2.- Mecanismo de Desplazamiento de Fluidos Inmiscibles

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MECANISMO DE DESPLAZAMIENTO DE FLUIDOS INMISCIBLES

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Introducción

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Comprender el mecanismo por el cual un fluido es desplazado a través de Un reservorio por la inyección de un fluido inmiscible. Desplazamiento de PETRÓLEO por AGUA. El recobro de petróleo se puede pronosticar a cualquier tiempo en la vida de un proyecto de inyección de agua si la siguiente información es conocida: • • • •

Petróleo inicial en el sitio, POES Eficiencia de barrido areal, Eas Eficiencia de barrido vertical, Evs Eficiencia de desplazamiento, ED

N P=Eas×Evs×E D×POES Para modelo lineal y homogéneo: 15:39

Eas  Evs  1

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EFICIENCIA AREAL U HORIZONTAL ( Eas ) ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

Se define como la fracción del área horizontal del yacimiento que esta en contacto con el agua.

Eas 

Superficie horizontal barrida por el frente Superficie total horizontal d PP

b

At  d  b Eas 

Ab At

PI 15:39

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EFICIENCIA VERTICAL DE BARRIDO ( Evs )

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Corresponde a la fracción del área vertical del yacimiento que ha entrado en contacto con el fluido desplazante.

Evs =

Área vertical que ha sido barrida por el frente Área vertical total b

P

P

h

I 15:39

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A vb Evs  bh

Las Eficiencias areal y vertical de barrido determinan la fracción del Volumen del yacimiento que entrará en contacto con el agua inyectada. Depende principalmente del grado de estratificación. Si es lineal y homogéneo Evs =1. 15:39

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EFICIENCIA DE DESPLAZAMIENTO Es la efectividad con la que el fluido desplazante desaloja al petróleo del yacimiento. Fracción de petróleo inicial in situ que es desplazado desde una porción de reservorio que ha sido contactada por el agua inyectada.

ED 

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Petróleo Desplazado NP  Petróleo Inicial insito POES

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Estas eficiencias son influenciadas por varios factores:  Modelo de inyección  Espaciamiento entre pozos  Propiedades e fluido y rocas  Heterogeneidad del yacimiento

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A. Fuerzas que intervienen en un proceso de Inyección de Agua.

En un proyecto de Inyección de Agua intervienen tres fuerzas, estas son: 1. Fuerzas Viscosas Consecuencia del gradiente de presión que imponen durante el proceso de desplazamiento, controlan el movimiento del fluido en el espacio poroso. 2. Fuerzas Gravitatorias Consecuencia de la diferencia de densidad en los fluidos, controla la separación gravitatoria de fluidos ligeros en la parte superior y los fluidos más pesados en el fondo.

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3. Fuerzas Capilares Consecuencia de la energía libre interfasial en la interfase agua–petróleo, pueden oponerse o sumarse a las otras dos fuerzas.

El efecto relativo de estas dos fuerzas son descritas por dos números adimensionales: •Número Viscoso/Gravitatorio y, • Número Capilar/Viscoso.

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A.1 Número Viscoso/Gravitatorio Es un indicador de la importancia de las fuerzas de gravedad en un proceso de desplazamiento. Este está dado por la siguiente ecuación, en términos de la rata de flujo y en unidades de campo:

K v k h g cos( ) A L N gv  887 .2q w h

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donde: A

= Área de sección transversal

Kv

= Permeabilidad Vertical

Kh

= Permeabilidad Horizontal

h

= Espesor del reservorio

Δ(Pc) = Diferencial de presión capilar entre las capas anteriores y posteriores (usar presión capilar con Sw = 50%) Δ(Ph) = Presión diferencial entre pozos inyectores y productores despreciando la caída de presión en los alrededores del pozo. α 15:39

= Ángulo de Buzamiento. 12

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Flujo dominado por la viscosidad

NGV < 0.1 La eficacia de la inyección de agua dependerá de la relación de movilidad agua –petróleo y contraste de permeabilidades entre las capas.

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Flujo dominado por la gravedad

NGV > 10.0 La inyección de agua exhibirá lo siguiente: •Pico moderado del caudal de petróleo •Temprana ruptura de agua •Moderada declinación del caudal de petróleo •Incremento gradual del caudal de agua •Substancial recobro de petróleo post ruptura

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Flujo Transitorio

El desempeño de la inyección de agua se ubica entre los dos casos anteriores

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A.2 Numero Capilar – Viscoso Este número es un indicador de la importancia de las fuerzas capilares en el proceso de desplazamiento. Este está dado por la siguiente ecuación, en términos del caudal de flujo y en unidades de campo:

K v AL( Pc ) N cv  2 887 .2qh

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Cuando el flujo es dominado por la capilaridad Ncv > 10.0

La inyección de agua exhibirá lo siguiente: •Un frente de inyección uniforme •Un pico continuo del caudal de petróleo •Retraso en la ruptura de agua. •Producción substancial de agua después de la ruptura. •Pequeño recobro de petróleo post ruptura.

