2 Fuerzas-y-Vectores.pdf

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Fuerzas y Vectores Al igual que muchas otras disciplinas -como la música, la medicina, la gastronomía o el derecho- y muchas otras actividades –como el futbol, la fotografía o la carpintería- el mundo de las maniobras con cuerdas hace uso de un lenguaje especial. Por ejemplo, en cuanto al material se refiere obviamente hablamos de cuerdas, pero también solemos hablar de cordinos, cintas, mosquetones, anclajes, poleas, bloqueadores, ascensores, descensores, frenos, nudos, etc. También hablamos o escuchamos hablar frecuentemente de fuerzas, como la fuerza de gravedad, los triángulos de fuerzas, las fuerzas de rotura, las fuerzas de frenado, la fuerza de choque, y otros términos como los de fricción y tensión. Igualmente hablamos de otros conceptos como la resistencia de los materiales, los famosos kilonewtons e incluso el dichoso factor de caída. En realidad, gran parte del vocabulario empleado en las técnicas y maniobras con cuerda son conceptos y términos que provienen del campo de la física. A decir verdad, en el sentido más puro y simple, los principios y los conceptos teóricos detrás de las maniobras con cuerdas no son más que física aplicada. ¿Física? Así es, física común y corriente, como la que estudiamos en la secundaria o en el bachillerato. Por lo tanto, si eres ingeniero, arquitecto o físico, mucho del contenido expuesto en este libro te será conocido o por lo menos te sonará familiar. Sin embargo, si eres como yo o como la gran mayoría de seres humanos en este planeta que no somos ni físicos, ni ingenieros, ni arquitectos, probablemente no te acordarás de las lecciones de física que viste en tu adolescencia y seguramente lo que veamos a lo largo de este texto será relativamente nuevo para ti. Pero no hay de qué preocuparse, precisamente tienes este manual en tus manos porque quieres aprender cosas nuevas y saber más sobre el fabuloso mundo de maniobras verticales (¿si no para qué estarías leyendo esto?).

FUERZA Uno de los conceptos más importantes con el cual deberemos familiarizarnos es el de fuerza , el cual nos permitirá entender el funcionamiento, así como las nociones básicas de las maniobras aplicadas y el equipo utilizado en actividades verticales. Definiciones de la palabra fuerza hay muchas, pero la que nos interesa a nosotros es la fuerza entendida como concepto físico usado en mecánica. El término físico de fuerza es comúnmente imaginado como un empujón o un jalón sobre algún objeto, como cuando jalamos una cuerda o cuando usamos nuestras piernas para impulsarnos (empujarnos) hacia arriba al subir una montaña o al escalar una pared. Estos son ejemplos de fuerzas de contacto  ya   ya que son el resultado del contacto físico entre dos objetos: nuestras manos en contacto con la cuerda, o nuestras piernas en contacto con el suelo o la pared. Sin embargo, hay fuerzas que no requieren el contacto entre cuerpos como la mismísima y omnipresente fuerza de gravedad. Este otro tipo de fuerzas, se conocen como fuerzas de campo   y son fuerzas que ejercen su acción a distancia, como la fuerza que la Tierra ejerce sobre la luna sin necesidad de que la Tierra y la luna estén en contacto. Si consultamos los diccionarios o wikipedia encontraremos alguna definición de fuerza como las siguientes: Fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los cuerpos materiales Fuerza es toda acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo o bien de deformarlo Si releemos con más atención la definición de fuerza nos daremos cuenta de que es un concepto muy sintético; es una definición que abarca varias cosas que a simple vista se nos pueden escapar. Analicemos: una fuerza, sea lo que sea (una acción, una influencia, un agente), puede hacer tres cosas: 1) modificar la cantidad de movimiento de un cuerpo cuerpo 2) modificar la forma de un cuerpo 3) hacer ambas cosas (modificar la cantidad de movimiento de un cuerpo y su forma)

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En otras palabras, una fuerza: Puede actuar sobre un cuerpo que esté en reposo (inmóvil) para ponerlo en movimiento 

Un objeto inicialmente quieto… 

Se puede poner en movimiento al aplicar una fuerza

Puede actuar sobre un cuerpo que esté en movimiento cambiando la dirección o el sentido en que se mueve

Si un objeto está en movimiento… Al aplicarle una fuerza puede cambiar su dirección 

Puede actuar sobre un cuerpo que esté en movimiento modificando su velocidad (acelerándolo o desacelerándolo)

Asegurador aplica fuerza de frenado

Si un cuerpo está en movimiento…

Puede desacelerar al aplicársele una fuerza



Puede actuar sobre un cuerpo modificando su forma, es decir, deformarlo



Una fuerza puede actuar sobre un objeto y deformarlo Puede actuar sobre un cuerpo deformándolo y cambiando su cantidad de movimiento

