2. Hidraulicki Proracun Razgranatih i Prstenastih Vodovodnih Mreza-1

3 1.5 HIDRAULIČNI PRORAČUN MAGISTRALNIH VODOVODNIH MREŽA Postoje dva tipa magistralnih vodovodnih mreža: razgranate i prstenaste. Mesta spajanja i grananja cevi u mreži nazivaju se čvorovima. Razgranate vodovodne mreže (slika 1.9) sastoje se iz magistrala, grana i ogranka. Pucanje cevovoda ili neki drugi kvar dovode kod ovakvih vodovoda do prekida u snabdevanju vodom više potrošača. Ovakve mreže koriste se za snabdevanje vodom manjeg broja međusobno udaljenih potrošača koji dozvoljavaju i kratkotrajne prekide u snabdevaju (na primer seoski vodovodi). Prstenasta mreža (slika 1.10) sastoji se iz niza zatvorenih kola – prstenova iz čijih čvorišta se preko grana i ogranaka snabdevaju potrošači. Gradske vodovodne mreže dvosmerno snabdevaju potrošače vodom i ne zahtevaju prekid rada cele mreže pri isključenju pojedinih deonica. Vodovodne mreže protivpožarne zaštite izvode se isključivo kao prstenaste. Napajanje prstenastih vodovodnih mreža obavlja se na jednom ili više mesta preko magistralnih vodovoda, što zavisi od veličine mreže, rasporeda i položaja potrošača i njihove potrošnje. Prilikom projektovanja novih vodovoda, hidraulični proračun magistralnih vodovodnih mreža ima zadatak da definiše prečnike cevovoda i pritisak na mestu napajanja (ili mestima napajanja) pod uslovom da kroz deonice mreže protiču određene količine vode potrebnog pritiska. Može da se postavi i zadatak da se odrede prečnici cevovoda u deonicama prema raspoloživom pritisku na mestu napajanja. Kod magistralnih vodovodnih mreža lokalni gubici mehaničke energije iznose 5  10 % od gubitaka energije usled trenja. U prvom, približnom proračunu, gubici mehaničke energije u deonicama cevovoda računaju se po izrazu, Yg  Yg l  Yg tr   Yg tr , gde je Yg tr , gubitak mehaničke energije usled trenja, a lokalne gubitke (  1,05  1,10) .

 , koeficijent koji uzima u obzir

U hidrauličnom proračunu vodovodnih mreža moraju biti zadovoljena dva zakona hidraulike. Prvi, po kojem zbir protoka koji ulaze u čvor mora biti jednak zbiru protoka koji izlaze iz čvora, odnosno,  V u



 V i

i drugi, koji pokazuje da se pri ustaljenom strujanju razlika pritisaka između bilo koja dva protočna preseka “troši” na savlađivanje otpora i visinske razlike između ta dva preseka. Drugi zakon hidraulike formuliše energijska jednačina koja, napisana za dva strujna preseka I i II (pri čemu je presek II nizvodno), glasi: pI c p c  I  g z I  II  II  g z II  Yg I  II  2  2 pri čemu je Yg I  II gubitak mehaničke energije na putu od preseka I do preseka II. Zanemarujući razliku kinetičkih energija ( cI  cII ) , iz prethodne jednačine sledi da je, pI  pII   g ( z II  z I )  Yg I  II

(1.12)

S obzirom na gubitke mehaničke energije, invsticije i pojave hidrauličnog udara u vodovodima se preporučuju brzine strujanja vode između 0,75 i 2 m/s, s tim da niže vrednosti odgovaraju manjim prečnicima cevovoda. U tabeli 1.2 date su po proračunu ekonomičnosti preporučene brzine prema Esemanu.

4 Tabela 1.2 Cm D  mm  / s

 V

l

/ s  D  mm 

C  m / s

V  l / s

60

0,70

2

400

1,25

155

100

0,75

6

500

1,40

275

150

0,80

14

600

1,60

450

200

0,90

28

800

1,80

900

250

1,00

50

1000

2,00

1550

300

1,10

78

1200

2,20

2100

1.5.1 Hidraulični proračun razgranatih mreža Proračun razgranate vodovodne mreže biće izložen na primeru mreže čija je konfiguracija prikazana na slici 1.9. Neka su zadate sledeće veličine: – protoci na krajevima mreže V1 , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 , – pritisci na krajevima mreže

p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , – dužine svih deonica

LOA , L AD , LD1 , LD2 , L AB ,... LE 6 , – geodezijske visine krajeva zi (i 1, 2,..., 6) mreže u odnosu na mesto napajanja,

( z1  z0 ), ( z2  z0 ),...,( z6  z0 ) .

