2 Matematica e Raciocinio Logico

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 1. NUMERAÇÃO

Essa imagem mostra todos os conjuntos, sendo

Números Naturais Os números naturais são o modelo matemático necessário para efetuar uma contagem. Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos os elementos dos números naturais:

ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … .

A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um número natural. a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 1 é 2. d) O sucessor de 19 é 20. - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 5 e 6 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos. - Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 5, 6 e 7 são consecutivos. c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. Subconjuntos de Vale lembrar que um asterisco, colocado junto à letra que simboliza um conjunto, significa que o zero foi excluído de tal conjunto.

ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, … . } Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Números Inteiros Podemos dizer que este conjunto é composto pelos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto pode ser representado por:

ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . }

Subconjuntos do conjunto  :

1)ℤ∗ = … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . − 𝐸𝑠𝑡𝑒 é 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜.

2)ℤ+ = 0, 1, 2, 3, … . − 𝐸𝑠𝑡𝑒 é 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 − 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

3)ℤ− = … , −3, −2, −1 − 𝐸𝑠𝑡𝑒 é 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 − 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠

Números Racionais

Chama-se de número racional a todo número que pode ser expresso na forma 5

1

𝑎 , onde a e b são inteiros quaisquer, com b≠0 𝑏

Assim, os números 5 = 1 𝑒 − 0,33333 … . (= − 3) são dois exemplos de números racionais. Números Irracionais

Identificação de números irracionais - Todas as dízimas periódicas são números racionais. - Todos os números inteiros são racionais. - Todas as frações ordinárias são números racionais. - Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. - Todas as raízes inexatas são números irracionais. - A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. - A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. -Os números irracionais não podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e b≠0. Exemplo: √5 - √5 = 0 e 0 é um número racional. - O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional. - O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplo: √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional. Exemplo: radicais( √2,√3) a raiz quadrada de um número natural, se não inteira, é irracional. Números Reais A reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais é o conjunto dos números reais.

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Exercícios 1) (FCC – 2012) – Um atleta, participando de uma prova de triatlo, percorreu 120 km da seguinte maneira: 1/10 em corrida, 7/10 de bicicleta e o restante a nado. Esse atleta, para completar a prova, teve de nadar (A) 18 km. (B) 20 km. (C) 24 km. (D) 26 km. 2)(Pref. Presidente Olegário-Agente Administrativo 2011) O combustível usado em automóveis numa certa cidade é composto de 3/5 de gasolina e 2/5 de álcool. Se o preço do litro de álcool é 3/4 do preço do litro de gasolina e este custa R$3,00 cada litro, o preço do litro de combustível é? a) R$ 3,20 b) R$ 2,58 c) R$ 2,70 d) R$ 3,28 3) (Pref. Itabaiana-PB 2010) Resolvendo a operação 3(1/2) + 5/3 – 1/8 se obtém como resultado um número real : A) menor que 3,041. B) maior que 3,0417 C) entre 3,041 e 3,04167. D) entre 3,41 e 3,4167. E) menor que 3,0406. 4) O valor de (1/2) + (1/3) + (1/6) é: a) 1/11.      b) 3/11.      c) 5/11.      d) 1. Respostas 1)C Total do percurso:120 1 Corrida: 𝑥120 = 12 Bicicleta:

10

7 𝑥120 = 84 10

Corrida+bicicleta=12+84=96 Nado=1200-96=24km 2)C 3 9 Para achar o preço do álcool: 𝑥3 = 4 4

9 2

18

9

O preço do álcool no combustível: 4 𝑥 5 = 20 = 10 3 5

Gasolina: 𝑥3 =

9 5

Portanto o preço do combustível é:

9 9 18 + 9 27 + = = = 2,7 5 10 10 10

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 3)C 3 5 1 + − 2 3 8

Tirando o m.m.c:24 36 40 3 73 + − = = 3,04166 … 24 24 24 24

4)D

1 1 1 3+2+1 6 + + = = =1 2 3 6 6 6

2. NÚMEROS NATURAIS: MÚLTIPLOS, DIVISORES, DIVISIBILIDADE E RESTOS

Múltiplos e Divisores Um número é múltiplo de outro quando ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. Exemplo

10 ÷ 2 = 5 12 ÷ 3 = 4

O conjunto de múltiplos de um número natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números naturais. M(3)={0,3,6,9,12,...} Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto 3 é divisor de 12 e 15. D(12)={1,2,3,4,6,12} D(15)={1,3,5,15} Observações: - Todo número natural é múltiplo de si mesmo. - Todo número natural é múltiplo de 1. - Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. - O zero é múltiplo de qualquer número natural. Divisibilidade Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Critérios de divisibilidade Divisibilidade por 2 Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5. Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3. Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois: 8x2=16 16592-16=16576 Repete-se o processo com este último número. 6x2=12 1657-12=1645 Repete-se o processo com este último número. 5x2=10 164-10=154 Repete-se o processo com este último número. 4x2=8 15-8=7 A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7. Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8. Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9. Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero). Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero). Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11. Exemplos: a) 1º 3º 5º → Algarismos de posição ímpar (Soma dos algarismos de posição ímpar: 4 + 8 + 3 = 15.) 4 3 8 1 3 2º 4º → Algarismos de posição par (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 15 – 4 = 11 → diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11. Divisibilidade por 13 Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração. Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar. 2x4=8 1656+8=1664 Repete-se o processo com este último número. 4x4=16 166+16=182 Repete-se o processo com este último número. 2x4=8 18+8=26 Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13. Restos das divisões Na aplicação do caráter de divisibilidade, o resto da divisão de um número qualquer por outro, cujo caráter de divisibilidade conhecemos, será o mesmo resto encontrado na aplicação do caráter pelo divisor considerado. Exemplo: Qual o resto da divisão de 1938 por 11? Solução: Soma dos algarismos de ordem ímpar = 9 + 8 = 17 Soma dos algarismos de ordem par = 1 + 3 = 4 17 – 4 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Teoria dos restos Proposição 1. O resto da divisão de uma soma por um número é o mesmo que o da divisão da soma dos restos das parcelas por esse mesmo número. Exemplo: Qual o resto da divisão da soma 18 + 27 + 14 por 4? Solução: Soma dos restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3 na divisão por 4. Portanto, o resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 será 3. Proposição2. O resto da divisão de um produto por um número é o mesmo que o da divisão do produto dos restos dos fatores por esse número. Exemplo: Qual o resto da divisão do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9? Solução: Produto dos restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto 6 na divisão por 9. Logo, o resto do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9 será 6. Exercícios 1) Qual é o menor número com dois dígitos que somando a 12345 o tornará um número divisível por 9? 2) Um número é divisível por 9 e por 5. Se somarmos 315 a este número ele ainda continuará divisível por 9 e por 5? 3) a) b) c) d) e)

Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 11 e o resto é o maior possível. Então o dividendo é: 151 165 175 179 181

4) Qual é o menor número que devemos subtrair de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9? 5) Qual é o menor número que devemos adicionar a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7? Respostas 1) Somando os algarismos:1+2+3+4+5=15 dividido por 9 dá resto 6 Devemos encontrar o menor múltiplo de 9 com dois dígitos, que ao ser subtraído de 6, continue com 2 algarismos. Esse número é o 18-6=12 Então o menor número para ser somado é o 12. Tirando a prova:12345+12=12357 1+2+3+5+7=18:9=2 2) Sabemos que se a um número é divisível por n, somarmos n ou qualquer um dos seus múltiplos, o número resultante continuará sendo divisível por n. Como 315 também é divisível por 5 e por 9, tal soma não afetará em nada a divisibilidade por tais números. 3)

Alternativa D

O divisor equivale a 15 e o quociente a 11 e o resto o maior possível, ou seja, 14. Portanto, 11.15+14=179 4) Um número que ao mesmo tempo divisível por 5 e por 9, é divisível também por 45. O número 61577 seria divisível por 45 se o resto da divisão fosse igual a zero, como não é, o que precisamos fazer então é subtrair de 61577 este resto, para que ele se torne um número divisível por 45. 61577 dividido por 45 é igual a 1368, com um resto de 17. Logo: Devemos subtrair 17 de 61577 para que a diferença seja divisível ao mesmo tempo por 5 e por 9. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 5) 25013 dividido por 21, o produto de 3 por 7, é igual a 1191, com um resto de 2. Se subtrairmos 2 de 25013, o resultado será um número divisível por 21, mas o enunciado diz que devemos adicionar e não subtrair, então devemos acrescentar 19, que é o resultado de 21 – 2, para obtermos o próximo número após 25013, que assim como ele também será divisível por 21. Assim sendo: Devemos adicionar 19 a 25013 para que a soma seja divisível ao mesmo tempo por 3 e por 7.

3. M.D.C. E M.M.C

Máximo Divisor Comum O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números. Para calcular o m.d.c de dois ou mais números, devemos seguir as etapas: • Decompor o número em fatores primos • Tomar o fatores comuns com o menor expoente • Multiplicar os fatores entre si. Exemplo:

O fator comum é o 3 e o 1 é o menor expoente. m.d.c (15,24) = 3

15 = 3 × 5 24 = 2³ × 3

Mínimo Múltiplo Comum

O mínimo múltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais números é o menor número, diferente de zero. Para calcular devemos seguir as etapas: • Decompor os números em fatores primos • Tomar os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente • Multiplicar os fatores entre si Exemplo: Assim, o mmc

Exercícios

1) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.  2) (PM AC 2012 - Funcab) Sendo D o Maior Divisor Comum entre os números 525 e 1120, e M o Mínimo Múltiplo Comum entre eles, determine o valor de M - 250.D. A) 8050 B) 8750 C) 16000 D) 16835 E) 16765  Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 3) (Funcab -2012).  Determine o MDC (Maior Divisor Comum) e o MMC (Mínimo Múltiplo Comum), nesta ordem, dos números 60, 70 e 240. A) 10 e 210 B) 30 e 210 C) 10 e 1680 D) 15 e 1680 E) 30 e 5040    4) (PUC–SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia.  5) Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O cometa A visita a terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 2006, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente?  Respostas 1) Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.

Decomposição em fatores primos: Equipes O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma. 

48 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 36 = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 3 30 = 2 ∗ 3 ∗ 5 𝑀𝐷𝐶 (30, 36, 48) = 2 ∗ 3 = 6

Determinando o número total de equipes:

48 + 36 + 30 = 114 → 114: 6 = 19 Equipes O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma. 2) Alternativa A

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Daí, 16800 – 250.35 = 16800 – 8750 = 8050 3)   alternativa C

4) Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6. 

MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12  Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.  5)

2006+96=2102 Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 4. NÚMEROS FRACIONÁRIOS E OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

As frações pertencem ao conjunto dos números racionais e o uso delas está presente em diversas situações matemáticas.  Frações Equivalentes Para encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da fração ½ por um mesmo número natural diferente de zero. Assim: ½, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a 1/2 Simplificando Frações Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele comeu? Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que Cláudio comeu 2/4 da pizza. A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja: 4/8 : 2/2 = 2/4 Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8. A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter ½ Tipos de Frações a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o denominador. Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8 b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador Exemplo: 3/2, 5/5 c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do denominador Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7 Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 0,9 = 9

10

5,7 =

57 10

0,76 = 76

100

3,48 = 348 100

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Operações com frações Adição e Subtração A adição ou subtração de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma ou a diferença de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.

1 2 5 4 − + = 3 3 3 3

Vejamos agora este outro exemplo:

2 1 1 + − 3 2 6

Nesse caso, devemos achar o MMC. O MMC(2,3,6)=6, então:

4+3−1 6 = =1 6 6

Multiplicação

basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores.

1 3 3 ∙ = 2 4 8

Divisão

A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações.

2 4 : 3 5

Para realizar essa divisão, basta inverter:

2 5 10 5 ∙ = = 3 4 12 6 Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Exercícios 1) Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três quartos. Sabe-se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste reservatório? 2) Das figurinhas que eu possuía, 3/7 eu perdi e 2/5 foram dadas ao meu irmão, ficando 72 delas comigo. Quantas figurinhas foram dadas ao meu irmão? 3) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas? 4) Para comprar um certo brinquedo, da quantia necessária João possui um terço e Maria possui um quarto. Dona Lurdes, a mãe deles, prometeu completar com os R$ 125,00 que faltam para eles completarem o valor. Quanto custa tal brinquedo? 5) Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo recebeu, é igual a R$ 75,00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca pé de chumbo cometeu? Respostas 1)

1 3 1 1 − . = 3 4 3 12

20000 = 240000 𝑙 1 12

Temos que dividir por 1/12 porque se multiplicarmos, obtemos o que restava. 2)

3 2 29 + = 7 5 35

1− 72 ∙

29 6 = 35 35

35 = 420 6

420 ∙

2 = 168 5

Foram dadas 168 figurinhas ao meu irmão. 3)

1 1 5 + = 21 24 56

Em uma hora eles conseguem assentar 5/56

1∙

56 = 11,2 5 Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 1 hora-------60 minutos 0,2----------x X=12 minutos Eles assentam juntos em 11 horas e 12 minutos 4)

1−

1 1 5 − = 3 4 12

125 ∙

12 = 300 5

O brinquedo custa R$300,00

5 3 5) 75: : 8 7 8 7 75 ∙ ∙ = 280 5 3

O valor da multa é R$280,00

5. NÚMEROS DECIMAIS E DÍZIMAS PERIÓDICAS Representação Decimal das Frações p

Tomemos um número racional q , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

2 = 0,4 5 1 = 0,25 4

35 = 8,75 4 153 = 3,06 50 2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

1 = 0,333... 3 1 = 0,04545... 22 167 = 2,53030... 66 Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Exemplo 1 Seja a dízima 0, 333... . Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda: 10x – x = 3,333... – 0,333...  9x = 3 a x = 3/9 Assim, a geratriz de 0,333... é a fração

3 9

Exemplo 2 Seja a dízima 5, 1717... . Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... . Subtraindo membro a membro, temos: 99x = 512  x = 512/99 512 Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração

99

Classificando as Dízimas Periódicas em Simples e Compostas A dízima periódica 0,1535353... é composta, pois ela possui um ante período que não se repete, no caso o número 1, e um período formado pelo número 53, que se repete indefinidamente. Se fosse apenas 0,535353... teríamos uma dízima periódica simples, pois ela possui apenas um período, 53, mas não um ante período. Veja abaixo alguns exemplos: Exemplos de Dízimas Periódicas Simples 0,111... período igual a 1 0,252525... período igual a 25 0,010101... período igual a 01 0,123123123... período igual a 123 Exemplos de Dízimas Periódicas Compostas 0,2333... ante período igual a 2 e período igual a 3 0,45222... ante período igual a 45 e período igual a 2 0,171353535... ante período igual a 171 e período igual a 35 0,32101230123... ante período igual a 32 e período igual a 0123 Exercícios 1) A dízima periódica simples 0,024024… pode ser escrita como: a) 24/99         b) 24/999     c) 240/299     d) 24/1000       e) 240/1000

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 2) Resolvendo a expressão

3) Resolva a expressão abaixo, apresentando a resposta na forma mais simples.

