2° INFORME FISICA II

“Año

del Centenario de Machu Picchu para el mundo”

FACULTAD DE INGENERÍA MECÁNICA

2° Laboratorio de Física II

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE PROFESOR:

Pachas Salhuana, Jose Teodoro

INTEGRANTES: Chappa Fuentes, Omar Albeiro Aychasi Naupari, Renato Miguel SECCIONES:

“B”

Lima – Perú 5 de mayo del 2011

PRÓLOGO Para entender movimientos complejos en el espacio, es necesario partir de lo elemental, hasta hacerlo “un movimiento casi perfecto”. Este es el caso del movimiento Armónico Simple, en el cual la energía se conserva hasta el infinito, es decir, nunca se transforma a otro tipo de energía que no haga que el sistema siga oscilando. Este movimiento elemental es algo irreal, como ya mencionado busca la perfección, el común de las personas ha visualizado movimientos que se acercan mucho a un M.A.S. pero no llegando a serlo, la fuerza que más afecta al no cumplimiento de este movimiento es la gravedad. Un movimiento para ser llamado armónico simple, tiene que cumplir requisitos como:  Ser periódico.  Movimiento en “vaivén”.  No presencia de fuerzas externas.  Una amplitud de oscilación no variable. Pero conoceremos más acerca de este movimiento conforme avancemos en la redacción y análisis de este informe. También conoceremos conceptos como:  Amplitud.  Periodo.  Frecuencia Lineal.  Frecuencia Angular Mediante las conclusiones y recomendaciones, expresaremos los resultados y lo que nos deja esta experiencia, además de entender un poco más sobre este movimiento.

Índice

Objetivos

4

Representación esquemática

4

Fundamentación teórica

5

Hoja de datos

8

Cálculos, gráficos y resultados

9

Conclusiones y recomendaciones

14

Bibliografía

15

Apéndice

16

 Conocer las condiciones para un movimiento armónico simple  Calcular la constante de fuerza del resorte con el método de los mínimos cuadrados junto con los datos que se tomaran en este experimento  Verificar las leyes física que rigen el M.A.S.

1.- Sobre el soporte universal se coloca el resorte al cual le mediremos su masa y longitud como datos iniciales con una regla milimetrada. 2.- Medimos las 4 masas a emplear en la balanza para luego utilizarlas junto al resorte como un solo sistema. 3.- Con cada masa oscilando se mide el tiempo de 40 oscilaciones, con tres distintas amplitudes sin necesidad de tomar apuntes sobre las medidas de dichas amplitudes.

4.- Al tener todos los datos en la tabla 2 se calculan los demás parámetros como frecuencia y el promedio de los 3 tiempos tomados lo consideramos el periodo, todo esto con las formulas del M.A.S.

Movimiento Armónico Simple Es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno) bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento. En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial:

La solución de la ecuación diferencial puede escribirse en la forma

Donde: : es la elongación de la partícula. : es la amplitud del movimiento (elongación máxima). : es la frecuencia angular : es el tiempo. : es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

[PRIMER LABORATORIO DE FISICA II]

UNI-FIM

Además, la frecuencia () de oscilación puede escribirse como:

Y por lo tanto el periodo (T) como:

La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

También la velocidad se expresa así: √

La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple son fuerzas conservativas y centrales. Por tanto, se puede definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la fuerza, de tal manera que su suma con la energía cinética (Ec) permanezca invariable a lo largo del desplazamiento:

Esta última magnitud Em recibe el nombre de energía mecánica. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

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UNI-FIM

La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto central del movimiento. Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los puntos x = − A y x = A. Se obtiene entonces que,

La ecuación mostrada nos muestra lo constante de su energía, además se tiene la siguiente grafica:

7

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Resorte:

L0 = 51,1 cm mr = 52,5 g

masa (g) ∆x (mm)

498,75 41

749,75 85

998,5 131

1497,25 219

Oscilaciones:

m(g) m1= 502 m2= 749,75 m3= 998,5 m4= 1248,5

t1 (s) 24,166 29,466 33,866 38,201

t2 (s) 24,546 29,526 34,140 38,206

t3 (s) 24,246 29,669 34,116 38,136

8

# de oscilaciones 40 40 40 40

periodo T 0,608 s 0,739 s 0,851 s 0,955 s

Frecuencia 1,645 Hz. 1,353 Hz 1,175 Hz 1,048 Hz

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1.- Determine la constante del resorte K promediando los resultados del paso 2. De la Tabla N°1:

masa (g) x (mm)

498,75 41

749,75 85

998,5 131

1497,25 219

Estos datos se ajustan por mínimos cuadráticos, de la cual se obtiene la siguiente relación: Y=Ax+B Donde: A=K (constante elástica del resorte)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

16000

14000

Peso(mN)

12000

y = 54.915x + 2647.9 R² = 0.9999

10000

8000 6000 4000

2000 0

0

50

100

150 Δx(mm)

 K= 54.915 N/m

9

200

250

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2.- Determine la frecuencia promedio con cada una de las masas y compare: f12/f22 con m2/m1



(

)

ʌ

(

)

ʌ

(

)

ʌ

(

)

ʌ

(

)

(

)

%Error = 0.337% f22/f42 con m4/m2



%Error = 0.119% f22/f32 con m3/m2



%Error = 0.376% f12/f42 con m4/m1



%Error = 0.925% f12/f32 con m3/m1



ʌ

%Error = 0.91% f32/f42 con m4/m3



ʌ

%Error = 0.477% De la ecuación:

√

√

= cte Los resultados deberían ser iguales, pero solo se aproxima debido al margen de error de laboratorio.

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3.- Adicionando a cada masa un tercio de la masa del resorte vuelva a comparar las razones de la ecuación(7) Ver apéndice. ¿Tiene algún comentario?

