2 Gauss Normalizando

 

  Práctica N°2

Método de Eliminación de Gauss

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”   (ZACATENCO)

 Análisis numérico

PRÁCTICA N° 2: Solución de ecuaciones simultáneas por el método de Eliminación de Gauss Normalizando

 Alumno: Hernández Hernández Gutiérrez Juan Juan Carlos Grupo: 3AV1

Profesor: Miguel Jiménez Guzmán

 

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Método de Eliminación de Gauss

1- INTRODUCCIÓN El método de eliminación simple de Gauss puede ocasionarnos problemas a la hora de realizar la eliminación y la sustitución hacia atrás, pero existe una manera de evitar hacer demasiados cálculos y así evitar errores en el momento de hacer divisiones. Dicho método es la normalización. Este método nos permitirá hacer operaciones de más, ya que si normalizamos cada renglón, después los cálculos se harán de una manera sencilla y sin la necesidad de hacer divisiones. En diversos campos de la ciencia podemos encontrar distintos problemas que se pueden solucionar con sistemas de ecuaciones y métodos numéricos, es importante conocer a estos últimos para no realizar cálculos ineficientes y no perder mucho tiempo. Estudiaremos el método de eliminación de Gauss normalizando debido a que es una forma que nos permite simplificar las operaciones que haríamos con el método simple de eliminación Gaussiana.

 

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Método de Eliminación de Gauss

2- MÉTODO DE “ELIMINACIÓN DE GAUSS NORMALIZANDO NORMALIZA NDO”” 

[  ⋮ ] 

Este método es muy similar al de Eliminación Gaussiana, pero aquí normalizaremos cada renglón antes de cada eliminación. Para esto es necesario identificar el número, columna y renglón pivotes. Es importante mencionar que éstos irán cambiando conforme avanzamos sobre la diagonal principal. Paso 1:

Pivote

Columna pivote

Renglón pivote

Paso 2: Pivote

Renglón pivote

Columna pivote

Paso “n”:  “n”: 

Pivote Renglón pivote

Columna pivote

 

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Normalización por renglón: Una vez identificado el número y el renglón pivotes podemos

llevar a cabo la normalización. Simplemente se trata de dividir todo el renglón entre el valor del número pivote, para así convertir el número pivote en la unidad.

Normalización por renglón 

adelante:   Sirve para hacer que los números debajo de la diagonal Eliminación hacia adelante:

principal sean ceros.

Eliminación hacia adelante 

Después de normalizar cada paso todos los números por debajo del renglón pivote se someten a la siguiente fórmula: a ij '



aij    aik   akj  

De esta manera las columnas pivote se van convirtiendo en ceros y la diagonal principal se va llenando de unos, como en el siguiente ejemplo:

 

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 Al final de la eliminación hacia adelante normalizando quedará algo como esto:

Una vez que tengamos el triángulo inferior de la matriz lleno de ceros y la diagonal principal llena de unos, podremos empezar con la sustitución hacia atrás. NOTA:

Es indispensable empezar a hacer la eliminación de derecha a izquierda, para no alterar los valores y poder programarlo más fácilmente. Sustitución hacia atrás: atrás:   Nos ayudará a conocer los valores de cada una de las variables de la matriz. Se trata simplemente de sustituciones y despejes sencillos que se irán

haciendo de abajo hacia arriba. Después de la eliminación hacia adelante volvemos a expresar la matriz como un sistema de ecuaciones, así sólo tendremos que hacer un despeje para saber cuánto vale la última variable, entonces sólo hará falta sustituir en la penúltima ecuación y despejarla. Con la antepenúltima ecuación se hace lo mismo y así sucesivamente hasta encontrar la variable 1.

Paso 1: Paso 2: Paso 2: Paso 3: …  Paso “n”:  “n”: 

  =     − = −  (− −))()     − = −  (−)()     −2 = −2  (−2)()   (−2)(−) −  

…    =   2 2  3 3 …     

 

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3- EJEMPLO DE APLICACIÓN Si dos resistencias R1  y R2  de un circuito eléctrico están conectadas en paralelo, se encuentra la resistencia total R con la fórmula 1/R = (1/R 1) + (1/R2). Dadas tres resistencias  A, B y C, y sabiendo que la resistencia total de A y B conectadas en paralelo es de 48 Ω, de B y C es de 80   Ω y la de A y C es 60 Ω, encuentre A, B y C (nótese que al plantear las ecuaciones para resolver el ejercicio dichas ecuaciones no son lineales, pero si se usa la sustitución x=1/A, y=1/B, z=1/C, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales).

