2. Seminar_ Primjena Krivuljnih Integrala

2. SEMINAR:

PRIMJENA KRIVULJNIH INTEGRALA PRVE I DRUGE VRSTE

Martin Šutalo VII-7580

1

Primjena dvostrukih i trostrukihintegrala Promatranje dvostrukog i trostrukog integrala kao volumena tijela omeĎenog zadanom plohom, daje samo geometrijsko značenje tih integrala. Sada ćemo navesti mnogobrojne primjene višestrukih integrala.

2

a) Površina ravnih likova Pokazali smo da površinu ravnih likova možemo računati i pomoću dvostrukog integrala, jer je dS = dx dy površina elementa ravna lika, pa je površina ravna lika:

Ako je zadaniravnilikomeĎen s dvijekrivulje, računatinjegovupovršinupomoćudvostrukogintegrala, jer se u tom slučajujednostavnijeodreĎujugraniceintegracije. Pokažimo to naprimjerima.

isplati

se

Primjer: l. Odredi površinu lika omeĎenog parabolom y2= 4x + 4 i pravcem y = 2-x. Ncrtajmo zadani lik prethodno izračunavši sjecišta A(O, 2) i B(8, -6) parabole i pravca, a takoĎer vrh V(0,-1) zadane parabole y 2= 4(x + 1). Element tražene površine uzmemo u smjeru osi X, pa napisavši jednadžbe parabole i pravca u obliku računamo prema slici i formuli:

i x= 2-y

3

b) Masa ravnih likova Predočimo si, da je zadani ravni lik jednoliko pokriven nekom homogenom materijom. U tom je slučaju

Ako je materija, koja jednoliko pokriva lik, nehomogena, gustoća se mijenja od točke do točke, ona je funkcija od x i y, tj:

Označimo li s dm površinsku masu elementa lika u nekoj njegovoj točki T ( x, y) (diferencijal mase), a s dS površinu toga lika (vidi sL 128), bit će gustoća u toj točki T(x, y):

Čitavu masu lika dobijemo integrirajući po površini lika: Masa nehomogena ravna lika:

Pnmjer: 1. Odredi masu pravokutnika gustoće μ= xy, kojemu su stranice b i h

Ako je lik homogen, tj. μ = konst., formula prima oblik:

4

tj. ako je ravan lik homogen, a gustoća μ = l, masa lika numrički je jednaka njegovoj površini. U tom slučaju odreĎivanje mase ravna lika svodi se na računanje njegove površine.

5

c) Statički momenti i koordinate težišta ravnih likova Statički moment M ravna lika, za koji pretpostavljamo da je homogen gustoće μ = l, obzirom na neku os jednak je umnošku površine S toga lika i udaljenosti njegova težišta od dotične osi, tj:

Znamo takoĎer, da podijelivši statički moment lika s površinom S lika dobijemo koordinate težišta toga lika : .

U mnogim slučajevima odreĎivanje statičkih momenata i koordinata težišta ravnih likova vrši se jednostavnije pomoću dvostrukih integrala. Taj prijelaz na dvostruke integrale možemo lako izvršiti, ako se sjetimo da je dS= dxdy Formule (a) i (b) primaju tada oblik:

Primjer: 1. Odredi statičke momente ·pravokutnika osnovke b i visine h obzirom na njegove stranice

6

d) Momenti tromosti (inercije) ravnih likova:

Sve te momente već znamo računati pomoću običnih jednostrukih integrala, ali se jednostavnije računaju, kao ćemo vidjeti, pomoću dvostrukih integrale. Postoji još jedan moment, koji ne možemo izračunati pomoću jednostrukih integrala, to je centrifugalni moment ili moment devijacije obzirom na osi X i Y:

Dok su svi momenti tromostii uvijek pozitivne veličine (x'>O, y'>O i p'>O), centrifugalni moment lika je negativan za one njegove dijelove, koji leže u II.i IV. kvadrantu, jer u tim kvadrantima x i y imaju različite predznake, pa jex . y