2.Krivolinijski Integrali - Zadaci ( i Deo)

KRIVOLINIJSKI INTEGRALI – ZADACI ( I DEO) Krivolinijski integrali prve vrste 1.

∫ xds

Izračunati krivolinijski integral

ako je c deo prave y = x izmeñu tačaka ( 0,0 ) i ( 1,1).

c

Rešenje: Da se podsetimo: a≤ x≤b

Ako je kriva data u obliku c: y=y(x)

∫

tada je:

c

b

f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y ( x)) 1 + ( y x` ) 2 dx a

Pogledajmo i sliku , mada ona generalno nije potrebna jer kako smo rekli , krivolinijski integral I vrste ne zavisi od orijentacije krive.

y=x

y

A(1,1) 1

O(0,0)

x

1

Iz y = x → y`= 1 pa možemo odmah u formulu. Sa slike vidimo da su granice po x-su od 0 do 1.

∫ c

1

1

1

x2 1 1 2 f ( x, y )ds = ∫ x ⋅ 1 + (1) dx = ∫ x ⋅ 2dx = 2 ∫ xdx = 2 ⋅ = 2⋅ = 2 0 2 2 0 0 0 2

2. Izračunati krivolinijski integral

∫ yds po luku parabole

y 2 = 2 x od tačke (0,0) do tačke (4,

8)

c

Rešenje: Da nacrtamo sliku: y

4

y = + 2x

3

(4, 8)

8

2 1 (0,0)

1

2

3

4

x

y = − 2x

1

y 2 = 2 x → y = ± 2 x a kako nama treba gornji deo parabole, uzimamo: y = + 2 x → y`=

∫ c

1 1 ⋅ 2 → y`= 2 2x 2x

4

f ( x, y )ds = ∫ 2 x 1 + ( 0

1 2 1 2x +1 ) dx = ∫ 2 x 1 + ( )dx = ∫ 2 x dx = ∫ 2 x + 1dx 2 x 2 x 2x 0 0 0 4

4

4

Ovaj integral ćemo rešiti ‚‚na stranu‚‚ da ne menjamo granice....

2x + 1 = t 2

∫

3

t 2 x + 1dx = 2dx = 2tdt = ∫ t ⋅ tdt = ∫ t 2 dt = = 2 x + 1 = t 2 → t = 3 dx = tdt

( 2x +1 =

2x + 1

)

3

3

Sad se vratimo u odredjeni integral: 4

∫ f ( x, y)ds = ∫ c

( 2 x + 1dx =

0

2x +1

)

3

4 0

3

3. Izračunati krivolinijski integral

=

27 1 26 − = 3 3 3

∫ y ds gde je c gornja polovina kruga 2

x 2 + y 2 = a 2 izmeñu tačaka ( a,0) i

c

( -a,0). Rešenje: y

(-a,0)

(a,0) 0

x

I način Radićemo direktno.

x2 + y2 = a 2 → y 2 = a2 − x2 → y = a2 − x2 y`= y`=

1 2 a2 − x2

⋅ ( a 2 − x 2 )`=

1 2 a2 − x2

⋅ (−2 x)

−x a2 − x2 2

2 ∫ y ds =

c

b

∫ f ( x, y( x))

1 + ( y x` ) 2 dx =

a

2

a a a  −x  x2 a2 − x2 + x2 a2 2 2 2 2 2 2 ( a x ) 1 ( a x ) 1 dx ( a x ) dx = ( a − x ) dx = − + = − + = −  2  ∫ ∫ ∫ ∫ 2 a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2 −a −a −a −a  a −x  a

2

2

a

=

∫ (a

2

a

a

−x ) 2

a −x 2

−a

a

dx = a ∫ a − x dx = da nam bude lakše, možemo posmatrati= a ⋅ 2∫ a 2 − x 2 dx 2

2

2

−a

0

Ovaj integral možemo rešiti na više načina ( pogledajte fajlove integrali zadaci III ili IV ili V deo)

∫ y ds = 2

c

a 1 0 x a = a ⋅ 2 ⋅ [ (a 2 arcsin + x a 2 − x 2 )] = a ⋅ [(a 2 arcsin + a a 2 − a 2 ) − (a 2 arcsin + 0 ⋅ a 2 − 02 )] = 0 2 a a a = a ⋅ [(a 2 arcsin1 + 0) − (a 2 arcsin 0 + 0)] == a ⋅ [a 2 arcsin1] = a 3 ⋅

π 2

=

a 3π 2

II način Uzmemo da je: x = a cos t i y = a sin t. Ovo očigledno zadovoljava da je x 2 + y 2 = a 2 . x = a cos t → x`= − a sin t y = a sin t → y`= a cos t Koristimo formulu: t2

∫ f ( x, y)ds = ∫ f [ x(t ), y (t )] c

( xt` ) 2 + ( yt` ) 2 dt

t1

Kako je data gornja polovina kruga , to je 0 ≤ t ≤ π .

