2 - Practica 2 - Integración Exacta y Aproximada

Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí

PRACTICAS DE LABORATORIO

Facultad de ingeniería Ingeniería eléctrica

Análisis Numérico - MATLAB

Practica Nº2 Suma de Riemann y Suma trapezoidal

Prof. MSc. Marcos Ponce Jara

Universidad Laica Eloy Alfaro de Manabí

Análisis Numérico

Ingeniería Electrica

ÍNDICE 1.

Integración exacta y aproximada............................ ............................ ........................... ........ 3 1.1.

Suma de Riemann.......................... ............................ ............................ .......................... 3

1.2.

Suma trapezoidal ........................... ............................ ........................... ........................... 4

1.3.

Comandos básicos Matlab para integración.................................................................. 5

2.

Introducción a la Practica....................................................................................................... 6

3.

Objetivos de la practica .......................................................................................................... 6

4.

Equipos del puesto de trabajo ................................................................................................ 6

5.

Programas utilizados para las practicas.......................... ........................... ........................... 6

6.

Normas de trabajo del laboratorio.......................... ........................... ............................ ........ 6

7.

Ejercicios de evaluación practica ........................................................................................... 7

Prof. MSc. Ing. Marcos Ponce Jara

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Análisis Numérico

Ingeniería Electrica

1. Integración exacta y aproximada El problema matemático de calcular áreas ha sido una de las cuestiones más estudiadas  por los matemáticos de la antigüedad. El área es una me dida de extensión de una superficie expresada en unidades de medida. Dicho de otra manera, el área es la medida que  proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica. Para el caso de figuras con lados rectos (Figura 1) es fácil de definir, no obstante, no es fácil hallar el área con lados curvos (figura 2). Uno de los métodos para calcular áreas con lados curvos fue el método del agotamiento, utilizado por los matemáticos griegos; por ejemplo para el cálculo del área de una circunferencia, consistía en la inserción dentro del mismo de triángulos cada vez más pequeños, de forma que la suma de las áreas de estos sería igual al área del círculo.

Figura 1

Figura 2

Obviamente estos métodos de cálculo numérico para determinar el área de figuras con lados curvos arrojaban unos resultados aproximados; el resultado es función de la cantidad de triángulos utilizados para el cálculo del área. 1.1.

Suma de Riemann

Bernhard Riemann (1826-1866), matemático alemán, acuño una de las definiciones matemáticas que se usan hoy en día para explicar el concepto de integrales definidas. En su honor se llama suma de Riemann al proceso matemátic o para calcular el área bajo una curva utilizando un número infinito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. Cuantos más rectángulos se utilicen, más exacta será el área calculada.

Prof. MSc. Ing. Marcos Ponce Jara

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Análisis Numérico

Ingeniería Electrica

Como se puede observar, la suma de Riemann es un método numérico para calcular el área bajo una curva. Para arrojar un resultado exacto se tendrían que realizar un sumatorio infinito de áreas de rectángulos inscritos bajo la función. Como es de esperar si el sumatorio no es infinito el resultado acarreara un cierto error de cálculo. Por tanto para calcular de forma exacta el área tenemos que resolver el límite del sumatorio planteado. Para calcular la suma de Riemann existen algunas variantes en función de los puntos tomados para calcular la altura del rectángulo: puntos extremos de la derecha, extremos de la izquierda y puntos medios. Las fórmulas que describen lo expuesto son:

    ,  ∑=   +      ℎ     ,  ∑=   +  1          ,  ∑=   + 2   1.2.

Suma trapezoidal

Un segundo método numérico para calcular el área bajo la curva es suma trapezoidal. Este se basa, al igual que el anterior, en una suma infinita de trapecios, los cuales en este caso se aproximarán a un promedio de los valores extremos a izquierda y derecha. La fórmula que describe el comportamiento de este método es la siguiente:

  +⋯+ ∆ − + ∫  ≈ ∆ 0 +2  +∆  + 2 2 ≈ ∆2 0 + (2) + (2) +⋯+(2−) +  Prof. MSc. Ing. Marcos Ponce Jara

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1.3.

Análisis Numérico

Ingeniería Electrica

Comandos básicos Matlab para integración

El comando “int ” calcula de manera simbólica la integral de la función f. Ejemplo:

 syms x int(x^2/(x^6 - 8))

Para aproximar la integral de una función f mediante sumas de Riemann y la respectiva representación de rectángulos se utiliza el comando “ rsum  ” Ejemplo:

 syms x rsums (exp(-2*x))

Se utiliza el comando “trapz(x,y)” para calcular la integral de una función aproximando el valor de la integral de Y con respecto a X Ejemplo:

 X=0:0.001:1 Y = (exp(-2*x)) trapz(X, Y)

Para calcular las primitivas de una función se debe declara las variables como simbólicas y  posteriormente realizar los cálculos pertinentes: Ejemplo:

 syms x a b  f = sin(a*x)+cos (b*x); integral=diff (f, x);  pretty(integral)

Si queremos evaluar una integral entre un intervalo determinado, una de las soluciones es utilizar la siguiente función “integral (función, intervalo1, intervalor2)” Ejemplo:

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 fun = @(x) exp(-x^2) (aquí introducimos el intervalo de integración) q = integral(fun,0,Inf)

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Análisis Numérico

Ingeniería Electrica

2. Introducción a la Practica Esta segunda práctica nos introduce a los métodos numéricos como forma de calcular de forma aproximada el área bajo una curva utilizando métodos iterativos de cálculo. En este caso se desea programar un script en Matlab para graficar y calcular áreas mediante el método de Suman de Riemann y el método de Suma Trapezoidal. Se comparará cada método respecto el resultado exacto, obteniendo de esta manera los errores cometidos en cada caso.

