2 Estadistica

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

 

?   Opía`mng 6. Ghgjgatds `g Gsto`êstmno.  Ohiuads outdrgs `gsnrmfga ho nmganmo gsto`êstmno ndjd ho tgnadhdiêo `gh jítd`d nmgatêlmnd, pugs gs ho gsto`êstmno y sus jítd`ds hos qug prdvgga o hds mavgstmio`drgs nda hos bgrrojmgatos poro prdfor sus bmpþtgsms `g trofocd (Udr gcgjphd Jdd` (?=75)). Ga igagroh, ho Gsto`êstmno gs `glmam`o ndjd ‘ho nmganmo `g gstmjor ho `mstrmfunmþa `g prdfofmhm`o` uao vormofhg foso`o ga rgpgtm`os ohgotdrmos `g `g ho jmsjo vormofhgohgotdrmo ohgotdrmo‚ (Ojgjmyo (?==0)). dfsgrvonmdags `g vormofhgs  Osê, ho gsto`êstmno gs uao nmganmo qug gjphgo ndacuatds `g `otds poro dftgagr o portmr `g ghhds malgrganmos (prdygnnmþa, o`mvmaoazo) sdfrg uao pdfhonmþa (vohdr rgoh). @g gsto ldrjo gh  prdfhgjo gsto`êstmnd   gs gandatror ho jgcdr prg`mnnmþa poro ua vohdr rgoh `gsndadnm`d poro gh mavgstmio`dr o portmr `g `otds rgndhgnto`ds (jugstro) `g uao pdfhonmþa. Ga gstg nopêtuhd rgposorgjds hds ndangptds fïsmnds `g gsto`êstmno y prdfofmhm`o` qug ads sgrïa ótmhgs o hd horid `g gstg hmfrd. ?.?   \ormofhgs, vgntdrgs y jotrmngs ohgotdrmos. Vgnugr`ga qug uao vormofhg sg `glmag ndjd uao joiamtu` qug pug`g tgagr ua vohdr nuohqumgro `g hds ndjprga`m`ds ga ua ndacuatd. Ga dtros pohofros, gs uao ‘hgtro‚ qug pug`g tdjor uad d `mlgrgatgs vohdrgs. Udr gcgjphd, sm ho vormofhg  x  nujphg ho smiumgatg nda`mnmþa > x  : 6 , gatdangs ho vormofhg agngsormojgatg tdjorï gh vohdr `g 6 >   ( x  : 6 > ).Dtrd gcgjphd, sm ho vormofhg  x  nujphg ho nda`mnmþa  x 6  : ? , gatdangs  x  pug`g tdjor hds vohdrgs `g ?  d ∖? .  Obdro ndasm`grgjds ho `glmamnmþa `g uao vormofhg ohgotdrmo , tojfmía ndadnm`o ndjd uao vormofhg gstdnïstmno. Wao vormofhg ohgotdrmo gs uao ‘hgtro‚ qug tdjo `mlgrgatgs vohdrgs no`o uad nda uao prdfofmhm`o` prgvmojgatg `glmam`o. Udr gcgjphd, tmrgjds uao jdag`o custo oh omrg, y sgo  R   ho vormofhg ohgotdrmo qug tdjo gh vohdr `g uad sm ho noro supgrmdr `g ho jdag`o gs sghhd, ga nosd ndatrormd ho vormofhg tdjo gh vohdr `g ngrd. Gs `gnmr noro ⎩? sm noro    R  : ⎢ sghhd hd ⎭5 sm sgh Gatdangs `mrgjds qug ho vormofhg ohgotdrmo  R    tmgag `ds pdsmfhgs rgohmzonmdags. ^m ho jdag`o gs uao jdag`o adrjoh, gxmstmrï miuoh prdfofmhm`o` qug ho vormofhg ohgotdrmo tdjg gh vohdr `g uad d ngrd, ga dtros pohofros tga`rgjds qug ho prdfofmhm`o` `g qug ho vormofhg ohgotdrmo sgo miuoh o uad gs 5.7, oh miuoh qug ho prdfofmhm`o` qug ho vormofhg ohgotdrmo sgo ngrd. Gstd sg pug`g ofrgvmor `g ho smiumgatg ldrjo3 U( R   : ?) : 5.7   y U ( R   : 5) : 5.7 .

Cuhmd Nísor Ohdasd N

Wamvgrsm`o` MNG^M

cnohdasdEmngsm.g`u.nd

?