Slika 1.9 Razgranata vodovodna mreža Zadatak hidrauličnog proračuna je da se odrede prečnici svih deonica cevovoda DOA , DAD , DD1 , DD 2 , D AB ,... DE 6 ) i pritisak napajanja mreže p0 . Prema pritisku p0 određuje se visina napornog rezervoara, ili se bira pumpa. Tok proračuna je sledeći:

5 1. Najpre se odrede protoci Vij u svim deonicama prema sledećim jednačinama: V& OA 

6

 V&, i 1

i

V AD  V1  V2 ,

& & & V&AB  V& 3  V4  V5  V6 , VC4  V4 ,

VD1  V1 ,

VD2  V2 ,

VBC  V3  V4 ,

VC3  V3 ,

VBE  V5  V6 ,

VE 5  V5 ,

cij vode u deonicama, izračunaju njihovi

2. Zatim se na osnovu usvojenih brzina prečnici, Dij 

VE 6  V6 .

4V& ij

(1.13)

 cij

koji se standardizuju na prvi veći prečnik. U razmatranom primeru: – za usvojenu brzinu

cOA



DOA 

 4V OA cOA



c AD



D AD 

 4V AD c AD



standardno DOA – za usvojenu brzinu

standardno D AD , itd. 3. Izračunavaju se gubici energije Yg ij u svim deonicama. Kod cevovoda normalne hrapavosti preporučuje se primena Maningovog obrasca ( C  66 D1/6 ) prema kojem je, Ytrij  0, 0144

Li j 5,33 ij

D

2 V& ij

a uzimajući u obzir i lokalne gubitke (  1, 05) , Ytrij  0, 015

Li j 5,33 ij

D

2 V& ij

U razmatranom primeru na ovaj način računaju se gubici energije Yg AB , Yg BC , YgC 3 , YgC 4 , Yg BE , Yg E 5 , Yg E 6 .

(1.14) YgOA , Yg AD , YgD1 , YgD2 ,

4. Izračunava se pritisak na početku mreže idući duž strujnog toka svakog potrošača. Prema izrazu (1.12) dobija se: p0 (1)  p1   g ( z1  z0 )   YgOA   Yg AD   YgD1

p0 (2)  p2   g ( z2  z0 )   YgOA   Yg AD   Yg D 2 p0 ( 3)  p3   g ( z3  z0 )   YgOA   Yg AB   YgBC   YgC 3

p0 (4)  p4   g ( z4  z0 )   YgOA   Yg AB   Yg BC   YgC 4 p0 (5)  p5   g ( z5  z0 )   YgOA   Yg AB   YgBE   YgE 5

(1.15)

6 p0 ( 6)  p6   g ( z6  z0 )   YgOA   Yg AB   YgBE   YgE 6

gde je p0 (1) pritisak na početku mreže koji odgovara prvom potrošaču, p0 ( 2) pritisak na početku mreže koji odgovara drugom potrošaču, i tako redom, do pritiska p0 ( 6) koji odgovara šestom potrošaču. Da bi svi potrošači dobili zahtevanu količinu vode određenog pritiska mora biti zadovoljena jednakost, p0 (1)  p0 (2)  p0 (3)  p0 (4)  p0 (5)  p0 (6)

(1.16)

Po pravilu, prethodnim proračunom se jednakost pritisaka (1.16) ne postiže. Jedan od strujnih pravaca pruža najveći otpor, odnosno zahteva najveći pritisak na početku mreže i on je “merodavan” za ostvarivanje jednakosti (1.16) ako se ostane pri vrednostima ranije izračunatih prečnika duž tog strujnog pravca. Da bi se zadovoljio uslov (1.16) mora da se povećaju gubici mehaničke energije duž ostalih strujnih pravaca čime se postiže da njima odgovarajući pritisak na početku mreže (1.15) dostigne vrednost “merodavnog” pritiska. Tek kada se ovo postigne biće zadovoljena oba zakona hidraulike i svaki potrošač će dobiti zahtevanu količinu vode predviđenog pritiska. Povećanje gubitka energije u “nemerodavnim” strujnim pravcima može da se izvrši na više načina. Na primer, moguće je povećati otpore ugradnjom ventila. Međutim, najcelishodnije je to uraditi smanjenjem prečnika cevi u zadnjim deonicama čime se pojevtinjuje investicija. Neka je, na primer, “merodavan” strujni pravac ka potrošaču 3. Da bi se pritisci p0 (1), p0 (2), p0 (4), p0 (5) i p0 ( 6) doveli na vrednost p0 ( 3) , u strujnom pravcu 1 povećava se gubitak Yg D1 , u pravcu 2 gubitak YgD 2 , u pravcu 4 gubitak YgC 4 , u pravcu 5 gubitak Yg E 5 i u pravcu 6 gubitak Yg E 6 . Da bi se vrednost pritiska na pošetku cevovoda povećala od vrednosti p0 (1) koja odgovara “nemerodavnom” pravcu 1, na vrednost p0 ( 3) koja odgovara “merodavnom” pravcu 3, gubitke mehaničke energije u zadnjoj deonici ovog pravca (D1) treba povećati sa vrednosti Yg D1 na vrednost YgD1 , YgD1 

p0 (3)  p0 (1)  YgD1 

(1.17)

Prema izrazu (1.14) ovoliki gubitak energije omogućava cevovod prečnika, 2  0, 015 LD1 V& 1  DD1    YgD1  

1 5,33

(1.18)

