2. Model Matematis Sistem Dinamik - Modul Ajar

MODUL AJAR

2. MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIK MK. SISTEM PENGENDALIAN OTOMATIS

4 SKS – TEKNIK FISIKA ITS

MK. DARING TERBUKA DAN TERPADU

1 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

pditt.belajar.kemdikbud.go.id

2. MODEL MATEMATIKA SISTEM DINAMIK Gambaran Umum Bagian terpenting dalam menganalisis dan merancang sistem pengendalian adalah mengetahui model plant yang akan dikendalikan. Model plant bisa dalam bentuk mekanik, listrik, elektrik, fluida, thermal, dll. Pada bagian BAB 2 ini, dijelaskan bagaimana membangun model matematik dari modelmodel plant tersebut diatas. Serta disajikan bagaimana menentukan variabel masukankeluaran, serta memilih parameter yang akan menggambarkan karakteristik sistem. Dibahas bagaimana menggambarkan dinamika sistem dalam bentuk fungsi alih. Fungsi matematik yang merupakan perbandingan antara keluaran sistem dan masukan sistem. Fungsi alih inilah yang pada bab-bab selanjutnya akan digunakan untuk menjelaskan dasar pemilihan strategi pengendalian, analisis respon sistem, dan perlakuan perbaikan kinerja sistem pengendalian. Pada Bab ini juga akan disajikan beberapa contoh program MATLAB beserta SIMULINK untuk meningkatkan daya imajinasi Anda, dan Anda bisa belajar pada BAB ini secara interaktif

Kerangka Bahasan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Model Sistem Mekanik, Model Sistem Listrik, Model Sistem Elektronik, Model Sistem Fluida, Model Sistem Thermal, Linierisasi Model Non-linier, Fungsi Alih, Model Matematika Sistem Non-linier.

Tujuan Pembelajaran 1. Mampu menurunkan model matematik berbagai sistem dinamika, mulai dari fenomena sistem sampai pada pemodelan sistem secara matematik, 2. Mampu menjelaskan variabel-variabel dan parameter-parameter yang mempengaruhi dinamika sistem, 3. Mampu menggunakan program MATLAB dan SIMULINK untuk menggambarkan karakteristik sistem dinamik, 4. Mampu membedakan sistem linier dan sistem non-linier yang sering dijumpai dalam system pengendalian otomatis 5. Mampu meningkatkan ketrampilan otak, terkait dengan potensi otak untuk menganalisis dan berlogika.

2 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

3 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Pengantar Pemodelan sistem fisis dengan menggunakan persamaan matematika, sangat diperlukan dalam perancangan sistem pengendalian. Sistem yang ditinjau biasanya sistem mekanika, elektrika, fluida, termodinamika. Dalam pemodelan sistem, sebagai representasi sifat internal digunakan model matematika. Model matematika ini diturunkan berdasarkan hokum-hukum yang berlaku pada sistem mekanika, elektrika, fluida dan thermodinamika dalam bentuk persamaan differensial. Hukum dasar yang digunakan dalam pemodelan adalah hukum kekekalan energi dan massa. Beberapa klasifikasi dari model sistem, dinyatakan sebagai model sistem mekanik, sistem listrik, sistem elektromekanik, sistem termal, sistem fluida. Bentuk persamaan differensial ini memerlukan linierisasi bila menyangkut sistem komplek yang cenderung dinyatakan dalam bentuk persamaan non linier. Bila dinyatakan dalam bentuk linier maka, transformasi Laplace dapat dimanfaatkan untuk menyederhanakan penyelesaian. Linierisasi dilakukan dengan cara pengabaian faktor – faktor yang berkaitan, dan asumsi-asumsi yang diambil. Dengan menggunakan alat matematik, dapat dilakukan penyelesaian yang menggambarkan cara kerja sistem tersebut. Berikut merupakan penggambaran perlunya model matematik suatu sistem, dimana pada sistem dinamika, dengan adanya eksitasi terhadap sistem maka akan berdampak pada respon yang dihasilkan.

K o n I n

Siste m

R e

G a Gambar 2.1 Blok diagram eksitasi pada suatu sistem Salah satu bentuk model matematis sebuah sistem dinyatakan dalam bentuk persamaan differensial (PD). Beberapa bentuk dari PD yaitu : 1. PD Biasa (Odinary Differential Equation = ODE) 2. PD Parsial (Partial Differential Equation = PDE) 3. PD Perubah Waktu (time variable) 4. PD Koeffisien konstan (Time invariant) 5. PD Linier 6. PD Non Linier

4 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

2.1 Persamaan Differensial Linier Koefisien Konstan Langkah pertama dalam analisis sistem adalah mendapatkan model matematik dari sistem, yaitu mendapatkan suatu persamaan matematik yang dapat menggambarkan perilaku sistem. Salah satu bentuk model matematik suatu sistem adalah persamaan diferensial (PD) input-output. Banyak sistem fisik yang responnya dapat dinyatakan dengan persamaan diferensial, misalnya rangkaian listrik yang tersusun atas resistor, kapasitor dan induktor, sistem mekanik yang terdiri atas pegas, dumper dan lain-lain. Berikut ini dipaparkan sistem yang dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial linier koefisien konstan. Secara umum, suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) waktu kontinyu, dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial linier koefisien konstan sebagai berikut :

d N y (t ) dt N

N 1

d i y (t )

i 0

dt i

  ai

M

d i x(t )

i 0

dt i

  bi

(2.1)

dengan i =1,2,3, . . . ,N-1 , bj , j=1,…M adalah bilangan nyata dan N >M. Dalam bentuk operator D persamaan diatas dapat ditulis :

 N N 1 i i  M   D   a D  y(t )    bi D i  x(t ) i 0    i 0 

(2.2)

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut diperlukan N kondisi awal :

y(t 0 ), y' (t 0 ),..., y ( N 1) (t 0 ) dengan t0 adalah waktu dimana input x(t) mulai diberikan pada sistem dan y’(t) adalah turunan dari y(t) . Bilangan bulat N merupakan derajat atau dimensi sistem. Untuk mendapatkan PD input-output dari suatu sistem, langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan variabel input dan output. Setelah itu dicari persamaan dari sistem sedemikian hingga yang muncul sebagai variabel hanya input dan output.

Contoh 3.18 Tinjau sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.1. Untuk sistem tersebut misalkan input dan outputnya masing-masing adalah vi dan vc . R L

vr vi

i(t)

C

Gambar PD-1 Rangkaian 5 |2. Model Matematis Sistem RLC Dinamik

vc

Gambar 2. 1 Rangkaian RLC Variabel output tersebut bersesuaian dengan apa yang ingin diketahui dari sistem. Jika yang ingin diketahui adalah arus yang mengalir, maka variabel output yang dipilih adalah i (t ) . Bila yang ingin diketahui adalah tegangan di R maka dipilih vr sebagai output. Persamaan yang berlaku untuk rangkaian Gambar 2.1 adalah :

vi  iR  L

di 1   idt dt C

(2.3) vc 

1  idt C

(2.4) sehingga

vi  iR  L

di v c dt

(2.5) Persamaan (2.3) bukan persamaan PD input-output, karena di dalamnya masih terdapat variabel lain yaitu i (t ) . Karena itu, variabel i (t ) harus dieliminir. Dari Persamaan (2.4) diperoleh :

iC

dvc dt (2.6)

sehingga Persamaan (2.3) dapat ditulis kembali sebagai berikut

vi  RC

dvc d 2 vc  LC  vc dt dt 2

atau

vi  LC

d 2 vc dt 2

 RC

dvc  vc dt

Persamaan (2.7) merupakan PD input-output.

