2 Geometrija Oz

>0

=0

O1

n

1    

 N 1

1 C

 N2 n

2 O2

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.1 OSNOVI TEORIJE OZUBLJENJA 2.1.1 Poloide i rulete Trenutni pol brzina pri proizvoljnom ravninskom * gibanju nekog krutog tijela, figure ili krivulje mijenja svoj položaj za vrijeme tog gibanja. Ako se za neki interval vremena odrede za dato kruto tijelo (štap, tj. duljina na slici 2.1) sukcesivni položaji trenutnog pola, krivulja koja spaja ove točke naziva se nepomična poloida . Pri tome se točka A štapa štapa kreće po putanji, putanji , a točka B štapa  po putanji b, slika 2.1a. Ako se sada trokuti A 1B1P1, A 2B2P2 i A 3B3P3 premjeste u zadnji položaj štapa tako da se A 1B1, A2B2 i A3B3 poklope s AB, dobit će se novi novi položaji trenutnih kinematskih ' ' '  polova P1 , P2 i P3 . Spajanjem ovih točaka dobije se krivulja relativnih položaja trenutnih polova s obzirom na krajnji položaj štapa AB, tj. s obzirom na kruto tijelo. Ova krivulja se naziva  pomična  poloida. Očito je da kada se pomična poloida odvaljuje (kotrlja bez klizanja) po nepomičnoj  poloidi, tada se polovi P1' , P2' i P3'  poklope, tj. dođu u položaj polova P 1, P2 i P3. To znači da se  proizvoljno ravninsko gibanje štapa AB, tj. čitavog (proizvoljnog) krutog tijela može opisati kao odvaljivanje od valjivanje jedne pomične po jednoj nepomičnoj poloidi, slika sli ka 2.1b. Pri 2.1b.  Pri tome odvaljivanju svaka točka štapa, kao i svaka točka kruto vezana za štap , opisuje jednu krivulju koja se zove ruleta.  Najpoznatije i u tehnici najviše primjenjivane rulete su cikloida  koja se dobije odvaljivanjem kružnice po pravcu i evolventa kruga koja se dobije odvaljivanjem pravca po kružnici. aa)) A3 A1

b)

A

A

A2

B2

B1

P'1 P1

P'2 P2

B3

B

B

P'3 P3

P

P

Slika 2.1: Proizvoljno gibanje krute figure u ravnini r avnini a) konstrukcija nepomične i pomične pomične poloide b) odvaljivanje pomične po nepomičnoj nepomičnoj poloidi

2.1.2 Obvojnice, evolute i evolvente Jednadžba F( x, y,C ) = 0 predstavlja jednoparametarsku  porodicu krivulja. Za svaku vrijednost konstante C dobije se jedna određena krivulja iz porodice, slika 2.2. Krivulja koja svakom svojom točkom tangira krivulje iz porodice naziva se obvojnica (anvelopa) porodice krivulja, slika 2.2. * Ravninskim gibanjem krutog tijela naziva se gibanje pri kojemu se sve točke tijela gibaju u ravninama paralelnim nekoj nepokretnoj (osnovnoj) ravnini - 28 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Obvojnica se za većinu porodica krivulja porodica  krivulja lako može odrediti, analitički i grafički.

Slika 2.2: Porodica krivulja i njihova obvojnica  Evoluta 

"e" neke krivulje "f" je geometrijsko mjesto njezinih središta zakrivljenosti, slika 2.3. To znači da normala u svakoj točki krivulje tangira evolutu u točki (diralištu) koja je središte zakrivljenosti krivulje, a  polumjer zakrivljenosti  ρ krivulje u toj točki je udaljenost te točke točke od dirališta. Sama krivulja "f" naziva se evolventa.

f

e

Slika 2.3: Evoluta i evolventa

Iz uvjeta da je koeficijent smjera evolute u nekoj točki ( x1 ,  y1) okomit na evolventu, lako se može za poznatu evolutu odrediti evolvente i obrnuto. Grafičk i postupak je još  jednostavniji. Zapaža Zapaža se također da je evoluta neke krivulje krivulje obvojnica njezinih normala. Iz slike 2.3 je očito da je evolventa ruleta koja se dobiva odvaljivanjem pravca (tangente) kao pomične poloide po evoluti kao nepomičnoj poloidi.

2.1.3 Cikloida i evolventa kruga 2.1.3.1 Cikloida Cikloida je ruleta dobivena odvaljivanjem kružnice po pravcu, slika 2.4a. Pri tome svaka točka formira svoju cikloidu, ali se ovdje promatra jedna, npr. ona označena s  s   "a" koju opisuje  proizvoljna točka A. Pri istom i stom odvaljivanju, svaka točka kruto vezana za kružnicu opisuje svoju ruletu: produženu cikloidu "b" ako je točka izvan kružnice, npr. točka B, slika 2.4b; skraćenu cikloidu "c" ako je točka unutar kružnice, npr. točka C. Evoluta cikloide je ista takva cikloida, ali  pomaknuta u smjeru nepomične poloide (pravca) za  polovinu opsega opsega kružnice i spuštena spuštena za vrijednost vrijednost njezinog promjera. promjera.  Epicikloide  su rulete dobivene odvaljivanjem kruga po krugu s vanjske hipocikloide rulete dobivene odvaljivanjem kr uga uga po krugu s unutrašnje strane.

strane, dok su Slično kao i kod obične cikloide, produženu ili skraćenu epicikloidu ili hipocikloidu opisuju točke kruto vezane za  pomičnu poloidu s njezine vanjske vanjske ili unutrašnje strane, strane, pri istom odvaljivanju.

- 29 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

A2

a)

A1

A3

A4

A  b)

B2 C2

B1 C1

C3

B3 C4

C B

B4

Slika 2.4: Cikloida a) obična b) produžena i skraćena

Evoluta obične epicikloide je obična epicikloida sabijena (smanjena) u omjeru 1: (1 + 2 r/R) gdje su r  i  R  polumjeri pomične i nepomične kružnice. Evoluta obične hipociklide je također obična hipocikloida, ali istegnuta (povećana) u odnosu na svoju evolventu u omjeru 1: (1  – 2r/R) i zakrenuta za kut πr/R.

2.1.3.2 Evolventa kruga Evolventa kruga je ruleta koja se dobije odvaljivanjem pravca p po kružnici, slika 2.5. Pri tome je kružnica evoluta (nepomična poloida) koja će se ubuduće nazivati temeljnim krugom s  polumjerom r  b  i promjerom d  b. Ako se ne naglasi drugačije, pod imenom "evolventa" će se  podrazumijevati evolventa kruga. Kao i svaka druga evolventa, ona ima sl jedeća svojstva: normala u svakoj njezinoj točki tangira temeljni krug • točka u kojoj normala tangira temeljni krug je središte zakrivljenosti evolvente, tj.  polumjer zakrivljenosti joj je ρ = AN • svaka točka pravca  p opisuje jednu evolventu i sve su one ekvidistantne, međusobno i s nacrtanom evolventom "a" koju opisuje točka A. •

Pri istom odvaljivanju pravca p po kružnici točka B kruto spojena s pravcem  p opisuje produljenu "b", a točka C1 skraćenu "c1" evolventu, slika 2.5. Posebnu vrstu skraćene evolvente, Arhimedovu spiralu "c2", opisuje točka C2 udaljena od pravca za polumjer OM = AC2  temeljnog kruga- evolute.

- 30 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

B

A C1 C2 M

 N

O

Slika 2.5: Evolvente kruga  Navedena svojstva evolvente lakše je uočiti i u stvarnosti nacrtati ako se konopac prebačen preko nepokretnog temeljnog kruga po njemu odvaljuje svojim preostalim, nategnutim dijelom, umjesto  pravca, slika 2.6. Dakle, odmatanjem konopca, držeći ga stalno napetim, imitira se odvaljivanje  pravca pa svaka točka napetog dijela konopca opisuje evolventu. Sada je očito da je  polumjer zakrivljenosti evolvente ρy = YN u proizvoljnoj točki Y jednak kružnom luku MN :   YN =    MN    ρ y =

(2.1)

Oštri kut αy kojeg zatvaraju normala i polumjer-vektor u nekoj proizvoljnoj točki Y evolvente naziva se kutem pritiska u točki Y ili na krugu polumjera r y. Budući da je duljina YN = r  b tan αy, a luk MN = r  b·ψ y = r  b·(φ + αy), proizlazi da je kut φ između polumjer vektora točaka Y i M, koji dakle definira položaj proizvoljne točke Y evolvente u odnosu na njezino ishodište u točki M,  jednak:   

ϕ = tan α y − α y  

(2.2)

Izraz na desnoj strani ove jednadžbe u matematici se označuje s inv αy  i naziva se evolventna  funkcija kuta αy invα y = tan α y − α y  

(2.3)

tj. kut φ je jednak evolventnoj funkciji kuta pritiska u točki Y: ϕ = inv α y . - 31 -

(2.4)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Y M

 N

Slika 2.6: Nastanak evolvente i njezina funkcija Kut pritiska na proizvoljnom promjeru r y računa se prema slici 2.6: α y = arccos

 r  b r y

.

(2.5)

2.1.4 Osnovni zakon zupčanja  Na slici 2.7 su prikazana dva spregnuta profila (tj. boka zuba) koji se valjaju jedan po drugome, a istovremeno rotiraju oko svojih centara rotacije O1 i O2  udaljenim za osni razmak a. Oni  predstavljaju viši kinematički par. Gibanje se prijenosi s profila 1 na profil 2. S ω 1 označena je kutna brzina profila 1, a s ω 2 kutna brzina profila 2. U proizvoljnom trenutku, profili se dodiruju i valjaju u proizvoljnoj točki Y (trenutna točka dodira). Potrebno je odrediti omjer kutnih brzina obaju profila u ovisnosti o njihovoj geometriji. U tu svrhu, povlači se zajednička normala n -n u trenutnoj točki dodira Y. Kutevi N1O1Y ≡ αy1 i   N2O2Y ≡ α y2 su kutevi pritiska u točki Y kao točki boka 1 i boka 2, odnosno kutevi pritiska na krugovima r y1 i r y2. Oni se određuju temeljem izraza (2.5): cos α y1,2

=

O1,2 N1,2 r y1,2

 

(2.6)

Kut αw naziva se kut zahvata. Za vrijeme proce sa kotrljanja, u općem slučaju, dok se dodirna točka pomiče po putanji (krivulji) definiranoj oblikom profila, kutevi α y1, α y2 i α w, kao i krugovi r y1 i r y2, se mijenjaju. Obodne brzine točke Y kao točke profila 1 i 2 su: v1 = r y1ω 1

v2 = r y 2ω 2  

- 32 -

(2.7)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

O1

n

1    

 N1

1 C

  a

 N2 n

2 O2

Slika 2.7: Kotrljanje dvaju profila uz istodobnu rotaciju Vektorska razlika ovih brzina naziva se brzina klizanja spregnutih profila i uvijek je usmjerena u  pravcu tangente na profil. Obodne brzine mogu se rastaviti na komponente u smjeru tangente ( vt1, vt2) i u smjeru normale (vn1, vn2). Da bi se prijenos gibanja odvijao pravilno, komponente vn1 i vn2 moraju biti međusobno jednake. U protivnom bi se profil 1 utiskivao u profil 2 ili bi se od njega odvajao pa prijenos gibanja ne bi bio kontinuiran. Iz uvjeta jednakosti normalnih komponenti obodne brzine proizlazi: vn1 = v1 cos α y1 = vn2 = v2 cos α y2  

(2.8)

Uvrštavajući ovdje izraz (2.7) te uzimajući u obzir izraz (2.6), dobiva se ω 1 O 2 N 2   = ω 2 O1N 1

(2.9)

Budući da je O1 N1 = O1C cos α w

O 2 N 2 = O2 C cosα w ,

 proizlazi analitički oblik osnovnog pravila zupčanja: - 33 -

(2.10)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

ω 1 O 2 C = = i = const   ω 2 O1C

(2.11)

Odavde je vidljivo da za konstantni prijenosni omjer točka C zauzima uvijek isti, stalni položaj, tj. dijeli osni razmak na dva nepromjenjiva dijela,  bez obzira koje točke profila su trenutno u zahvatu i bez obzira kakvog su oblika krivulje profila. To znači da se ovo, složeno  kotrljanje  proizvoljnih profila, može opisati kao jednostavno međusobno odvaljivanje dviju kružnih poloida s polumjerima O1C i O2 C koje istodobno rotiraju oko svojih osiju. Budući da u točki C nema klizanja između profila (bokova zubi), jer su u njoj obodne brzine v1 i v2 paralelne i jednake, kotrljanje ovih kružnica je čisto odvaljivanje, bez klizanja. Zbog toga se ove kružnice, tj. njihovi krugovi, općenito u kinematici nazivaju poloidama, a u teoriji ozubljenja kinematskim krugovima. Točka C je trenutni centar relativnog gibanja zupčanika 1 i 2 ili  kinematski pol. Dakle, polumjeri kinematskih krugova su r w1

r w 2 = O2 C .

= O1C

(2.12)

Sada se analitički izraz osnovnog zakona zupčanja može zapisati kao i=

n1

=

n2

ω 1

=

ω 2

d w2 d w1

 

(2.13)

gdje su d w1 i d w2 promjeri kinematskih krugova zupčanika 1i 2; d w1 ,2 = 2 r w1,2. Iz izraza (2.13) proizlazi da se brzine vrtnje odnose obrnuto proporcionalno s dimenzijama kinematskih krugova. Ako profile shvatimo kao bokove zuba zupčanika, tada je jasno da su zubi obaju zupčanika po kinematskim krugovima raspoređeni s istim korakom  pw, tj.  pw1 = pw 2 = pw  

(2.14)

Po opsegu kinematskog kruga korak treba stati onoliko puta koliko zupčanik ima zuba:  z1,2 ⋅ pw = πd w1,2  

(2.15)

gdje su z1,2 brojevi zubi zupčanika 1, tj. 2. Odavde slijedi: d w2 d w1

=

z2 z1

.

(2.16)

Analitičk i izraz osnovnog zakona zupčanja sada poprima konačni oblik: i=

n1 n2

=

ω 1 ω 2

=

d w 2 d w1

=

- 34 -

z2 z1

= const .  

(2.17)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Promatranjem relativnog gibanja spregnutih profila, slika 2.8, očito je da se  profil jednog može predstaviti kao obvojnica uzastopnih položaja drugog profila pri njegovom relativnom gibanju prema profilu s kojim je sparen.

1

U svom relativnom gibanju, profili se valjaju jedan po drugom uz klizanje u točki dodira, pri čemu je brzina klizanja vR  vektorska razlika obodnih brzina spregnutih profila u toj točki. Prema slici 2.7, ona je uvijek usmjerena u pravcu zajedničke tangente u točki dodira  i jednaka je razlici komponenata obodnih brzina u smjeru tangente:

2

vR = u1 − u2 = v1 sin α y1 − v2 sin α y2  

Slika 2.8: Profil boka zuba kao obvojnica relativnih položaja njemu spregnutog profila

(2.18)

gdje su u1 i u2 komponente od v1 i v2 u smjeru tangente. Uvrštavajući ovdje izraz (2.7), dobije se: vR = N1Y ⋅ ω1 − N 2 Y ⋅ ω 2 .

(2.19)

Substitucijom  N1Y = N1C+CY i  N 2 Y = N2 C − CY te označivši udaljenost dodirne točke od kinematskog pola s CY = e , dobiva se: vR = N1C ⋅ ω1 − N2 C ⋅ ω 2 + e ( ω1 + ω2 )  

(2.20)

Budući da je  N1,2C = r w1,2ω1,2 sin α w a prema (2.17) rw1ω1 = r w 2ω 2 , proizlazi konačno: vR = e (ω1 + ω 2 ) .

(2.21)

Dakle, brzina klizanja linearno raste s udaljenošću točke dodira od kinematskog pola, tim više što je zbroj kutnih brzina spregnutih profila veći; u kinematskom polu jednaka je nuli i mijenja  predznak (jer i e mijenja predznak). U proračunu zupčanih prenosnika kontrolira se  specifično klizanje, jer o njemu ovisi trošenje  bokova zubi. Specifično klizanje je omjer brzine klizanja prema komponenti brzine točke u smjeru klizanja za dotični bok zuba: ϑ 1 =

ϑ 2 =

u1 − u2 u1

u2 − u1 u2

=

e

i +1

 N1Y i

=−

e

 N 2 Y

 

( i + 1)  

(2.22) (2.23)

Za evolventni bok zuba duljine  N1,2Y  jednake su polumjerima zakrivljenosti profila u trenutnoj točki dodira Y. - 35 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Za poznate brojeve zubi spregnutih zupčanika, tj. za poznati prijenosni omjer i = z2/ z1  te za  poznati osni razmak a, lako se određuju promjeri kinematskih krugova. Iz osnovnog zakona zupčanja i slike 2.7 očigledno je: d w1 + d w2

a=

;

2

(2.24)

= i ⋅ d w1  

d w2

(2.25)

Odatle proizlaze izrazi za određivanje kinematskih krugova: d w1

=

d w2

=

2a i +1

;

(2.26)

a.

(2.27)

2i i +1

2.1.4.1 Analitičko definiranje spregnutih profila Temeljem glavnog pravila zupčanja moguće je za proizvoljni oblik boka zuba jednog zupčanika, analitički ili grafički, odrediti bok zuba njemu spregnutog zupčanika, kao i odrediti zahvatnu liniju, tzv. dodirnicu – liniju po kojoj se bokovi dodiruju tijekom kotrljanja. U tu svrhu, za svaki  položaj točke Y kao točke boka zuba zupčanika 1, zadan s αy1 i r y1, potrebno je pronaći αy2 i r y2 za točku Y kao točku zupčanika 2 . Prema slici 2.7, kut αy2 se određuje iz: YN 2

N1 N 2 -N1Y

tan α y2

=

.

(2.28)

 N1 N 2

= ( O1 N1 + O 2 N 2 ) tan α w  

(2.29)

 N1Y= N1O1 ⋅ tanα y1 ,

(2.30)

O2 N2

=

O2 N 2

Budući da je

uvrštavajući ovdje izraze (2.10) i (2.16), poslije sređivanja proizlazi: tan α y2 = tan α w −

 z1  z2

( tan α

y1

− tan α w )  

(2.31)

Polumjer r y2 određuje se preko izraza (2.6) i (2.10): ry2

= r w 2

cos α w cos α y2

.

(2.32)

Da bi se potpuno definirao profil boka zuba zupčanika 2, potrebno je još odrediti  polarni kut δ y2 točke Y kao točke zupčanika 2 mjeren od nekog proizvoljnog položaja na poloidi 2, slika 2.9. U tu svrhu, na profilu 1 označi se točka Y w1 koja pripada poloidi (kinematskom krugu) profila 1  polumjera r w1 i točku Yw2  poloide 2 polumjera r w2  koja s točkom Yw1  dolazi u kontakt u - 36 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

kinematskom polu C. Budući da se poloide odvaljuju jedna po drugoj bez klizanja, onda se  položaj točke Yw2 može odrediti izjednačavanjem lukova CYw1 =CYw2 .   

(2.33)

  

Početni položaj za mjerenje polarnih kuteva na profilu 2 može se uzeti proizvoljno, kao i za profil 1. Ovdje će se on odabrati tako da kutevi δw2 i δw1 budu jednaki: δ w2 = δ w1 = δ w .

(2.34)

Iz izraza (2.33) i (2.34), sada je očito: rw1

(δ

y1

+α y1 −α w − δ w ) = r w2 ( αw − α y2 − δ y2 + δ w )  

(2.35)

O1

  r  w  1

 N1

Yw1

C   a

Y

r    

Yw2

w     2     

 N2

O2

Slika 2.9: Spregnuti profili  pa je, uvrštavajući izraz (2.16), konačno:  z  z δy2 = 1 + 1  ( α w + δ w ) − 1 ( α y1 + δ y1 ) − α y2 . z2   z2 

- 37 -

(2.36)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.1.4.2 Polumjeri zakrivljenosti spregnutih profila Jedan od dva spregnuta profila može biti proizvoljan, a njegova geometrija jednoznačno određuje geometriju onog drugog. Isto tako, polumjeri zakrivljenosti spregnutih profila ovise jedan o drugom. Ta ovisnost će se ovdje izvesti za najj ednostavniji, a ujedno i najvažniji slučaj kada su  poloide spregnutih profila krugovi, tj. za i = const. E n

O1 C1

r     w    1     

w  

 N1

Y

Ako se zamisli trenutni zamjenski zglobni mehanizam O1C1C2O2, tada štap C 1C2 stalno prolazi kroz nepomičnu točku C. Zato je njegova brzina u toj točki usmjerena uzduž njega. Također je jasno da su brzine točaka C1 i C2  okomite na O1C1, tj. C2O2, jer rotiraju oko O1, tj. O2. Sada je očigledno da je trenutni kinematski pol E štapa C 1C2  (okomit na smjerove brzina u pojedinim njegovim točkama) usmjeren u pravcu štapova O1C1 i C2O2 kao i okomit na štap C 1C2 u točki C. Iz slike 2.10 slijedi:

C r    

w    

C2

2     

Promatrat će se spregnuti profili koji se dodiruju u trenutnoj točki dodira Y zahvatne linije, slika 2.10. Očigledno je da središta zakrivljenosti tih profila C 1 i C2 nalaze na zajedničkoj normali u točki dodira koja prolazi kroz kinematski pol C koji (za i  = const) zauzima uvijek isti  položaj na međuosnoj liniji O1O2  bez obzira u kojim točkama se profili dodiruju.

 N2 w  

n

O2

Slika 2.10: Spregnuti profili i njihovi polumjeri zakrivljenosti u točki dodira

C1N 1 C1C

=

O1N 1 EC

,

(2.37)

ili 1 EC

=

C1N1 O1 N1 ⋅ C1C

=

C1C − N1C O1N 1 ⋅ C 1C

.

(2.38)

Analogno, iz sličnosti trokuta C2O2 N2 i C2EC slijedi izraz: 1 EC

=

C2 N 2 O 2 N 2 ⋅ C 2C

=

N 2C − C 2C O 2N 2 ⋅ C 2C

.

(2.39)

Ako se udaljenosti od odvalne točke C do središta zakrivl jenosti profila označe s C1C = l1 i C2 C = l2 , tada uz O1 N1 = r w1 cos α w ; O2 N 2 = r w 2 cos α w   - 38 -

(2.40)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 N1C = r w1 sin α w ;  N2 C = r w 2 sin α w ,

(2.41)

iz (2.38) i (2.39) slijedi izraz l1 − rw1 sin α w l1rw1 cos α w

=

rw2 sin α w − l2 l2rw 2  cos α w

 

(2.42)

koji se poslije sređivanja dobiva u sljedećem obliku: 1 1 1 1  +  sin α w = + . rw1 rw 2    l1 l2 

(2.43)

Ova jednadžba naziva se Euler– Savaryjevom formulom. Ona izražava vezu između polumjera zakrivljenosti spregnutih profila i polumjera njihovih odvalnih krugova pri konstantnom  prijenosnom omjeru. Za izračun polumjera zakrivljenosti C1Y = ρ 1 i C2 Y = ρ 2 , slika 2.10,  potrebno je uzeti u obzir i očiglednu jednakost: l1 + l2

= ρ1 + ρ 2 .

(2.44)

2.2 GEOMETRIJA PAROVA CILINDRIČNIH ZUPČANIKA 2.2.1 Cikloidno ozubljenje Kod cikloidnog ozubljenja profil boka zuba sastoji se od epicikloide pri vrhu (tjemenu) zuba i hipocikloide pri dnu (korijenu) zuba. Kinematski, temeljni i dio beni krugovi su identični: d w1,2 = d  b1,2 = d 1,2 

(2.45)

Dodirnica se sastoji od kružnih lukova odvalnih krugova polumjera ρ 1 i ρ2  koji se dodiruju u kinematskom polu C, a središta im leže na spojnici O1O2 središta dvaju kinematskih krugova, tj. osiju zupčanika, slika 2.11. Dimenzije odvalnih krugova bitno utječu na profil bokova zubi , a obično ih se uzima približno jednakim trećini kinematskih krugova. Početak zahvata u točki A i kraj zahvata u točki E definirani su presjecištima krugova preko glave spregnutih zupčanika s dodirnicom. To znači da se od točke   A pa do kinematskog pola C odvaljuje odvalni krug zupčanika 2 po kinematskom krugu zupčanika 1 . Pri tome točka C opisuje epicikloidu e1 kao bočnu površinu vrha zuba zupčanika 1. Od točke C do E odvaljuje se odvalni krug zupčanika 1 po kinematskom krugu zupčanika 2  pri čemu toča C opisuje hipocikloidu h1 kao bočnu površinu podnožja zuba zupčanika 1. Analogno tome, nastaju epicikloida e 2 i hipocikloida h2 kao bočne površine zuba zupčanika 2. Zupčanik s cikloidnim ozubljenjem može se pravilno sprezati samo s onim zupčanikom koji je za to proračunat. Prednost cikloidnih zupčanika pred evolventnima jesu manji gubici trenja pa oni nalaze primjenu kod satnih mehanizama i sličnih uređaja fine mehanike. Cikloidno ozubljenje se može izrađivati odvalnim blanjanjem s alatom u obliku zupčaste letve koja ima cikloidni profil, ali se izbjegava, jer  je takve alate teško izraditi. Zato se najčešće - 39 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 pribjegava kopirnim postupcima kao što su glodanje ili blanjanje sistemom "zub po zub". Izrađuju se i štancanjem, provlačenjem, sinteriranjem, lijevanjem i brizganjem. O1

 pogonski zupcanik 

h1

od valni k ru   g 1

e2 d    i    o  b   (    k  i    e  n  i    n  e   k  r   u   m   a  t  s    g  1   k  i     )  

d    

o  d   

i     r  n 

i   c 

a 

 2  r u g    k   i   b e n   k  i  )  d i o  e m a t s   k  i n  ( 

e1 od valni k rug 2

h2

gonjeni zupcanik 

O2

Slika 2.11: S hema cikloidnog ozubljenja cilindričnih zupčanika Budući da se cilindrični zupčanici s cikloidnim ozubljenjem nisu udomaćili u općem strojarstvu, nisu niti razvijene posebne metode proračuna kao što je to slučaj za evolventne zupčanike. Ipak, s - 40 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

obzirom da su savojna opterećenja zuba slična onima kod evolventnih zupčanika,  proračun čvrstoće korijena zuba se može provesti po istim načelima. To ne važi za čvrstoću boka zuba, koja je znatno veća kod cikloidnih zupčanika.