Najčešće, po izrazu (1.18) dobija se nestandardni prečnik koji je manji od prethodno usvojenog standardnog prečnika DD1 . Pošto prečnik cevovoda treba da bude standardan usvaja se na delu l  deonice LD1 prvi manji standardni prečnik, dok na delu l   LD1  l  deonice LD1 ostaje prethodno usvojeni standardni prečnik. Dužina deonice l  manjeg prečnika izračunava se pomoću izraza  2  LD1  l  YgD1  0, 015 V&  1  DD5,33 1  odakle sledi,



l

 DD 1 

 

5,33



7 YgD1

L1  D5,33 2 & 0, 015 V1 DD1 l  1 1  5,33 5,33 DD1  DD 1 

(1.19)

Analignim postupkom (1.17) do (1.19) određuju se prečnici zadnjih deonica u ostalim “nemerodavnim” pravcima. 1.5.2 Hidraulični proračun prstenastih mreža Proračun prstenaste mreže razmotriće se na primeru mreže prikazane na slici 1.10.

Slika 1.10 Prstenasta vodovodna mreža Zadate veličine su: 1. Protoci u čvorovima iz kojih se odvodi voda potrošačima – Vi , i  1,2,...,9 . 2. Dužine svih deonica – Lij . 3. Geodezijske visine svih čvorova – zi , ili visinske razlike u odnosu na čvor u kojem se mreža napaja iz magistrale ( zi  z4 ) . 4. Najmanji dozvoljeni radni pritisak u mreži, a nekad i mesto gde ovaj treba da se održava. Mesto u mreži gde treba održavati najmanji dozvoljeni pritisak određuje gde mreža treba da se napaja i da li će napajanje biti na jednom ili više mesta. Protok napajanja mreže V0 jednak je zbiru protoka koji se iz čvorova šalju potrošačima, n

V0   Vi i 1

(1.20)

Zadatak hidrauličnog proračuna je da se odrede prečnici Dij svih deonica mreže, kao i pritisak napajanja ( u ovom slučaju pritisak p4 ), pod uslovom da svi potrošači dobijaju tražene protoke i rade na odgovarajućim pritiscima.

8 Rešenje zadatka treba da zadovolji oba zakona hidraulike. Po prvom zakonu, algebarski zbir protoka u svakom čvoru mreže treba da je jednak nuli,  (Vi  Vij )  0

(1.21)

i

što znači da zbir protoka koji ulaze u čvor (+) treba da je jednak zbiru protoka koji iz njega izlaze (–). Za razmatrani primer po ovom uslovu mogu da se napišu sledećih 8 nezavisnih jednačina (jedna manje od broja čvorova, zbog identiteta (1.20)): V41  V1  V12

V45  V5  V52  V56  V58

V12  V52  V2  V23

V56  V6  V63  V69

V23  V63  V3

(1.22)

V47  V7  V78

V0  V45  V41  V47  V4

V78  V58  V8  V89

Umesto jedne od jednačina (1.22) može se uzeti jednačina za čvor 9 , V89  V69  V9 .

Po drugom zakonu hidraulike koji mora biti zadovoljen, gubici mehaničke energije u svakom prstenu moraju biti uravnoteženi. Posmatrajući prvi prsten (slika 1.11 ), od čvora 4 do čvora 2 postoje dva strujna toka, jedan preko čvora 1, a drugi preko čvora 5. Kako je razlika energija u čvorovima jednaka gubicima energije na putu između čvorova, mora biti zadovoljen sledeći uslov:





Yg41  Yg12  Yg45  Yg52  0

Slika 1.11 Prvi prsten mreže

Prema gornjem izrazu algebarski zbir gubitaka mehaničke energije u prstenu mora biti jednak nuli, uzimajući sa negativnim znakom gubitke u deonicama sa smerom strujanja suprotnim od smera kazaljke na satu. Za ostale prstenove važe sledeće jednačine:

  Y  Y

  0  0

Yg52  Yg23  Yg63  Yg56  0 Yg56  Yg69 Yg45  Yg58

g89

 Yg58

g78

 Yg47

9 Gubici mehaničke energije mogu da se izraze formulom:  2 , Yg ij  K ij V ij

(1.23)

tako da uslovi uravnoteženja gubitaka mehaničke energije glase:

 0 K V  K V   K V  K V   0 K V  K V   K V  K V   0 K V  K V   K V  K V   0 2 2 2 K41 V41  K12 V122  K52 V52  K45 V45 52

56

45

2 52

2 56

2 45

23

69

58

2 23

2 69

2 58

63

89

78

2 63

2 89

2 78

56

58

47

2 56

2 58

(1.24)