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Newtons La unidad de medida de la fuerza es el Newton y se representa por la letra N. Así como la distancia se mide en metros, la temperatura en grados centígrados, y el tiempo en segundos, la fuerza se mide en Newtons. El problema con los Newtons (a menos que seas un físico, un ingeniero o un arquitecto) es que no estamos acostumbrados a hablar de ellos en nuestra vida cotidiana. Solemos hablar de tiempo, de temperatura, de distancia, inclusive de velocidad, pero nunca hablamos de fuerza ni de newtons. Sin embargo, de aquí en adelante constantemente haremos referencia al concepto de fuerza y su unidad los newtons, así que más vale que le vayas perdiendo el miedo a este concepto y mejor le adquieras confianza. Un Newton es una magnitud derivada, lo cual significa que es una unidad de medida compuesta por otras unidades más simples de medida. Un Newton está compuesto por unidades de masa (kilogramos), longitud (metros) y tiempo (segundos). Para ser más precisos, un Newton es igual a un kilogramo por metro sobre segundo al cuadrado, esto es: 2 1 Newton = 1 kg . 1 m/s Los físicos suelen decir que un Newton es la fuerza que al actuar sobre un kilogramo de masa le incrementa su velocidad en un metro por segundo cada segundo. Es decir, un Newton es la fuerza que 2 aplicada a una masa de 1 kg le comunica una aceleración de 1 m/s . No es de extrañar que cuando un físico recita la definición de Newton es como si nos hablaran en un idioma que no entendemos; seamos honestos ¿a quién en su sano juicio se le ocurre combinar kilogramos, metros y segundos al cuadrado? Por lo menos a mí no. Sé que el concepto de Newton no es muy intuitivo que digamos, pero ésa es la unidad en que se miden las fuerzas. Sin embargo, antes de seguir hablando sobre fuerzas y newtons, merece la pena que nos detengamos por un momento y hablemos sobre un par de conceptos adicionales que nos ayudarán a entender mejor las cosas. Uno de ellos es la aceleración y los otros son los famosos principios del movimiento propuestos por el padre de la física clásica Sir Isaac Newton.

Aceleración La aceleración es una cantidad que nos dice qué tan rápido está aumentando o disminuyendo la 2 velocidad de un cuerpo. Por ejemplo, si un automóvil tiene una aceleración de 10m/s   eso quiere decir que su velocidad aumenta en 10m/s por cada segundo que pasa. Es decir, si al principio la velocidad del auto es cero, después del primer segundo será de 10 m/s, después de dos segundos será de 20 m/s, después de tres segundo será de 30 m/s, etc. El problema con la aceleración es que muchas veces la confundimos con la palabra velocidad. La confusión que tienen muchas personas es que al pensar que un cuerpo se mueve con una gran velocidad, suponen que su aceleración también es grande; o que si un cuerpo se mueve con velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña; o que si su velocidad es cero, entonces su aceleración también debe valer cero. Lo cual es totalmente falso. Aceleración y velocidad están relacionadas pero no son lo mismo. Ambas se expresan utilizando las mismas unidades simples de medida (metros y segundos) pero mientras que la velocidad se mide en 2 m/s, la aceleración se mide en m/s . Es una pequeña y sutil diferencia pero es una diferencia muy importante. En realidad, la aceleración nos indica el ritmo o tasa de cambio de la velocidad, es decir nos relaciona los cambios de velocidad con el tiempo en que se producen. La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad. Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente. Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente. Una aceleración igual a cero significa que la velocidad no cambia (es constante). Dicho de otra manera, la aceleración mide qué tan rápido (o lento) son los cambios de velocidad. Ahora bien, ¿por qué extraña y oscura razón nos interesa hablar de aceleración? Porque si has puesto atención en lo que has leído hasta ahora, te habrás dado cuenta de que las unidades de la aceleración, 2 los m/s , aparecen también en la fórmula de los Newtons. Hablaremos de ello con más detalle a continuación, pero de momento lo importante es quedarnos con la pista clave de que aceleración y fuerza están íntimamente relacionadas.

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Leyes del movimiento Las leyes del movimiento o leyes de Newton son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por la mecánica, la rama de la física que tiene que ver con todo aquello relativo al movimiento de los cuerpos. Y sí, se llaman leyes de Newton en honor a Isaac Newton que fue quien las propuso.

