2 Pruebas Anteriores Probabilidad
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PROBABILIDAD
Recopilación de pruebas y controles anteriores
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Suponga que los sucesos A y B son tales que P ( A) 0.2 , P ( B) 0.3 y 1. P ( A B) 0.4 Determine P ( A B) y P ( A B' ) Solución P ( A B) = P ( A) P ( B) P ( A B) = 0.2 0.3 0.4 = 0.1 P ( A B' ) = P ( A) P ( A B) = 0.2 0.1 = 0.1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------En la fabricación de cierto artículo se encuentra que se presenta un tipo de defectos con 2. una probabilidad de 0.1 y defectos de un segundo tipo con probabilidad 0.05 Se supone independencia entre los tipos de defectos a) ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo no tenga ambas clases de defectos? b) ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que un artículo artículo sea defectuoso? defectuoso? c) ¿Cuál es la la probabilidad de que un artículo tenga un sólo un tipo tipo de defecto? defecto? Solución Definición de eventos: D1 = el artículo tiene el defecto tipo 1 D2 = el artículo tiene el defecto tipo 2
Identificación de datos: P ( D1 ) 0.1 ; P ( D2 ) 0.05
D1 y D2 independientes P ( D1 D2 ) P ( D1 ) P ( D2 ) a) Como D1 D2 significa que el artículo tiene ambos defectos, entonces ( D1 D2 )' significa que el artículo no tiene tiene ambos defectos. Luego, P (( D1 D2 )') = 1 P ( D1 D2 )
= 1 P ( D1 ) P (D2 ) (independencia) = 1 (0.1)(0.05) = 0,995 b) Un artículo es defectuoso cuando tiene uno de los defectos o tiene ambos defectos. Luego, se pide P ( D1 D2 ) = P ( D1 ) P ( D2 ) P ( D1 D2 ) = 0.1 0.05 (0.1)(0.05) = 0.145 c) P [( D1 ' D2 ) ( D1 D2 ' )) = P ( D1 ' D2 ) P ( D1 D2 ' ) (mutuamente. excluyentes)
= P ( D1 ) P ( D2 ) 2 P ( D1 D2 ) = 0.1 0.05 2(0.1)(0.05) = 0.14 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.
Sean A y B eventos tales que P ( A ' ) 0,2 ; P ( B) 0,5 y P ( A B ' ) =0,4. Encuentre P ( B / A B ' ) . Solución De los datos se obtiene que: P ( A ' ) 0.2 P ( A) 0.8 , P ( B) 0.5 P ( A B ' ) =0.4 P ( A B) P ( A) P ( A B' ) 0.8 0.4 0.4 .
Entonces, P ( B / A B ' )
P(B (A B' )) P ( A B' )
P (( A B) ( B B' )) P ( A B' )
P ( A B) P ( B B' ) P ( A B B B' )
= =
P ( A B' ) P ( A B) P () P ()
P ( A) P ( B' ) P ( A B' )
=
0.4 0 0 0.8 0.5 0.4
= 4/9 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------Un empleado puede entregar un trabajo a tiempo con probabilidad 0,75. Si el trabajo es 4. entregado a tiempo, su empresa puede ganar una licitación con probabilidad 0,9, si no, puede ganar la licitación con probabilidad 0,3. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa gane la licitación? b) Si la empresa ganó la licitación, ¿cuál es la probabilidad de que el empleado haya entregado el trabajo a tiempo? Solución T = el empleado entrega el trabajo a tiempo G = la empresa gana la licitación Identificación de datos: P (T ) 0,75 P (T ' ) 0,25 P (G / T ) 0,9 P (G / T ' ) 0,3 Identificación de las preguntas: Definición de eventos:
a)
P (G) = P (T ) P (G / T ) P (T ' ) P (G / T ' )
(probabilidad total)
= (0,75)(0,9) (0,25)(0,3) = 0,75 b)
P (T / G) =
P (T ) P (G / T ) P (G)
(Bayes)
=
(0,75)(0,9) 0,75
= 0,75 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Un estudio reciente en la región metropolitana indica que el 60% de los días con 5 problemas ambientales es declarado en alerta, el 30% es declarado en pre-emergencia y el 10% en emergencia. También se sabe que el 10% de las urgencias médicas en los días de alerta corresponden a problemas respiratorios y que en los días de preemergencia y emergencia este porcentaje es de 20% y 35% respectivamente. a)
¿Cuál es la probabilidad de que en un día con problemas ambientales una atención de urgencia sea por problemas respiratorios? b) ¿Si se sabe que una atención de urgencia fue por problemas respiratorios, cuál es la probabilidad de que haya sido en un día de emergencia ambiental? Solución = El día es declarado en alerta Definición de eventos : A = El día es declarado en preemergencia PE = El día es declarado en emergencia E = Urgencia médica por problemas respiratorios R Identificación de datos:
P ( A) 0.60 , P ( PE ) 0.30 , P ( E ) 0.10 P ( R / A) 0.10 , P ( R / PE ) 0.20 , P ( R / E ) 0.35
Identificación de lo que se pide:
En a) se pide P ( R) y en b) se pide P ( E / R)
Identificación de la regla del cálculo de probabilidad necesaria:
a)
Por la regla de las probabilidades totales se tiene que P ( R) = P ( A) P ( R / A) P ( PE ) P ( R / PE ) P ( E ) P / R / E ) = (0.60)(0.10) (0.30)(0.20) (0.10)(0.35) = 0.155
b)
Por el teorema de Bayes se tiene que P ( E / R) =
=
P ( E ) P ( R / E ) P ( R) (0.10)(0.35) 0.155
= 0.2258 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Los anuncios para televisión varían en su efectividad. Una agencia de publicidad 6. produjo un anuncio para TV de un producto nuevo (neumáticos radiales para automóvil).El anuncio se puso a prueba con 300 consumidores y se determinaron sus reacciones al anuncio e intenciones de compra.
