2 - Rectas y Planos en El Espacio

 

MATEMÁ MATEMÁTICA TICA BÁSI BÁSICA CA RECTAS RECT AS Y PLANOS PLANO S EN EL ESPACIO ESPACIO

 

PROBLEMA APLICATIVO : PROBLEMA APLICATIVO Se desea construir el techo a cuatro aguas mostrado en la figura, sabiendo que la distancia de G a H es 8 m, la altura del techo es 6 m y de las paredes es de 4 m. Determinar las ecuaciones de los planos que contienen las caras de dicho techo y de la estructura que lo sostiene BGHCF.

G

H F

B

C

D A

? 

16 m

E

 

LOGRO DE LA SESIÓN  Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante usa las ecua ec uaci cion ones es de re rect cta a y pl plan anos os en el es espa paci cio o pa para ra reso resolv lver  er  ejercicios y/o problemas aplicados a situaciones diversas. Sigue un proceso lógico fundamentado en la obtención de la solución y muestra sus cálculos con orden y pertinencia.

 

RECTA EN EL ESPACIO 

Definición : Sea     una recta en   ℝ tal que contiene  Ԧ = un , punto ,  . dado     ,  ,    y que es paralela a un vector dado   Entonc Ento nces es la recta ecta  es el conj onjunto de puntos  ,  , ,  Tales ales que que   es par paralel alelo o al vec ecttor  Ԧ .









    Ԧ 



 



ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Ecuación vectorial de una recta Si la recta      pasa por el punto      =  ,    , y tiene como vector  direccional  Ԧ =  ,   , y si P=( x ,y ) es un punto arbi arbitrari trario, o, la ecu ecuación ación vectorial de la recta es:

P = P0+t, tℝ.

 

ECUACIÓN DE LA L A RECTA RECTA EN EL ESPACIO Ecuación Paramétrica: Si    = , ,  ,    =  ,  ,    , Ԧ =  ,  ,    ,   es un vector, enton ntonce cess de la ec ecua uaci ción ón ve vect cto orial ial    =   Ԧ   se obtienen las

ecuaciones cartesianas:  =      =    

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE L

 =    

Ecuac cuació ión n si sim mét étri ricca de una una re rect cta: a: Despejando     de la forma paramétrica se obtiene  la FORMA SIMÉTRICA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA L: − 

=

  − 

=

  − 

; siempre que   ,  ,    ≠ 0

 

ECUACIÓN RECTA EN EL ESP ES PACIO ECUACIÓ N DE LA RECTA Ejemplo 1: Hallar la ecuación simétrica de la recta  que pasa por los puntos  2,1,4   y  5,3,1

 

RECTA EN EL ESPACIO Ejemplo 3: Hallar la ecuación simétrica de la recta    que pasa por  los puntos puntos    1,3,4   y es para parale lella a la rec ectta      =   ሼ   3 3,7 ,7,5 ,5 

 

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO  ሼ  =   / Ԧ ∈ Definición: Paralelismo de rectas:   Dos rectas      =  ሼ

Ejemplo: Dadas las

1 1,2   2,1,  3 3 rectas      = 2, 

   =  ሼ   0,2 ,2,3 ,3 

 

PO POSI SICI CIÓN ÓN RE RELA LATI TIV VA DE DO DOS S RE RECT CTAS AS Definición: Pe Perp rpen endi dicu cula lari rida dad d de rect rectas as::  Dos rectas      =    = Ԧ y    =   / / ∈ ℝ , se dicen que son perpendiculares si lo son sus vectores de dirección, esta es:      ⊥    ↔ Ԧ ⊥  Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta   L  que pasa por el punto      3,1,2   y es perpendicular a la recta      = 1,0,2   1, 2,2   y      =   ሼ   2,6, 3 

 

PLANOS EN EL ESPACIO

 

PLANO EN EL ESPACIO Sea    =  ,  ,  un punto de ℝ y dos vectores no paralelos  =  ,  ,  y Ԧ =  ,  ,  dados en ℝ . El plano  en su forma vectorial que pasa por  se define por

 =  = , ,  ∈ ℝ :  =      , z







   Ԧ

Ԧ y   x 

,  ∈ ℝ

 

Ejemplo Determine la ecuación del plano  que pasa por el punto    = 4,3,8 y dos vectores no paralelos  = 1,1,0 y Ԧ = 0,1,1 .

 

ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO Las ecuaciones de un plano son:

Ecuación Paramétrica

 x   x  tu   sv   y   y  tu   sv  z    z   tu   sv 0

1

0

1

2

0

3

2

3

Donde t  s son parámetros

Ecuación Normal:  P   P 0  

 

n



0

Ecuación General General o escalar:

ax  by   cz   d   0

 

Ejemplo Considere el plano :   3  2  5 = 0. Exprese el plano en su forma paramétrica.