Así se ve mucho mejor

He aquí una imagen retocada del mismísimo Sir Isaac Newton

Primera ley de Newton o ley de la Inercia  La primera ley de Newton dice más o menos lo siguiente: Un cuerpo permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme hasta que una fuerza actúe sobre él . Lo que nos quiere decir este principio es que para que un cuerpo altere su movimiento es necesario que exista alguna causa que provoque dicho cambio. Esa causa es lo que conocemos como fuerza. La frase “movimiento rectilíneo uniforme” tiene un significado especial: decir que una cosa tiene movimiento rectilíneo uniforme significa que se mueve en línea recta y que su velocidad es constante (NO hay aceleración). Un típico ejemplo de inercia es cuando un vehículo choca o frena bruscamente mientras que los pasajeros mantienen el movimiento que traía el vehículo, siendo despedidos de sus asientos hacia adelante (a menos que traigan cinturón de seguridad). Segunda ley de Newton o ley de Fuerza  La segunda ley de Newton manifiesta que: La fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo . O sea, que la fuerza neta y la aceleración son proporcionales, lo cual dicho así parece no decirnos nada, por lo menos no a simple vista y sobre todo para alguien que sea un neófito de la física. Sin embargo no es una ley cualquiera. Esta ley es una de las leyes más importantes de la física y con una repercusión científica de dimensiones inimaginables. Esta ley, entre otras cosas, nos permite cuantificar el concepto de fuerza y expresar dicha cuantificación de manera matemática de la siguiente manera: Fuerza = masa x aceleración  F  = ma 2  F   es la fuerza (medida en Newtons), m es la masa (medida en kg) y a es la aceleración (medida en m/s ). Los físicos dicen que la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo; esto es que la masa permanece constante mientras la fuerza actúa sobre el cuerpo. Lo que viene a decirnos este principio es que fuerza y aceleración van de la mano, y que además son proporcionales. ¿Eso qué significa? Lo que implica la proporcionalidad es que, manteniendo constante la masa de un cuerpo, si la fuerza aplicada a dicho cuerpo aumenta, también aumentará su aceleración y viceversa. Y al contrario, si disminuye la fuerza aplicada, también disminuirá la aceleración. Además, este principio nos dice otra cosa sumamente importante: que el movimiento de un cuerpo es independiente de cualquier fuerza. Lo que pasa es que la mayoría de las personas cree que si un objeto se mueve es porque una fuerza actúa sobre él. Pero eso no es verdad. Si releemos la primera ley del movimiento, nos daremos cuenta de que un cuerpo en movimiento permanecerá moviéndose a menos que una fuerza actúe sobre él pudiendo detenerlo, acelerarlo, cambiarlo de dirección, o deformarlo. Lo que implica en realidad la segunda ley de Newton es que una fuerza, lo único que hace, es cambiar la aceleración de un cuerpo. Una fuerza no pone en movimiento (o en reposo) a un objeto, lo único que hace es modificar su aceleración y/o cambiar la dirección y sentido del movimiento.

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Tercera ley de Newton o ley de acción y reacción  La tercera ley de Newton dice que: Cuando un cuerpo ejerce una fuerza (acción) sobre otro cuerpo, éste último ejerce una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario sobre el primero (reacción). Mucha gente resume de manera simplista este principio diciendo que a toda acción corresponde una reacción. Si bien no es exactamente igual a la definición, sirve de mucho para recordarla. Una de las cosas más importantes que nos permite esta ley es saber que las fuerzas siempre vienen en parejas. Siempre que una fuerza actúa sobre un objeto, hay otra fuerza de igual magnitud pero actuando en sentido contrario. Encontrar una fuerza aislada es imposible. Una fuerza no puede estar sola, en algún lado tiene que estar su reacción. Las tres leyes son fundamentales para comprender muchos aspectos y fenómenos que ocurren en el mundo de las maniobras con cuerdas. Sin embargo, la ley que más nos interesa para seguir nuestra discusión sobre fuerzas y newtons es la segunda ley. Básicamente, esta ley nos da la fórmula matemática para expresar cualquier fuerza:  F=ma. Sabemos que la unidad de medida de la masa son los kilogramos (kg) mientras que la unidad de medida de la aceleración son los metros sobre segundo al 2 cuadrado (m/s ). Por lo tanto, cuando los físicos dicen que la fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a la masa y la aceleración de dicho cuerpo, lo que quieren decir es que la fuerza es igual al producto de la masa y la aceleración.

Leyes del movimiento 1ª Ley: Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza entonces dicho cuerpo o está quieto, o se mueve con velocidad constante Velocidad constante

Si  F =0

a=0 (v=cte)

No hay fricción

2ª Ley: Si una fuerza  F  actúa sobre un cuerpo, ésta le proporcionará aceleración.  F

m 

a

 F = m a

3ª Ley:  Si empujo (o jalo) un objeto con una fuerza  F   voy a sentir que el objeto también me empuja (o  jala) con una fuerza igual y contraria

Reacción

Acción  F mía sobre el cuerpo = F cuerpo sobre mi

Tipos de fuerzas En la vida real hay diferentes tipos de fuerzas. De entre la gran variedad de fuerzas que hay en el mundo físico, las que más nos importan son cuatro fuerzas: el peso, la tensión, la fricción y la fuerza normal. Peso : es la fuerza que la gravedad ejerce sobre un cuerpo 