2.2 Persamaan Keadaan Sistem Dinamik 6 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

(2.7)

Pada teori pengendalian konvensional, yang menjadi penting adalah sinyal masukan, sinyal keluaran dan sinyal kesalahan. Dalam menganalisa sinyal keluaran, maupun kesalahan melalui fungsi alih. Kelemahan dalam teori ini adalah hanya dapat diterapkan pada sistem linier dengan parameter konstan dengan satu masukan dan satu keluaran. Teori ini tidak dapat diterapkan pada sistem dengan parameter yang berubah (time varying), sistem non linier maupun sistem dengan multi masukan dan multi keluaran. Hal ini tidak bisa kita lakukan untuk merancang sistem pengendalian adaptif dan optimal, karena kedua metode tersebut sebagian besar diaplikasikan pada sistem dengan parameter berubah dan sistem non linier. Suatu pendekatan baru dalam teori pengendalian modern, dimana teori ini berkembang sejak diketemukannya perangkat komputer. Pendekatan baru ini didasarkan pada konsep keadaan (state). Sebelum kita membahas persamaan ruang keadaan, terlebih dahulu dibahas beberapa istilah yang akan digunakan dalam bab ini. Hal – hal yang penting untuk dipahami adalah mengenai Keadaan (state), Variabel keadaan, Vektor keadaan . Keadaan (state), keadaan suatu sitem dinamik adalah himpunan terkecil dari variabel-variabel (disebut variabel keadaan) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui varibel-variabel ini pada t=to, bersama-sama dengan masukan untuk tto, dapat menentukan secara lengkap perilaku sistem untuk setiap waktu tto. Jadi, keadaan suatu sistem dinamik pada saat t secara unik ditentukan oleh keadaan tersebut pada t=to dan masukan untuk tto, tidak tergantung pada keadaan dan masukan sebelum to. Perhatikan bahwa dalam membahas sistem linier parameter konstan, biasanya dipilih waktu acuan to sama dengan nol. Variabel keadaan, variabel keadaan suatu sistem dinamik adalah himpunan terkecil dari variabelvaribel yang menentukan keadaan sistem dinamik. Jika paling tidak diperlukan n variabel x1(t),x2(t),…,xn(t) untuk melukiskan secara lengkap perilaku suatu sistem dinamik (sedemikian rupa sehingga setelah diberikan masukan untuk tto dan syarat awal pada t=to maka keadaan sistem yang akan datang telah ditentukan secara lengkap), maka n variabel x1(t),x2(t),…,xn(t) tersebut merupakan suatu himpunan variabel keadaan. Variabel keadaan tidak perlu merupakan besaran yang secara fisis dapat diukur atau diamati. Meskipun demikian sebaiknya dipilih variabel keadaan yang merupakan besaran dapat diukur secara mudah, karena hukum pengendalian optimal memerlukan umpan balik semua variabel keadaan dengan pembobotan yang sesuai. Vektor keadaan, jika diperlukan n variabel keadaan untuk menggambarkan secara lengkap perilaku suatu sistem yang diberikan, maka n variabel keadaan ini dapat dianggap sebagai n komponen suatu vektor x(t). Vektor semacam ini disebut vektor keadaan. Jadi vektor keadaan adalah suatu vektor yang

7 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

menentukan secara unik keadaan sistem x(t) untuk setiap tto, setelah ditetapkan masukan u(t) untuk tto. Ruang keadaan, ruang n dimensi yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2,…, sumbu xn disebut ruang keadaan. Setiap keadaan dapat dinyatakan dengan suatu titik pada ruang keadaan. Contoh Soal 2-1: Perhatikan sistem rangkaian RLC yang ditunjukan pada Gambar 2.1 di atas. Perilaku dinamika sistem dapat dilihat secara lengkap untuk tto jika harga-harga awal dari arus i(to),tegangan kapasitor vc(to), dan tegangan masukan v(t) untuk tto diketahui. Jadi keadaan rangkaian tersebut untuk tto secara dinyatakan sebagai i(t), vc(t) dan tegangan masukan v(t) untuk v(t) untuk tto. Maka dari itu, i(t) dan vc(t) merupakan suatu himpunan variabel keadaan dari sistem tersebut. Pemilihan variabel keadaan tunak suatu sistem adalah tidak unik, sebagai contoh, pada sistem ini bisa dipilih sebagai himpunan variabel keadaan adalah x1(t )= vc(t)+Ri(t) dan x2(t) = vc(t). Jawab : Misalkan dipilih i(t) dan vc(t) sebagai variabel keadaan, maka persamaan yang menggambarkan dinamika sistem elektrik RLC adalah,

L

di  Ri  vc  v dt dv C c i dt

dalam notasi matrik-vektor, dituliskan sebagai berikut,

1  R  i   L  L   i   1       L v     1 v  c  0  vc   0  C   ini merupakan penyajian persamaan ruang keadaan dari sistem rangkaian RLC. Soal Latihan 2-1: Perhatikan rangkaian listrik RLC seperti Gambar 5.2 di bawah. Bila ditentukan sebagai variabel keadaan adalah arus yang melalui induktor dan tegangan pada kapasitor C1 dan C2. Tentukan persamaan ruang keadaan sistem.

8 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Gambar 2. 2 Rangkaian RLC dengan loop lebih dari satu. Analisis sistem komplek, sistem modern yang komplek mungkin mempunyai beberapa masukan dan beberapa keluaran, dan ini mungkin saling terkait secara komplek pula. Untuk menganalisis sistem seperti ini, perlu penyederhanaan model matematik. Untuk perhitungan yang berulang-ulang sangat membantu jika menggunakan komputer. Berdasarkan pandangan ini maka pendekatan yang paling sesuai pada analisis sistem adalah pendekatan ruang keadaan. Teori pengendalian konvensional adalah berdasarkan pada hubungan masukan dengan keluaran sistem atau fungsi alih, sedangkan teori pengendalian modern berdasarkan pada diskripsi persamaan sistem dalam bentuk n persamaan diferensial orde pertama, yang dapat digunakan menjadi persamaan diferensial matrik-vektor orde pertama. Penggunaan notasi matrik-vektor akan sangat menyederhanakan penyajian model matematika dari persamaan sistem. Penggunaan metode ruang keadaan untuk analisis suatu sistem, sangat sesuai jika menggunakan komputer digital, karena pendekatannya adalah wawasan waktu. Sehingga terhindar dari kebosanan dan kesulitan pada saat terjadi perhitungan berulang dan lebih mudah untuk menyelesaikan sistemsistem yang berorde tinggi, ini adalah salah satu keunggulan penggunaan metode ruang keadaan. Hal lain penting untuk diperhatikan, bahwa variabel keadaan tidak perlu menyatakan besaranbesaran fisis dari sistem. Variabel yang tidak menyatakan besaran fisis, yang tidak dapat diukur atau diamati, dapat dipilih sebagai variabel keadaan. Kebebasan dalam memilih varibel keadaan ini merupakan keunggulan lain dari metode ruang keadaan. Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan fungsi penggerak u. Suatu sistem persamaan diferensial orde-n dinyatakan sebagai berikut, (n)

( n 1)

y  a1 y  .....  a n 1 y  a n y  u

… (2.8) ( n 1)

dengan perolehan data sebelumnya : y(0), y (0),... y (0) bersama dengan masukan u(t) untuk t0, menentukan secara lengkap perilaku yang akan datang dari sistem, maka dapat dipilih ( n1)

y(t ), y (t ),... y (t ) sebagai himpunan n variabel keadaan. Secara matematis, pemilihan varibel keadaan semacam itu adalah cukup mudah. Akan tetapi secara praktis, karena ketidak telitian bentuk turunan orde tinggi yang disebabkan oleh pengaruh noise inhern pada setiap kondisi praktis, maka pemilihan variabel keadaan semacam itu tidak diinginkan. Selanjutnya didefinisikan,

x1  y x 2  y .......... ( n 1)

xn  y

9 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

selanjutnya persamaan 9.1 dapat dituliskan kembali sebagai berikut,

x1  x2 x 2  x3 ........... x n 1  xn x n  a n x1  ...  a1 xn  u atau dalam bentuk persamaan ruang keadaan (matrik-vektor),

x  Ax  Bu

…(2.9)

dimana,

 x1   0 x   0  2  x   : , A   :    .  0  xn   a n

1 0 : 0  a n 1

0 .. 0  0  0 1 .. 0      : , B   :     0  1  0 1  a n2 ..  a1 

persamaan keluaran menjadi,

 x1  x   2  y  1 0 ... 0      xn 1   xn  atau,

y  Cx

…(2.10)

dimana, C=[1 0 …0] Persamaan (2.9) adalah persamaan diferensial orde pertama yang disebut dengan persamaan keadaan, sedangkan persamaan (2.10) disebut persamaan keluaran. Contoh Soal 2-2: Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :

y  6 y  11y  6 y  6u

…(2.11)

dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Tentukan penyajian ruang keadaan dari sistem yang dinyatakan pada persamaan (2.11) tersebut di atas.

Jawab :

10 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

x1  y Dipilih variabel keadaan sebagai berikut, x 2  y x3  y

x1  x2 Selanjutnya diperoleh, x 2  x3 x 3  6 x1  11x2  6 x3  6u Persamaan terakhir dari dari tiga persamaan ini diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial asal (persamaan 5.4) untuk suku turunan yang tertinggi dan kemudian mensubtitusikan persamaan yang kedua ke persamaan yang ketiga. Dengan menggunakan notasi matrik-vektor, tiga persamaan diferensial orde pertama ini dapat digabungkan menjadi satu sebagai berikut,

1 0   x1  0  x1   0  x    0 0 1   x2   0u   2   x 3   6  11  6  x3  6

…(2.12)

persamaan keluaran dinyatakan oleh,

 x1  y  1 0 0 x2   x3 

…(2.13)

persamaan (5.5)dan (5.6) dapat ditulis dalam bentuk standar sebagai berikut,

x  Ax  Bu y  Cx

…(2.14)

1 0 0 0   0 1 , B  0, C  1 0 0 dimana A  0   6  11  6 6 Gambar 2.3 menunjukkan penyajian diagram blok dari persamaan keadaan dan persamaan keluaran (2.12) di atas. Perhatikan bahwa fungsi alih dari blok-blok umpan balik tersebut identik dengan koefisien negatif dari persamaan diferensial asal persamaan (2.12),

11 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Gambar 2. 3 Penyajian diagram blok sistem contoh soal Soal Latihan 2.2: Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :

2y  4 y  6 y  8 y  10u dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Tentukan penyajian ruang keadaan dari sistem tersebut diatas.