Reacción al anuncio Positiva Neutral Negativa
Intención De compra Compraría 60 No compraría 120
30 60
10 20
a) b)
Estime la probabilidad de que los consumidores compren el nuevo producto. Estime las seis probabilidades condicionales de intención de compra dada la reacción de los consumidores: P(comprar/reacción positiva), P(comprar/reacción neutral),…,P(no comprar/reacción negativa) c) ¿En base a la muestra, piensa usted que la intención de compra depende de la reacción del grupo al anuncio? Justifique su respuesta. Solución Completando la tabla se tiene lo siguiente Reacción al anuncio Intención Positiva Neutral Negativa Total De compra Compraría 60 No compraría 120 Total 180
30 60 90
10 20 30
Sean los eventos C = el consumidor comprará el nuevo producto P = la reacción al anuncio es positiva U = la reacción al anuncio es neutral N = la reacción al anuncio es negativa a)
P (C ) 100 / 300 0,333
Además, P (C ' ) 200 / 300 0,667 b)
P (C / P )
P (C P )
P (C / U ) P (C / N )
P (C ' / P )
P ( P ) P (C U ) P ( P ) P (C N ) P ( P ) P (C ' P )
P (C ' / U ) P (C ' / N )
P ( P ) P (C 'U )
P (C ' N )
180 / 300
P ( P ) P ( P )
60 / 300
30 / 300 90 / 300 10 / 300 30 / 300
120 / 300 180 / 300
60 / 300 90 / 300 20 / 300 30 / 300
60 180
30 90 10 30
60 90 20 30
1 3
0,333
0,333
3
180
3
1
120
1
0,333
2 3
2 3 2 3
0,667
0,667 0,667
100 200 300
c)
Dos eventos A y B son independientes si P ( A / B) P ( A) En este caso, la muestra sugiere que la intención de compra del consumidor es independiente de su reacción al anuncio porque la probabilidad de comprar se mantiene igual a 0,333 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Una fábrica tiene tres turnos. En un día dado, el 1% de los artículos producidos en el 7. primer turno son defectuosos, el 2% de los artículos producidos en el segundo turno son defectuosos y en el tercer turno el 5% de los artículos producidos son defectuosos. a) Si los turnos tienen la misma productividad, qué porcentaje de los artículos producidos en un día resultan defectuosos? b) Si un artículo resultó defectuosos, cuál es la probabilidad de que haya sido producido en el tercer turno? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Si los eventos A,B y C son conjuntamente independientes demuestre que 8. a) A B y C son independientes b) A B y C son independientes -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique 9 adecuadamente su respuesta. Si es verdadera demuéstrelo en general. Si es falsa demuéstrelo en general o de un contraejemplo. a) Si A B , entonces A y B son independientes b) Si P ( A / B) P ( A) , entonces P ( B / A) P ( B) Solución a) Falso A y B son independientes si y sólo si P ( A B) P ( A) P ( B) Pero P ( A) P ( A) P ( B) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------10 (Proceso de ramificación) Una población parte con exactamente una célula (primera generación). En el tiempo t 1 esta célula se divide en dos con probabilidad p o muere con probabilidad 1 p . Si se divide, entonces las dos células resultantes (segunda generación) se comportan en forma independiente con las mismas alternativas en el tiempo t 2 . Esto es, ahora cada una de ellas también pueden dividirse con probabilidad p y morir con probabilidad 1 p a) Cuál es la probabilidad de que mueran todas las células de la segunda generación? b) ¿Cuánto debe valer p para que la probabilidad calculada en a) sea 0,5? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Se baraja un naipe inglés estándar de 52 cartas en forma cuidadosa para que las cartas 11. queden ordenadas al azar. Calcule la probabilidad que al extraer 7 cartas aparezcan a) exactamente 3 ases b) exactamente 2 reyes c) exactamente 3 ases o exactamente 2 reyes. Solución Se usará la notación nCr para una combinatoria de r objetos tomados de n Sean los eventos A = {en las 7 cartas extraídas hay exactamente 3 ases} B = {en las 7 cartas extraídas hay exactamente 2 reyes}
a) El espacio muestral consiste de todas las formas posibles de seleccionar 7 objetos de 52. Esto es, el número de elementos distintos de es igual a # 52C 7 Para contar el número de resultados con exactamente 3 ases considera que tenemos libertad para escoger tres ases de 4 y cuatro cartas de las 48 restantes. Por el principio multiplicativo, se tiene que # A (4C 3)(48C 4) . Así, P (7 cartas incluyan exactamente 3 ases) = P ( A)
b)
#
(4C 3)(48C 4) 52C 7
Repitiendo el procedimiento de la parte a) se tiene que P (7 cartas incluyan exactamente 2 reyes) = P ( B)
c)
# A
# B #
(4C 2)(48C 5) 52C 7
Se pide P ( A B) P ( A) P ( B) P ( A B) . El evento A B consiste de todos conjuntos de 7 cartas que contienen exactamente 3 ases y exactamente 2 reyes. El número de resultados distintos contenidos en A B se obtiene escogiendo 3 ases de 4, 2 reyes de 4 y 2 cartas de las 44 cartas restantes. Por tanto, usando el principio multiplicativo se tiene que # A B (4C 3)(4C 2)(44C 2) y P ( A B)
(4C 3)(4C 2)(44C 2) 52C 7