Tensión : es toda fuerza aplicada a un cuerpo elástico, estiramiento de una superficie tal como un hilo, un cable, una cadena o una cuerda Fricción : es la fuerza de rozamiento, entre dos superficies en contacto, a aquella que se opone al movimiento entre ambas superficies Normal : es la fuerza que ejerce una superficie sobre la cual está apoyado un objeto

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Peso Tal vez el tipo de fuerza con la cual estamos más acostumbrados a tratar es con el peso. Como ya dijimos, hablar de fuerza, o más en concreto, hablar conjuntamente de kilogramos, metros y segundos al cuadrado no es algo a lo que la inmensa mayoría de personas estemos acostumbrados a hacer. De lo que sí hablamos normalmente es de peso, como cuando alguno de nuestros amigos nos dice que su mochila (llena de equipo) pesa unos 15 kilos o que el peso promedio de una cuerda de 11mm de diámetro es de 80 gramos por metro. O como cuando vamos a una tienda de material de montaña y el vendedor nos muestra un mosquetón y nos dice que aguanta un peso de 2400 kilogramos. ¿Está todo correcto con estos ejemplos? Sí y No. Sí desde un punto de vista de nuestro lenguaje coloquial común y corriente. No desde el punto de vista de la física. El concepto de peso   del que hablamos cotidianamente corresponde en realidad al concepto físico de masa . La mochila de 15 kilos, el metro de cuerda de 0.08 kilos o los 2400 kilos que aguanta el mosquetón únicamente hacen referencia a los kilogramos, es decir a 2 la masa, pero no nos dicen nada sobre los m/s , es decir, no nos dicen nada sobre la aceleración. Para hablar de peso, desde el punto de vista de la física, no basta con referirnos a una masa sino que deberíamos referimos a una masa sometida a una aceleración: la aceleración causada por la gravedad de la Tierra. Cuando digo que mi peso es de 70 kilogramos únicamente estoy hablando de mi masa, pero físicamente sobre mi masa está actuando la aceleración causada por la gravedad de la Tierra. La 2 aceleración de la fuerza de gravedad es constante y tiene un valor aproximado de 9.8 m/s . Aunque yo no 2 lo perciba, la Tierra ejerce sobre mí una fuerza de 70 kg x 9.8 m/s  = 686.7 Newtons, aproximadamente unos 700 Newtons. En estricto sentido físico, debería decir que mi peso es de unos 700 Newtons. Si estuviéramos en la luna la cosa sería muy diferente; nuestro peso ya no sería el mismo que en la Tierra ya que estaría actuando sobre nosotros la fuerza de gravedad de la luna la cual tiene una aceleración de 2 1.6 m/s . Y si estuviéramos viajando por el espacio, al no haber gravedad, nuestro peso sería cero.

Tierra

Luna

dinamómetro

98 N

16 N

Diferencia de pesos en la Tierra y en la Luna (la masa es de 10kg en ambos casos pero el peso es diferente debido a la diferencia de fuerzas de gravedad) Es muy importante que quede clara la diferencia entre masa y peso ya que en física no son equivalentes. Tal vez coloquialmente hablamos de ambas cosas como sinónimos pero en este libro esa equivalencia no se aplica. Muchas veces se habla de kilogramos-fuerza en lugar de Newtons. Lo que sucede es que es más fácil hablar de kilogramos-fuerza que de Newtons, sobre todo para los profanos de la física. Si bien se trata de un pequeño abuso del lenguaje, nosotros lo usaremos como recurso académico que nos ayudará a entender muchos conceptos más técnicos. Por lo tanto, puedo decir que mi peso es de 700 Newtons o bien de 70 kilogramos-fuerza. Para tener una mejor de idea de los Newtons, en términos de kilogramos-fuerza, asociaremos un Newton a unos 100 gramos-fuerza (aproximadamente), es decir al peso promedio de una manzana, o si lo prefieres, al peso de un mosquetón de seguro (pero que no sea de los ultraligeros)

1N =

=

Podemos pensar en un Newton como el peso de una manzana (100 gramos-fuerza aprox) o el peso de un mosquetón con seguro

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Muchas veces nos encontraremos con el concepto de kilo-Newton (kN) sobre todo al hablar de la resistencia del equipo como la resistencia de los mosquetones. Un kilonewton no es otra cosa más que un múltiplo de la unidad de medida. Así como un kilómetro son mil metros, o un kilogramo son mil gramos, un kilonewton son mil Newtons. 1 kN = 1000 Newtons  peso de 1000 manzanas ó 1000 mosquetones Como valor de referencia, podemos pensar en un 1kN como el peso de un alpinista promedio de 80 kg más unos 20kg de su vestimenta y equipo. ≈