2.3 Model Sistem Mekanik Sistem mekanik terdiri dari komponen yang mempunyai sifat seperti pegas, disipasi energi (damper – peredam), beban dengan massa tertentu, inersia, dan torsi. Sebagai contoh pada mobil, yang mempunyai respon dinamik seperti kecepatan, lintasan, putaran pada roda. Sistem suspensi dan badan mobil mempunyai respon dinamik berupa perubahan posisi saat mobil tersebut mengenai lonjakan pada jalan. Bentuk ini menggambarkan pemodelan sistem mekanik yang bisa dinyatakan dengan persamaan differensial orde-n. Besaran dari sistem mekanik dalam SI – Satuan Internasional seperti pada Tabel 2.1. Tabel 2.1 Satuan SI untuk besaran Mekanika Besaran

Satuan (SI)

Panjang

Meter – m

Massa

Kilogram – kg

Waktu

Detik – dt

Gaya

Newton = kg.m/s2

Energi

Joule = N.m

Daya

Watt = N.m/dt

Tiga elemen dasar yang membentuk sistem mekanik yaitu : elemen inersia, pegas dan peredam. Elemen inersia menyangkut massa dan momen inersia. Pada inersia massa dan momen inersia merupakan perubahan gaya / torsi yang diperlukan untuk membuat perubahan satu satuan percepatan / percepatan sudut. Elemen pegas adalah elemen mekanik yang dapat berubah akibat adanya gaya luar, dimana perubahan bentuk ini berbanding langsung dengan gaya / torsi yang digunakan. Sedangkan elemen peredam merupakan elemen mekanik yang menghilangkan energi dalam bentuk panas dan tidak menyimpannya.

12 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Gambar 2. 4 Sistem translasi mekanik. Misalnya sebagai contoh sistem translasi mekanik, terdiri dari sebuah pegas dengan tetapan K, sebuah damper dengan koeffisien B, diberi beban secara parallel dengan massa M seperti pada Gambar 2.8 di atas. Dengan menggunakan hukun Newton II, gaya yang bekerja pada sistem dapat dinyatakan dengan persamaan differensial sebagai berikut,

M

d 2x dx  B  Kx  f (t ) 2 dt dt

…(2.30)

Perhatikan persamaan (2.1), suku di sebelah kiri mengandung variable x(t). x(t) yaitu variable displacemen dari sistem mekanis. Variabel ini merupakan variable keluaran sistem. Dan suku di sebelah kanan merupakan f(t) sebagai variable masukan sistem. Sebuah blok diagram hubungan Antara masukan dengan keluaran dari system mekanis, dapat ditunjukkan pada gamber berikut ini.

f (

Sist em me

x(t)

Pada persamaan (2.1), apabila diambil x1  x dan x 2 

dx , maka diperoleh dua dt

persamaan yang dikatakan sebagai bentuk persamaan keadaan 1 (x1) dan persamaan keadeaan 2 (x2) sebagai berikut,

dx1  x2 dt

…(2.31)

dx2 1   f (t )  Bx 2  Kx1  dt M

…(2.32)

13 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Persamaan (2.31) dan (2.32) merupakan bentuk persamaan ruang keadaan (state space), dengan variable keadaan x1 dan x2. x1 adalah displacement dan x2 adalah laju displacemen. Kedua variable keadaan ini bias menjadi keluaran sebuah sistem mekanis. Contoh Soal 2-7 : Jika benda dengan massa M=1 Kg mula-mula diam, kemudian pada saat t = 0 dikenai gaya sebesar 25 Newton dan masing-masing tetapan diketahui K=12 N/m , B = 5 N/m/det. Maka benda dengan massa M akan bergerak berpindah posisi dengan kecepatan yang bervariasi.

Program MATLAB Dengan menggunakan MATLAB tanggapan sistem untuk contoh soal 2.1 dapat diperoleh. Fungsi sistem dituliskan dalam M-file mechsys.m sebagai berikut, function xdot = mechsys(t,x); % returns the state derivatives F = 25; % Step input M =1; B = 5; K = 25; xdot = [x(2) ; 1/M*( F - B*x(2) - K*x(1) ) ];

Sedangkan simulasi tanggapan sistem dalam interval waktu 0 s/d 3 detik, dituliskan dalam M-file ch2ex01.m dengan menggunakan ode23 sebagai berikut, t0= 0; tfinal = 3; % time interval x0 = [0, 0]; % initial conditions tol = 0.001; % accuracy trace = 0; % if nonzero, each step is printed [t,x] = ode23('mechsys',t0,tfinal,x0,tol,trace); subplot(211),plot(t,x) title('Time response of mechanical translational sistem') xlabel('Time - sec.') text(2,1.2,'displacement') text(2,.2,'velocity') d= x(:,1); v = x(:,2); subplot(212), plot(d, v) title('velocity versus displacement ') xlabel('displacement') ylabel('velocity') meta ch2ex01 % create meta file containg graph subplot(111)

14 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Time response of mechanical translational system 3 2 1

displacement

0

velocity

-1

0

0.5

1

1.5 2 Time sec. velocity versus displacement

2.5

3

3 velocity

2 1 0 -1

0

0.2

0.4

0.6 0.8 displacement

1

1.2

1.4

Gambar 2. 5 Tanggapan sistem mekanik pegas-damper pada contoh soal 2.1. Soal Latihan 2-6 : Tinjau sistem damper – massa - pegas yang dipasang pada kereta seperti pada Gambar 2.10 di bawah. Damper adalah alat yang memberikan gesekan liat atau redaman (damping), terdiri dari sebuah torak dan selinder yang berisi minyak. Pada saat tDemo>Simulink, selanjutnya akan tertampil layar sebagai berikut,

23 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Program

Gambar 2. 15 Layar program Simulink-MATLAB. Pilih model ‘Tank Fill and Empty with Animation’, dan klik pada tulisan ‘Open this model’ yang berada pada pojok atas sebelah kanan layar, akan tampil layar simulink dalam bentuk blok diagram berikut,

Gambar 2. 16 Gambar blok diagram simulasi pengendalian level pada tangki. Bisa juga Anda menampilkan simulasi proses dalam bentuk GUI. Dengan tampilan dalam bentuk GUI ini, Anda bisa merubah-rubah besar bilangan ; 2 variabel proses ‘Flow Rate-Out’ dan ‘Flow Rate-In’, Parameter sistem ‘Tank Base Area’ dan 2 parameter setting ‘Maximum Height Limit’ dan ‘Minimum Height Limit’. Sebagai contoh Anda merancang sistem dengan harga bilangan sebagai berikut,

Gambar 2. 17 Gambar model simulasi pengendalian level pada tangki.

24 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Langkah selanjutnya untuk menjalankan simulasi proses ini, silahkan anda klik pada kotak ‘START SIM’, selanjutnya Anda akan melihat simulasi dari hasil rancangan yang telah Anda tentukan. Fluida akan mengalir dari valve atas masuk ke tangki, dan keluar melalui valve bagian bawah dengan kesetimbangan yang telah diatur. Grafik hasil simulasi dapat diperhatikan pada layar berikut ini,

Gambar 2. 18 Grafik simulasi pengendalian level pada tangki. Soal Latihan 2.8 : Dengan menggunakan gambar yang sama seperti diatas, diketahui bahwa

H  3 meter , Q  0,02 m 3 / det , dan daerah potongan melintang dari tangki sama dengan 5 m2, dapatkan konstanta waktu dari sistem tersebut pada titik operasi ( H , Q ). Anggap arus fluida melalui katup adalah turbulen.

2.7 Model Sistem Termal. Sistem termal adalah sistem yang melibatkan perpindahan panas dari bahan yang satu ke yang lain. Sistem termal dapat dianalisis dalam bentuk tahanan dan kapasitansi, meskipun kapasitansi termal dan tahanan termal tidak dapat digambarkan secara tepat sebagai parameter yang utuh, karena sebenarnya terdistribusi diseluruh bahan yang bersangkutan. Untuk menyederhanakan pembahasan, sistem termal dapat digambarkan dengan model parameter yang utuh, bahwa bahan yang dikarakterisasi sebagai kapasitansi panas mempunyai tahanan yang dapat diabaikan terhadap arus panas. Ada tiga cara panas dialirkan, yaitu konduksi, konveksi dan radiasi. Tahanan termal R dan kapasitansi termal C untuk perpindahan panas antara dua benda dapat didefinisikan sebagai :

25 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

perubahan beda temperatur, o C R= perubahan laju aliran panas,W

C=

perubahan kalor yang tersimpan, J perubahan temperatur, o C

Contoh Soal 2.9 : Tinjau sistem termal seperti gambar di bawah. Anggap bahwa tangki diisolasi untuk mencegah kehilangan panas ke udara sekitar. Anggap pula bahwa tidak terdapat panas masuk dan zat cair dalam tangki pada suhu yang seragam. Sehingga suhu tunggal dapat digunakan untuk menggambarkan suhu cairan dalam tangki dan aliran keluar tangki.