∫ y ds = 2

c

π

∫a

2

sin t ⋅ 2

( −a sin t ) + ( a cos t ) 2

0

π

2

π

dt = a ⋅ ∫ sin t ⋅ a sin t + a cos tdt = a ⋅ ∫ sin 2 t ⋅ a sin 2 t + cos 2 t dt = 2

2

2

2

2

2

2

0

π

π

0

ovo je 1

π

1 − cos 2t a3 a3 a 3π = a ⋅ ∫ sin tdt = a ⋅ ∫ dt = ⋅ ∫ (1 − cos 2t )dt = ⋅ π = 2 2 0 2 2 0 0 3

2

3

Vi sami izaberite šta vam se više svidja, ali je nama II način mnogo lakši.

3

4. Izračunati krivolinijski integral

2

+ y 2 + z 2 ) ds gde je c deo zavojnice

c

x = a cos t y = a sin t

∫(x

0 ≤ t ≤ 2π

i

z = bt

Rešenje:

Da se podsetimo: i)

Ako je f(x,y,z) definisana i neprekidna u svakoj tački deo po deo glatke krive c date sa: x=x(t) y=y(t) z=z(t)

gde je

t1 ≤ t ≤ t 2 , i ds- diferencijal luka krive

tada se krivolinijski integral prve vrste izračunava po formuli:

∫

t2

f ( x, y, z )ds = ∫ f [ x(t ), y (t ), z (t )] ( xt` ) 2 + ( y t` ) 2 + ( z t` ) 2 dt

c

t1

Najpre ćemo naći izvode i srediti potkorenu veličinu: x = a cos t → x`= − a sin t y = a sin t → y`= a cos t z = bt → z `= b

Sad ovo ubacimo u : ( xt` )2 + ( yt` ) 2 + ( zt` ) 2 = (− a sin t ) 2 + (a cos t ) 2 + (b) 2 = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 = a 2 ( sin 2 t + cos 2 t ) + b 2 = i još vidimo da je : x 2 + y 2 + z 2 = ( a cos t ) + ( a sin t ) + ( bt ) = a 2 + b 2t 2 2

2

2

E sad se vratimo na krivolinijski integral:

2 2 2 ∫ ( x + y + z ) ds = c

2π

2 2 2 2 2 2 2 ∫ ( a + b t ) a + b dt = a + b 0

2π

∫ (a

2

+ b 2t 2 )dt =

0

  t 3  2π (2π )3  = a 2 + b 2  a 2t + b 2  = a 2 + b 2  a 2 ⋅ 2π + b 2 = 0 3 3    

 8π 3b 2  a 2 + b 2  2π a 2 +  3  

4

a 2 + b2

∫

5. Izračunati krivolinijski integral

x 2 + y 2 ds gde je c krug x 2 + y 2 = ax

c

Rešenje: Spakujmo najpre ovu kružnicu i nacrtajmo sliku:

y

x 2 + y 2 = ax a/2

x 2 − ax + y 2 = 0 2

2

a a x 2 − ax +   −   + y 2 = 0 2 2 2

a  a 2 x−  + y =  2  2

0

2

a/2

a

x

-a/2

Opet imamo dva načina da rešimo ovaj zadatak. I način bi bio da predjemo u parametarski oblik, ali bi onda morali da uzimamo: a a + cos t 2 2 A zašto baš ovako? a y = sin t 2

x=

2

Zato što moramo birati x i y da zadovoljavaju t2

I sve bi nadalje radili po formuli:

∫ f ( x, y)ds = ∫ f [ x(t ), y (t )] c

2

a  a 2 x−  + y =  . 2  2 ( xt` ) 2 + ( yt` ) 2 dt , gde bi bilo 0 ≤ t ≤ 2π .

t1

II način bi bio da uvedemo polarne koordinate: x = r cos ϕ y = r sin ϕ A onda je: (r cos ϕ )2 + (r sin ϕ ) 2 = ar cos ϕ r 2 = ar cos ϕ r = a cos ϕ

Da vas podsetimo , ovde je ds = r `2 + r 2 dϕ . Kako je r = a cos ϕ → r `= − a sin ϕ ,

bilo bi: ds = (− a sin ϕ ) 2 + (a cos ϕ ) 2 dϕ = adϕ

I još imamo da je: x 2 + y 2 = (r cos ϕ ) 2 + (r sin ϕ ) 2 = r 5

Da razmislimo o granicama za ugao ( pogledajmo sliku još jednom) y

a/2 π 2

0

a

a/2

π − 2

x

-a/2

∫

x 2 + y 2 ds =

c

π

π

π

2

2

2

π

∫π r ⋅ adϕ = ∫π a cos ϕ ⋅ adϕ = a ∫π cos ϕ dϕ = a ( sin ϕ ) 2

−

−

2

2

−

2

2

2 −

π

=

2

π   π = a 2  sin − sin(− )  = a 2 (1 − (−1) ) = 2a 2 2 2   Vi opet izaberite način koji vam više odgovara ili koji zahteva vaš profesor.

