2. Faktor Persekutuan Terbesar
July 13, 2019 | Author: Najib Arfa | Category: N/A
Short Description
FPB...
Description
B. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR Untuk setiap bilangan bilangan bulat a paling paling sedikit sedikit memiliki dua faktor faktor yaitu 1 dan diriny dirinyaa sendir sendiri. i. Suatu Suatu bilang bilangan an bulat bulat dapat dapat memili memiliki ki faktor faktor selain selain 1 dan diriny dirinyaa sendiri. Sebagai contoh 20 memiliki faktor 1, 2, 4, 5, 10 dan 20, sedangkan 30 memiliki faktor 1, 2, 3, 5, , 10, 15 dan 30. !ari contoh ini diperoleh bah"a 1, 2, 5 dan 10 merupa merupakan kan faktor faktor dari dari 20 dan sekaligu sekaliguss faktor faktor dari dari 30. #akta tersebut tersebut mengantarkan ke konsep faktor persekutuan, dan faktor persekutuan terbesar.
Definisi 2.1.2
Suatu bilangan bulat d disebut disebut faktor persekutuan dari a dan b apabila d a dan d b.
$erlu diketahui bah"a untuk setiap dua bilangan bulat a dan b memiliki paling sedikit satu faktor persekutuan yaitu 1. %ika d adalah faktor persekutuan dari a dan b maka d ma & nb untuk setiap bilangan bulat m dan n. %ika a dan b dua bilangan bulat tak nol, maka a dan b hanya memiliki se'umlah hingga faktor dan oleh karena karenanya nya himpun himpunan an faktor faktor persek persekutu utuan an dari dari a dan b 'uga 'uga berhin berhingga gga.. (arena (arena elemen)elemen himpunan faktor persekutuan dari a dan b merupakan bilangan) bilangan bulat maka himpunan tersebut terse but memiliki elemen terbesar. *ilangan bulat terbesar ini disebut faktor persekutuan terbesar +#$* dari a dan b. (onsep #$* disa'ikan pada !efinisi 2.1.3.
Definisi 2.1.3
*ilangan bulat positif d disebut #$* dari a dan b 'ika dan hanya 'ika+i. d a dan d b +ii. 'ika c a dan c b maka c
d.
#aktor persekutuan terbesar dari a dan b dinotasikan dengan #$*+a,b. *eberapa hal yang perlu diketahui tentang #$* antara lain- +i. #$* +0,0 tidak didefinisikan. +ii. +ii. #$* +a,b +a,b selalu selalu bilang bilangan an bulat bulat posi positif tif,, sehing sehingga ga #$* #$* +a,b +a,b
1.
+iii. #$* +a,b #$* +a,)b #$* +)a,b #$* +)a,)b.
Contoh 2.1.2
a. #$* dari 30 dan 105 adalah 15, sehingga ditulis #$* +30, 105 15. b. #$* dari / dan 20 adalah 1, sehingga ditulis #$* +/,20 1.
Teorema 2.1.5
%ika #$* +a,b d maka #$* +a-d, b-d 1. B!ti"
isalkan #$* +a-d, b-d c. kan ditun'ukkan bah"a c 1, yaitu dengan menun'ukkan c 1 dan c 1. (arena c adalah #$* dari dua bilangan bulat yaitu a-d dan b-d maka c 1. +. (arena #$* +a-d, b-d c maka c +a-d dan c +b-d. kibatnya ada bilangan bulat dan r sedemikian sehingga berlaku a-d c dan b-d cr. enurut definisi pembagian diperoleh a d+c +cd dan b d+cr +cdr. ni berarti cd merupakan faktor persekutuan dari a dan b. (arena d adalah #$* dari a dan b maka cd d. (arena d positif maka c 1. +. !ari + dan + disimpulkan c 1.
Contoh 2.1.3
(arena #$* +24,30 maka #$* +24-, 30- #$* +4,5 1.
Definisi 2.1.#
*ilangan bulat a dan b disebut relatif prima +saling prima 'ika #$* +a,b 1.
!ari contoh 2.1.2 diperoleh bah"a / dan 20 saling prima, sedangkan dari contoh 2.1.3 diperoleh bah"a 4 dan 5 saling prima. %ika a dan b adalah bilangan)bilangan bulat yang kecil maka #$* +a,b dapat dihitung dengan mudah +singkat. 6idak demikian halnya a dan b adalah bilangan) bilangan yang besar. Sebagai contoh 'ika a 2020473 dan b 202087 1
maka #$* +a,b tidak dapat dihitung dengan singkat. *erikut ini akan sa'ikan cara yang efisien untuk menentukan #$* dari dua bilangan bulat. Teorema 2.1.$ %A&'oritma Pem(a'ian Bi&an'an B&at)
Untuk setiap bilangan bulat positif a dan b terdapat dengan tunggal bilangan bulat dan r sedemikian sehingga b a & r dengan 0 r 9 a. B!ti"
*entuk barisan bilangan berikut- , +b)3a, +b)2a, +b)a, b, +b&a, +b&2a, +b&3a, …
.
isalkan r adalah bilangan bulat tak negatif terkecil dari barisan tersebut. kibatnya r 0 dan r b : a untuk suatu bilangan bulat . !iperoleh b a & r dengan r 0. Selan'utnya akan ditun'ukkan bah"a r 9 a. ndaikan r a, maka r a & k untuk suatu k 0. Sehingga k r)a. (arena r b : a maka k b : +&1a. ni berarti bah"a k adalah suatu suku dari barisan tersebut, dengan 0 k r : a r. (ontradiksi dengan r adalah bilangan bulat tak nol terkecil dari barisan tersebut. $engandaian salah, yang benar r a. %adi ada dan r sedemikian sehingga b a & r, dengan 0 r a. Selan'utnya akan ditun'ukkan bah"a dan r tunggal. isalkan terdapat 1 dan r 1 sedemikian sehingga b a 1 & r 1, dengan 0 r 1 a. (arena b a & r dan b a 1 & r 1, maka diperoleh + : 1a & +r : r 1 0 ... + (arena a + : 1a dan a 0, maka a +r : r 1. 6etapi karena 0
r
a dan 0
r1 a, maka )a r : r 1 a.