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Flujo en el que predomina la capilaridad

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B. Modelos de Desplazamiento. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

1. Modelo de Desplazamiento tipo pistón sin fugas Extensamente usado en el tratamiento analítico de los procesos de desplazamiento. Solamente se mueve petróleo delante del frente (agua connata no es móvil) y solamente el agua se mueve por detrás del frente (solamente petróleo residual queda atrás).

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Modelo de desplazamiento Tipo Pistón. 15:39

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2. Modelo de Desplazamiento tipo pistón con fugas. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

Modelo es más realista y es usado en el tratamiento analítico de los procesos de desplazamiento. Solamente el petróleo se mueve delante del frente (el agua connata no es móvil) pero, petróleo y agua se mueven detrás del frente. El desplazamiento detrás del frente es controlado por la relación de permeabilidad relativa. "Existe una cantidad considerable de la fase desplazada que queda detrás de la cara o frente del pistón imaginario".

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Modelo de desplazamiento Tipo Pistón con Fugas 15:39

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Proceso de Inyección de agua del modelo tipo pistón con fugas a presión constante 15:39

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FASE INICIAL

FASE RUPTURA

El fluido desplazante se mueve por la acción de desplazamiento pistón con fugas del fluido desplazante.  Se obtiene la mayor parte de la producción del fluido desplazado.  Fluido producido casi no tiene fluido desplazante.

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SUBORDINADA

El fluido desplazante arrastra a la fase desplazada por le camino de flujo.  Es el período que sigue a la ruptura.  Existe producción de ambas fases, desplazante y desplazada. Producción substancial de fase desplazante.

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El desplazamiento tipo pistón con fugas es más realístico y para su evaluación se necesita conocer lo siguiente:

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1.

Distribución de saturaciones en función del tiempo, durante el proceso de desplazamiento. Comparando dos distribuciones de saturación a tiempos diferentes se puede calcular las cantidades de fluidos producidos.

2.

Variables que controlan el proceso de desplazamiento (geometría del yacimiento, µd, kd, knd, Swi, Soi.)

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C. Formas de Movimiento del Agua en el Reservorio.

1. Flujo Disperso El petróleo y agua a diversas saturaciones ocupan el mismo espacio poroso. Su flujo relativo es controlado por la relación de permeabilidades relativas agua – petróleo

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Condiciones del Reservorios para Flujo Disperso. •Usualmente no marino, ambiente deposicional deltaico. •Numerosos canales de arena de diferente capacidad de flujo, separados verticalmente por sedimentos impermeables y lutitas. •No hay comunicación de presión entre arenas (sin ningún flujo cruzado).

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2. Flujo Segregado (Modelo de Tanque) El petróleo y el agua abruptamente ocupan distintas zonas. El flujo de petróleo es controlado por la permeabilidad relativa al petróleo a saturación de agua connata y el flujo de agua es controlado por la permeabilidad del agua a saturación de petróleo residual.

El flujo en el reservorio es a menudo combinaciones de los dos anteriores. 15:39

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Condiciones del Reservorios para Flujo Segregado. •Usualmente marino o ambiente deposicional tipo playa. •Arenas relativamente limpias y en su mayor parte libres de barreras vertical de flujo. •Comunicación de presión entre arenas (con flujo cruzado).

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D. Teoría del Desplazamiento (Buckley y Leverette)

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Suposiciones: • • • • • • • •

•

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Flujo lineal. Formación homogénea y constante. Desplazamiento tipo pistón con fugas. Los fluidos son inmiscibles (Pc  0). Presión y temperatura constantes (equilibrio). Flujo continuo o estacionario. Sólo fluyen dos fases (se aplican los conceptos de permeabilidad relativa a dos fases). Presión de desplazamiento mayor a la Presión de burbujeo en el caso que se utilice agua para desplazar petróleo. La tasa de inyección y el área perpendicular al flujo se consideran constantes. 30

Ecuaciones Básicas: ESCUELA POLITENICA NACIONAL

•

"Flujo Fraccional" (f): fracción del flujo total correspondiente a un determinado fluido.

•

NOTACIÓN: Agua  fW ; Petróleo  fO ; gas  fg

•

Sea un medio poroso por donde pasa gas (qg ), petróleo (qO) y agua (qW)

qw fw  , qt

qt  qw  qo  qg 15:39

qo fo  , qt

fg 

qg qt

f w  fo  f g  1 31

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• •

Ecuación de Flujo Fraccional (Leverette 1941) Relaciona la fracción del fluido desplazante (agua) en la corriente de fluido total, en cualquier punto en el reservorio, para las propiedades del reservorio. Ley de Darcy: Consideraciones: • Saturado con petróleo y agua connata. • Caudal de inyección, qt constante. • Yacimiento homogéneo.