1kN = Valor de referencia para 1 kN  100 kg-fuerza (peso de un alpinista con equipo) ≈ 

Tabla de equivalencia entre unidades de fuerzas Unidad 1 newton (N) 1 kilonewton (kN) 1 kilopondio (1 kp) 1 tonelada fuerza (1 tn) 1 libra (Lb) 1 libra (Lb)

Equivalencia 1 kg m/s 1000 N 9.8 N 1000 kp 0.454 kp 4.448 N

Fricción Otra de las fuerzas más comunes es la fuerza de rozamiento, mejor conocida como fricción. La fuerza de fricción es la resistencia que se opone al movimiento o a la tendencia al movimiento de dos superficies en contacto. Por ejemplo, la fricción que se produce cuando una cuerda se desliza al pasar por un mosquetón, como cuando hacemos escalada en yoyo (top-rope). O también la fricción al usar nuestros pies de gato, donde hacen contacto la suela de goma y la roca de la pared.

cinta exprés mosquetón

cuerda Ejemplos de fricción: la cuerda al pasar por un mosquetón de un descuelgue La fricción es un concepto tan importante en maniobras con cuerdas que hablaremos de ella hasta el cansancio a todo lo largo del libro e incluso le dedicaremos un capítulo especial (ver capítulo cinco).

Tensión Tensión es un término que oímos mucho en maniobras con cuerdas: la tensión que soportan los anclajes, la resistencia tensil o máxima tensión que soportan las cuerdas y cordinos, la tensión en un nudo, etc. Hablar de tensión es relativamente fácil. Por ejemplo, cuando atamos una cuerda al tronco de un árbol y  jalamos la cuerda, lo que estamos haciendo es aplicarle tensión, es decir, estamos aplicando una fuerza sobre la cuerda, la cual a su vez se transmite (vía la cuerda) hacia el árbol.

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Básicamente la tensión es la fuerza que ejerce un objeto que se estira (un objeto elástico). Por lo tanto, siempre que trabajemos con cuerdas, cordinos, cintas, o cables, cualquier fuerza que actúe sobre esos objetos recibirá el nombre de tensión.

polea

Tensión en la cuerda

Ejemplos de tensión: al jalar una cuerda que pasa sobre una polea o la cuerda que sostiene el peso de una persona 

Fuerza normal Un cuarto tipo de fuerza es la fuerza llamada Normal. La fuerza normal es la fuerza que ejerce una superficie sobre la cual está apoyado un objeto. Por ejemplo cuando un alpinista está parado en la cumbre de una montaña, la fuerza que actúa sobre la cumbre de la montaña es el peso del alpinista, y a su vez (por la tercera ley de Newton) la cumbre reacciona con una fuerza de igual magnitud pero en sentido contrario al peso del alpinista. La palabra normal   se utiliza en física como sinónimo de perpendicular. Debido a que la fuerza normal es perpendicular a la superficie donde actúa, por esa razón recibe dicho nombre.

Ejemplo de la fuerza normal: la montaña “empuja” al alpinista hacia arriba

FUERZAS Y VECTORES La fuerza es una cantidad física vectorial. ¿Qué quiere decir esto? El término vectorial viene de la palabra vector. Un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física y una dirección, de hecho el uso de vectores es muy útil ya que nos ayuda a visualizar hacia dónde se dirige una fuerza. Para entender mejor qué es eso de cantidad vectorial y ser más específicos, tenemos que mencionar que en física hay dos tipos de cantidades o magnitudes: las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales. Si preguntamos a un meteorólogo cuál es la temperatura de una determinada parte del desierto de Arizona, nos puede responder que la temperatura es de 35ºC. En física se dice que la temperatura es una magnitud escalar (es una magnitud que está en una escala de valores). Sin embargo, no todas las magnitudes pueden ser expresadas indicando meramente el valor numérico y las unidades correspondientes.

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Imaginemos que estamos de visita por vez primera en algún parque natural y queremos saber dónde está el refugio. Si preguntamos a un senderista por el refugio y éste nos contesta simplemente: “a 500 metros de aquí”, en realidad no nos habrá dado toda la información suficiente. Necesitamos saber si está más adelante o más atrás, a la derecha o a la izquierda. La posición del refugio respecto de donde estamos nosotros en un momento dado es una magnitud vectorial, ya que no basta con indicar el valor de la magnitud sino que también es necesario expresar su dirección y sentido.

sentido

pun to de aplicación

La posición del refugio respecto de donde nos encontramos es una magnitud vectorial. A la izquierda del mapa se muestra la representación gráfica de un vector. Los vectores se representan gráficamente mediante flechas y poseen 4 características: 

Módulo : indica el valor numérico que cuantifica el número de unidades que la magnitud representa.