2.2.2 Evolventno ozubljenje Zbog svojih prednosti kao što su relativno jednostavna izrada zupčanika   s alatom s ravnom oštricom i neosjetljivost prijenosnog omjera na manje promjene osnog razmaka, profil boka zuba zupčanika se najčešće izrađuje u obliku evolvente. Zupčanici s evolventnim bokom zuba nazivaju se evolventnim zupčanicima ili zupčanicima s evolventnim ozubljenjem. Ako se ubroje i konični zupčanici s bokom bliskim evolventnom koji i proizlazi iz evolventnog, evolventni zupčanici danas čine  preko 98 % svih izrađenih zupčanika u svijetu. Ostalo su uglavnom zupčanici s cikloidnim ozubljenjem. Ako je u zahvatu bokova zubi jedan bok (profil) evolventan, tada normala u svakoj točki dodira tangira isti temeljni krug zupčanika. Budući da svaka od tih normala prolazi i kroz odvalnu točku C, proizlazi da je ona jedna te ista i nepomična, bez obzira koja je točka u dod iru, slika 2.12. Kako je normala zajednička za oba zupčanika u zahvatu, i nepomična, profil boka zuba spregnutog zupčanika može i mora biti samo evolventan, jer samo kod evolvente normala u  proizvoljnoj točki tangira isti (temeljni) krug. Dakle, normala za svo vrijeme zahvata tangira oba temeljna kruga. To znači i da je kut zahvata konstantan, kao i po lumjeri r  b1 i r  b2 temeljnih krugova. Očito je također da se zahvat bokova odvija po tom pravcu (normali u trenutnoj točki dodira) koji se zato naziva dodirnica ili zahvatna linija, a zahvatni kut αw  se naziva još i kut dodirnice. Tako se npr. točka B 1  boka zuba zupčanika 1 u svom kružnom gibanju oko O 1 u točki B dodirnice susrela s točkom B 2  boka zuba zupčanika 2. Uočljivo je također da je zahvatni kut ustvari kut pritiska na kinematskom krugu. Iz onoga što je do sada izneseno glede svojstava evolvente i osnovnog zakona ozubljenja, mogu se sumirati sljedeća svojstva evolventnog ozubljenja: •

Kinematika evolventnog ozubljenja neosjetljiva je na promjenu osnog razmaka, tj. njegovom  promjenom prijenosni omjer se ne mijenja. To slijedi iz izraza i  =

r  b2 r  b1

= const   

(2.46)

 jer promjeri temeljnih krugova ostaju nepromijenjeni. Razlog je što jedna evolventa ima samo  jednu evolutu, tj. jedan evolventni zupčanik ima samo jedan temeljni krug. Promjenom osnog razmaka a istog zupčanog para, mijenja se zahvatni kut i promjeri kinematskih krugova cos α w =

r  b1,2

=

rw1,2

rb1 + r b2 a

.

(2.47)

Iz ovog izraza slijedi također da se zupčanik s temeljnim krugom zadanog polumjera r  b1 može spariti (spregnuti) sa zupčanikom  proizvoljnog polumjera temeljnog kruga r  b2 (teorijski) pri  bilo kojem osnom razmaku a > r  b1 + r  b2.

- 41 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

O1

M1

 N 1

B1

B

B2

C

Y

  a

 N 2

O2

Slika 2.12: Evolventno ozubljenje Kad promjer evolventnog zupčanika teži beskonačnom, njegov bok zuba postaje pravac. Zato se takav zupčanik, koji se naziva ozubljena letva, bez problema spreže sa svakim   drugim evolventnim zupčanikom. Lako je uočiti da je tada kut zahvata jednak kutu nagiba profila ozubljene letve, koji po standardu treba biti jednak kutu osnovnog profila ozubljenja αn. • Brzina gibanja dodirne točke duž dodirnice vny proporcionalna je kutu rotacije svakog zupčanika –  jednaka je obodnoj brzini zupčanika na temeljnom krugu: •

vny = v1 cos α y1 = v2 cos α y2 = ω1rb1 = ω 2rb2    

(2.48)

Očito  je da se pri jednolikom kružnom gibanju zupčanika točka dodira giba po dodirnici također jednoliko. •

Brzina dodirne točke po evolventnom profilu, tj. tangencijalna komponenta brzine te točke nije proporcionalna kutu rotacije zupčanika. Ona je jednaka: vR = ω ry sin α y = ω r b tan α y    

- 42 -

(2.49)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

•

Dva susjedna istoimena boka zuba (tj. dvije ekvidistantne evolvente) razmaknuta su na temeljnom krugu zupčanika 1 za korak  p b1 na temeljnom krugu. Prema osnovnom svojstvu evolvente, izraz (2.1), isto toliko razmaknute su točke "a" i "b" u kojima dodirnica siječe ove  bokove, slika 2.13. Ako je "a" trenutna točka dodira dvaju spregnutih bokova, tada će ishodište "e" evolvente spregnutog boka 2 biti udaljeno za korak  p b2  na temeljnom krugu zupčanika 2 od ishodišta evolvente "f" susjednog istoimenog boka zuba. Prema osnovnom svojstvu evolvente, ova evolventa je u smjeru dodirnice udaljena od evolvente susjednog boka za p b2 (udaljenost ab ). Očito je:   cd = ef = ab .  p b =   

(2.50)

 

Zaključuje se da su koraci na temeljnim krugovima spregnutih zupčanika jednaki  p b1 = pb2 = pb ,

(2.51)

da su jednaki koraku na dodirnici te da su dodirne točke susjednih parova zubi međusobno udaljene također za isti korak  p b. To je uvjet sprezanja dvaju zupčanika.

w       1     w

b     1    

1

 N1

d

c

 b

a C  b f 

e w    2    

2

 N2     2     b

Slika 2.13: Zahvat dvaju susjednih bokova- uvjet sprezanja Sve ovo vrijedi i za zahvat cilindričnog evolventnog zupčanika sa zupčastom letvom: korak na temeljnom krugu zupčanika i korak po normali na bok zuba zupčaste letve moraju biti jednaki. •

 jedna od prednosti zupčanik a s evolventnim ozubljenjem jest da oni dopuštaju promjenu (korekciju) profila izrađenih s istim alatom. Druga ozubljenja to ne dopuštaju.

- 43 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.3 EVOLVENTNI ZUBI I ZUPČANICI Dosada se promatrao dvodimenzijski proces zahvata evolventnih profila. Stvarni zubi i zup čanici imaju i treću dimenziju – širinu vijenca zupčanika b, slika 2.14. Osnova evolventnog zuba cilindričnog zupčanika jest temeljni cilindar , cilindrična površina čiji  je čeoni presjek temeljna kružnica. Ako neka ravnina Q tangira temeljni cilindar po duljini 1-1, tada pravci 2-2 i 3-3, paralelni s duljinom 1-1 i smješteni lijevo i desno od nje, pri odvaljivanju ravnine Q  po temeljnom cilindru bez klizanja, formiraju u prostoru cilindrične evolventne  površine- lijevu i desnu bočnu površinu zuba, slika 2.14. Udaljenost sb između pravaca 2-2 i 3-3 koji tvore raznoimene bočne površine  (lijevu i desnu)  jednog te istog zuba, jednaka je, očito, debljini zuba na temeljnom krugu. Presjek ovih dviju  površina naziva se linija zaoštrenja (pravac 6-6). Pravci 4-4 i 5-5, paralelni s pravcima 2-2 i 3-3 i udaljeni od njih za iznos koraka  p b na temeljnom krugu, opisuju pri odvaljivanju ravnine Q evolventne bočne površine susjednih zubi. Kao i evolventni profili, evolventne bočne površine dvaju zubi su također među sobno spregnute, tj. one osiguravaju ostvarenje zadanog prijenosnog omjera. Ove spregnute površine nazivaju se teorijskim površinama zubi. Linija presjeka teorijsk e površine evolventnog zuba cilindričnog zupčanika s površinom temeljnog cilindra naziva se teorijsk om graničnom linijom . To je linija 2 na slici 2.15. 6 6 5 5

Q

3 2

1

3 1

    b

2

4 4

Slika 2.14: Formiranje cilindričnih evolventnih površina - 44 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Očito je da geometriju lijeve i desne teorijske površine zuba u potpunosti određuje promjer temeljnog kruga diobeni , a njihov relativni položaj- debljina zuba na temeljnom krugu. Ako se govori o zupčaniku kao cjelini, kao treći parametar koji karakterizira geometriju njegovih teorijskih površina, javlja se broj zubi. Kod stvarnog zuba, ne podudara se čitava bočna površina s teorijsk om. U podnožju zuba, između teorijske i podožne površine, nalazi se  prijelazna površina. Najveći dio bočne površine zuba koje se može podudarati s teorijskom, naziva se glavnom površinom zuba. O tome će biti govora u  poglavlju 2.6.5. Točke dodira dvaju evolventnih profila formiraju u prostoru dodirnu liniju na bočnim površinama zubi spregnutih zupčanika. To je linija 1 na slici 2.15 po kojoj u danom trenutku zubi djeluju  jedan na drugog. Kod prijenosa s cilindričnim evolventnim zupčanicima s ravnim zubima dodirna linija je pravac paralelan s osima zupčanika. U procesu valjanja , tj. zahvata spregnutih bokova dodirna linija se premješta po bočnoj površini pogonskog zuba udaljavajući se od temeljnog cilindra, dok se po površini gonjenog zuba približava temeljnom cilindru.

d    

b    1    

O1

2

1

 N1

w 

C 3

w 

 N2

2

O2   d   b  2

Slika 2.15: Zahvat spregnutih evolventnih površina - 45 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Površina 3 koju opisuje dodirna linija kruto je vezana s osima rotacije zupčanika, a naziva se ravnina zahvata, slika 2.15. Ravnina zahvata tangira temeljne k rugove obaju zupčanika i okomita  je na bočnu površinu zuba. Kinematski cilindri, analogno kinematskim krugovima, definirani su presjecištem ravnine zahvata s uzdužnom ravninom definiranoj osima zupčanika. Presjecište ovih ravnina   je linija  paralelna s osima zupčanika po kojoj se odvaljuju kinematski cilindri. Poprečni presjeci kinematskih cilindara su, očigledno, kinematski krugovi. Treba naglasiti da cilindrični zupčanik koji je u zahvatu istovremeno s više zupčanika, može imati više kinematskih krugova.

2.4 OSNOVNI PROFIL OZUBLJENJA Za osnovu pri standardizaciji zupčanika mogu se uz eti r azličiti parametri. Tako je geometrija (evolventnog) zupčanika u potpunosti definirana npr. s brojem zubi, karakterističnim promjerima i debljinom zu ba. Međutim, za izradu svakog zupčanika s tako standardiziranim parametrima,  potreban bi bio poseban rezni alat, što nije ekonomično. Zato je racionalniji takav izbor  parametara standardizacije koji će biti osnova kako za konstrukciju zupčanika, tako i za konstrukciju reznog alata s kojim se on izrađuje. Zbog toga  je za osnovu standarda uzet osnovni profil definiran na zupčaniku s beskonačnim  promjerom – tzv. zupčastoj letvi kod koje evolventni bok zuba prelazi u pravac. Parametri osnovnog profila ozubljenja su standardizirani. Na slici 2.16 prikazan je osnovni profil ozubljenja  prema standardu HRN M. C1. 016, a isti je prema standardima ISO 53, DIN 867, EN i svih zemalja osim anglo-saksonskih.  Njime se određuju teorijski oblik i dimenzije zubi i zu pčanika. To je ozubljena letva s ravnim, simetričnim bokovima zubi. Prijelaz od pravocrtnog boka (profila) zuba na pravocrtnu liniju korijena zuba je luk kružnice polumjera ρF.

 p=π m n

  n   m   a ∗   h

  n   m   a ∗   h

   2

0,5πmn

  n   m    )

   *   c    +   a ∗   h    (

ρF∗ mn

 p  =  b 

π m 

n 

c os   

n  n

n

Slika 2.16: Osnovni profil ozubljenja osnovnog profila ozubljenja koja se uzima kao baza za određivanje elemenata zuba i njegovih dimenzija je ravnina. Njezin poprečni presjek je diobeni pravac koji je okomit na os simetrije zuba osnovnog profila, a debljina zuba na njemu jednaka je širini međuzublja. Dio

 Diobena površina

- 46 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

zuba smješten između diobene površine i površine preko glava zubi naziva se diobenom glavom  zuba, a dio zuba smješten između diobene površine i površine preko korijena zubi naziva se diobenim podnožjem. Udaljenost između istoimenih profila susjednih zubi, po diobenom ili nekom drugom s njim  paralelnom pravcu, naziva s korakom  p  osnovnog profila. Da bi se izbjeglo da se promjeri zupčanika izražavaju iracionalnim brojevima, ne propisuju se standardne vrijednosti koraka  p nego se korak osnovnog profila izražava k ao višekratnik broja π  p = π ⋅ mn  

(2.52)

a vrijednost mn mn =

 p

π

 

(2.53)

koja se naziva modulom osnovnog profila se uzima standardnom, tablica 2.1. Moduli se biraju najprije po prvom stupnju prioriteta (I), zatim po drugom (II), a iznimn o po trećem (III). Sve dimenzije, kako osnovnog profila, tako i zupčanika iskazuju se modulom pa se on često naziva koeficijentom proporcionalnosti zuba odnosno zupčanika.

Tablica 2.1 I 1

II

III

I

1,125

4

1,375

5

1,75

6

2,25

8

2,75

10

1,25 1,5 2 2,5 3

3,25

Standardni moduli u mm prema HRN M.C1.015 II III I II III 3,5 12 3,75 14 4,5 16 18 5,5 20 6,5 22 7 25 28 9 32 36 11 40

Po opsegu bilo kojeg kruga zupčanika zubi su raspoređeni ravnomjerno s nekim korakom tako da  je uvijek π d y = z ⋅ py .

(2.54)

 Na samo jednom krugu zupčanika korak je jednak koraku osnovnog profila. Taj promjer se naziva diobenim promjerom d  i on je osnova za odr eđivanje svih drugih promjera kao i za izradu zupčanika. Za njega dakle vrijedi: π d = z ⋅ p = zπ mn   - 47 -

(2.55)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Odavde slijedi izraz za diobeni promjer cilindričnog zupčanika s ravnim zubima: d

= mn ⋅ z  

(2.56)

iz kojeg se vidi da modul mn stane  z  puta po promjeru diobenog kruga zupčanika. Dakle, modul zupčanika se može definirati na još jedan način: to je korak na diobenom promjeru zupčanika. Visina diobene glave zuba ha osnovnog profila je

ha

= ha*mn  

(2.57)

gdje je ha*  koeficijent visine glave zuba. Diobena visina podnožja je veća od visine glave zuba, a određuje se tako da kad se spare dva osnovna profila (ili dva zupčanika), tjemena zračnost između linije preko glave (ili kruga preko glave) jednoga i podnožne linije (ili podnožnog kruga) drugoga bude standardna, tj. c = c mn  

(2.58)

*

gdje je c* faktor tjemene zračnosti. To znači da je standardna vrijednost podnožne visine zuba hf

= hf*mn = ha + c = ( ha* + c * ) m n  

(2.59)

Kut αn između boka zuba i njegove simetrale naziva se kutem boka zuba osnovnog profila. DIN, ISO, EN, HRN i drugi standardi propisuju sljedeće vrijednosti parametara osnovnog profila: ha* = 1, 0

*

c

 = 0,1...0,3 αn = 200 .

(2.60)

Pri tome je visina zuba *

h = (2 ha  + c )mn . *

(2.61)

Polumjer zakrivljenosti  ρF između bočne (pravocrtne) linije boka i linije korijena osnovnog  profila, a time i svake druge standardne zupčaste letve, definiran je kutom αn  i radijalnom zračnošću c, slika 2.17. Naime, iz  ρ F = c + ρ F sin α n  

(2.62)

slijedi:  ρ F =

c

1 − sin α n

- 48 -

 

(2.63)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Korak po normali na bok zuba osnovnog profila jednak je koraku na temeljnom krugu zupčanika:

n

  n

F

 p b = p cos α n = π mn cos α n .

   F

Slika 2.17: Polumjer zakrivljenosti korijena zuba osnovnog profila

(2.64)

Sve ovo vrijedi i za zahvat cilindričnog evolventnog zupčanika sa zupčastom letvom: korak na temeljnom krugu zupčanika i korak po normali na bok zuba zupčaste letve moraju biti jednaki.

2.5 OSNOVE IZRADE CILINDRIČNIH ZUPČANIKA 2.5.1 Odvalni postupci Ako se zamisli da jedan od dva spregnuta zupčanika umjesto evolventnih boko va ima prikladno oblikovane oštrice za skidanje strugotine; pa ako drugi zupčanik nema još oblikovane zube, nego  je to kolo s vanjskim promjerom jednakim promjeru kruga preko glave zupčanika; pa ako se ova dva elementa (alat i obradak) postave u (alatni) stroj koji će im narinuti gibanja jednaka (ili ekvivalentna) onima koja bi imali da su to dva spregnuta zupčanika; pa ako alatu stroj dade još dva gibanja: radno, u smjeru osi zupčanik a, pri kojem alat reže bokove, i povratno koje ga vraća u  početni položaj, tada će prvi zupčanik (alat) rezati evolventne bokove zuba drugog zupčanika – obratka. Ovo je princip odvalnog blanjanja zubi cilindričnih evolventnih zupčanika. Ako alat ima oblik i geometriju evolventnog zu pčanika s beskonačnim promjerom – zupčaste letve s ravnim bokovima, tada se on naziva rezna letva, a postupak odvalnog dubljenja (vertikalnog blanjanja) s takvim alatom naziva se  Maggov postupak izrade zupčanika, slika 2.18. Rezna letva je učvršćena na vertikalnoj vodilici: pri kretanju prema dole ona skida čestice obratka, a u povratnom hodu odmiče se od njega. Nakon svakog radnog hoda, u momentu kada se alat nalazi iznad obratka, ovaj se pomiče tangencijalno u odnosu na alat . Ovaj tangencijalni  pomak prati odgovarajuće zakretanje obratka. Kod nekih tipova alatnih strojeva ovaj tangencijalni pomak čini alat (naravno, u suprotnom smjeru). Budući da se alat odvaljuje po diobenom krugu (poloidi) obratka, brzina tangencijalnog pomaka mora biti jednaka obodnoj  brzini obratka na diobenom krugu. Valja napomenuti da su zubi rezne letve oblikovani tako da profil ostaje nepromijenjen i poslije svakog oštrenja. Ako alat ima oblik i geometriju zupčanika, tada se on naziva rezni zupčanik , a postupak odvalnog dubljenja s njim naziva se Fellows postupak izrade zupčanika, slika 2.19. I ovdje rezni zupčanik u (radnom) hodu prema dole skida čestice obratka, a u povratnom hodu se odmiče od njega. Kad  je alat u gornjem položaju stroj zakreće njega i obradak u skladu s osnovnim zakonom zupčanja, izraz (2.16). Za razliku od Maagovog postupka, oblik izrađenih zupčanika se malo mijenja nakon svakog oštrenja alata, jer se oštrenjem mijenja faktor pomaka profila alata, vidi poglavlje 2.8. - 49 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Slika 2.18: Maagov postupak odvalnog dubljenja

Slika 2.19: Fellows postupak odvalnog dubljenja Ako alat ima oblik vijka s profilom zupčaste letve, tada se on naziva pužno glodalo, a postupak se naziva odvalno glodanje, slika 2.20. Razumljivo, navoj vijka je isprekidan da bi se mogle formirati rezne oštrice. U procesu izrade zupčanika glodalo rotira oko svoje osi i glođe uzubine zupčanika. Brzina vrtnje obratka je takva da se za jedan okretaj glodala on zakrene za onoliko zubi, kolika je vojnost navoja glodala. Pored toga što rotira oko svoje osi, glodalo se giba i  paralelno s osi zupčanika – onoliko koliko je potrebno da se izradi čitava širina zupčanika. Os odvalnog glodala nagnuta je prema čeonom presjeku zupčanika za kut uspona zavojnice glodala.

- 50 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Slika 2.20: Shema izrade zupčanika postupkom odvalnog glodanja

2.5.2 Kopirni postupci Za razliku od odvalnih postupaka kod kojih jedan alat, definiran samo modulom, može izrađivati zupčanike različitih brojeva zubi, kod kopirnih postupaka alati imaju oblik međuzublja izrađivanog zupčanika, tako da mogu izrađivati samo jedno   ozubljenje. Dakle vrijedi pravilo:  jedan alat  jedan zupčanik. Da bi se ublažio ovaj nedostatak i ograničio broj potrebnih alata, kod glodanja s modulnim glodalima (pločastim i prstastim)  dopušta se upotreba jednog glodala za izradu zupčanika s različitim brojevima (istih) zubi. No, ovo vodi nepravilnom profilu boka zuba što rezultira nepravilnim zahvatom. Zato se ovi postupci, u pravilu, primjenjuju samo za prenose s manjim opterećenjima i manjim brzinama vrtnje. Izuzetak čine zupčanici s vrlo velikim  promjerom kod kojih bi izrada alata i stroja za odvalno rezanje bila izuzetno skupa. Kopirnog glodanje, bilo s pločastim glodalom, slika 2.21 ili prstastim glodalom, slika 2.22, može se obaviti i na običnoj glodalici. Obradak je učvršćen na diobenu ploču glodalice na kojoj se vrši  podjela kuta od jednog do drugog međuzublja (2π/ z). Glodanje se izvodi sistemom "zub po zub", tj. međuzublje po međuzublje. Nakon svakog glodanja zupčanik se pomoću diobene ploč e zakrene za jedan zub. Ovim postupkom mogu se izrađivati samo zupčanici s ravnim zubima vanjskog i unutrašnjeg ozubljenja.  Provlačenjem  pomoću profilirane igle

mogu se izrađivati zupčanici s unutrašnjim ozubljenjem, s ravnim ili kosim zubima, promjera do 80 mm. Igla se provlači kroz obradak u smjeru osi:  pravocrtno za ravne zube i zavojno za kose zube. Problem je sličan kao i kod svih ostalih kopirnih postupaka: za svaki različiti zupčanik mora biti izrađena posebna igla. Masovna proizvodnja manje opterećenih zupčanika manjih promjera (do 30 mm), najčešće se izvodi štancanjem, jer  je to najbrži i za velike serije najjeftiniji način proizvodnje. Točnost štancanih zupčanika manja je od onih rezanih kopirnim glodanjem. Zupčanici promjera do 160 mm i modula od 2 do 4 mm mogu se proizvoditi i hladnim prešanjem, a zupčanici velikog dijapazona promjera valjanjem na hladno ili toplo: protočnim valjanjem za zupčanike manjih dimenzija i utisnim valjanjem za zupčanike većih dimenzija. - 51 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Slika 2.21: Kopirno glodanje pločastim glodalom

Slika 2.22: Kopirno glodanje prstastim glodalom na eroziomatima izrađuju se metalni zupčanici manjih dimenzija. Alat  predstavlja katodu (najčešće iz ugljena ili mjedi), a obradak anodu. Struja koja kroz elektrolit teče od anode prema katodi razgrađuje obradak i formira međuzublje. Kod savremenijih, numerički upravljanih eroziomata, dovoljno je upisati jednadžbu evolvente (ili neku drugu) boka zuba, a katoda u obliku tanke bakarne žice putuje po konturi profila i oblikuje zub (tzv. EDM postupak).  Elektrolitskom erozijom

u pijesku se izrađuju zupčanici  drugorazredne kvalitete namijenjeni nezahtjevnim strojevima kao što su neki poljoprivredni strojevi, dok se tlačnim lijevanjem lako topivih metala (aluminij, magnezij, bakar, cink) u gotove čelične kalupe dobivaju zupčanici točnosti jednake onoj koja se postiže odvalnim postupcima.  Brizganjem tekuće termoplastične mase (obično  poliamid ili ABS) pod visokim pritiskom u metalne kalupe dobiva ju se plastični zupčanici za masovnu primjenu (aparati za domaćinstvo, dječje igračke i sl.).  Lijevanjem

U postupku sinteriranja čelični kalupi oblika zupčanika pune se metalnim prahom kojeg se preša tzv. pečatom na pritisak od oko 500 MPa. Tako se dobivaju briketi u obliku zupčanika koji se konačno sinteriraju na temperaturi od 1400 do 1700 oC. Ovakvi zupčanici natopljeni uljem obično se upotrebljavaju kod manjkavog podmazivanja u pogonu. Posebna vrsta proizvodnje zupčanika lijevanjem je  Lost-Wax postupak čiju osnovu čini keramički kalup u kojeg se ulijeva materijal s niskom temperaturom taljenja. N akon skrućivanja dobiva se - 52 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

model koji odgovara gotovom proizvodu. Model se upotrebljava za dobivanje otiska u vatrostalnom materijalu. Zagrijavanjem se model rastopi i iscuri, a u dobivenu šupljinu se ulijeva materijal za zupčanik, obično čelični lijev, nodular ni lijev, bronca, sivi lijev, legura aluminija ili termoplastična masa. Zupčanici se mogu proizvoditi i ekstrudiranjem (istiskivanjem)  pri čemu se materijal (redovito termoplast) tlači kroz otvor matrice koji ima oblik zupčanika s unutrašnjim  ili vanjskim ozubljenjem. Iz ekstrudera izlazi dugačka šipka s profilom zupčanika rezanjem koje na p otrebnu širinu se dobiva veći broj zupčanika.