     

+ + +

     

= 48 

 + +0 0  = 48 

1

1

0

48 

= 80 

0 +  +  = 80 

0

1

1

80 

= 60 

 + 0 0  +  = 60 

1

0

1

60 

Sistema de ecuaciones

Matriz a resolver

 

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5- CÓDIGO DE PROGRAMA %***********************************************   %* MÉTODO DE GAUSS NORMALIZANDO *  %* CREADO POR: HERNÁNDEZ GUTIÉRREZ JUAN CARLOS *   *  %* GRUPO: 3AV1 *  %* PROFESOR: JIMENEZ GUZMÁN MIGUEL %* ANÁLISIS NUMÉRICO *  %***********************************************   clc  clear all  fprintf('Resolución fprintf( 'Resolución de ecuaciones lineales simultáneas \npor el método de Gauss normalizando\n') normalizando\n' )  disp('Matriz disp( resolver:')  'Matriz a resolver:') %A=[3 2 1 1; 5 3 4 2; 1 1 -1 1]   A=[0.15 -0.1 -0.05 5; -0.1 0.145 -0.025 0; -0.05 -0.025 0.075 2]   [r,c]=size(A)   for k=1:r for k=1:r  for j=c:-1:1  for j=c:-1:1 A(k,j)=A(k,j)/A(k,k);   end  'Paso %d Normalizando',k); fprintf('Paso fprintf( Normalizando',k);  A  for for i=k+1:r  i=k+1:r     for j=c:-1:k for j=c:-1:k A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j);   end  fprintf('Eliminación fprintf( adelante\n');  'Eliminación hacia adelante\n');   A end 

end  x(r)=A(r,c)/A(r,r);   for i=r-1:-1:1  for i=r-1:-1:1 sum=0;  for for j=i+1:r  j=i+1:r  sum=sum+A(i,j)*x(j);   end  x(i)=A(i,c)-sum;   end  disp('Soluciones disp( matriz:' )  'Soluciones de la matriz:') for i=1:r  for i=1:r fprintf('X%d fprintf( %f\n',i,x(i));  'X%d = %f\n',i,x(i)); end  '\n***********************************************' );  fprintf('\n***********************************************' fprintf( fprintf('\n* fprintf( '\n* MÉTODO DE GAUSS NORMALIZANDO *'); *' );  fprintf('\n* fprintf( '\n* CREADO POR: HERNÁNDEZ GUTIÉRREZ JUAN CARLOS *' *'); );  '\n* GRUPO: 3AV1 *'); *' );  fprintf('\n* fprintf( fprintf('\n* fprintf( '\n* PROFESOR: JIMENEZ GUZMÁN MIGUEL *'); *' );  '\n* ANÁLISIS NUMÉRICO *'); *' );  fprintf('\n* fprintf( fprintf('\n***********************************************\n' fprintf( '\n***********************************************\n' ); 

 

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6- CORRIDAS

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7- CONCLUSIONES El método de eliminación de Gauss normalizando es una forma un poco más eficiente de simplificar los cálculos al resolver sistemas de ecuaciones simultáneas con varias incógnitas. Podemos decir que aunque casi no difiere del método de eliminación simple de Gauss, es mucho más sencillo, y además se lleva a cabo en otros procedimientos como el de eliminación de Gauss – Gauss – Jordan.  Jordan.  Actualmente existen otros métodos numéricos con una mayor eficiencia, pero el método de eliminación de Gauss normalizando se puede usar para realizar cálculos manualmente de una manera simple y sin tener demasiadas complicaciones. Su principal desventaja es que si el sistema de ecuaciones contuviera muchas variables sería excesivamente tardado resolverlo sin la ayuda de un programa computacional.

 

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Un criadero de peces proporciona 3 tipos de alimento a peces de tres especies que habitan  juntas. Cada pez de la especie X consume por semana 2 unidades unidade s del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie Y consume por semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 unidades del B y 5 unidades del C. El consumo semanal promedio de la especie Z es de 2 unidades del alimento A, 1 unidad del B y 5 unidades del alimento C. Cada semana se vierten al agua 30.000 unidades del alimento A, 20.000 del alimento B y 55.000 del alimento C. Si se supone que los peces consumen todo el alimento. ¿Cuántos ejemplares de cada especie se están criando?

 

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En un laboratorio se experimenta la combinación de tres nuevos antibióticos a tres grupos de ratas. A cada rata del grupo R se le inyecta 2ml del antibiótico A, 1 ml del antibiótico B y 2 ml del antibiótico C. A cada rata del grupo S se le inyectan 3ml del antibiótico a ntibiótico A, 4ml del B y 5ml del C. Finalmente a las del grupo T se le inyectan 2ml. del A,1ml. del B y 5ml del C. Si al fin de la semana se inyectan 25ml del antibiótico A, 20 ml. del B y 55ml. del C. ¿cuántas ratas hay al fin de la semana en cada grupo?