Dirección : es la recta en la que se sitúa el vector. Puede ser horizontal, vertical, inclinada, etc.



Sentido : indica la orientación del vector y se representa por la punta de la flecha



Origen : punto de aplicación corresponde al punto donde actúa el vector

Descomposición de vectores Otra característica de cualquier vector, y por tanto de cualquier fuerza, es que pueden descomponerse como la suma de otros dos vectores llamados componentes vectoriales. Para efectuar dicha descomposición necesitamos disponer de una representación gráfica con un sistema de coordenadas. Lo más simple y común es utilizar el sistema de coordenadas del plano cartesiano integrado por dos ejes rectangulares: un eje horizontal (eje  x) y un eje vertical (eje  y). A partir de este sistema de coordenadas podemos expresar un vector o una fuerza en componentes horizontales y componentes verticales, las cuales se denominan oficialmente componentes rectangulares . La notación matemática que suele utilizarse para las fuerzas es la letra  F . La componente horizontal de una fuerza se denota por  F  x  y es paralela al eje  x. A su vez, la componente vertical de una fuerza se denota por  F  y y es paralela al eje  y. Veamos un ejemplo. Imaginemos que tenemos una fuerza de 100 N. Como ya hemos visto, la fuerza es una cantidad vectorial y para representarla gráficamente no basta con saber su magnitud sino que necesitamos conocer también su sentido y dirección. Imaginemos por tanto que actúa en sentido positivo y que forma una inclinación de 30 grados con respecto al eje horizontal, como en el siguiente dibujo.  y  F =100N  F  y

30º  F  x

 x

Representación gráfica de una fuerza de 100 newtons y sus componentes rectangulares

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La descomposición de la fuerza  F   implica determinar sus componentes rectangulares  F  x y  F  y lo cual se hace mediante un par de cálculos trigonométricos. Para saber exactamente qué tipo de cálculos trigonométricos debemos realizar es conveniente hacer un breve recordatorio de trigonometría de nuestros años de secundaria.

¿Trigono-qué?

Recordatorio de trigonometría La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia los triángulos. De hecho el significado etimológico de la palabra trigonometría es “medición de los triángulos”. Lo que necesitamos recordar es básicamente cómo calcular el seno y el coseno de un ángulo α contenido en un triángulo rectángulo (un triángulo en el que uno de sus ángulos es igual a 90 grados), lo cual implica a su vez recordar aquellos conceptos como la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente.

seno (α) =

cateto opuesto hipotenusa

cateto opuesto coseno (α) =

ángulo α

cateto adyacente hipotenusa

cateto adyacente Fórmula del seno y coseno de un ángulo α   para un triángulo rectángulo Al comparar el triángulo que tiene la fuerza  F   y sus componentes rectangulares con el triángulo de las fórmulas trigonométricas, podemos encontrar ciertas similitudes y equivalencias.  y  F =100N

cateto opuesto

 F  y

30º

α

cateto adyacente

 F  x

 x

Similitudes entre elementos del triángulo rectángulo y los componentes rectangulares de la fuerza F  De hecho, si en lugar de fuerza pensamos en una hipotenusa, y en lugar de componentes  F  x y  F  y pensamos en cateto adyacente y en cateto opuesto, respectivamente, tenemos que:  F  x = hipotenusa x coseno(α)

 F  y = hipotenusa x seno(α)

De esta forma vemos que la componente horizontal  F  x  está relacionada con el coseno del ángulo, mientras que la componente vertical F  y está relacionada con el seno. Para obtener el valor de las componentes podemos empezar con la componente horizontal, para lo cual requeriremos calcular el coseno de un ángulo de 30 grados y multiplicar dicho valor por 100N. La componente  F  x se obtiene como sigue:  F  x = 100N x cos(30º) = 86.6 N 10 FTMC – Gastón Sánchez © 

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Para la componente vertical lo que necesitamos calcular es el seno de un ángulo de 30 grados y multiplicar dicho valor por 100N, es decir:  F   y  = 100N x sen(30º) = 50 N De esta manera obtenemos el siguiente diagrama de la fuerza y sus componentes rectangulares  y  F =100N

 F  y = 50N

30º  F  x = 86.6N

 x

Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares  F  x y  F  y Dijimos que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores llamados componentes rectangulares. Sin embargo, la suma de fuerzas no es una suma común y corriente. Lo curioso que tienen las fuerzas es que la suma de dos o más fuerzas no corresponde a la suma algebraica que todos conocemos. En el ejemplo anterior vimos cómo calcular las componentes de una fuerza de 100N con una inclinación de 30 grados obteniendo por resultado  F  x =86.6N y  F  y =60N. Sin embargo, la suma de 86.6N + 60N = 146.6N no es igual a 100N. Esto es así porque como ya vimos, los vectores tienen dirección y sentido, lo cual hace que la suma de fuerzas sea muy particular y requiera de un análisis trigonométrico.