Entonces, P ( A B) = P ( A) P ( B) P ( A B) (4C 3)(48C 4) (4C 2)(48C 5) (4C 3)(4C 2)(44C 2) = 52C 7 52C 7 52C 7 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Usted dará una fiesta en su casa este domingo próximo si 60% o más de sus invitados 12. quedan muy contentos con su fiesta. La probabilidad de que el domingo próximo sea un día “bonito” es de un 30%. Si el día es bonito usted ocupará el exterior de su casa para recibir a sus invitados; si el día está “feo” (no bonito) usted ocupará el interior de su casa. En caso de día bonito usted estima que un 90% de sus invitados estarán muy contentos en la fiesta. En caso de día feo, su estimación baja a un 40% de invitados contentos. a) Bajo las condiciones anteriores, decidirá usted dar una fiesta este domingo próximo? b) ¿Son los eventos B y C independientes? B: día bonito C : invitado contento Solución a) Sean los eventos B ={el día estará bonito} A = {el invitado quedará contento} Los datos son: P ( B) 0,3 P (C / B) 0,9 c
P (C / B ) 0,4 Si P (C ) 0,6 la fiesta se hace Usando la regla de las probabilidades totales se tiene que c
c
P (C ) P ( B) P (C / B) P ( B ) P (C / B ) 0,3 0,9 0,7 0,4 0,55
Por tanto la fiesta no se hace. b) P (C / B) 0,9 0,55 P (C ) implica que los eventos B y C no son independientes -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------En un cierto concurso participan tres personas A, B, y C las que son identificadas con 13 números de 1 a 3. El ganador del concurso cuyo premio es un auto 0KM (del año), se obtiene de la siguiente manera: Se elige con igual probabilidad y sin reposición a dos de los concursantes; seguidamente se lanza una moneda (honesta): si el resultado es cara, entonces el ganador es aquella persona rotulada con el número mayor; si el resultado es sello, el ganador es aquella persona rotulada con el número menor. Con la finalidad de estudiar las probabilidades que están involucradas en este concurso, se anota cada resultado del concurso como un triple de números ordenados según el orden de aparición a medida que se realiza el experimento. a) Describa los elementos del espacio muestral S asociado a este experimento. b) Calcule la probabilidad que el concursante A sea el ganador. c) Defina un segundo espacio muestral S cuyos resultados identifican solamente al jugador que gana. ¿Son equiprobables los resultados de este segundo espacio muestral? Justifique. Solución a) b) c)
|||| Se tiene que , Entonces, los eventos de son equiprobables
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Se baraja un naipe inglés estándar de 52 cartas en forma cuidadosa para que las cartas 14 queden ordenadas al azar. Calcule la probabilidad que entre las cinco primeras cartas se encuentre a lo menos un as. Solución La baraja un naipe inglés estándar de 52 cartas posee 4 ases, cada uno de distinta “pinta”. Sea A el evento “entre las cinco primeras cartas se encuentra a lo menos un as”. Entonces, el complemento Ac es el evento “ninguna de las cinco primeras cartas es un as” y ocurre si se eliminan los ases de la baraja dejando las 48 restantes cartas para extraer 5 cartas. Las probabilidades de A c y A son, P ( Ac )
=
#A #
total de formas diferentes de escoger 5 cartas que no sean as total de formas diferentes de escoger 5 cartas
48 47 46 45 44 52 51 50 49 48
0,659
c
P ( A) 1 P ( A ) 1 0,659 0,341 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------15 De una caja que contiene 3 esferas rojas y 2 azules se extrae una esfera al azar y se la
coloca en una segunda caja que contiene 4 esferas azules y 2 rojas. A continuación se extrae una esfera al azar de la segunda caja. a) ¿Cuál es la probabilidad que se extraiga la misma esfera que se extrajo de la primera caja? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la esfera extraída de la segunda caja sea roja? c) Sean A y B los siguientes eventos: A: la esfera extraída de la primera caja es roja B: la esfera extraída de la segunda caja es roja ¿Son independientes los eventos A y B? Solución a) Como la caja 1 tiene 5 bolas, entonces se extrae la misma bola de ambas cajas si (se extrae la bola 1 de la caja 1 y después la misma bola 1 de la caja 2) o (se extrae la bola 2 de la caja 1 y después se extrae la misma bola 2 de la caja2) o (se extrae la bola 3 de la caja 1 y después se extrae la misma bola 3 de la caja2) o (se extrae la bola 4 de la caja 1 y después se extrae la misma bola 4 de la caja2) o (se extrae la bola 5 de la caja 1 y después se extrae la misma bola 5 de la caja2) Una manera más simple de escribir esto es usar la notación de eventos, subíndices y operatoria de eventos. Entonces, sean: se extrae la bola i de la caja j, con i 1,2,3,4,5 y j 1,2 M = se extrae la misma esfera de la segunda caja Luego, M ( B11 B12 ) ( B21 B22 ) ( B31 B32 ) ( B41 B42 ) ( B51 B52 ) y
5
5
5
P ( M ) P ( Bi1 Bi 2 ) P ( Bi1 ) P ( Bi 2 / Bi1 ) (1 / 5) (1/ 7) 5 (1 / 5) (1 / 7) 1 / 7 i 1
i 1
i 1
b) El evento de interés puede ocurrir si (se extrae una esfera roja de la caja 1 y una roja de la caja 2) o si (se extrae una esfera azul de la caja 1 y una roja de la caja 2) En símbolos: = la bola extraída de la caja j es roja, j 1,2 = la bola extraída de la caja j es azul, j 1,2
Entonces,
R2 ( R1 R2 ) ( A1 R2 ) y
P ( R2 ) P ( R1 R2 ) ( A1 R2 )
= P ( R1 R2 ) P ( A1 R2 ) = P ( R1 ) P ( R2 / R1 ) P ( A1 ) P ( R2 / A1 ) 3 3 2 2 = 5 7 5 7 13 / 35
c) P ( B A) P ( B )
3 7
13 35
P( B A) P( B)
A y B no son independientes
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