4) Tem-se que

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5) Dada a dízima x=0,222..., então o valor da expressão

a)67/103 b)65/103 c)67/105 d)65/104 e)67/104 Respostas 1) Alternativa B X=0,024024... 1000x=24,024024... Subtraindo: 999x=24 X=24/999 2) Alternativa A A dizima 0,333...é igual a: X=0,333... 10x=3,333... 9x=3 X=1/3 0,3=3/10 Portanto

3)

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 4) Alternativa A Y=0,242424... 100x=24,242424... 99x=24 X=24/99

5) Alternativa A X=0,222... 10x=2,222... 9x=2 X=2/9

SISTEMAS DE UNIDADE, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E BASES NÃO DECIMAIS

Sistemas de unidade Para a Física como ciência da Natureza, é fundamental a medição das grandezas utilizadas para descrever os aspectos do Universo que os físicos aceitam como verdadeiros. O processo de medida de uma grandeza física qualquer está associado à ideia de comparação. Neste sentido, medir uma grandeza é estabelecer o seu valor como múltiplo de certa unidade. Por exemplo, quando dizemos que o comprimento de uma das dimensões de uma mesa é 2 m, estamos dizendo que esse comprimento equivale a duas vezes o comprimento correspondente à unidade chamada metro. O nome da unidade é sempre escrito em letras minúsculas. Os símbolos das unidades são entes matemáticos e não abreviaturas. Por isso, eles não devem ser seguidos de ponto (exceto quando aparecem nos finais de frases) nem da letra s para formar o plural. A tabela a seguir mostra as unidades de comprimento.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Unidades de Comprimento km

hm

dam

m

dm

cm

mm

Quilômetro

Hectômetro

Decâmetro

Metro

Decímetro

Centímetro

Milímetro

1000m

100m

10m

1m

0,1m

0,01m

0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: mícron (µ) = 10-6 m

angströn (Å) = 10-10 m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5 · 1012 km Massa A subunidade grama é do gênero masculino. Por isso, ao falar e escrever o quilograma ou seus múltiplos ou submúltiplos, devemos fazer a concordância correta. Por exemplo, escrevemos duzentos e um gramas ou trezentos e vinte e dois miligramas. Além disso, no símbolo do quilograma (kg), a letra k é minúscula. Unidades de Massa kg quilograma

hg hectograma

1000m

dag

g

decagrama

100m

dg

grama

10m

decigrama

1m

0,1m

cg

mg

centigrama

miligrama

0,01m

0,001m

Superfície A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).  Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma unidade até a desejada.  Unidades de Área km

hm

2

2

dam

m2

2

dm2

cm2

mm2

Quilômetro Quadrado

Hectômetro Quadrado

Decâmetro Quadrado

Metro Quadrado

Decímetro Quadrado

Centímetro Quadrado

Milímetro Quadrado

1000000m2

10000m2

100m2

1m2

0,01m2

0,0001m2

0,000001m2

Volume Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem volume. Podemos encontrar sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre outras, mas todos irão possuir volume e capacidade. Unidades de Volume km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Quilômetro Cúbico

Hectômetro Cúbico

Decâmetro Cúbico

Metro Cúbico

Decímetro Cúbico

Centímetro Cúbico

Milímetro Cúbico

1000000000m3

1000000m3

1000m3

1m3

0,001m3

0,000001m3

0,000000001m3

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Capacidade Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e seus múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de produtos líquidos.  Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³ 1L=1dm³ Unidades de Capacidade kl

hl

Quilolitro

Hectolitro

1000l

100l

dal Decalitro 10l

l

dl

cl

ml

Litro

Decilitro

Centilitro

Mililitro

1l

0,1l

0,01l

0,001l

Notação Científica A notação científica é uma outra forma de escrevermos números reais recorrendo a potências de 10. Mantissa e Ordem de Grandeza Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato: Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior que 1 e menor que10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um número inteiro. Exemplos de Números Escritos em Notação Científica Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro. A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste número. Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições deslocadas. Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de posições deslocadas, será portanto negativa. Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica:

2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 0 e para baixo se a 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são 

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. Veja os gráficos:

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Imagem O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c,  a 

0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

1ª - quando a > 0,

a>0

2ª quando a < 0,

 

a0 pois a concavidade está para cima. c=-9 - onde corta o eixo y o eixo x é cortado em -3/2 e 3 portanto:0=a(-3/2)²+b(-3/2)-9 0=9a+3b-9

Multiplicando a primeira equação por- 4:

Somando as duas equações 9b+27=0 b=-3 a=2 y=2x²-3x-9 5)Alternativa B

Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2:

Somando:

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO NOÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Probabilidade Considere os seguintes experimentos: -Lançamento de um dado -Lançamento de uma moeda Mesmo se esses experimentos forem repetidos várias vezes, nas mesmas condições, não poderemos prever o resultado. Um experimento cujo resultado, embora único, é imprevisível, é denominado experimento aleatório. A Teoria da Probabilidade surgiu para tentar medir a chance de ocorrer um determinado resultado num experimento aleatório. Espaço Amostral O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral, que vamos indicar por E. -lançamento de um dado: E={1, 2, 3, 4, 5, 6} -lançamento de uma moeda:E={cara, coroa} Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado evento. Probabilidade em Espaços Amostrais Finitos Probabilidade de um evento A representa a chance de ocorrer um evento A. O valor p(A) é igual ao número de elementos de A, dividido pelo número de elementos do espaço amostral E.

Adição de probabilidades Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:

Exemplo No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face superior? Solução E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6 Sejam os eventos A={2,4,6} n(A)=3 B={1,2,3,4} n(B)=4 Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

Probabilidade Condicional É a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B, definido por:

Do exemplo anterior: E={1,2,3,4,5,6}, n(E)=6 B={2,4,6} n(B)=3 A={2}

Exemplo Calcule a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um número maior que 4. Solução E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento:A={5, 6}

Estatística Descritiva A estatística descritiva é a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir os dados. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes revigorou está área da estatística. Frequências A primeira fase de um estudo estatístico consiste em recolher, contar e classificar os dados pesquisados sobre uma população estatística ou sobre uma amostra dessa população. Frequência Absoluta É o número de vezes que a variável estatística assume um valor. Frequência Relativa É o quociente entre a frequência absoluta e o número de elementos da amostra. Na tabela a seguir, temos exemplo dos dois tipos:

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

Medidas de Tendência Central Média aritmética Média aritmética de um conjunto de números é o valor que se obtém dividindo a soma dos elementos pelo número de elementos do conjunto. Representemos a média aritmética por . A média pode ser calculada apenas se a variável envolvida na pesquisa for quantitativa. Não faz sentido calcular a média aritmética para variáveis quantitativas. Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre diferentes grupos, se for possível calcular a média, ficará mais fácil estabelecer uma comparação entre esses grupos e perceber tendências. Considerando uma equipe de basquete, a soma das alturas dos jogadores é:

Se dividirmos esse valor pelo número total de jogadores, obteremos a média aritmética das alturas:

A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m. Média Ponderada A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada.

Exemplo O peso médio (média aritmética dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginástica é igual a 75 kg. O peso médio dos homens é 90 kg e o das mulheres é 65 kg. a) Quantos homens frequentam a academia? b) Se não são considerados os 10 alunos mais pesados, o peso médio cai de 75 kg para 72 kg. Qual é o peso médio desses 10 alunos?

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Solução a) x=número de homens 100-x=número de mulheres

Portanto, 40 homens frequentam a academia b) A=soma dos pesos dos 10 alunos mais pesados

A=1020 O peso médio é:

Mediana (Md) Sejam os valores escritos em rol:

1. Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo tal que o número de termos da sequência que precedem é igual ao número de termos que o sucedem, isto é, é termo médio da sequência ( ) em rol. 2. Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela média aritmética entre os termos e , tais que o número de termos que precedem é igual ao número de termos que sucedem , isto é, a mediana é a média aritmética entre os termos centrais da sequência ( ) em rol. Exemplo 1: Determinar a mediana do conjunto de dados: {12, 3, 7, 10, 21, 18, 23} Solução: Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio desse rol. Logo: Md=12 Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Resposta: Md=12. Exemplo 2: Determinar a mediana do conjunto de dados: {10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}. Solução: Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmética entre os dois termos centrais do rol. Logo: Resposta:

Moda (Mo) Num conjunto de números:

, chama-se moda aquele valor que ocorre com maior frequência.

Observação: A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única. Exemplo 1: O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8, isto é, Mo=8. Exemplo 2: O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda. Exemplo 3: O conjunto de dados 1, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8 possui duas modas, 5 e 8, e é chamada bimodal. Medidas de dispersão Duas distribuições de frequência com medidas de tendência central semelhantes podem apresentar características diversas. Necessita-se de outros índices numéricas que informem sobre o grau de dispersão ou variação dos dados em torno da média ou de qualquer outro valor de concentração. Esses índices são chamados medidas de dispersão. Variância Há um índice que mede a “dispersão” dos elementos de um conjunto de números em relação à sua média aritmética, e que é chamado de variância. Esse índice é assim definido: Seja o conjunto de números , tal que é sua média aritmética. Chama-se variância desse conjunto, e indica-se por , o número:

Isto é:

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Exemplo 1: Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresentou o seguinte desempenho, descrito na tabela abaixo: Jogo

Número de pontos

1

22

2

18

3

13

4

24

5

26

6

20

7

19

8

18

a) Qual a média de pontos por jogo? b) Qual a variância do conjunto de pontos? Solução: a) A média de pontos por jogo é:

b) A variância é:

Desvio padrão Definição Seja o conjunto de números , tal que é sua média aritmética. Chama-se desvio padrão desse conjunto, e indica-se por , o número:

Isto é:

Exemplo: As estaturas dos jogadores de uma equipe de basquetebol são: 2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. Calcular: a) A estatura média desses jogadores. b) O desvio padrão desse conjunto de estaturas.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Solução: a) Sendo a estatura média, temos:

b) Sendo o desvio padrão, tem-se:

Exercícios 1) No lançamento de um dado, determinar a probabiliade de se obter: a)o número 2 b)um número par c) um número múltiplo de 3 2) Calcule a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 verdes. 3) Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates.  Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0  Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0  Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0  Sabendo que a média é 5 para todos, calcule a variância e o desvio padrão. 4) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então A) X = Y < Z. B) Z < X = Y. C) Y < Z < X. D) Z < X < Y. E) Z < Y < X. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 5) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? Respostas 1) a) E={1, 2, 3, 4, 5, 6} A={2}, n(A)=1

b) B={2, 4, 6} n(B)=3

c) C={3,6} n(C)=2

2) n(E)=10 n(A)=2

3) Competidor A

Competidor B

Competidor C

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Desvio Padrão É calculado extraindo a raiz quadrada da variância. Competidor A

Competidor B

Competidor C

4) Alternativa E 0,0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5,5,7   A moda é dada por zero, pois é o termo que mais aparece. Já a mediana devemos observar a quantidade de termos, que neste caso é 20 e quando a quantidade é par devemos pegar os termos que estão no meio e tirar a sua média aritmética, o décimo e o décimo primeiro termo. Temos 10° termo => 2 e 11° termo => 2, logo a média entre eles é dada por  (2+2)/2 = 2. E por último a questão nos pediu a média, que neste caso é a média ponderada. Então: Média = (0.5 + 1.3 + 2.4 + 3.3 + 4.2 + 5.2 + 7.1) /  5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 Média = 45 / 20 Média = 2,25 No enunciado ele nomeou cada um dos elementos sendo a moda dada por Z, a mediana dada por Y e a média dada por X e assim: X = 2,25 Y=2 Z=0 Logo,  Z < Y < X. 5) Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8. Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. Então: A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO NOÇÕES DE LÓGICA

Lógica A lógica está de tal modo incrustada na matemática que às vezes ambas se fundem numa só estrutura. Proposição É toda expressão que encerra um pensamento de sentido completo e pode ser classificada como V(verdadeira) ou F(Falsa). As proposições são indicadas por letras minúsculas: p, q, r,.. Os símbolos V e F são chamados de valores lógicos. A negação de uma proposição é dada por : ~p(lê-se não p).