Gambar 2. 19 Skema sistem pemanas fluida dengan pemanas steam Blok diagram dari sistem Gambar 2.23 di atas seperti terlihat pada Gambar 2.224.

 H (

 (

Gambar 2. 20 Blok diagram Gambar 2.13 Diasumsikan bahwa suhu aliran zat cair yang masuk dijaga tetap, dan laju panas masuk sistem (kalor dari pemanas) tiba-tiba dirubah dari H menjadi H +hi. Dengan hi menyatakan perubahan kecil laju panas masuk. Laju aliran panas keluar kemudian dirubah secara perlahan dari H menjadi H +ho. Suhu

26 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

aliran zat cair yang keluar juga akan berubah dari o menjadi o + . dalam hal ini ho, C dan R berturutturut diperoleh,

ho  Gc

, C  Mc , R 

 ho



1 Gc

…(2.50)

persamaan differensial sistem,

RC

d    Rhi dt

…(2.51)

Dengan melakukan transformasi laplace untuk persamaan (2.51), dan ditulis dalam bentuk fungsi alih,

(s) R  H i (s) RCs  1

…(2.52)

dimana (s)  ℒ[(t)] dan Hi(s)= ℒ[hi]

2.8 Linierisasi Model Non-linier. Sebagian besar sistem fisis adalah non-linier yang kemudian dilinierisasi pada range variabel tertentu. Proses linierisasi persamaan nonlinier sangat penting, berkaitan dengan metode-metode yang akan digunakan dalam perancangan sistem pengendalian. Linierisasi sering dilakukan, dengan menggunakan ekspansi deret Taylor disekitar titik operasi dan mempertahankan hanya bagian yang linier saja. Contoh Soal 2.4 : Sebuah pendulum dengan berat W=mg Kg digantungkan pada engsel dengan panjang lengan L meter (berat lengan diabaikan). Persamaan sistem secara nyata adalah persaman non-linier. Pada saat pendulum mengayun terjadi redaman oleh gesekan, faktor redaman B Kg/m/det. Pendulum mengayun dengan sudut ayun , perhatikan Gambar 2.19 berikut,

W = Gambar 2.19 Sistem pendulum diayun. Sudut ayun , makin besar akibat adanya gaya tangensial , sehingga hukum Newton II:

27 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

FT  W . sin  BL

…(2.23)

dari hukum Newton untuk dinamika rotasi,

FT  mL

…(2.24)

Kombinasi dari kedua persamaan tersebut diatas diperoleh persamaan linier,

mL  BL  W sin  0

…(2.25)

ambil x1   dan x 2   (kecepatan angular) maka,

x1  x x 2  

B W x2  Sin( x1 ) m mL

…(2.26)

Program MATLAB

Dua fungsi sistem dituliskan dalam M-file pendulum.m sebagai berikut, function xdot = pendulum(t,x); % returns the state derivatives W =2; L = .6; B = 0.02; g = 9.81; m =W/g; xdot = [x(2) ; -B/m*x(2)-W/(m*L)*sin(x(1)) ];

Sedangkan simulasi tanggapan sistem dalam interval waktu 0 s/d 5 detik, dituliskan dalam M-file ch2ex03.m dengan menggunakan ode23 sebagai berikut,

clg t0= 0; tfinal =5; % time interval x0 = [1, 0]; % initial conditions tol = 0.0001; % accuracy trace = 0; % if nonzero, each step is printed [t,x] = ode23('pendulum',t0,tfinal,x0,tol,trace); subplot(211),plot(t,x) title('Time response of pendulum on rigid rod') xlabel('Time - sec.') text(3.2,3.1,'Velocity') text(3.2,1.2,'Angle-Rad.') th= x(:,1); w = x(:,2); subplot(212),plot(th, w) title('Phase plane plot of pendulum') xlabel('Position - Rad.') ylabel('Angular velocity') subplot(111)

28 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Time response of pendulum on rigid rod 4 Velocity 2 Angle-Rad. 0 -2 -4

0

1

2

3 Time sec. Phase plane plot of pendulum

4

5

Angular velocity

4 2 0 -2 -4 -1

-0.5

0 Position - Rad.

0.5

1

Gambar 2.20 Respon ayunan pendulum dalam sudut ayun dan kecepatan angular.

Linierisasi Sistem Non-Linier Sistem nonlinier sering kali dilinierkan dengan anggapan kondisi sinyal sangat kecil. Persamaan differensial nonlinier yang menggambarkan gerakan ayunan pendulum seperti telah dijelaskan didepan, dapat dilinierisasi jika sudut simpangan mula-mula sangat kecil. Sudut simpangan    o   , sehingga persamaan pendulum dapat dituliskan kembali sebagai berikut,

mL (  )  BL(  )  WSin(   )  0

…(2.27)

Dengan anggapan  kecil Sin  0, Cos 1, maka suku sinus dapat dihilangkan, sehingga dapat diperoleh persamaan linier sebagai berikut,

mL  BL  W  0

…(2.28)

Persamaan ini akan menghasilkan tanggapan yang sama dengan persamaan linier yang tealah dibahas berikutnya.

2.9 Fungsi Transfer / Fungsi Alih 29 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Transformasi-Laplace memainkan peranan yang sangat penting dalam analisis dan representasi sistem LTI waktu kontinyu. Salah satu sifat transformasi-Laplace yang sangat penting dan telah dibahas pada pokok bahasan Sifat-Sifat Transformasi-Laplace adalah sifat konvolusi. Sifat ini memberikan kemudahan dalam perhitungan untuk mendapatkan respon sistem. Pada pokok bahasan ini akan dieksploitasi sifat ini lebih jauh.

2.9.1 Fungsi Transfer dari Respon Impuls. Output suatu sistem yang memiliki respon impuls h(t ) dan input x(t ) diberikan oleh : 

y(t )   x( )h(t   )d

(2.15)



Dengan melakukan transformasi Laplace pada kedua sisi Persamaan (2.15) dan menggunakan sifat konvolusi, diperoleh

  L y(t )  L   x( )h(t   )d     Y ( s)  H ( s) X ( s)

(2.16)

Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan output/input sistem dalam doman-s , yaitu

H ( s) 

(2.17)

Y ( s) X ( s)

Dari Persamaan (2.15) dan (2.16), dapat disimpulkan bahwa H (s)  L h(t ) . Akar-akar dari pembilang dan penyebut fungsi transfer H (s) masing-masing disebut zero dan pole dari fungsi transfer. Untuk s  j , H (s) tidak lain merupakan respon frekuensi dari sistem. Gambar (2.4) menunjukkan diagram blok hubungan input-output dan fungsi transfer suatu sistem .

X (s )

Y (s ) H(s)

Gambar FTs-1 Hubungan Input-Output dan Fungsi Transfer

Gambar 2. 21 Hubungan input-output dan fungsi transfer

Contoh Soal 2.4 Dapatkan fungsi transfer untuk sistem yang memiliki respon impuls

  h(t )   5e  2t  2e 10t u(t )   Penyelesaian :

30 |2. Model Matematis Sistem Dinamik



 

H (s)  L h(t )  L 5e 2t  2e 10t u(t ) H ( s) 

5 2 7s  54   s  2 s  10 (s  2)(s  10)

Fungsi transfer memiliki peran yang sangat penting dalam analisis sistem. Beberapa sifat sistem LTI dapat dikaitkan dengan fungsi transfer dalam bidang-s , khususnya dengan lokasi pole dan daerah konvergensi. Sebagai contoh, untuk sistem LTI kausal, respon impulsnya nol untuk t  0 , jadi respon impulsnya merupakan sisi kanan. Sehingga ROC- Radius of Convergence dari fungsi transfer untuk sistem kausal mencakup seluruh bidang-s di sebelah kanan pole paling kanan. Sebaliknya untuk sistem antikausal, maka ROC-nya berada di sebelah kiri pole yang paling kiri. Relasi kausalitas dan ROC ini tidak berlaku sebaliknya. Jadi jika ROC berada di sisi kanan pole yang paling kanan , tidak berarti sistemnya kausal, yang pasti bahwa respon impulsnya sisi kanan. ROC dari H (s) juga dapat dikaitkan dengan stabilitas sistem. Sebagaimana telah dibahas bahwa transformasi Fourier dari respon impuls sistem LTI yang stabil adalah konvergen. Jadi untuk sistem LTI yang stabil, ROC dari H (s) harus mencakup sumbu j (yaitu Re(s)  0 ). Untuk suatu sistem LTI dengan fungsi transfer rasional yang kausal dan stabil, maka semua pole-nya harus berada di sebelah kiri setengah bidang-s. Hal ini konsekuensi dari kausalitas, yaitu ROC di sebelah kanan pole yang paling kanan, dan dari stabilitas, ROC harus mencakup sumbu j .