El 72% de los visitantes a un centro comercial de ventas de automóviles son mujeres. 16 Por otro lado, el porcentaje de los hombres visitantes a este centro comercial que realizan una compra es igual al 40%. Denote por p al porcentaje de las mujeres visitantes a este centro comercial que realizan una compra. Una vez que termina la actividad de ventas del día se elige al azar a un comprador y se le entrega como regalo un viaje de placer a una ciudad turística cercana. Se sabe que la probabilidad de que una mujer reciba el premio es igual a la probabilidad de que un hombre reciba el premio. ¿Cuál es el valor de p? Solución Sea M y H los siguientes eventos: M : visitante mujer H : visitante hombre
Dado que P M visitantecompra P H visitantecompra Entonces,
P M visitantecompra
Por tanto, Es decir, Luego,
P visitantecompra
P H visitantecompra P visitantecompra
P M visitantecompra P H visitantecompra 0, 72 p 0, 28 0, 4 p 0,16
Alternativa mujer
0.72
compra
p
hombre
0.28
compra
0.4
Se observa que P M visitantecompra P H visitantecompra Entonces, directamente del árbol, se obtiene: 0,72 p 0, 72 p 0, 28 0, 4
Es decir, Luego,
0, 28 0, 4
0, 72 p 0, 28 0, 4
0, 72 p 0, 28 0, 4 p 0,16
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Una cuarta parte de los residentes de una cierta comunidad dejan abiertos sus garajes 17 cuando salen de sus casas. El jefe de la policía local calcula que en 5% de los garajes cuyas puertas se dejan abiertas se roban algún objeto, pero solamente en un 1% de los garajes cuyas puertas quedan cerradas se han robado algo. a. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un robo en un garaje en esa comunidad? b. Si los delincuentes han robado un garaje ¿qué probabilidad existe de que las puertas de ese garaje se hayan dejado abiertas? Solución
a)
Sean los eventos A = el residente deja abierto su garaje C = el residente deja cerrado su garaje R = hay un robo en un garaje de esa comunidad Los datos del problema son: P ( A) 0,25
P ( R / A) 0,05
P (C ) 0,75
P ( R / C ) 0,01
Se pide calcular P ( R) y por la regla de las probabilidades totales se tiene que P ( R) = P ( A) P ( R / A) P (C ) P ( R / C ) = (0,25)(0,05) (0,75)(0,01) = 0,02 b)
P ( A) P ( R / A) (0,25)(0,05) = P ( A / R) = 0,02 P ( R)
= 0,625 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------18 a) Sean A y B eventos tales que P ( A) 0,2 ; P ( B) 0,3 ; P ( A B) 0,4 . Calcule la c
probabilidad P ( A / B) Solución P ( A c B) P ( B) P ( A B) c P ( A / B) = = P ( B) P ( B)
, P ( B) 0
P ( B) { P ( A) P ( B) P ( A B)}
=
P ( B)
P ( A B) P ( A)
= b)
P ( B)
=
0,4 0,2 0,3
2 / 3 0,67
De 5 números negativos y 7 positivos se seleccionan 4 números al azar sin reposición y se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea un número positivo? Solución P (Pr oducto positivo) = P (4 positivosó (2 positivos y 2 negativos) ó 4 negativos) = P (4 positivos ) + P (2 positivos y 2 negativos) + P (4 negativos) 7
=
C 4
12
7
5
C 2 C 2 12
C 4 C 4 0,5051
5
C 4
12
C 4
=
35 495
2110 495
5 495
250 495
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------19 Un estudiante responde un examen de opción múltiple donde cada pregunta tiene cuatro posibles respuestas. Suponga que la probabilidad de que el estudiante sepa la respuesta correcta a una pregunta es 0,8 y la probabilidad de que adivine la respuesta es 0,2. Si el alumno adivina, la probabilidad de elegir la respuesta correcta es de 0,25. Si el estudiante responde correctamente una pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que en realidad conozca la respuesta correcta? Solución Sean los eventos S = el estudiante sabe la respuesta correcta a una pregunta A = el estudiante adivina la respuesta a una pregunta C = el estudiante elige la respuesta correcta Los datos son: P (C / S ) 1 P (S ) 0,8 P ( A) 0,2 P (C / A) 0,25 Se pide: P (S ) P (C / S ) (Bayes) P (S / C ) = P (S ) P (C / S ) P ( A) P (C / A) 0,8 *1 = 0,8 *1 0,2 * 0,25 0,9412 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique 20 adecuadamente su respuesta. Si es verdadera demuéstrelo en general. Si es falsa de un contraejemplo o demuéstrelo en general.
a)
c
Si P ( A / B) P ( A / B ) , entonces A y B son independientes. c
b) Si P ( B) 0 , entonces P ( A / B) 1 P ( A / B ) Solución a) Verdadera c P ( A B) P ( A B ) c P ( A / B) P ( A / B ) = P ( B c ) P ( B)
, P ( B) 0
P ( A B) P ( A) P ( A B)
=
(Ver *)
1 P ( B) P ( B) P ( A B) P ( B) P ( A B) = P ( A) P ( B) P ( B) P ( A B)
P ( A B) = P ( A) P ( B)
A y B son independientes
b)
Falso c
En general, P ( A / B) 1 P ( A / B) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------* Justificación
De la figura se tiene que A ( A B c ) ( A B) Del mismo modo, B ( Ac
P ( A) P ( A B c ) P ( A B)
P ( A B c ) P ( A) P ( A B)
B) ( A B) P ( B) P ( Ac
P ( A
c
B) P ( A B)
B) P ( B) P ( A B) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Con el fin de realizar una inversión se selecciona una de tres alternativas A, B y C . Las 21 probabilidades de escoger cada una de ellas son: 0,5 para A, 0,3 para B y 0,2 para C . Como resultado de la elección, se puede producir perturbaciones que detienen la realización de la inversión. Esto ocurre el 10% de las veces si la alternativa fue A, el 20% si fue B y 15% si fue
C. a. Hallar la probabilidad de que la inversión no se realice b. Si la inversión se realizado, ¿Cuál es la probabilidad de lo haya realizado desde A ó B ? Solución a. Sean los eventos A: La alternativa seleccionada es A B: La alternativa seleccionada es B C : La alternativa seleccionada es C R: la inversión se realiza C c c c Entonces, P ( R ) P ( R / A) P ( A) P ( R / B) P ( B) P ( R / C ) P (C ) 0,1 0,5 0,2 0,3 0,15 0,2 0,14
b.