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

^m gh ndacuatd `g vohdrgs qug tdjo ho vormofhg ohgotdrmo gs ua ndacuatd lmamtd d malmamtd ndatofhg, gatdangs ho vormofhg gstdnïstmno sg `gadjmao uao vormofhg ohgotdrmo `msnrgto . Udr dtrd ho`d, sm hos pdsmfhgs rgohmzonmdags `g ho vormofhg ohgotdrmo ndrrgspda`g o ua ndacuatd `g rgohmzonmdags malmamtojgatg `mvmsmfhg y pdr toatd mjpdsmfhg `g ndator, gatdangs ho vormofhg gstdnïstmno sg ndadng ndjd uao vormofhg ohgotdrmo ndatmauo . Ga igagroh, sm hos pdsmfhgs rgohmzonmdags tdjo vohdrgs `msnrgtds gatdangs gstojds bofhoa`d `g uao vormofhg gstdnïstmno `msnrgto y ga nosd qug hds pdsmfhgs vohdrgs sgoa portg `g ua roaid ndatmaud `g vohdrgs gatdangs gstojds bofhoa`d `g uao vormofhg gstdnïstmno ndatmauo. Wa vgntdr ohgotdrmd   R   gs ua vgntdr nuyds ghgjgatds sda vormofhgs ohgotdrmos yo sgoa  ndatmauos d `msnrgtos, gs `gnmr, ⎯ R ? ⎠

⎦ R  ⎧ 6  R  : ⎦ ⎧ ,  ⎦  ⎧ ⎦ ⎧ ⎦⎮ R a ⎧⎬

(O6.?)

`da`g  R m  poro m : ?,6,..., a  rgprgsgatoa vormofhgs ohgotdrmos. Oaïhdiojgatg, uao jotrmz ohgotdrmo gs uao jotrmz nuyds ghgjgatds sda vormofhgs ohgotdrmos. Gs mjpdrtoatg oadtor qug hds gndadjmstos matgrprgtojds ohiuads ospgntds `g ho gndadjêo ndjd rgsuhto`ds `g ua prdngsd gstdnïstmnd. Ga ho prïntmno dfsgrvojds ua óamnd vohdr `g uao vormofhg ndjd gh UMF, gstg vohdr sg matgrprgto ndjd ho rgohmzonmþa `g uao vormofhg ohgotdrmo `gspuís `g qug hds ‘`o`ds‚ `g ho gndadjêo yo boa sm`d tmro`ds, gs `gnmr hd qug dfsgrvo gh mavgstmio`dr gs ho rgohmzonmþa `g ua gvgatd ohgotdrmd. ?.6  @mstrmfunmþa `g prdfofmhm`o` Wao `mstrmfunmþa `g prdfofmhm`o` `g uao vormofhg ohgotdrmo `msnrgto , d tojfmía ndadnm`o ndjd ho luanmþa `g `gasm`o` `msnrgto,  l ( x )  gs uao hmsto `g hos prdfofmhm`o`gs osdnmo`os o hos `mlgrgatgs rgohmzonmdags,  x ,  qug pug`g tdjor uao vormofhg ohgotdrmo `msnrgto  R  . Uoro uao vormofhg ohgotdrmo `msnrgto  R   tgagjds qug  l ( x ) : U ( R : x )  

(O6.6)

`da`g  l ( x )  `gfg nujphmr qug3

•  • 

5 ≠  l ( x ) ≠ ?  

∟  l ( x )  : ?   m

td`d  xm

Ga gh nosd `g uao vormofhg ohgotdrmo ndatmauo, gstï pug`g tdjor nuohqumgr vohdr `g ua ndacuatd malmamtd `g vohdrgs. Osê, gs mjpdsmfhg osmiaor uao prdfofmhm`o` poro no`o uad `g hds vohdrgs pdsmfhgs `g uao vormofhg ohgotdrmo, pugs ho prdfofmhm`o` `g qug uao vormofhg ndatmauo sgo gxontojgatg miuoh o ua óamnd vohdr gs ngrd. Udr toatd ga gh nosd Cuhmd Nísor Ohdasd N

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6

   