Sehingga diperoleh r : r 1 0 atau r r 1. Selan'utnya dari persamaan + diperoleh + : 1a 0 atau 1, sebab a 0. %adi diperoleh r r 1 dan 1. !engan kata lain dan r yang memenuhi b a & r dengan 0 r 9 a adalah tunggal.
Contoh 2.1.#
%ika a 24 dan b 81 maka 3 dan r /, sebab 81 +3.+24 & /. 6erlihat bah"a #$* +81,24 3 dan #$* +24,/ 3.
2
%ika a dan b sebarang bilangan bulat, maka 6eorema 2.1 tetap berlaku tetapi dengan syarat 0 r 9 a .
Teorema 2.1.*
%ika b a & r, maka #$* +b,a #$* +a,r. B!ti"
isalkan #$* +b,a d. aka d a dan d b. (arena d a dan d b dan r b : a maka d r. ni berarti d adalah faktor persekutuan dari a dan r. selan'utnya akan ditun'ukkan bah"a d adalah #$* dari a dan r. isalkan c adalah sebarang faktor persekutuan dari a dan r, yang berarti c a dan c r. (arena b a & r maka c b, sehingga c merupakan faktor persekutuan dari a dan b. 6etapi #$* +a,b d , sehingga c d. ni berarti d adalah #$* dari a dan r. %adi #$* +b,a #$* +a,r. Selan'utnya dengan menggunakan 6eorema 2.1. dan 6eorema 2.1.7 dapat ditentukan #$* dari sebarang dua bilangan bulat.
Contoh 2.1.5
6entukan #$* +577,4453. $enyelesaian!engan menggunakan 6eorema 2.1. berkali)kali maka diperoleh577 4453 . 1 & 1314 4453 1314 . 3 & 511 1314 511. 2 & 2/2 511
2/2 . 1 & 21/
2/2 21/ . 1 & 73 21/ 73 . 3 & 0 *erdasarkan 6eorema 2.1.7 diperoleh #$* +577,4453 #$* +4453,1314 #$* +1314,511 #$* +511,2/2 #$* +2/2,21/ #$* +21/,73 #$* +73,0 73. %adi #$* +577,4453 73.
3
Teorema 2.1.+
isalkan a dan b bilangan)bilangan bulat positif. enggunakan algoritma pembagian diperoleh persamaan)persamaan berikut- a b & r, dengan 0 r b
b r1 & r 1, dengan 0
r1
r
r r 12 & r 2, dengan 0
r 2
r 1
r k)2 r k)1k & r k, dengan 0
rk r k)1
r k)1 r k k&1. !iperoleh #$* +a,b r k.
6eorema 2.1.8 dapat dibuktikan dengan proses rekursif menggunakan 6eorema 2.1.7. eru'uk pada !efinisi 2.1.3, 'ika a atau b bilangan bulat negatif, maka #$* +a,b #$* +a,)b #$* +)a,b #$* +)a,)b.
Teorema 2.1.,
Untuk setiap bilangan bulat tak nol a dan b terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga #$* +a,b am & bn.
6eorema 2.1./ dapat dibuktikan dengan menggunakan 6eorema 2.1.8.
Contoh 2.1.$
%ika a 247 dan b 2//, maka diperoleh2// 247 . 1 & 52 247 52 . 4 & 3/ 52
3/ . 1 & 13
39
13 . 3
*erdasarkan 6eorema 2. diperoleh #$* +a,b 13. Selan'utnya akan ditentukan bilangan bulat m dan n sehingga 13 247m & 2//n. 4
;aranya sebagai berikut. 13 52 - 3/ . 1 =
52 ) +247 ) 52 . 4
=
52 . 5 : 247
=
=
+2// ) 247 . 1 . 5 ) 247 2// . 5 - 247 .
%adi m ) dan n 5.
A!i(at Teorema 2.1.,
%ika a dan b relatif prima maka ada bilangan bulat m dan n sehingga am & bn 1.
Teorema 2.1.1
%ika d ab dan #$* +d,a 1, maka d b. B!ti"
(arena #$* +d,a 1 maka ada m dan n sehingga dm & an 1. kibatnya diperoleh b+dm & b+an b d+bm & +abn b (arena d ab maka d b.
Teorema 2.1.11
%ika c a dan c b dengan +a,b d maka c d. B!ti"
(arena #$* +a,b d maka d am & bn untuk suatu bilangan bulat m dan n. (arena c a dan c b maka c am dan c bn, sehingga c +am & bm d.
6eorema 2.10 menyatakan bah"a setiap faktor persekutuan dari dua bilangan bulat merupakan faktor dari #$* dua bilangan tersebut. Sehingga dengan menggunakan 6eorema 2.10 maka definisi #$* dari dua bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.
5
Suatu bilangan bulat positif d disebut #$* dari bilangan bulat a dan b 'ika memenuhi+i. d adalah faktor dari a dan b, +ii. untuk sebarang faktor dari a dan b merupakan faktor dari d.
Contoh 2.1.*
(arena 2 32 dan 2 40, maka 2 8 #$* +32,40.
View more...
Comments
