2 - Expresiones Regulares

 

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CURSO TEORIA DE LENGUAJES

EJERCICIOS RESUELTOS EXPRESIONES REGULARES  AUTOMATAS FINITOS E

DOCENTE ING SANDRA RODRIGUES

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EXPRESIONES REGULARES a) Unión alternativa

{ α | β } = { α } U { β } = (a | b)* =(a+b)* b) Concatenación

α β={ α } { β } c) Cierre operación estrella

{ α *} = {

λ , α , α α , α α α , α α α α  … } 

d) Cierre positivo

{ α+  } = {

α , α α , α α α , α α α α  … } 

PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES REGULARES 1. α + (β + γ) = (α + β) + γ  2. α + β = β + α  3. α + Ø = α  4. α + α = α  5. α · λ = α  6. α · Ø = Ø  7. α · (β · γ) = (α · β) · γ  8. α · (β + γ) =

αβ + αγ, (β + γ) · α = βα + γα 

9. λ* = λ  1O. Ø* =  

λ

11. α · α* = α* · α= α*  12. α* = α* · α* = (α*)* = (α α*)* 13. α* = λ + α · α*  14. (α + β)* = (α* + β*)*  15. (α + β)* = (α* · β*)* = (α* · β)* · α*  16. α · (β · α)* = (α · β)* · α  17. Si λЄ L(a), entonces a+λ=a 18. ( λ |expresión regular)=(expresión regular)* LENGUAJES  TEORIA DE LENGUAJES 

 

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EJERCICIOS DE EXPRESIONES REGULARES EJERCICIO 1:

Sea el vocabulario V = { a , b } y la expresión regular aa*bb*. Indicar el lenguaje que denota y algunas cadenas de dicho lenguaje. SOLUCION PROPIEDAD

α · α* = α*   La Expresión regular es : aa*bb*=a*b*   Algunas cadenas: ab, aab , aaaab , abbbb , abb.

El lenguaje que se describe es L= {cadenas que comienzan por una a y continúan con varias o ninguna a, y siguen con una b y continúan con varias o ninguna b}. L= a+ b+  EJERCICIO 2:

Sea el vocabulario V = {0,1} Hallar una expresión regular que denota el conjunto de cadenas que empiezan por uno y van seguidas por (01) cualquier número de veces o ninguna. SOLUCION

Las tiras son: 1 101 10101 1010101 101010101... La Expresión regular es: 1(0 | 1)* EJERCICIO 3: 

Dada la expresión regular (a | b)*, el lenguaje que denota es el que puede formar con todas las cadenas compuestas por a y b incluida la cadena vacía. Hallar algunas cadenas de la expresión regular (a | b)*

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SOLUCION

Cadenas de la expresión regular (a | b)* 

λ  aaa bbb aba abaaa abbaa EJERCICIO 4:

Sea el vocabulario {1,2, 3 }, la expresión regular (1|2)*3 hallar el conjunto de todas las cadenas formada por los símbolos 1 y 2, sucediéndose cualquier Nº de veces (y en cualquier orden), y siempre terminando la cadena en el símbolo 3. SOLUCION

3 13 123 11113 22213 23 223 113 121211223 111212213

EJERCICIO 5:

Hallar una Expresión regular para un lenguaje que tiene tiras a y bc SOLUCION

La Expresión regular de las tiras a y bc es:

a│bc = { a , bc }  TEORIA DE LENGUAJES  LENGUAJES 

 

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EJERCICIO 6:

Hallar una Expresión regular que denota el lenguaje compuesto por todas las cadenas cuya longitud es cero o un número par y están compuestas solamente por el símbolo a , el símbolo b o por símbolos a y b SOLUCION

La tira a no se considera porque nos piden tiras pares, por eso no se considera la tira a Tiras que forman el lenguaje

λ  aa bb ab ba aaba bbbb La Expresión regular es:

( (a│b) (a│b) )*  EJERCICIO 7:

Hallar las tiras de la Expresión regular (a│b│ab)*  SOLUCION

a b ab abab aab bbbbbab LENGUAJES  TEORIA DE LENGUAJES 

 

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EJERCICIO 8:

Hallar una Expresión regular, formadas por las cadenas de longitud 2, formadas con las cadenas a y b SOLUCION

Las tiras que forman el lenguaje son aa ab ba bb

La Expresión regular es:

(a│b)(a│b) 

EJERCICIO 9:  SOLUCION

Sea la Expresión regular  t = a + bc + b3a Cuál es el lenguaje descrito por t Que expresión regular corresponde al lenguaje universal sobre el alfabeto {a, b, c } SOLUCION

En primer lugar, esta no es estrictamente hablando una Expresión regular, ya que no se permite b3a Sin embargo, aceptamos como válida la expresión a + bc + b3a, como una simplificación simplific ación de la Expresión regular a + bc + bbba En ese caso, L (t) = {a; bc; bbba }, que como vemos es un lenguaje finito sobre el alfabeto {a; b; c}. La Expresión regular es : (a + b + c)* EJERCICIO 10:

Simplificar Simplific ar la Expresión regular t = a + a (b + aa) (b*aa)* b* + a (aa + b)* SOLUCION

 Aplicando las las propiedades de de las expresiones expresiones regulares, regulares, podemos obtener obtener una Expresión regular equivalente con tan solo 4 operadores: a + a (b + aa) (b*aa)* b* +a (aa + b)*