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En concordancia con la ecuación de flujo lineal de Darcy, la rata de flujo de agua en cualquier lugar en el reservorio es: q w  0.001127

k w  A  p w    0.00694   w  sen  u w  x 

ó

p w qw  uw   0.00694   w  sen x 0.001127 k w A

Similarmente, el gradiente de presión en la fase petróleo es:

po qo  u o   0.00694   o  sen x 0.001127  ko  A 15:39

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Convención de signos ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

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Por la definición de presión capilar tenemos:

Pc Po Pw   x x x p c qw  uw qo  u o    0.00694 (  w   o ) sen x 0.001127  k w  A 0.001127  k o  A

• Y usando:

qt  q o  q w qw qw fw   q o  q w qt fo 

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qo  1-f w qt 35

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•

Obtenemos:

1+0.001127 f w=

ko A  Pc  0 . 00694 (γ -γ )senα w o  uo qt  x u k 1+ w o uo k w

• Que es nuestra ecuación de flujo fraccional

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Dependiendo del predominio de fuerzas que operan durante la inyección de agua se tiene las diferentes formas de ecuación de flujo fraccional.

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• •

Permite determinar las ratas relativas de petróleo y agua en cualquier punto del sistema. Incorpora todos los factores que afectan la eficiencia de desplazamiento:

 Propiedades del fluido,  Propiedades de la roca,  Caudal,  Gradiente de presión,  Propiedades estructurales del yacimiento. •

Si se dispone de suficiente información, es posible usar la ecuación completa de flujo fraccional para calcular la fracción de agua en un reservorio como una función de saturación de agua.

DEBER:  Obtener las ecuaciones de flujo fraccional para el caso de una roca oleófila y para el caso en que el desplazamiento se realiza con gas. 15:39

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EJEMPLO 1 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Los gradientes de presión capilar pueden ser asumidos como despreciables. Se tienen los siguientes datos: = Swi = w = qt = γo = A=

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o = βo = βw = k= γw = =

18% 30% 0.62 cp 1000 Bls/día 0.8 50000 pies2

2.48 cp 1.37 BR/STB 1.04 BR/STB 45 md 1.03 30°

Sw, %

kro

krw

30

0.940

0

40

0.800

0.0140

50

0.440

0.110

60

0.160

0.200

70

0.045

0.300

80

0

0.440 39

Curva de flujo fraccional para Ejemplo 1 ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

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Ejercicio: ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Un yacimiento de petróleo tiene un empuje de agua y la forma del yacimiento hace que el tipo de desplazamiento sea lineal con una producción de fluidos de 2830 bbl/día a condiciones del reservorio. Si los datos del reservorio son:  Buzamiento α = 15.5°, 0°, -15.5  Espesor de formación, h = 30 pies Área transversal del yacimiento, A = 240000 pies3  Permeabilidad, k = 108 md  Saturación irreductible de agua, Swirr = 16%  Gravedad específica de agua, γw = 1.05  Gravedad específica de petróleo, γo = 0.89  Viscosidad de agua, µw = 0.83 cp  Viscosidad de petróleo, µo = 1.51 cp, 3 cp, 0.7 cp  Porosidad = 20%  Longitud = 3000 pies  βo = 1.25  βw = 1.02

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• Las permeabilidades relativas al agua y al petróleo son las siguientes: ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Sw

Krw

Kro

79

0.63

0.00

75

0.54

0.02

65

0.37

0.09

55

0.23

0.23

45

0.13

0.44

35

0.06

0.73

25

0.02

0.94

16

0.00

0.98

k ro k o  k rw k w  k o  k×kro  k w  k×krw

• Calcular el corte de agua (fw) para cada una de las saturaciones de agua asumiendo que ∂Pc / ∂x es despreciable. • Graficar fw vs. Sw  Diferente buzamiento,  Yacimiento horizontal pero diferente viscosidad del petróleo. 15:39

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Efecto de las variables de reservorio sobre la eficiencia de desplazamiento

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Para tener una alta eficiencia de desplazamiento y, por consiguiente, una eficiente inyección de agua se requiere que la fw en cualquier lugar del reservorio sea mínima . Esto es, queremos que fw sea tan pequeño como sea posible para un valor en particular de saturación de agua.      

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Efecto de humectabilidad. Efecto del grado de inclinación de la formación y la dirección del desplazamiento. Efecto de la presión capilar. Efecto de las movilidades de petróleo y agua. Efecto de la rata. Variaciones de la ecuación de flujo fraccional.

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A.- Efecto de humectabilidad. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Para una saturación de agua en particular, la permeabilidad efectiva al agua, kw, será más pequeña en una roca humectada al agua que en una roca humectada al petróleo.

•

En concordancia, el denominador de la ecuación del flujo fraccional será más grande para una roca humectada al agua y el valor correspondiente de fw será más pequeño.

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Comparación de las curvas de flujo fraccional para reservorios humectados al petróleo y humectados al agua. 44

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B.- Efecto del grado de inclinación de la formación y de la dirección del desplazamiento.

• En un reservorio con un ángulo de inclinación significante, la magnitud del ángulo y la dirección de la inyección de agua relativa al ángulo de inclinación puede tener una considerable influencia en el recobro de petróleo. • El efecto del ángulo de inclinación o buzamiento de la formación es dictado por el término de la gravedad: (w - o) Sen  • Cuando el signo de este término es positivo, el efecto de la gravedad será minimizar.