P ( A B / R) =
=
P ( A B) R P ( R)
P ( A R) P ( B R) P ( R)
P ( R / A) P ( A) P ( R / B) P ( B) P ( R)
c
Pero, P ( R) 1 P ( R ) 1 0,14 0,86 c
P ( R / A) 1 P ( R / A) 0,9 c
P ( R / B) 1 P ( R / B) 0,8
Entonces, P ( A B / R)
0,9 0,5 0,8 03 0,86
0,8023
Observación: las formulas se pueden justificar con un árbol de probabilidades. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------22 a) Sea S espacio muestral y A, B eventos. Demuestre que
b)
[] ¿Hay alguna restricción para de modo que se cumpla la ecuación anterior? ¿Si , pueden A y B ser independientes?
Una caja contiene tres monedas. Una de ellas tiene 2 caras, una tiene dos sellos y otra 23 es una moneda normal con un sello y una cara. Se escoge aleatoriamente una de estas monedas, se lanza al aire y resulta cara. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda extraída haya sido la moneda de dos caras? b) ¿Si la moneda extraída se lanza una segunda vez, cuál es la probabilidad de que resulte cara nuevamente? c) ¿Si la moneda extraída se lanza una segunda vez resultando cara nuevamente, cuál es la probabilidad de que la moneda extraída haya sido la moneda de dos caras? Solución Define los
eventos: M1= la moneda extraida es la de dos caras M2= la moneda extraida es la de dos sellos M3= la moneda extraída es normal con un sello y una cara Ci= el resultado del lanzamiento i es cara entonces P(M1)=1/3 P(C1/M1)=1 P(M2)=1/3 P(C1/M2)=0 P(M3)=1/3 P(C1/M3)=0,5 Ahora usa Bayes
24 Una empresa recibe habitualmente una pieza delicada. Observa que la proporción de piezas que son buenas o defectuosas del total recibido es la que muestra la tabla adjunta. Subcontratista Pieza A B C Buena 0,27 0,30 0,33 Defectuosa 0,02 0,05 0,03 a) Se selecciona aleatoriamente una pieza de todas las piezas recibidas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? b) Se selecciona aleatoriamente una pieza de todas las piezas recibidas. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda del subcontratista B? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza procedente del subcontratista B sea defectuosa? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza defectuosa seleccionada aleatoriamente proceda del subcontratista B? e) ¿Es la calidad de una pieza independiente de la fuente de suministro? f) ¿Desde el punto de vista de la calidad, cuál de los tres subcontratistas es más fiable?
El profesor de una asignatura indica a sus estudiantes que para la siguiente prueba 25 elegirá al azar seis problemas de una lista de doce problemas que el les dio para que
investigaran y resolvieran. ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante resuelva los seis problemas de la prueba si sólo pudo resolver ocho de los doce problemas de la lista? 26 Una empresa emisora de tarjetas de crédito hace un estudio de mercado entre estudiantes universitarios y ha logado estimar que el 50% de ellos tiene tarjeta Visa, 30% de ellos tiene tarjeta MasterCard y el 20% de esos estudiantes tiene ambas tarjetas. a) Estime la probabilidad de que uno de esos estudiantes elegido al azar no posea ninguna de esas tarjetas b) Estime la probabilidad de que uno de esos estudiantes elegido al azar posea la tarjeta Visa pero no la tarjeta MasterCard 27
si A y B son
a) Sean A y B dos eventos cualquiera, demuestre que b) Usando la desigualdad de a) determina los valores que debe tomar dos eventos con la misma probabilidad y
En un estudio del mercado de revistas los editores de Motiv han determinado entre otras 28 cosas los siguientes porcentajes o probabilidades
Los eventos involucrados son: : La persona lee la revista Motiv : La persona no lee la revista Motiv : La persona es hombre : La persona es mujer a) Calcule las probabilidades siguientes: i) iii) ii) b) Interprete o diga qué significan las tres probabilidades calculadas en a). No más de líneas por cada una. b) ¿Son independientes los sucesos y ?
Solución a) i)
Se tiene que Pero, Entonces,
ii) iii) P ( B2 / A2 )
tres
P ( B2 A2 ) P ( A2 )
0,6
P ( B2 A2 ) 0,6
P ( B2 A2 ) 0,36
P (( B2 A2 )) 1 0,36 0,64 P (( B2 A2 )) P ( B2 A2 ) P ( B1 A1 ) P ( A1 B1 ) 0,64
P ( A1 B1 ) P ( A1 ) P ( B2 ) P ( A1 B1 ) 0,64 0,4 0,55 P ( A1 B1 ) P ( A1 B1 ) 0,31
29 El gerente de una cadena de supermercados estima que sus establecimientos se desenvolverán este año en tres posibles escenarios económicos para el país con las siguientes probabilidades. = la economía se contrae = la economía sigue igual =la economía se expande Escenarios Económicos Probabilidad -----------------------------------------------------------------------0,2 0,5 0,3 El gerente también sabe que la probabilidad de que uno de sus supermercados alcance la meta de una venta anual de 10 millones de dólares es 0,6; 0,7 y 0,8 si los escenarios son respectivamente. Se seleccionan al azar 2 de los supermercados de la cadena. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos alcancen la meta? b) Dado que ambos negocios alcanzan la meta, ¿cuál es la probabilidad de que esto ocurra en un año en que la economía se expande?.
