağımız için örneklenmiş sinyaller üzerinde işlem yapacağız. Sürekli zamanlı bir sinyal olan X c (t ) ’yi N boyutlu bir vektör ile örneklenmiş ve kuantalanmış (bölütlenmiş) olarak [X c (t 0 ) X c (t1 ) ... X c (t N -1)] şeklinde ifade edilebilir. Burada sinyalin zaman aralığı to ile t N −1 arasındadır. Örnekleme aralığı Ts =t i+1 -t i ifadesiyle belirtilmektedir. Örnekleme aralığı yeteri kadar büyük seçilmelidir ki MATLAB’ de sinyal sürekli zaman gibi görülebilsin. Sinyalin en büyük frekansının yaklaşık 10 katı bir değer (örnekleme frekansı) işlemler için yeterli olacaktır. Ancak sinyalin fazının çizdirilmesi işleminde alınacak değer 100 katı olması yapılacak işlemin doğruluğunu artıracaktır. Örnekleme frekansı ile örnekleme zaman aralığı arasındaki bağıntı f s = 1/ Ts ’ dir. f s = 10 Hz ’lik bir sinüzoidal sinyal aşağıdaki gibi üretilir: %program ch2_1.m close all % Ekranda daha önce çizilmiş şekil varsa bu şekilleri kapatır. clear all % Daha önceden yapılmış bir işlem varsa hafızayı temizler. clc % Komut penceresi ekranını temizler. fm=10; % İşaretin frekansı 10 Hz fs=100*fm; %Sinyalin örnekleme frekansı Hz; ts=1/fs; n=[0:(1/fs):1]; % Sinyal 0'dan 1 saniyeye kadar faz=0; %30 tsy=cos(2*pi*n*fm+faz); % İşaretimiz plot(n,tsy, 'k' ); %işaretin zaman izgesinde çizimi title('Cosinus dalgasi') xlabel('saniye'); ylabel('genlik');

12

Şekil 2.1: Kosinüs Dalgası

Şekilden görüleceği üzere 1 saniyede 10 adet kosinüs dalgası vardır. 2.2. Fourier Dönüşümü Fourier dönüşüm yöntemi sinyalin içindeki bilgilerin elde edilebilmesi için, sinyallerin işlenmesinde kullanılan çok önemli bir yöntemdir. Bu bilgiler, Fourier dönüşümü ile MATLAB tarafından yeniden kullanılmaya uygun bir veri formatına çevrilir. Fourier dönüşümüyle bir sinyal, farklı genlik, frekans ve fazlarda kosinüs ve sinüs temel bileşenlerinin toplamı olarak ifade edilir. Her bileşenin frekans ve genliği ile birlikte tablolaşması, bilgisayarla verilerin işlenmesi sırasında kolaylık sağlar. +∞

X (e ) = jw

∫

X c (t )e− jwt dt

∫

x(n)e− jwn

−∞ ∞

X (e jw ) =

(2.1) (2.2)

−∞

Denklem (2.1) Sürekli Zamanlı Fourier Dönüşümü, Denklem (2.2) ise Ayrıklı Zamanlı Fourier Dönüşümü’ nü göstermektedir. MATLAB’ de kullandığımız dönüşüm ise hem zamanda hem de frekansta ayrık olduğu için DFT ve IDFT kullanırız. N −1

X (k ) = ∑ x(n)e − jwk n x ( n) =

n=0 N −1

1 N

∑ X ( k )e

wk =

2π k N

(2.3) (2.4)

− jwk n

n =0

Denklem (2.3) Ayrık Fourier Dönüşümü (DFT), Denklem (2.4) ise Ters Ayrık Fourier Dönüşümü (IDFT)’ dür.

13

Bu dönüşüm hesaplamaları maalesef çok masraflı hesaplamalardır. Hızlı Fourier dönüşümü tekniği, bir yandan hesaplamalar sürerken, bir yaklaşım olarak ilk elde edilen değerlerin kullanıma sunulduğu bir alternatif yazılım tekniğidir. %program ch2_2.m fm=10; % Isaretin frekansi fs=1000*fm; %Sinyalin ornekleme frekansi ts=1/fs; n=[0:(1/fs):1]; % Sinyal 0'dan 1 saniyeye kadar faz=0 %-60;%30 tsy=sin(2*pi*n*fm+faz); % isaretimiz % cos((pi/2)-a)=cos(a-(pi/2)) tsyf=fft(tsy)/length(tsy); % Sinyalin frekans izgesinde gösterilimi tsyfm=abs(tsyf); % Sinyalin fourier dönüşümü yapılınca karmaşık %faz temizle% for i=1:(fs+1); if abs(tsyf(i))