Contoh Soal 2.3 Suatu sistem memiliki fungsi transfer

H ( s) 

s2 (s  2)(s  4)

Karena ROC-nya tidak dispesifikasikan, maka ada beberapa ROC yang berbeda untuk sistem tersebut, dan konsekuensinya respon impulsnya juga berbeda. Jika informasi tentang stabilitas dan kausalitas sistem diberikan, maka ROC yang sesuai dapat ditentukan.

31 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Im

Im Bidang s

X -2

2

X 4

Bidang s

X -2

Re

(a)

2

X 4

Re

(b) Im Bidang s

X -2

2

X 4

Re

(c)

Gambar FTs-2 ROC untuk Contoh 1 (a). kausal, tidak stabil (b). nonkausal, stabil (c). nonkausal, tidak stabil

Gambar 2. 22 ROC untuk contoh 2.3, (a) Kasual, tidak stabil, (b) Nonkasual, stabil, (c) nonkasual, tidak stabil Misalkan, jika sistemnya diketahui kausal, maka ROC-nya ditunjukkan pada Gambar (2.5a). Jika sistemnya diketahui stabil, maka ROC-nya ditunjukkan pada Gambar (2.5 b). Sedangkan Gambar (2.5c) adalah ROC untuk sistem yang tidak stabil

Contoh Soal 2.4 Fungsi transfer sistem kausal orde-2 dengan pole kompleks konjugate diberikan oleh :

H ( s) 

n 2 s 2  2n s   n 2

dimana 0    1 , dan polenya terletak di s  n  jn 1   2 . Lokasi pole untuk 0    1 ditunjukkan pada Gambar (2.6). Karena sistemnya kausal, maka ROC-nya berada di sebelah kanan pole yang paling besar, yaitu s  n dan dari syarat stabilitas, ROC dari

H (s) harus mencakup sumbu j . Jadi untuk 0    1 , sistem tersebut stabil.

32 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Im Bidang s

X

 n

Re

X

Gambar FTs-3 Lokasi pole dan ROC untuk sistem kausal orde-2

Gambar 2. 23 Lokasi pole dan ROC system kausal orde-2

2.9.2 Fungsi Transfer dari PD Input – Output Untuk sistem dinyatakan dalam bentuk persamaan PD input-output dimana semua kondisi mula=0 : N

d k y(t )

k 0

dt k

 ak

M

d k x(t )

k 0

dt k

  bk

(2.18)

maka fungsi transfernya dapat diperoleh dengan mengambil transformasiLaplace pada kedua sisi

 N d k y(t )  L   ak L k  0 dt k 

 M d k x(t )    bk  k  0 dt k 

(2.19)

Dengan menggunakan sifat linieritas , Persamaan (2.19) dapat ditulis

 d k y(t )  M N  ak L     bk L  dt k  k  0 k 0

 d k x(t )     dt k 

(2.20)

dan dari sifat diferensial terhadap waktu, diperoleh N

M

k 0

k 0

k k  ak s Y ( s)   bk s X ( s)

(2.21)

atau ekivalen dengan

 N  M  Y ( s)  ak s k   X ( s)  bk s k  k  0  k  0  sehingga diperoleh fungsi transfer

33 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

(2.22)

M

H ( s) 

 bk s

k

Y ( s) k  0  N X ( s) k  ak s

(2.23)

k 0

sedangkan respon impuls dari sistem dapat diperoleh dari

h(t )  L 1H (s)

(2.24)

Jelas bahwa pole dari fungsi transfer sistem sama dengan akar-akar persamaan karakteristik dari sitem tersebut.

Contoh Soal 2.5 Dapatkan fungsi transfer dan respon impuls dari sistem yang dinyatakan oleh PD input-output :

d 2 y (t )

dy (t )  4 y (t )  5 x(t ) dt dt dimana x(t ) dan y(t ) masing-masing merupakan input dan output sistem, dan semua kondisi mula=0 : 2

5

Penyelesaian : Dengan mengambil transformasi-Laplace pada kedua sisi PD input-output diperoleh

 d 2 y(t )  dy(t ) L  5  4 y(t )  L 6 x(t ) dt  dt 2 

s 2  5s  4Y (s)  6X (s)

Jadi fungsi transfernya :

H ( s) 

Y ( s) 6  X (s) s 2  5s  4

Untuk mendapatkan respon impuls, maka fungsi transfer tersebut diuraikan dalam bentuk pecahan parsial :

H ( s) 

6 s 2  5s  4



2 2  (s  1) (s  4)

  h(t )  L 1H (s)   2e  t  2e  4t u(t )  

2.9.3 Fungsi Transfer dari Persamaan dalam Domain s Proses mendapatkan PD input-output memerlukan eliminasi variable dalam domain waktu. Proses eliminasi akan lebih mudah dilakukan jika dilakukan dalam domain-s. Untuk mendapatkan fungsi transfer dengan cara ini dapat dilakukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada persamaan dalam sistem dan melakukan eliminasi dalam domain-s.

Contoh Soal 2.6 34 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Dapatkan fungsi transfer dan respon impuls untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar FTs-5, dimana input

dan

output

dari

sistem

masing-masing

adalah

ei (t )

dan

vrc (t )

.

Misalkan

R  1, L  1H , C  1F dan semua kondisi mula=0 !

Gambar 2. 24 Rangkaian RLC Penyelesaian : Untuk sistem tersebut berlaku persamaan :

ei (t )  L

di(t ) 1  i(t ) R   i(t )dt dt C

(2.25)

dan

vrc (t )  i(t ) R 

(2.26)

1  i(t )dt C

Untuk mengeliminir i (t ) dalam domain waktu dari Persamaan (2.26) sulit dilakukan. Ambil transformasi Laplace dari Persamaan (2.25) dan (2.26), diperoleh

I ( s) sC

(2.27)

I ( s)  1    R   I ( s) Cs  Cs 

(2.28)

Ei ( s)  LsI ( s)  I ( s) R  dan

Vrc (s)  I (s) R 

Jelas bahwa eliminasi I(s) menjadi mudah, yaitu

I ( s) 

Vrc ( s)  sC   V ( s) 1  RCs  1  rc R sC

(2.29)

Jika Persamaan (2.29) disubstitusikan ke Persamaan (2.27) diperoleh

I ( s) sC  sC   sC   sC  1 Ei (s)  Ls Vrc (s)   Vrc (s) R    Vrc (s)  RCs  1   RCs  1   RCs  1  sC  s 2 LC  sRC  1  Vrc ( s) Ei ( s)     RCs  1   Ei ( s)  LsI ( s)  I ( s) R 

sehingga

35 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

H ( s) 

Vrc ( s) RCs  1 s 1   2 2 Ei ( s) s LC  sRC  1 s  s  1

Fungsi transfer ini memiliki pole kompleks konjugate, yaitu s  

1 1  j 3 . Untuk mendapatkan 2 2

respon impuls, maka fungsi transfer tersebut ditulis dalam bentuk berikut :

H ( s)  

s 1 s2  s 1 s  0.5

0.5 3 / 3  s  0.52  0.5 3  s  0.52  0.5 3 2 2







  1  0.5t h(t )  L 1H (s)   e  0.5t cos(0.5 3 )t  e sin 0.5 3 t u(t ) 3   Ringkasan 

 st 1. Fungsi Transfer : H (s)  L h(t )   h(t )e dt 0

2. Fungsi Transfer untuk sistem dalam bentuk :

N

d k y(t )

k 0

dt k

 ak

M

d k x(t )

k 0

dt k

  bk

diberikan oleh M

H ( s) 

 bk s

k

Y ( s) k  0  N X ( s) k  ak s k 0

Latihan 2.6 Dapatkan fungsi transfer dan respon impuls dari sistem berikut : R L

vr vi

i(t)

C

vc

Gambar FTs-4 Rangkaian RLC

dimana vi (t ) dan vc (t ) masing-masing merupakan input dan output sistem, sedangkan perbadingan

R 1  2 dan  2 , serta semua kondisi mula=0 ! L LC

36 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

nilai

Fungsi alih linier, time-invariant, sistem persamaan differensial didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace variabel keluaran terhadap transformasi Laplace variabel masukan, dengan anggapan kondisi mula-mula sama dengan nol. Persamaan karakteristik dapat diperoleh dengan mengambil polinomial denumerator (penyebut) sama dengan nol. Akar akar denumerator adalah pole dari sistem, dan akar-akar dari numerator adalah zero / nol dari sistem. Perhatikan persamaan differensial linier, time-invariant dinyatakan sebagai berikut, (n)