Se sabe que el 60,8% de los ingresos familiares en Chile es inferior a $250.000, que el 22% de los habitantes vive en la zona Norte del país, que el 54% vive en la zona Centro y que el resto vive en la zona Sur del país. También se sabe que en la zona Norte el 47% de los ingresos familiares es inferior a $250.000 y que en la zona Sur el 67% de los ingresos familiares es inferior a $250.000. a) ¿Qué porcentaje de los ingresos familiares de la zona Centro es inferior a $250.000? 30
Si se escoge al azar una familia del país y resulta que sus ingresos son iguales o superiores a $250.000, ¿cuál es la probabilidad de que esa familia viva en la zona Sur? Solución a) Sean los eventos N : la familia vive en la zona Norte C : la familia vive en la zona centro S : la familia vive en la zona Sur I : los ingresos de la familia son inferiores a 250.000 Los datos del problema son
a)
Usando la regla de las probabilidades totales se tiene Entonces, Por la Regla de Bayes se tiene
De 21000 pasajeros entrevistados, el año pasado, 9000 viajaban sólo por 31. negocios, 6000 por vacaciones y 4000 en ambos tipos de viajes. Si se selecciona a uno de estos pasajeros al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que solo haya viajado por vacaciones? Solución Sean los eventos: A: El pasajero viaja por negocios. B: El pasajero viaja por vacaciones Se pide:
Una financiera analiza dos variables INGRESO y número de INTEGRANTES en su grupo familiar. Esta información recolectada de sus bases de datos se resume en la siguiente tabla: Ingreso Integrantes. Bajo Medio Alto 2 4520 5690 5026 3 2564 550 5695 4 550 352 425 5 400 568 236 32.
Si se eligiera un cliente de los que se están estudiando al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un grupo familiar de más de 3 integrantes? b. ¿Cuál es la probabilidad de que su nivel de ingreso sea Bajo o el número de integrantes del grupo familiar sea exactamente 4? Suponga que en una institución financiera se tienen dos tipos de clientes: 33. riesgosos (R) y morosos (M). Por información histórica la probabilidad de que un cliente sea riesgoso es 1/2 y la probabilidad de que NO sea moroso es 5/8. Por otro lado la probabilidad de que un cliente sea riesgoso o moroso es 3/4. Se selecciona un cliente al azar. Calcule la probabilidad de que: a) Sea riesgoso y moroso b) No sea moroso y no sea riesgoso c) solamente sea moroso o solamente riesgoso 34 Una tienda distribuidora de artículos de aseo tiene en la Región Metropolita 4 locales. La distribución de los clientes según registros propios del departamento de contabilidad de esta empresa es:
Local Santiago Centro San Bernardo Quilicura Providencia
Cantidad de Clientes 425 115 320 540
Registros históricos también muestran que el 25% de las ventas en el local de San Bernardo son realizadas a instituciones educativas; de la misma forma 36% en Santiago Centro, 40% en Quilicura y 35% en Providencia. a) Si se selecciona al azar un cliente, ¿Cuál es la probabilidad de que sea cliente de una institución NO Educativa? b) Si se selecciona al azar un cliente y se reconoce que es un cliente de una institución educativa, ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a Quilicura? c) Si se selecciona al azar un cliente, ¿Cuál es la probabilidad de que este cliente pertenezca a San Bernardo y sea cliente de una institución NO educativa? d) Se definen los siguientes eventos A = Ocurre moroso y no riesgoso B = Ocurre que solamente es riesgoso. C = A B ¿Qué evento es más probable A, B o C? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
35 Prueba 1 Abril 2012 Una empresa de buses interurbanos tiene programado en días laborales salidas desde Santiago a las 6:30 AM con destino a Rancagua, San Antonio y Viña del Mar. Registros históricos indican que el 80%, el 72% y 86% de las veces esos buses viajan completos a Rancagua, San Antonio y Viña del Mar respectivamente. Además se sabe que las demandas de pasajes para esas ciudades pueden ser consideradas independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres buses viajen completos a esas ciudades en un día laboral cualquiera? Respuesta Sean los eventos R= el bus viaja completo a Rancagua A= el bus viaja completo a San Antonio V = el bus viaja comleto a Viña del Mar
Se pide
por independencia
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en día laboral cualquiera sólo el bus a Viña del Mar viaje completo? Se pide Respuesta por independencia
36 Prueba 1 Abril 2012 Se sabe que la probabilidad de que un ejecutivo sea promovido de cargo en cierta compañía, es de un 80%. Debido a observaciones respecto a las promociones en la entidad, usted sabe que el 90% de las personas que van a ser promovidas reciben una invitación al comedor de altos ejecutivos durante el mes anterior a la promoción. Si una persona no va a ser promovida, la probabilidad de recibir una invitación al comedor de altos ejecutivos es de sólo un 25%. a) Represente mediante algún tipo de diagrama la información proporcionada en el enunciado.
Respuesta Se definen los eventos:
Diagrama de árbol:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo sea invitado al comedor de altos ejecutivos de la compañía? Respuesta
| |
c) Si un individuo recibe una invitación este mes al comedor de altos ejecutivos ¿cuál es la probabilidad de que éste no sea promovido el próximo mes? Respuesta
| |
37 Examen Junio 2012 En un hospital, la probabilidad que un paciente tenga cierta enfermedad es 0,05. Para determinar si tiene la enfermedad, se le aplica una prueba. Si el paciente tiene la enfermedad, la probabilidad de que la prueba sea negativa es 0,01, si no la tiene, la probabilidad de que la prueba sea negativa es de 0,03. Al aplicar la prueba a un paciente, esta resultó negativa, ¿cuál es la probabilidad de que el paciente sí tenga la enfermedad? 38 Prueba 1 Septiembre 2012 Una financiera analiza dos variables INGRESO y número de INTEGRANTES en su grupo familiar. Esta información recolectada de sus bases de datos se resume en la siguiente tabla:
INTEGRANTES 2 3 4 5
Bajo
INGRESO Medio
Alto
4520
5690
5026
2564
550
5695
550
352
425
400
568
236
Si se eligiera un cliente de los que se están estudiando al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un grupo familiar de más de 3 integrantes? Respuesta Se define los eventos:
Luego,
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su nivel de ingreso sea Bajo o el número de integrantes del grupo familiar sea exactamente 4? Respuesta
39 Prueba 1 Septiembre 2012 Suponga que en una institución financiera se tienen dos tipos de clientes: riesgosos (R) y morosos (M). Por información histórica la probabilidad de que un cliente sea riesgoso es 1/2 y la probabilidad de que NO sea moroso es 5/8. Por otro lado la probabilidad de que un cliente sea riesgoso o moroso es 3/4. Se selecciona un cliente al azar. Calcule la probabilidad de que: a) Sea riesgoso y moroso Respuesta Se definen los eventos
Del enunciado se tiene: Se pide calcular:
Observación: el resultado pudo haberse obtenido del diagrama pero se debe expresar la probabilidad que se pide.
