2 - Reunion3 - TL

 

[ sk vas a ca `oroiba  [ ialfkás baika ca kzqukor`a, a`ocaeto. Os lomjr quo ostarso qukotj  Os lomjr quo sorIbarcy ue vkhkcaeto"  Hariìa 

Ijloetarkjs y omorikikjs sjfro rosjcuikùe `o oiuaikjeos `kgoroeikacos `kgoroei kacos ckeoacos a ijofiikoe ijofiikoetos tos ijestaeto ijestaetos. s. Iursj 1 Waljs a ostu`kar cas oiuaikjeos `kgoroeikacos ckeoacos apckiae`j cj vkstj oe ca tojrìa `o traesgjrlaikjeos ckeoacos. Waljs a rosjcvor uea oiuaikùe `oc tkpj= C(y ) <  y e + ae∖1y e∖1 + ¸ ¸ ¸ + a1 y  + a> y  <  g    ije ak   ∂ V, k  < >, . . . e ∖ 1.

Palfkëe so puo`o ejtar= C(y ) < (@e + ae∖1 @e∖1 + ¸ ¸ ¸ + a1@ +  a> K ))((y ) Ca keijhekta y  quo fusialjs os uea gueikùe `orkvafco, pjr cj loejs basta oc jr`oe  e  y, para pj`or asohurar sjcuikùe, ijesk`oraljs quo  g   os uea gueikùe ijetkeua. Ijlj C  =  I ∕ (V)  ↖  I ∕ (V)  os uea traesgjrlaikùe ckeoac, oetjeios oc lëtj`j quo valjs a apckiar para rosjcvor ostas oiuaikjeos os oc quo tkoeo oe iuoeta ca iaraitorìstkia `o cas sjcuikjeos `o uea oiuaikùe quo kevjcuira a uea traesgjrlaikùe ckeoac.

Yk  C  os uea t.c. y quoroljs rosjcvor  C (v ) <  w  ije  w  ∂   Kl(P )  ⇖

⇖  tj`as cas sjcuikjeos `o ca oiuaikùe pj`ráe osirkfkrso ijlj= v  <  v p  +  vE  v p  sjcuikùe partkiucar vE  ocoloetj `oc  E u(C), j soa sjcuikùe `o ca oiuaikùe bjljhëeoa C(y ) < >.

1

 

^jr cj vkstj oe ca oxpckiaikùe toùrkia, sk ca oiuaikùe os `o jr`oe  e , oc  E u(C)  tkoeo `kloeskùe  e . A`olás sk  g  os uea gueikùe ijetkeua  ⇖   g   ∂  Kl( C) y pj`oljs asohurar quo ca oiuaikùe toe`rá kefiektas sjcuikjeos. Waljs a rosjcvor cas oiuaikjeos `kgoroeikacos ckeoacos ej bjljhëeoas quo so prosoetoe `o ca skhukoeto laeora=

^rklorj fusialjs tj`as cas sjcuikjeos `oc sksto ^rklorj skstola la bjljhëeoj, j soa iaciucaljs oc  E u(C). @ospuës fusialjs uea sjcuikùe partkiucar `o ca oiuaikùe. oe osto iursj sùcj rosjcvoroljs oiuaikjeosiuyas sjcuikjeos partkiucaros puo`oe oeijetrarso a travës `oc lëtj`j `o ijofiikoetos ke`otorlkea`js. Ca fýsquo`a `oc  E u(C)  so ro`uio a fusiar cas raìios `oc pjckejlkj asjika`j a ca oiuaikùe `kgoroeikac y pcaetoar cas gueikjeos oxpjeoeikacos quo ijrrospje`oe. Yo pruofa quo  `kl (E u(C)) <  e  para ia`a oiuaiuùe `kgoroeikac `o jr`oe e .

^ara ia`a oiuaikùe oiuaikùe `kgoroeikac ckeoac bjljhëeoa, `o ca gjrla=

y e + ae∖1 y e∖1 + ¸ ¸ ¸ + a1 y  + a> y   < > ∖

(@e + ae 1 @e 1 + ¸ ¸ ¸ + a1 @ +  a> K ))((y ) < > iaraitorìstkij  asjika`j a ca oiuaikùe= Yo ijesk`ora oc pjckejlkj oc  pjckejlkj iaraitorìstkij asjika`j ∖

 p(r) <  r e + ae∖1r e∖1 + ¸ ¸ ¸ + a1 r +  a>

Os gáikc vorkfiiar quo sk   δ1  os raìz `o   p(r )   ⇖   oδ x os sjcuikùe `oc skstola bjljhëeoj. A`olás sk   δ1 , δ6 , . . . , δe , sje raìios `oc pjckejlkj iaraitorìstkij asjika`j a ca oiuaikùe `kgoroeikac, oetjeios oc jpora`jr `kgoroeikac @e + ae∖1 @e∖1 + ¸ ¸ ¸ + a1 @ +  a> K  puo`o   puo`o “gaitjrkzarso“= 1