( n 1)

( m)

( m 1)

a0 y  a1 y    a n1 y  a n y  b0 x  b1 x    bm1 x  bm x

(n  m)

…(2.29)

Fungsi Alih  G(s) 

TL[keluaran] TL[masukan]

keadaan awal nol

Y ( s) b0 s m  b1 s m1    bm1 s  bm G( s)   X ( s) a0 s n  a1 s n1    an1 s  an

…(2.30)

Beberapa hal penting tentang fungsi alih : 1. Fungsi alih suatu sistem adalah model matematika yang menghubungkan variabel keluaran dengan variabel masukan. 2. Fungsi alih adalah sifat dari sistem, tidak tergantung dari besaran dan sifat dari masukan atau fungsi penggerak. 3. Fungsi alih tidak memberikan informasi apapun mengenai struktur fisik dari sistem (fungsi alih dari banyak sistem yang secara fisik berbeda dapat identik). 4. Fungsi alih dengan masukan yang berbeda, tanggapan dari sistem dapat ditelaah untuk mengetahui sifat dari sistem. 5. Fungsi alih sistem dapat diperoleh berdasarkan data operasi masukan-keluaran sistem. Program MATLAB : Program MATLAB dapat digunakan untuk mencari akar polinomial denumerator, yang merupakan pole dari sistem, dengan M-file roots(p), dan dapat juga digunakan untuk menentukan koeffisien polinomial dengan menggunakan M-file poly(r). Contoh Soal 2.5 : Cari akar-akar polinomial dari persaman berikut,

s 6  9s 5  31,25s 4  61,25s 3  67,75s 2  14,75s  15  0 dengan menggunakan program roots(p). Jawab :

37 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Barikut dua baris progam MATLAB dalam M-file, p = [ 1 9 31.5 r = roots(p)

61.25

67.75

14.75

15 ]

Hasil akar-akar polinomial adalah sebagi berikut, r = -4.0000 -3.0000 -1.0000 -1.0000 0.0000 0.0000

+ + -

2.0000i 2.0000i 0.5000i 0.5000i

Contoh Soal 2.6 : Diketahui akar polinomial –1, -2, -3j4 tentukan persamaan polinomialnya. Jawab : dengan menggunakan program poly(r) sebagai berikut, i = sqrt(-1) r = [-1 -2 -3+4*i p = poly(r)

-3-4*i ]

Koefisien persamaan polinomial diperoleh sebagai berikut, p = 1

9

45

87

50

Maka persamaan polinomialnya adalah,

s 4  9s 3  45s 2  87s  50  0 Contoh Soal 2.7 : Dari suatu sistem yang dinyatakan dengan matrik 3x3 sebagai berikut,

1  1 0  A   6  11 6   6  11 5  cari persamaan karakteristik (menggunakan poly) dan akar persamaan (menggunakan roots) sistem. Jawab : dengan menggunakan program poly(A) dan roots(p) sebagai berikut, A = [0 1 -1; -6 -11 6; -6 -11 5]; p = poly(A) r = roots(p)

38 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

diperoleh koefisien dan akar-akar polinomial sebagai berikut, p = 1.0000 6.0000 11.0000 6.0000 r = -3.0000 -2.0000 -1.0000

Contoh Soal 2.8 : Cari pole dan zero dari fungsi alih berikut,

H ( s) 

s 3  11s 2  30s s 4  9s 3  45s 2  87s  50

Jawab : Dengan menggunakan program MATLAB tf2zp(num,den) diperoleh hasil sebagai berikut,

num = [ 1 11 30 0]; den = [ 1 9 45 87 50]; [z,p,k]=tf2zp(num,den)

Diperoleh zero (nol), pole, dan gain sebagai berikut, z = -6.0000 -5.0000 0.0000 inf p = -3.0000 + 4.0000i -3.0000 - 4.0000i -2.0000 -1.0000 k = 1

Sehinga diperoleh fungsi alih yang baru sebagai berkut,

H ( s) 

s(s  5)(s  6) (s  1)(s  2)(s  3  j 4)(s  3  j 4)

39 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Contoh Soal 2.9 : Diketahui zero suatu sistem adalah –6,-5,0 dan pole sistem adalah -3j4,-2,-1 dan gain 1, cari fungsi alih sistem. Jawab : Dengan menggunakan program MATLAB zp2tf(num,den) diperoleh hasil sebagai berikut, z = [-6; -5; 0]; k=1; i = sqrt(-1); p = [-3+4*i; -3-4*i; -2; -1]; [num,den]=zp2tf(z,p,k)

Hasil progam diatas adalah sebagai berikut, num = 1 11 30 0 den = 1 9 45 87 50

Sehinga diperoleh fungsi alih yang baru,

s 3  11s 2  30s H ( s)  4 s  9s 3  45s 2  87s  50

Contoh Soal 2.10 : Perhatikan fungsi

Gs  

5s  3 s  1s  2s  3

Yang ditulis dalam bentuk uraian parsial :

Gs  

K K 1 K 2   3 s 1 s  2 s  3

Koefisien K-1, K-2, dan K-3 pada bentuk persamaan di atas ditentukan sebagai berikut :

K 1  s  1s  s1  K 2  s  2s  s 2  K 3  s  3s  s 3 

5 1  3  1 2 13 1

5 2  3 7 1  23  2

5 3  3 6 1  32  3

Maka persamaan menjadi

40 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Gs  

1 7 6   s 1 s  2 s  3

Contoh Soal 2.11 : Suatu bentuk fungsi alih G(s) dengan Orde Banyak. Jika sebanyak r buah pole dari n buah pole G(s) identik (sama), atau dikatakan bahwa pole pada s = -si berkelipatan r, G(s) ditulis,

Gs  

Qs  Qs   Ps  s  s1 s  s 2 ... s  s nr s  si r

(i ≠ 1,2, …, n-r) Kemudian G(s) dapat diuraikan sebagai

Gs  

K s n1 K s1 K A A2 Ar  s 2  ...   1   .. .  2 s  s1 s  s2 s  snr s  si s  si  s  si r

(2-

52)  n  r bagian pole sederhana  r bagian pole yang diulang

(n – r ) buah koefisien, Ks1, Ks2, …, Ks(n-1) yang merupakan pole sederhana, dapat dievaluasi dengan metode yang akan diuraikan di bawah ini. Penentuan koefisien untuk bagian yang mempunyai pole orde banyak diuraikan sebagai berikut :





Ar  s  si  Gs  r

(2-

s   si

53)

Ar 1 





d s  si r Gs  ds

(2-

s   si

54)

A1 





s   si





s   si

1 d r 1 s  si r Gs  r 1 r  1! ds

(2-

55)

A1 

1 d r 1 s  si r Gs  r 1 r  1! ds

Contoh soal 2.12 Tinjau persamaan diferensial

d 2 y(t ) dyt  3  2 yt   5u s t  2 dt dt 41 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

…(2-56)

dengan us(t) adalah fungsi undak satuan. Kondisi awal adalah y(0) = -1 dan y(1)(0) = dy(t)/dt |

t=0

= 2. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut, pertama kita

melakukan transformasi Laplace pada kedua sisi dari persamaan. s2Y(s) – sy(0) – y(1)(0) – 3sY(s) – 3y(0) + 2Y(s) = 5/s Dengan mensubstitusi nilai kondisi awal ke persamaan di atas didapat Y(s) sebagai berikut :

Y s  

 s2  s 5  s2  s 5  s s 2  3s  2 ss 1s  2





Persamaan di atas diuraikan dengan uraian pecahan parsial yang kemudian menghasilkan

Y s  

5 5 3   2s s  1 2s  2

Dengan melakukan transformasi Laplace balik dari persamaan diatas, kita mendapatkan solusi lengkap yaitu

y t  

5 3  5e t  e 2t 2 2

t>0

Bagian pertama dari persamaan di atas merupakan solusi keadaan tunak atau integral khusus; dua bagian terakhir merupakan solusi transient atau solusi homogen. Tidak seperti pada metode klasik, yang meminta dua tahap terpisah untuk mendapatkan solusi transient dan keadaan tunak, metode transformasi Laplace memberikan seluruh solusi dalam datu operasi. Jika hanya magnitude solusi keadaan tunak y(t) yang menjadi perhatian, teorema nilai akhir dapat diterapkan. Yaitu :

lim y(t )  lim sY s   lim

t 

t 0

t 0

 s2  s  5 5  s 2  3s  2 2

Dengan syarat kita terlebih dahulu telah memeriksa dan menemukan bahwa fungsi sY(s) hanya mempunyai pole di sebelah kiri bidang-s, sehingga teorema nilai akhir berlaku. Contoh Soal 2.13 Tinjau persamaan diferensial linear

d 2 yt  dyt   34,5  1000 yt   1000u s t  2 dt dt 42 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