e)
No sea moroso y no sea riesgoso
Observación: el resultado pudo haberse obtenido del diagrama pero se debe expresar la probabilidad que se pide.
f)
solamente sea moroso o solamente riesgoso
( )
Observación: el resultado pudo haberse obtenido del diagrama pero se debe expresar la probabilidad que se pide.
Se definen los siguientes eventos A = Ocurre moroso y no riesgoso B = Ocurre que solamente es riesgoso. C = A B ¿Qué evento es más probable A, B o C?
El evento más probable es C.
Observación: estas probabilidades se encontraban en la pregunta c) por lo que se podían utilizar directamente haciendo referencia a esta parte.
40 Examen Diciembre 2012 Los automóviles pequeños rinden más kilómetros por litro de gasolina, pero son menos seguros que los automóviles de mayor tamaño. Se sabe que el 31% de los permisos de circulación corresponden a automóviles pequeños, que el 12% de los automóviles pequeños está involucrado en un accidente fatal y que 6% de los vehículos no pequeños está involucrado en un accidente fatal. Suponga que por medio de una radioemisora usted se entera de un accidente automovilístico fatal. ¿Cuál es la probabilidad de que en ese accidente esté involucrado un automóvil pequeño? Solución Se definen los eventos:
| | | ̅ | | 50
Control 2 Mayo 2013
Cada día, una familia consume tres frascos de yogurt en el desayuno. Un día en particular, el refrigerador de la casa tiene 10 frascos de yogurt, pero 4 de ellos ya están vencidos (sobrepasan la fecha de vencimiento). ¿Si se seleccionan en forma sucesiva, con igual probabilidad, y sin reposición, tres frascos de yogurt, ¿cuál es la probabilidad de que los tres frascos de yogurt seleccionados no estén vencidos? Justifique su respuesta. Respuestas Sea el evento = el yogurt de la selección i no está vencido; Alternativa 1
|| Alternativa 2
------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------
51
Control 2 Mayo 2013
En un cierto banco la probabilidad de que un crédito sea para vivienda es igual a 0,35; la probabilidad de que un crédito sea para la industria es igual a 0,50 y la probabilidad de que un crédito sea para consumo diverso es igual a 0,15. La probabilidad de que un crédito para vivienda no se pague es igual a 0,2. La probabilidad de que un crédito para la industria no se pague es igual a 0,50 y la probabilidad de que un crédito de consumo diverso se pague es igual al 30%. Calcule la probabilidad de que un crédito otorgado por este banco se pague. Justifique su respuesta. Respuesta Sean los eventos:
V : I : C : N :
Crédito para vivienda Crédito para la industria Crédito para consumo diverso El crédito no se paga Del enunciado se tienen los siguientes datos,
| | | Por la regla de las probabilidades totales se tiene que, | | | Entonces, 52 Prueba 2 Mayo 2013 La Gerencia de una investigadora de mercados está elaborando un estudio sobre la calidad de las localizaciones de las nuevas tiendas de ropa en áreas comerciales. Aplicando un cierto criterio, la Gerencia ha clasificado la localizaci ón de cada tienda en ”buena”, “aceptable” y “mala”. Se consideraron dos categorías para las nuevas tiendas de ropa en áreas comerciales: las que prosperan y las que no prosperan. Algunos resultados del estudio son los siguientes: 70% de las tiendas que prosperan tienen una localización “buena”, 20% de las tiendas que prosperan tienen una localización aceptable y 10% de las tiendas que prosperan tienen una localización mala. Por otra parte, 60% de las nuevas tiendas de ropa fueron clasificadas teniendo buena localización y sólo el 14% de las nuevas tiendas de ropa fueron clasificadas como no prosperando y con una localización aceptable. Por último, también se sabe que el 60% de las nuevas tiendas de ropa prosperan y el 40% no prosperan. a) i. Si una tienda no prospera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una localización buena? R. 0,45 ii Si una tienda no prospera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una localización aceptable? R. 0,35 iii Si una tienda no prospera, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una localización mala? R. 0,20 b) Si la localización de una tienda se clasifica como buena, ¿cuál es la probabilidad de que esta tienda no prospere? R. 0,30 c) ¿Son independientes los eventos “la tienda tiene una localización buena” y “la tienda prospera”? R. No
53 Examen Julio 2013 En una cierta cadena de farmacias, la probabilidad de que un cliente sea leal se estima en 0,18. Se sospecha que esta probabilidad es considerablemente más grande, entre los adultos mayores. Se ha decidido iniciar un programa de captación de clientes adultos mayores, siempre que esta probabilidad (probabilidad de cliente leal en los adultos mayores) sea mayor que 0,30. En una muestra aleatoria de 45 clientes leales, se ha encontrado una proporción de 15 adultos mayores. Por otro lado, en una muestra aleatoria de 70 clientes no leales, 10 de ellos eran adultos mayores. Utilice estas proporciones para estimar las respectivas probabilidades condicionales y determine si se lleva o no a cabo el programa de captación de adultos mayores.