Conectivo É uma expressão que une duas proposições dando origem a uma outra proposição. a) e(∧)

A proposição p∧q só será verdadeira se ambas forem. b) ou (∨)

Precisa apenas que uma das duas seja verdadeira. c) se..,, então (→)

d) se, e somente se(↔)

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Exercícios 1) Qual é a negação da proposição “nenhum homem é imortal”? a) existem homens imortais. b) existem homens mortais. c) nenhuma mulher é imortal. d) todo homem é mortal. e) todo homem é imortal. 2) Na tabela abaixo, p e q são proposições p

q

?

V

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) p∧q b) p→q c) ~(p→q) d) p↔q e) ~(p∨q) 3) Considere as seguintes premissas: “Se todos os homens são sábios, então não há justiça para todos.” “Se não há justiça para todos, então todos os homens são sábios.” Para que se tenha um argumento válido, é correto concluir que: (A) Todos os homens são sábios se, e somente se, há justiça para todos. (B) Todos os homens são sábios se, e somente se, não há justiça para todos. (C) Todos os homens são sábios e há justiça para todos. (D) Todos os homens são sábios e não há justiça para todos. (E) Todos os homens são sábios se há justiça para todos. 4)Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo: a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b) Todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c) Todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d) Todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e) Alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa 5) A negação de “Todos os filhos de Maria gostam de quiabo” é (A) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo. (B) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (C) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de quiabo. (D) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (E) alguns filhos de Maria não gostam de quiabo.   Respostas 1) Alternativa A 2) Alternativa C 3) Alternativa B 4) Alternativa C 5) Alternativa D Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICA FINANCEIRA

Matemática Financeira A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença damos o nome de juros. Juros Simples Chama-se juros simples a compensação em dinheiro pelo empréstimo de um capital financeiro, a uma taxa combinada, por um prazo determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial. Em Juros Simples a remuneração pelo capital inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação. A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte: J = C i n, onde: J = juros C = capital inicial i = taxa de juros n = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...) Observação importante: a taxa de juros e o tempo de aplicação devem ser referentes a um mesmo período. Ou seja, os dois devem estar em meses, bimestres, trimestres, semestres, anos... O que não pode ocorrer é um estar em meses e outro em anos, ou qualquer outra combinação de períodos. Dica: Essa fórmula J = C i n, lembra as letras das palavras “JUROS SIMPLES” e facilita a sua memorização. Outro ponto importante é saber que essa fórmula pode ser trabalhada de várias maneiras para se obter cada um de seus valores, ou seja, se você souber três valores, poderá conseguir o quarto, ou seja, como exemplo se você souber o Juros (J), o Capital Inicial (C) e a Taxa (i), poderá obter o Tempo de aplicação (n). E isso vale para qualquer combinação. Montante O Montante é a soma do Juros mais o Capital Inicial. Essa fórmula também será amplamente utilizada para resolver questões. M=C+J M = montante C = capital inicial J = juros M=C+C.i.n M=C(1+i.n) Exemplo Maria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 à vista. Como não tinha essa quantia no momento e não queria perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 45,00, uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operação era de: (A) 5,0% (B) 5,9% (C) 7,5% (D) 10,0% (E) 12,5% Resposta Letra “e”. O juros incidiu somente sobre a segunda parcela, pois a primeira foi à vista. Sendo assim, o valor devido seria R$40 (85-45) e a parcela a ser paga de R$45. Aplicando a fórmula M = C + J: 45 = 40 + J J=5 Aplicando a outra fórmula J = C i n: 5 = 40 X i X 1 i = 0,125 = 12,5%

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Exercícios

1) (FUNDATEC-Ag.administrativo-2013) Uma empresa foi multada por jogar resíduos tóxicos em um rio, cujo valor da multa foi de R$45.000,00 mais R$1.500,00 por dia até que a empresa se ajustasse às normas que regulamentam os índices de poluição. Sabendo que a empresa pagou R$79.500,00 de multa, o número de dias que levou para se ajustar às normas exigidas foi de A) 10. B) 15. C) 23. D) 30. E) 35. 2) (FUNDATEC-Ag.administrativo-2013) Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago no prazo de 5 meses, com juros simples de 2,5% a.m. (ao mês). Nesse sentido, o valor da dívida na data do seu vencimento será: A) R$6.250,00. B) R$16.250,00. C) R$42.650,00. D) R$56.250,00. E) R$62.250,00. 3) (FAPEC-2013)Para que um capital dobre no sistema de juros simples, à taxa de 4% ao mês, será necessário quantos meses? a) 25 meses b) 50 meses c) 15 meses d) 20 meses

4) Qual é o montante de um capital de R$1000,00 aplicado à taxa de 10% ao ano pelo prazo de 2 anos? 5) Luana aplicou R$12000,00 a juro composto de 6% ao bimestre. Que quantia terá após 12 meses de aplicação? Respostas 1) Alternativa C M=C+J 79500=45000+J J=34500

2) Alternativa D J=Cin J=50000.0,025.5=6250 M=C+J M=50000+6250=R$56250,00 3) Alternativa A M=C+J 2C=C+J J=C C=C.0,04.n Didatismo e Conhecimento

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4) M=C(1+in) M=1000(1+0,10.2) M=1200 O montante é de R$1200,00 5)

M=17022,23 t=6 por ter 6 bimestres em 12 meses

APLICAÇÕES E OPERAÇÕES COM INEQUAÇÕES

Inequação Uma inequação é uma sentença matemática expressa por uma ou mais incógnitas, que ao contrário da equação que utiliza um sinal de igualdade, apresenta sinais de desigualdade. Veja os sinais de desigualdade: >: maior  2x – 2 4x – 2x > – 2 – 12 2x > – 14 x > –14/2 x>–7 Inequação-Produto Quando se trata de inequações-produto, teremos uma desigualdade que envolve o produto de duas ou mais funções. Portanto, surge a necessidade de realizar o estudo da desigualdade em cada função e obter a resposta final realizando a intersecção do conjunto resposta das funções.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Exemplo a)(-x+2)(2x-3) 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1. - Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. - Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria. - Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Termo Geral da PG Pelo exemplo anterior, podemos perceber que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade.

Portanto, o termo geral é:

Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Finita Seja a PG finita de razão q e de soma dos termos Sn: 1º Caso: q=1

2º Caso: q≠1

Exemplo Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27,..) calcular: a) A soma dos 6 primeiros termos b) O valor de n para que a soma dos n primeiros termos seja 29524 Solução a)

b)

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Soma dos Termos de uma Progressão Geométrica Infinita 1º Caso:-1 12 Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P. Exemplos: (4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita. (5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. (6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5. (7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a. As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...). As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r. Exemplos São proposições simples: p: A lua é um satélite da terra. q: O número 2 é primo. r: O número 2 é par. s: Roma é a capital da França. t: O Brasil fica na América do Sul. u: 2 + 5 = 3 . 4 São proposições compostas: P(q, r): O número 2 é primo ou é par. Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul. R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. Não são proposições lógicas: - Roma - O cão do menino - 7+1 - As pessoas estudam - Quem é? - Que pena! Tabela Verdade Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p, é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F). Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO p V F

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. Proposição Composta - 02 proposições simples Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são: p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F. Proposição Composta - 03 proposições simples No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são: p

q

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F. Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F. Exemplos p: o sol é verde; q: um hexágono tem nove diagonais; r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0 V(p) = F V(q) = V V(r) = F Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Questões 01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: a) P ˅ ~q b) p → q c) ~p ^ ~q d) p ↔ ~q e) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p) 02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Aterra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol. (Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”) 03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine: a) a contrapositiva b) a recíproca 04. a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine V (p → r ^ s). b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine V (p), V (q), V (r). c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). 05. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas: a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0 b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0 06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas: a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um girassol. b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões: I- Alguns baianos são louros. II- Alguns professores são baianos. III- Alguns louros são professores. IV- Existem professores louros. 07. (CESPE - PF - Regional) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir. a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ̚ P) ˅ ( ̚ Q) também é verdadeira. b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ ( ̚ T) é falsa. c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira. 08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes. a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais. b) As proposições (P v Q) → S e (P → S) v (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 09. (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo. I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. P

Fumar deve ser proibido.

Q

Fumar de ser encorajado.

R

Fumar não faz bem à saúde.

T

Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T). b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R). c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P. e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)). 10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”. O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e) A loura é Elza e vai à Alemanha. Respostas: 01. a) “Está frio ou não está chovendo”. b) “Se está frio então está chovendo”. c) “Não está frio e não está chovendo”. d) “Está frio se e somente se não está chovendo”. e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”. 02. a) ~(p ˅ q); b) p → q c) ~(p ˅ ~q) d) ~p ^ ~q e) q ↔ ~p

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 03. a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”. b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”. 04. a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2), determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = F b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p) = V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = V c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V. 05. a) R – {2} b) [-2,2[ 06. a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:

b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:

07. a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos: (¬ P) v (¬ Q) (¬ V) v (¬ V) (F) v (F) Falsa b) Item ERRADO. A condicional regra que: R → (¬ T) F (¬ V) F (F) Verdadeira c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional: (P ^ R) → (¬ Q) (V ^ F) → (¬ V) F F Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Verdadeira 08. a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabela-verdade onde P e Q são ambas proposições verdadeiras para verificar que as tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais: P

Q

¬P

PvQ

Q → ¬P

V

V

F

V

F

b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, temos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S): P

Q

S

(P v Q) → S

P→SvQ→S

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

09. a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T. b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre ficarmos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra. c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P. d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P. d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T. 10. Resposta “E”. A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema: a) São três amigas b) Uma é loura, outra morena e outra ruiva. c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara. d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha. e) Elas deram as seguintes informações: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”. Faça uma tabela: Cor dos cabelos

Loura

Morena

Ruiva

Afirmação

Não vou à França nem a Espanha

Meu nome não é Elza nem Sara

Nem eu nem Elza vamos à França

País

Alemanha

França

Espanha

Nome

Elza

Bete

Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha. Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete. Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Tabela Verdade A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples. A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das proposições. Proposição Composta do Tipo P(p, q)

p

q

P(p, q)

V

V

?

V

F

?

F

V

?

F

F

?

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r)

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO p

q

r

P(p, q, r)

V

V

V

?

V

V

F

?

V

F

V

?

V

F

F

?

F

V

V

?

F

V

F

?

F

F

V

?

F

F

F

?

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r, s): a tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores. Proposição Composta do Tipo P(p1, p2, p3,…, pn): a tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores. O Conectivo “não” e a negação O conectivo “não” e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade: p

~p

V

F

F

V

p

~p

V

F

q

~q

F

V

Exemplo: a) p = 7 é ímpar. ~p = 7 não é ímpar.

b) q = 24 é múltiplo de 5. ~q = 24 não é múltiplo de 5.

Observação: A negação de “Roma é a capital da Itália” é “Roma não é a capital da Itália” ou “Não é verdade que Roma é a capital da Itália”. Note que: - A negação de “Todos os brasileiros são carecas” é “Nem todos os brasileiros são carecas” ou “Pelo menos um brasileiro não é careca”. - A negação de “Nenhum homem é careca” é “Algum homem é careca” ou “Pelo menos um homem é careca”. Número de linhas da Tabela Verdade Seja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q e R. O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar, segundo o princípio de bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P V F

Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim: P

Q

V

V

V

F

F

V

F

F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim: P

Q

R

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração. Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ⌐P, Q∨R, ou (Q∧R) → (P↔Q)? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade. Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em: - Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q) → R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) → R, P˄Q, P, Q, R]. - “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos. O número de linhas é L = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F). Então, para a fórmula ⌐(P˄Q) → R, temos:

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P

Q

R

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

P˄Q

(P˄Q) → R

⌐(P˄Q) → R

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los. O Conectivo e “e” a conjunção O conectivo “e” e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem verdadeiras, e F em outros casos. O símbolo p ∧ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade: p

q

p∧ q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Exemplo: a) p = 2 é par. q = o céu é rosa. p ∧ q = 2 é par e o céu é rosa.

b) p = 9 < 6. q = 3 é par. p ∧ q: 9 < 6 e 3 é par.

p

q

p∧ q

V

F

F

p

q

p∧ q

F

F

F

p

q

p∧ q

V

V

V

c) p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil. p ∧ q = O número 17 é primo e Brasília é a capital do Brasil.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO O Conectivo “ou” e a disjunção O conectivo “ou” e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p v q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela-verdade: p

q

p∨ q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

p

q

p∨ q

V

F

V

p

q

p∨ q

F

F

F

Exemplo: a) p = 2 é par. q = o céu é rosa. p ν q = 2 é par ou o céu é rosa.

b) p = 9 < 6. q = 3 é par. p ν q: = 9 < 6 ou 3 é par.

c) p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil. p ν q = O número 17 é primo ou Brasília é a capital do Brasil. p

q

p∨ q

V

V

V

p

q

p∨ q

F

V

V

d) p = O número 9 é par. q = O dobro de 50 é 100. p ν q: O número 9 é par ou o dobro de 50 é 100.