Nilai awal y(t) dan dy(t)/dt adalah nol. Dengan melakukan transformasi Laplace pada kedua sisi dari persamaan di atas didapat Y(s) sebagai berikut :

n2 1000 Y s   2  s s  34,5s  1000 s s 2  2n s  n2



 



Dengan  = 0,5455 dan n = 31,62. Transformasi Laplace balik dari persamaan tersebut dapat dicari dengan beberapa cara. Hasilnya adalah

y(t )  1 

e  nt 1 

2



sin n 1   2 t  



t 0

dengan  = cos-1  = 56,94o Maka, y(t) = 1-11,193e-17,25t sin ((26,5t+56,94o) t > 0 Persamaan Y(s) dapat diperoleh dengan membentuk uraian pecahan parsial dengan mengetahui bahwa pole berada pada s=0, - + j, dan - - j, dengan - = n = 17,25

1   2 =26,5

 = n

Uraian pecahan parsial dari Y(s) dapat ditulis

Y s  

K   j K   j K0   s s    j s    j

dengan K0 = sY(s) |s=0 = 1 K = (sY(s)|s =

K = (s+Y(s)|s =

e  j 2 j 1 2  e  j 2 j 1  2

Sudut ф adalah ф = 180o – cos -1ζ dan diilustrasikan pada gambar di bawah. Transformasi Laplace balik dari Y(s) sekarang dapat ditulis

43 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

yt   1 



e  n t e j t    e  j t  

1 2 j 1

1 

2

1 2 j 1 2

e

 n t

 ...(2.57)

sin n 1   2 t     

Dengan mensubstitusi untuk mendapatkan ф, didapat yt  1 

1 2 j 1

2

e  n t sin n 1   2 t  cos1    

t 0

Atau y(t) = 1-1,193e-17,25t sin (26,5t + 56,94o)

t > 0 (2-96)

b i

  w n =

 

Gambar 2.21 Lokasi akar pada bidang-s Contoh soal 2.14 Nilai determinan pada suatu matrik A adalah Det A = |A| = a11A11+a12A12+a13A13 = a11 (a22a23 – a23a32) –a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32-a22a31) Matriks Singular, Suatu matriks dikatakan singular jika nilai-nilai determinannya sama dengan nol. Jika suatu matriks bujur sangkar mempunyai determinan yang tidak nol, matriks tersebut matriks nonsingular. Ketika suatu matriks singular, maka berarti tidak semua baris atau tidak semua kolom matriks bebas antara satu dengan lainnya. Ketika matriks digunakan untuk merepresentasikan sekumpulan persamaan aljabar, kesingularan matriks berarti bahwa persamaan ini tidak bebas antara satu dengan lainnya. Contoh Soal 2.15 : Penyederhanaan fungsi alih Suatu sistem orde tiga yang dinyatakan dalam fungsi alih berikut :

44 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

H ( s) 

6 1  s  6s  11s  6 1  116 s  s 2  16 s 3 3

2

Fungsi alih tersebut dapat disederhanakan menjadi bentuk orde dua, dengan cara berikut ini.

L(s) 

1 1  d1 s  d 2 s 2

2 2 Andaikan M ( s)  1  d1 s  d 2 s dan ( s )  1  116 s  s 

1

6

s2

0 2 Dengan menjadikan M ( s )  1  d1 s  d 2 s dan turunan nya :

M 1 ( s) 

d (1  d1 s  d 2 s 2 )  d1  2d 2 s ds

Dari kondisi : M1(0) = d1, dan menentukan untuk keadaan yang lain sebagai berikut :

M 0 (0)  1

0 (0)  1

M 1 (0)  d1

1 (0)  116

M 2 (0)  2d 2

2 (0)  2

M 3 (0)  0

3 (0)  1

Kita samakan M2q = Δ2q untuk q = 1 dan 2. Kita dapatkan bahwa untuk q = 1,

M 2  (1)

M 0 (0)M 2 (0) M 1 (0)M 1 (0) M 2 (0)M 2 (0)   (1) 2 1 2

 d 2  d12  d 2  2d 2  d12 Dan persamaan seripa :

 2  (1)  1 

0 (0)2 (0) 1 (0)1 (0) 2 (0)2 (0)   (1) 2 1 2

121 49 1  36 36

Karena M2 = Δ2, akan didapatkan :

 d 2  d12  49 36 Dengan melengkapi proses ini untuk M4 = Δ4 dan q = 2 kita peroleh :

d 22  7 18 Penyelesaian L(s) adalah : d1 = 1,615 dan d2 = 0,625 (yang lain ditolak, karena menghasilkan kutub kutub yang tidak stabil), dan fungsi alih yang baru dinyatakan sebagai :

45 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

1 1  1,615s  0,625s 2 1,6  2 s  2,584s  1,6

L( s ) 

2.10 Model Matematika Sistem Non-linier Dalam kondisi riil, suatu sistem alami selalu dalam perilaku non-linier. Ada beberapa contoh kasus diantaranya, model pada pembakaran di ruang bakar, sistem pengkondisian udara, pengendalian furnace, boiler, motor, dll. Prilaku non-linier inilah kemudian berusaha digambarkan dalam bentuk model matematika non-linier.

2.10.1 Model pada Mesin berbahan bakar Bensin Persamaan dinamika model mesin dinyatakan dalam state :

x  f ( x, u, t ), x  R n , u  R m , t  R h , d  R, f  R n

…(2.58)

dengan x : state, u : input pengendali dan d adalah bilangan skalar yang berkaitan dengan gangguan, f adalah pemetaan nonlinier. Dua persamaan state model mesin: N = kN (Ti – TL)

…(2.59a)

 ai (t )  m  ao (t ) P (t )  K P m

…(2.59b)

dimana : mai = ( 1 + 0,907 θ + 0,0998 θ2 ) g ( P )

…(2.60a)

mao = -0,0005968 N – 0,1336 P + 0,0005341 N P + 0,000001757 N P2

…(2.60b)

Ti = -39,22 +

325024 mao  0,0112 2  0,000675N (2 / 60) 2 124 N

2 2 + 0,635   0,0216 N (2 / 60)  0,000102 N (2 / 60)

TL = ( N / 263,17 )2 + Td dan :

…(2.60c) …(2.60d)

g(P) = 1P50,66

0,0197(101,325P P2 )1/ 2 P50,66

dengan : P = Tekanan manifold (kPa) N = Kecepatan putar mesin (rad/det)



= derajad sudut engkol (derajad)



= sudut bukaan katup throttle (antara 5 sampai dengan 35 derajad)

Td = beban antara 0 sampai dengan 61 Nm mai = laju aliran massa masuk manifold (kg/det)

46 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

…(2.61)

mao = laju aliran massa keluar manifold (kg/det) Ti = Torsi yang terjadi pada silinder (Nm) TL = Torsi beban (Nm) yang terdiri dari torsi beban pelengkap dan torsi lengan torak g(P) = fungsi yang berubah terhadap tekanan manifold kP = konstanta dinamik manifold, yang tergantung pada kapasitas volumetric manifold, tekanan atmosfir, temperatur udara ambient, berat molekul gas, dan panas spesifik daru udara dalam manifold. kN = konstanta dinamik putaran mesin Kemudian didefinisikan state vektor x  R dan vektor sinyal pengendali u  R 2

x x=  1 x  2

 P     N 

 

u  u = u1   2

2

…(2.62a)

…(2.62b)

dengan titik kesetimbangan pada P = Po dan N = No Linierisasi terhadap model plant (2.60a dan 2.60b) dilakukan berdasar input pengendali pada sistem adalah sinyal valve yang mengendalikan aliran udara (massa) yang masuk manifold. Sedangkan output adalah tekanan udara pada manifold (P(t)). Pada ruang manifold terjadi pengaturan suplai bahan bakar dan udara, sehingga pada ruang manifold ini diasumsikan tidak bocor dan aliran bahan bakar diabaikan untuk menerapkan prinsip kontinuitas aliran massa pada input dan output manifold.