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

`g vormofhgs ohgotdrmos ndatmauos gs agngsormd ua galdqug `mlgrgatg oh sgium`d nda hos vormofhgs ohgotdrmos `msnrgtos, ga gstg nosd `glmamrgjds uao luanmþa qug ads pgrjmto ndadngr ho prdfofmhm`o` `g dnurrganmo `g ua matgrvohd y ad ua puatd poro hos vormofhgs ohgotdrmos ndatmauos. Gcgjphd O6.? ^updaio qug hoazojds ua `o`d y `glmamjds ho vormofhg ohgotdrmo Y  ndjd gh vohdr `g ho noro supgrmdr `gh `o`d. Ganugatrg ho `mstrmfunmþa `g prdfofmhm`o` `g Y . Vgspugsto3  ^updamga`d qug sg troto `g ua `o`d sma trund, no`o uao `g hos < noros tmgag ho

jmsjo prdfofmhm`o` `g rgohmzonmþa, ? < . Udr toatd, ho `mstrmfunmþa `g prdfofmhm`o` `g Y  gs3

⎩? ⎣< ⎣ ⎣? ⎣< ⎣? ⎣ ⎣< ⎣ U (Y : w ) : ⎢ ? ⎣< ⎣ ⎣? ⎣< ⎣? ⎣ ⎣< ⎣⎭ 5

^m w : ? ^m w : 6

  w:> ^m  

^m w : 0

  w:7 ^m   w:< ^m d.w.

`da`g d. w.  smiamlmno ga dtrds nosds (`gh maihís dtbgrwmsg). Wao ldrjo ndrto `g rgsnrmfmr gstd gs

? <

U (Y : w ) :   M  ( w :?,6,>,0,7,)

o

`da`g  l ( x )  `gfg nujphmr qug3

•   l ( x )  ≧ 5  

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>

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno ∑

• 

∫  l ( x ) `x : ?   ∖∑

Gs `gnmr, ho luanmþa `g `gasm`o` ndatmauo pgrjmtg ndadngr ho prdfofmhm`o` `g qug uao vormofhg ohgotdrmo ndatmauo sg ganugatrg ga ua `gtgrjmao`d matgrvohd. Gcgjphd O6.6 Wa ndangsmdaormd `g outdjdtdrgs, `gspuís `g ndatrotor ua gstu`md, gstï sgiurd qug ho luanmþa `g `mstrmfunmþa `g su ndasujd `g norfuroatg jgasuoh gsto `o`o pdr

⎩ ? sm ?5, 555 ≠ x ≠ 75, 555 ⎣ .  l ( x ) : ⎢ 05,555 ⎣ 5 d. w. ⎭ `da`g  x  ndrrgspda`g o ho noatm`o` `g hmtrds `g norfuroatg glgntmvojgatg gjphgo`ds ga gh jgs. Gsto luanmþa `g `mstrmfunmþa sg pug`g irolmnor `g ho smiumgatg ldrjo.  l(x)

? 05,5555

?5,555

75,555

Ganugatrg ho prdfofmhm`o` `g qug gstg jgs sgoa gjphgo`ds3 o) gxontojgatg >5,555 hmtrds, f)  pdr hd jgads 05,555, 05,555, y n) gatrg 65,555 y >5,555. Vgspugsto3  Gsto luanmþa `g `mstrmfunmþa sg `gadjmao uao `mstrmfunmþa uamldrjg. O

ndatmauonmþa sg rgspda`ga hos prgiuatos3 >5,555

o)  @gfg sgr nhord qug U R

: >5, 555 : U >5, 555 ≠ R ≠ >5, 555 :

(

)

(

)

l x `x : 5 .

∫

>5,555

( )

Osê, ho prdfofmhm`o` `g qug gh ndasujd sgo gxontojgatg >5,555 hmtrds gs ngrd. 05,555

U ( R ≠ 05, 555 ) :

∫ 5

l ( x ) `x :

> 0

: .97 . Udr toatd, ho prdfofmhm`o` `g qug gh ndasujd sgo

`g pdr hd jgads 05,555 hmtrds gs `g 5.97. Irïlmnojgatg gstd sg pug`g rgprgsgator pdr gh ïrgo sdjfrgo`o `gh smiumgatg irïlmnd.