2 47

Ako se gubici mehaničke energije računaju po izrazu (1.14), koeficijenti karakteristika gubitaka su: Lij K ij  0, 015 5,33 . (1.25) Di j Ako se sa s označi broj prstenova u mreži, sa r broj deonica, a sa n broj čvorova, ukupan broj jednačina oblika (1.22) i (1.24) je ( n  1)  s , a po Ojlerovoj teoremi o broju strana, rogljeva i ivica kod poliedra je r  ( s  1)  n , što znači da je broj jednačina jednak broju deonica u mreži. Da bi se odredili prečnici cevovoda Dij po deonicama potrebno je prethodno odrediti protoke Vij u njima. Pošto protoci u deonicama zavise od prečnika cevi zadatak se mora rešavati iterativno. U početnom približenju pretpostavljaju se protoci u deonicama, ali tako da zadovoljavaju uslove (1.22). Ovo praktično znači da se pretpostavi s (u primeru 4) protoka, a ostalih ( n  1) (u primeru 8) računaju se po jednačinama (1.22). Po određivanju protoka Vij , prečnici Dij računaju se po formuli (1.13), usvajajući preporučene brzine strujanja iz tabele 2. Posle određivanja prečnika proverava se valjanost pretpostavljenih protoka. Kod tačno određenih protoka moraju biti zadovoljeni uslovi (1.24). U početnom približenju do ovoga može doći samo slučajno, pa se zbog toga računaju odstupanja od nule razlika gubitaka energije u jednačinama (1.24):

K  K  K  K

 2  K  2  1  K 41 V 41 12 V12   2  K  2  2  K 52 V 52 23 V 23  2  K  2  3  K 56 V 56 69 V69  2  K  2  4  K 45 V 45 58 V58

52

 2  K  2 V 52 45 V 45

89

 2  K  2 V 63 56 V56 (1.26) 2   2 V89  K 58 V 58

78

 2  V 78

63

 2 K 47 V 47

Kada se odrede odstupanja  s ( s  1,2,3,4) određuju se novi protoci Vij (u prvom približenju), tako da budu zadovoljeni uslovi (1.22) i da odstupanja  s budu ispod dogovorene vrednosti koja je bliska nuli. Najčešće se smatra da su uslovi (1.24) ispunjeni kada su odstupanja  s  5 J / kg (što odgovara gubitku pritiska ispod 0,05 bara). Određivanje novih protoka vrši se po metodi Hardi Krosa (Hardy Cross). Novi protoci Vij određuju se tako što se prethodno utvrđeni protoci Vij koriguju za vrednost Vs , & &  V& ij  Vij   Vs

   

10 pri čemu se Vs menja od prstena do prstena, a brojčana vrednost mu zavisi od ranije utvrđenog odstupanja  s .

Slika 1.12 Uz određivanje popravnih protoka Neka su  1 i  4 negativne, a  2 i  3 pozitivne vrednosti i po apsolutnoj veličini veće od dozvoljenog odstupanja (na primer  s  5 J / kg ) (vidi sliku 1.12). Da bi se novim protocima zadovoljile jednačine (1.24) u prstenovima sa  s < 0 treba povećati protoke na putevima sa strujanjem u smeru kazaljke na satu, a smanjiti protoke na putevima sa strujanjem suprotnim smeru kazaljke na satu. U pstenovima gde je  s > 0 treba postupiti suprotno, odnosno, smanjiti protoke na putevima sa strujanjem u smeru kazaljke na satu, a povećati protoke na putevima sa strujanjem suprotnim smeru kazaljke na satu. U razmatranom primeru je, – za prvi prsten  1  0 , V41  V41   V1 , V12  V12   V1 ,

V52  V52   V1 ,

V45  V45   V1

– za drugi prsten  2  0 , V52  V52   V2 , V23  V23   V2 ,

V63  V63   V2 ,

V56  V56   V2

– za treći prsten  3  0 , V56  V56   V3 , V69  V69   V3 ,

V89  V89   V3 ,

V58  V58   V3

– za četvrti prsten  4  0 , V45  V45   V4 , V58  V58  V4 ,

V78  V78   V4 ,

V47  V47   V4

Veličine popravnih protoka Vs ( s  1,2,3,4) , u prstenovima određuju se iz uslova da novi protoci Vij zadovolje uslove (1.24). Prema ovom uslovu, za prvi prsten (  1  0 ) je,



K41 V41  V1

 K41 



2



 K12 V12  V1



K12  K52  K 45  V1



2



2



 K52 V52  V1





2



 K 45 V45  V1





2

 0

 2 K41V41  K12 V12  K52 V52  K45 V45 V1   1  0

Zanemarujući član koji sadrži V12 dobija se,

11   V 1

1 ,     K12V 12  K 52V52  K 45V45 ) 1  0 (1.27)

 2( K 41V 41

Prema učinjenoj pretpostavci (  2  0 ) , a po uslovu (1.24) u drugom prstenu mora da je,



  K 52 V 52  V2

 K52 







2

K23  K63  K56  V2



   K 23 V 23  V2 2



2





   K 63 V 63  V2



 2 K52V52  K23 V23  K63 V63  K56 V56 V2   2  0

Zanemarujući član koji sadrži V22 dobija se,   V 2

2 ,     2( K 52V52  K 23V23  K 63V 63  K 56V56 ) 2  0

(1.28)

U opštem slučaju, dakle, može da se napiše: Vs 

s

(1.29)