O Conectivo “se… então…” e a condicional A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO p

q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

p

q

p→q

V

V

V

p

q

p→q

F

V

V

p

q

p→q

V

F

F

Exemplo: a) p: 7 + 2 = 9. q: 9 – 7 = 2. p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2.

b) p = 7 + 5 < 4. q = 2 é um número primo. p → q: Se 7 + 5 < 4 então 2 é um número primo.

c) p = 24 é múltiplo de 3. q = 3 é par. p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.

d) p = 25 é múltiplo de 2. q = 12 < 3. p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3. O Conectivo “se e somente se” e a bicondicional

A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos. O símbolo p ↔ q representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade: p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Exemplo: a) p = 24 é múltiplo de 3. q = 6 é ímpar. p ↔ q = 24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar. Didatismo e Conhecimento

117

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO p

q

p↔q

V

F

F

b) p = 25 é quadrado perfeito. q = 8 > 3. p ↔ q = 25 é quadrado perfeito se, e somente se, 8 > 3. p

q

p↔q

V

V

V

p

q

p↔q

F

F

V

c) p = 27 é par. q = 6 é primo. p ↔ q = 27 é par se, e somente se, 6 é primo.

Tabela-Verdade de uma Proposição Composta Exemplo: veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q), onde p e q são duas proposições simples quaisquer. Resolução: uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo: p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

p∨q

~p

(p ∨ q) → (~p)

p∧q

((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)

Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P. a) Valores lógicos de p ν q p

q

V

V

p∨q

~p

(p ∨ q) → (~p)

(p ∨ q) → (~p) p ∧ q

V

V

F

F

V

V V

F

F

F

p∧q

((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)

b) Valores lógicos de ~p p

q

p∨q

~p

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

Didatismo e Conhecimento

118

((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO c) Valores lógicos de (p ν q) → (~p) p

q

~p

(p ∨ q) → (~p)

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

V

V

p∨q

~p

(p ∨ q) → (~p)

p∨q

p∧q

((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)

p∧q

((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)

d) Valores lógicos de p ∧ q p

q

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

e) Valores lógicos de P(p, q) = ((p ν q) → (~p)) → (p ∧ q) p

q

~p

(p ∨ q) → (~p)

V

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

V

F

F

p∨q

p∧q

((p ∨ q) → (~p)) → (p ∧ q)

QUESTÕES 01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: (A) p v ~q (B) p → q c) ~p ∧ ~q (C) p ↔ ~q e) (p v ~q) ↔ (q ∧ ~p) 02. Considere as proposições p: A Terra é um planeta e q: A Terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: (A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. (B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. (C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. (D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. (E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol. (Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)

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119

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 03. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível. (A) É falso que não está frio ou que está chovendo. (B) Se as ações caem aumenta o desemprego. (C) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis. (D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica. (E) Jorge estuda física mas não estuda química. (Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”) 04. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ímpar”, determine: (A) a contrapositiva (B) a recíproca 05. (A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine V(p → r Λs). (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine V(p), V(q) e V(r). (C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r). 06. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique as seguintes proposições: (A) (p v q) Λ ~p (B) p Λ (p → q) Λ (p →~q) (C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q (D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q)) (E) ~p → (p v ~(p v ~q)) 07. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificá-las e fazer novos esquemas. (A)

(B)

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120

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 08. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade: (A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r (B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p ∧ s) (C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r (D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessária e suficiente para inflação cair é que os impostos sejam aumentados. Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir. Se a inflação cair, os impostos não serão aumentados. Portanto, os impostos não serão aumentados. 09. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas: (A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0 (B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0 10. Dê a negação das seguintes proposições: (A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever. (B) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente. (C) Para todo número primo, a condição suficiente para ser par é ser igual a 2. Respostas 01. (A) “Não está frio e não está chovendo”. (B) “Está frio se e somente se não está chovendo”. (C) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”. 02. (A) ~(p v q) (B) p → q (C) ~(p v ~q) (D) ~p ∧ ~q (E) q ↔ ~p 03. (A) “Não está frio ou está chovendo”. (B) “As ações caem e não aumenta o desemprego”. (C) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem olhos azuis e não tem cabeloslouros”. (D) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático então sabe lógica” cuja negação é “É um bom matemático e não sabe lógica”. (E) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”. 04. (A) contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par então p não é primo”. (B) recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar então p é primo”. 05. (A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F(1) e V(~r Λ ~s) = V (2), determine V(p → r Λ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V(s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V(p) = V(q) = V, logo, V(p → r Λ s) = F (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V (1) e V(p v r → q) = F (2), determine V(p), V(q) e V(r). Solução: De (1) concluimos que V(p) = V e V(q v r) = V e de (2) temos que V(q) = F, logo V (r) = V. (C) Supondo V(p → q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r). Solução: Vamos supor V(p Λ r →q Λ r) = F. Temos assim que V(p Λ r) = V e V(q Λ r) = F, o que nos permite concluir que V(p) = V(r) = V e V(q) = F, o que contradiz V(p → q) = V. Logo, V(p v r → q v r) = V. Analogamente, mostramos que V(p v r → q v r) = V.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 06. (A) (p∨q) ∧ ~p ↔ (p∧~p) ∨ (q∧~p) ↔ F ∨ (q∧~p) ↔ (q∧~p) (B) p ∧ (p→q) ∧ (p→~p) ↔ p ∧ (~p∨q) ∧ (~p∨~q) ↔ p ∧ ((~p ∨ (q∧~q)) ↔ p ∧ (~p ∨ F) ↔ p ∧ ~p ↔ F (C) p ∧ (p∨q) → (p ∨q) ∧ q ↔ p→q (D) ~(p→q) ∧ ((~p∧q)) ↔ (p∧~q) ∧ ((~p∧q) ∨ (~p∧~q)) (p∧~q) ∧ ((~p ∧ (q∨~q)) ↔ (p∧~q) ∧ (~p∧V) ↔ (p∧~q) ∧ ~p (p∧~p) ∧ ~q ↔ F ∧ ~q ↔ F (E) ~p → (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ p ∨ (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ (p ∨ (~p∧q)) ↔ (p∨~p) ∧ (p∨q) ↔ V ∧ (p∨q) ↔ p∨q 07. (A) (p∧q) ∨ ((p∧q) ∨ q) ∧ p ↔ ((p∧q) ∧ p ↔ q∧p (B) ((p∨q) ∧ r)) ∨ ((q∧r) ∨ q)) ↔ ((p∨q) ∧ r) ∨ q ↔ (p∨q∨q) ∧ (r∨q) ↔ (p∨q) ∧ (r∨q) ↔ q ∨ (p∧r) 08. (A) Válido (B) Válido (C) Sofisma. Considerando V(p) = V(q) = V( r ) = F e V(s) = V, todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. (D) Considere p: O déficit público não diminui; q: A inflação cai; r: Os impostos são aumentados. Analise o argumento: p → (q↔r), r →p, q →~r ╞ ~r (Válido) 09. (A) R- {2} (B) [-2, 2[ 10. (A) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”. (B) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que é inteligente e não é sábia”. (C) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é par”. Equivalências Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se p ╞ q e q ╞ p. Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo “conteúdo lógico”. Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação. A notação normalmente usada para representar a equivalência lógica entre p e q é p ≡ q, p ⇔ q ou p q. Exemplo: As seguintes sentenças são logicamente equivalentes: 1- Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana. 2- Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Em símbolos: d: “Hoje é sábado”. (d → f) f: “Hoje é fim de semana”. (f → d) Sintaticamente, (1) e (2) são equivalentes pela Lei da Contraposição. Semânticamente, (1) e (2) têm os mesmos valores nas mesmas interpretações. Há equivalência entre as proposições p e q somente quando a bicondicional p ↔ q for uma tautologia ou quando p e q tiverem a mesma tabela-verdade. p ⇔ q (p é equivalente a q) é o símbolo que representa a equivalência lógica. Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔

O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições p e q, que tem como resultado uma nova proposição p ↔ q com valor lógico V ou F. O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade p ↔ q, ou ainda que o valor lógico de p ↔ q é sempre V, ou então p ↔ q é uma tautologia. Exemplo: A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será: p

q

~q

~p

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

p→q

~q → ~p

(p → q) ↔ (~q → ~p)

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

V

Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia. Veja a representação: (p → q) ⇔ (~q → ~p) Equivalências Notáveis

Nome

Propriedade

Dual

Dupla Negação (DN)

~~p ↔ p

Idempotente (IP)

pVp↔p

Comutativa (COM)

pVq↔qVp

Associativa (ASS)

p V (q V r) ↔ (p V q) V r

p∧q↔q∧p

De Morgan (DM)

~(p V q) ↔ ~p ∧ ~q

~(p ∧ q) ↔ ~p V ~q

Distributiva (DIS)

p∧p↔p

Absorção (ABS)

p ∧ (q V r) ↔ (p ∧ q) V (p ∧ r)

Reescrita da Condicional (COND)

p → q ↔ ~p V q

Reescrita da Bicondicional (BI)

p ∧ (p V q) ↔ p

Elemento Neutro (EN)

p ↔ q ↔ (p → q) ∧ (q → p)

Elemento Absorvedor (EA)

pVV↔V

Complementares (COMPLE)

p V ~p ↔ V

pVF↔p

F = contradição

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123

p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r p V (q ∧ r) ↔ (p V q) ∧ (p V r) p V (p ∧ q) ↔ p p∧V↔p

p∧F↔F V = tautologia

p ∧ ~p ↔ F

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO As proposições p e q são chamadas de logicamente equivalentes (≡) se p ↔ q é uma tautologia. Exemplos: Mostraremos que (p V q) e p ∧ q são logicamente equivalentes. Uma das leis de De Morgan. Solução: (p V q) e p ∧ q p

q

(p V q)

(p V q)

p

q

p∧q

(p V q) ↔ p ∧ q

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

F

V

V

V

V

V

Mostraremos que (p → q) e p V q são logicamente equivalentes. Solução:

(p → q) e p V q p

q

p

pVq

p→q

(p → q) ↔ p V q

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

QUESTÕES 01. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis: (A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r) (B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r) (C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) (D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r) (E) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q 02. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas: (A) Exemplo: Regra da simplificação: p ∧ q ⇒ q Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p ∧ q → q é tautológica, ou seja, que a condicional p ∧ q → q ⇔ V Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se: p ∧ q → q ≡ (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional) ~(p ∧ q) ∨ q ≡ (aplicando-se a Lei de Morgan) ~p ∨ ~q ∨ q ≡ (aplicando-se lei complementar, ~q ∨ q é uma tautologia) ~p ∨ V ≡ (pela lei da identidade ~p ∨ V é um tautologia) V Portanto, está provado que p ∧ q ⇒ q é uma tautologia (B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p (D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q (E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 03. Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tautologia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) Respostas 01. (A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r) p→q∧r⇔ ~p ∨ (q ∧ r) ⇔ (reescrita da condicional) (~p ∨ q) ∧ (~p ∨ r) ⇔ (distributiva) (p → q) ∧ (p → r) (reescrita da condicional) (B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r) p→q∨r⇔ ~p ∨ (q ∨ r) ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ q ∨ r ⇔ (associativa) ~p ∨ ~p ∨ q ∨ r ⇔ (idempotente, adicionei um ~p, pois ~p ∨ ~p ⇔ ~p) (~p ∨ q) ∨ (~p ∨ r) ⇔ (associativa) (p → q) ∨ (p → r) (reescrita da condicional) (C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ p ∧ (r ∨ (s ∨ t)) ⇔ (associativa em s ∨ t) (p ∧ r) ∨ (p ∧ (s ∨ t)) ⇔ (distributiva) (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) (distributiva) (D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r) p∧q→r⇔ ~(p ∧ q) ∨ r ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ ~q ∨ r ⇔ (De Morgan) ~p ∨ (~q ∨ r) ⇔ (associativa) ~p ∨ (q → r) ⇔ (reescrita da condicional) p → (q → r) (reescrita da condicional) (E) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q ~(~p → ~q) ⇔ ~(~~p ∨ ~q) ⇔ (reescrita da condicional) ~(p ∨ ~q) ⇔ (dupla negação) ~p ∧ ~~q ⇔ (De Morgan) ~p ∧ q (dupla negação) 02. (B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q p → p ∨ q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) ~p ∨ (p ∨ q) ⇔ (condicional) ~p ∨ p ∨ q ⇔ (associativa) V ∨ q ⇔ (complementares ~p ∨ p) V (identidade) (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p (p ∨ q) ∧ ~q → p ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q) → p ⇔ (distributiva) (p ∧ ~q) ∨ F → p ⇔ (complementares) (p ∧ ~q) → p ⇔ (identidade) ~(p ∧ ~q) ∨ p ⇔ (condicional) ~p ∨ ~q ∨ p ⇔ (De Morgan) (~p ∨ p) ∨ ~q ⇔ (associativa) V ∨ ~q ⇔ (complementares) V (identidade)

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO (D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q (p → q) ∧ p → q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p ∨ q) ∧ q → q ⇔ (condicional) (q ∧ ~p) ∨ (q ∧ q) → q ⇔ (distributiva) (q ∧ ~p) ∨ q → q ⇔ (idempotente) ~((q ∧ ~p) ∨ q) ∨ q ⇔ (condicional) (~(q ∧ ~p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) ((~q ∨ p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~q) ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (distributiva) ~q ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (idempotente) (~q ∨ q) ∨ (~q ∧ p) ⇔ (associativa) V ∨ (~q ∧ p) ⇔ (complementares) V (identidade) (E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p (p → q) ∧ ~q → ~p ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p ∨ q) ∧ ~q → ~p ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~p) ∨ (~q ∧ q) → ~p ⇔ (Distributiva) (~q ∧ ~p) ∨ F → ~p ⇔ (Complementares) (~q ∧ ~p) → ~p ⇔ (Identidade) ~(~q ∧ ~p) ∨ ~p ⇔ (condicional) ~~q ∨ ~~p ∨ ~p ⇔ (De Morgan) q ∨ p ∨ ~p ⇔ (Dupla Negação) q ∨ V ⇔ (complementares) V 03. Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia, de fato: Ordem

Proposição

1

(p → q) → r ⇔

2

⇔(~p ∨ q) → r ⇔

3

⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔

4

⇔ r ∨ ~(~p ∨ q)

5

r ∨ (p ∧ ~q)

Diagramas Lógicos Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica.