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0

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

Gcgjphd O6.6 (Ndat.)  l(x)

? 05,5555

05,555

?5,555

75,555

 x

>5,555

 f)  U ( 65, 555 ≠ R

≠ >5, 555 ) :

∫

l ( x ) `x : .67 , irïlmnojgatg3

65,555

 l(x)

? 05,5555

?5,555

65,555

05,555

75,555

 x

?.>   \ohdr gspgro`d `g uao vormofhg ohgotdrmo y dtrds jdjgatds `g hos vormofhgs ohgotdrmos. Gvgatuohjgatg, hos `mstrmfunmdags `g prdfofmhm`o` sg pug`ga `gsnrmfmr pdr jg`md `g sus jdjgatds. Gh prmjgr jdjgatd `g uao `mstrmfunmþa sg ndadng ndjd gh vohdr gspgro`d d gspgroazo jotgjïtmno `g uao vormofhg ohgotdrmo. Gh vohdr gspgro`d `g uao vormofhg ohgotdrmo ndrrgspda`g o ho jg`mo pdfhonmdaoh `g uao vormofhg ohgotdrmo y sg matgrprgto ndjd gh vohdr prdjg`md qug sg gspgro `g uao vormofhg ohgotdrmo nuoa`d sg dftmgag nuohqumgr jugstro `g gsto vormofhg ohgotdrmo. Gh vohdr gspgro`d `g uao vormofhg ohgotdrmo `msnrgto `gadto`d pdr  G [ R Z  sg `glmag ndjd  G [ R Z :

∟ 

xm U ( R : xm ) :

td`d   xm

Cuhmd Nísor Ohdasd N

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∟

xm l ( xm ) .

(O6.0)

td`d xm

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7

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

Gcgjphd O6.> Ndatmauoa`d nda gh Gcgjphd O6.?, ganugatrg gh vohdr gspgro`d `g Y . Vgspugsto3  @g onugr`d o ho `glmamnmþa,  G [Y Z :

<

<

6?

:

<

9

<

?

∟  w U (Y : w ) : ∟ w < : < ∟ w   m

m

m :?

:

?

m

m :?

m

m :?

: >.7 . Osê ga prdjg`md sg gspgro qug ho vormofhg ohgotdrmo tdjg ua vohdr `g >.7

6

Gh vohdr gspgro`d `g uao vormofhg ohgotdrmo ndatmauo, tojfmía `gadto`d pdr  G [ R Z   sg `glmag ndjd ∑

 G [ R Z :

∫  xl ( x ) `x  

(O6.7)

∖∑

Gcgjphd O6.0 Ndatmauoa`d nda gh Gcgjphd O6.6, ganugatrg gh vohdr gspgro`d `gh ndasujd `g norfuroatg jgasuoh. ∑

75,555

∫

∫

? Vgspugsto3 @g onugr`d o ho `glmamnmþa, tgagjds qug  G [ R Z :   xl ( x ) `x : x `x   05,555 ∖∑ ?5,555 75,555

⎯ x 6 ⎠ ? ?52 ?5 0 6 6 6 6 ⎯75, 555 ∖ ?5, 555 ⎠⎬ : ⎯7 ∖ ? ⎠⎬ : : : 60 : >5, 555 . ⎦ ⎧ 05, 555 ⎮ 6 ⎬?5,555   2 ⋇?5 0 ⎮ 2 ⋇?50 ⎮ 2 ?

Gs `gnmr gh ndasujd jgasuoh gspgro`d `g norfuroatg gs `g >5,555 uam`o`gs.

Gh vohdr gspgro`d tojfmía gs ndadnm`d ndjd gh dpgro`dr `g gspgroazo jotgjïtmno, gstg dpgro`dr jotgjïtmnd gs ua dpgro`dr hmagoh nuyos prmanmpohgs norontgrêstmnos sda3

•   G [ n Z : n , `da`g n  gs uao ndastoatg, d uao vormofhg ad gstdnïstmno. •   G [ oR + f Z : oG [ R Z + f , `da`g o   y f   sda ndastoatgs y  R    gs uao vormofhg ohgotdrmo. •  Ga igagroh  G ⎯⎮ i ( R ) ⎠⎬ ≥ i ( G ( R ) ) , `da`g i  ( • )   gs nuohqumgr luanmþa. Ho óamno gxngpnmþa `g gstd gs nuoa`d i (  • )  gs uao luanmþa hmagoh.

•   G [ o?R ? + o6 R 6 + ... + oa R a Z : o?G [ R Z + o6 G [ R 6 Z + ... + oa G [ R a Z , `da`g no`o uad `g hds

om   y  R m   ( m : ?,6,..., a )

sda ndastoatgs y vormofhgs ohgotdrmo,

rgspgntmvojgatg.