2  K ijVij s

Posle određivanja popravnih prrotoka V1 , V2 , V3 i V4 određuju se u prvom približenju protoci Vij u deonicama mreže. U deonicama koje su zajedničke za dva prstena, da se ne bi narušila ravnoteža algebarskog zbira protoka u čvorovima, protok Vij se koriguje i s obzirom na Vn i Vm protok, pri čemu su n i m prstenovi kojima je ij deonica zajednička. Prema slici 1.12 protoci u prvom približenju iznose: V41  V41   V1

V56  V56   V2   V3

V12  V12   V1 ,

V69  V69   V3

V52  V52   V1   V2 ,

V89  V89   V3

V45  V45   V1   V4

V58  V58   V3   V4

V23  V23   V2 ,

V78  V78   V4

V63  V63   V2 ,

V47  V47   V4

Po određivanju protoka Vij u prvom približenju, određuju se nove vrednosti  s odstupanja jednačina (1.24) od nule. Iterativni postupak određivanja protoka Vij nastavlja se sve dok odstupanja  s u svim čvorovima ne budu manja od unapred dogovorene vrednosti. Prema zadatoj vrednosti minimalnog pritiska sada se može odrediti pritisak napajanja mreže, kao i pritisci u ostalim čvorovima mreže.

12

1.6 HIDRAULIČNI UDAR 1.6.1 Pojava hidrauličnog udara Nagla promena protoka u cevovodu, izazvana bilo naglim zatvaranjem cevovoda, bilo naglim prestankom rada pumpe, dovodi do naizmeninog (oscilatornog) pojačavanja i slabljenja pritiska, što se ispoljava nizom udara u zid cevi. Udari se mogu zapaziti i po zvuku i po opterećenju cevi, a njihovo dejstvo može da izazove i havariju cevovoda. Kompleks pojava koje nastaju u cevovodu zbog nagle promene brzine strujanja ruski naunik Žukovski nazvao je hidrauličnim udarom. Žukovski je prvi (1889.god.) teorijski obradio problematiku hidrauličnog udara, odnosno, postavio diferencijalne jednaine i našao njihova rešenja. Zbog većih promena pritisaka do kojih dolazi pri hidrauličnom udaru, pri objašnjenju ovog fenomena mora se uzeti u obzir i stišljivost tečnosti, kao i elastičnost cevovoda. Kretanje

13 tečnosti za vreme hidrauličnog udara je oscilatorno, a zahvaljujući postojanju trenja oscilacije se prigušuju i tokom vremena iščezavaju. a) Razvoj hidrauličnog udara koji nastaje pri naglom zatvaranju cevovoda Neka iz rezervoara velike zapremine ističe voda kroz pravu horizontalnu cev na čijem kraju se nalazi zaporni ventil (slika 1.13a). Zapremina rezervoara je tolika da se nivo vode u njemu može smatrati konstantnim – nezavisnim od protoka vode kroz cev. Pri otvorenom ventilu strujanje vode u cevi je ustaljeno, sa brzinom c0 . Zanemarujući gubitke mehaničke (strujne) energije u cevi, pritisak u cevi je konstantan i iznosi p0 . Neka se ventil na kraju cevi naglo zatvori i neka od tog trenutka počinje merenje vremena (t  0 ) . U trenutku naglog zatvaranja ventila pritisak u sloju zaustavljene tečnosti ispred zatvarača naglo raste (od p0 na p0   p , pri čemu  p može biti znatno veće od p0 ). Zbog povećanja pritiska zaustavljena tečnost se sabija (od gustine  na gustinu   d  , jer je tečnost slabo stišljiva), a zbog elastičnih deformacija presek cevi na mestu zaustavljanja poveća se za dA (pošto je modul elastičnosti materijala cevi velik). Sabijanje tečnosti i elastične deformacije cevi stvaraju uslove da i po zatvaranju ventila voda iz rezervoara utiče u cev, dok se, s druge strane, zapremina zaustavljene tečnosti pod povišenim pritiskom povećava i u vidu talasa povišenog pritiska širi uzvodno brzinom a . U trenutku t  L / a , gde je L dužina cevi, sva tečnost u cevi je zaustavljena i miruje pod pritiskom p0   p koji je veći od pritiska u rezervoaru. Ovakvo stanje je neodrživo i voda će pod dejstvom razlike pritisaka krenuti iz cevi u rezervoar, a talas uspostavljanja prvobitnog pritiska kretaće se ka zatvaraču. U trenutku t  2 L / a sva tečnost u cevi biće pod pritiskom p0 i kretaće se ka rezervoaru, izuzimajući tanak sloja uz ventil kojem ovo ne dozvoljavaju adhezione sile na okvašenoj površini ventila i kohezione sile u sloju tečnosti uz ventil. Posledica ovoga je da je tečnost uz ventil zaustavljena uz sniženje pritiska na p0   p , što izaziva i smanjenje gustine tečnosti na   d  i preseka A  dA . Ovim je počela faza sniženja pritiska. U vremenskom intervalu cevi na 2 L / a  t  3 L / a talas sniženog pritiska širi se od ventila ka rezervoaru. U trenutku t  3 L / a sva tečnost u rezervoaru miruje pod pritiskom koji je znatno manji od pritiska u rezervoaru. Od ovog trenutka zbog razlike pritisaka u rezervoaru i cevi, tečnost počinje da struji ponovo ka ventilu, a talas uspostavljanja ovakvog stanja do ventila stiže u trenutku t  4 L / a . U tom trenutku stanje u cevi je isto kao u trenutku zatvaranja ventila i proces se dalje ponavlja. Promena pritiska u vremenu prikazana je grafički na slici 1.13 za dva preseka cevi, kod zatvarača (slika 1.13b) i na sredini cevi (slika 1.13c). Udaljavanjem od zatvarača vremenski periodi povećanog i sniženog pritiska se smanjuju.