Završna obrada   metalnih zupčanika je najčešće br ušenje, ali u obzir dolazi još grecanje i lepovanje te nitriranje.  Brušenjem  zubi

otklanjaju se sitne greške njihovih profila i smanjuje im se hrapavost. Zubi zupčanika modula do par milimetara se izrađuju brušenjem bez ikakve prethodne obrade. Brušenje profiliranim alatom slično je glodanju s profiliranim glodalom, a izvodi se s brusnom  pločom oblikovanoj prema profilu zuba. Ovim postupkom bruse se cilindrični zupčanici s ravnim i kosim zubima, s vanjskim i unutrašnjim ozubljenjem. Odvalno brušenje s brusnom pločom obavlja se brusnom pločom (ili brusnim pločama) čiji bokovi imitiraju zupčastu letvu koja se odvaljuje po diobenom krugu zupčanika tvoreći tako evolventni bok. Brusna ploča pri tome izvodi tri gibanja: rotacijsko oko svoje osi, tangencijalno na diobeni krug zupčanika koji se  pomiče i zakreće te uzdužno po širini zupčanik a. Odvalno brušenje s pužnim brusnim kolom odvija se na istom principu po kojem se odvija glodanje zubi s pužnim glodalom. Umjesto  pužnog glodala ovdje se primjenjuje pužno brusno kolo koje se postepeno pomiče u smjeru izvodnice zuba. kao kemijsko-toplinska obrada je završna obrada ako brušenje iz bilo kojeg razloga nije moguće, npr. brušenje zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem.

 Nitriranje

(brijanje) je postupak za povećanje kvalitete površinske obrade i točnosti toplinski neobrađenih zupčanika. Alat ima oblik zupčanika na čijim zubima su urezani kanalići, okomiti na uzdužnu liniju boka zuba koji čine oštrice slične onima kod turpije. U postupku grecanja os zupčanika postavljena je koso prema osi alata tako da uzdužne linije bokova zubi zupčanika i alata nisu paralelne. Tako se postiže relativno uzdužno gibanje zubi alata u odnosu na zube zupčanika, tj. bočno klizanje s kojim se skida vrlo fina strugotina. Grecanje

 Lepovanje  je fina obrada

pomoću brusnih zrnaca sadržanih u specijalnim pastama. Ono se izvodi kada treba postići visoku točnost i kvalitetu površinske obrade toplinski obrađenih zupčanika.  Najčešće se obavlja tako da se bokovi para zupčanika premažu s pastom, a tada se spregnu u zahvat pri čemu se, uz pomoć brusnih zrnaca, u  procesu urađivanja, međusobno prilagođavaju odnoseći površinski sloj od najviše par stotinki milimetra.

2.5.3 Osnovna rezna letva i osnovni rezni zupčanik   Na temelju osnovnog profila ozubljenja definira se i osnovna rezna letva kao kontura zubi osnovnog profila koja ispunjava njegovo međuzublje ili kao odljevak kojemu je model osnovni  profil, ili kao kontrašablona osnovnog profila, slika 2.23. Pri tome se između linije preko glave osnovnog profila i linije preko korijena rezne letve ostavlja tjemena zračnost c*mn  kako površina korijena i prijelazna površina ne bi učestvovale u procesu rezanja.

- 53 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja   n   m

   *   c rezna letva

  n   m

  a ∗   h

n

rezni zupčanik 

0,5 π n

0,5 π

  n   m    )

   *   c    +   a    *    h    (

n

   n

   m

n

     ∗

     F

Slika 2.23: Osnovna rezna letva  Na ovaj način osnovna rezna letva ima oblik podnožja isti kao i osnovni profil ozubljenja. Glava osnovne rezne letve je viša od glave osnovnog profila za c*mn  da bi se u zahvatu izrađenih zupčanika ostvarila tjemena zračnost. Diobeni pravac osnovne rezne letve dijeli njezine zube po visini na dva jednaka dijela, a puna visina zuba je:

(

)

h = 2 ha* + c * mn

.

(2.65)

Po parametrima osnovne rezne letve određuju se parametri svih alata čiji je teorijski oblik ravna ozubnica. Zupčanik s vanjskim ozubljenjem izrađen s takvim alatom, pri čemu  je na diobenom krugu sačuvana teorijska debljina zuba s = 0,5π·mn i radijalni zračnost c*mn u korijenu, naziva se teorijsk im osnovnim zupčanikom, slika 2.24. Njemu je pridružen teorijsk i zupčanik s unutrašnjim ozubljenjem zubi kojega ispunjavaju međuzublje osnovnog, a uz to je sačuvana zadana radijalna zračnost pri korijenu i pri glavi zuba.

2 = 0,5πm n     n

     m    *    c

1

3

Slika 2.24: Teorijsk i zupčanik  1– osnovni 2– s unutrašnjim ozubljenjem 3– rezni

Zupčanik koji potpuno ispunjava međuzublje teorijsk og zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem i  pri tom ostaje sačuvana teorijsk a radijalna zračnost u njegovom korijenu, naziva se teorijski rezni  zupčanik , slika 2.24. Po njegovim parametrima izrađuju se stvarni rezni zupčanici. - 54 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.6 PROCES REZANJA I GEOMETRIJA ZUPČANIKA 2.6.1 Pomak profila Razmatrat će se zahvat alata i obratk a (zupčanika u fazi formiranja) za vrijeme kojeg alat u obliku rezne letve rezanjem određenog kola oblikuje zube određene geometrije i dimenzija. Ako se poloide alata i obratka pri relativnom gibanju kotrljaju jedna po drugoj bez klizanja, koraci zupčanika i alata na poloidama moraju biti strogo jednaki, a debljina zuba na poloidi alata  jednaka širini međuzublja na poloidi zupčanika i obratno. Kod (osnovne) rezne letve poloida može biti bilo koji pravac paralelan s diobenim, jer je na svakom od njih korak isti: π·mn. Zbog toga je reznu letvu moguće postaviti u određenim granicama proizvoljno prema obratku. Taj njezin položaj bitno utječe na položaj zuba obratka  prema diobenom krugu i na debljinu zuba na tom krugu, jer  je širina međuzublja na svakom njezinom pravcu paralelnim s diobenim različita. Položaj rezne letve prema obratku pri kojem se diobeni pravac letve odvaljuje po diobenom krugu obratka, tj. pri kojem diobeni pravac tangira diobeni krug obratka, naziva se nominalnim  položajem, slika 2.25a, a tako izrađeni zupčanici  zupčanicima bez pomaka profila   ili nulzupčanicima. Ako se položaj rezne letve pomakne od nominalnog pa njezin diobeni pravac ne tangira diobeni krug obratk a, tako izrađeni zupčanici nazivaju se  zupčanicima s pomakom profila . Ako se položaj rezne letve pomakne od nominalnog prema osi obratka pa njezin diobeni pravac siječe diobeni krug obratka, takav pomak definira se negativnim, slika 2.25b, a tako izrađeni zupčanici zupčanicima s negativnim pomakom profila. Pomak rezne letve od nominalnog prema periferiji obratka tako da njezin diobeni pravac niti tangira niti siječe diobeni krug  obratka definira se pozitivnim, slika 2.25c. Tako izrađeni zupčanici nazivaju se  zupčanicima s pozitivnim pomakom profila. a)

   0    <

b)

c)

  n

  m   x

 xmn = 0

   0    > d   

O

O

 d

O

d

  n

  m   x

Slika 2.25: Položaj rezne letve u odnosu na obradak a) nominalni b) s negativnim pomakom profila c) s pozitivnim pomakom profila

Omjer pomaka profila i modula naziva se  faktorom pomaka profila x. On je negativan ( x < 0) za negativni pomak profila, pozitivan ( x > 0) za pozitivni pomak profila i nula ( x = 0) za zupčanike  bez pomaka profila.

- 55 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 Na taj način, geometrija cilindričnog evolventnog zupčanika s ravnim zubima definirana je sljedećim parametrima: brojem zubi  z i faktorom pomaka profila  x te parametrima rezne letve, tj. osnovnog profila ozubljenja*: kutem boka zuba αn, modulom mn, faktorima ha* i c* te relativnom vrijednošću polumjera zaobljenja vrha zuba  ρ k0* . Vrlo je važan i vanjski promjer obratka odnosno  promjer kruga preko glave zupčanika.

2.6.2 Zahvat rezne letve i obratka, osnovne dimenzije zupčanika  Na slici 2.26 prikazan je zahvat osnovne rezne letve sa zupčanikom koji se izrađuje (obratkom). Potrebno je odrediti dimenzije ovako izrađenog zupčanika. Iz slike 2.26 je očito da je promjer temeljnog kruga d  b zupčanika jednak: d b = d cos α n = mn z cos α n  

(2.66)

Promjer podnožnog kruga d f   definiran je dubinom ulaska alata u obradak, tj. linija preko glave zuba rezne letve je njegova tangenta, slika 2.26: d f 

2

=

d 

2

+ xmn − ( ha* + c* ) mn ,

0,5 π

(2.67)

n

  n

  n

  a

  a

  n

C

  n

  a

k  0  

F   n

 N

F 

F      n 

    b

   f

Slika 2.26: Zahvat osnovne rezne letve i izrađivanog zupčanika odnosno df

= mn z − 2 ( ha* + c * − x ) m n .

* parametri rezne letve i osnovnog profila ne moraju biti isti - 56 -

(2.68)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Debljina zuba na diobenom krugu  s  jednaka je širini međuzublja rezne letve na njezinoj  poloidi, tj. pravcu koji se odvaljuje po diobenom krugu zupčanika, slika 2.26: s=

π mn

+ 2 xmn tan α n  

2

(2.69)

2.6.3 Debljina zuba na proizvoljnom krugu Debljina zuba sy na proizvoljnom krugu d y, prema slici 2.27, dobije se iz sy =

d y

2

⋅ 2ψ y = d yψ y ,

(2.70)

 pri čemu je ψ y  polukut debljine zuba na krugu promjera d y koji je prema slici 2.27 jednak: ψ y = ψ + invα n − invα y .  

(2.71)

Polukut debljine zuba na diobenom krugu je prema (2.70): ψ  =

s

=

0,5π mn + 2 xmn tan α n

d

mn z

=

π  2z

+

2 x tan α n z

.

sa

s y s d         y    

d       

   d  a

sb

y

i  n v 

n 

  d   b

i  n v    y    y

Slika 2.27: Debljina zuba na proizvoljnom krugu Substitucijom u (2.70) dobiva se konačno:

- 57 -

(2.72)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 π  2 x tan α n  + + inv α n − inv α y  , z  2 z 

sy = d y 

(2.73)

 pri čemu se kut pritiska αy na krugu promjera d y dobiva iz (2.5): cos α y

=

d  b

 

d y

(2.74)

Debljina zuba na temeljnom krugu ( αy = 0) je:  π  2 x tan α n  + + inv α n  , z  2 z 

s b = d b 

(2.75)

dok je debljina zuba na krugu preko glave:  π  2 x tan α n  + + inv α n − inv α a    z  2 z 

sa = d a 

(2.76)

 pri čemu se kut pritiska α a  na krugu preko glave računa prema (2.74): cos α a =

d  b d a

 

(2.77)

Da bi se izbjegao tzv. šiljati zub, vidi slike 2.14 i 2.27, tj. da bi se sačuvala čvrstoća zuba na  početku ili na kraju zahvata kada normalna sila djeluje na sjecištu bočne linije i kruga preko glave, površina koja preuzima silu treba imati dovoljnu veličinu pa se uzima da debljina zuba na krugu preko glave mora biti sa

≥ sa ,min  

(2.78)

gdje se za zakaljene zube uzima sa,min = 0,4 mn, a inače sa,min = 0,25 mn.

2.6.4 Promjer kruga preko glave Pri izradi zupčanika odvalnim dubljenjem s reznom letvom kao alatom, mora postojati radijalna zračnost c između podnožne linije alata i kruga preko glave obratk a (zupčanika), vidi sliku 2.26.  Na taj način, promjer kruga preko glave d a  ostaje jednak vanjskom promjeru obratka, tj. ne mijenja se u procesu rezanja. Zbog toga se promjer d a može odrediti u određenim granicama  proizvoljno.  Najčešće se d a određuje tako da radijalna zračnost između kruga preko glave jednog i podnožnog kruga dr ugog zupčanika bude standardna, tj. c* mn. tada je, prema slici 2.28: d a1,2

2

=a−

d f 2,1

2

odnosno - 58 -

− c*mn  

(2.79)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

d a1,2 = 2a − d f 2,1 − 2c mn . *

(2.80)

O1   n

 a 1

   f   1

  =    1

a    

2    f       2     

  =    2

O2

Slika 2.28: Određivanje promjera kruga preko glava spregnutih zupčanika Za ovako određene promjere krugova preko glave visine zubi nisu standardne ( ha1,2 = ( 2ha* + c* ) mn ) nego opadaju od ove vrijednosti s apsolutnom vrijednošću sume faktora  pomaka profila  xΣ = x1 + x2 . Promjeri krugova preko glava mogu se odrediti i tako da zubi zupčanika imaju standardnu visinu d a1,2

= d f1,2 + 2 ( 2ha* + c * ) mn = m n ( z + 2ha* + 2x ) .

(2.81)

Pri ovako određenim promjerima krugova preko glave nije, i u općem slučaju (za proizvoljnu  xΣ ) ne može biti, sačuvana standardna vrijednost radijalne zračnosti između krugova preko glav e i njima spregnutih podnožnih krugova.

2.6.5 Granična točka profila; Podrezivanje korijena zuba Bočna  površina zuba sastoji se od dva dijela: glavne površine preko koje se prijenosi snaga sa zadanim prenosnim omjerom i  prijelazne površine koja spaja glavnu površinu s podnožnom. U skladu s tim, profil zuba sastoji se od glavnog profila i prijelazne krivulje. Prijelaznom krivuljom se dakle naziva dio profila smješten na prijelaznoj površini. Profil zuba evolventnog zupčanika formira se u pr ocesu odvalnog rezanja kao obvojnica aktivnog  profila alata. Pritom se evolventni bok formira kao obvojnica ravnog (kad je alat zupčasta letva) - 59 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

ili evolventnog (kad je alat rezni zupčanik) dijela profila zuba alata. Prijelazna krivulja se formira kao obvojnica zaobljenog dijela profila letve (pri glavi njenog zuba) pri njezinom relativnom gibanju prema obratku – tada je ona ekvidistanta (za polumjer zaobljenja) skraćene evolvente), ili kao putanja relativnog gibanja vrha zuba alata (ako nije zaobljen pri glavi)– tada je ona skraćena evolventa, vidi poglavlje 2.1.4.2. Zajednička točka F glavnog profila i  prijelazne krivulje naziva se graničnom točkom, slika 2.29.  Na slici 2.26 nacrtan je zahvat rezne letve i obratka u trenutku kada se na dodirnici nalazi krajnja točka pravocrtnog dijela profila rezne letve, tj. kada ta točka alata formira na boku zuba obratka graničnu točku F. Kut pritiska u toj točki je: tan α F =

FN

=

CN-CF

ON

ON

= tan α n −

CF ON

.

(2.82)

Budući da je ON = 0,5 d  b1, a

(h CF =

* a

− x ) mn

sin α n

,

(2.83)

 proizlazi tan α F

= tan α n −

4 ( ha* − x )  z sin 2α n

.

(2.84)

F

F F

M

M

M

= 

O

O

O

a)

c)

 b)

Slika 2.29: Položaj granične točke profila a) pri x > xmin  b) pri x = xmin c) pri x 0

=0

Slika 2.30: Utjecaj pomaka profila na geometriju zuba Kao što se vidi, kod pozitivnog pomaka profila zubi su raspoređeni na dijelovima evolvente s većim polumjerima zakrivljenosti što vodi povećanju kontaktne čvrstoće. Debljina zuba pri korijenu se  povećava što vodi  povećanju njegove čvrstoće na savijanje, ali zbog smanjenja  polumjera zakrivljenosti u točkama prijelazne krivulje povećava se koncentracija naprezanja pa  pitanje utjecaja pomaka profila na čvrstoću korijena zuba ipak ostaje otvorenim.

2.6.7 Kontrolne mjere zupčanika 2.6.7.1 Tetivna debljina zuba na krugu zadanog promjera Tetivna debljina zuba sy   na krugu zadanog promjera d y mjeri se šablonom ili pomičnim zacrtkanim mjerilom, slika 2.31. Promjer mora biti takav da mjerne točke instrumenta leže na evolventnom boku zuba, tj.: d F < d y < d a  

(2.90)

α F < α y < α a .

(2.91)

sy = d y sinψ y  

(2.92)

ili

Prema slici 2.31, duljina tetive je:

gdje se polukut debljine zuba ψ y računa prema izrazima (2.71) i (2.72).

- 62 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

c

y

  y   a   y   a

n 

n

a

 b C

c

n

g

    y  

 N

    b

s 

y

    b

Slika 2.31: Mjerenje tetivne debljine zuba šablonom

Slika 2.32: Mjerenje stalne tetivne debljine zuba šablonom

Dubina mjerenja jednaka je visini zuba od tetive do kruga preko glave: hay

=

1 2

(d

a

− d y cosψ y ) .  

(2.93)

2.6.7.2 Stalna tetivna debljina zuba Mjeri se tangencijalnim zubomjerom ili šablonom mjerne površine kojih tangiraju površine zuba, slika 2.32. Ako bočne mjerne  površine šablone zatvaraju kut 2αn, kao na slici 2.32, tada se pri mjerenju imitira zahvat zupčanika s osnovnim profilom ozubljenja u trenutku kada u kontaktu učestvuju dvije simetrične točke "a" i "b" zuba zupčanika. Kao što je poznato, poloida zupčanika u takvom zahvatu je diobeni krug, a  poloida zupčaste letve pravac koji tangira diobeni krug u kinematskom polu C. Zato se u kinematskom polu sijeku obje normale u zajedničkim točkama "a" i "b" kontakta. Tetivna debljina zuba na kružnici koja prolazi točkama "a" i "b" naziva se stalna tetivna debljina  zuba sc . Iz slike 2.32 slijedi: sc = ab = 2aC cos α n = 2cC cos α n . 2

(2.94)

Budući da je cC = gC = s/ 2, proizlazi:   

sc

= s cos 2 α n =

1

(π cos 2

2

- 63 -

α n + 2 x sin 2α n ) m  n .

(2.95)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Vidi se da za određeni mn i αn tetivna debljina zuba ovisi samo o faktoru pomaka profila  x; dakle ista je za zupčanike s bilo kojim brojem zubi z. Zato se naziva stalnom. Mjerna dubina, tj. visina od stalne tetive do kruga preko glave zupčanika je: hc

=

1 2

(d

a

− d − sc tan α n ) .

(2.96)

Budući da točke "a" i "b" moraju ležati na evolventnom dijelu profila, mora biti ispunjen uvjet α F < α s < α a  

(2.97)

 pri čemu je αs kut pritisk a u točki "a" ili "b. Iz slike 2.32 je očito: tan α s =

 NC + Ca ON

= tan α n +

s cos α n d b

= tan α n +

π 2z

+

2 x tan α n z

.

(2.98)

2.6.7.3 Mjera preko zubi Iz slike 2.33 je vidljivo da je tangenta na temeljni krug, koja siječe  zw zubi ( na slici 2.33 je z w = 3), normalna na obje krajnje evolvente. Udaljenost između točaka u kojima normala siječe ove  bokove naziva se mjera preko zubi i označava se s W. Ova se mjera može izmjeriti mikrometrom,  pomičnim zacrtkanim mjerilom i sličnim mjernim alatima. Iz svojstva evolvente slijedi veličina mjere preko zubi: ck + ke = cf + fe . W  = ab = ak + kb =     

 

 

(2.99)

cf    jednak debljini zuba na temeljnom krugu,    cf  = s b, a udaljenost između Budući da je luk    istoimenih evolventi jednaka je koraku na temeljnom krugu fe = ( zw − 1) pb ,   

(2.100)

to supstitucijom (2.100) u (2.99) i sređivanjem, konačno proizlazi: W

= mn cos α n π ( zw − 0, 5 ) + 2 x tan α n + z inv α n  .  

(2.101)

Iz slike 2.33 i izraza (2.99) i (2.101) slijede osnovna svojstva mjere preko zubi: • ona ne ovisi o tome u kojim točkama a i b normala siječe dvije raznoimene evolvente; •  promjena veličine mjere preko zubi proporcionalna je promjeni pomaka profila; • za mjerenje mjere preko zubi nije potrebno ništa drugo osim zupčanika i mjernog instrumenta; •  broj mjernih zubi zw može se izabrati u određenim granicama proizvoljno. Ipak, da bi mjerne točke ležale na glavnom profilu, za uobičajene vrijednosti  x < 2, preporuča se  zw  uzeti empirički  zw

 z

≈ +1  9

- 64 -

(2.102)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 pa zaokružiti na bliži cijeli broj.

a c

k 

f 

 b e

Slika 2.33: Mjera preko zubi •

iz slike 2.33 slijedi da je razlika mjera preko dva susjedna zuba jednaka  p b: Wn +1 − Wn

= pb = π mn cos α n .

(2.103)

To znači da se sa dva mjerenja lako može odrediti modul zupčanika mn =

Wn +1 − W n

π cos α n

 

(2.104)

ako je poznat kut boka zuba osnovnog profila α n . Tada se iz izraza (2.101) lako može odrediti faktor pomaka profila.

2.6.7.4 Mjera preko kuglica Prije samog mjerenja ubace se u dva nasuprotna međuzublja (za parni broj zubi) po jedna kuglica  prikladnog promjera  D, slika 2.34, a zatim se mjeri udaljenost između vanjskih površina tih kuglica. Ta udaljenost M naziva se mjera preko kuglica (valjčića). U cilju određivanja  M  kroz središte kuglice D ucrta se evolventa (ucrtana na slici 2.34 kao točkacrta) i tangenta D-N na temeljni krug. Očito je mjera preko kuglica jednaka  M = d D + D  

- 65 -

(2.105)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 pri čemu je promjer kruga kroz središte kuglice: dD =

d  b cos α D

= mn z

cos α n cos α D

 

(2.106)

Da bi se odredila mjera preko kuglica, preostaje još samo odrediti kut αD: Iz svojstva evolvente se zna da je pravac DN normalan na evolventu koja prolazi kroz D i na profil zuba u toč ki M njegovog dodira s kuglicom. Luk temeljnog kruga između točaka "a" i "b" ishodišta evolventi koje prolaze kroz središte kuglice i kroz točku M, kao osnovno svojstvo evolvente , tj. kao udaljenost ovih dviju ekvidistantnih evolventi, jednak je polumjeru kuglice; odgovarajući kut  jednak je  D/d  b. Sada je, prema slici 2.34, lako vidjeti da je evolventna funkcija kuta αD jednaka: inv α D = ψ + inv α n +

 D d b

π 

− . 

(2.107)

z

Uvrštavanjem ovdje vrijednosti za ψ  i d  b iz izraza (2.72) i (2.66), dobiva se konačno: inv α D =

 D mn z cos α n

+ inv α n −

π − 4 x tan α n 2z

.

(2.108)

D M 0 ,5 

a  b  b     D

inv

D

 N

       f

z

   a

b     

inv 

D  n

M  

Slika 2.34: Mjera preko kuglica Sada se, za poznatu vrijednost evolventne funkcije, uz prikladan program za računalo (npr.  Newtonovom metodom tangente), može lako naći vrijednost kuta αD.

- 66 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Izraz (2.108) vrijedi za zupčanike s parnim brojem zubi. Ako se uzima mjera preko kuglica za zupčanik s neparnim brojem zubi, kuglice se postavljaju prema slici 2.35 pa je mjera preko zubi:  M = d D cos

π  2 z

+ D.

(2.109)

Promjer kuglice (ili valjčića za ravne zube) može se uzeti u određenim granicama proizvoljno; obično se uzima D ≈ 1,7mn. Kuglica (valjčić) treba dodirivati evolventni dio profila pa zbog toga treba biti: α F < α M < α a  

(2.110)

 pri čemu se kut pritiska u točki M određuje prema slici 2.34: tan α M =

DN − DM ON

= tan α D −

 D mn z cos α n

.