Cuhmd Nísor Ohdasd N

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cnohdasdEmngsm.g`u.nd

<

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

⎩ ∟ i ( xm ) l ( xm ) sm R gs   `msnrgto ⎣⎣td`d x   •   G ⎯⎮ i ( R ) ⎠⎬ :  ⎢ ∑ ⎣ ∫ i ( x ) l ( x ) `x sm R  gs ndatmauo ⎣⎭ ∖∑ m

Ndjd sg jganmdaþ oatgrmdrjgatg,  G [ R Z   sg ndadng ndjd gh prmjgr jdjgatd `g uao vormofhg ohgotdrmo y tojfmía sg `gadto ndjd ·  R  , gs `gnmr ho jg`mo pdfhonmdaoh `g  R  . Gh m-ísmjd jdjgatd   (ohrg`g`dr `gh drmiga) `g uao vormofhg ohgotdrmo, · mt , R  , gstï m `glmam`d pdr · mt, R  :    G ⎯⎮ R  ⎠⎬ .

?.0  Ma`gpga`ganmo hmagoh @ds vormofhgs ohgotdrmos,  R    y ] , sg ndasm`groa gsto`êstmnojgatg ma`gpga`mgatgs, u drtdidaohgs, sm y sdhojgatg sm (O6.) qug 6

6 \or [ R Z : G ⎯⎮ R ⎠⎬ ∖ ( G [ R Z ) ;

(O6.=)

gstg rgsuhto`d pgrjmtg ga ho prïntmno oimhmzor gh nïhnuhd `g ho vormoazo `g nuohqumgr vormofhg ohgotdrmo. Gcgjphd O6.7 Ndatmauoa`d nda gh Gcgjphd O6.?, nohnuhg ho vormoazo `g Y . Vgspugsto3 ^miumga`d ho gxprgsmþa (O6.=) tgagjds qug \or [Y Z : G ⎯⎮Y

6

6

⎠⎬ ∖ ( G [Y Z ) . Ga gh 6

6 9 ⎛9⎑ 6 Gcgjphd O6.> gandatrojds qug  G [Y Z  : . Vgnugr`g qug  G ⎯⎮Y ⎠⎬ ≥ ⎘ ⎔ : ( G [Y Z) . Osê, 6 ⎚6⎥

gs agngsormd nohnuhor  G ⎯⎮Y 

⎠⎬ , ophmnoa`d augvojgatg ho `glmamnmþa `g vohdr gspgro`d `g uao

luanmþa, tgagjds qug  G ⎮⎯Y

< < < 6 6 6 ⎠⎬ :  ∟ ( wm ) U (Y : wm ) : ∟ ( wm ) ? : ? ∟ ( wm ) : =? . < < m :? < m :? m :?

6

6

6

=  ? ⎛ 9 ⎑ >7 ∖⎘ ⎔ : . Udr toatd, \or [Y Z : < ⎚6⎥ ?6

Hos prmanmpohgs prdpmg`o`gs `g ho vormoazo sda3 •  \or [n Z  : 5 , `da`g n  gs uao ndastoatg, d uao vormofhg ad gstdnïstmno.

•  \or [ oR + f Z : o 6\or [ R Z  , `da`g o   y f   sda ndastoatgs y  R    gs uao vormofhg ohgotdrmo. •  \or [ oR + f] Z : o 6\or [ R Z + f 6\or [] Z + 6ofNdv [ R , ]  Z , `da`g o   y f   sda ndastoatgs y  R    y ]   sda vormofhgs ohgotdrmos. (ga ho prþxmjo sgnnmþa rgposorgjds gh ndangptd `g Ndv ).

Ho vormoazo `g uao vormofhg ohgotdrmo tojfmía gs ndadnm`o ndjd gh sgiua`d jdjgatd ohrg`g`dr `g ho jg`mo. Ga igagroh, gh m-ísmjd jdjgatd ohrg`g`dr `g ho jg`mo `g m uao vormofhg ohgotdrmo , `gadto`o pdr ·m :  G ⎯( R  ∖ · ) ⎠ .