14

Slika 13 Razvoj hidrauličnog udara pri naglom zatvaranju ventila b) Razvoj hidrauličnog udara koji nastaje pri naglom prestanku rada pumpe U ovom slučaju hidraulični udar nastaje u potisnom cevovodu kroz koji pumpa potiskuje vodu u potisni rezervoar. Iza pumpe se nalazi nepovratni ventil koji pri prestanku rada pumpe ne

15 dozvoljava da se voda iz rezervoara vraća u crpište. Potisni rezervoar je velike zapremine, tako da se visina vode u njemu može pri razmatranju smatrati konstantnom. Voda u potisnom cevovodu struji brzinom c0 . Zanemarujući gubitke mehaničke energije, pritisak u razmatranom horizontalnom cevovodu je konstantan i iznosi p0 .

Slika 14 Razvoj hidrauličnog udara pri naglom zatvaranju ventila

Neka je pumpa trenutno prestala sa radom u trenutku vremena koji se može označiti kao t  0 i neka od tog trenutka počinje merenje vremena. U tom trenutku stanje u cevovodu je nepromenjeno, osim u sloju neposredno uz nepovratni ventil na početku cevovoda, gde tečnost miruje. Usled inercije i ova tečnost teži da nastavi kretanje, čemu se suprotstavljaju adhezione sile na okvašenoj površini ventila i kohezione sile u sloju tečnosti uz ventil. Ovo ima za posledicu zaustavljanje tog sloja tečnosti uz sniženje pritiska na p0   p . Zapremina zaustavljene tečnosti se vremenom povećava i u vidu talasa sniženog pritiska širi ka potisnom rezervoaru. Smanjenje pritiska ima za posledicu smanjenje gustine tečnosti i smanjenje preseka cevi. U trenutku t  L / a poremećajni talas stiže do kraja cevovoda čime je uspostavljeno

16 stanje sniženog pritiska u celom cevovodu. Kako se ovaj, sniženi pritisak razlikuje od pritiska u rezervoaru (koji je veći) doći će do strujanja tečnosti iz rezervoara ka pumpi (nepovratnom ventilu) uz uspostavljanje pritiska p0 (koji je prethodno ostvarila pumpa, ali za suprotosmerno strujanje). U trenutku t  2 L / a poremećajni talas pritiska p0 stigao je do nepovratnog ventila i u celoj cevi je uspostavljen prvobitni pritisak (ali sa suprotosmernim strujanjem), izuzimajući tanak sloj tečnosti uz nepovratni ventil gde je tečnost zaustavljena uz skok pritiska. Nastalo je, dakle, isto stanje kao i uslučaju zatvaranja ventila na kraju cevovoda kroz koji tečnost ističe iz rezervoara sa svim daljim, već opisanim, fazama razvoja hidrauličnog udara. Pri naglom prestanku rada pumpe u fazi sniženja pritiska može da dođe i do pojave većih podpritisaka (8  9 m H 2 O) , koji dovode do parnih džepova i prekida kontinuiteta tečnosti. Ovo je veoma opasno, pošto u ovakvim slučajevima u fazi povišenja pritiska dolazi do znatno većih pritisaka. Zbog ovoga, kao važan element zaštite cevovoda od hidrauličnog udara predpostavljaju uređđaji koji sprečavaju stvaranje parnih džepova. 1.6.2 Povećanje pritiska i brzina širenja poremećaja a) Povećanje pritiska Bez obzira da li je hidraulični udar izazvan naglim smanjenjem ili povećanjem pritiska u instalaciji, na hidrodinamičko stanje tečnosti najviše utiču inercijske i pritisne sile. Kod dugih cevovoda moraju se uzeti u obzir i sile trenja pošto one u toku vremena amortizuju udar. U odnosu na pomenute sile spoljašnje sile mogu da se zanemare, mada njihovo uzimanje u obzir ne bi komplikovalo rešavanje problema. Naime, u ovom slučaju, umesto pritiska p uzeo bi se generalisani pritisak P = p - U, gde je U potencijal spoljašnjih sila. Ukoliko se spoljašnje sile zanemare iz Ojlerove jednačine dc 1 dp  , dt  dx