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La conclusión obvia a partir de estas observaciones es que el agua debería ser inyectada hacia arriba para obtener el máximo recobro de petróleo.

Efecto del ángulo de inclinación en el flujo fraccional. 15:39

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C. Efecto de la presión capilar La presión capilar fue definida previamente como: Pc = Po - Pw El gradiente de presión capilar en la dirección-s es: Pc / s = Po / s - Pw / s En una roca humectada por agua, este gradiente será un número positivo, en concordancia, su efecto será incrementar el valor de fw y disminuir la eficiencia de la inyección de agua.

En recuperación secundaria por inyección de agua es deseable disminuir o eliminar el gradiente de presión capilar. • • 15:39

Alterar humectabilidad de la roca Disminuyendo o eliminando la tensión interfacial entre petróleo y agua. 47

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D.

Efecto de las movilidades de petróleo y de agua

Se mejora la recuperación de petróleo si se disminuye la movilidad del agua, kw/w, o se incrementa la movilidad del petróleo, ko/o. Las permeabilidades efectivas para el petróleo y agua son afectadas principalmente por las saturaciones del fluido existente en el reservorio. Un proceso de desplazamiento se puede mejorar incrementando la viscosidad del agua o disminuyendo la viscosidad del petróleo. • La viscosidad del agua, puede incrementarse por la adición de polímeros. • La viscosidad del petróleo puede ser disminuido usando varios procesos térmicos de recobro tales como inyección de vapor.

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Efecto de la viscosidad del petróleo en la curva de flujo fraccional. 15:39

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E. Efecto de la Rata ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

El efecto de la rata varía dependiendo de si el agua se está moviendo hacia arriba o hacia abajo. El objetivo es minimizar fw . Flujo buzamiento arriba, q t , debe ser bajo Flujo buzamiento abajo, q , debe ser alto. t

Desde un punto de vista práctico, la rata generalmente será controlada por las limitaciones económicas del equipo de Inyección y físicas del reservorio. La ecuación de flujo fraccional da un discernimiento valioso en los factores que afectan la eficiencia de una inyección de agua, u otros procesos de desplazamiento.

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Resumiendo:

1. Desplazamiento ascendente de petróleo por agua conduce a un muy bajo valor de fw. y un mejor desplazamiento. 2. Desplazamiento descendente resulta en un valor muy grande de fw y un muy pobre desplazamiento. 3. El gradiente de presión capilar incrementa fw y resulta en un muy bajo desplazamiento. 4. Una gran diferencia en densidad (w - o) mejora la recuperación ascendente y disminuye la recuperación descendente. 5. El mejoramiento de la recuperación de petróleo resulta de una pequeña movilidad de agua, kw/w, o una gran movilidad de petróleo, ko/o. 6. Al aumentar la rata mejora la eficiencia de inyección descendente pero causa una muy baja eficiencia en la inyección ascendente.

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Ecuación de avance frontal (BUCKLEY-LEVERETTE)

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• •

Representa la velocidad del frente de invasión. Permite conocer la distribución de saturación de las varias fases a cualquier tiempo dado, así como la manera en que esta distribución cambia con el tiempo.

•

Consideraciones – Sistema Lineal Poroso – Saturado de Petróleo y Agua – Sometido a Inyección de Fluidos a una constante qt .

15:39

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Si consideramos el flujo lineal simultáneo de petróleo y agua en un sistema poroso de un área de sección transversal, A, y longitud, ΔX.

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Aplicando un balance de materiales para este segmento de la roca reservorio se tiene:

Rata de agua que entra: qt

* fw/x

bbls

qt

* fw/x+x

bbls

Rata de agua que sale:

Rata de agua acumulada:

Ax  S w 

  5.615  t  x  x

bbls

2

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Con la sustitución de estos términos, al balance de materiales se tiene: ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

 5.615 * q t  f w / x  x  f w / x   S w        x *A x  t  x    2

Tomando el límite de esta ecuación según x se aproxime a cero para obtener:

 5.615 * qt  f   5.615 * qt  S w         t  * A  x *A  t  x

 f w   S w

  S w      x t t 

La saturación de agua es una función tanto de la posición y del tiempo, esto es, Sw = Sw(x,t) Así, la derivada total de Sw es:

 S w   S w  S w   x   t    x  t  t  x 15:39

55

• ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

El procedimiento tomado para determinar la distribución de la saturación en el reservorio será trazar el movimiento de una saturación de agua en particular, si consideramos Sw fija entonces  Sw =0

 S   S  0   w   x   w  t  x  t  t  x

•

 S w   Sw    x     t   x   t   x   t   Sw Entonces:

5.615 q t  x     A  t Sw

15:39

 f w     S w t

56

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•

Si la rata de flujo total es constante, fw es independiente del tiempo, en concordancia con:

 f w  f w     S  S w w t 

 x      t  S w

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5.615 qt A

 f w      S w 

5.615 wi  f w     A  S w 

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OTRA FORMA DE DEMOSTRAR: ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

qw2  qw1  dqw

Balance Volumétrico al elemento dx

• A la entrada

fw 

qw qt

f w1 

• A la salida

f w2 15:39

qw1 qt

q w2  qt

f w1  f w2

q w q w   f w  qt qt

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• ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Suponiendo que no existe transformación química en el Yacimiento, el agua perdida a la salida se quedará en el yacimiento aumentando la saturación de agua en un valor igual a dSw , de tal suerte que a un tiempo dt.