⎮

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⎬

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2

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

Gcgjphd O6.< Ndatmauoa`d nda gh Gcgjphd O6.6, ganugatrg ho vormoazo `gh ndasujd `g norfuroatg jgasuoh. Vgspugsto3  ^mjmhorjgatg oh nosd `g uao vormofhg gstdnïstmno `msnrgto, tgagjds qug 6

6 \or [ R Z : G ⎯⎮ R ⎠⎬ ∖ ( G [ R Z ) , oatgs gandatrojds qug  G [ R Z  : > ⋇?5 0 . Obdro agngsmtojds

∑ 6

gandatror  G ⎮⎯ R 

6

⎬⎠ ; gstg vohdr gspgro`d gs  G ⎮⎯ R

75,555 6

⎬⎠ :  ∖∑ ∫

x l ( x ) `x :

6

?

x 05,555 `x   ?5,555

∫

75,555

⎯ x> ⎠ ? ?5?6 ?52 >? 2 > > > > ⎯ ⎠ ⎯ ⎠ : :  ∖ : ∖ : : ⋇ ?5 . 7 5 , 5 5 5 ? 5 , 5 5 5 7 ? ? 6 0 ⎦ ⎧ ⎬ ?6 ⋇?5 0 ⎮ ⎬ ?6 05, 555 ⎮ > ⎬?5,555 ?6 ⋇?50 ⎮ > ?

Udr toatd tgagjds qug \or [ R Z : G ⎮⎯ R

6

6

>?

0

2 2 2 ⎬⎠ ∖ ( G [ R Z ) : > ⋇?5 ∖ = ⋇?5 : > ⋇?5 . Gs `gnmr ho

vormoazo `gh ndasujd jgasuoh gs `g ?>>,>>>,>>>.>>.

Gh tgrngrd y nuortd jdjgatd ohrg`g`dr `g ho jg`mo sg ndadnga ndjd ho osmjgtrêo (skgwagss ga maihís) y nurtdsms, rgspgntmvojgatg. Wao jg`m`o `g osmjgtrêo ndjóajgatg gjphgo`o gs gh ndglmnmgatg `g osmjgtrêo `glmam`d ndjd3   ·  (O6.?5)  O : >> . ώ  Dtrd gsto`êstmnd ndjóajgatg gjphgo`d poro `gsnrmfmr qug toa ophoao`o d ‘pmnu`o‚ gs uao `mstrmfunmþa, gs gh ndglmnmgatg `g nurtdsms qug sg `glmag ndjd3   ·  N  : 00 . (O6.??) ώ 

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=

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

  Pofho ?. Matgrprgtonmþa `gh Ndglmnmgatg `g ^mjgtrêo  O 4 5 Matgrprgtonmþ Irïlmnd a 1 Osmjgtrêo o ho  l(x) ? `grgnbo    x

:

^mjgtrêo

 l(x)

8

Osmjgtrêo o ho mzqumgr`o

 l(x)

 x

Pofho 6. Matgrprgtonmþa `gh Ndglmnmgatg `g Nurtdsms N4> 1

Matgrprgtonmþa @mstrmfunmþa photmnórtmnos (pmnu`o, oanbo d `g ndhos ndrtos)

Irïlmnd  l(x)

 x

:

@mstrmfunmþa jgsdnórtmno Gc.3 `mstrmfunmþa adrjoh)

(pdr

 l(x)

 x

8

@mstrmfunmþa Hgptdnurtmno (phoao, `ghio`o d `g ndhos horios)

 l(x)

?.) Ndv [ R , ] Z : G [ R] Z ∖ G [ R Z G [] Z  . ?

 Ga dtros pohofros, ‘ndho iroa`g‚ `g ho `mstrmfunmþa gsto bonmo ho `grgnbo.

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?5

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

  Ho gxprgsmþa (O6.?>) oyu`o o gatga`gr ho utmhm`o` `g ho ndvormoazo gatrg `ds vormofhgs ohgotdrmos. Adtga qug ga nosd `g qug hos vormofhgs gstdnïstmnos  R    y ]   sgoa ma`gpga`mgatgs, sg tga`rï qug  G [ R] Z : G [ R Z G [] Z . Osê, Ndv[ R , ] Z  : 5 . Udr toatd ho ndvormoazo gatrg `ds vormofhgs ohgotdrmos sgrï ngrd sm ad gxmstg rghonmþa hmagoh (ma`gpganmo) gatrg hos vormofhgs. Ga nosd `g qug oh jmsjd tmgjpd qug uao rgohmzonmþa `g ho vormofhg ohgotdrmo  R   gstï pdr ganmjo `g su jg`mo, ho rgohmzonmþa `g ho vormofhg gstdnïstmno ]  tojfmía gstï pdr ganmjo `g su jg`mo, gatdangs ho ndvormoazo `g gstos `ds vormofhgs sgrï pdsmtmvo. ^m nuoa`d ho rgohmzonmþa `g uao vormofhg ohgotdrmo gstï pdr ganmjo `g su jg`mo y ho rgohmzonmþa `g ho dtro vormofhg gstï pdr `gfocd `g ho jg`mo, gatdangs ho ndvormoazo sgrï agiotmvo. Wao mjpdrtoatg prdpmg`o` `g ho ndvormoazo gs3 •  Ndv [ o + fR , n + `] Z : f` Ndv ( R , ]  ) , `da`g o , f , n , y `   sda ndastoatgs, y  R  y ]  sda vormofhgs ohgotdrmos.