(Propiedad 15)

a + a (b + aa) (b + aa)* +a (aa + b)*

(Propiedad 8)

a( λ + (b + aa) (b + aa)* ) + a (aa + b)*

(Propiedad 13)

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a( b + aa )* + a (aa + b)*

(Propiedad 2)

a(aa + b)* + a (aa + b)*

(Propiedad 4)

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a(aa + b)* EJERCICIO 11:

Simplific ar la Expresión regular 1*01*0 (01*01*0 + 1)* 01* + 1* Simplificar 1* de forma que sólo aparezca un operador + SOLUCION

1*01*0 (01*01*0 + 1)* 01* + 1*

(Propiedad 15)

1*01*0 (1* • 01*01*0)* 1* • 01* + 1*

(Propiedad 16)

(1*01*0 • 1*0)* 1*01*01*01* + 1* ((1*01*01*0)* 1*01*01*0 + λ) 1* (1* • 01*01*0)* 1*

(Propiedad 8) (Propiedad 13) (Propiedad 15)

(1 + 01*01*0)* EJERCICIO 12:

Hallar una expresión regular que tiene un Lenguaje formado por las cadenas que terminan en 01 SOLUCION

{0,1}*. {01} ({0} U {1})*. {01} Expresión regular es : (0+1)*01 EJERCICIO 13:

Encontrar una expresión regular que represente represent e el lenguaje de todas las palabras que no contienen la cadena bc, definido sobre el alfabeto V= {a, b, c}. SOLUCION

Expresión regular es

:

c (b │ ac ) *

* *

EJERCICIO 14:

Hallar una expresión regular que represente Lenguaje formado por palabras de longitud par sobre a s y b s ’

’

SOLUCION

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{ aa , ab , ba , bb }* ( {aa} U {ab} U {ba} U {bb} )* Expresión regular es : (aa+ab+ba+bb)* EJERCICIO 15:

Hallar una expresión regular que denote el lenguaje consistente de: al menos dos ceros precedidos por cualquier número de 0 s seguidos por cualquier número de 1 s. ’

’

SOLUCION

Primero podemos desarrollar una Expresión regular para 0 y para 0 que denotan los lenguajes {0} y {0} respectivame r espectivamente. nte. Si concatenamos las dos expresiones expresiones 00, obtenemos el lenguaje {00}.

Veamos ahora como construir el resto, cualquier número de 0’s lo podemos escribir como 0 y lo mismo para cualquier número de 1 s , 1 y ahora debemos describir la concatenación 0 1 ’

La Expresión regular es:  0*1* 00

EJERCICIOS DE AUTOMATAS   1.Para los lo s lenguajes lenguaj es dados sobre Te = {a, b} construir constru ir una expresión regular de él y un Autómata Finito que lo acepte:

a) L = { w|w w|w tiene un numero par de de a′ s } b) L = { w|w tiene un numero impar de a′ s } c) L = { w|w tiene un numero múltiplo de 3 d de e a′ s } d ) L = { w| w| toda a en w está entre dos b′ s } e) L = { w| no no hay dos dos a′ s consecutivas en w } f ) L = { w| w| w no contiene la subpalabra aa ni bb bb }

SOLUCION

a)  Una  expresión regular  qu quee represente el lenguaje L es b∗(ab∗ab∗)∗   Autómata Finito es:  El diagrama de transición de un Autómata

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b)  Una expresión regular  para este lenguaje es: b∗ab∗(ab∗ab∗)∗.  El diagrama de transición de un Autómata Finito es: 

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c)  Una  expresión   regular   para  este  lenguaje   es:  b∗(ab∗ab∗a)∗.  El  diagrama  de  transición  de  un Autómata Finito es: 

expresión regular para este lenguaje es: b∗ ∪ b+(ab+)∗. El diagrama de transición transici ón de un  Autómata Autómata Finito Finito es:

d) Una

e) Una expresión regular para este lenguaje es: b∗(ab+)∗ ∪ b∗a(b+a)∗. El diagrama de transición de un Autómata Finito es:

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f) Una expresión regular para este lenguaje es: ǫ ∪ (b + ǫ)(ab)∗ ∪ (a + ǫ)(ba)∗. El diagrama de transición de un Autómata Finito es:

2.Para

los lenguajes dados sobre Te= {a,b} construir un AFD que lo acepte:

a) L = { w| w contiene un número impar de a′ s y un número par de b′ s }  b) L = { w| w contiene un número par de de a′ s y un número par de b′ s }  c) L = { w| w contiene un número impar de de a′ s y un número impar de b′ s }  d ) L = { w| w contiene un ab ab o ba como como subpalabras subpalabr as }  e) L = { w| w contiene un ab y ba como subpalabras subpalabr as }  f ) L = { w| w contiene un ab ab ó ba como como subpalabras, subpalabr as, pero no ambas }  LENGUAJES  TEORIA DE LENGUAJES 

 

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SOLUCION

finito es:  es:  a) Un diagrama de transición del autómata finito

b)Cambiando el estado de aceptación del autómata representado arriba obtenemos el au

tómata: 

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13  13 

c) De nuevo cambiando el estado de aceptación obtenemos el autómata correspondiente

 A continuación continuación un un diagrama de de transición de de un autómata finito determinista que ace d) A pta el lenguaje cuyas palabras contienen las subpalabras ab o ba o ambas  

e) Este autómata acepta las palabras que contienen las subpalabras ab y ba  

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ba,, pero no ambas  f) Este autómata acepta las palabras que contienen las subpalabras ab ó ba

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