6

   

(@ e+ae 1@ e 1 +¸ ¸ ¸+a1 @+a> K ))((y ) < >  ⇞  ⇞⇖ ⇖  ( @∖δ1 K )◧(@∖δ6 K ) ¸ ¸ ¸ ◧(@∖δe K ))((y) < > ∖

∖

δ1 x

δ6 x

δ x

Yk oc pjc pjckej kejekj ekj iarai iaraito torìs rìstki tkij j tko tkoeo eo e raìi raìios os roac roacos os `kst `kstketa ketas s ⇖ {o , o , . . . , o sorá uea faso `oc sufospaikj `o sjcuikjeos `oc skstola bjljhëeoj. Yk oc pjckejlkj iaraitorìstkij tkoeo achuea raìz roac  ζ  `o luctkpckik`a` d   ⇖ valjs a jftoeor d  sjcuikjeos c.k. asjika`as a osa raìz, `o ca gjrla= oζx , xoζx , . . . , xd∖1 oζx

Yk oc pjckejlkj iaraitorìstkij tkoeo raìios ej roacos (  δ  <   a ± kf   ), oetjeios pj`oljs ijesohukr `js gueikjeos roacos c.k. quo sorae sjcuikjeos `oc skstola bjljhëeoj=

{oax ijs(fx), oax soe(fx)} Ca fýsquo`a `o ca sjcuikùe partkiucar pjr oc lëtj`j `o ijofiikoetos ke`otorlkea`js klpckia prjpjeor uea gjrla `o ca gueikùe sjcuikùe  y p , para ikortj tkpj `o gueikù gueikùe e  g . ^ohaljs aquì uea tafca ije achuejs `o cjs iasjs=

g

 

 

y p

Vaìios pjc. iarait.

^ e   ^ e   r   ^ e   ^ e+1 /^ e+d   r  < >  raìz sklpco/r  < >  raìz luct.d δx o do δx sk  r   <  δ δx δx o ^ d   o sk  δ  os raìz `o luct. d soe(ix)   d1 soe(ix) +  d6 ijs(ix)   sk  r   <  ik soe(ix)   ^ d soe(ix) +  Qd ijs(ix)   sk  r  <  ik  raìz `o luctkp d

ijs(ix)   d1 soe(ix) +  d6 ijs(ix)

 

r   <  ik

Iua`rj 1= ^rjpuostas `o  y p , para  C (y ) <  g .  Ejtaikùe=  ^ d  pjckejlkj a ijog. roacos `o hra`j  d  d..

Olpoioljs ije cjs prklorjs omolpcjs= 1. Oeijetrar tj`as cas sjcu sjcuikjeos ikjeos `o cjs skstolas bjl bjljhëeojs= jhëeojs= a   y  + ?y  + 7y  < >

9

e

}

 

f   y  + 0y  + 0y  < > i   y  ∖ 0y  + 19 y   < >

Vosjcuikùe=

Pj`j so ro`uio a oeijetrar cas raìios `oc pjckejlkj iaraitorìstkij asjika`j a ca oiuaikùe `kgoroeikac oe ia`a iasj

 ⇞⇖ ⇖  r  <  ∖ 6  j  r  <  ∖ 9. Oe oc iasj a. toeoljs=  r 6 + ? r + 7 < >  ⇞ Oe oc iasj f. toeoljs  r 6 + 0r + 0 < >  ⇞  ⇞⇖ ⇖  r  <  ∖ 6,  r  <  ∖ 6  os raìz `o luctkpckik`a` 6  `oc pjckejlkj. Oe oc iasj i. toeoljs=  r 6 ∖ 0r + 19 < >  ⇞  ⇞⇖ ⇖  r  < 6 + 9k  j  r  < 6 ∖ 9k.

Asì quo ya toeoljs cas sjcuikjeos oe ia`a iasj= a  Cas sjcuikjeos `o ca oiuaikùe bjljhëeoa sje cas gueikjeos quo ostáe oc sufospaikj  Y B a   <  hoe{o∖6x , o∖9x }. f  Cas sjcuikjeos `o ca oiuaikùe bjljhëeoa sje cas gueikjeos quo ostáe oc sufospaikj  Y B f  <  hoe{o∖6x , xo∖6x}. i  Cas sjcuikjeos `o ca oiuaikùe bjljhëeoa sje cas gueikjeos quo ostáe oc sufospaikj  Y B i  <  hoe{o6x ijs(9x), o6x soe(9x)}.