 

Ejemplo Halle la ecuación general del plano  que contiene a los puntos  1,0,1 ,  2,1,1 y  2,3,1 .

 

PLANOS PERPENDICULARES Y PARALELOS Dos planos  y  con vectores normales     1 2  a)  1 y  2 son perpendiculares si y solo si   y  son perpendiculares. b)  1 y  2 son paralelos si y solo si      son paralelos.

Los vectores normales  y  son ortogonales si  .    = 0.

Los vectores normales  y  son paralelos si      =  .

 

RECTA PARALELA Y ORTOGONAL A UN PLANO

  Consideremos el plano  con su vector normal  y la recta  con su vector dirección Ԧ. Diremos que: a) L a r ecta  es paralel paralela a al al plano plano   , si Ԧ ⊥ . •

b) La re rect cta a  es perp rpe end ndicul icula ar al plano   si  Ԧ ∥ .



 





 Recta paralela al plano 

Recta perpendicular al plano 

 

Ejemplo Determine si la recta cuyas ecuaciones paramétricas son

:  = 2   ,

 = 3  2,

 = 5  6 6

y el plano  : 2  2    8 = 0 son paralelos

 

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Sea el plano    ∶        = 0 y un punto Q=    ,  ,  que no pertenece al plano   P  

∙ ∙

 

  ,  =   .  

  



   + + +

=

 + + 

  P 

Donde P es un punto en el plano

y  el vector normal del plano.

 

Ejemplo: (1,1, 1, 1) 1) al plano Halle lle la dis isttancia del punto   (1, P :

 3  5 = 0

 

DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO QUE NO LA CONTIENE

La distancia mínima entre la recta      y el plano   P  que no la contiene y además adem ás la recta es paralela paralela al plano está dado por la siguiente siguiente fórmula

  .  , = 

.

  

  

Donde P es un punto en el plano   P  y  el vector normal del plano.

 

Ejemplo Halle la distancia mínima entre la recta  :   2 =  =   1 y el plano   P =     2  3=0

 

ÁNGULO ENTRE PLANOS El ángulo entre planos es el mismo ángulo que forman sus respe re specti ctivo voss vecto vectore ress normal normales. es.

Definición :

Donde los vectores normales son:

Sean los planos:

 :             = 0  :             = 0





 

 

n1 n2





 a1 , b1 , c1   a2 , b2 , c2 

    arccos   

n

1

n

1

 n  . n   2

2

 

Ejemplo : Hallar el ángulo entre los planos:

 :   3  5 = 0,  : 2     = 0

 

Ejemplo : Calcule el ángulo que forman los planos:

 : 3,2,4   1, 1, 2,4   3,0,1  : 2  11  6  3 = 0

 

SOLUCIÓN CASO

 

PROBLEMA APLICATIVO PROBLEMA APLICATIVO : Se desea construir el techo a cuatro aguas mostrado en la ftiegcuhro a, esa cieasde esGdae H4 em s8 me, tlearm altin ua rar dlaesl s b6ien mdoy qduee lla asdipstaarn ed . D ecuaciones de los planos que contienen las caras de dicho techo y de la estructura que lo sostiene BGHCF.

G

H F ? 

B C D A

16 m

E

 

SOLUCIÓN S tru ue atG roaaHgueass8m lal fiegudrae,se saabcieonndso qiureella tdeicsh taoncaiacd mo,sltaraadltoureande techo es 6 m y de las paredes es de 4 m. Determinar las ecuaciones de los planos que contienen las caras de dicho techo y de la estructura que lo sostiene BGHCF.

G

H F ? 

B C D A

16 m

E

 

Desp spu ués de haber asi sig gnado los eje jess de refer eferen enci cia, a, se det detalla allan n lo loss pu punt ntos os ecnhieond a eslaasaíltcuorm a ode ell tte y odeenlascu pe arnetd bosq bo sque uejo jo de dell tec echo ho a cu cuat atrro ag agua uas. s.

 

Nos damos cuenta que el techo está conformado por dos trapecios y dos triángulos. 

Empecemos calculando el plano    que contiene al trapecio I1, para ello utiliz uti lizar aremo emoss los pun punto toss B(1 B(12,0 2,0,4) ,4),, G(6 G(6,4, ,4,6), 6), H(6 H(6,12 ,12,6) ,6)::

Debemos conocer el vector normal  , es decir debemos determinar los vectores no paralelos

 =  = 6,4 6,4, 6  12,0 12,0,4 ,4 = (6, 6,4, 4,2 2) Ԧ =  = 6,1 6,12, 6  12, 12,0,4 = (6, 6,12 12,,2) Ento En tonc nces es el ve vect ctor or no norm rmal al es

   16,0, 0, 48 48  =  ×  =    = 16,    Sea (,,) un pu pun nto ar arbi bitr trar ario io de dell plan plano o  , ah aho ora par arttie iend ndo o de la for orm ma norma mall del plan plano o

.  = 0 ↔   12, ,   4 . 16,0, 48 = 0 ↔   12 . 16  . 0    4 . 48 = 0 Por lo tanto la ecuación general del plano  es:   3  24 = 0.