 2/ 2 con (m + m 1

2

2

resorte

/3) /(m1 + mresorte/3)

  1,478 1,476 Porcentaje de error = 0,135%

 2/ 2 con (m + m 2

3

3 resorte/3) /(m2 + mresorte/3)   1,325 1,324 Porcentaje de error = 0,075%

 2/ 2 con (m + m 1

3

3

resorte

/3) /(m1 + mresorte/3)

  1,960 1,955 Porcentaje de error = 0,255%

 2/ 2 con (m + m 2

4

4

resorte

/3) /(m2 + mresorte/3)

  1,666 1,650 Porcentaje de error = 0.9603%

 2/ 2 con (m + m 1

4

4 resorte/3) /(m1 + mresorte/3)   2,463 2,436 Porcentaje de error = 1,096%

 2/ 2 con (m + m 3

4

4 resorte/3) /(m3 + mresorte/3)   1,257 1,246 Porcentaje de error = 0,875%

Cuando se quiere hallar la frecuencia natural de un sistema amortiguado y se considera la masa del resorte se le aumenta la tercera de dicha masa a la masa del bloque para poder lograrlo, de allí la relación con esta pregunta.

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4.- Calcule la frecuencia para cada masa utilizando la ecuación 6, compare el resultado con las frecuencias obtenidas con la ecuación (6).Ver apéndice.

√ Reconocemos que esta fórmula es teórica y la compararemos con la hallada en el laboratorio:  Para m1: (Teórico) = 1,664  (experimental) = 1,645 Porcentaje de error = 1,141%  Para m2  (Teórico) = 1,362  (experimental) = 1,353 Porcentaje de error = 0,660 %  Para m3  (Teórico) = 1,180  (experimental) = 1,175 Porcentaje de error = 0,423 %  Para m4  (Teórico) = 1,055  (experimental) = 1,048 Porcentaje de error = 0,663 %

5.-¿Cómo reconocería si el movimiento de una masa que oscila, cumple un movimiento armónico? Ya sea un movimiento Armónico Simple, Armónico Amortiguado o Armónico Forzado. El movimiento armónico en general cumple ser periódica, oscilatorio y su desplazamiento que varia con el tiempo es expresado mediante funciones seno ó coseno. Si es armónico simpe su amplitud se mantiene constante, de lo contrario es amortiguado; pero si interviene una fuerza externa que quiere hacer que su amplitud sea constante será un amortiguado forzado.

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6.-¿Qué tan próximo es el movimiento estudiado aquí, a un movimiento armónico simple?. Es muy próximo ya que también hemos usado las ecuaciones que rigen su movimiento. A simpe vista no notamos la diferencia pero si dejamos que la masa siga oscilando notaremos que poco a poco disminuye su amplitud hasta detenerse, eso hace más notorio que es un M.A. Amortiguado.

7.- Haga una grafica de la masa vs. Periodo cuadrado. Utilice los resultados del paso 2. Del grafico anterior determine la masa del resorte utilizado y la constante del resorte. 1 0.9

Periodo2 (s2 )

0.8 0.7

y = 0.7255x + 0.0034 R² = 0.9998

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.5

1

1.5

masa(Kg)

T2=

(

)

 K=54.425 N/m

ʌ

m0 = 0.047Kg = 47g

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 Observamos que este movimiento se asemejaba mucho a un Movimiento Armónico Simple, pero analizando notamos que hay factores que influyen en su movimiento tales como la gravedad y el rozamiento del aire.  También notamos la influencia del soporte universal, en su “estabilidad”, en nuestras mediciones es para tomar en cuenta.  Hemos analizado las frecuencias obtenidas teóricamente experimentalmente obteniendo un error que no pasa del 2%

y

 Al encontrar el valor de la constante de la fuerza del resorte nos damos cuenta que tiene un mínimo margen de error debido a que aplicamos el método de los mínimos cuadrados  La frecuencia ni el periodo dependen de la amplitud  Pudimos observar el comportamiento de la velocidad, la dirección de la aceleración en cuento su posición variaba con el tiempo.

 Aumentar el número de oscilaciones alas cuales medirás el tiempo hará más precisa tu medición.  Para hacer también más preciso el promedio de tiempos medidos, se debe aumentar igualmente la cantidad de tiempos medidos.  Se comprobó que para hallar constantes, es as preciso realizar un ajuste de mínimos cuadrados pues su incertidumbre es menor.

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 Serway – Física para las ciencias y la ingeniería  Leyva. Física II  Sears Zemansky- Física Universitaria  Tipler- Física Universitaria  Alonso Fin- Física  http://www.uv.es/diaz/mn/node5.html  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm  http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple#Energ. C3.ADa_del_movimiento_arm.C3.B3nico_simple  http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteracti va/mas/cinematica/caracteristicas.htm

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Cuando sobre una masa actúa una fuerza elástica: F = -kx …(1) Tenemos como ecuación diferencial del movimiento: d 2x/dt2 + k/m x = 0 …(2) cuya solución general es: x= A cos( ωt + α ) …(3) donde: ω=√

…(4)

También se puede escribir: Ω = 2πf …(5) Siendo f la frecuencia y ω la frecuencia angular o natural Relacionando las ecuaciones (5),(4) y (1) se obtiene: F = (1/2π) √

…(6)

Teniendo en cuenta que F/x es constante deducimos que la frecuencia depende de la masa “m”, para dos masas suspendidas, por separado, del mismo resorte se obtiene: ( f1 /f2)2 = m2/m1…(7)

En el trabajo de laboratorio esta ecuación requiere de una corrección incrementando al valor de las masas, un tercio de la masa del resorte.

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