Respuestas Sean los eventos;
L el cliente es leal M : el cliente es adulto mayor
Del enunciado se tiene que
Entonces,
|
| | | | | |
54 Control 2 Septiembre 2013 Una red de distribución de energía eléctrica cuenta con 3 estaciones: A, B y C. Si se produce una sobrecarga en alguna de las estaciones de la red (y sólo en este caso), el suministro de energía podría interrumpirse con probabilidad 0,8%. Por experiencia se sabe que una sobrecarga en la estación A es capaz de producir un corte con una probabilidad del 1%. Para las estaciones B y C los correspondientes porcentajes son el 2% y el 3%, respectivamente. De igual manera se conoce que el riesgo de sobrecargas de las estaciones en épocas de calor intenso es de un 60% para sobrecarga en A, un 20% para B y un 15% para C, existiendo un riesgo de sobrecargas simultáneas del 5% en dos o más estaciones y del 2% en las tres simultáneamente. Durante una ola de calor se produce un corte general de distribución en la red. Encuentre la probabilidad de que la sobrecarga haya ocurrido en la estación A, en la estación B y en la C. 55 Control 2 Septiembre 2013 Sean A y B eventos cualquiera asociados a un espacio muestral S . Demuestre que,
[|]
56 Control 2 Septiembre 2013 Una Agencia dedicada al estudio de mercados evalúa las perspectivas para abrir tiendas de artículos musicales en los centros comerciales. La Agencia clasifica las perspectivas como buenas, regulares y malas. Se han estudiado todas las evaluaciones hechas por la Agencia y se ha observado que de todas las tiendas que han tenido éxito, la Agencia había dicho que las perspectivas eran buenas el 72% de las veces, regulares el 24% de las veces y malas el 4%. De todas las tiendas que no tuvieron éxito la Agencia había dicho que las perspectivas eran buenas el 18% de las veces, que eran regulares el 26% y que eran malas el 56%. También se constató que el 60% de las nuevas tiendas tienen éxito y que el 40% no tiene éxito.
a) ¿Cuál es la probabilidad que la Agencia considere buenas las perspectivas de una nueva tienda seleccionada aleatoriamente? b) Si las perspectivas de una nueva tienda se consideran malas, ¿cuál es la probabilidad de que la nueva tienda tenga éxito? c) Se eligen aleatoriamente cuatro nuevas tiendas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una tenga éxito?
57 Control 2 Septiembre 2013 En un artículo acerca del crecimiento de inversiones de la revist a “Money” se reportó que las acciones de Medicamentos presentan tendencias a largo plazo poderosas y ofrecen a sus inversores un gran potencial de ganancias firmes y seguras. Muchos individuos mayores a 65 años dependen fuertemente de drogas que se venden bajo receta médica. Para este grupo 82% consume este tipo de drogas regularmente. En contraste, respecto al consumo de drogas que se venden bajo receta médica de personas con edad menor o igual a 65 años se sabe que 49% consume este tipo de drogas regularmente. El censo de 2012 reporta que, de los 28 millones de personas en USA 35 millones son mayores a 65 años.
a) b)
Calcule la probabilidad de que una persona en USA sea mayor de 65 años. Calcule la probabilidad de que una persona cualquiera consuma regularmente drogas que se venden con receta médica. c) Dado que una persona consume regularmente drogas que se venden bajo receta médica, calcule la probabilidad de que la persona sea mayor de 65. Solución a) Sea A = Una persona en USA es mayor de 65 años.
b) Se utiliza Probabilidades Totales. Sean los eventos: C = Una persona consume regularmente drogas que se venden bajo prescripción médica. N = Una persona NO consume regularmente drogas que se venden bajo prescripción médica. A = Una persona en USA es mayor de 65 años. B = Una persona en USA no es mayor de 65 años.
| | c) Se utiliza Teorema de Bayes | | | | 58 Prueba 2 Octubre 2013 De las 12 cuentas en un archivo, cuatro tienen un error en el estado de cuenta. a) Si un auditor elige al azar dos de estas cuentas (sin reemplazo), ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas contenga un error? Construya un diagrama del árbol para representar este proceso secuencial de muestreo. R.0,42 b) Si el auditor toma una muestra de tres cuentas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas contenga un error? R. 0,25 c) Si un auditor toma de manera aleatoria tres cuentas como muestra, ¿cuál es la probabilidad de que cuando menos una contenga error R. 0,75 59 Prueba 2 Octubre 2013 En una empresa tenemos tres tipos de trabajadores: administrativos, empleados de seguridad y directivos. El 65% de los trabajadores son hombres, de los cuales el 15 % son directivos. De las mujeres, el 3% son directivas. En seguridad trabaja el 25% de los hombres y ninguna mujer. ¿Qué proporción de empleados son administrativos? R. 73%
60 Prueba 2 Octubre 2013 Una empresa de trabajo temporal ha realizado un amplio estudio sobre los tipos de empleo solicitados por los estudiantes de Bachiller, Formación Profesional y Universitarios. El informe clasifica estos solicitantes de empleo como calificados o no calificados para los trabajos que solicitan, y de los datos que contiene se desprende que sólo el 25% estaban calificados para el trabajo que solicitaban, de los cuales, un 20% eran estudiantes universitarios, un 30% estudiaban Formación Profesional y un 50% Bachillerato. La situación entre los no calificados es diferente: un 40% de ellos era estudiante universitario, otro 40% estudiaban Formación Profesional y sólo un 20% se encontraba en Bachillerato. Entre los estudiantes universitarios que solicitaron empleo, ¿qué porcentaje no estaba calificado para los puestos de trabajo que solicitaban? R. 85,7% ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Recopilado por José Tapia Caro Estos problemas han sido propuestos por los profesores Abanto R., Beltrán C., Darrigrandi F., De la Cruz R. Hevia H., Tapia J., Toledo A. Trapp A.
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