Volumen de agua perdido en el flujo a la salida a un tiempo dt

=

Volumen de agua que se entrampa en el yacimiento en el tiempo dt.

dqw dt  V p * dS w

VP  Adx

dqw dt  Adx*dS w •

Despejando dx y considerando que:

dqw  qt df w

qt  f w  t dx   A  S w 

qt  f w   x       vS w  A  S w t  t  S w 15:39

Velocidad de avance del frente de saturación Sw .

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• ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Solo se aplica a la zona situada detrás del frente, pues precisamente constituye la región de interés, puesto que delante del frente se supone que las saturaciones permanecen constantes.

 df w Si se conoce la curva de flujo fraccional,   dSw

  puede obtenerse t

de la pendiente de la tangente a dicha curva, a una saturación determinada.

15:39

60

•

Generalmente para casos prácticos esta curva no cambia con el

 f w tiempo t, de modo que   Sw

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•

  t

tampoco cambia.

Debido a que la porosidad, área y rata total del flujo son

 f w constantes y ya que para un valor de S w , la derivada   Sw constate. t Sw qt  f w     dt x  dx  A  S w  t 0 0 •

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una

La distancia de avance de un plano de saturación constante S es w directamente proporcional al t y al valor de la derivada a esa saturación.

xSw •

  es t

qt t  f w     A  S w t

Distancia que recorre el frente o plano de saturación S w en el tiempo t. 61

A. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Desarrollo de la Solución a la Ecuación de Avance Frontal

Al punto XSw a cualquier saturación, XSw, puede ser obtenida integrando la Ecuación con respecto al tiempo x

 dx 0

Cuando f w / S w

Sw

qt  A

 f w  0  S w dt t

es solo una función de Sw,

x Sw

q t t  f w   A  S w

   Sw

Así si f w / S w se podría determinar exactamente de un diagrama de fw, vs. Sw la localización de todas las saturaciones se podrían determinar tanto como xSw  L (longitud del medio poroso). 15:39

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Razonamiento Intuitivo de BUCKLEY-LEVERETTE ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

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Los gradientes de la saturación, excesivos, S w / x >>>0, deben estar ESCUELA POLITÉCNICA cerca del frente de la región invadida por agua. Así hay un rango de NACIONAL saturaciones de agua donde y fw y f w / S w no se pueden calcular con la Ecuación:

5.615qt  x     A  t  S w

 f w     S w 

porque S w / x no está disponible a menos que sea usada una solución numérica.

∂Pc  ∂Pc  ∂S w      ∂x  ∂S w  ∂x  en la región donde S w / x = 0, la fw se puede representar por la ecuación: 15:39

64

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

7.83x106 k o A( w  O )sen 1  Oq t fw   wk O 1  Ok w Si  = 0, y no existe término gravitacional

fw 

15:39

1

1

 w kO O k w

65

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

La línea entrecortada es Tangente a la curva de flujo fraccional que inicia en la saturación de agua inicial. El punto de tangencia define la "ruptura" o "la saturación del frente de la inundación" SWf., que es equivalente a la saturación obtenida por Buckley y Leverett.

15:39

66

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Esta tangente interseca la curva de flujo fraccional en una SW común para ambas zonas estabilizada y no estabilizada. Las saturaciones mayores que SWf satisfacen las ecuaciones de flujo fraccional dadas por la Ecuación:

fw 

1

1

 w kO O k w

mientras que el flujo fraccional para las saturaciones menores que SWf no.

15:39

x Sw

q t t  f w   A  S w

   S wf

x Sw

q t t  f w   A  S w

   Sw

para Swi < Sw  Swf , y

para Swf  Sw  1 – Sor 67

La zona estabilizada es la zona que se tiene antes de la ruptura, la zona no estabilizada se presenta después de la ruptura. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

15:39

68

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Predicción del comportamiento de la inyección de agua en sistemas lineales

A.

Teoría de Buckley-Leverett

•

La ecuación de avance frontal puede ser usada para predecir la distribución de la saturación en un sistema de inyección de agua lineal como una función del tiempo Si la pendiente de la curva de flujo fraccional es determinada gráficamente a cualquier valor de saturación, entonces es posible calcular la distribución de saturación en el yacimiento en función del tiempo.

•

15:39

69

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

15:39

•

El problema surge debido a la forma de la curva de flujo fraccional. Se nota que valores iguales de pendiente, f w / S w pueden ocurrir para dos diferentes saturaciones de agua

•

Esto significa que dos diferentes saturaciones pueden ocurrir en el mismo lugar en el reservorio al mismo tiempo, esto no es físicamente posible

•

Se puede mostrar incluso que la teoría predice una triple distribución.