Sistemas de vectores y diagramas de fuerzas En la vida real, sobre todo en muchas de las aplicaciones relacionadas con maniobras con cuerdas, lo más común es que un objeto esté sometido no sólo a una fuerza sino a varias fuerzas. Cuando un cuerpo está sometido a diferentes fuerzas lo que sucede es que todas ellas pasan por un punto en común (el cuerpo sobre el que actúan). Cuando sucede esto lo interesante es saber cuál es el resultado de la acción conjunta de las diferentes fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. En estos casos, cuando dos o más fuerzas actúan sobre un objeto, se produce en éste un efecto equivalente al de una sola fuerza a la que los físicos llaman fuerza total o fuerza resultante (fuerza neta), la cual corresponde a la suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas.

Equilibrio Un caso particular de la fuerza resultante es cuando se tiene un sistema de fuerzas en equilibrio. Ya vimos que el movimiento de un cuerpo no tiene nada que ver con las fuerzas que actúan sobre él (primera ley del movimiento) en el sentido de que si está en movimiento no significa que una fuerza lo esté moviendo. Ni tampoco si está en reposo; eso no significa que hay una fuerza que lo mantenga inmóvil. Lo que sí puede ocurrir es que un cuerpo permanezca ya sea en constante movimiento o en reposo a pesar de que una o más fuerzas actúen sobre él. ¿Cómo es esto posible? Al estudiar cómo afectan las fuerzas que actúan sobre un objeto, muchas veces se tiene una situación de equilibrio. ¿Qué significa esto? Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando está en reposo (inmóvil) o en movimiento rectilíneo uniforme. Estar en equilibrio no significa que no actúen fuerzas. Lo que implica el equilibrio es que la suma total de las fuerzas que actúan sobre él es cero, o dicho de otra manera: la fuerza neta o resultante es cero. Si un cuerpo está en equilibrio eso implica que la aceleración es igual cero. ¿Por qué? Porque el equilibrio significa velocidad constante. No significa necesariamente que la velocidad sea cero, simplemente significa que la velocidad no cambia, y si no hay cambio de velocidad no hay aceleración. Al tener una aceleración de cero, tenemos que la fuerza neta también es cero. Pero cuidado, no hay que confundir una fuerza neta de cero con ausencia de fuerzas. Decir que la fuerza neta sea cero, no significa

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que no existan fuerzas, simplemente significa que las fuerzas, al actuar sobre el objeto, se están cancelando entre sí y por lo tanto el efecto resultante de las fuerzas es cero. Para poder determinar la fuerza neta o fuerza resultante de un sistema de fuerzas lo más conveniente es hacer una representación gráfica del objeto y de las fuerzas que actúan sobre él. A esta representación gráfica se le llama diagrama de cuerpo libre: es un diagrama en el cual se indican todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Una vez identificadas las fuerzas, lo siguiente es descomponer cada fuerza en sus componentes horizontales y verticales. Posteriormente se escriben las ecuaciones de las fuerzas netas para cada componente, una ecuación para las  F  x  y otra ecuación para las  F  y. Finalmente se resuelven las ecuaciones mediante álgebra. Veamos las ecuaciones Por la segunda ley de Newton sabemos que la expresión para cuantificar cualquier fuerza es Fuerza neta  = masa  x aceleración  En realidad esta fórmula no se usa por sí sola, lo que se usa en cambio es su descomposición en las componentes de la fuerza. Por un lado tenemos la componente horizontal de la fuerza neta que es igual a la masa multiplicada por la aceleración en la componente horizontal  F  x neta = m a x Por otro lado tenemos la componente vertical de la fuerza neta que es igual a la masa multiplicada por la aceleración en la componente vertical  F  y neta = m a y Comencemos con un ejemplo muy simple, o como diría uno de mis profesores universitarios, un ejemplo de juguete. Imaginemos que tenemos colgada una cuerda del techo. Para ser más precisos, imaginemos que una cuerda de escalada (de 11mm de diámetro, 50 metros de longitud y con un peso de 4kg) está colgada de un cordino atado al techo, tal como aparece en la siguiente ilustración. La cuerda simplemente está colgada y no se mueve. La pregunta aquí es ¿cuál es la tensión del cordino que soporta la cuerda?

4 kg Lo primero que debemos hacer es dibujar nuestro diagrama de fuerzas. Para ello hay que dibujar el objeto (la cuerda) y las fuerzas (vectores) que actúan sobre él.