 



Calculando el plan lano    que contiene al trapecio I2, para ello utilizaremos los punto pun toss K(0 K(0,0, ,0,4), 4), G(6 G(6,4, ,4,6), 6), H(6 H(6,12 ,12,6 ,6): ):

Debemos conocer el vector normal  , es decir debemos determinar los vectores no paralelos

 =  = 6,4, ,4, 6  0,0, ,0,4 = (6,4, ,4,2) Ԧ =  = 6,12 6,12,, 6  0, 0,0 0,4 = (6, 6,12 12,,2) Ento En tonc nces es el ve vect ctor or no norm rmal al es

  =  × Ԧ = 6

 4

6 12

 2 = (16,0,48) 2

 (, , , ) un pu Sea ( punt nto o ar arbi bitr trar ario io del del plan plano o  , ah aho ora pa parrtien tiendo do de la form rma a no norm rmal al del plano

 

.  = 0 ↔  , ,   4 . 16,0,48 = 0 ↔  . 16   . 0  ( 

Por lo tan antto, la ec ecu uaci ación ge gen ner eral al del plan lano  es:   3  12 = 0.

 



Cal alccul ulan ando do el plan plano o    que contiene al triángulo I2, pa parra el elllo utili tilizzarem aremo os los los puntos pun tos C(1 C(12,1 2,16,4 6,4), ), F(0,16 F(0,16,4) ,4),, H(6,12 H(6,12,6) ,6)::

Debemos conocer el vector normal  , es decir debemos determinar los vectores no paralelos

 =  = 0,16 0,16,, 4  12, 2,1 16,4 = (12, 12,0, 0,0) 0) Ԧ =  = 6,1 ,12, 2, 6  12, 2,1 16, 6,4 4 = (6 6,, 4,2 4,2))    0 0 = (0,24,48) Entonces el vector normal es    =  × Ԧ = 12 6 4 2  (, , , ) un pu Sea ( pun nto ar arbi bitr trar ario io de dell plan plano o  , ah aho ora par arti tien end do de la form rma a no norrma mall de dell plano .  = 0 ↔   12,   16,   4 . 0,24,48 = 0 ↔   12 . 0    16 . 24    4 . 48 = 0 Por lo tanto la ecuación gener era al del plano  es:     2  24 = 0.

 



Cal alccul ulan ando do el plano lano    que contiene al triángulo I4, par ara a el ello lo ut util iliz izar arem emos os los los puntos pun tos K(0 K(0,0, ,0,4), 4), G(6 G(6,4, ,4,6), 6), B(1 B(12,0 2,0,4) ,4)::

Debemos conocer el vector normal  , es decir debemos determinar los vectores no paralelos  Ԧ

=  = 6,4, 6  0,0,4 = (6,4,2)

=  = 12,0, 4  0,0,4 = (12,0, 0,0 0)

Entonces el vector normal es

    =  × Ԧ = 6 4 2 = (0,24,-48) 12 0 0 Sea  (,,) un punto arbitrario del plano    , ahora partiendo de la forma normal del plano

.  Ԧ = 0 ↔  , ,   4 . 0,24, 48 = 0 ↔  . 0   . 24    4 . 48 = 0 Por lo tan antto la ec ecu uaci ación ge gen ner eral al de dell plan lano  es:   2  8 = 0. 

 





Ahora la estructura que los sostiene al techo está dado por planos paralelos al eje XZ, YZ, por consiguiente se tiene:

Calculando los planos  y  paralelos al plano YZ son x=12 y x=0



Calculando el plano  y 

paralelos al plano XZ son

y=12 y y=16

 

EVALUACIÓN

TRABAJO DE EQUIPO: En grupo contesta las preguntas formuladas por el docente.

 

AUTOEVALUACIÓN 1. Hallar la ecuación de la recta   L que pasa por la intersección de las rect ectas    =

   =

5, 3,1   3 3,, 4,7 // ∈ ℝ   y

4,2, 5   2 2,,1, 3  ∈ ℝ

2. Halle la forma vectorial, paramétrica y escalar del plano que pasa por los tres puntos dados: P(0,0,0), Q(1,1,2), R(-2,1,-1). 3. Halle la ecuación del plano que pasa por  = 1,2,3 y es paralelo a la recta 2      3    1   =   = 3 2 1

 

Material elaborado para uso exclu lusi sivo vo del cu currso de Matemática Básica para Ingeniería , 2019  2.   –

Universidad Privada del Norte

 

GRACIAS