•

Para rectificar esta dificultad matemática, se sugirió por parte de Buckley y Leverett que una porción de la curva de distribución de saturación sea imaginaria, y que la curva real contenga una discontinuidad en el frente

70

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

15:39

71

• ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

El procedimiento de Buckley-Leverett desprecia la presión capilar, entonces en la práctica el frente de inundación no existiría en una discontinuidad, pero existiría como una zona estabilizada de longitud finita con gradiente de saturación grande (Terwillinger )

Localización del frente de inyección por el procedimiento de BuckleyLeveret

Sw

Área en A = Área en B

X Swf

15:39

72

B.

Zona estabilizada y no estabilizada

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

15:39

La forma del frente se observó que era constante con respecto al tiempo.

73

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

La velocidad de esta saturación en particular es proporcional a la pendiente de la curva de flujo fraccional en este punto.

•

fw / Sw debe ser la misma para todas las saturaciones en la zona estabilizada

•

Esta pendiente es definida por una línea trazada tangente a la curva de flujo fraccional a partir de la saturación inicial de agua

15:39

Curva de flujo fraccional mostrando el efecto de la zona estabilizada74

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

• •

•

Se concluyó que la distribución de saturación en la zona estabilizada debería ser calculada en base a la pendiente de la tangente a la curva de flujo fraccional La longitud de la zona estabilizada es despreciable en ratas de inyección prácticamente cortas Detrás del frente de inyección hay una zona donde la distribución de saturación no cambia con el tiempo, zona no estabilizada.

Pc  Pc  S w      x  S w  x  •

15:39

El gradiente de Pc puede despreciarse en esta zona

75

Teorema del Valor Medio: ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Otra forma de ilustrar lo anterior es aplicando el Teorema del valor medio

b

Y ' m(a  b) 

 Y ' dX a

ba b

dy a dx dx  ba 15:39

f (b)  f (a)  ba

76

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

“El valor medio de la derivada en un intervalo es igual a la pendiente de la recta que une los extremos”. Si aplicamos tal concepto para determinar el valor medio de la derivada (f / S ) para valores comprendidos entre Swi y Swf resulta w

w

f S wf  0  f w  f w      S  w  ( Swi  Swf ) S wf  S wi  S w

   S wf

Esto indica que la pendiente de la recta que une la Swi con Swf es igual a la pendiente a la curva fw = f (Sw), a un valor de Sw igual a Swf ,y a su vez es el valor medio a la pendiente entre Swi y Swf

15:39

77

C. Procedimiento de Calhoum ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Es un método más directo

S wm

Sw

S wf

S wi

0

X Swf

X sw

X 15:39

Perfil de saturación durante la inyección

78

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Agua inyectada = qt * t Agua acumulada en el estrato: S wm   A  X S wf S wf  S wi    X Sw .dSw    S wf

Donde:

X S wf

X Sw 15:39

qt .t  f w     A.  S w t , S

w  S wf

qt .t  f w     A.  S w t , S

w 79

Agua inyectada = Agua acumulada en el estrato S wm  q .t  f     q . t  f qt .t  A  t  w  S wf  S wi   t   w  dSw  A S wf  S w t , S  A  S w t ,S wf  w  

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

1  Swf

 f w  Swi   Sw

1  S wf

1,0     dfw t ,Swf fwf

 f w    S wi   1  f wf  S w t , S wf

S wf  S wi 



f wf  f w     S w t , S wf

Se resuelve por ensayo y error. 15:39

80

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

C.

Procedimiento de Welge (1952).

Solución más lógica y la que se utiliza actualmente 1.

Saturación de agua en el frente •

•

15:39

Este método en gran manera simplifica el procedimiento gráfico de Buckley y Leverett, pero requiere que la saturación de agua inicial sea uniforme. A cualquier tiempo después de que el proceso de desplazamiento empieza, la distribución de saturación aparecerá como:

81

S wm

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

T

Frente

Swf SW

Swi

X

X swf

Perfil de saturación durante la inyección 15:39

82

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

El área del rectángulo sombreado entre

S wi

X Swf (S w f  S wi ) 

y

Swf

es:

Swf

 xdS

w

Swi

•

Donde:

•

Sustituyendo x de la ecuación de avance frontal

S w f = saturación de agua en el frente.

en la ecuación anterior

X Swf (S w f  S wi ) 

Swf



Swi 15:39

5.615q t t  df w  A  dS w

 dSw  83

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

X Swf (S w f Así

X Swf •



5.615 q t t  Swi )  f w / Swf  f w / Swi A



Si la ecuación es escrita para el caso especial donde

X Swf

15:39



5.615q t t f w / Swf  f w / Swi  Swf  Swi  A



x  xf

5.615q t t  df w     A  dS w  Sw Sf 84

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Resolviendo las ecuaciones anteriores tenemos:

 f w / S wf  f w / S wi   f w       S w  S wf  S wf  S wi  •

15:39

La interpretación gráfica de la ecuación anterior es que una línea tangente trazada a la curva de flujo fraccional a partir del punto ( f w / Sw f , Sw f ) tendrán un punto de tangencia igual a ( f w / Swi , Swi ) este punto es la saturación del agua en el frente.