Ndjd sg jganmdaþ oatgrmdrjgatg, ho ndvormoazo gatrg `ds vormofhgs gstdnïstmnos jm`g ho rghonmþa hmagoh gatrg hos vormofhgs, pgrd ísto `gpga`g `g hos uam`o`gs ga qug gstïa jg`m`os  R    y ] . Uoro tgagr uao jg`m`o `gh iro`dy `g gatrg `ds vormofhgs ohgotdrmos qug ad `gpga`o `g hos uam`o`gs pdr`gpga`ganmo toatd pug`o hmagoh sgr ndjporo`o, sg gjphgo gh ndglmnmgatg `g ndrrghonmþa gatrg `ds vormofhgs ohgotdrmos  R   y ] . Ho ndrrghonmþa gatrg `ds vormofhgs ohgotdrmos 6, `gadto`d pdr  Ϗ  , gstï `glmam`o pdr3

:  Ϗ   :

Ndv( R , ] ) \or ( R ) \or (] )

.

(O6.?0)

Gs juy lïnmh jdstror qug 5 ≠  Ϗ  ≠ ?  (vgr gcgrnmnmd 9). Ho ndrrghonmþa gatrg `ds vormofhgs ohgotdrmos tmgag uao matgrprgtonmþa juy sganmhho; pdr gcgjphd, uao ndrrghonmþa `g ?/-? gatrg hos vormofhgs ohgotdrmos  R  y ]   mjphmno uao rghonmþa hmagoh pgrlgnto y pdsmtmvo/agiotmvo gatrg hos `ds vormofhgs; jmgatros qug uao ndrrghonmþa `g ngrd mjphmno qug ad gxmstg rghonmþa hmagoh gatrg hos vormofhgs.

6

 Pojfmía ndadnm`d ndjd gh ndglmnmgatg `g ndrrghonmþa.

Cuhmd Nísor Ohdasd N

Wamvgrsm`o` MNG^M

cnohdasdEmngsm.g`u.nd

??

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

  Irïlmnd O6.?. @moirojos `g `mspgrsmþa y sus ndrrgspda`mgatgs ndrrghonmdags. y

y

y

x

x

x

 Ϗ :-? :-?

 Ϗ :? :?

 Ϗ :5 :5

y

y

y

x

x

 Ϗ :5.= :5.=

 Ϗ :-5.2 :-5.2

x

 Ϗ :5 :5

?.9  Gspgroazo y vormoazo `g vgntdrgs ohgotdrmds. Ndjd sg jganmdaþ oatgrmdrjgatg, ua vgntdr ohgotdrmd gs ua vgntdr nuyds ghgjgatds sda td`ds vormofhgs ohgotdrmos. Udr toatd, gh vohdr gspgro`d `g ua vgntdr ohgotdrmd ndrrgspda`g o ua vgntdr nuyds ghgjgatds sda hds vohdrgs gspgro`ds `g no`o uao `g hos vormofhgs ohgotdrmos qug ndaldrjoa gh vgntdr gstdnïstmnd. Ga dtros pohofros, sgo  R    ua  vgntdr ohgotdrmd, gatdangs ⎯ ⎯ R ? ⎠ ⎠  ⎯ G [ R ? Z ⎠ ⎯ · ? ⎠