6.  Oeijetrar ca sjcuikùe hoeorac `o cas skhukoetos oiuaikjeos ej bjljhëeoas=

a   y  + ?y  + 7y  <  x 6 + 9 x +  o6x f   y  + 0y  + 0y  <  o δx , δ  ∂

V

0

 

i   y  ∖ 0y  + 19 y  < ijs(x)

Vosjcuikùe= Ijlj ya toeoljs, oe ia`a iasj, cas sjcuikjeos `o ca oiuaikùe bjljhëeoa ejs `o`kiaroljs `kroitaloeto a ca fýsquo`a `o ca sjcuikùe partkiucar.

^ara oc ktol a.  toeoljs ijlj  g   < (x6 + 9 x) +  o6x . Ijlj ca oiuaikùe os ckeoac, pj`oljs fusiar uea sjcuikùe partkiucar y p1  tac quo   C(y p1 ) <   x6 + 9x  y jtra   y p6  tac quo   C(y p6 ) <   o6x . @o osa gjrla sk tjlaljs  y p  <  y p1 +  y p6   a + 7f)x + 6 a + ?f + 7 i  <  x 6 + 9x Khuacae`j ijofiikoeto a ijofiikoeto, quo`a= a  <   71 , f  < (9 ∖   1>  ) 1   <   6; , i  <   ∖?f7∖6 a <  ∖ 19 7 7 ?0

Jftoeoljs   y p1  <   17 x6 +   6; x ∖   19 ?0  doo6x y roolpcazaljs oe ca oiuaikùe para oeije^rjpjeoljs  y p6  <  d trar oc vacjr `o  d   = 1 .  ⇞⇖ ⇖  d  <   6> 0do 6x + 1>do 6x + 7do 6x <  o 6x ⇞⇖  6> d  < 1  ⇞

Jftoeoljs   y p6  <

  1 6>

o6x

@o osta laeora ijesohukljs uea sjcuikùe partkiucar=

?

 

  1 6x y p   <   y p1  +  y p6   < ( 17 x6 +   09 x ∖   61 o  ) + 9 6> Fusialjs uea sjcuikùe partkiucar oe oc ktol f. Aquì  g   <  o δx Oc pjckejlkj iaraitorìstkij asjika`j a ca oiuaikùe bjljhëeoa toeìa uea raìz `jfco oe  r  <  ∖ 6. Fusquoljs ca sjcuikùe partkiucar oe cjs `js iasjs pjskfcos=  δ   <  ∖ 6 y  δ  <  ∖ 6. IAYJ  δ   <  ∖ 6 ^rjpjeoljs  y p  <  d  dooδx, roolpcazaljs oe ca oiuaikùe y quo`a= dδ 6oδx + 0dδo δx + 0do δx <  o δx do δx(δ6 + 0 δ + 0) <  o δx d (δ6 + 0 δ + 0) < 1  y ijlj  δ 6 + 0δ + 0   < >  pjrquo  δ   <  ∖ 6

d <

 

1   1 δx  y oetjeios o   y   <  p 6 δ +0δ+0 δ6 + 0δ + 0

IAYJ  δ  <  ∖ 6

Yk δ  , `o aquì= 9 A  <   0>   y  F   <   ∖0>1

Jftoeoljs para osto iasj=

9 1 y p   <  0> ijs(x) ∖  0> soe(x) ^caetoaljs oetjeios ca sjcuikùe hoeorac oe ia`a ktol= a   y  + ?y  + 7y  <  x 6 + 9 x +  o6x Poeoljs quo= Y B a  <  hoe{o∖6x, o∖9x }. 1 6x y p   <  y p1 +  y p6  < ( 17 x6 +   09 x ∖   61  ) +  17 o 9 Ca sjcuikùe hoeorac os=

∖6x

yH (x) <   d1 o d1 , d6   ∂ V

∖9x

+ d6o

f   y  + 0y  + 0y  <  o δx , δ  ∂

V

Poeoljs quo= Y B f  <  hoe{o∖6x , xo∖6x }.

IAYJ  δ   <  ∖ 6

8

1 6

 0

  61

  1 6x

+ ( 7 x + 9 x ∖ 9 ) + 6> o

 

y p   <

 

1

δ6 +0δ+0

oδx

Asì quo =

yH   <   d1 o∖6x + d6 xo∖6x +

 

1

(δ6 +0δ+0)

oδx

IAYJ  δ  <  ∖ 6 Oe osto iasj= y p   <   16 x6 o∖6x Asì quo =

yH (x) <   d1 o∖6x + d6 xo∖6x +   16 x6 o∖6x 



i   y ∖ 0y + 19 y  < ijs(x) [a iaciucaljs quo= Y B i   <  hoe{o6x ijs(9x), o6x soe(9x)}  y p  <

  9 1>

1 ijs(x) ∖  1> soe(x)

Asì quo pj`oljs osirkfkr ca sjcuikùe hoeorac=

9 1 yH (x) <   d1 o6x ijs(9x) +  d6 o6xsoe(9x) +  0> ijs(x) ∖  0> soe(x)

2