¿T = ?

w = - 39.2 N

Diagrama de fuerzas para representar las fuerzas que actúan sobre la cuerda 

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Este es un ejemplo muy simple y solamente tenemos dos fuerzas que actúan sobre la cuerda, una fuerza es el peso (la fuerza de gravedad sobre la cuerda) y la otra fuerza es la tensión del cordino (la fuerza con la que el cordino jala a la cuerda). El peso está representado por el vector de color rojo y tiene una dirección negativa ya que la gravedad ejerce su acción hacia abajo. La tensión está representada por el vector de color azul y tiene una dirección positiva ya que el cordino está jalando hacia arriba (en sentido opuesto al de la gravedad). Otro detalle es el peso de la cuerda el cual no es igual a 4kg. El peso, 2 representado por la letra w, está expresado en newtons (39.2N = 4kg x 9.8 m/s ) y tiene signo negativo ya que su dirección es hacia abajo. Una vez que tenemos listo el diagrama, podemos empezar a escribir las ecuaciones de las fuerzas netas. En este caso todas las fuerzas están alineadas con la componente vertical. Al no haber fuerzas que actúen en la componente horizontal, la fuerza neta F  x es igual a cero. Para  F  y tenemos lo siguiente:  F  y neta = m a y

De un lado de la ecuación tenemos la fuerza neta de las componentes verticales,  F  y neta, y del otro lado tenemos la masa de la cuerda y la aceleración vertical. La fuerza neta es la suma de todas las componentes verticales, que en este caso solamente son dos: el peso w=-39.2N y la tensión T   que es la queremos calcular. La masa de la cuerda es m=4kg. ¿Y qué podemos decir de la aceleración a y? Debido a que la cuerda está inmóvil, su velocidad es cero, y por lo tanto su aceleración también es cero. La aceleración es cero no porque la velocidad sea cero, sino porque la velocidad es constante. El hecho de que la cuerda está inmóvil significa que su velocidad es constante, y por eso la aceleración es cero, es decir, a y=0. Por lo tanto, al sustituir los valores en la ecuación tenemos que -39.2N + T  = (4kg) (0) o lo que es lo mismo -39.2N + T  = 0 Despejando la tensión obtenemos que T = 39.2N. Básicamente este caso representa un ejemplo de la tercera ley de Newton o principio de la acción y reacción. Una de las fuerzas es la gravedad que está  jalando a la cuerda con una fuerza 39.2N hacia abajo, la otra fuerza es la tensión que jala a la cuerda con una fuerza de igual magnitud pero en sentido contrario (hacia arriba).

Otro ejemplo Veamos otro ejemplo un poco más complejo. Imaginemos ahora que nos han regalado una pintura de un paisaje alpino que deseamos colgar en la pared de nuestra habitación (ver figura). Si la pintura tiene una masa de 1 kg, ¿cuál será la tensión en cada lado del cable que soporta la pintura? 90º

¿T  = ?  F  y = 4.9 N

45º

w = 4.9 N

Diagrama de fuerzas para determinar la tensión que soporta uno de los lados del cable En la figura podemos ver que el peso de la pintura se reparte igualmente entre los dos lados del cable. Sin embargo, eso no significa que cada lado del cable esté soportando la mitad del peso del cuadro. Para poder calcular cuánta tensión (cuánto peso) soporta cada uno de los lados del cable basta con analizar lo que pasa con uno de ellos. 13 FTMC – Gastón Sánchez © 

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En este caso sabemos que el peso total del cuadro es de aproximadamente 10N, el cual se reparte equitativamente entre los dos lados del cable. Si analizamos lo que pasa con uno solo de los lados, la componente vertical  F  y es igual a la mitad del peso, es decir 5N. La fuerza que ejerce el cuadro está en sentido vertical (digamos que la gravedad jala el cuadro hacia abajo) y por esa razón no nos interesa la componente horizontal  F  x. El sistema está en equilibrio, es decir, el cuadro no se mueve (está en reposo). Por lo tanto el sistema de fuerzas está en equilibrio y las fuerzas resultantes son cero. Esto se expresa matemáticamente así:  F  y neta = m a y w +  F  y = (5kg) (0) - 4.9 N +  F  y = 0 Sabemos que la componente vertical  F  y es igual a 4.9 N. Pero nosotros no queremos saber solamente la componente vertical, sino que queremos saber el valor de T . Para determinar dicha tensión aplicamos la fórmula trigonométrica relacionada con la componente vertical, es decir: T  =  F  y / cos (45º) = 4.9 N / 0.71 = 6.9 N Por lo tanto, cada mitad del cable soporta una tensión o fuerza de 6.9 N

90º T  = 6.9N

T  = 6.9N

45º

45º

w = 4.9 N

Cada uno de los extremos del cable que soporta el cuadro recibe una tensión de 6.9N  Dejemos hasta aquí el tema de fuerzas y vectores. Ya aparecerán más adelante y tendremos oportunidad de ver ejemplos más reales e interesantes.

14 FTMC – Gastón Sánchez ©