(2.111)

Isto tako, kuglica ne smije dodirivati  podnožni krug. Zbog toga treba biti: d D − D > d f  .

(2.112)

Da bi se uopće moglo pristupiti mjerenju, mjera preko kuglica mora svakako biti veća od promjera kruga preko glave:

D   

 M > d a .

(2.113)

Pomoću mjerenja  M moguće je odrediti faktor pomaka profila  x točnije nego mjerenjima  preko zubi ili mjerenjima tetivne debljine zuba, naročito za zupčanike s manjim modulom.

Slika 2.35: Mjera preko kuglica za neparni broj zubi

- 67 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.7 PARAMETRI ZUPČANOG PARA Promatraju se dva cilindrična evolventna zupčanika za koje je poznato: broj zubi  z1 i z2, parametri osnovnog profila ozubljenja αn, ha* , c* i mn, faktori pomaka profila x1 i x2, promjeri krugova preko glave d a1 i d a2. Potrebno je odrediti geometrijske i kinematske parametre koji karakteriziraju ozubljenje zupčanog para sastavljenog od tih zupčanika.

2.7.1 Kut zahvata U teorijsk om zahvatu dvaju zupčanika nema zračnosti između bokova njihovih zubi pa se radna i neradna strana profila zuba istovremeno nalaze u zahvatu. Pri takvom zahvatu, debljina zuba na kinematskom krugu sw1,2  jednog treba biti jednaka širini međuzublja na kinematskom krugu ew2,1 drugog zupčanika, slika 2.36: sw1

= ew2

sw 2

= ew1  

(2.114)

Slika 2.36: Korak , debljina zuba i širina međuzublja na kinematskom krugu Koraci na kinematskim krugovima  pw1,2 su također jednaki, vidi poglavlje 2.1.5, izraz (2.14) pa  proizlazi:  pw = pw1 = sw1 + ew1 = pw2 = sw2 + ew 2 = s w1 + s w 2 .

(2.115)

Budući da je  pw =

π d w1  z1

=

π d w 2

=

π  ( d w1 + d w 2 )

z2

z1 + z 2

,

(2.116)

a prema (2.73) je debljina zuba na kinematskom krugu  π   2 x1,2 tan α n + + inv α n − inv α w  ,  2 z1,2  z1,2  

sw1,2 = d w1,2 

- 68 -

(2.117)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

tada, vodeći računa da je prema izrazu (2.16) d w1 / z1 = d w2 / z2 , sređivanjem konačno proizlazi tražena vrijednost evolventne funkcije kuta zahvata, vidi sliku 2.37: inv α w = 2

 x1 + x2  z1 + z2

tan α n + inv α n .

(2.118)

Odavde se vrijednost samog kuta α w   lako nalazi iteracijom, najbolje Newtonovom metodom tangente. Izraz se često koristi za određivanje sume faktora pomaka profila  xΣ =  x1 +  x2  za poznatu vrijednost evolventne funkcije zahvatnog kuta α w :  x1 + x2 =

 z1 + z 2

2tan α n

( inv α w − inv α n ) .

(2.119)

2.7.2 Osni razmak Prema izrazu (2.24), osni razmak jednak  je zbroju kinematskih polumjera spregnutih zupčanika, slika 2.37. Uvrštavajući u taj izraz izraze (2.47) i (2.66), dobiva se izraz za osni razmak  para cilindričnih zupčanika s ravnim zubima:  z + z2 cosα n a = mn 1   (2.120)

O1

  i  n  v

2

cos α w

Kako je kut zahvata α w   dobiven pod  pretpostavkom zahvata bez bočne zračnosti, to i osni razmak prema ovom izrazu strogo vrijedi samo za zahvat bez  bočne zračnosti. Takav osni razmak je najmanji od svih mogućih osnih razmaka određenog zupčanog para.

  i  n  v

O2

Slika 2.37: Osni razmak i evolventna funkcija kuta zahvata - 69 -

U stvarnom zupčanom  prijenosu uvijek  postoji neka bočna zračnost   neophodna za smještaj sloja maziva te kompenzaciju toplinskih deformacija i grešaka izrade i montaže. Ta zračnost, obuhvaćena je tolerancijama ozubljenja i ne utječe na nominalne dimenzije zupčanika.

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.7.3 Zupčani parovi s i bez pomaka profila 2.7.3.1 Zupčani parovi bez pomaka profila Ovakvi zupčani parovi nazivaju se još parovima s nul ozubljenjem, a sami zupčanici nul  zupčanicima. Kod njih je  x1 = x2 = 0. Tada je prema izrazima (2.119) i (2.47) očito invαw = invαn, αw = αn, d w1,2 = d 1,2, a osni razmak  a = mn

 z1 + z2

2

= a0 .

(2.121)

Dakle, kod parova bez pomaka profila kut zahvata αw je jednak kutu boka zuba osnovnog profila αn, kinematski krugovi jednaki su diobenim, a osni razmak tzv. nultom (ili diobenom) osnom razmaku.

2.7.3.2 Zupčani parovi s pomakom profila Ove zupčane parove karakterizira iznos sume faktora pomaka profila  xΣ =  x1 +  x2 koji može biti  jednak nuli te manji ili veći od nule. Ako je  xΣ = 0 uz  x1 > 0, takvi parovi nazivaju se parovima s V-nul ozubljenjem. Temeljem izraza (2.119), i kod njih je, isto kao i kod nul ozubljenja, kut zahvata αw  jednak kutu boka zuba osnovnog profila αn, kinematski krugovi jednaki su diobenim, a osni razmak jednak je nultom osnom razmaku. Ako je  xΣ ≠ 0 parovi imaju V-ozubljenje, parovi sa  xΣ > 0 V-plus ozubljenje, a parovi sa  xΣ < 0 Vminus ozubljenje. Parovi s V-nul i V-plus ozubljenjem imaju skoro sva svojstva bolja od onih s V-minus ozubljenjem pa se ovi potonji izuzetno rijetko primjenjuju. Kod parova s V-plus ozubljenjem kut zahvata αw je veći od kuta boka zuba osnovnog profila αn, kinematski krugovi su veći od diobenih, a osni razmak a veći od nultog osnog razmaka a0. Razlika a – a0 nije, kao što bi se moglo pomisliti, jednaka ( x1 +  x2)mn, nego je uvijek manja od tog iznosa. U to se lako uvjeriti proračunom po izrazima (2.119), (2.120) i (2.121). Dakle: a − a0 < ( x1 + x 2 ) mn .

(2.122)

Ovo vrijedi za sve V parove, a slikovito je prikazano na slici 2.38 gdje je prikazan položaj osnovnog profila (ili osnovne rezne letve) u zahvatu bez zračnosti s a zupčanikom  z1 koji ima faktor pomaka profila  x1  i položaj tog istog osnovnog profila u zahvatu bez zračnosti sa zupčanikom z2 koji ima faktor pomaka profila x2. Zupčanik z1 odmaknut je dakle od nominalnog položaja za  x1mn, a zupčanik  z2 za  x2mn. Njihov osni razmak  povećao se od nultog (diobenog) za ( x1 + x2) · mn  pa izgleda da tvrdnja izražena nejednadžbom (2.122) nije ispravna. Ovaj osni razmak a' naziva se fiktivnim osnim razmakom: a = a0 + ( x1 + x2 ) mn   '

(2.123)

 No, bokovi zubi spregnutih zupčanika sada nisu u zahvatu  – nema kontakta između dva zupčanika! Dakle, ne  prenosi se gibanje, tj. ono bi se neispravno prenosilo. Da bi se dobio  pravilan zahvat bez zračnosti, treba zupčanike vratiti natrag, jednog prema drugom – do dodira

- 70 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 bokova – za veličinu tzv.  povratnog pomaka Δ y · mn gdje je Δ y faktor povratnog pomaka. U tom trenutku (dodira bokova) osni razmak je a. Očito je: Δ y = xΣ

−y.

(2.124)

gdje je y faktor povećanja osnog razmaka:  y =

a − a0 mn

.

(2.125)

S povećanjem xΣ  povećanje osnog razmaka raste sporije negoli povratni pomak. To se jasno vidi iz slike 2.39 na kojoj je u koordinatama ( xΣ, a/mn) nacrtana funkcija fiktivnog osnog razmaka kao  pravac s koeficijentom smjera  a'    =1  dxΣ  mn  d

(2.126)

koji siječe ordinatu u točki (0, a0/mn) te funkcija stvarnog osnog razmaka a mn

=

 z1 + z2 cos α n

2

cos α w

 

(2.127)

z1    1   z   n

1

   5  ,   n    0    1

3 2 4

  z

  n

  n    2    5  ,    0

z2

Slika 2.38: Par zupčanika u zahvatu s osnovnom reznom letvom 1 – konture reznih letvi koje režu zupčanike 2 – diobeni pravac reznih letvi 3 – odvalni pravac letve pri izradi zupčanika z1 4 - odvalni pravac letve pri izradi zupčanika z2

kao krivulja s promjenjivim koeficijentom smjera  a  sin α n d  a  dα w d  inv α w   = ⋅ ⋅ =     sin α w dxΣ  mn  dα w  mn  d inv α w dxΣ d

- 71 -

(2.128)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

koja siječe os ordinata u istoj točki (0, a0/mn) u kojoj je isti i koeficijent smjera (= 1).

n

 o  +  n

 +  (  1

  )  2        Σ

  n

       Σ

  n

  o

0

  n

Σ

Slika 2.39: Promjena osnog razmaka sa sumom faktora pomaka profila Budući da je za  xΣ > 0 vrijednost tj.  xΣ. Za  xΣ < 0 vrijednost 0 <

sin α n sin α w

sin α n sin α w

< 1 , to, a raste sporije od a', tim sporije što je veći αw,

< 1 pa funkcija, a raste brže od a'. Pri  xΣ = 0 obje funkcije

rastu jednako brzo.

2.7.4 Prekrivanje profila Budući da se kontakt (dodir) bočnih površina spregnutih zupčanika odvija po zahvatnoj liniji (dodirnici), a pošto dodira ne može biti izvan krugova preko glave, onda je jasno da, ako je zupčanik z1 pogonski,  par zubi ulazi u zahvat u točki, a dodirnice presječene krugom preko glave  jednog, a izlazi iz zahvata u točki E dodirnice presječene krugom preko glave drugog zupčanika, slika 2.40. Da bi se sačuvao kontinuirani  prijenos gibanja i konstantni prijenosni omjer , treba sljedeći  par zubi ući u zahvat (u točki A) prije nego što promatrani par zubi izađe iz zahvata u točki E. Budući da su dodirne točke dvaju susjednih parova zubi na dodirnici udaljene za veličinu koraka  p b na temeljnom krugu, to je uvjet pravilnog prijenosa gibanja: AE > p b  

(2.129)

Omjer ovih dviju veličina naziva se  stupanj prekrivanja profila ε i mora biti veći od jedinice: ε  =

AE  p b

- 72 -

> 1.

(2.130)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

O1

 N 1

 N 2

O2 Slika 2.40: Duljina zahvata para zubi  Na slici 2.41a prikazani su zupčani parovi s ε  = 1, a na slici 2.41 b zupčani parovi s ε > 1 u trenutku ulaska u zahvat u točki A. Pri ε = 1 dodirna točka prethodnog para zubi nalazi se u točki E, tj. upravo izlazi iz zahvata. Pri ε > 1 dodirna točka prethodnog para zubi nalazi se u točki D i ostaje u zahvatu. Ona se giba po dodirnici od točke D  prema točki E, a istovremeno točka kontakta sljedećeg (tj. promatranog) para zubi se giba od točke A prema točki B. To znači da su od točke A do točke B i od točke D do točke E istovremeno dva para zubi u kontaktu. Poslije izlaska iz zahvata prethodnog para zubi u točki E u zahvatu će ostati samo jedan par zubi, sve dok točka dodira ne prođe područje BD  dodirnice. U skladu s time, pri ε = 1 u svakom trenutku u zahvatu je samo jedan par zubi, dok su pri ε > 1 u zahvatu čas dva, a čas jedan par zubi. Područja dodirnice AB i DE nazivaju se  područjima dvostrukog zahvata, a područje BD područjem jednostrukog zahvata. Točka B je točka početka, a točka D kraja jednostrukog zahvata. Potrebno je odrediti vrijednost stupnja prekrivanja profila. Prema slici 2.40 je: AE = AC + CE = AN2 − CN2 +EN1 − CN1 .

Budući da je

- 73 -

(2.131)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 N1

a) A

C

E

 N2

 b)  N1 A B

C D E

 N2

Slika 2.41: Određivanje stupnja prekrivanja profila a) ε = 1 b) ε > 1 AN 2

=

d  b2

2

- 74 -

tan α a 2  

(2.132)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

EN1 =

d  b1

2

CN1,2 =

tan α a1  

d  b1,2 2

(2.133)

tan α w ,

(2.134)

uz  p b = π mn cos α n , uvrštenjem u proizlazi: ε  =

 z1 ( tan α a1 − tan α w ) + z 2 ( tan α a 2 − tan α w )  

.

2π 

(2.135)

Obično se zahtijeva da stupanj prekrivanja bude ε ≥ 1,2. S povećanjem stupnja prekrivanja zupčani  prijenos mirnije radi, ali mu se smanjuje opteretivost. Stupanj prekrivanja raste s povećanjem krugova preko glave obaju zupčanika, poveć anjem broja zubi z1 i z2 te smanjenjem kuta zahvata, tj. sume faktora pomaka profila  xΣ.  Najveća moguća vrijednost stupnja prekrivanja ovisi o alatu s koji je zupčanik izrađen. Ako su zupčanici izrađeni s reznom letvom, duljina dodira AE ne može biti veća nego pri zahvatu s osnovnim profilom, slika 2.42. Stoga je ε max =

AE  p b

=

2ha*mn sin α nπ mn cos α n

Za standardni osnovni profil s αn = 200, ha* = 1 proizlazi:

ε 

=

max

4ha*

.

(2.136)

π sin 2α n  

= 1,98.

A

*

E

Slika 2.42: Određivanje najvećeg mogućeg stupnja prekrivanja

2.7.5 Karakteristične točke profila Ako se iz središta vrtnje O 2 zupčanika  z2 povuku kružnice kroz karakteristične točke A, B, D i E dodirnice do profila, njihove točke presjecišta s profilom označavaju se istim slovnim oznakama,  jer one na profilu označuju isto što i na dodirnici: početak i kraj jednostrukog i dvostrukog zahvata, slika 2.43. Dakle, djelovi profila između točaka, A i B i između točaka D i E označavaju  područja dvostrukog zahvata, a dio profila između točaka B i D označava područje jednostrukog - 75 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

zahvata. Točke A i E omeđuju dio profila koji je u zahvatu s profilom spregnutog zupčanika  z1. Taj dio profila zupčanika koji učestvuje u zahvatu naziva se aktivnim dijelom profila.  Na isti način određuju se karakteristične točke profila zupčanika  z1. Položaj svih spomenutih točaka definiran je kutevima pritiska u njima. Tako je za gonjeni zupčanik: tan α E

EN 2

=

=

0, 5d b2

 N1 N 2

=

N1 N 2 − N1E

d b1 + d b2

2

 N1E =

d  b1

2

0, 5d b2

 

(2.137)

tan α w  

(2.138)

tan α a1  

(2.139)

 Nakon uvrštavanja i sređivanja dobiva se kut pritiska u točki E: αE

   z = arctan  tan α w − 1 ( tan α a1 − tan α w )       z2  

(2.140)

Kut pritiska u točki B jednostrukog zahvata profila zuba gonjenog zupčanika iz tan α B

=

BN2 0,5d b2

=

EN 2 +  pb 0,5d b2

= tan α w +

pb

0, 5d b2

.

(2.141)

 Nakon sređivanja dobiva se: 

 z1



 z2

α B = arctan  tan α w −

2π  

( tan α a1 − tan α w ) +    . z 

(2.142)

Izrazi (2.140) i (2.142) za određivanje kuteva pritiska u karakterističnim točkama profila zu ba gonjenog zupčanika mogu se jednostavno primijeniti za određivanje istih točaka na profilu zuba  pogonskog zupčanika. Potrebno je samo zamijeniti indekse 2 s 1 i obratno. Polumjere zakrivljenosti u karakterističnim točkama moguće je izračunati prema osnovnom svojstvu evolvente, vidi poglavlje 2.1.3.2:  ρ A =

1 2

d b1 tan α A  

(2.143)

 Nakon uvrštavanja i sređivanja dobiva se:  ρ A = a sin α w − 0,5d b 2 tan α a2

 ρ E = a sin α w − 0,5d b1 tan α a1 .

- 76 -

(2.144) (2.145)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Polumjeri zakrivljenosti u graničnim točkama jednostrukog zahvata:  ρ B = ρ E +  pb  

(2.146)

 ρ D = ρ A +  pb .

(2.147)

 N1 A B

B C D E

D E F2

 N2

Slika 2.43: Karakteristične točke aktivnog profila zuba

2.7.6 Kinematski parametri U poglavlju 2.1.4 dobiveni su izrazi za određivanje  brzine gibanja dodirne točke po profilu i  brzine klizanja dvaju spregnutih profila u točki dodira. Za evolventno ozubljenje, slika 2.44, ovi izrazi su:  – Brzine gibanja u1 i u2 dodirne točke po boku zuba zupčanika  z1 i z2: u1 = N1Yω1 = ρ y1ω1 =

- 77 -

1 2

d b1 tan α y1ω1    

(2.148)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

u2

1

= N 2 Yω2 = ρ y2ω2 = d b2 tan α y2ω 2     2

(2.149)

 – Brzina klizanja boka zuba pogonskog u odnosu na bok zuba gonjenog zupčanika: vR1

1

= u1 − u2 = d b1ω  1 ( tan α y1 − tan α y2 )   2

(2.150)

ili, u skladu s izrazima (2.19) i (2.21): v R1

1

= CY (ω1 + ω2 ) = d b1 ( ω1 + ω 2 ) ( tan α y1 − tan α w )  . 2

(2.151)

 – Brzina klizanja boka zuba gonjenog u odnosu na bok zuba pogonskog zupčanika: vR2

= −vR1 .

(2.152)

O1

 N1 A

C Y E  N2

O2

Slika 2.44: Kinematski parametri ozubljenja

- 78 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Očito je da veličina brzine klizanja v R1 opada s veličinama sila trenja koje djeluju na površini zuba zupčanika  z2 . Pri dodiru profila u kinematskom polu C je αy1 = αy2 = αw i CY = 0 pa klizanja profila nema. Zbog toga kinematski cilindar dijeli bočnu površinu zuba u dva dijela:  površinu smještenu između  kinematskog cilindra i cilindra preko glave koja se naziva kinematskom glavom i ostali dio bočne površine koji se naziva kinematskim podnožjem. Kinematska glava zuba pogonskog zupčanika dodiruje se pri zahvatu s kinematskim podnožjem gonjenog zupčanika i obratno. Ponekad je moguće da kod jednog od dva zupčanika u  paru kinematski krug bude van područja zuba, tj. veći od kruga preko glave: d w ≥ d a .

(2.153)

Zubi ovakvog zupčanika se dakle sastoje samo iz  podnožja, a zubi spregnutog mu zupčanika samo iz glave; to znači da kod oba zupčanika brzina  dodirne točke okomito na dodirnicu (tj. po  boku) ne mijenja smjer pa ni brzina klizanja ne mijenja smjer za vrijeme trajanja zahvata. Veličina brzine klizanja i sila trenja u zahvatu ovisi o udaljenosti točke dodira od kinematskog  pola C, izraz (2.21), a njihov smjer o odnosu kuteva pritiska αy i αw, izraz . Tako je na glavi zuba  pogonskog zupčanika brzina klizanja usmjerena uvijek prema vrhu glave, a u podnožju od glave  prema podnožju, slika 2.45. Na odgovarajućim površinama gonjenog zupčanika  smjer brzina klizanja je suprotan ovom. Smjerovi brzina klizanja su, naravno, suprotni opisanim smjerovima  brzina klizanja. S porastom brzine klizanja raste sklonost površine zuba zaribavanju. Najopasniji su momenti ulaska i izlaska para zubi iz zahvata kada su brzine klizanja: 1

vRE

= ( ω1 + ω 2 ) d b1 ( tan α a1 − tan α w )  

(2.154)

vRA

= (ω1 + ω2 ) d b2 ( tan α a2 − tan α w )  

(2.155)

2 1

2

Yw 1

C Yw 2

Slika 2.45: Smjer brzina klizanja po boku zuba sparenih zupčanika - 79 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Vri jednosti specifičnog klizanja kao omjer brzine klizanja i brzine gibanja dodirne točke po boku zuba zupčanika dobiju se uvrštenjem izraza, i u (2.22) i (2.23):

  z2  1 +  z  ( tan α a2 − tan α w ) 1    ϑ A = −   z2 tan α w − ( tan α a2 − tan α w )

(2.156)

  z2  1 +  z  ( tan α a1 − tan α w )  1  . ϑ E = −  z2 tan α w − ( tan α a1 − tan α w )

(2.157)

 z1

 z1

2.8 OSNOVNI

PARAMETRI POSTUPKOM

ZUPČANIKA

IZRAĐENIH

FELLOWS

2.8.1 Rezni zupčanik  Rezni zupčanik je alat za rezanje zupčanika postupkom odval nog dubljenja- Fellows postupkom, vidi poglavlje 2.5.1. To je odvalni alat čija projekcija u ravnini rezanja  (okomito na os)  predstavlja zupčanik s evolventnim bokom zuba, jednak ili sličan teorijsk om reznom zupčaniku, slika 2.24. Da bi mogao rezati, rezni zupčanik mora imati prednji i zadnji kut rezanja. Zbog toga su njegova prednja površina i tjemena  površina konične, slika 2.46. Ipak, profil ovog alata ne odgovara u potpunosti profilu teorijsk og reznog zupčanika, a razlike se prvenstveno odnose na oblik glave i korijena zuba.

Slika 2.46: Aksijalni presjek jednog od uobičajenih oblika reznog zupčanika Pored toga, radni profil reznog zupčanika ovisi i o njegovom broju zubi i o faktoru pomaka  profila.  Na taj način i geometrijske karakteristike zupčanika koji se režu ovise o broju zubi i faktoru pomaka  profila reznog zupčanika. Ovo je bitna razlika u odnosu na zupčanike izrađene ravnim zupčastim alatom. - 80 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Za svaki modul pojedini (nacionalni i tvornički) standardi predviđaju nekoliko vrijednosti za broj zubi z0 reznog zupčanika, a time i više nazivnih diobenih promjera. Za svaki pak  z0 predviđena je vrijednost faktora pomaka profila novog i granično istrošenog reznog zupčanika. Naime, nakon svakog br ušenja vanjski promjer reznog zupčanika i njegova debljina na diobenom promjeru se smanjuju, a time se smanjuje i  pomak profila. Faktor pomaka profila u novoizrađenih reznih zupčanika kreće se od  x0  = 0 (za male  z0) do  x0  = 1 (za velike  z0). Granično istrošeni rezni zupčanik ima negativne vrijednosti faktora pomaka profila koje mogu doseći iznos i do x0 = – 0,7. Ako se sa sigurnošću ne zna vrijednost faktora pomaka profila reznog zupčanika, ona se može odrediti iz izračunate ili izmjerene debljine zuba s0 na diobenom krugu:  x0 =

2s0 − π mn 4mn tan α n

 

(2.158)

 Najvažniji parametri reznog zupčanika su: •  promjer diobenog kruga d0

•

= mn z0  

(2.159)

 promjer temeljnog kruga d b0 = mn z0 cos α n  

•

(2.160)

 promjer kruga preko glave jednak je promjeru kruga preko glave teorijsk og reznog zupčanika da0

= d 0 + 2 ha 0 + 2 mn x0 = mn  z0 + 2 (1 + c* + x0 ) .

(2.161)

Važna karakteristika geometrije r eznog zupčanika  jest položaj toke F 0  u kojoj evolventni bok zuba prelazi u krivulju korijena. Ova točka infleksije određena je kutem pritiska koji se računa iz tan α F0 = tan α n − 4

1 + c0 − x0  z0 sin2α n

.

(2.162)

Ako je tan αF0  > 0, evolventa prelazi u krivulju korijena iznad temeljnog kruga i zubi će biti izvedeni kao kod teorijskog reznog zupčanika. Prijelazna krivulja je skraćena evolventa. Rezni zupčanici s brojem zubi z0 ≥ 28 izvedeni su na ovaj način bez obzira na stupanj istrošenosti. Ako  je tan αF0 ≤ 0, evolventa ide do temeljnog kruga, a ispod toga se rezni profil nastavlja obično kao radijalni pravac ili može biti modificiran na drugi način. Zbog toga se u proračunima uzima da je kut αF0 = 0 kad god se dobije negativna vrijednost njegovog tangensa prema izrazu (2.162). Glava zuba reznog zupčanika obično je izvedena s oštrim bridom koji tvore evolventa i krug  preko glave zuba – kao u teorijsk og reznog zupčanika. No, ovaj se oštri brid najčešće malo skošuje ili zaobljuje malim kružnim lukom polumjera  ρk0 = (0,01...0,03)mn. Postoje i specijalne izvedbe reznih zupčanika u kojih se glava potpuno zaobljuje .