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126

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas. b) Dirigem somente carros 33 motoristas. c) Dirigem somente motos 8 motoristas. No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela:

Jornais

Leitores

A

300

B

250

C

200

AeB

70

AeC

65

BeC

105

A, B e C

40

Nenhum

150

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.

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127

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais. Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos. Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos. Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos. Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos. Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos. Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos. Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:

Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verificamos que 500 pessoas não leem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150. Diagrama de Euler Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas (onde uma zona é definida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um diagrama de Euler pode definir um universo de discurso, isto é, ele pode definir um sistema no qual certas intersecções não são possíveis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os atributos para Animal, Mineral e quatro patas teria que conter intersecções onde alguns estão em ambos animal, mineral e de quatro patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.

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128

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que mostra os conjuntos. Os tamanhos e formas das curvas não são importantes: a significância do diagrama está na forma como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subconjunto interseção e disjunção). Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam representam conjuntos que têm elementos comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contido completamente dentro da zona interior de outro representa um subconjunto do mesmo. Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de diagramas de Euler. Um diagrama de Venn deve conter todas as possíveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as combinações de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler algumas zonas podem estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. Existia a necessidade de criar diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, quaisquer relações entre as zonas não apenas as que são “verdadeiras”. Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria dos conjuntos no campo da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem ser utilizados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas as relações válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / analisar silogismos que são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão. Diagramas de Venn Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respetivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem continência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto. Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa, simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em específico é vazia ou não-vazia”. Pode-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções X1 X2 ... Xn, onde cada Xi é o interior ou o exterior de Ci, é não-vazia, em outras palavras, se todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos. Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua intersecção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união. John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh. Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que o conjunto A representa os animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos. Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro): - Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição). - Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição). - Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição). - Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco - fora). Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama:

Diferença de A para B: A\B

Diferença de B para A: B\A

Intersecção de dois conjuntos: AB

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

Complementar de dois conjuntos: U \ (AB) Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

União de dois conjuntos: AB

Diferença Simétrica de dois conjuntos: AB

Complementar de A em U: AC = U \ A

Complementar de B em U: BC = U \ B Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes. Didatismo e Conhecimento

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Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C.

União de três conjuntos: ABC

Intersecção de três conjuntos: ABC

A \ (B C)

(B C) \ A Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Proposições Categóricas - Todo A é B - Nenhum A é B - Algum A é B e - Algum A não é B Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B. Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A. Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B. - Todo A é B = Todo A não é não B. - Algum A é B = Algum A não é não B. - Nenhum A é B = Nenhum A não é não B. - Todo A é não B = Todo A não é B. - Algum A é não B = Algum A não é B. - Nenhum A é não B = Nenhum A não é B. - Nenhum A é B = Todo A é não B. - Todo A é B = Nenhum A é não B. - A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa). - A negação de Algum A é B é Nenhum A não é B (e vice-versa). Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B, pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras. 1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

1

2

B

A

A

Nenhum A é B. É falsa. Algum A é B. É verdadeira. Algum A não é B. É falsa.

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=

B

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

Todo A é B. É falsa. Algum A é B. É falsa. Algum A não é B. É verdadeira. 3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:

1

2 A

B

3

A

B

4

B

A

A

=

B

Nenhum A é B. É falsa. Todo A é B. Pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2). Algum A não é B. Pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4) – é indeterminada. 4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

1

2 A

B

A

B

Todo A é B. É falsa. Nenhum A é B. Pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2 – é indeterminada). Algum A é B. Ou falsa (em 3) ou pode ser verdadeira (em 1 e 2 – é ideterminada).

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUESTÕES 01. Represente por diagrama de Venn-Euler (A) Algum A é B (B) Algum A não é B (C) Todo A é B (D) Nenhum A é B 02. (Especialista em Políticas Públicas Bahia - FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: (A) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. (B) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. (C) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. (D) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. (E) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. 03. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmônica tocam: (A) instrumentos de sopro ou de corda? (B) somente um dos dois tipos de instrumento? (C) instrumentos diferentes dos dois citados? 04. (TTN - ESAF) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que: (A) algum A não é G; (B) algum A é G. (C) nenhum A é G; (D) algum G é A; (E) nenhum G é A; 05. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é: (A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44. 06. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre: - 20 alunos praticam vôlei e basquete. - 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete. - 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. - o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número de alunos que praticam só vôlei. - 17 alunos praticam futebol e vôlei. - 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei. O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: (A) 93 (B) 110 (C) 103 (D) 99 (E) 114 Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 07. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas? (A) 220 (B) 240 (C) 280 (D) 300 (E) 340 08. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C? (A) 1.430 (B) 1.450 (C) 1.500 (D) 1.520 (E) 1.600 09. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O? (A) 50 (B) 52 (C) 59 (D) 63 (E) 65 10. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60% leem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que leem ambos os jornais. (A) 40% (B) 45% (C) 50% (D) 60% (E) 65% Respostas

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 02. Resposta “B”.

instrutivo livro

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa. A opção “B” é perfeitamente correta. Percebam como todos os elementos do diagrama “livro” estão inseridos no diagrama “instrutivo”. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo. 03. Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora. Passo 1: 60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai no meio. Passo 2: a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100 b) 240 tocam instrumento de sopro. 240 - 60 = 180 Vamos ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:

Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam: a) instrumentos de sopro ou de corda? Pelos dados do problema: 100 + 60 + 180 = 340 b) somente um dos dois tipos de instrumento? 100 + 180 = 280 c) instrumentos diferentes dos dois citados? 500 - 340 = 160 04. Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas: - Alguns A são R - Nenhum G é R Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.

Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações. Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as alternativas que foram verdadeiras. Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção entre eles.

Teste das alternativas: Teste da alternativa “A” (algum A não é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G. Passemos para o teste da próxima alternativa. Teste da alternativa “B” (algum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “D” não é correta. Passemos para a próxima. Teste da alternativa “C” (Nenhum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “E” não é correta. Portanto, a resposta é a alternativa “A”. 05. Resposta “E”.

n = 20 + 7 + 8 + 9 n = 44

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 06. Resposta “D”. n(FeB) = 45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV) = 15 n(FeV) = 17 com n(FeBeV) = 15 → n(FeV - B) = 2 n(F) = n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) + n(FeBeV) 60 = n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F) = 13 n(sóF) = n(sóV) = 13 n(B) = n(só B) + n(BeV) + n(BeF-V) → n(só B) = 65 - 20 – 30 = 15 n(nem F nem B nem V) = n(nem F nem V) - n(solo B) = 21- 15 = 6 Total = n(B) + n(só F) + n(só V) + n(Fe V - B) + n(nemF nemB nemV) = 65 + 13 + 13 + 2 + 6 = 99.

07. Resposta “E”.

Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam de ler os dois. Leem somente A: 100 – 20 = 80 Leem somente B: 150 – 20 = 130 Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas. 08. Resposta “D”.

Somente B: 800 – 320 = 480 Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 09. Resposta “C”.

Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21. Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas. 10. Resposta “A”. - Jornal A → 0,8 – x - Jornal B → 0,6 – x - Intersecção → x Então fica: (0,8 - x) + (0,6 - x) + x = 1 - x + 1,4 = 1 - x = - 0,4 x = 0,4. Resposta “40% dos alunos leem ambos os jornais”. Lógica de Primeira Ordem O cálculo proposicional possui limitações com respeito a codificação de sentenças declarativas. De fato, o cálculo proposicional manipula de forma satisfatória componentes das sentenças como não, e, ou, se ... então, mas certos aspectos lógicos que aparecem em linguagens naturais ou artificiais são muito mais ricos. Por exemplo, como expressar coisas do tipo: “Existe...” e “Para todo...” na lógica proposicional? Exemplo: Considere a seguinte sentença declarativa: Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Na lógica proposicional podemos identificar esta sentença com uma variável proposicional p. No entanto, esta codificação não reflete os detalhes da estrutura lógica desta sentença. De que trata esta sentença? - Ser um estudante. - Ser um instrutor. - Ser mais jovem do que alguém. Para expressar estas propriedades utilizaremos predicados. Por exemplo, podemos escrever estudante (ana) para denotar que Ana é uma estudante. Da mesma forma podemos escrever instrutor (marcos) para denotar que Marcos é um instrutor. Por fim, podemos escrever jovem (ana, marcos) para denotar que Ana é mais jovem do que Marcos. Nestes exemplos, estudante, instrutor e jovem são exemplos de predicados. Ainda precisamos codificar as noções de “todo” e “algum”. Para isto introduziremos o conceito de variável. Variáveis serão denotadas por letras latinas minúsculas do final do alfabeto: u, v, w, x, y, z (possivelmente acrescidas de sub-índices x1, x2, ...). Variáveis devem ser pensadas como “lugares vazios” que podem ser preenchidos (ou instanciados) por elementos concretos, como João, Maria, etc. Utilizando variáveis podemos especificar o significado dos predicados estudante, instrutor e jovem de uma maneira mais formal: - estudante (x): x é um estudante. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - instrutor (x): x é um instrutor. - jovem (x, y): x é mais jovem do que y. Note que o nome das variáveis não é importante. É equivalente a: - estudante (x): x é um estudante. - estudante(y): y é um estudante. Para que possamos finalmente expressar em detalhes a sentença apresentada no exemplo precisamos codificar o significado de Todo e algum em Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Os quantificadores e fazem este trabalho: : significa para todo; : significa existe. Os quantificadores e estão sempre ligados a alguma variável: : para todo x; x : existe um x (ou existe algum x). x Agora podemos finalmente codificar a sentença: Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Da seguinte forma: x

(estudante (x) → (y (instrutor (y) Λ jovem (x, y))))

Note que predicados diferentes podem ter um número distinto de argumentos: os predicados estudante e instrutor admitem apenas um argumento e por isto são chamados de predicados unários, enquanto que o predicado jovem admite dois argumentos, e portanto é um predicado binário. O número de argumentos de um predicado é chamado sua aridade. Assim, os predicados unários têm aridade 1, enquanto que os predicados binários têm aridade 2, etc. No cálculo de predicados são permitidos predicados com qualquer aridade finita. Exemplo: Considere a sentença: Nem todos os pássaros podem voar. Escolhemos os seguintes predicados para expressar esta sentença: - pássaro(x): x é um pássaro. - voar (x): x pode voar. Esta sentença pode ser codificada da seguinte forma: ¬(x (pássaro (x) → voar(x))) Exemplo: Uma outra maneira de expressar a mesma ideia da sentença anterior é dizer que: Existem alguns pássaros que não podem voar. Esta última sentença pode ser codificada da seguinte maneira: x

(pássaro (x) Λ ¬voar(x))

Posteriormente veremos que as duas codificações dadas são semanticamente equivalentes. De fato, existem transformações que convertem uma na outra. O vocabulário da lógica de primeira ordem consiste de três conjuntos: - Um conjunto P de símbolos de predicado; - Um conjunto F de símbolos de função; - Um conjunto C de constantes. Onde cada símbolo de predicado e de função vem com sua aridade bem definida. Os predicados são casos especiais de função: enquanto as funções possuem contradomínio qualquer, os predicados têm contradomínio sempre igual a {V,F}. As constantes são funções de aridade 0.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Termos são definidos da seguinte forma: - Qualquer variável é um termo; - Se c F é uma função de aridade 0 então c é um termo; - Se t1, ... , tn são termos e f F é uma função de aridade n > 0 então f (t1, ... , tn) é um termo. - Nada mais é termo. Em BNF (Backus Naur form) temos: t :: = x | c | f (t, ... , t) Onde x percorre o conjunto de variáveis V, c percorre os símbolos de função de aridade 0 de F e f percorre os elementos de aridade maior do que 0 de F. Exemplo: Suponha que n, f e g são símbolos de função de aridade respectivamente igual a 0, 1 e 2. Então g (f (n), n) e f (g (n, f (n))) são termos, mas g(n) e f (f (n), n) não são termos por violarem as aridades dos símbolos. A escolha dos conjuntos P e F para símbolos de predicado e de função é definida a partir do que se pretende descrever. Definimos o conjunto de fórmulas sobre o conjunto S = (F, P) indutivamente da seguinte forma: - Se p P é um símbolo de predicado de aridade n > 0, e se t1, ... , tn são termos sobre F então p (t1, .... , tn) é uma fórmula. - Se Φ é uma fórmula então (¬Φ) é também uma fórmula. - Se Φ e ψ são fórmulas então (Φ Λ ψ), (Φ V ψ), (Φ → ψ) e (Φ ↔ ψ) são fórmulas. - Se Φ é uma fórmula e x é uma variável então (xΦ) e (xΦ) também são fórmulas. - Nada mais é fórmula. Em BNF temos: Φ :: = p (t1, ... , tn) | (¬Φ) | (Φ Λ Φ) | (Φ V Φ) | (Φ → Φ) | (Φ ↔ ψ) | ((xΦ) | ((xΦ) Onde p é um símbolo de predicado de aridade n > 0, ti são termos sobre F e x é uma variável. Adotaremos a seguinte prioridade de operadores: 1. ¬, , ; 2. Λ, V; 3. →, ↔. Exemplo: Considere a seguinte sentença: Todo filho de meu pai é meu irmão. Podemos codificar esta fórmula de pelo menos duas formas distintas: 1. Representando a noção de “pai” como predicado: Neste caso escolhemos três predicados: filho, pai e irmão com os seguintes significados e aridades: - filho (x, y): x é filho de y. - pai (x, y): x é pai de y. - irmão (x, y): x é irmão de y. Uma possível codificação para a sentença dada utilizando estes predicados é: xy