3. Objetivos de la practica   

  

Entender con profundidad el concepto de integración Utilización de métodos iterativos para el cálculo de áreas Familiarizarse con los distintos comandos para calcular integrales definidas e indefinidas de forma exacta Graficar el método de la Suma de Riemann y Suma Trapezoidal Calculo de errores Utilización del bucle FOR como método iterativo para el cálculo de áreas

4. Equipos del puesto de trabajo Se utilizarán las computadoras del laboratorio de Controles o en su defecto las del laboratorio de informática.

5. Programas utilizados para las practicas Se utilizara el software Matlab rb2013 o en su defecto la versión más reciente instalada en los laboratorios de la facultad de ingeniería. Adicionalmente se utilizará el programa Wolfram CDF (versión de prueba) para comprobar que nuestros resultados son correctos.

6. Normas de trabajo del laboratorio 



 

 

Cada grupo de estudiantes es responsable del correcto uso de los equipos informáticos  presentes en los laboratorios. En caso de detectar el funcionamiento defectuoso de algún equipo se debe comunicar al  profesor encargado para ser corregido lo más pronto posible. El trabajo es por grupos de máximo 3 personas. Todas las computadoras tiene internet, no obstante es para uso exclusivo de la asignatura. Si algún estudiante lo usa para otros medios puede afectar a su nota de  prácticas.  No está permitido el ingreso de bebidas o comidas a la clase El uso del celular (llamadas o mensajes) no está permitido; si algún estudiante reincide en este hecho, puede repercutir en su nota de prácticas.

Prof. MSc. Ing. Marcos Ponce Jara

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Análisis Numérico

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7. Ejercicios de evaluación practica I.

Sum a de Riemann (sumator ia puntos externos derechos):

−

Sea A el área de la r egión que estábaj o la gr áfica de f (x ) = , entr e x = 0 y x = 2. Se pide: a)  Explique el concepto de integral con sus propias palabras b)  Encuentre una expresión para A como un límite (no evalué ese límite) c)  Estime el área tomando los puntos muestra 2, 4, 8 y 10 (evalúelos manualmente). d)  Estime el área creando un programa para calcular áreas mediante el método numérico de Riemann. Compruebe los resultados c alculados manualmente y calcule el área tomando 100, 500 subintervalos. El programa tiene que generar una gráfica como la que se muestra a continuación:

e)  Dentro del programa, calcule la integral exacta de f(x) en el intervalo [0, 2] y muestre el error cometido entre la aproximación y el cálculo exacto. Nota: Para comprobar que están realizando el programa de forma correcta comprobar los r esultados con los mostrados en la siguiente aplicación con la opción “right sum”: http://demonstrations.wolfram.com/ComparingBasicNumericalIntegrationMethods/ 

II.

Suma de Riemann (sumatori a puntos externos izqui erdos):  f)  Realice exactamente lo mismo que el ejercicio anterior pero tomando en cuenta la sumatoria con los  puntos externos de la izquierda de los rectángulos (apartados c, d y e)

Nota:

comprobar

los

resultados

con

la

opción

“right

sum”:

http://demonstrations.wolfram.com/ComparingBasicNumericalIntegrationMethods/  Prof. MSc. Ing. Marcos Ponce Jara

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III.

Análisis Numérico

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Suma de Riemann (Sumatori os con punto medio)  g)  Realice exactamente lo mismo que el ejercicio anterior pero tomando en cuenta el punto medio de los rectángulos (apartados c, d y e)

Nota:

comprobar

los

resultados

con

la

opción

“midpoint ”:

http://demonstrations.wolfram.com/ComparingBasicNumericalIntegrationMethods/ 

I V. V.

Compare los resul tados y exponga cual es la mejor aproxi mación y expli que porque. Sum a de tr apecios Tomando la misma f un ción de los apartados anteriores se pide a)  Encuentre una expresión para A como un límite (no evalué ese límite) b)  Estime el área tomando los puntos muestra 2, 4, 8 y 10 (evalúelos manualmente). c)  Estime el área creando un programa para calcular áreas mediante el método numérico de Riemann. Compruebe los resultados c alculados manualmente y calcule el área tomando 100, 500 subintervalos. El programa tiene que generar una gráfica como la que se muestra a continuación:

d) ¿Introduce alguna mejora esta nueva aproximación? ¿por qué? Nota:

comprobar

los

resultados

con

la

opción

“trapez ”:

http://demonstrations.wolfram.com/ComparingBasicNumericalIntegrationMethods/ 

Par a los dos ejercici os se tiene que presentar e código que se creó, explicando paso a paso los comandos uti li zados en M atlab.

Prof. MSc. Ing. Marcos Ponce Jara