- 81 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.8.2 Dimenzije zupčanika izrađenog odvalnim dubljenjem reznim zupčanikom Svi promjeri zupčanika izrađenog Fellows postupkom odvalnog dubljenja su isti kao   kod zupčanika izrađenog odvaljivanjem s  alatom u obliku ravne ozubnice. Razlika je samo u  podnožnom promjeru koji je determiniran procesom rezanja, tj. osnim razmakom aw0 između reznog zu pčanika i obratka i promjerom kruga preko glave d a0 reznog zupčanika: d f = 2aw 0 − d a 0 .

(2.163)

Zahvat reznog zupčanika i obratk a može se promatrati kao zahvat dvaju evolventnih zupčanika  bez bočne i bez tjemene zračnosti u podnožju zuba zupčanika. Za određivanje parametara ovakvog zahvata i zupčanika koji se izrađuje potrebno je samo u dosa dašnje, poznate izraze za zahvat dvaju zupčanika uvrstiti parametre jednog od zupčanika i reznog zupčanika. Tako se dobije izraz za osni razmak aw0 između reznog zupčanika i obratka: aw0 = mn

 z + z0 cos α n cos α w0

2

 

(2.164)

i analogno izrazu , evolventna funkcija kuta zahvata αw0 pri izradi zupčanika: inv α w 0 = 2

 x + x0  z + z0

tan α n + inv α n .

(2.165)

Sam kut zahvata dobiva se iteracijom uz pomoć Newtonove metode tangenta prema kojoj se nakon proizvoljno odabrane vrijednosti αw0 svaka iduća dobiva iz: α w0,i+1 = α w0,i −

inv α w0,i − inv α w0 tan 2 α w0,i

.

(2.166)

Promjeri kinematskih krugova pri zahvatu na dubilici, analogno izrazima (2.26) i (2.27) su: d w0 =

2aw0    z 1+  z0

(2.167)

za rezni zupčanik te d w

=

2aw0  z 1+ 0  z

 

(2.168)

za obradak. Debljina zuba s na diobenom krugu, koraci  pb na temeljnom i  p na diobenom krugu i debljina zuba sa na krugu preko glave (osim ako vrh glave nije zaobljen ili skošen) također se računaju po istim izrazima kao za izradu s alatom u obliku ravne ozubnice.

- 82 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.8.3 Podrezivanje korijena zuba Položaj granične točke profila zupčanika u procesu njegove izrade , tj. zahvata s reznim zupčanikom može se odrediti pomoću izraza za kut pritiska u graničnoj točki profila u zahvatu dvaju zupčanika. Zamjenivši u tom izrazu parametre  jednog od zupčanika s reznim zupčanikom, dobije se:  

α F = arctan  tan α w 0 −

 z0  z

 

( tan α a 0 − tan α w 0 )  . 

(2.169)

Kut pritiska αa0 na krugu preko glave reznog zupčanika dobije se iz: mn z cosα n

cosα a0 =

d a0

.

(2.170)

Do podrezivanja korijena zuba dolazi kada je αF ≤ 0, vidi poglavlje 2.6.5, tj. najmanji dopušteni kut pritiska u graničnoj točki je αF = 0. Sada iz (2.169) proizlazi najmanja vrijednost kuta zahvata  pri kojoj još neće doći do podrezivanja korijena: tan α w0,min =

 z0  z + z0

tan α a0  

(2.171)

Iz izraza (2.165) sada se može odrediti i minimalna vrijednost faktora pomaka profila da ne dođe do podrezivanja:  xmin

=

( inv α

w0,min

− inv α n ) ( z + z0 )

2tan α n

.

(2.172)

 Najmanji broj zubi zmin zupčanika s određenim  x može se odrediti rješavanjem sustava jednadžbi: tan α w 0 =

inv α w0 = 2

 z

tan α a0  

(2.173)

tan α n + inv α n .

(2.174)

 zmin + z0

 x + x0  zmin + z0

2.8.4 Geometrija zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem Zupčanici s unutrašnjim ozubljenjem mogu se izrađivati samo Fellows postupkom, a imaju geometriju jednaku ili sličnu teorijskom zupčaniku s unutrašnjim ozubljenjem, slika 2.24. Bokovi zuba su evolventni, ali konveksni, a prijelazna krivulja između podnožnog kruga i evolventnog  boka je skraćena hipocikloida za oštri vrh glave reznog zupčanika ( ρk0  = 0) ili ekvidistanta skraćene hipocikloide za zaobljeni vrh glave alata ( ρk0 > 0).

- 83 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Trodimenzionalna shema jednostavnog zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem prikazana  je na slici 2.47.

Slika 2.47: Trodimenzionalna shema  jednostavnog zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem

Proračun geometrije zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem, kao i njegovog zahvata sa sparenim mu zupčanikom s vanjskim ozubljenjem ili s reznim zupčanikom u procesu odvalnog rezanja, sasvim se pojednostavnjuje primjenom  pravila  predznaka  prema standardu DIN 3990. Po tom  pravilu, svi izrazi koji se odnose na geometriju zupčanika i na  njegovo sparivanje, vrijede bez razlike za vanjsko i za unutrašnje ozubljenje ako se broju zubi zupčanika s unutrašnjim ozubljenj-

em dodijeli negativni predznak . Na taj način, svi njegovi promjeri i broj zubi te osni razmak  poprimaju također negativne vrijednosti. Pri tome se kao pozitivni pomak profila smatra onaj pri kojemu se alat (rezni zupčanik) udal java od obratk a. Kod vanjskih zupčanika to je od središta  prema vani, a kod unutrašnjih prema središtu zupčanika.

2.9 SMETNJE PRI IZRADI I U ZAHVATU EVOLVENTNIH ZUPČANIKA Pored važne smetnje podrezivanja u korijenu zuba, postoji još niz drugih m ogućih smetnji, kako  pri izradi tako i u zahvatu zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem. One nastaju kad alat reže profil zuba tamo gdje ne bi smio, ili kad profil jednog interferira (preklapa se) s profilom njemu sparenog zupčanika.

2.9.1 Smetnje pri izradi 2.9.1.1 Podrezivanje korijena zuba Podrezivanje korijena zuba je općenito nepožel jno, osim u nekim slučajevima kada čvrstoća zupčanika nije bitna. Do podrezivanja ne dolazi ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta: tan α F ≥ 0  

(2.175)

 x ≥ xmin  

(2.176)

 z ≥ zmin .

(2.177)

Kod zupčanika rezanih s alatom u obliku rezne letve, tan αF određuje se prema izrazu (2.84), xmin  po izrazu (2.86) i  zmin po izrazu (2.87). Za zupčanike izrađene Fellows postupkom primjenjuju se odgovarajući izrazi (2.169) i (2.172), i to samo za zupčanike s vanjskim ozubljenjem, jer je kod onih s unutrašnjim ozubljenjem uvijek αF > 0.

- 84 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.9.1.2 Podrezivanje glave zuba (interferencija prvog reda) Podrezivanje glave zuba nastaje pri izradi zupčanika s vanjskim i unutrašnjim ozubljenjem Fellows  postupkom. Ono nastaje ako se zahvat između reznog zupčanika i obratka odvija u području  prijelazne krivulje reznog zupčanika. U tom slučaju zub obratka ostaje srezan pri vrhu, slika 2.48.

J

L M  N

Uvjet da ne dođe do podrezivanja jest da točka J  početka podrezanog zuba bude izvan kruga preko glave zupčanika, tj. da kut pritiska u točki J bude veći od kuta pritiska na krugu preko glave: α J ≥ α a  

Pri tome je kut αJ definiran kutem pritiska sparenog reznog zupčanika u graničnoj točki F 0  njegovog  profila, shodno izrazu (2.31):

Slika 2.48: Zub s podrezanim vrhom glave tan α J

(2.178)

≈ tan α w 0 −

 z0  z

( tan α F0 − tan α w0 ) . 

(2.179)

Ponekad je poželjno da zub ima podrezanu glavu zbog što "mekšeg" ulaza u zahvat.

2.9.1.3 Odrezivanje glave zuba (interferencija drugog reda) Do ove interferencije može doći samo pri izradi zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem i to pri malim razlikama između broja zubi reznog zupčanika i obratka. Prema slici 2.49, ova smetnja nastupa ako vrh glave zuba r eznog zupčanika (točka A 0) stigne u točku, a dodirnice prije vrha glave obratk a (točka A2). Dakle, uvjet da ne dođe do odrezivanja glave zuba jest da vrijeme τ 0 potrebno točki A0 da napravi A 0 A  bude veće ili barem jednako vremenu τ2 točke A2 obratk a da pređe put    A 2 A . Dakle,  put    τ0 =

 β 0 ω0

≥ τ 2 =

β 2 ω 2

,

(2.180)

A 0 A  i    A 2 A točaka A0 i A2, a ω0 i ω2 kutne brzine reznog zupčanika gdje su β 0 i β 2 kutevi putanja    i obratka.

Izraz (2.180) se može pisati kao:  β 0 ≥

 z2  z0

Kutevi β 0 i β 2 određuju se prema slici 2.49:

- 85 -

β 2  

(2.181)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 β 0 = Φ 0 + inv α a0 − inv α w 0  

(2.182)

 β 2 = Φ 2 + inv α a2 − inv α w0  

(2.183)

 pri čemu se kutevi Φ0 i Φ2 određuju iz kosinusovog poučka: 2

Φ 0

= arccos

d a2

2 − 4aw0 − d a20

4aw 0d a0

d a 2 + 4aw 0 − d a0 2

Φ 2 = arccos

2

4aw0 d a2

- 86 -

 

(2.184)

.

(2.185)

2

A2 A0

C

 N0

 i n v

A

 N2

 i n v  i n v  i n v

  '

Oo

O

Slika 2.49: Granica odrezivanja glave zuba

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.9.1.4 Radijalna interferencija (interferencija trećeg reda) Radijalna interferencija  pri izradi zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem  ozubljenjem  nastaje kada bok zuba obratk a smeta reznom zupčaniku da izvede svoj povratni hod, hod , tj. alat bi prilikom povratnog hoda zadirao u obradak što bi izazvalo oštećenje obratka, a moguće je i oštećenje samog reznog zupčanika.

O0

O2

Slika 2.50: Uvjeti nastanka radijalne interferencije Ova smetnja neće se pojaviti se pojaviti ako je prema slici 2.50 ξ 2 > ξ 0 , tj.: da 2 sin δ1 > d a 0 sin δ 01  

(2.186)

d a 2 sin δ 2 > d a 0 sin δ 02  

(2.187)

da2 sin δ 3 > d a0 sin δ 03  

(2.188)

itd. Ovdje je: δi =

( i + 1) π   z2

−ψ a 2  , i = 1,2,3...

- 88 -

(2.189)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

δ 0i =

ψ a2 =

ψ a0 =

π  2  z2

π  2  z0

iπ   z0

+ψ a0  , i = 1,2,3...

−

2 x2 tan α n

−

2 x0 tan α n

z2

z0

(2.190)

− inv α n + inv α a 2  

(2.191)

− inv α n + inv α a0 .

(2.192)

Radijalna interferencija nastaje pri odvalnom Fellows postupku samo pri malim vrijednostima razlike (  z 2 − z 0 ) .

2.9.1.5 Oštri prijelaz u korijenu zuba Profil zuba evolventnog zupčanika formira se u se  u procesu odvalnog rezanja kao obvojnica aktivnog  profila alata. Pritom se evolventni bok formira kao obvojnica evolventnog dijela profila profi la alata, a  prijelazna krivulja kao obvojnica zaobljenog vrha zuba alata (za  ρF < 0), tj. kao putanja relativnog gibanja vrha zuba alata (za  ρF  = 0). Pri rezanju unutrašnjeg ozubljenja prijelazna krivulja je skraćena (za (za d a0 a0 < d 0) ili produžena (za d a0 a0 > d 0) hipocikloida. U slučaju da je da0 = d w 0  

(2.193)

 prijelazna krivulja se neće niti formirati, formirati, a evolventni bok će oštro sjeći podnožni krug. Dakle, izraz (2.193) je uvjet za oštri prijelaz u korijenu, a faktor pomaka profila pri kojemu se ovo događa odredi se iz (2.165):  x = xT =

inv α w0 − inv α n  z + z0 tan α n

2

− x0 ,

(2.194)

 pri čemu se zahvatni kut u procesu odvalnog dubljenja određuje iz: cos α w0

=

d b0 d a0

=

z0 cos α n

(

z0 + 2 1 + c0*

) + 2 x0

.

(2.195)

Dakle, kao i svi ostali parametri zupčanika izrađenih Fellows postupkom, i nastajanje oštrog  prelaza u korijenu ovisi ne samo o parametrima obratka, nego i o broju zubi i faktoru pomaka  profila reznog zupčanika. Kod vanjskog evolventnog ozubljenja, u širokom dijapazonu upotrebljavanih z, z0 i x0, pomak profila zupčanika xT koji zadovoljava uvjet (2.193) uvijek je veći od 2 mn, tj. uvijek je izvan područja pr imjene. imjene. Zbog toga kod ovakvog ozubljenja oštri prijelaz u korijenu nije od većeg interesa. Kod unutrašnjeg ozubljenja međutim, ovaj pomak je često (naročito kod većih  z0) toliki da (barem djelomično)  djelomično)  ispunjava uvjet (2.193), tj. nastaje oštri eba voditi računa o tome da stvarni (odabrani) faktor pomaka  prijelaz u korijenu. Zbog toga tr eba  profila ne bude suviše blizu  xT, jer inače nastaje inače nastaje velika koncentraciju naprezanja koja se ne može dopustiti kod zupčanika za  prijenos snage. Što Št o se promjeri d a0 a0 i d w0 w0 više razlikuju, koncentracija naprezanja u korijenu je to manja. - 89 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Pri odvalnom dubljenju reznim zupčanikom sa zaobljenim vrhom zuba, zuba , prijelazna krivulja je ekvidistanta produžene ili skraćene epicikloide (za ( za unutrašnje ozubljenje) ili skraćene hipocikloide (za vanjsko ozubljenje) koju opisuje središte zaobljenosti vrha glave alata. Minimalni polumjer zakrivljenosti prijelazne krivulje je  ρmin =  ρF kad je polumjer središta zaobljenosti vrha glave alata jednak kinematskom polumjeru reznog zupčanika, dok je u svim ostalim slučajevima ρmin > ρF.

2.9.2 Smetnje (interferencije) u zahvatu para zupčanika Smetnje (interferencije) u zahvatu para zupčanik a nastaju kada im se profili preklapaju, tj. kada  profil jednog zupčanika ulazi odnosno želi ući u profil drugog. One nisu dopuštene, dopuštene, jer uzrokuju oštećenj u njihovih profila pa nepravilan zahvat koji može rezultirati zaklinjavanjem zupčanika ili oštećenju i lomom zuba.

2.9.2.1 Interferencija u korijenu zupčanika Interferencija u korijenu zupčanika  zupčanika  nastaje kada putanja (trajektorija) relativnog gibanja vrha zuba jednog zupčanika upada u prelaznu krivulju drugog, njemu sparenog zupčanika.   Na slici 2.51 prikazan 2.51 prikazan je profil zuba zupčanika i putanja relativnog gibanja vrha glave zuba sparenog mu zupčanika. Ta putanja tangira evolventu u točki E 2  aktivnog profila. Ako je kut pritiska αE2 u točki E2 veći od kuta pritiska αF2 u graničnoj točki F2 interferencije  interferencije neće biti, biti, a na profilu zuba E 2 F2 , slika 2.51a. Pri αE2 = αF2 točke E2 i F2 se poklapaju i zupčani ostat će neradni dio evolvente     par je na granici interferencije. Kada je αE2 < αF2 (točka E2  ispod F2), slika 2.51b, javlja se interferencija, što nije dopušteno.

 b)

a)

E2

F2

F2 M2

E2 M2

Slika 2.51: Putanja relativnog gibanja vrha glave zuba sparenog zupčanika a) kada nema interferencije b) u prisustvu interferencije

- 90 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Uvjet da ne dođe do interferencije jest da aktivni dio profila ne prelazi evolventni dio profila. Za  par s vanjskim ozubljenjem uvjeti su: α A1 ≥ α F1 α E2

≥ α F2  

(2.196)

gdje su α A1 i α E2 kutevi pritiska u točkama, a i E dodirnice za zupčanike  z1 i  z2 , a α F1 i α F2 kutevi pritiska u graničnim točkama profila zuba zupčanika  z1 i z2 . Kutevi α A1 i α E2 računaju se  prema izrazu , a α F1 i α F2 prema izrazu (2.84).

2.9.2.2 Interferencija glava zupčanika Uvjeti pod kojima nastaje ova smetnja, kao i izrazi, identični su onima pri odrezivanju glave zuba ako se umjesto parametara reznog zupčanika uvrste odgovarajući parametri zupčanika s vanjskim ozubljenjem. Pored ostalog, to znači da do ove smetnje može doći samo kod para s unutrašnjim ozubljenjem. Za ( z1 + z 2 ) > 23  do ove smetnje nikada ne dolazi, dok za manje vrijednosti ( z1 + z 2 ) , naročito  pri kutevima dodirnice bliskim nuli (takvi prijenosi su mogući kod para s unutrašnjim ozubljenjem) i pri xΣ > 0, do ove smetnje može doći.

2.9.2.3 Radijalna interferencija Ova smetnja se sastoji u tome što pri određenim uvjetima nije moguća radijalna montaža zupčanika s vanjskim ozubljenjem u zahvat sa zupčanikom s unutrašnjim ozubljenjem. Kod  parova s vanjskim ozubljenjem do ove smetnje ne može doći. Do radijalne interferencije u zahvatu para s unutrašnjim ozubljenjem dolazi pod istim uvjetima kao i pri radijalnoj interferenciji prilikom izrade zupčanika s unutrašnjim ozubljenjem (slika 2.50). Važe i isti izrazi ((2.186) do (2.192)) ako se umjesto veličina reznog zupčanika uvrste odgovarajuće veličine manjeg zupčanika.

- 91 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.10 IZBOR FAKTORA POMAKA PROFILA Faktori pomaka profila bitno utječu na geometriju zupčanika i na sve osobine zupčanog prenosa. Primjena zupčanika s pomakom profila omogućuje konstruiranje  prijenosa sa zadanim osnim razmakom i time olakšava rješavanje niza problema geometrijske i kinematičke sinteze. O faktoru pomaka profila ovisi oblik i položaj prijelazne krivulje, a time podrezivanje ili nepodrezivanje korijena zuba, sva ostala podrezivanja i interferencije, debljina zuba u korijenu, naprezanja na boku i u korijenu zuba, koncentracija naprezanja itd., dakle čitav niz faktora koji utječu na integritet zupčanika. Povećanjem pomaka profila aktivni profil zuba pomiče se na dio evolvente s veći m polumjerima zakrivljenosti, smanjuju se i specifična klizanja bokova zubi te povećava nosivost zuba s obzirom na kontaktna naprezanja, ali se istovremeno smanjuje stupanj prekrivanja i debljina glave zuba. Izborom x utječe se na brzine klizanja i specifična klizanja, a to su faktori koji određuju trošenje  bočnih površina i sklonost zaribavanju. Također je moguće smjestiti kinematski pol C u područje dvostrukog zahvata ili ga sasvim izbaciti iz aktivnog dijela profila čime se utječe  na kontaktnu čvrstoću boka zuba i znatno povećava otpornost na trošenje. Do određene granice (obično 0 <  x 0) sve moguće V-nul parove, vidi sliku 2.52; svi pravci paralelni s ovim, a smješteni desno ili gore od njega predstavljaju V- plus parove  xΣ = const > 0, a oni smješteni lijevo ili dolje od pravca  x1 = - x2 predstavljaju V- minus parove  xΣ = const < 0. U dijagrame graničnih linija mogu se još ucrtati različite izolinije koje karakteriziraju određeni  par zupčanika: izolinije jednakih stupnjeva prekrivanja ε = const; izolinije jednakih specifičnih klizanja po bokovima zubi spregnutih zupčanika. Izbor točke ( x1, x2) po ovoj izoliniji osigurava (uz iste materijale) jednako trošenje bokova zubi; izolinije jednakih naprezanja u korijenu ili na boku zuba za jedan ili oba =   c  o   zupčanika; izolinije na kojima su naprezanja n   > =   =   s  t   npr. u korijenu zuba jednaka za oba > c  o    ;   zupčanika itd. Izbor ( x1,  x2) npr. po ovoj n  s   t        >     s    a

0,9 0,8

 R 1 6  R 15

0,7 0,6 0,5

05 ozubljenje +

 = 0,44

+

A(

0,4

)

  a R14    i    j    t   s   n   a

0,3 R 13

0,2 0,1 0

   g        r a          t          n         ic                 p        e o              a         r a          r e              p        k           ts            o         ti             k           d             c         a         m         n         a z              a         iv             a n                  j a          

-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 0

10

R 1 2 

R    R    R    1     2     R    6    R   R    7    4     5   

20

30

40

50

R  8   60

R 1  0  

R 9   70

80 +

90

100

= 87

120 130  broj zubi tj,

Slika 2.59: Raspodjela xΣ na x1 i x2  pomoću linija parova

- 101 -

  o    i   v   v    i   r   s    k   o   e   n   r   e   p    j   a    j   n   n   a   c   p   e    t   v   u   o   s   e   p    j   n   a   c   e   v   o   p

R 1 1  140

150

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.11 EVOLVENTNI ZUPČANICI S KOSIM ZUBIMA 2.11.1 Osnovna razmatranja Kod cilindričnih zupčanika s kosim zubima zubi su smješteni po zavojnoj liniji   pa se ponekad nazivaju helikoidnim ili na engleskom jeziku helical gears  (od helic  – zavojnica). Zavojna geometrija zubi omogućava njihov postu pni ulaz u zahvat i na taj način smanjenje dinamičkih opterećenja. Zbog toga zupčanici s kosim zubima istih dimenzija kao cilindrični mogu prenositi veću snagu odnosno uz istu snagu imaju manje dimenzije te proizvode manje buke u radu.  Nedostatak prijenosa zupčanicima s kosim zubima jest što u zahvatu nastaje dopunska aksijalna sila koja dodatno opterećuje ležajeve i vratila. Svaka točka profila zuba ima svoju zavojnu liniju sa svojim kutem uspona. Oštri kut između zavojne linije zuba i osi zupčanika  komplementaran je s kutem uspona i naziva se kut nagiba  zuba, slika 2.60. Kutevi nagiba  β y na različitim promjerima d  y su različiti, ali je korak zavojnice isti:  pz =

π d  tan β

=

π dw tan β w

=

π d b tan β b

=

π d y tan β y

 

(2.199)

Slika 2.60: Kutevi nagiba zuba zupčanika s kosim zubima Odatle slijedi izraz za određivanje kuta nagiba zuba  β y na proizvoljnom promjeru u ovisnosti o kutu nagiba zuba na diobenom krugu  β  koji je osnovni parametar: tan β y =

dy d

tan β =

dy dw

tan β w =

- 102 -

d y d b

tan β b .

(2.200)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Kutevi nagiba na temeljnim, diobenim i kinematskim krugovima spr egnutih zupčanika moraju  biti isti:  β b1 = β b2 ;

 β1 = β 2 ;

 β w1 = β w2 .