(pai (x, João) Λ filho (y, x) → irmão (y, João))

Dizendo que: “para todo x e todo y, se x é o pai de João e se y é um filho de x então y é um irmão de João”. Representando a noção de “pai” como função, que chamaremos de f: Neste caso, f(x) retorna o pai de x. Note que isto funciona apenas porque o pai de uma dado x é único e está sempre definido, e portanto f é realmente uma função. Uma possível codificação para esta sentença é dada por: x

(filho (x, f(João) → irmão (y, João))

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Significando que “para todo x, se x é um filho do pai de João então x é um irmão de João. Esta codificação é menos complexa que a anterior porque envolve apenas um quantificador. Especificações formais em geral exigem um domínio de conhecimento. Muitas vezes este conhecimento não está explicitado no domínio. Sendo assim, um especificador pode desconsiderar restrições importantes para um modelo ou implementação. Por exemplo, as codificações dadas no exemplo anterior podem parecer corretas, mas e se x for igual a João? Se o domínio de relações de parentesco não é um conhecimento comum o especificador pode não notar que uma pessoa não pode ser irmão dela mesma. A abrangência de x (respectivamente, x) em xΦ (respectivamente, xΦ) é Φ. Uma ocorrência de uma variável ligada numa fórmula, é uma ocorrência de uma variável x, dentro do campo de abrangência de um quantificador x ou x. Uma ocorrência de uma variável livre é uma ocorrência de uma variável x não ligada. Exemplo: Na fórmula x (p(f(x), y) → q(x)), as duas ocorrências da variável x são ligadas, enquanto a ocorrência da variável y é livre. Na fórmula x p(f(x), y) → q(x) a primeira ocorrência da variável x é ligada, no entanto a segunda é livre. Dada uma variável x, um termo t e uma fórmula Φ, definimos Φ [x/t] como sendo a fórmula obtida após substituir cada ocorrência livre de x em Φ por t. Exemplo: Considere novamente a fórmula x ((p(x) → q(x)) Λ s(x, y)), que chamaremos simplesmente de Φ. Temos que Φ [x/f(x, y)] = Φ. De fato, todas as ocorrências de x em Φ são ligadas, e portanto a substituição [x/f(x, y)] não tem nenhum efeito sobre esta fórmula. Exemplo: Agora considere a fórmula (x (p(x) Λ q(x))) → (¬p(x) V q(y)) que chamaremos simplesmente de ψ. Neste caso temos uma ocorrência livre de x e, portanto [x/f(x, y)] é igual a (x (p(x) Λ q(x))) → (¬p(f(x, y)) V q(y)). As substituições podem produzir efeitos colaterais indesejados: Considere o termo f(x, y) e a fórmula y (p(x, y)). Então (y (p(x, y))) [x/f(x, y)] resulta na fórmula (y (p(f(x, y), y))) se fizermos uma substituição “ingênua”. Observe que o termo resultante possui uma semântica diferente da esperada porque a variável y do termo f(x, y) não corresponde a variável y quantificada universalmente na fórmula dada. Como resolver este problema? Dados um termo t, uma variável x e uma fórmula Φ, dizemos que t é livre para x em Φ se nenhuma ocorrência livre de x em Φ está no escopo de (y ou y para qualquer variável y que ocorra em t. Exemplo: Considere a fórmula s(x) Λ y (p(x) → q(y)), que possui duas ocorrências livres de x. A ocorrência de x mais a esquerda poderia, por exemplo, ser substituída pelo termo f(y, y), no entanto a outra ocorrência não poderia ser substituída por este termo porque tal substituição acarretaria captura da variável y. Quando precisamos realizar uma substituição de um termo t que não está livre para uma variável x em uma fórmula Φ, o que fazemos é renomear as variáveis ligadas para evitar capturas: Exemplo: No caso do exemplo anterior, a substituição de x por f(y, y) em s(x) Λ y (p(x) → q(y)) pode ser resolvida renomeando a variável ligada y da fórmula para algum nome novo, por exemplo : s(x) Λ (p(x) → q()). Agora a substituição pode ser realizada sem provocar captura de variáveis. O ingrediente novo da lógica de primeira ordem não encontrado na lógica proposicional é a quantificação: dada uma sentença Φ qualquer, as novas construções xΦ e xΦ - leia “para todo x, Φ” e “para algum x, Φ”, respectivamente são introduzidas. xΦ significa que Φ é verdadeiro para todo valor de x e xΦ significa que há pelo menos um x tal que Φ é verdadeiro. Os valores das variáveis são tirados de um universo de discurso pré-determinado. Um refinamento da lógica de primeira ordem permite variáveis de diferentes tipos, para tratar de diferentes classes de objetos. A lógica de primeira ordem tem poder expressivo suficiente para formalizar praticamente toda a matemática. Uma teoria de primeira ordem consiste em um conjunto de axiomas (geralmente finitos ou recursivamente enumerável) e de sentenças dedutíveis a partir deles. A teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel é um exemplo de uma teoria de primeira ordem, e aceita-se geralmente que toda a matemática clássica possa ser formalizada nela. Há outras teorias que são normalmente formalizadas na lógica de primeira ordem de maneira independente (embora elas admitam a implementação na teoria dos conjuntos) tais como a aritmética de Peano. Um cálculo de predicados consiste em: - regras de formação (definições recursivas para dar origem a fórmulas bem-formadas ou FBFs). - regras de transformação (regras de inferência para derivar teoremas). - axiomas.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Os axiomas considerados aqui são os axiomas lógicos que fazem parte do cálculo de predicados. Além disso, os axiomas não-lógicos são adicionados em teorias de primeira ordem específicas: estes não são considerados como verdades da lógica, mas como verdades da teoria particular sob consideração. Quando o conjunto dos axiomas é infinito, requer-se que haja um algoritmo que possa decidir para uma fórmula bem-formada dada, se ela é um axioma ou não. Deve também haver um algoritmo que possa decidir se uma aplicação dada de uma regra de inferência está correta ou não. É importante notar que o cálculo de predicados pode ser formalizado de muitas maneiras equivalentes; não há nada canônico sobre os axiomas e as regras de inferência propostos aqui, mas toda a formalização dará origem aos mesmos teoremas da lógica (e deduzirá os mesmos teoremas a partir de um conjunto qualquer de axiomas não-lógicos). Alfabeto O alfabeto de 1ª ordem, Σ, tem a seguinte constituição: Σ = X ΣC ΣF ΣR ΣL ΣP, onde X = {x, y, z, x1, x2, ..., y1, y2, ..., z1, z2, ...} é um conjunto enumerável de variáveis; ΣC = {a, b, c, a1, a2, ..., b1, b2, ..., c1, c2, ...} é um conjunto de símbolos chamados de constantes; ΣF = {F1, F2, ...} é um conjunto de símbolos ditos sinais funcionais; ΣR = {R1, R2, ...} é um conjunto de símbolos ditos sinais relacionais ou predicativos; ΣL = {¬, Λ, V, →, ↔, , } é o conjunto de símbolos ditos sinais lógicos; ΣP = {(,),,} é o conjunto de símbolos de pontuação. As constantes, sinais funcionais e sinais predicativos constituem a coleção de sinais ditos símbolos não lógicos. Há diversas variações menores listadas abaixo: O conjunto de símbolos primitivos (operadores e quantificadores) varia frequentemente. Alguns símbolos primitivos podem ser omitidos, substituindo-os com abreviaturas adequadas; por exemplo (p ↔ q) é uma abreviatura para (p → q) ∧ (q → p). No sentido contrário, é possível incluir outros operadores como símbolos primitivos, como as constantes de verdade ⊤ para “verdadeiro” e o ⊥ para “falso” (estes são operadores do aridade 0). O número mínimo dos símbolos primitivos necessários é um, mas se nós nos restringirmos aos operadores listados acima, seria necessário três; por exemplo, o ¬, o ∧, e o ∀ bastariam. Alguns livros mais velhos usam a notação Φ ⊃ ψ para Φ → ψ, ~Φ para ¬Φ, Φ & ψ para Φ ∧ ψ, e uma riqueza de notações para os quantificadores; por exemplo, ∀xΦ pode ser escrito como (x)Φ. A igualdade é às vezes considerada como parte da lógica de primeira ordem; Neste caso, o símbolo da igualdade será incluído no alfabeto, e comportar-se-á sintaticamente como um predicado binário. Assim a LPO será chamada de lógica de primeira ordem com igualdade. As constantes são na verdade funções de aridade 0, assim seria possível e conveniente omitir constantes e usar as funções que tenham qualquer aridade. Mas é comum usar o termo “função” somente para funções de aridade 1. Na definição acima, as relações devem ter pelo menos aridade 1. É possível permitir relações de aridade 0; estas seriam consideradas variáveis proposicionais. Há muitas convenções diferentes sobre onde pôr parênteses; por exemplo, se pode escrever ∀x ou (∀x). Às vezes se usa dois pontos ou ponto final ao invés dos parênteses para criar fórmulas não ambíguas. Uma convenção interessante, mas incomum, é a “notação polonesa”, onde se omite todos os parênteses, e escreve-se o ∧, ∨, e assim por diante na frente de seus argumentos. A notação polonesa é compacta e elegante, mas rara e de leitura complexa. Uma observação técnica é que se houver um símbolo de função de aridade 2 que representa um par ordenado (ou símbolos de predicados de aridade 2 que representam as relações de projeção de um par ordenado) então se pode dispensar inteiramente as funções ou predicados de aridade > 2. Naturalmente o par ou as projeções necessitam satisfazer aos axiomas naturais. Os conjuntos das constantes, das funções, e das relações compõem a assinatura e são geralmente considerados para dar forma a uma linguagem, enquanto as variáveis, os operadores lógicos, e os quantificadores são geralmente considerados para pertencer à lógica. Uma estrutura dá o significado semântico de cada símbolo da assinatura. Por exemplo, a linguagem da teoria dos grupos consiste de uma constante (elemento da identidade), de uma função de aridade 1 (inverso), de uma função de aridade 2 (produto), e de uma relação de aridade 2 (igualdade), que seria omitida pelos autores que incluem a igualdade na lógica subjacente. Regras de Formação As regras de formação definem os termos, fórmulas, e as variáveis livres como segue. O conjunto dos termos é definido recursivamente pelas seguintes regras: - Qualquer constante é um termo (sem variáveis livres).