85

S Wm ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

1 .0

f Wf

0

15:39

S Wirr

S Wf

100

86

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Al considerar la figura anterior notamos que:

1.

La línea tangente a la curva de flujo fraccional debería siempre ser trazada a partir de la saturación de agua inicial.

2.

Si S wi  S wirr la línea tangente no se originará desde el final de la curva.

3. S w f , es constante desde el momento en que la inyección empieza hasta la ruptura; después se incrementará hasta que alcance S wm

15:39

87

S Wm ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

f Wf

f W1

S Wirr S W r S W c S Wf Construcción de la línea tangente cuando 15:39

Swi  Swirr

88

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Saturación promedio de agua Para la zona detrás del frente se tiene agua de inyección y agua nativa.

El agua total en el reservorio detrás del frente es:

Xf

S wm

0

0

Total H 2O  A  S w x  A  xS w donde:

15:39

S wm

= saturación máxima de agua = 1 - Sor

89

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

S wf S wm   Total H 2 O  A X Swf  S w S w   xS w  0 S wf  

S wm

Total H 2 O  AX wf S wf  A  x S w S wf

1  f w  Total H 2 O  5.615 q t t S wf    5.615q t t  f w f wf  S w  Swf

15:39

90

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Por definición, la saturación de agua promedio detrás del frente es:

Total de agua det rás del frente Total H 2 O Sw = = Volumen poroso inundado  A X Swf •

o

5.615q t tSwf Sw  AX Swf

15:39

 df w  5.615q t t    AX Swf  dSw  Swf

1

 df

w

f wf

91

• ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Sustituyendo

X wf 

5.615q t t  f w  A  S w

   Sw Swf

en la expresión anterior se tiene:

S w  S wf 

•

1  f wf  f w   S   w

Para el cálculo de S w toda la información está disponible a partir del punto tangente de la curva de flujo fraccional .

 f w  1  f wf 1  f wbt      S  w  bt S wA  S wf S wA  S wbt • La saturación de agua promedio puede ser obtenida extendiendo la línea tangente a la curva de flujo fraccional al punto donde 15:39

. fw  1 92

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

(S Wpf , 1.0)

1.0 f Wbt

0

100

S Wirr 15:39

S Wbt 93

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

S Wbt

1.0

0

S wi

100

Determinación gráfica de la saturación de agua promedio 15:39

94

PREDICCIONES ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Las ecuaciones básicas para realizar la predicción son las siguientes: Primer Caso: Etapa Inicial (t  tr)

S wi  S wc

Taza de producción de petróleo es constante. • El agua producida (si es que se manifiesta) es agua connata, siendo constante su taza de producción. • La relación agua petróleo es constante. • La producción de petróleo se debe al empuje frontal del frente de desplazamiento. •Wi = qt * t = 15:39

A



x s wbt S wbt  S wi



5,615 95

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Np 

Wi

o

o también

Np=



A..x Swbt S wbt -Swi



5.615.β o

WOR = 0 Wp = 0

15:39

96

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Segundo Caso: Si está presente Agua Connata (SwcSwirr) Antes de la Ruptura. (t  tr)

Wi  A..X Swbt (S wbt  S wc ) Np 

15:39

A..X Swbt (S wbt  S wc ) o 97

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Wi qw  t

qo 

Np t

Wp  A..X Swbt (S wc  S wr ) qw W p WOR   qo N p

15:39

98

Comportamiento a la ruptura del agua

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Sw permanecerá constante durante una inyección de agua hasta el tiempo de la ruptura.

• •

S

En concordancia, S w se igualará a wbt Significa que la saturación de agua en el reservorio incrementó en (S wbt  S w ) como resultado de la inyección de agua, i

•

La producción de petróleo debido a la inyección de agua puede ser computado por:

N p  POES  Eas  Evs  ED

15:39

99

•

Ya que estamos trabajando con un sistema lineal, se asumió por ahora que

Eas  Evs  1.0

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Así,

•

La eficiencia de barrido de desplazamiento, ED, es definida como

N p  POES  ED

Pr oducción de petróleo debido a la inyección de agua ED  Volumen de petróleo contactado con el agua Np ED    A L 1  S wi  5.615  βo •

La producción de petróleo al tiempo de ruptura se calcula como:

N pbt  15:39

  A  L  (S wbt  S wi ) ( 5.615  Bo )

100

•

Que resulta como conclusión en:

•

S wbt - Swi EDbt  ( 1- Swi ) En la ruptura, x = L:

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

1   5.615  qt t f   w    A L  S w  f •

Considerando el lado izquierdo de esta ecuación

5.615  q t .t AL

= bbls de agua inyectada / (bbls/volumen poroso)

Qibt = (volúmenes porosos de agua inyectada en la penetración) = Volumen Acumulado de fluido inyectado.