(2.201)

Smjerovi uspona zavojnica spregnutih zupčanika moraju biti različiti. Ako jedan zupčani k ima lijevu zavojnicu (lijevi smjer nagiba zuba), drugi mora imati desnu i obratno. Bočne površine zupčanika s kosim zu bima formiraju se jednako kao i one zupčanika s ravnim zubima, odvaljivanjem ravnine po temeljnom cilindru. Tako prema poglavlju 2.3, pri odvaljivanju bez klizanja ravnine Q po temeljnom cilindru, svaki pravac koji leži u njoj, a  paralelan je s osi zupčanika, npr. pravac 1-1, tvori evolventnu površinu kao bočnu površinu zupčanika s ravnim zubima, slika 2.61. Pravac 2-2 koji zatvara oštri kut  β b s pravcem 1-1, tj. s osi zupčanika, pr i istom odvaljivanju ravnine Q, tvori  zavojnu evolventnu površinu- bočnu površinu zupčanika s kosim zubima. Isti takav pravac 1 (slika 2.62) odvalne ravnine koji zatvara kut  β b s osi zupčanika  pri odvaljivanju te ravnine po temeljnom cilindru spregnutog zupčanika tvori zavojnu površinu suprotnog smjera. 1 1

2

2

Q

O

Slika 2.61: Formiranje zavojnih evolventnih površina Sada je jasno da se bočne površine spregnutih zupčanik a dodiruju po pravcu koji s osi zupčanika zatvara kut β  b . Svaka točka ravnine Q pa tako i sve točke pravaca 2-2 i 1-1 pri njezinom odvaljivanju po temeljnom krugu zupčanika opisuju evolvente smještene u ravninama okomitim na os zupčanika. Dakle, u čeonom presjeku zupčanici s kosim zubima imaju evolventni profil kojeg   se može - 103 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 promatrati kao  beskonačni broj beskonačno tankih evolventnih zupčanika nasađenih na zajedničku os i zakrenutih jedan od drugog za beskonačno mali kut.

d    

b    1    

O1

2

1

1

w

 N1 b

C 3

w

 N2

2

O2   d   b  2

Slika 2.62: Zahvat spregnutih zavojnih evolventnih površina Kao i kod zupčanika s ravnim zubima, bočna površina zuba zupčanika s kosim zubima može biti dobivena kao obvojnica niza položaja površine zuba spregnute zupčaste letve s kosim zubima ili zupčanika s kosim zubima pri njihovom odvaljivanju po kinematskom krugu promatranog zupčanika. To je osnova za izradu zupčanika s kosim zubima odvaljivanjem. Zupčanici s kosim zubima se zbog toga normalno izrađuju odvaljivanjem s reznom letvom s kosim zubima, ali  još češće s reznom letvom s ravnim zubima koja imitira reznu letvu s kosim zubima. Potrebno je samo obradak odvaljivati ne okomito na pravac zubi rezne letve nego pod nekim kutem  β , tj. zakrenuti obradak za kut  β  u odnosu na njegov položaj kad se izrađuje zupčanik s ravnim zubima, slika 2.63. Budući da se diobeni pravac letve odvaljuje po diobenom krugu obratka, jasno je da je kut  β kut nagiba zuba na diobenom cilindru. Ovakva imitacija rezne letve s kosim zubima daje posve pravilne zube. Ako je alat pužno glodalo, imitacija je samo  približna, ali uglavnom prihvatljiva do  β  ≈ 400. To je razlog što se izrada zupčanika odvalnim  postupkom glodanja s pužnim glodalom smatra primjerenijom za potrebe neke zanatske radionice negoli ozbiljne strojograđevne firme. Rezanje zupčanika s kosim zubima po Fello ws postupku zahtijeva posebne rezne zupčanike s kosim zubima i producira zupčanike kvalitete jednake onima izrađenim reznom letvom po Maagovom postupku. - 104 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Slika 2.63: Položaji rezne letve i obratk a pri odvalnom rezanju zupčanika s kosim zubima Osnovni parametri zupčanika s kosim zubima koji definiraju njegove dimenzije različiti su u normalnom i čeonom presjeku. Da bi se razlikovali, čeonim parametrima dodaje se indeks t, a normalnim indeks n. U slučaju kada ne može doći do nesporazuma, indeks je moguće izostaviti, npr. indeks w za kut zahvata. Kako je poželjno imati mogućnost s jednim te istim alatom rezati zupčanike s raznim kutevima nagiba zuba, standardne vrijednosti se uzimaju za parametre osnovnog profila (αn, mn, ha* , c*) u normalnom presjeku rezne letve. Tako se pravilni evolventni  profil formira samo u ravnini odvaljivanja, tj. u čeonom presjeku zupčanika. Zbog toga  su svi  proračuni vezani za geometriju evolvente u potpunosi provedivi samo u čeonom presjeku. Od dva sparena zupčanika u pogonu jedan je desnovojan , a drugi lijevovojan, s istim kutem nagiba zuba  β . Za izradu desnovojnog zupčanika koristi se lijevovojni alat , a za izradu lijevovojnog zupčanika desnovojni alat. No, ako je alat rezna letva s ravnim zubima, tada se oba zupčanika mogu izrađivati s njom. Ako se oba zupčanika izrađuju s reznim zupčanikom, tada se svaki zupčanik izrađuje sa svojim alatom: lijevovojni zupčanik s desnovojnim reznim zupčanikom i obratno. U proračunima geometrije zupčanika s kosim zubima moguće je bez ikakve izmjene primijeniti izraze za zupčanike s ravnim zubima, postavljajući u njih čeone parametre osnovnog profila ( mt , * * αt, hta , ct  ). Nije  praktično u proračunima raditi s nestandardnim i promjenjivim po veličini  parametrima. Obično se primjenjuje algebarsko rješenje problema: čeoni parametri osnovnog  profila izražavaju se pomoću normalnih i pomoću kuta nagiba zuba  β . Nakon uvrštenje tih izraza - 105 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

u izraze za zupčanike s ravnim zubima, dobiju se univerzalni izrazi koji sadrže norm alne  parametre osnovnog profila, a prikladni su za proračune pri bilo kojim vrijednostima kuta β . Parametri čeonog presjeka osnovnog profila mogu se izraziti preko parametara no rmalnog  presjeka pomoću slike 2.64.

c d 

 b a

Slika 2.64: Parametri čeonog presjeka osnovnog profila  Korak i modul u čeonom presjeku:  pt =

mt =

 p

cos β 

 pt

=

π

 

mn

cos β 

(2.202) .

(2.203)

Visina glave osnovnog profila jednaka je u normalnom i čeonom presjeku

ha = ha*mn = hta* mt ,

(2.204)

hta* = ha* cos β  .

(2.205)

ct = c cos β  ;

(2.206)

odakle slijedi:

Analogno je faktor tjemene zračnosti: *

*

- 106 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 faktor pomaka profila

= x cos β  .

 xt

(2.207)

Kut profila u čeonom presjeku se dobije prema slici 2.64 iz ha =

ab

cd

=

tan α t

tan α n

=

ab cos β  tan α n

,

(2.208)

odakle slijedi: tan α t =

tan α n cos β 

.

(2.209)

2.11.2 Dimenzije zupčanika s kosim zubima i parametri zupčanog para Promjeri zupčanika s kosim zubima određuju se prema parametrima čeonog presjeka jednako kao za zupčanike s ravnim zubima:  promjer diobenog kruga d = mt z =

mn z

cos β 

;

(2.210)

 promjer temeljnog kruga d b

= d  cosα t ;

(2.211)

 promjer proizvoljnog kruga dy

=

d  b

cos α ty

= d 

cos α t cos α ty

 

(2.212)

gdje je αty kut pritiska na krugu d y proizvoljnog promjera (u čeonom presjeku). Uvrštavajući izraz (2.212) u izraz (2.200), dobije se korisni izraz: tan β y

=

cos α t cos α ty

tan β  .

(2.213)

Tako se npr. kut nagiba zuba na temeljnom cilindru dobije iz: tan β b = cos α t tan β   

 jer je αtb = 0. Izrazi za promjere kinematskih krugova se ne mijenjaju:

- 107 -

(2.214)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

d w1

= 2a

1

d w 2 = 2a

;

1+ i

i

1+ i

.

(2.215)

Za određivanje promjera podnožnih krugova može se primijeniti korigirani izraz (2.68) pa je: df =

mn z

cos β 

− 2 ( ha* + c* − x ) mn  

(2.216)

dok izraz (2.80) za promjer kruga preko glave ostaje nepromijenjen, osim ako ga se ne računa  prema izrazu (2.81) koji čuva standardnu visinu zuba. U tom se slučaju i izraz (2.81) korigira: mn z

da =

cos β 

+ 2 ( ha* + x ) mn .

(2.217)

 Nulti osni razmak para zupčanika je: a0 =

 z1 + z 2

2

mt =

z1 + z 2 mn

cos β 

2

.

(2.218)

Osni razmak računa se prema izrazu a = a0

cos α t cos α w

=

z1 + z 2 cos α t

mn

cos β

2

cos α w

.

(2.219)

Budući da je  xtΣ tan α t = xΣ tan α n  

(2.220)

evolventna funkcija kuta zahvata se računa prema: inv α w = inv α t + 2

 x1 + x2  z1 + z2

tan α n  

(2.221)

a odatle suma faktora pomaka profila:  x1 + x2 =

 z1 + z 2

2tan α n

( inv α w − inv α t ) .

(2.222)

Debljina zuba na diobenom krugu u normalnom presjeku određuje se prema izrazu (2.69), dok se u čeonom presjeku određuje prema izrazu  π   m + 2 x tan α n  n   2  cos β 

st = 

(2.223)

Za računanje debljine zuba na proizvoljnom krugu može se primijeniti izraz analogan izrazu (2.73):

- 108 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 π  2 x tan α n  + + inv α t − inv α ty  . z  2 z 

sty = d y 

(2.224)

Primijenivši ovaj izraz na krug preko glave, dobije se  π  2 x tan α n  + + inv α t − inv α ta  . z  2 z 

sta = d a 

(2.225)

Normalna debljina zuba na cilindru proizvoljnog promjera računa se prema: sny = sty cos β y .

(2.226)

Položaj granične točke profila određen je kutem pritiska αF u toj točki (u čeonom presjeku): tan α F = tan α t − 4

1 + c* − x  z sin2α t

.

(2.227)

Položaj točke B početka jednostrukog zahvata određuje se iz izraza tan α B = tan α w −

 z1  z 2

( tan α ta1 − tan α w ) .  

(2.228)

Zamjenom indeksa 1 i 2 dobija se položaj točke D kraja jednostrukog zahvata. Uvjet odsustva podrezivanja u korijenu zuba ostaje isti kao kod zupčanika s ravnim zubima  x ≥ xmin  

(2.229)

, ali uz  xmin = h − * a

2  z sin α t

2cos β 

.

(2.230)

− x) .

(2.231)

Podrezivanje se može provjeriti i preko broja zubi:  z ≥ zmin = 2

cos β  sin

2

(h α 

* a

t

Interferencija zubi u korijenu te sve ostale smetnje u zahvatu i pri izradi zupčanika provjeravaju se jednako kao u, ili analogno izrazima (2.178) do (2.196). U proračunima zupčanika s kosim zubima zgodno je, pored gore prikazanih promjera, uvesti  pojam ekvivalentnog promjera i ekvivalentnog broja zubi zupčanika s kosim zubima.

Ekvivalentnim se naziva broj zubi takvog cilindričnog zupčanika s ravnim zubima kojemu se  profil zuba približno podudara s profilom zuba cilindričnog zupčanika s kosim zubima u normalnom presjeku. - 109 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Presjek diobenog cilindra zupčanika s normalnom ravninom, slika 2.65, daje elipsu s poluosima 0,5d   i 0,5d /cos β . Profil zuba u blizini točke, a približno je jednak profilu zuba (ekvivalentnog) zupčanika s ravnim zubima kojemu je polumjer (ekvivalentnog) diobenog kruga jednak  polumjeru zakrivljenosti elipse u toj točki: 2

 d    2cos β     = r e = 1

2

d 

d 2

2 cos  β

=

mt z 2

2 cos β

=

mn

z

2 cos 3 β 

 

(2.232)

Odatle se dobiva ekvivalentni promjer: d e = 2re = mn z n = mn

 z

cos3  β 

,

(2.233)

 pa je ekvivalentni broj zubi ("broj zubi u normalnom presjeku"):  zn

=

 z

cos3  β 

.

(2.234)

A

Slika 2.65: Definiranje ekvivalentnog zupčanika

2.11.3 Kontrolne mjere Stalna tetivna debljina zuba u normalnom presjeku zupčanika s kosim zubima i visina do nje određeni su parametrima osnovnog profila ozubljenja i veličinom njegovog pomaka. Oni ne zavise o kutu nagiba zuba i zbog toga ih je moguće odrediti, kao i za zupčanike s ravnim zubima,  prema izrazima (2.95) i (2.96). - 110 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Tetivna debljina zuba sy  na krugu zadanog promjera d y određuje se u principu jednako kao za zupčanike s ravnim zubima. zubima. Tako normalna debljina zuba određena izrazom (2.92) predstavlja odrezak elipse dobiven presjekom ravnine normalne na liniju zuba i jednako udaljenoj od obje  bočne  bočne površine mjerenog zuba. Kod proračuna, tu debljinu elipse  elipse   se približno zamjenjuje s dijelom ekvivalentnog kruga čiji je promjer: pro mjer: d v

=

d y

cos2  β y

.

(2.235)

Sada je tetivna debljina zuba sy = dv sinψ yv = d y

sinψ yv cos 2  β y

 

(2.236)

 pri čemu je polukut polukut debljine zuba na proizvoljnom promjeru d y  s  + inv α t − inv α ny  cos 3 β y .    mn z 

(2.237)

1 − cosψ   1 =  da − d y + d y   2 yv  . 2 cos  β y 

(2.238)

ψ yv = 

Dubina mjerenja je: hay

Mjera preko zubi u čeonom presjeku određuje se analogno onoj za zupčanike s ravn im zubima,  prema izrazu Wt

= mt cos α t π ( z w − 0, 5 ) + 2 xt tan α t + z inv α t  .  

(2.239)

 No, ova kontrolna kontrolna mjera se mjeri u normalnom normalnom presjeku, gdje gdje je: W = W t cos β b .

(2.240)

Uvrštavajući ovdje izraz (2.239), (2.239), dobiva se konačno: W

= mn cos α n π ( z w − 0, 5 ) + 2 x tan α n + z inv α t  .  

(2.241)

Da bi se mjerenje moglo provesti , potrebno je ispuniti uvjet: b > W  sin β  b .

(2.242)

Mjera preko kuglica za zupčanike s kosim zubima određuje se prema izrazu analognom onom za zupčanike s ravnim zubima:  M

= dd  + D  

za paran broj zubi te - 111 -

(2.243)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

π 

 M = d D cos

+D 

2 z

(2.244)

za neparan broj zubi. Pri tome se kut pritiska αD dobije iz izraza inv α D =

 D

+ inv α t +

mn z cos α n

s mn z

−

π  z

.

(2.245)

 Neophodno je pri mjerenju osigurati da položaji središta obiju kuglica budu u jednoj (čeonoj) ravnini.

2.11.4 Prekrivanja kod zupčanika s kosim zubima U procesu zahvata zupčanika s kosim zubima dodirne linije se gibaju (od lijeva na desno) po 2.66 . Par zubi sa  polju zahvata duljine AE   i širine jednake širini b vijenca zupčanika, slika 2.66. svojim jednim krajem ulazi u zahvat u točki A', A', a izlazi iz zahvata u točki E. E . Dakle, zahvat ovog  para zubi ne traje od točke A' do E', E' , tj. od, a do E kao kod zupčanika s ravnim zubima, nego više.  Naime, kad zahvat (tj. dodirna linija) stigne u točku E', to nije kraj zahvata, već on traje sve dotle dok se i najmanji dio dodirne linije nalazi u polju zahvata, dakle dok dodirna linija ne stigne u točku E. Ovo povećanje duljine (i trajanja) zahvata u odnosu na zupčanike s ravnim zubima iznosi dakle E'G' = GA tj. ukupna duljina zahvata je A'G' = GE = GA + AE .

(2.246)

Podjelivši ukupnu duljinu zahvata s korakom  pbt , dobije se izraz za ukupni stupanj prekrivanja  para zupčanika zupčanika s kosim zubima: zubima: εγ =

GA  p bt

+

AE pbt

= ε β + ε α  

(2.247)

gdje je ε α stupanj prekrivanja u čeonom presjeku kojeg se određuje analogno izrazu zupčanike s ravnim zubima: zubima: ε α =

 z1 ( tan α a1 − tan α w ) + z 2 ( tan α a2 − tan α w )  

;

2π 

za

(2.248)

iz očite jednakosti tan β  b =

GA b

=

p bt pa

 

(2.249)

gdje je b efektivna širina zupčanika manja od dvije širine spregnutih zupčanika, b = min(b1 , b2 ) ,  proizlazi da je ε β =

GA

=

 p bt - 112 -

b pa

 

(2.250)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

O1 1

A

 N 1

C

a     2     

E

N2

a     1     

 w

 a 2

2

t

O2  bt

A'

E'

G'

n  b 

b n  n 

  a

G

 N 1

E

A

Slika 2.66: Dodirne linije i prekrivanja kod zupčanika s kosim zubima

- 113 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

ustvari stupanj prekrivanja u aksijalnom presjeku. Budući da je  pa = pbt tan β b , a  p bt = pt  cos α t = mtπ cos α t = π m n

cos α t cos β 

,

(2.251)

uvrštenjem u (2.250) proizlazi konačan izraz za stupanj prekrivanja u aksijalnom presjeku: ε β =

b sin β 

π mn

.

(2.252)

U zahvatu  para zupčanika s kosim zubima definira se i stupanj prekrivanja u normalnom  presjeku: ε n =

en  p bn

=

ε α cos2  β b

.

(2.253)

2.11.4.1 Duljina dodirnih linija Za mirnoću rada prenosnika, kao i za otpornost zupčanika prema zamoru, važna je ukupna duljina dodirnih linija lD  i njezina promjena tijekom zahvata. Pokazalo se da vremenska promjena lD ovisi isključivo o εβ. Tako npr. kod zupčanika s ravnim zubima (tu je εβ = 0) je lD = b za vrijeme  jednostrukog zahvata te lD = 2b  tijekom dvostrukog zahvata, slika 2.67. Pri tome, prijelaz s dvostrukog na jednostruki zahvat predstavlja svojevrsni udar na zub koji šteti mirnoći rada i čvrstoći. S povećanjem ε β, promjena lD  je sve manja, da bi pri εβ  = 1 (2, 3,...) nestala, tj. vremenski dijagram lD je ravna linija. U tom slučaju mirnoća rada i čvrstoća zuba su optimalni pa se teži prenosniku kojemu je ε β cijeli broj. Uvrštavajući u izraz  (2.252) εβ =  N   (cijeli broj) te usvajajući iskustveno (što je redovni postupak u projektiranju) npr. specifičnu širinu zupčanika ψ  = b/mn, dobije se izraz za određivanje poželjne vrijednosti kuta nagiba zuba na diobenom cilindru:  β  = arcsin

 N π 

ψ 

.

(2.254)

U proračunima čvrstoće važan podatak može biti najmanja vrijednost sume dodirnih linija lDmin  , jer u trenutku kad ona nastupi, opterećenje na pojedine zube u zahvatu poprima maksimalnu vrijednost. Zbog toga je ovu vrijednost potrebno izračunati: Ako se polje zahvata zupčanog para s kosim zubima, slika 2.68, podijeli na niz pravokutnika tako da mu se širina b  podijeli na mogući cjelobrojni broj koraka  pa  i ostatak nβ·pa, a duljina et na cjelobrojni broj koraka  p bt  i ostatak nα ·p bt, gdje su nα i nβ  necjelobrojni djelovi stupnjeva  prekrivanja εα i εβ, tada se u  polju zahvata mogu uočiti tri pravokutnika u svakom od kojih je  barem jedna stranica višekratnik aksijalnog  pa ili koraka  p bt na temeljnom krugu. U granicama tih  pravokutnika suma dodirnih linija se očito ne mijenja. Na slici 2.68 to su pravokutnici abcd, cdef i cfgh. Stalne duljine dodirnih linija u njima su: lD1α=

nβ pa α

cos β  b

( ε  − n )  

za pravokutnik abcd; - 114 -

(2.255)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2 = 0 (ravni zubi)

= 0,25

= 0,5

= 1 (2,3,...)

= 1.5

Slika 2.67: Promjena sume duljina dodirnih linija s ε β  lD2α=

 pa α

β

cos β  b

( ε β− n ) ( ε  − n )  

(2.256)

za pravokutnik cdef, te lD3β=

nα pbt β

sin β  b

(ε 

za pravokutnik cfgh.

- 115 -

− n ) 

(2.257)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 Na ovaj način, suma duljina dodirnih linija se mijenja samo onoliko koliko se mijenja suma duljina dodirnih linija unutar pravokutnika bchk. Ako je nα + nβ ≤ 1 ,

(2.258)

onda se u nekom trenutku može dogoditi da suma dodirnih linija lD4 unutar pravokutnika bchk  bude jednaka nuli. Tada je ukupna suma dodirnih linija lDmin = lD1 + lD2 + lD3 .     i   n    m     4

(2.259)

α  

+ 

 β   

b n 

      a

        β

b

a

k  h

c

d 

      a

b n 

        β

b 

      a

g e

f 

 b t

α

α

b t

b t

Slika 2.68: Određivanje najmanje duljine dodirnih linija Ako je nα + nβ > 1  

tada će

(2.260)

lDmin  biti veća od ( lD1 + lD2 + lD3 ) za veličinu lD4min . Prema slici 2.68 je:

lD4minα = ( nβ + n −bn1) p

 β + cotg β  ) = ( tan b b

 p bn α

sin β b cos β b

(n

β

+ n − 1) .

(2.261)

Budući da je  p bn = pbt cos β b = pa sin β b =

izrazivši p bn, p bt i pa pomoću b te označivši - 116 -

b

ε β

sin β b ,

(2.262)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

bε α

cos β  b

= lDm  

(2.263)

gdje je lDm  tzv. srednja vrijednost sume dodirnih linija, za nα + nβ ≤ 1, dobiva se konačno:

 nn  = lDm 1 − α β  .  ε αε β 

(2.264)

 (1 − nα ) (1 − nβ )  = lDm 1 − . ε ε    α β

(2.265)

lD min

Za nα + nβ > 1  dobiva se: lDmin

2.12 MODIFIKACIJA POVRŠINE ZUBA  Modifikacija površine zuba je smišljeno izvedeno odstupanje površine zuba od glavne površine u cilju smanjenja utjecaja onih činioca koji negativno utječu na rad zupčanog prenosa. Površina zuba nastala kao rezultat modifikacije naziva se nominalnom. Od nje se mjere greške izrade.

Linija presjecišta nominalne bočne površine sa ravninom okomitom na os zupčanika predstavlja nominalni profil zuba u čeonom presjeku, a presjecište s ravninom okomitom na os zupčane letve  predstavlja nominalni profil zuba u normalnom presjeku.  Na taj način, nominalni profil modificiranog zuba se razlikuje od teorijskog.

2.12.1 Vidovi modifikacije U praksi su se ustalila dva vida modifikacije: profilna i uzdužna . Uzdužna modifikacija zuba, slika 2.69, vrši se uzduž boka zuba u cilju sniženja koncentracije opterećenja duž dodirne linije, izazvane deformacijama vratila i ležajeva, kao i greškama u izradi i montaži zupčanika. a)

b)

Slika 2.69: Uzdužna modifikacija zuba a) po čitavoj duljini boka b) na kraju boka

- 117 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

U praksi se javljaju dva načina uzdužne modifikacije: modifikacija po čitavoj duljini boka zuba (izbočeni zubi) i modifikacija na kraju boka. Obje imaju cilj postizanje ravnomjernije raspodjele opterećenja po boku zuba, a najčešće se primjenjuju kod prenosnika alatnih strojeva i motornih vozila. Ipak, najčešća i najkorisnija je  profilna modifikacija zuba (po staroj teminologiji – flankiranje). Ona služi za smanjenje dinamičkih opterećenja nastalih kao rezultat odstupanja koraka na temeljnom krugu od teorijske vrijednosti i deformacije zubi kod brzohodnih prenosnika, a izvodi se tako da se na pojedinom dijelu profila (na vrhu i/ili podnožju) namjerno odstupa od evolvente, slika 2.70. K ao rezultat profilne modifikacije, nominalni profil zuba čini u zadanoj točki otklon od teorijsk og profila koji (otklon) raste s udaljenošću od te točke.

a  t    t

2 G

a g

Q 1

3 q 

f   t 

 f t

F F

Slika 2.70: Profilna modifikacija zuba 1- teorijski profil 2- linija modifikacije vrha zuba 3- linija modifikacije u podnožju

2.12.2 Nominalni osnovni profil i nominalna rezna letva Za određivanje teorijskih oblika i dimenzija zubi porodice modificiranih zupčanika primjenjuje se ozubljena letva dobivena iz teorijske ozubljene letve kao rezultat njezine modifikacije, a naziva se nominalnim osnovnim profilom ozubljenja. Nominalni osnovni profil ima na glavi modifikaciju (podrazumijevajući najčešći slučaj kada je linija modifikacije pravac) dubine Δ *mn i visine hg*mn , slika 2.71. Osnovu alata tipa osnovnog profila za izradu zupčanika s modifikacijom zuba čini nominalna rezna letva.  Ona predstavlja profil zubi letve koja ispunjava podnožje nominalnog osnovnog - 118 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 profila kao što odlivak ispunjava kalup, vidi sliku 2.71. Pri tome, između ova dva profila ostaje sačuvana tjemena zračnost c*mn , kako površine podnožja alata ne bi učestvovale u procesu rezanja. n

  n

0,5  π

0,5 π

n

n

  n

  a   n   n

   +   a

  n

  g n 

  a F    

   2

n

n  

Slika 2.71: Osnovni profili ozubljenja 1- nominalni 2- nominalna rezna letva

 Nominalna rezna letva se može razlikovati od teorijske u jedno j ili više od sljedećih osobina: • nominalna rezna letva može imati modifikaciju bilo u podnožju ili na glavi zuba. • kut profila αn0 može se razlikovati od teorijskog kuta αn; isto tako, ako alat ima nekoliko zubi, mora biti održana jednakost koraka na temeljnom krugu zupčanika i alata u normalnom  presjeku. Dakle mora biti ispunjen uvjet mn0 = mn

cosα n cosα n0

 

(2.266)

gdje su mn0 i αn0 modul i kut profila alata. • debljina zuba na diobenom pravcu alata s neurednom debljinom zuba može biti nešto veća od svoje teorijske vrijednosti da bi se smanjila debljina zuba izrađivanih zupčanika kako bi se osigurala određena bočna zračnost u zahvatu pri nominalnom pomaku rezne letve. •  polumjer zaobljenosti na vrhu zuba alata  ρ k 0  može se razlikovati od teorijskog i u određenim slučajevima može biti jednak nuli.