(1.31)

može da se odredi promena pritiska u tečnosti koja je prouzrokovana promenom brzine. Ako je brzina širenja poremećajnih talasa, ustvari brzina prostiranja zvuka u datim uslovima, onda se može pisati da je d x  a dt (1.32) Zamenom prethodnog izraza u jednačinu (1.31) dobija se promena pritiska d p    a dc , odakle se posle integraljenja u granicama od početnog stanja ( p0 , c0 ) do krajnjeg stanja definisanog oznakama ( p , c ) dobija promena pritiska  p  p  p0   a  c0  c  . (1.33) Maksimalno povećanje pritiska, očigledno, nastaje u slučaju potpunog zaustavljanja strujnog toka (c = 0), kada je  pmax   a c0 . (1.34) Dakle, ukoliko se poznaje brzina prostiranja zvuka u odgovarajućim uslovima moguće je odrediti maksimalni porast pritiska izazvan trenutnim zatvaranjem strujnog toka. Međutim, realni strujni tok ne može da se zaustavi trenutno. Ma koliko ono bilo kratko, uvek prođe izvesno vreme tz dok zatvarač potpuno ne preseče strujni tok. Postoji još jedno vreme koje bitno utiče na ostvarivanje veličine skoka pritiska, a to je vreme za koje poremećajni talas

17 pređe put od zatvarača do reflektujuće površine i nazad do zatvarača. Ukoliko je rastojanje zatvarača od reflektujuće površine L, pomenuto vreme (tzv. vreme faze) iznosi 2L tf  . (1.35) a Ako je t z  t f , strujni tok će biti zaustavljen pre nego što poremećajni talas, po odbijanju od površine refleksije, stigne nazad do zatvarača. U tom slučaju nastaje tzv. potpuni hidraulični udar pri kojem je porast pritiska određen formulom Žukovskog. U suprotnom, kada je t z  t f , u pitanju je nepotpuni hidraulični udar, sa manjim porastom pritiska određenim izrazom,  p   a c0

tf tz

,

t f  tz .

(1.36)

Naime, kada je t z  t f strujni tok nije potpuno presečen u trenutku kada se poremećajni talas vrati nazad do prepreke, što omogućava da izvesna količina tečnosti istekne iz instalacije čime je onemogućeno stvaranje veoma velikog pritiska. Očigledno je, iz izraza (1.35) i nejednakosti t z  t f , da će hidraulični udar biti utoliko jači ukoliko je cevovod duži a vreme zaustavljanja strujnog toka kraće. b) Brzina širenja poremećaja Posmatrajmo strujni tok koji ima konstantnu brzinu c0 i pritisak p0 u horizontalnoj cevi prečnika D, dužine L i debljine zida c (slika 1.15). Ukoliko je posmatrani strujni tok trenutno zaustavljen na mestu zatvarača doći će do porasta pritiska za vrednost  p pošto je brzina na to mestu c = 0. Povećanje pritiska se dalje širi brzinom prostiranja zvuka a ka površini refleksije. Pri tome, tečnost zbog svoje stišljivosti i elastičnosti cevi i dalje pritiče ka zatvaraču. Neka je u nekom trenutku vremena t poremećajni talas stigao do preseka 1-1. U oblasti između zatvarača i preseka 1-1 vlada povišeni pritisak p0   p , pri čemu deo pritiska  p može biti mnogo veći od početnog pritiska p0. Istovremeno, gustina tečnosti se povećala za d , a poprečni presek cevi za dA . Za vreme dt poremećajni talas će stići do preseka 2-2 prešavši put ds = a dt. Očigledno je da je za to vreme u zapreminu tečnosti između preseka 1-1 i 2-2 ušla dodatna masa tečnosti. Ukoliko se zanemari proizvod malih veličina d dA , kao mala veličina drugog reda, povećanje mase tečnosti iznosi:

   d    A  dA  a dt   Aa dt   Ad    dA  a dt . Pomenuto povećanje mase tečnosti jednako je količini tečnosti koja je brzinom c0 ušla kroz presek 2-2 za isto ono vreme dt za koje je poremećajni talas prešao put ds između preseka 1-1 i 2-2. Na osnovu ovoga mora da postoji jednakost

 Ad    dA  a dt  c0 A dt , iz koje se dobija  d dA   a  c0  A  

(1.37)

18

Slika 1.15 Brzina širenja poremećaja

U prethodnom izrazu nepoznati su odnosi u zagradi. Iz definicije koeficijenta stišljivosti s

1 dv 1 d   , v dp  dp

v

1 

i modula stišljivosti   1/ s dobija se d  dp p  c0 a       

(1.38)

Pretpostavljajući da su cevi tankozidne povećanje pritiska prouzrokuje napon na istezanje  

p D 2 c

(1.39)

koji elstično deformiše cev (povećavajući joj obim l0  D ). Po Hukovom (Hook) zakonu u području malih deformacija važi relacija   E

dl0 l0

 E

dD , D

(1.40)

tako da se uz korišćenje prethodna dva izraza izračunava odnos



dA d D 2 / 4  A D2 / 4





2dD  p D  2  2  D E 2 c E . (1.41)

Zamenom izraza (1.38) i (1.41) u izraz (1.37) i rešavanjem po brzini a dobija se:

19  / 

a 

1

D E c

(1.42)

.