•

15:39

Así,

1  f w   Qibt    S w  f 101

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Con una rata de flujo constante, el tiempo para ruptura puede ser calculado como la relación del agua inyectada acumulada para la rata de inyección de agua, esto es:

Wibt   A  L  Qi bt tr   qt 5.615  q t

WOR 

qw /  w qo /  o

q f / w  o  f wbt WOR  t wbt  1  f wbt  w qt  f o /  o 15:39

102

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Cuando Swc  Swirr En el Momento de la Ruptura. (t = tr)

A..L 1 A..L tr  *  * Qi qt qt  f w     S w  Swrpu

Wi  A..L.(Swbt  Swc )

Wi qw  tr qo 

A..L.(S wbt  S wc ) Np  o

Np tr

W p  A. .L.( S wc  S wr ) 15:39

103

Ejercicio ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Se quiere desarrollar un proyecto de inyección de agua en un reservorio de petróleo subsaturado que tiene dimensiones que resultarán en flujo lineal. El área promedio de la sección transversal es aproximadamente 78000 pies cuadrados. Los datos adicionales de reservorio son:

Qiw = 7000 bls/día Swi = 25% = 22% k= 50 md o = 1.25 BR/Bls 15:39

w = 1.02 BR/Bls o = 1.39 cp w = 0.50 cp  = 0°

104

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Sw, % 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.72

kro / krw  36.95 11.12 4.84 2.597 1.340 0.612 0.292 0.098 0.017 0.000

Si la primera fila de pozos productores está localizada a 1320 pies de los pozos de inyección, – (a) Determinar el recobro de petróleo (STB) al tiempo de ruptura – (b) Determinar el tiempo hasta alcanzar la ruptura – (c) Determinar la eficiencia de desplazamiento al tiempo de ruptura – (d) ¿Cuántos barriles de agua deben ser inyectados para alcanzar la ruptura?

• Las eficiencias de barrido areal y vertical se asumen unitarias. • A demás, el gradiente de presión capilar puede ser despreciado. 15:39

105

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Comportamiento después de la ruptura

• Desde la ruptura, la saturación incrementará continuamente desde Swbt a Swm. •

15:39

La saturación después de la ruptura es Sw2, donde Swf < Sw2 < Swm, Welge mostró que:

106

•

La saturación promedio de agua en el reservorio después de la ruptura es Sw2, está dada por la ecuación.

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Sw 2  Sw2 

•

(1  f w 2 )  f w     S w  sw 2 

 Sw2 

f o2  f w     S w  sw 2 

Por lo tanto se tiene:

1  f w2  f w      S w  S w2  S w2

15:39

•

Gráficamente, esto significa que puede ser determinado trazando una tangente a la curva de flujo fraccional a la saturación Sw2.

•

La extrapolación de la tangente para fw = 1.0 da el valor de

Sw2.

107

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

1.0 f w2 f wbt

S wbt S w 2 S wm

0

S wbt S w 2

1.0

Determinación de Sw después de la ruptura 15:39

108

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

Después de la ruptura, el agua es producida a una relación superficial de agua-petróleo (WOR) igual a

f w2 Bo qw Bo WOR   qo Bw 1 f w2 Bw



15:39



109

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

•

El volumen poroso inyectado de agua cuando Sw = Sw2 a la salida se define por la relación. 1

 f w  Qi    S  w  Sw 2 ´

•

Las ratas de petróleo y de agua cuando Sw = Sw2 al final de la salida del sistema están dadas por la siguientes ecuaciones

(1  f w2 )qt BF qo  , Bo Día

15:39

( f w2 )qt BF qw  , Bw Día

110

e) El petróleo producido será: ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Np 

A. .L.(S w 2  S wi )

N p 

o

 N pbt  N p

A. .L.(S w2  S wbt )

o

f) El agua producida será:

Wp  Wi  N p o 15:39

111

Para el caso en que Swc  Swirr ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Después de la Ruptura (t  tr)

t' 

A. .L 1 * qt  f w     S w  S

w2

Wi  A..L.(Sw2  Swr )  q t * t'  Vp .Q'i N p 

Vp ( Sw 2  Swbt ) o

N p  N prup  N p Np  15:39

A..L.(Sw 2  S wc ) o

112

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Wi ti  qt WOR 

o f w

2

1  f w2

Wp  Wi  N po  q t .t'A..L(Sw 2  Swc ) En resumen, se puede usar el método de Welge para predecir el petróleo recuperable, el agua producida, WOR y el agua inyectada acumulativa, como función del tiempo para un sistema lineal de inyección de agua. Con todos estos valores se hacen posteriormente las siguientes representaciones gráficas del comportamiento futuro estimado. 15:39

113

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Wi = f(t) 15:39

114

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

Np = f(t) 15:39

115

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

Wp = f(t) 15:39

116

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

WOR = f(t)

15:39

117

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

WOR = f(Np)

15:39

118