2.12.3 Modifikacija profila na vrhu zuba  Nominalna rezna letva koja je osnova za izradu zupčanika s modifikacijom vrha zuba sastoji se od dva kruto vezana profila: profil koji reže evolventni bok zupčanika s kutem profila najčešće αn0 = αn (kao i teorijska rezna letva, odnosno osnovni profil ozubljenja) i profil s kutom profila αM koji formira evolventnu modifikaciju vrha zuba, slika 2.72. Ovaj kut linije modifikacije glave osnovnog profila određuje se za poznate parametre Δ * i hg* :

- 119 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

tan α M = tan α n + 0,5

Δ* hg*

n

 

(2.267)

0,5

n

  n M  

  g

n

n 

  n

F0

  a

  n

  n    M

Slika 2.72: Nominalna rezna letva za modifikaciju vrha zuba Opisano vrijedi za normalni presjek alata. Prijelaz na parametre čeonog presjeka daje: tan α tM =

tan α M cos β

= tan α t +

∆* hg* cos β 

.

(2.268)

Oba povezana profila s kutevima αn0 i αM u normalnom presjeku imaju zajednički kinematski  pravac koji se pri rezanju zupčanika odvaljuje po njegovom diobenom krugu  bez klizanja. Međutim, diobeni pravci ovih dvaju profila, tj. njihovi pomaci profila u procesu rezanja zupčanika se ne poklapaju. Iz slike 2.72 lako je odrediti pomak profila za dio nominalne rezne letve koja ima kut profila αM :  xM

 tan α n  = x + ( ha* − hg* ) 1 − . α  tan M  

(2.269)

2.12.3.1 Parametri modifikacije profila na vrhu zuba Pri rezanju zuba, dio nominalne rezne letve koja ima kut profila αM formira pri vrhu zuba zupčanika dio evolvente s temeljnim krugom promjera d bM = d  cos α tM  

(2.270)

Potrebno je odrediti promjer d g koncentrične kružnice zupčanika koja prolazi kroz početnu točku modifikacije G, slika 2.73. U skladu s izrazom (2.73), debljina zuba na tom krugu je:  π + 4 x tan α n  + inv α t − inv α g    2 z  

stg = d g 

- 120 -

(2.271)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

S druge strane, točka G je i dio linije modifikacije, tj. modificirane evolvente pa se ista debljina zuba može izraziti kao:  π + 4 xM tan α tM  + inv α tM − inv α gM  . 2 z  

stgM = d g 

(2.272)

a  t   

0,5

tgM

G 2

F

at a

=

2

at  b

g  

a  

i nv    i nv   

a

b 

a   g 

 N

i n v  i n v  a M  

b M  

 g  

Slika 2.73: Modifikacija profila na vrhu zuba u čeonom presjeku Budući da je stg = stgM , slijedi: inv α gM

2

− inv α g = ( xM tan α M − x tan α n ) + inv α tM − inv α t .  

(2.273)

 z

Uvrstivši u ovaj izraz vrijednost xM iz izraza (2.269), dobiva se novi oblik izraza (2.273): inv α gM

2 − inv α g =  x + ( ha* − hg* ) ( tan α M − tan α n ) + inv α tM − inv α t .  z

  (2.274)

Promjer d g kruga početka modifikacije određuje se po poznatom izrazu d g =

d b

cos α g

=

d bM

cos α gM

,

(2.275)

odakle cos α g cos α gM

=

- 121 -

d b d bM

.

(2.276)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Kut αg  pritiska u početnoj točki modifikacije određuje se numeričkim rješavanjem sustava transcendentnih jednadžbi (2.274) i (2.276) – npr. Newtonovom metodom tangente, a zatim  promjer d g iz izraza (2.275). Dubina modifikacije na vrhu zuba određuje se iz slike 2.73: 2∆ atαat 2∆ da

=

= inv α aM − invα a − K a  

d b

(2.277)

gdje je Δat – dubina modifikacije profila u vrhu zuba u čeonom presjeku zupčanika , tj. najveća udaljenost linije modifikacije od teorijsk og profila zupčanika u čeonom presjeku  po krugu preko glave; Δαat  – normalna dubina modifikacije profila u vrhu zuba u čeonom pres jeku, tj. najveća udaljenost linije modifikacije od teorijsk og profila zupčanika po normali na njega u čeonom  presjeku; kut K a – desni dio izraza (2.273) ili (2.274). Početna točka F0  modifikacije u podnožju zuba nominalne rezne letve, slika 2.72, pri rezanju modificiranog zuba opisuje u odnosu na njega skraćenu evolventu koja tangira teorijski profil u točki H, malo iznad početne točke G linije modifikacije, slika 2.74. U proračunima kod kojih nije  potrebna povećana točnost  može se uzeti d h ≈ d g . Tada je iz slike 2.75 lako dobiti izraze za  približni proračun parametara modifikacije u vrhu zuba zupčanika: kut  pritiska u točki G, tj. na krugu promjera d g se računa iz : tan α g

≈ tan α t +

4 ( ha* − hg* + x )  z sin2α t

cos β  ;

(2.278)

1 H G

B 3

2

Slika 2.74: Formiranje početne točke G modifikacije profila u vrhu zuba 1 – teorijski profil 2 – linija modifikacije 3 – trajektorija relativnog gibanja točk e F0 modifikacije osnovne rezne letve

 polumjer zaobljenosti evolvente u točki G:  ρ g =

1 2

d b tan α g ≈

1 2

d sin α t +

ha* − hg* + x

sin α t

mn ;

 promjer kruga na kojemu leži točka G početka modifikacije u vrhu zuba zupčanika: - 122 -

(2.279)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

dg

= d b2 + 4 ρ g2 .

(2.280)

Sada se iz izraza (2.277) može odrediti približna vrijednost dubine modifikacije.   n

  n

  a

  g

  n

F0 G

H

B C0  N

 NM

h

 g 

    B

t 

b  M    b  

t M 

   h

Slika 2.75: Određivanje promjera d g početka modifikacije u vrhu zuba

2.12.4 Modifikacija profila u podnožju zuba U mnogim slučajevima korisno je modifikaciju izvesti ne pri vrhu zuba nego u podnožju. S točke gledišta smanjenja dinamičkog efekta na ulazu ili izlazu iz zahvata, obje vrste profilne modifikacije su praktički ekvivalentne. Modifikacija u podnožju zuba   pored toga osigurava slobodni izlaz vrha zuba brusnog alata iz zahvata omogućavajući mu da ne zareže prelaznu krivulju što se pozitivno odražava kako na čvrstoću korijena zuba  (iako biva malo podrezan), tako i na trajnost alata.

n  a+

M 

n

  n   a   n n

  g

Slika 2.76: Profil nominalne rezne letve za modifikaciju profila u podnožju zuba

 Nominalna rezna letva koja je osnova alata namjenjenog za izradu zupčanika s modificiranim podnožjem zuba, ima karakteristično podebljanje debljine glave zuba, slika 2.76, u stručnoj literaturi najčešće nazvano "protuberancom". Linija modifikacije glave zuba nominalne rezne letve obično je  pravac, najčešće pod kutem αM = 00. Parametri profilne modifikacije u podnožju zuba određuju se po izrazima čiji je izvod analogan izvodu izraza (2.267) do (2.280): Kut linije modifikacije podnožja osnovnog  profila (u normalnom presjeku): - 123 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

tan α M

= tan α n −

Δ* hg*

;

(2.281)

k ut linije modifikacije podnožja osnovnog profila u čeonom presjeku: tan α tM

= tan α t −

Δ* hg* cos β 

;

(2.282)

faktor pomaka profila nominalne rezne letve s kutom profila αn , u normalnom presjeku:  xM

 tan α n  = x + ( ha* − hg* )  − 1 . tan α  M  

(2.283)

Promjer d q , slika 2.70,  početka modifikacije zuba u podnožju dobiva se rješavanjem sustava transcedentnih jednadžbi: inv α q − inv α qM

2 =  x + ( ha* − hg* ) ( tan α n − tan α M ) + inv α t − inv α tM = K    f;  z

cos α q 

=

cos α qM

d b

.

d bM

 

(2.284)

(2.285)

Dubina modifikacije čeonog profila Δft u podnožju zuba i normalna dubina modifikacije čeonog  profila Δαft u podnožju zuba su: 2 ∆ ft dF

=

2∆α f t  d b

= inv α tM − inv α F + K f .  

(2.286)

Približna vrijednost polumjera zakrivljenosti čeonog profila u početnoj točki modifikacije u  podnožju zuba je:  ρ q ≈

1 2

d sin α t

+

(

 x − ha

*

− hg* )

sin α t

mn  

(2.287)

Približna vrijednost normalne dubine modifikacije čeonog profila u podnožju zuba  je: Δ αft ≈

d bM − d b 2d  b

(

)

dq − db − dF − db   . 2

- 124 -

2

2

2

(2.288)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.12.5 Modifikacija profila na vrhu zuba zupčanika izrađenog s reznim zupčanikom Kao osnova alata za izradu zupčanika s profilnom modifikacijom zubi Fellows postupkom odvalnog dubljenja služi tzv. nominalni rezni zupčanik, slika 2.77.  Nominalni rezni zupčanik može se razlikovati od teorijsk og u sljedećim karakteristikama: nominalni rezni zupčanik može imati modifikaciju; • debljina zuba na diobenom krugu kod nominalnog reznog zupčanika može biti nešto veća od teorijsk e da bi se smanjila debljina zuba izrađivanih zupčanika i tako osigurala neophodna  bočna zračnost u zahvatu pri nominalnom položaju reznog zupčanika. •

f    t  0  

0,5

Q0

= 0,5

tqM0

tq0

0      

F0

H0

 q    0    

 N 0 h0 b     0    

h 0  q0

  0    M    b

Slika 2.77: Profil zuba nominalnog reznog zupčanika Ove osobine nominalnog reznog zupčanika trebaju biti unesene u osnovne podatke reznog zupčanika s kojim će se zupčanici izrađivati.  Moraju biti prikazani i parametri modifikacije u  podnožju zuba reznog zupčanika: Δ αft0 –

normalna dubina modifikacije čeonog profila reznog zupčanika;

ν q0 = tan α q 0 – tangens kuta pritiska u početnoj točki modifikacije čeonog profila reznog

zupčanika; ν h = tan α h  – tangens kuta pritiska u kontrolnoj točki H0 modifikacije čeonog profila reznog zupčanika. 0

0

- 125 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Uz pomoć ovih podataka određuje se promjer d  bM   temeljnog kruga evolvente kao linije modifikacije čeonog profila u podnožju zuba reznog zupčanika. Za određivanje d  bM   služi transcedentna jednadžba dobivena iz slike 2.77 0

0

inv α qM0

2Δ αft0

− inv α FM = invα q − invα F +   0

0

0

d  b0

 

(2.289)

koja je analogna jednadžbi (2.277). Rješenje se dobiva sljedećim postupkom: Za zadane veličine kuteva ν q = tan α q  i Δh0 određuju se promjeri d q0 i d F0: 0

0

d q 0 =

tanΔ α F0

=

F0 N 0 0,5d b0

d F0 =

d  b0

;

cos α q 0

(2.290)

= ν q − h0 +

2Δ αft0

0

d  b0

cosα F0

d b0

.

 

(2.291)

(2.292)

Odredivši u prvom približenju veličinu promjera d  bM  dobiva se: 0

cos α qM 0

=

cos α FM0

=

d  bM 0 d q 0

;

(2.293)

 

(2.294)

d  bM0 d F0

i zatim evolventne funkcije ovih kuteva. Desni dio jednadžbe (2.289) je konstanta K 0

= inv α q − inv α F + 0

2Δ αft0

0

d  b0

.

(2.295)

Pretpostavljenu vrijednost d  bM se utočnjava po jednadžbi 0

inv α qM0 − inv α FM0 = K 0  

(2.296)

uvrštavajući dobiveni αqM0 u izraz (2.293) i ponavljajući postupak nekoliko puta.  Nakon što je određen d  bM određuje se kut linije modifikacije osnovnog profila reznog zupčanika i izrađivanog zupčanika u čeonom presjeku: 0

- 126 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

α tM = arccos

d  bM0 d 0

.

(2.297)

Promjer temeljnog kruga evolventne modifikacije čeonog profila u vrhu zuba zupčanika određuje se prema izrazu (2.270). Promjer d g kruga početka modifikacije u vrhu zuba zupčanika određuje se promatrajući zahvat alata zahvat  alata i obratka kao proces istovremenog rezanja dvaju kruto vezanih zubi, slika 2.73, čije su bočne površine evolventne zavojne površine s promjerima temeljnih cilindara d  b i d  bM istovremeno. Na osnovu toga određuje se kut zahvata u procesu rezanja zubi zupčanika s evolventnom modifikacijom u vrhu zuba: cos α w0M =

d bM + d bM0 2a0

=

d + d 0 2a0

cos α tM .

(2.298)

Sada je faktor pomaka profila  xM modificiranog zupčanika  xM

inv α ( =

w0M

− inv α tM ) ( z + z0 ) 2tan α M

− xM .

(2.299)

0

 Na analogan način, uz očigledni uvjet stgM = stg , slika 2.77, nalazi se faktor pomaka profila  xM0 modificiranog dijela profila reznog zupčanika: 0

 xM0

=

 x0 tan α n

0

− 0, 5 z0 ( inv α tM − inv α t + inv α q − inv α qM )  0

tan α M

0

.

(2.300)

 Nakon određivanja faktor pomaka profila  xM  prema izrazu (2.299), (2.299), numerički se preko izraza (2.273) i (2.277) izračunaju parametri d g i Δαat  profilne modifikacije u vrhu zuba izrađivanog zupčanika. U geometrijskim proračunima u kojima nije potrebna povećana točnost, može mož e se uzeti da se  početna točka Q0 modifikacije reznog zupčanika, zupčanika, slika 2.77, nalazi na teorijskom profilu reznog zupčanika. Tada se, analogno izrazu (2.31), uz malu pogrešku, jednostavno od ređuje kut pritiska u točki početka modifikacije profila u vrhu zuba zupčanika izrađenog s alatom u obliku nominalnog reznog zupčanika tan α g

≈ tan α w − 0

 z0  z

( tan α

q0

− tan α w )    0

(2.301)

a time i promjer d g odnosno položaj točke G  početka modifikacije na profilu zupčanika koji zupčanika koji se izrađuje. izrađuje.

- 127 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.13 GEOMETRIJA PRIJELAZNE KRIVULJE Prijelaznom površinom naziva se

dio bočne površine koja spaja glavnu spaja  glavnu ili nominalnu površinu s  podnožnom površinom. površinom. Dio profila zuba smještenog u područje njegove  prijelazne površine, krivul jom. naziva se prijelaznom krivuljom Oblik prijelazne krivulje određuje koncentraciju naprezanja i dimenzije zuba u korijenu koji su  presudni za njegovu njegovu čvrstoću na savijanje. Položaj granične granične točke profila zuba – zuba  – zajedničke točke glavnog profila i prijelazne krivulje, određuje da li će zahvat biti bez podrezivanja ili ne. Prijelazna površina formira se pri rezanju zubi pa stoga prijelazna krivulja ovisi o vrsti, tipu i geometriji primjenjenog alata kao i o parametrima samog zupčanika. Linija presjeka površine preko glava alata i bočne površine njegovog zuba naziva se u zdužnim rubom zuba alata. Ovaj rub može biti zaobljen. Pri rezanju zubi cilindričnih zupčanika odvalnim postupcima prijelazna postupcima  prijelazna krivulja i krivulja vrha zuba alata su međusobne obvojnice i njihova geometrija je definirana s općim zakonima ravninskog zahvata.

2.13.1 Jednadžba prijelazne krivulje Za analizu geometrije prijelazne krivulje, pored polarnog kao do sada, vidi sliku 2.6, upotrebit će se i pravokutni sistem kordinata sa centrom u ishodišnoj točki evolvente M.  Za poznate polarne koordinate r y i δy, pravokutne koordinate su sada:  x = r y sin δ y  

(2.302)

 y = ry cos δ y − r b  

(2.303)

Pri odvaljivanju alata po diobenom krugu zupčanika, evolventni (ili ravni) bok alat a reže evolventni evolventni bok zupčanika, zupčanika, a vrh zuba alata istovremeno reže njegovu prelaznu krivulju. Oba  procesa rezanja rezanja imaju zajednički zajednički kinematski pol, pol, ali različite zahvatne kuteve i temeljne krugove. Da bi se razlikovali parametri prijelazne krivulje i glavnog (evolventnog) profila, uvest će se sljedeće oznake za parametre  prijelazne krivulje:  μy0, μy – kut profila vrha zuba alata i kut profila  prijelazne krivulje; μw0 – kut zahvata vrha zuba alata i prijelazne krivulje koju on formira. Pri izvodima izvodima izraza koji slijede smatrat će se poznatima broj zubi zupčanika  z, modul mn, kut  profila prema osnovnog profila ozubljenja αn te faktor pomaka osnovnog profila zupčanika  x ili debljina zuba na diobenom krugu zupčanika s. Ako se zupčanik izrađuje odvalnim postupkom s alatom u obliku rezne letve, geometrija  prijelazne krivulje prema slika 2.78 određena je sljedećim sljedeć im parametrima alata: kutem profila alata αn0, jer je u općem op ćem slučaju αn0 ≠ αn; dimenzije koje određuju međusobni  položaj raznoimenih  profila zubi alata: s0 i h0; polumjer zaobljenja vrha zuba  ρ k  . Korak po normali profila jednak je koraku na temeljnom krugu zupčanika: 0

 p b0 = pb = π mn cos α n ; - 128 -

(2.304)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

Korak  p0 i normalni modul mn0 rezne letve u općem slučaju nisu jednaki koraku  p i normalnom modulu mn osnovnog profila:  p b = p cos α n = p0 cos α n0  

(2.305)

Odatle slijedi izraz za modul: mn0 =

 p0

π

=

p cos α n

π cos α n 0

= mn

cos α n

.

(2.306)

cos α n0   b 0 

= 

b  =  n  c 

o  os   

n 

n0 w0

n0 - w

=

C0

0

0

O'0 Yw0

w0

   0   w

D0

0   

0

n 0

n 0 

    0      k

   0

Y0

Slika 2.78: Parametri zahvata pri formiranju prijelazne krivulje alatom u obliku rezne letve Promjer odvalnog (kinematskog) kruga obratka u procesu njegovog odvaljivanja s alatom u općem slučaju nije jednak promjeru njegovog diobenog kruga nego: d w = 2OC0 =

d  b

cos α n 0

=d

cos α n cos α n 0

= mn z

cos α n cos α n 0

.

(2.307)

debljina zuba na odvalnom krugu je: sw

 s  + inv α n − inv α n 0     cos α n0  mn z 

(2.308)

 π  + 2 x tan α n +  inv α n − inv α n 0  .  z cos α n0  2 z 

(2.309)

= mn z

cos α n

ili sw

= mn z

cos α n

Budući da se odvalni krug obratka i odvalni pravac alata odvaljuju jedan po drugom bez klizanja, debljina zuba alata na odvalnom krugu, prema slici 2.78, je: - 129 -

Zupčanici i zupčani prijenosi sw 0

Geometrija ozubljenja

= π mn 0 − sw = mn z

 π  2 x tan α n  − − inv α n + inv α n0  .  z cos α n0  2 z  cos α n

(2.310)

Položaj odvalnog pravca alata u odnosu na njegov vrh zuba određen je razmakom: hw 0 = h0 +

sw 0 − s0

2tan α n

.

(2.311)

Odabire se sustav koordinata čvrsto vezan s reznom letvom: os or dinata  y0  se smješta po osi simetrije zuba, a os apcisa  x0  po odvalnom pravcu. Koordinate točke Y w0 koja leži na odvalnom  pravcu su:  xw 0

1

= − sw ;  yw = 0 . 2

(2.312)

0

0

Da bi se napisala jednadžba profila vrha zuba alata u izabranom sustavu koordinata, treba odrediti koordinate središta zaobljenosti D0:  xD0

1 1 − sin α n0  = −  s0 − h0 tan α n 0 − ρ k     2 cos α  n0   0

 yD0 = hw0 − ρ k0 = h0 +

sw0 − s0 2tan α n0

− ρ k . 0

 

(2.313)

(2.314)

U svakom trenutku formiranja prijelazne krivulje normala u točki dodira prolazi kroz točku D 0 i kinematski pol (odvalnu točku) C0. Kut zahvata  μw0 pri tome može poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od: α n0 ≤ µ w0 ≤ π  / 2  

(2.315)

Koordinate dodirne točke vrha zuba alata su:  x0 = xD0 − ρ k0 cos µ w0  

(2.316)

 y0 = yD0 + ρ k0 sin µ w0 .

(2.317)

Izrazi (2.316) i (2.317) su parametarske jednadžbe vrha zuba alata. Udaljenost l0 = C0 D0 od odvalne točke do središta zaobljenosti profila na vrhu zuba alata je: l0

=

 yD0

sin µ w0

.

(2.318)

Parametri prijelazne krivulje u trenutnoj točki dodira Y, tj. za bilo koju vrijednost kuta zahvata μw0 su: kut profila

- 130 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

tan µ y

= tan µ w + 0

− y0

 yw 0

OC0 sin µ w0 cos µ w0

,

(2.319)

ili poslije sređivanja: tan µ y

= tan µ w − 0

2 cos α n0  yD0

+ ρ k sin µ w 0

mn z cos α n sin µ w0 cos µ w0

0

;

(2.320)

 polumjer – vektor točke Y ry =

1 2

dw

cos µ w 0 cos µ y

1

cos α n cos µ w 0

2

cos α n0 cos µ y

= mn z

;

(2.321)

 polarni kut točke Y δ y = inv α y + µ w0 − µ y − 

( y

w0

− y0 ) + ( xw − x0 ) tan µ w 0

1 2

0

 

(2.322)

d w tan µ w0

ili poslije sređivanja: δ y = µ w0 − µ y + inv α n0 −

 cos ( µ w − α n 0 )  y D + ρk mn z cos α n  sin µ w  2

1

0

0

0

0

 .     

(2.323)

 Na ovaj način, proračun polarnih koordinata  prijelazne krivulje, tj. definiranje njezinog oblika sveden je na numeričko rješavanje jednadžbi (2.320), (2.321), (2.323) i (2.302), (2.303) za  pojedine vrijednosti zahvatnog kuta  μw0. Ako zub nije podrezan vrijednosti  μw0 = αn0 odgovara točka spajanja prijelazne krivulje i glavnog  profila, tj. granične točka F evolventnog profila. Vrijednosti  μw0 = π/2 odgovara točka koja spaja  prelaznu krivulju s krugom preko glave. Ako se rezanje zubi izvodi standardnim alatom u obliku rezne letve, slika 2.78 , tada se proračun  pojednostavnjuje: α n0 = α n   h0

(2.324)

= ( ha* + c* ) m n   s0 =

1 2

 ρ k0 = ρ  mn = * f

(2.325)

π mn  

c

*

1 − sin α n

- 131 -

(2.326)

mn  

(2.327)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 yD0

= ( ha* + c * − x ) mn − ρ k . 0

(2.328)

 

Ako vrh zuba alata nije zaobljen, u sve izraze od (2.324) do (2.328) treba uvrstiti  ρ k  = 0 . 0

Prijelazna krivulja pri  ρ k  = 0  je odrezak produžene ili skraćene evolvente (za  yD = 0  krivulja se  pretvara u točku ishodišta obične evolvente). Pri  ρ k  ≠ 0 , prijelazna krivulja je ekvidistanta ovih krivulja; za  yD = 0  prijelazna krivulja prelazi u dio luka kruga polumjera  ρ k  . 0

0

0

0

0

2.13.2 Polumjer zakrivljenosti prijelazne krivulje Za proračun polumjera zakrivljenosti prijelazne krivulje primijenit će se formula Euler  –Savaryija, izraz (2.43): 1 1  1 1   +  +  sin µ w 0 = O0 C0 OC0  l l0 

(2.329)

koja se treba dopuniti  jednakošću, slika 2.79:

O0

s

očiglednom

l + ρ = l0 + ρ k 0  

 N0 C

(2.330)

Označivši konstantnu vrijednost desne strane izraza (2.329) s  A0, dobiva se konačni izraz za  polumjer zakrivljenosti prijelazne krivulje zupčanika u proizvoljnoj točki Y, tj. za  proizvoljni zahvatni kut  μw0 u pocesu njezinog odvalnog rezanja s vrhom zuba alata:

D0 Y O

Slika 2.79: Određivanje polumjera zakrivljenosti prijelazne krivulje

 ρ = ρ k0 +

 A0l 0  A0l0 + sin µ w 0

l0 .

(2.331)

Pri rezanju zubi s reznom letvom vrijednost OC0 se računa po izrazu (2.307) pa je vrijednost konstante A0 jednaka  A0

=

1 OC0

=

2 cos α n0 mn z cos α n

.

(2.332)

Polumjer zakrivljenosti prijelazne krivulje ima najmanju vrijednost u točki njezinog spajanja s krugom preko korijena i monotono raste s udaljenošću od tog kruga.

2.13.3 Geometrija podrezanih zubi Podrezani zubi su općenito nepoželjni zbog smanjenja čvrstoće korijena zuba i zbog smanjenja stupnja prekrivanja. Ipak, ponekad se može dopustiti određeno podrezivanje ukoliko ono ne snižava u većoj mjeri radnu sposobnost prenosnika. - 132 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

U nekim slučajevima podrezivanje je čak  poželjno i izvodi se namjerno, npr. zbog  povećanja tehnologičnosti postupaka izrade zupčanika. U tom slučaju  podrezivanje zuba u korijenu omogućava slobodan izlaz alata iz zahvata pri završnoj obradi zubi visoko napregnutih zupčanika s nebrušenom prijelaznom  površinom te povećava krutost abrazivnog alata i posljedično, točnost obrade. U takvim slučajevima, važno je znati proračunati geometrijske parametre  podrezanih zubi.

 i n v

F

=inv M

Slika 2.80: Određivanje geometrijskih parametara  podrezanog zuba

Kod podrezanih zubi prijelazna površina siječe glavnu površinu; ako nema  podrezivanja ove dvije površine se spajaju. Geometriju podrezanog zuba, slika 2.80, karakterizira položaj granične točke F glavnog profila (točka sjecišta  prijelazne krivulje s glavnim profilom), kut presjecišta prijelazne krivulje s glavnim profilom te najmanja vrijednost  polukuta debljine zuba.