6. Izračunati krivolinijski integral

∫ xyds

gde je c kontura pravougaonika koji odredjuju prave

c

x = 0, y = 0, x = 4, y = 2. Rešenje: Nacrtajmo najpre sliku :

x=0 ( y-osa)

x=4

3 C(4,2)

D(0,2)

y=2 1 A(0,0)

1

2

3

B(4,0) y=0 ( x-osa)

Moramo dakle ovaj zadatak rastaviti na 4 dela , radimo svaki posebno pa posle sve saberemo: 6

AB: ( žuta duž) Ovde imamo pravu y = 0 ( x osa) a kako tražimo

∫

x yds , očigledno je rešenje 0.

AB ovo je 0

BC: ( crvena duž ) Ovde imamo pravu x = 4 , pa moramo raditi po y. Da vas podsetimo:

Ako je kriva data u obliku c: x=x(y) i

∫

m ≤ y ≤ n tada je

c

n

f ( x, y )ds = ∫ f ( x( y ), y ) 1 + ( x `y ) 2 dy m

Iz x = 4 sledi da je x`=0 , a sa slike vidimo da 0 ≤ y ≤ 2 Dakle, ovde je :

∫

BC

2

2

0

0

xyds = ∫ 4 y ⋅ 1 + 0dy = 4 ∫ ydy = 4

y2 2 22 = 4⋅ = 8 2 0 2

CD: ( zelena duž) Ovde je prava y=2 a kako je onda y`=0 i sa slike vidimo da 0 ≤ x ≤ 4 imamo: 4

x2 4 42 ∫ xyds = ∫0 2 xdx = 2 2 0 = 2 ⋅ 2 = 16 CD DA: ( plava duž) U pitanju je prava x=0 ( y- osa) a tu je zadati integral

∫ xyds

očigledno 0.

c

Sad kao konačno rešenje saberemo sva 4 rešenja koja smo dobili:

∫ xyds = 0 + 8 + 16 + 0 =

24

c

7. Izračunati krivolinijski integral

∫ ( x + y ) ds gde je c kontura trougla O(0,0) , A(1,0) , B(0,1). c

Rešenje:

y

B(0,1)

A(1,0) x

O(0,0) x+y=1

I ovde moramo raditi za svaki deo posebno! 7

OA: ( žuta duž) U pitanju je x osa , znači prava y = 0 1

1

0

0

∫ ( x + y ) ds = ∫ ( x + 0)dx = ∫ xdx =

OA

x2 1 1 = 2 0 2

AB: ( crna duž) U pitanju je prava x+y = 1 , to jest y = 1-x , pa je y` = -1

1

1

∫ ( x + y ) ds = ∫ ( x + 1 − x) ⋅

AB

1 + (−1) 2 dx = ∫ 2dx = 2 ⋅ x

0

0

1 0

=

2

BO: ( plava duž) Ovde imamo y osu, to jest pravu x=0. 1

1

0

0

∫ ( x + y ) ds = ∫ (0 + y)dy =∫ ydy =

BO

y2 1 1 = 2 0 2

Saberemo sva tri rešenja i dobijamo:

∫ ( x + y ) ds = c

1 1 + 2 + =1+ 2 2 2

8. Naći dužinu luka prostorne krive x = e − t cos t , y = e − t sin t , z = e− t ako je 0 ≤ t < ∞ . Rešenje: Da se podsetimo: dužina luka se računa po formuli S = ∫ ds . c

t2

Ovo ustvari znači da dužinu luka tražimo kao: ∫ ds = ∫ ( xt` ) 2 + ( yt` ) 2 + ( zt` ) 2 dt ( nema onog prvog dela) c

t1

x = e − t cos t → x`= −e − t cos t + (− sin t )e − t = e − t (sin t + cos t ) y = e − t sin t → x`= −e − t sin t + cos te − t = e − t (cos t − sin t ) z = e − t → z `= −e −t

Da sredimo prvo ovo pod koren , pa ćemo da se vratimo u integral: 8

( xt` )2 + ( yt` ) 2 + ( zt` ) 2 =

( −e

−t

(sin t + cos t ) ) + ( e− t (cos t − sin t ) ) + (−e− t ) 2 = 2

2

= e −2t ( sin t + cos t ) + e −2t ( cos t − sin t ) + e −2t 2

(

2

)

= e −2t ( sin t + cos t ) + ( cos t − sin t ) + 1 2

2

= e− t sin 2 t +2sin t cos t + cos 2 t + sin 2 t −2sin t cos t + cos 2 t + 1 = e− t 2(sin 2 t + cos 2 t ) + 1 ovo je 1

= e−t ⋅ 3

Sad da izračunamo integral: t2

∫ ds = ∫ c

t1

∞

∞

( x ) + ( y ) + ( z ) dt = ∫ 3e dt = 3 ∫ e −t dt ` 2 t

` 2 t

−t

` 2 t

0

∞

A

−t −t −t ∫ ds = 3 ∫ e dt = 3 lim ∫ e dt = 3 lim ( −e ) c

0

A →∞

0

Pazite , ovo je nesvojstven integral!

0

A→∞

A   = 3 lim  ( −e− A )− ( −e−0 )  = 3 ⋅ (0 − (−1)) = A→∞ 0  teži 0 

3

9