Veličina a 0   /  predstavlja brzinu zvuka, odnosno, brzinu širenja poremećaja u slučaju kada bi prostor bio neograničen. Izraz (1.42) izveo je 1898. godine Žukovski proučavajući nestacionarno kretanje tečnosti primenom diferencijalnih jednačina kretanja. Nekoliko godina kasnije Alijev je vršeći eksperimente u vodovodnim cevima od raznog materijala došao do empirijskog izraza: a 

9900 N D 48,3  c

(1.43)

,

gde je N konstanta za određenu vrstu materijala cevi i iznosi: N = 0,5 – za čelične vodovodne cevi, N = 1,0 – za cevi od livenog gvožđa, N = 0,5 – za olovne cevi. U tabeli 1.2 navedene su vrednosti modula stišljivosti za neke tečnosti i modula elastičnosti najčešće korišćenih materijala cevi. Tabela 1.2 Fluid

 ( N / m2 )

Materijal

E ( N / m2 )

Voda Ahohol Etar Benzin Petrolej Nafta

20,6  108

Čelik Liveno gvožđe Olovo Beton Drvo Guma

20,6  1010

12,7  108 8,8  108 10,8  108 14,0  108 13,5  108

9,8  1010 0,5  1010 2,0  1010 1,0  1010 20–60  1015

Treba napomenuti da prethodni izrazi za brzinu prostiranja poremećaja važe samo za čistu tečnost. Međutim, svaka tečnost sadrži u sebi i izvesnu količinu rastvorenog gasa, koja zavisi od pritiska i temperature na kojoj se tečnost nalazi. Količina rastvorenog gasa raste sa povećanjem pritiska i snižavanjem temperature. Svaka tečnost pri određenom pritisku istisne iz sebe sav gas. Za vodu taj pritisak iznosi 0,24 bar. Rastvoreni gas smanjuje modul stišljivosti tečnosti, čime se smanjuje brzina prostiranja poremećajnih talasa. Na primer, zapreminska koncentracija vazduha od 1% u vodi smanjuje brzinu a na oko 200 m/s, što predstavlja smanjenje od oko 7 puta, imajući u vidu da se poremećajni talas u neograničenom prostoru ispunjenim vodom prostire brzinom od oko 1400 m/s. U istom odnosu smanjuje se i intenzitet hidrauličnog udara koji bi se desio u takvoj vodi. Treba reći da voda na atmosferskom pritisku može da rastvori i do 2% vazduha. 1.6.3 Zaštita cevovoda od hidrauličnog udara Kao posledica hidrauličnog udara mogu da nastanu veoma velike havarije na hidrauličnim instalacijama. To ukazuje da se zaštiti cevovoda i ostalih uređaja u hidropostojenjima mora posvetiti odgovarajuća pažnja. Mere zaštite sastoje se kako u preduzimanju svih potrebnih mera da do hidrauličnog udara ne dođe, tako i u korišćenju odgovarajuđih zaštitnih uređaja.

20 Vrsta zaštitnog uređaja kao i mesto njegovog postavljanja zavise od vrste i režima rada hidropostrojenja. a) Postepeno zatvaranje ventila Postepeno zatvaranje ventila je jedna od mera zaštite cevovoda od hidrauličng udara. Na razne načine se obezbeđuje to da se ventil ne može zatvoriti trenutno. Ponekad se teži da brzine strujanja opadaju po nekom zakonu, najčešće linerno, što omogućava da se i poprečni presek cevovoda menja na isti način,  t  c  c0  1   , tz  

 t  A  A0  1   tz  

gde je tz vreme zatvaranja ventila. Vreme zatvaranja ventila mora biti u svakom slučaju veće od vremena faze tz  t

f



2L . a

b) Vodostan Vodostanom se naziva rezervoar postavljen u hidrocentralama između akumulacijskog jezera i turbina, obično na mestu gde se cevovod prelama ka turbini. U periodu normalnog rada hidropostrojenja vodostan ima ulogu pijezometra. Međutim, kada dođe do poremećaja u radu, odnosno do nagle promene protoka, vodostan ima ulogu da spreči prenošenje poremećajnog talasa u dovodni tunel, jer se o slobodnu povšinu vode u njemu talas odbija i oslabljen vraća u cevovod. Istovremeno, vodostan prima deo vode koja po inerciji struji iz akumulacijskog jezera, zbog čega nivo vode u njemu raste. Postavljanjem vodostana skaćuje se dužina puta koju poremećajni talas prelazi, a time i vreme faze tf čime se omogućava sa većom verovatnoćom postizanje uslova tz > tf .

Slika 1.16 Vodostan b) Vetrenik Za razliku od vodostana, vetrenik je zatvoren i u njemu je vazduh pod pritiskom koji je veći od atmosferskog. Vazduh poput opruge reguliše punjenje i pražnjenje vetrenika vodom za vreme hidrauličnog udara. Ugrađuje se kod pumpnih postrojenja i to na početku potisnog dela cevovoda. Vetrenik pre svega štiti potisni cevovod od hidrauličnog udara pošto je pumpa zaštićena nepovratnim ventilom. Radi veće sigurnosti ceo sistem može biti zaštićen još i obilaznim vodom (by-pass) kroz koji voda iz potizsnog cevovoda struji u usisni za vreme hidrauličnog udara.

21

Slika 1.17 Vetrenik