2.13.3.1 Granična točka profila Prijelazna krivulja podrezanog zuba siječe evolventu iznad temeljnog kruga , a  položaj točke F sjecišta definiran je bilo polumjer–vektorom r F, bilo kutem pritiska αF u toj točki. Da bi se odredio kut αF  uzima se proizvoljna vrijednost kuta  μw0  pri kojem je polumjer– vektor točke  prijelazne krivulje ry > r b   (2.333) i za tu vrijednost  μw0 se nađe vrijednost r y i polarni kut δy; odredi se evolventna funkcija kuta  pritiska αy na polumjeru r y:   

inv α y = inv  arccos

 d  b 

 d y 

.

(2.334)

Ako je za odabrani  μw0 inv α y = δ y  

(2.335)

tada je r y = r F. Tako se problem svodi na određivanje korijena  μw0 =  μw0(F) jednadžbe (2.335). Ako za odabrani  μw0 jednadžba (2.335) nije zadovoljena, iduća vrijednost korijena se traži npr.  prema Newtonovoj metodi tangente: - 133 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

µ w* 0 = µ w 0 −

inv α y d  d µ w 0

− δ y

( invα

y

 

(2.336)

− δ y )

i tako sve dok se ne dobije zadovoljavajuća točnost.  Nakon toga se izračunaju svi potrebni geometrijski parametri μy, αy, δy prema izrazima (2.320) do (2.323). Polumjer– vektor točke F je prema slici 2.79: rF =

1 2

mn z

cosα n cos α F

.

(2.337)

Kut pod kojim prijelazna krivulja siječe evolventu u točki F, slika 2. 80: σ F = α y (F) − µ y (F) = α F − µ F .  

(2.338)

Ukoliko je μF < 0, tada je σF > αF.

2.13.3.2 Prekrivanje profila zupčanika s podrezanim zubima Izraz za izračun stupnja prekrivanja profila moguće je, u skladu s izrazom  (2.135), prikazati u obliku: ε  =

 z1 ( tan α w − tan α a1 ) + z2 ( tan α w − tan α a 2 )  

2π 

.

(2.339)

Ovaj izraz, kao i izraz (2.135), pogodan je za sve prij enose kod kojih zupčanici nemaju  podrezivanja. Ako jedan ili oba zupčanika imaju  podrezivanje, izraz (2.339) pogodan je samo ukoliko je ispunjen dopunski uvjet: E ako donja točka  E aktivnog dijela profila F  podrezanog zuba nije ispod granične točke  profila F, slika 2.80, tj.

Slika 2.80: Položaj granične točke F pri kojem  podrezivanje zuba ne utječe na prekrivanje profila

α E ≥ α F .

(2.340)

Ako uvjet (2.340) nije ispunjen barem za

 jedan od zupčanika s podrezanim zubima, u izraz (2.339) treba odgovarajuću vrijednost tan αE, tj. tan αa zamijeniti s tan αF, jer zahvat traje samo do točke F koja je sada iznad E.  Na primjer, ako su zubi obaju zupčanika podrezani, a uvjet (2.340) je ispunjen samo za zupčanik z1 , izraz (2.339)  poprima oblik: ε  =

 z1 ( tan α w − tan α a1 ) + z 2 ( tan α w − tan α F2 )  

2π 

- 134 -

.

(2.341)

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.14 TOLERANCIJE PAROVA CILINDRIČNIH ZUPČANIKA  Netočnost izrade i montaže zupčanika izaziva dinamička opterećenja, vi bracije i šumove ne samo zupčanika nego svih elemenata u sustavu prijenosa snage, a kod zupčanika još i zagrijavanje i koncentraciju naprezanja. Uslijed greške u izradi i montaži zupčanika narušava se slaganje gibanja što dovodi do grešaka u relativnom položaju pogonskog i gonjenog zupčanika i do grešaka koje nastaju zbog mrtvog hoda. Da bi se osigurao potreban kvaliteta prijenosa snage i gibanja, tj. da bi se osigurala zamjenjivost zupčanika, miran rad, konstantni  prijenosni omjer , mogućnost podmazivanja i da bi se osigurala željena nosivost u predviđenom roku trajanja,  propisuju se tolerancije zupčanika, tj. točnost njihove izrade koja se provjerava kontrolama odstupanja od teorijskih dimenzija, od teorijski točnog oblika i teorijsk i točnog  položaja. Ova odstupanja moraju biti u propisanim granicama definiranim standardima za tolerancije. Kontrola para zupčanika obuhvaća kontrolu tijela  svakog zupčanika, kontrolu ozu bljenja i kontrolu m jernih veličina para zupčanika. Kontrola tijela zupčanika provodi se prije izrade zubi za odstupanja definirana standardnim ISO sustavom tolerancija dužinskih mjera kao i tolerancijama oblika, prvenstveno radijalnim i aksijalnim bacanjem. Kontrola ozubljenja svakog zupčanika, kontrola zupčanika sprezanjem te kontrola međusobnog položaja osi zupčanika  provode se nakon izrade ozubljenja. Prema standardu ISO 1328, za sve tolerancije, tj. granična odstupanja,  predviđeno je po 13 stupnjeva kvalitete (Q  = 0, 1, 2 … 12) koji se određuje se prema primjeni  i obodnoj brzini zupčanika te načinu njegove obrade. Veća kvaliteta, tj. manji stupanj Q kvalitete znači veći trošak  proizvodnje. Zato je velika odgovornost konstruktora koji mora težiti pronaći optimum između kvalitete i troškova. Za orijentaciju pri izboru stupnja kvalitete može poslužiti tabela 2.2. Za večinu kontrolnih mjera standard ISO 1328 navodi izraze za računanje graničnih odstupanja za stupanj kvalitete Q = 5. Granična odstupanja za ostale stupnjeve kvalitete raspoređena su po geometrijskom nizu s korakom 20,5 . To znači da izračunata granična odstupanja za Q = 5 treba  pomnožiti s 20,5 za svaki viši stupanj kvalitete te podijeliti s 20,5 za svaki idući niži stupanj kvalitete. Dakle, općenito vrijedi:  A(Q ) = A(Q 5) ⋅ 2

0,5(Q − 5)

 

(2.342)

gdje je  A(Q) granično odstupanje za stupanj kvalitete Q, a  A(Q5) granično odstupanje za stupanj kvalitete Q = 5.

2.14.1 Kontrola i tolerancije tijela zupčanika Tijelo zupčanik a mora imati definiranu referentnu os  prije izrade ozubljenja. Ona služi kao osnova za pravilnu izradu i kontrolu zubi te za pravilnu montažu zupčanika, a najčešće se odabire tako da ujedno predstavlja  funkcionalnu os oko koje rotira zupčanik u pogonu (npr. osi rukavaca vratila). U suprotnom, funkcionalna os u odnosu na referentnu mora biti odgovarajuće tolerirana. Kod zupčanika s provrtom za vratilo, slika 2.81, referentna os njegovog tijela određena je s osi  provrta koja je tolerirana s tolerancijom cilindričnosti t 1, tablica 2.3. - 135 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Tabela 2.2 Kvaliteta

Primjena

0

Geometrija ozubljenja

Izbor kvalitete tolerancije zupčanika 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 etalon zupčanici mjerni instrumenti, diobeni aparati  precizni prenosnici mjenjači brzina automobili kamioni opće strojarstvo

 poljoprivredni i drugi grubi strojevi  preko 20 m/s 8 do 20 m/s

Obodna  brzina

3 do 8 m/s 3 m/s i manje

 Način obrade

 brušenje grecanje prije toplinske obrade  precizno rezanje srednje fino rezanje lijevanje , štancanje, grubo rezanje

Slika 2.81: Referentna os zupčanika s provrtom za vratilo

- 136 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

K od zupčanika izrađenog izjedna s vratilom referentna os se o bično definira  pomoću  osi koja  prolazi kroz središta dvaju krugova na referentnim površinama, a i B rukavaca (os rukavaca), slika 2.82. Na referentim površinama propisuju se tolerancije kružnosti t 2, tablica 2.3.

1

1

Slika 2.82: Referentna os zupčanika definirana s osi rukavaca vratila Ako se referentna os ne poklapa s funkcionalnom, pripadna funkcionalna površina se mora dodatno tolerirati, najčešće s tolerancijama radijalnog t 3 i aksijalnog t 4 udara. Tako je za zupčanik na slici 2.83 referentna os definirana na provrtu glavine s tolerancijom cilindričnosti , ali funkcionalne površine cilindričnog izdanka na desnom kraju zupčanika treba posebno tolerirati na radijalni i aksijalni udar. Tolerancije aksijalnog i radijalnog udara date su u tablici 2.3. 4

5    d

Slika 2.83: Tolerancije radijalnog i aksijalnog udara funkcionalnih površina zupčanika Tolerancije dužinskih mjera tijela zupčanika, tj. njihova veza s ISO tolerancijama dužinskih mjera, mogu se odrediti prema tabeli 2.4, HRN M. C1. 031. U istoj tabeli definirane su empiričkim izrazima dopuštene vrijednosti radijalnog i aksijalnog bacanja (udara) tijela zupčanika koje je poželjno usporediti s onima prema ISO standardu, tablica 2.3.

- 137 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Tablica 2.3 Konstrukcija zupčanika S provrtom za vratilo, slika 2.81

Geometrija ozubljenja

Tolerancije oblika referentnih povr šina tijela zupčanika prema ISO TR 10064-3 Tolerancija Tolerancija Tolerancija Tolerancija cilindričnosti kružnosti radijalnog aksijalnog udara udara t 3, μm t 1, μm t 2, μm t 4, μm 0,04 (  L b ) ⋅ Fβ ( Q )

 –

–

–

 –

–

0,3 F  p(Q)

0, 2 ( Dd β b ) ⋅ F (Q )

ili 0,1 F  p(Q)*

Izjedna s vratilom, slika 2.82

 –

S dodatnim funkcionalnim  površinama, slika 2.83

 –

0,04 (  L b ) ⋅ Fβ ( Q )

ili 0,1 F  p(Q)* –

*

 Uzima se manja od dviju vrijednosti  L [mm] najveći raspon ležajeva u prenosniku b [mm] širina užeg zupčanika F β(Q) [µm] granično odstupanje uzdužne linije boka za kvalitetu tolerancije Q (poglavlje 2.14.2.2) F  p(Q) [µm] granično odstupanje koraka za kvalitetu tolerancije Q (poglavlje 2.14.2.3)  Dd [mm] promjer funkcionalne površine, slika 2.83

Tabela 2.4

Tolerancije tijela zupčanika prema HRN M. C1. 031

Kvaliteta tolerancije zupčanika

Provrt za vratilo na zupčaniku

0

1

2

3

toler.promjera  provrta

IT 4

IT 4

IT 4

IT 4

toler. oblika  provrta

IT 1

IT 2

IT 3

IT 4

Vratilo toler.promjera izjedna s zupčanikom toler. oblika

IT 4

IT 4

IT 4

IT 4

IT 1

IT 2

IT 2

IT 3

Tolerancija kruga preko glave*

h5

h6

h6

h7

Dopušteno radijalno i 2,5 0,01 D + 5 aksijalno bacanje, μm * ako on služi za oslanjanje instrumenta pri kontroli

4

5

6

7

8

9

10

11

12

IT 4

IT 5

IT 6

IT 7

IT 7

IT 8

IT 8

IT 8

IT 8

IT 4

IT 5

IT 5

IT 6

IT 6

IT 7

IT 7

IT 8

IT 8

h7

h7

h7

h8

h8

h8

h9

h11

h11

0,016 D+10

0,025 D+15

0,04 D+25

2.14.2 Kontrola i tolerancije ozubljenja Kontrola ozubljenja obuhvaća kontrolu  koraka, kontrolu profila, kontrolu uzdužne linije boka zuba, kontrolu radijalnog udara ozubljenja, tangencijalnu i radijalnu kontrolu sprezanjem, kontrolu debljine zuba te kontrolu centričnosti i aksijalnosti zubi. O primjeni prenosnika, o stupnju opremljenosti proizvođača te o procjeni, u prvom redu konstruktora, ovisi koje će se kontrole provesti. - 138 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.14.2.1 Tolerancije profila zuba je razmak dviju točnih evolventi točnog temeljnog kruga između kojih leži stvarni profil zuba, slika 2.84. Kontrola se provodi u čeonom presjeku na kontrolnoj duljini Lev koja je omeđena točkama A' stvarnog početka zahvata i E kraja zahvata na  boku zuba i koja je za oko 8 % manja od aktivne duljine profila AE , slika 2.85a. Granična odstupanja u μm, prema ISO 1328, za stupanj kvalitete Q = 5 su: Ukupno odstupanje profila zuba Aev

 Aev ( Q5) = 3, 2 mn + 0, 22 d  + 0, 7  

(2.343)

gdje se promjer diobenog kruga d  i modul uvrštavaju u mm. A t   je me ni k ru  g    A'

teorijski profil stvarni profil

    v     e

AF  bok zuba AE aktivni bok zuba ev kontrolna dužina

e v 

E F

osnov ni k ru   g 

Slika 2.84: Teoretska i stvarna uzdužna linija boka zuba  je udaljenost između dvaju pravaca paralelnih sa srednjom linijom stvarnog profila koji tangiraju stvarni profil u najvišoj i najnižoj točki  uzduž kontrolne duljine  Lev, slika 2.85b. Brojčana vrijednost ovog odstupanja je apsolutna , tj. uvijek  pozitivna. Granična odstupanja u μm, prema ISO 1328, za stupanj kvalitete Q = 5 su: Oblikovno odstupanje profila zuba Af,ev

 Af,ev ( Q5 ) = 2, 5 mn + 0,17 d  + 0, 5  

(2.344)

Kutno odstupanje profila zuba AH,ev  je

udaljenost između dvaju teoretskih profila koji  prolaze kroz presjecišta srednje linije profila s početnom i krajnjom točkom kontrolne duljine  Lev, slika 2.85c. Odstupanje je pozitivno ako srednja linija stvarnog profila raste od korijena prema vrhu zuba, tj. od točke E prema točki, a kao što je to na slici 2.85b i c. Granična odstupanja u μm,  prema ISO 1328, za stupanj kvalitete Q = 5 su:  AH,ev ( Q 5 ) = ±  2 mn



  v   e

A

E F

  v   e    f

A

+ 0,14

E F

d  + 0, 5   

(2.345)



  v   e    H

A

ev

ev

ev

AE

AE

AE

a) teorijski profil

b) stvarni profil

E F

c) srednja linija stvarnog profila

Slika 2.85: Mjerni dijagram pri kontroli odstupanja profila a) ukupno odstupanje profila zuba Aev b) oblikovno odstupanje profila zuba Af,ev c) kutno odstupanje profila zuba AH,ev - 139 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

2.14.2.2 Tolerancije uzdužne linije boka zuba Kontrolom uzdužne linije boka zuba vrednuju se razlike između teorijske i stvarne bočne linije u čeonom presjeku pri čemu su obuhvaćene i valovitost i hrapavost bokova. Mjerenja se izvode duž zuba, obično po sredini visine zuba. Kontrolna duljina  Lβ je obično za oko 10 % manja od duljine zuba b  kako pr i mjerenju ne bi bile obuhvaćena moguća skošenja i modifikacije po rubovima  bokova, slika 2.86.

širina zuba dužina kontrole teoretska linija boka stvarna uzdužna linija boka

Slika 2.86: Teorijski i stvarni profil uzdužne linije boka Odstupanja uzdužne linije boka mjere se s namjenskim mjernim instrumentima koji kao rezultat mjerenja daju nacrtan mjerni dijagram u kojem je teorijska uzdužna linija boka predstavljena kao ravna crta, slika 2.87. U slučaju modifikacije boka zuba potrebno je u mjernom dijagramu teorijsku uzdužnu liniju boka zuba predstaviti u njenom modificiranom obliku. Standard ISO 1328, temeljem mjernih rezultata, definira sljedeća odstupanja uzdužne linije boka: Ukupno odstupanje uzdužne linije boka Aβ  na

kontrolnoj duljini je udaljenost dviju teorijskih uzdužnih linija boka unutar kojih leži stvarna uzdužna linija boka, slika 2.87a. Bro jčana vrijednost ovog odstupanja je apsolutna, tj. uvijek pozitivna. Granična odstupanja u μm, prema ISO 1328, za stupanj kvalitete Q = 5 su:  Aβ ( Q5 ) = 0,1 d + 0, 63 b + 4, 2  

(2.346)

Oblikovno odstupanje uzdužne linije boka Af β  je

udaljenost između dvaju pravaca paralelnih sa srednjom linijom stvarne uzdužne linije boka koji tangiraju stvarnu uzdužnu liniju boka u najvišoj i najnižoj točki uzduž kontrolne duljine  Lβ, slika 2.87 b. Brojčana vrijednost ovog odstupanja je apsolutna, tj. uvijek pozitivna. Granična odstupanja u μm, prema ISO 1328, za stupanj kvalitete Q = 5 su:  Af β ( Q5 ) = 0, 07 d + 0, 45 b + 3   Kutno odstupanje uzdužne linije boka AHβ  je

(2.347)

udaljenost između dviju teoretskih uzdužnih linija  boka koje prolaze kroz presjecišta srednje linije stvarne uzdužne linije boka s početnom i krajnjom točkom kontrolne duljine  Lβ, slika 2.87c. Odstupanje je pozitivno ako je stvarni kut nagiba zuba koji je određen sa srednjom linijom stvarne uzdužne linije boka, veči od teorijskog kuta nagiba zuba  β . U suprotnom, odstupanje je negativno. Granična odstupanja u μm, prema ISO 1328, za stupanj kvalitete Q = 5 su: - 140 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 AH β  ( Q 5 ) = ±  0, 07 d



+ 0, 45 b + 3  

(2.348)

   f

a) teorijski profil

b) stvarni profil

c) srednja linija stvarnog profila

Slika 2.87: Mjerni dijagram za kontrolu odstupanja uzdužne linije boka zuba a) ukupno odstupanje zuba uzdužne linije boka Aβ b) oblikovno odstupanje uzdužne linije boka Af β c) kutno odstupanje uzdužne linije boka zuba AHβ

Vrijednosti graničnih odstupanja za ostale kvalitete ozubljenja računaju se prema izrazu (2.342).

2.14.2.3 Tolerancije koraka  Pojedinač no odstupanje koraka  A p  je

algebarska razlika između stvarnog i teorijskog koraka dvaju susjednih istoimenih bokova zubi, slika 2.88. Mjeri se na diobenom krugu, približno po sredini širine zuba. Brojčane vrijednosti su mu pozitivne ili negativne. se uzastopnim zbrajanjem pojedinačnih odstupanja  A p u mjernom dijagramu, slika 2.89. U pravilu se određuje na području od k  = 2 … z/ 8 (zaokruženo na cijeli broj) koraka. U primjeru na slici 2.88 je k  = 3.

 Zbirno odstupanje koraka  A pk   dobije

Ukupno odstupanje koraka  A pu  je najveći raspon zbirnih odstupanja koraka  A pk na ukupnom mjernom području od k   = 1 do k  =  z, vidi mjerni dijagram na slici 2.89. Brojčana vrijednost je uvijek pozitivna i za primjer na slici 2.89 iznosi  A pu = 11 μm.

 p  p k  

teoretski profil stvarni profil

   T

Slika 2.88: Pojedinačno ( A p) i zbirno( A pk ) odstupanje koraka - 141 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

 broj zubi  broj koraka  p

,

m

17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0   x   a   m  ,   p

 pk ,

  u  ,   p

m 0

Slika 2.89: Primjer mjernog dijagrama pri kontroli odstupanja koraka zupčanika s 18 zubi Granična odstupanja koraka u μm, prema ISO 1328, za stupanj kvalitete Q = 5 su:  A p ( Q5 ) = ±  0, 3 mn + 0, 4 d  + 4   



(

 A pk ( Q5 ) = ± Ap ( Q5 ) ± 1, 6

)



( k − 1) mn  

 A pu ( Q5) = 0, 3mn + 1, 25 d  + 7 .

(2.349) (2.350) (2.351)

U svim izrazima za odstupanja se promjer diobenog kruga d   i modul uvrštavaju u mm. Vrijednosti graničnih odstupanja za ostale kvalitete ozubljenja računaju se prema izrazu (2.342).

2.14.2.4 Radijalno bacanje (udar) ozubljenja

mjerno tijelo

T    

Slika 2.90: Mjerenje radijalnog bacanja ozubljenja - 142 -

S kontrolom radijalnog bacanja određuje se položaj bokova zubi u odnosu na os zupčanika koji može odstupati od teorijskog položaja zbog ekscentričnosti ozubljenja i odstupanja koraka. Princip mjerenja prikazan je na slici 2.90. Kontrolirani zupčanik se  postavi npr. na trn, a u međuzublje se umetne mjerno tijelo i potisne tako da dodiruje oba boka zuba približno u  području diobenog kruga. Mjerna tijela mogu biti kuglice valjci ili prizme. Radijalni pomak mjernog tijela prema osi zupčanika se očita na mjernom instrumentu (komparatoru). Postupak se ponavlja za sva međuzublja, a rezultati se ucrtavaju u mjerni dijagram, slika 2.91.

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

  a    l   e    j    i    t   g   o   n   r   e    j   m    k   a   m   o   p

  r

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 redni broj meduzublja

Slika 2.91: Mjerni dijagram pri kontroli radijalnog bacanja ozubljenja zupčanika s 17 zubi  Radijalno bacanje ozubljenja Ar  se

definira kao apsolutna razlika između najvećeg i najmanjeg radijalnog pomaka mjernog tijela prema osi zupčanika. Očitava se iz mjernog dijagrama kao što  je pokazano na slici 2.91. Granično odstupanje za kvaliteta ozubljenja Q = 5 se određuje prema ISO 1328:  Ar  ( Q5) = 0, 24mn + d  + 5, 6 .

(2.352)

Vrijednosti graničnih odstupanja za ostale kvalitete ozubljenja računaju se, kao i za odstupanja ostalih mjernih veličina, prema izrazu (2.342).

2.14.2.5 Tangencijalna kontrola sprezanjem Kod tangencijalne (jednobočne) kontrole sprezanjem obuhvaća se više pojedinačnih odstupanja kontroliranog zupčanika (odstupanja koraka, profila, uzdužne linije boka). Kontrolirani zupčanik  se spreže s etalonskim zupčanikom pri unapred određenom, konstantnom osnom razmaku a. Kvaliteta etalonskog zupčanika je u pravilu za barem četiri stupnja veća od kvalitete kontroliranog zupčanika. Kontrola se izvodi pri malim brzinama vrtnje tako da između neradnih  bokova etalonskog i kontroliranog zupčanika uvijek postoji određena zračnost. Mjerni rezultati su razlike između teorijskih i stvarnih kuteva zakreta kontroliranog zupčanika koji su posljedica spomenutih odstupanja pa ponekad ova kontrola zamjenjuje kontrole koraka, profila i uzdužne linije boka. Kutni zakreti se obično pretvaraju u ekvivalentne lučne duljine na diobenom krugu , a rezultati se  prikazuju u mjernom dijagramu, slika 2.92, iz kojega se očitaju odstupanja: se definira kao najveća apsolutna razlika između teorijskog i stvarnog kuta zakreta pri jednom okretaju kontroliranog zupčanika. Očitava se iz mjernog dijagrama, slika 2.92, u kojem je kut zakreta prikaz an s evivalentnom lučnom duljinom na diobenom krugu. '

 Zbirno odstupanje pri tangencijalnoj kontroli sprezanjem  Ai

- 143 -

Zupčanici i zupčani prijenosi

Geometrija ozubljenja

se definira kao najveća apsolutna razlika između teorijskog i stvarnog kuta zakreta pri okretaju kontroliranog zupčanika za jedan korak.

 Pojedinačno odstupanje pri tangencijalnoj kontroli sprezanjem  Ai''

 jedan okretaj zupcanika    d   a   r    i    l    i   a   a   i   n    t   a   ž   v   u    d    h   a   z   a    t   n   u   c   u    k   l

  si

  s    i

25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6 17 18 19 20 21 2 2 23 24 25 1  broj zubi

Slika 2.92: Mjerni dijagram pri tangencijalnoj kontroli sprezanjem Granična odstupanja  za kvalitetu ozubljenja Q  = 5 pri tangencijalnoj kontroli sprezanjem određuju se prema ISO 13289:

(

 Ai' ( Q 5 ) = K 9 + 0, 3mn

+ 3, 2 mn + 0, 34 d  )  

 Ai'' ( Q5 ) = Ai' ( Q5 ) + 0, 3mn + 1, 25 d  + 7  

(2.353) (2.354)

gdje je K  pomočna veličina koja se računa prema: K  = 0, 2

ε γ + 4