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é ela mesma). - Toda expressão f (t1,…, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada argumento ti é um termo e f é um símbolo de função de aridade n) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis livres de cada um dos termos ti. - Cláusula de fechamento: Nada mais é um termo. O conjunto das fórmulas bem-formadas (chamadas geralmente FBFs ou apenas fórmulas) é definido recursivamente pelas seguintes regras: - Predicados simples e complexos: se P for uma relação de aridade n ≥ 1 e os ai são os termos então P (a1, ..., an) é bem formada. Suas variáveis livres são as variáveis livres de quaisquer termos ai. Se a igualdade for considerada parte da lógica, então (a1 = a2) é bem formada. Tais fórmulas são ditas atômicas. - Cláusula indutiva I: Se Φ for uma FBF, então ¬Φ é uma FBF. Suas variáveis livres são as variáveis livres de Φ. - Cláusula indutiva II: Se Φ e ψ são FBFs, então (ψ ∧ Φ), (ψ V Φ), (ψ → Φ), (ψ ↔ Φ) são FBFs. Suas variáveis livres são as variáveis livres de Φ e de ψ. - Cláusula indutiva III: Se Φ for uma FBF e x for um variável, então ∀xΦ e xΦ são FBFs, cujas variáveis livres são as variáveis livres de Φ com exceção de x. Ocorrências de x são ditas ligadas ou mudas (por oposição a livre) em ∀xΦ e xΦ. - Cláusula de fechamento: Nada mais é uma FBF. Na prática, se P for uma relação de aridade 2, nós escrevemos frequentemente “a P b” em vez de “P a b”; por exemplo, nós escrevemos 1 < 2 em vez de < (1 2). Similarmente se f for uma função de aridade 2, nós escrevemos às vezes “a f b” em vez de “f (a b)”; por exemplo, nós escrevemos 1 + 2 em vez de + (1 2). É também comum omitir alguns parênteses se isto não conduzir à ambiguidade. Às vezes é útil dizer que “P(x) vale para exatamente um x”, o que costuma ser denotado por ∃!xP(x). Isto também pode ser expresso por ∃x (P (x) ∀y (P (y) → (x = y))). Exemplos: A linguagem dos grupos abelianos ordenados tem uma constante 0, uma função unária −, uma função binária +, e uma relação binária ≤. Assim: - [0, x, y são termos atômicos]; - [+ (x, y), + (x, + (y, − (z))) são termos, escritos geralmente como x + y, x + (y + (−z))]; - [= (+ (x, y), 0), ≤ (+ (x, + (y, − (z))), + (x, y)) são fórmulas atômicas, escritas geralmente como x + y = 0, x + y - z ≤ x + y,]; - [(∀x ∃y ≤ (+ (x, y), z)) ∧ (∃x = (+ (x, y), 0)) é uma fórmula, escrita geralmente como (∀x ∃y (x + y ≤ z)) ∧ (∃x (x + y = 0))]. Substituição: Se t é um termo e Φ(x) é uma fórmula que contém possivelmente x como uma variável livre, então Φ(t) se definido como o resultado da substituição de todas as instâncias livres de x por t, desde que nenhuma variável livre de t se torne ligada neste processo. Se alguma variável livre de t se tornar ligada, então para substituir t por x é primeiramente necessário mudar os nomes das variáveis ligadas de Φ para algo diferente das variáveis livres de t. Para ver porque esta condição é necessária, considere a fórmula Φ(x) dada por ∀y y ≤ x (“x é máximal”). Se t for um termo sem y como variável livre, então Φ(t) diz apenas que t é maximal. Entretanto se t é y, a fórmula Φ(y) é ∀y y ≤ y que não diz que y é máximal. O problema de que a variável livre y de t (=y) se transformou em ligada quando nós substituímos y por x em Φ(x). Assim, para construir Φ(y) nós devemos primeiramente mudar a variável ligada y de Φ para qualquer outra coisa, por exemplo a variável z, de modo que o Φ(y) seja então ∀z z ≤ y. Esquecer desta condição é uma causa notória de erros. Igualdade: Há diversas convenções diferentes para se usar a igualdade (ou a identidade) na lógica de primeira ordem. Esta seção resume as principais. Todas as convenções resultam mais ou menos no mesmo com mais ou menos a mesma quantidade de trabalho, e diferem principalmente na terminologia. A convenção mais comum para a igualdade é incluir o símbolo da igualdade como um símbolo lógico primitivo, e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da lógica de primeira ordem. Os axiomas de igualdade são x=x x = y → F(…, x, …) = F(…, y, …) para qualquer função F x = y → (R(…, x, …) → R(…, y, …)) para qualquer relação R (incluindo a própria igualdade) A próxima convenção mais comum é incluir o símbolo da igualdade como uma das relações de uma teoria, e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da teoria. Na prática isto é quase idêntico à da convenção precedente, exceto no exemplo incomum de teorias com nenhuma noção de igualdade. Os axiomas são os mesmos, e a única diferença é se eles serão chamados de axiomas lógicos ou de axiomas de teoria. Nas teorias sem funções e com um número finito de relações, é possível definir a igualdade em termos de relações, definindo os dois termos s e t como iguais se qualquer relação continuar inalterada ao se substituir s por t em qualquer argumento. Por exemplo, em teoria dos conjuntos com uma relação ∈, nós definiríamos s = t como uma abreviatura para ∀x (s ∈ x ↔ t ∈ x) ∧ ∀x (x ∈ s ↔ x ∈ t). Esta definição de igualdade satisfaz automaticamente os axiomas da igualdade. Em algumas teorias é possível dar definições de igualdade ad hoc. Por exemplo, em uma teoria de ordens parciais com uma relação ≤ nós poderíamos definir s = t como uma abreviatura para s ≤ t ∧ t ≤ s. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Regras de Inferência A regra de inferência modus ponens é a única necessária para a lógica proposicional de acordo com a formalização proposta aqui. Ela diz que se Φ e Φ → ψ são ambos demonstrados, então pode-se deduzir ψ. A regra de inferência chamada Generalização Universal é característica da lógica de primeira ordem: Se ╞ Φ, então ╞ ∀xΦ onde se supõe que Φ é um teorema já demonstrado da lógica de primeira ordem. Observe que a Generalização é análoga à regra da necessitação da lógica modal, que é: Se ╞ P, então ╞ ∀xP Limitações: Apesar da Lógica de Primeira Ordem ser suficiente para formalizar uma grande parte da matemática, e também ser comumente usada em Ciência da Computação e outras áreas, ela tem as suas limitações. Suas limitações incluem limitações em sua expressividade e limitações com relação aos fragmentos das línguas naturais que pode descrever. Expressividade: O teorema de Löwenheim–Skolem mostra que se uma teoria de primeira ordem tem um modelo infinito, então a teoria também tem modelos de todas as cardinalidades infinitas. Em particular, nenhuma teoria de primeira ordem com um modelo infinito pode ser categórica. Assim, não há uma teoria de primeira ordem cujo único modelo tem o conjunto dos números naturais como domínio, ou cujo único modelo tem o conjunto dos números reais como domínio. Várias extensões da Lógica de Primeira-Ordem, incluindo a Lógica de Ordem Superior e a Lógica Infinitária, são mais expressivas no sentido de que elas admitem axiomatizações categóricas dos números naturais ou reais. Essa expressividade tem um custo em relação às propriedades meta-lógicas; de acordo com o Teorema de Lindström, qualquer lógica que seja mais forte que a lógica de primeira ordem falhará em validar o teorema da compaccidade ou em validar o teorema de Löwenheim–Skolem. Formalizando as Línguas Naturais A lógica de primeira ordem é capaz de formalizar vários quantificadores na lingua natural, como “todas as pessoas que moram em Paris, moram na França”. Mas existem várias características que não podem ser expressas na lógica de primeira ordem. “Qualquer sistema lógico que é apropriado para analisar línguas naturais, precisa de uma estrutura muito mais rica que a lógica de primeira ordem” (Gamut 1991). Tipo

Exemplo

Comentário

Quantificadores sobre as propriedades

Se Rafael for satisfeito consigo mesmo, então ele tem pelo menos uma coisa em comum com Roberta

Requer quantificadores sobre os predicados, os quais não podem ser implementados com a lógica de primeira ordem (unicamente ordenada): Zj→ ∃X(Xj∧Xp)

Quantificadores sobre as propriedades

Papai Noel tem todos os atributos de um sadista

Requer quantificadores sobre os predicados, os quais não podem ser implementados com a lógica de primeira ordem (unicamente ordenada): ∀X(∀x(Sx → Xx)→Xs)

Predicado adverbial

Luiz está andando rápido

Não pode ser analisado como Wj ∧ Qj; predicados adverbiais não são a mesma coisa que predicados de segunda ordem, como cores

Adjetivo Relativo

Jumbo é um elefante pequeno

Não podem ser analisados como Sj ∧ Ej; predicados adjetivados não são a mesma coisa que predicados de segunda ordem, como cores

Modificador do predicado adverbial

Anderson está andando muito rápido

-

Modificador do adjetivo relativo

Roberta é extremamente pequena

Uma expressão como “extremamente” , quando usado com um adjetivo relativo “pequena”, resulta em um novo adjetivo relativo: “extremamente pequena”

Preposições

Alberto está sentado ao lado de Danilo

A preposição “ao lado de” quando aplicada a Luiz, resulta em um predicado adverbial “ao lado de Luiz”

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Axiomas e Regras Os cinco axiomas lógicos mais as duas regras de inferência seguintes caracterizam a lógica de primeira ordem: Axiomas:

Regras de Inferência Modus Ponens: Generalização Universal: Estes axiomas são na realidade esquemas de axiomas. Cada letra grega pode ser uniformemente substituída, em cada um dos axiomas acima, por uma FBF qualquer, e uma expressão do tipo α [t:= x] denota o resultado da substituição de x por t na fórmula α. Cálculo de Predicados O cálculo de predicado é uma extensão da lógica proposicional que define quais sentenças da lógica de primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal usado para descrever as teorias matemáticas. Se o cálculo proposicional for definido por um conjunto adequado de axiomas e a única regra de inferência modus ponens (isto pode ser feito de muitas maneiras diferentes, então o cálculo de predicados pode ser definido adicionando-se alguns axiomas e uma regra de inferência “generalização universal”. Mais precisamente, como axiomas para o cálculo de predicado, teremos: - Os axiomas circunstanciais do cálculo proposicional (A1, A2 e A3); - Os axiomas dos quantificadores (A4 e A5); - Os axiomas para a igualdade propostos em seção anterior, se a igualdade for considerada como um conceito lógico. Uma sentença será definida como demonstrável na lógica de primeira ordem se puder ser obtida começando com os axiomas do cálculo de predicados e aplicando-se repetidamente as regras de inferência “modus ponens” e “generalização universal”. Se nós tivermos uma teoria T (um conjunto de sentenças, às vezes chamadas axiomas) então uma sentença Φ se define como demonstrável na teoria T se a ∧ b ∧ ...→ Φ é demonstrável na lógica de primeira ordem (relação de consequência formal), para algum conjunto finito de axiomas a, b, ... da teoria T. Um problema aparente com esta definição de “demonstrabilidade” é que ela parece um tanto ad hoc: nós tomamos uma coleção aparentemente aleatória de axiomas e de regras de inferência, e não é óbvio que não tenhamos acidentalmente deixado de fora algum axioma ou regra fundamental. O teorema da completude de Gödel nos assegura de que este não é realmente um problema: o teorema diz que toda sentença verdadeira em todos os modelos é demonstrável na lógica de primeira ordem. Em particular, toda definição razoável de “demonstrável” na lógica de primeira ordem deve ser equivalente à definição acima (embora seja possível que os comprimentos das derivações difira bastante para diferentes definições de demonstrabilidade). Há muitas maneiras diferentes (mas equivalentes) de definir provabilidade. A definição acima é um exemplo típico do cálculo no estilo de Hilbert, que tem muitos axiomas diferentes, mas poucas regras de inferência. As definições de demonstrabilidade para a lógica de primeira ordem nos estilos de Gentzen (dedução natural e cálculo de sequentes) são baseadas em poucos ou nenhum axiomas, mas muitas regras de inferência.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Algumas Equivalências

Algumas Regras de Inferência

(se c for uma variável, então não deve ser quantificada em P(x)). (x não deve aparecer livre em P(c)). QUESTÕES 01. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Parte superior do formulário Dadas as sentenças A e B da lógica de primeira ordem, onde A é a sentença e B é a sentença , tem-se que (A) A é consequência da lógica de B. (B) B é consequência da lógica de A. (C) A é consequência da lógica de B. (D) B é consequência da lógica de A. (E) B é consequência da lógica de A. 02. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Parte superior do formulário Considere o conjunto de conectivos lógicos da lógica sentencial. Por definição, um conjunto de operadores B é completo se somente se todos os operadores de A podem ser expressos em função do(s) operador(es) de B. Analise as afirmativas a seguir: I- é um conjunto de operadores completo. II- é um conjunto de operadores completo. III- é um conjunto de operadores completo. IV- é um conjunto de operadores completo. V- é um conjunto de operadores completo. Conclui-se que (A) uma das afirmativas acima é verdadeira e quatro são falsas. (B) duas das afirmativas acima são verdadeiras e três são falsas. (C) três das afirmativas acima são verdadeiras e duas são falsas. (D) quatro das afirmativas acima são verdadeiras e uma é falsa. (E) todas as afirmativas acima são verdadeiras. 03. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Parte superior do formulário Considere as premissas: Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras. Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a outra, falsa. Premissa 3: as premissas 1 e 4 são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Sabendo-se que cada premissa acima é exclusivamente verdadeira ou exclusivamente falsa, são verdadeiras APENAS as premissas: (A) 1 e 2. (B) 1 e 3. (C) 2 e 3. (D) 2 e 4. (E) 3 e 4. 04. (CESPE - TRE-MG – Técnico Judiciário) Considere as sentenças apresentada a seguir. G - O preço do combustível automotivo é alto. M - Os motores dos veículos são econômicos. I - Há inflação geral de preços. C - O preço da cesta básica é estável. Admitindo que os valores lógicos das proposições compostas (M ∨ G) → (C ∧ I), I → (C ∧ G), G → M e C ∨ M são verdadeiros, assinale a opção correta, considerando que, nessas proposições, os símbolos ∨ e ∧ representam os conectivos “ou” e “e”, respectivamente, e o símbolo ¬ denota o modificador negação. (A) os motores dos veículos são econômicos e não há inflação geral de preços. (B) o preço da cesta básica não é estável e há inflação geral de preços. (C) o preço do combustível automotivo é alto e os motores dos veículos não são econômicos. (D) os motores dos veículos são econômicos e o preço da cesta básica não é estável. (E) o preço da cesta básica é estável e o preço do combustível automotivo é alto. 05. (FCC - TRE-PI - Técnico Judiciário) Todos os advogados que trabalham numa cidade formaram- se na universidade X. Sabe-se ainda que alguns funcionários da prefeitura dessa cidade são advogados. A partir dessas informações, é correto concluir que, necessariamente, (A) existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X. (B) todos os funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X são advogados. (C) todos os advogados formados na universidade X trabalham nessa cidade. (D) dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os advogados formaram-se na universidade X. (E) existem funcionários da prefeitura dessa cidade que não se formaram na universidade X. 06. (CESPE - SECONT-ES - Auditor do Estado) Se a proposição simbolizada por A ∧ B → C for um argumento válido, então a proposição A ∧ B ∧ (C) será falsa. ( ) Certo ( ) Errado 07. (CESPE - TRE-MA – Técnico Judiciário) Com base nas regras da lógica sentencial, assinale a opção que corresponde à negação da proposição “Mário é contador e Norberto é estatístico”. (A) Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico. (B) Mário não é contador e Norberto não é estatístico. (C) Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico. (D) Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. (E) Se Mário é contador, então Norberto é estatístico. 08. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) São dadas as afirmações: - Toda cobra é um réptil. - Existem répteis venenosos. Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, também é verdade que (A) Se existe uma cobra venenosa, então ela é um réptil. (B) toda cobra é venenosa. (C) algum réptil venenoso é uma cobra. (D) qualquer réptil é uma cobra. (E) Se existe um réptil venenoso, então ele é uma cobra.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 09. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) No próximo domingo, Dona Marieta completará 100 anos de idade e sua bisneta Julieta resolveu presenteá-la construindo a árvore genealógica de seus descendentes. Para tal, Julieta usou as seguintes informações: - Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos; - Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deu 5 bisnetos; - Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram filhos e cada um dos outros teve 2 filhos; - Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de descendentes de Dona Marieta é: (A) 277 (B) 272 (C) 268 (D) 264 (E) 226 10. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) x ↔ y possui a mesma tabela verdade que: (A) x → y (B) x → y (C) (x → y) ∨ y (D) (x → y) ∧ (y → x) (E) (x → y) ∨ (y → x) Respostas 01. Resposta “A”. Sentenças:

Para saber qual sentença manipular, é preciso lembrar algumas regras: (1) ¬∃xp(x) = ∀x¬p(x) (2) ¬∀xp(x) = ∃x¬p(x) Para a sentença A ser “transformada”, seria necessário introduzir uma negação dupla (¬¬). Observando a regra (1), percebe-se que a sentença B pode ser “transformada” sem a necessidade de utilização de uma negação dupla. Com isso, selecionamos a sentença B para efetuar a manipulação. Manipulando a sentença B: ¬∃x¬p(x) ∨∀xq(x) ∀x¬¬p(x) ∨∀xq(x) ∀x(¬¬p(x) ∨q(x)) ∀x(¬¬p(x) ∨q(x)) Obs.: (¬p(x) ∨ q(x) = p(x) → q(x)) ∀x (¬p(x) → q(x)) Logo, a sentença A é consequência da lógica de B. É importante mencionar que não foram introduzidos elementos adicionais (negação dupla, por exemplo) na sentença original para se chegar ao resultado. Com isso, podemos afirmar que a sentença A é consequência da lógica (manipulação direta) de B.