Gambar 2.22 Model Internal Combuntion Engine. Pada throttle (C) yang merupakan bagian pangkal dari ruang manifold berfungsi untuk mengatur masuknya suplai udara pada ruang manifold. Sedangkan pada pengisap manifold (M) yang

47 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

merupakan bagian ujung ruang manifold berfungsi untuk mengatur masuknya udara pada ruang silinder. Hubungan antara valve throttle (A)  (t ) dan aliran massa yang masuk manifold dapat direpresentasikan oleh konstanta K1 yang menghubungkan dengan  (t ) . Pada sistem manifold ini engine bisa dianggap sebagai pompa udara untuk keperluan pemodelan. Perubahan positif rpm pada

 ao (t ) yang akan mengakibatkan penurunan P (t ) . Fenomena ini biasa engine akan meningkatkan m dikenal sebagai pumping feedback dan direpresentasikan dengan umpan balik negatif dari output kecepatan engine N(t) ke input manifold melalui konstanta K3. Selanjutnya ada proses integrasi dengan konstanta waktu 1/K2 (besarnya tergantung pada kP) yang menghubungkan P (t ) dengan P(t), sehingga dinamika manifold (Pers. 2.59b) dimodelkan dengan fungsi alih orde satu : P(s) =

1 K1 (s)  K3 N (s) s  K2

…(2.63)

Torsi engine Ti (Pers. 2.60c) dapat dinyatakan dengan : Ti(s) = e

 d s

K P(s)  K N (s)  K F (s) K  (s) 4

5

f

u

…(2.64)

6

Adapun torsi beban di luar engine diperoleh dari beban gesekan mekanis dan beban asesoris (misal dari AC, power steering, fan, pompa air atau alternator) yang berbanding lurus dengan kecepatan putar mesin. Time delay pada manifold chamber tidak langsung memberi pengaruh pada proses pembakaran. Fenomena ini biasa disebut induction-to-power stroke (IP) delay -  d. Efek delay ini hanya berpengaruh pada variabel-variabel suplai bahan bakar dan tekanan manifold, dimana menyatakan selisih waktu saat aliran udara masuk ke ruang bakar (keluar dari manifold chamber) dengan timbulnya torsi engine. Spark-advance atau derajad sudut engkol tidak dipengaruhi oleh delay ini. Besarnya delay tergantung pada kecepatan engine dan jumlah silinder n, dan dinyatakan dalam bentuk :

d 

120 nN

Untuk engine dengan 6 silinder pada set point 800 rpm, besarnya

…(2.65)

 d mendekati 0,025

detik. Pada dinamika rotasi engine, momen inersia rotasi : J N(t) = Ti(t) – TL(t) – K7 N(t)

…(2.66)

Sehingga persamaan kecepatan putar engine (Pers. 2.59a) dapat dinyatakan dalam bentuk, N(s) =

1 Ti (s)  TL (s) Js  K7

48 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

…(2.67)

Tabel 2.2 Tipe model dinamika sistem. Tipe Model Dinamika Sistem

Kriteria klasifikasi

Contoh sederhana

LTI – Linear Time Invariant

Aplikasi superposisi

Persamaan diferensial linier, persamaan dengan koefisien konstan

d 2x dx  5  10 x  20 2 dt dt LTV – Linier Time varying

Non linier

Parameter model

Persamaan diferensial dengan parameter

berubah terhadap

berubah terhadap waktu

waktu

d 2x  1  cos(2t ) x  5 dt 2

Prinsip superposisi

Persamaan diferensial non linier

tidak bisa digunakan,

d 2x dx  1 x2  5x 2  0 2 dt dt

banya sistem phisik



merupakan sistem non linier Tabel 2.3 Pasangan Transformasi Laplace No

f(t)

F(s)

1

Impulsa satuan δ (t)

1

2

Tangga satuan 1(t)

1 s

3

T

1 s2

4

e-at

1 sa

5

te-at

1 s  a 2

6

Sin ωt

 s 2 2

7

Cos ωt

s s 2 2

8

tn (n= 1,2,3...)

n! s n 1

49 |2. Model Matematis Sistem Dinamik



9

tn e-at

10

1 e  at  e bt ba

11

1 be bt  ae at ba

12

1  1   be at  ae bt  1  ab  a  b 

13

e-at Sin ωt

n! s  an1







1

s  a s  b



s

s  a s  b 1 ss  a s  b 



s  a2   2 14

e-at Cos ωt

s

s  a2   2 15

16



1 at 1  e at 2 a

n 1 2 1

17

1 2

e  nt sin  n 1   2 t e  nt sin(n 1   2 t   )

  tan 1 18

1



1 1  2

  tan 1

1 s s  a  2

n 2 s 2  2n s  n2 s s  2n s  n2 2

1 2

 e  nt sin(n 1   2 t   )

n 2 s(s 2  2n s  n2 )

1 2



Ringkasan : Bab ini telah membahas bagaimana cara memodelkan sistem dinamik dalam bentuk model matematika. Sistem yang dimodelkan adalah sistem mekanik, listrik, elektrik, fluida, termal, linier da non-linier dalam bentuk fungsi alih. Pemodelan dalam bentuk fungsi alih ini dimaksudkan untuk mengetahui karakteristik dinamika sistem. Juga telah dibahas beberapa program MATLAB yang menggambarkan dinamika sistem, serta program SIMULINK untuk dapat menggambarkan secara interaktif setiap perubahan variabel dan parameter untuk dapat dipelajari dan diamati. Simulasi pengendalian level

50 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

permukaan air dalam tangki, simulasi kendaraan (mobil) dalam gerakan lurus dan simulasi suspensi kendaraan (mobil) dalam keadaan berjalan. Sebagian besar sistem fisis adalah non-linier yang kemudian dilinierisasi pada range variabel tertentu. Proses linierisasi persamaan non-linier sangat penting, berkaitan dengan metode-metode yang akan digunakan dalam perancangan sistem pengendalian. Linierisasi sering dilakukan, dengan menggunakan ekspansi deret Taylor disekitar titik operasi dan mempertahankan hanya bagian yang linier saja. Tentu linierisasi sistem non-linier ini disertai dengan terjadinya penambahan besarnya error. Penambahan besarnya error inilah nanti yang harus mampu diatasi oleh sistem pengendalian dengan perancangan kompensator.

Pustaka utama : 1. Kuo,B.C.,”Automatic Control Sistem”,6th ed., Printice-Hall, Englewood Cliffs,NJ.,1998, halaman 21 s/d 57. 2. Ogata,K.,”Modern Control Engineering”, 4th ed., Printice-Hall, Englewood Cliff,NJ.,1997, halaman 1 s/d 176.

Pustaka penunjang : 1. Bahram Shahian, Michael Hassul,”Control Sistems Using MATLAB”, International Editions, Printice-Hall, 1997. 2. Lewis, F. L.,“Applied Optimal Control & Estimation”, Prentice Hall,1992. 3. The MathWorks, Inc.,”Control Sistem Toolbox”, Printice-Hall, 1997. 4. Syamsul Arifin, ”Kontrol Automatik II”, Jurusan Teknik Fisika-FTI-ITS, 1997. 5. Raven, F. H., (1995), “Automatic Control Engineering”, Fifth Ed., Mc Graw Hill Ed., Mechanical Engineering Series.

Soal-Soal Asesmen : 1. Sebuah sistem massa–pegas–damper yang terlihat pada gambar di bawah, dengan gerak linier adalah pada arah horizontal. Tentukan fungsi alih dari sistem tersebut.

M

f (

Gambar 2.31 Model pegas-massa-damper bergerak horizontal Jawab :

X ( s) 1  2 F (s) Ms  Bs  K

51 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

x (

2. Tentukan model matematik dari motor DC dengan magnet permanen, dimana secara elektrik dinyatakan dalam bentuk diagram berikut.

F l

i a

B 0

 m

T m

Gambar 2.32 Model motor dc yang dieksitasi secara terpisah Jawab

Ki ( s)  3 Ea ( s) La J m s  Ra J m  Bm La s 2  K b K i  Ra Bm s Dengan : ia(t) = arus jangkar Ra = hambatan jangkar

La = Induktansi jangkar ea(t) = tegangan terpasang

Ebt) = emf terbalik

Kb = konstanta emf balik

Tl(t) = torsi beban

Φ = fluks magnetik pada pemisah udara

Tm(t) = torsi motor

ωm (t) = kecepatan sudut motor

m

(t) = perpindahan rotor

Lm = inersia rotor

Ki = konstanta torsi

Bm= koefisien gesekan viskos

3. Perhatikan suatu sistem mekanik pada gambar di bawah ini :

M 1

M 2

Gambar 2.33 Model mekanik pegas-massa-damper Dimana : m1, m2 = massa yang konstan k1, k2 = konstanta pegas c = konstanta redaman u1, u2 = variabel masuakan sistem y1, y2 = variabel keluaran sistem

52 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

 m

T L

Tentukan persamaan dinamika dari sistem yang digambarkan di atas. Jawab :

m1 y1  k1 u1  y1   c y 2  y1   0 m2 y2  k 2  y 2  u 2   c y 2  y1   0 4.

Sebuah filter pasif yang digambarkan di bawah ini

Gambar 2.34 Rangkaian listrik RLC Dengan e : masukan pada sistem, dan x1 dan x2 merupakan variabel keadaan sistem, sedangkan i1 dan i2 diasumsikan sebagai arus pada loop 1 dan loop 2. Jawab :

dx1  R1 x1  i2   e(t ) dt x2  R2 i2  R1 x1  i2   e(t )

m

53 |2. Model Matematis Sistem Dinamik