A).

São equivalências lógicas, ou seja, elas são bidirecionais. Dessa forma, pode-se concluir que a alternativa correta é a “A”, (B →

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 02. Resposta “C”. Dizemos que um conjunto de operadores é completo se com eles pode exprimir as operações conjunção, disjunção e negação, que são: ∨, ∧,¬ e nand (não é). I - Verdadeiro; II - Verdadeiro; III - Falso; IV - Verdadeiro; V - Falso. Na lógica, um grupo de conectivos tem a propriedade da completude funcional se todos outros conectivos possíveis podem ser definidos em função dele. Os conjuntos {nand}, {nor}, {∨, ¬ }, {∧, ¬} e {→, ¬ } possuem a propriedade da completude funcional. Demonstração da completude funcional em um conjunto: Utilizando apenas a negação (¬) e a implicação (→) podemos gerar todas as outras operações.

03. Resposta “D”. Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras. FALSO (apenas a premissa 2 é verdadeira a 3 é falsa); Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a outra é falsa. VERDADEIRA (a premissa 3 é falsa e a 4 é verdadeira); Premissa 3: as premissas 3 e 4 são ambas verdadeiras ou ambas falsas. FALSO (premissa 3 é falsa e a 4 é verdadeira); Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas. VERDADEIRA. Normalmente ler as premissas em ordem inversa facilita a resposta. Premissa 4: afirma que 1 e 3 são falsas, portanto 2 deverá ser verdadeira. Premissa 3: contraditória com a P4 - Falsa. Premissa 2: até aqui a 4 é verdadeira e a 3 falsa – Verdadeira. Premissa 1: contraditória com a P4 – Falsa. 04. Resposta “A”. - Atribui-se verdadeiro para todas as sentenças simples, ou seja, G, M, I, C - são a princípio (V). - Comece pela primeira sentença composta: M ∨ ~G então C ∧ G - Por essa sentença conclui-se que atribuindo à sentença I como verdadeira essa sentença composta seria falsa e como a questão afirma que todas as compostas são verdadeiras, então I = Falsa e ~I = V, daí a sentença seria verdadeira, ou seja: Não há inflação geral de preços. - Na segunda sentença composta: I então ~C ∧ G - considerando I (falsa) o resultado era verdadeiro para a sentença independente de ser Falso ou Verdadeiro a 2ª parte - por isso não tinha ainda argumento válido. - Na terceira sentença: G então M - se considerar M verdadeira então G pode ser falso ou Verdadeiro. - Na quarta sentença: ~C ∨ M - se considerar M verdadeira então ~C pode ser falso ou verdadeiro (mas como na primeira sentença já considera C como verdadeira), ou seja: Os motores dos veículos são econômicos. O enunciado da questão diz: 1) Se (M ∨ ~G) então (C ∧ ~ I) que equivale a: Se (Se G então M ) então ~(Se C então I); 2) Se I então (~C ∧ G) que; 3) Se G então M; 4) ~C ∨ M que. Precisa-se somente das proposições 1 e 3. Inicia-se pela proposição 3. Supunha que o G era verdadeiro, desta forma o M só poderia ser verdadeiro. Caso contrário a proposição se tornaria falsa. Então para a proposição 1: Como a primeira parte é verdadeira a segunda só poderia ser verdadeira, ou seja ~(se C então I) também tinha que ser verdadeira. Como tem o “~” na frente, Se C então I tem que ser falsa. E para ser falsa I deve ser falso e C deve ser verdadeira. Desta forma descobre-se o valor real de cada proposição. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 05. Resposta “A”. Quando temos a expressão “Todo” e “Todo”, a resposta tem que obrigatoriamente ter a expressão “Todo” e não pode aparecer a expressão comum. Ex.: Todo indivíduo que fuma tem bronquite. Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. Expressão comum: bronquite. Logo: Todo indivíduo que fuma costuma faltar ao trabalho. Quando temos as expressões “Todo” e “Algum”, na resposta prevalece o “Algum” e não pode aparecer a expressão comum. Na questão acima, descartamos a “B” e a “C”, pois começam com “Todo”. Depois descartamos “D” pois aparece a expressão comum “advogados”. Depois descartamos a “E” pois aparece uma negação “não se formaram na universidade x”. Resumo: Todo e Todo = Todo Todo e Nenhum = Nenhum Algum e Todo = Algum Algum e Nenhum = Algum Não Se todos os advogados são formados na universidade X e se existem funcionários da prefeitura que são advogados, logo, certamente existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X. Com relação a letra “E”, temos que não necessariamente os outro funcionários que não são advogados não se formaram na universidade X, pois nada garante que eles tenham se formado nesta universidade ou não, como deixa dúvida, esta não pode ser necessariamente correta. 06. Resposta “Certo”. Um argumento válido considere todas as premissas verdadeiras, e a conclusão terá que ser verdadeira. V∨V A ∧ B → C (Argumento válido) A ∧ B ∧ (~C) V ∧ V ∧ (~V) V ∧ F = F (Falsa) Nota-se que na proposição composta que a alternativa diz ser falsa só foi usado o conectivo E (∧), isto torna a questão fácil, ou seja, tanto o A, o B e a negação de C têm que ter valores verdadeiros para a proposição ser verdadeira (regra do conectivo E). Se a negação de C tem que ser verdade, logo, o C é falso. Se o C é falso, A ∧ B não pode ser verdadeiro, pois V então F, que é o argumento válido trazido pela questão, é falso. Se a questão diz que o argumento é válido, ele realmente é válido, temos que acreditar nisso, logo, o valor de A ∧ B tem que ser falso obrigatoriamente, senão o argumento não é válido. Se A ∧ B tem que ser falso, significa que ou o A ou o B tem que ser falso (regra do E, um falso tudo falso). Sendo ou o A ou o B falso, torna a proposição A ∧ B ∧ ~C falsa. 07. Resposta “D”. A negativa de uma conjunção pode ser: - uma condicional - afirma a 1ª parte e nega a 2ª parte = P então não Q. - uma disjunção - Não P ou Não Q. Mário é contador e Norberto é estatístico. P e Q = P e não Q, portanto: Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. Considerando: P: “Mário é contador”. Q: “Norberto é estatístico”. A negação de P ∧ Q é ~P “ou” ~Q. A partir daí basta transformar ~P “ou” ~Q em sua proposição equivalente: P “se então” ~Q.

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 08. Resposta “A”. (A) Verdade, toda cobra é um réptil. Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, também é verdade que - Se existe uma cobra venenosa (P), então ela é um réptil (Q). (P → Q = V). Obs: segundo as afirmações “dadas” não se pode determinar se P é V ou F, no entanto isto não altera a correção da assertiva. (B) Falsa = nem toda cobra é venenosa. (C) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos venenosos, répteis e não são cobras). No contexto geral, esta afirmação poderia ser considerada verdadeira, mas segundo as afirmações “dadas” pela questão ela é falsa, pois não é mencionada qualquer ligação entre o grupo das cobras e dos répteis venenosos; A cobra é um réptil; Alguns répteis são venenosos; mas embasando-se somente nestas duas afirmações não há como se garantir que Algum réptil venenoso é uma cobra. (D) Falsa = nem todo réptil é uma cobra (Jacaré é réptil). (E) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos venenosos, são répteis e não são cobras).

Um grande conjunto é o dos répteis, obrigatoriamente o conjunto das cobras, que é menor, estará totalmente dentro do conjunto dos répteis. Já o conjunto dos Venenosos existem 3 possibilidades: 1 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das cobras, ou seja, são dois conjuntos dentro do grande conjunto que é o dos répteis; 2 - o conjunto dos venenosos estar parcialmente dentro do conjunto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das cobras, ou seja, um conjunto (cobras) dentro do conjunto dos répteis e outro (venenosos) parcialmente dentro e fora (como na figura). 3 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis, e parcialmente, também, dentro do conjunto das cobras. 4 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis e totalmente dentro do conjunto das cobras. Logo, a única coisa que conseguimos garantir dentre as alternativas é que “todas as cobras são répteis”, elas podem ser ou não venenosas e os venenosos podem ou não ser répteis e podem ou não ser cobras. 09. Resposta “C”. Dona Marieta teve 10 filhos = 7 férteis e 3 inférteis. Sete férteis tiveram 21 filhos = 17 férteis e 4 inférteis. Dezessete férteis tiveram 85 filhos = 76 férteis e 9 inférteis. Setenta e seis férteis tiveram 152 filhos = 152 férteis. Descendentes = férteis + inférteis = 252 + 16 = 268 descendentes. Seguindo os passos: - Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos; dos 10 filhos de Dona Marieta 3 não lhe deram netos, enquanto que 7 lhe deram 3 netos “cada”, então fazemos o seguinte cálculo: 7. 3 = 21 netos. - Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deram 5 bisnetos; Sabemos que Dona Marieta teve 21 netos, mas, desses 21, quatro não tiveram filhos, enquanto que os outros 17 lhe deram 5 bisnetos cada: 17. 5 = 85 bisnetos. - Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram filhos e cada um dos outros tiveram 2 filhos; Dona Marieta teve 85 bisnetos, e desses 85 nove não tiveram filhos, o que implica que 76 tiveram 2 filhos “cada”: 76 . 2 = 152 tataranetos. - Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos. Como os tataranetos não tiveram filhos, então somamos os filhos, netos, bisnetos e tataranetos: 10 + 21 + 85 + 152 = 268. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 10. Resposta “D”. Segundo Sérates (1997), a conjunção da sentença x → y com a sentença y → x resulta na sentença x y. Assim, (x → y) ∧ (y → x) equivale a x y. x se e somente se y: somente admite resposta verdadeira quando ambas possuem o mesmo sinal. Tabela verdade: tabela verdade de x-y e y-x:

x se e somente se y é equivalente a y, se x e x, se y. Probabilidade Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar: Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis. Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S). Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A). Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos. Ø = evento impossível. S = evento certo. Conceito de Probabilidade As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:

Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos: - um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S. - o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3. - a probabilidade do evento número par é 1/2, pois

Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio - Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1. - Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1. - Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 - P(A).

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Demonstração das Propriedades Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:

União de Eventos Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Eventos Mutuamente Exclusivos

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente: P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Eventos Exaustivos Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Então, logo:

Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 Probabilidade Condicionada Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A). Veja:

Eventos Independentes Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A)

P(B/A) = P(B)

Intersecção de Eventos Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:

Assim sendo: P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B) Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação: A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B) Lei Binominal de Probabilidade Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p. Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes? Resolução: - Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A. - Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k. - Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . pk . (1 – p)n-k QUESTÕES 01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama? 04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais? 05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é (A) 10% (B) 12% (C) 64% (D) 82% (E) 86% 06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca? 07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é: (A) 42% (B) 45% (C) 46% (D) 48% (E) 50% 08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é: (A) 0,5 (B) 5/7 (C) 0,6 (D) 7/15 (E) 0,7 09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:

10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:

Respostas 01. 02. A partir da distribuição apresentada no gráfico: 08 mulheres sem filhos. 07 mulheres com 1 filho. 06 mulheres com 2 filhos. 02 mulheres com 3 filhos. Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25. Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) = 04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:

05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500 A: o número sorteado é formado por 3 algarismos; A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500 B: o número sorteado é múltiplo de 10; B = {10, 20, ..., 500}. Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que a1 = 10 an = 500 r = 10 Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50 Dessa forma, p(B) = 50/500. A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10; A Ω B = {100, 110, ..., 500}. De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 41 e p(AB) = 41/500 Por fim, p(A.B) = 06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, V2, V3 as vermelhas. Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9 A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4 B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2

Como AB = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; Logo: P(AB) = P(A) + P(B) = 07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os seguintes eventos: (A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta. Assim, temos: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30% P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30 P (A B) = 0,28 + 0,18 P (A B) = 0,46 P (A B) = 46% Didatismo e Conhecimento

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO 08. Sendo A e B eventos independentes, P(AB) = P(A) . P(B) e como P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB). Temos: P(AB) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7. 09. Representando por a probabilidade pedida, temos:

10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então: I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas. II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco. A probabilidade de isso ocorrer é:

ANOTAÇÕES

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