⎦⎦ ⎧⎧ ⎦ ⎧ ⎦ ⎧  R 6 ⎧ ⎦ G [ R 6 Z⎧ ·  ⎦  G [ R Z : G  ⎦ ⎧ : : ⎦ 6 ⎧ : ·  . ⎦⎦  ⎧⎧ ⎦  ⎧ ⎦  ⎧  ⎧ ⎦ ⎧ ⎦⎦ ⎧⎧ ⎦  R G R  [ Z ⎦ ⎧ ⎧ ⎮⎦ · a ⎬⎧ a ⎬ ⎮⎦ ⎮ a ⎬ ⎬⎧   ⎮⎦

(O6.?7)

Gs juy lïnmh gxtga`gr gsto m`go o gandatror gh vohdr gspgro`d `g uao jotrmz ohgotdrmo. ^go  R aÙj  uao jotrmz ohgotdrmd `g `mjgasmdags a Ù j , gatdangs ⎯ G [ R ?? Z G [ R ?6 Z  G [ R ?a Z ⎠

⎦ ⎧  G [ R 6? Z G [ R 66 Z G [ R 6 a Z⎧ ⎦  G [ R aÙj Z :   ⎦  ⎧    ⎦ ⎧  G R G R G R   [ Z [ Z [ Z ⎧ a? a6 aa ⎬ ⎮⎦

 Oaïhdiojgatg oh nosd `g uao vormofhg vormofh g ohgotdrmo, ho vormoazo `g uao vormofhg v ormofhg ohgotdrmo ohgotdrm o sg `glmag ndjd3 P  P P  \or [ R Z :  G ⎯( R ∖ · ) ( R ∖ · ) ⎠ :   G ⎮⎯ RR  ⎬⎠ ∖ ··     ⎮ ⎬    

(O6.?

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

?.2  Vgsuhto`ds mjpdrtoatgs rghonmdao`ds nda `mstrmfunmdags `g prdfofmhm`o` ^ma `u`o, ho `mstrmfunmþa `g prdfofmhm`o` jïs gjphgo`o y ndjóa gs ho `mstrmfunmþa adrjoh. Wao vormofhg ohgotdrmo  R   ndatmauo smiug uao `mstrmfunmþa adrjoh nda jg`mo ·    y vormoazo ώ 6  sm y sdhojgatg sm su luanmþa `g `gasm`o` ndrrgspda`g o3 ?

6

 l x · , ώ 

(

6 ? ⎯ ( x ∖ · ) ⎠ ⎧ ∖ ⎦ 6 ⎦ ώ 6 ⎧ ⎮ ⎬

):ώ

.

6υ  g

(O6.?=)

Ga gstg nosd, pdr smjphmnm`o` sg gsnrmfg  R ∸ A (  · , ώ 6 )   (sg hgg  R    gstï `mstrmfum`o adrjohjgatg nda jg`mo ·    y vormoazo ώ 6 ). Ga portmnuhor, ho `mstrmfunmþa  A ( 5,?)   sg ndadng ndjd ho `mstrmfunmþa gstïa`or adrjoh, uao vormofhg qug smiug gsto `mstrmfunmþa ndjóajgatg sg `gadto pdr  S .  O ndatmauonmþa ndasm`grorgjds vormds rgsuhto`ds mjpdrtoatgs qug mavdhunroa vormofhgs ohgotdrmos qug sg `mstrmfuyga adrjohjgatg3  R  ∖ ·  •  ^m  R ~ A (  · , ώ 6 ) , gatdangs  S : ~ A ( 5,?) . ώ  •  ^m ] ~ A ( 5,?) , gatdangs ] 6  smiug uao `mstrmfunmþa Nbm-nuo`ro`d nda ua iro`d `g hmfgrto`, `gadto`d pdr ] 6  ~ ω 6(?) .

•  ^m ]m ~ A ( 5,?)  poro m : ?, 6,..., a , gatdangs

a

∟ (]  )   ~  ω  ( )   6

m

m :?

6

 

a

6

⎛ ]  ⎑ •  ^m  R m ~ A (  5,ώ  )  poro m : ?, 6,..., a , gatdangs ∟ ⎘ m ⎔ ~  ω 6( a )   m :? ⎚ ώ  ⎥ a

6

•  ^m  R ?  ~ ω 6( a? ) ,  R 6  ~ ω 6( a6 )   y o`mnmdaohjgatg gstos `ds vormofhgs ohgotdrmos sda ma`gpga`mgatgs, gatdangs  R ? + R 6  ~ ω 6( a? + a6 )  

•  ^m  R ?  ~ ω 6( a? ) ,  R 6  ~ ω 6( a6 )   y o`mnmdaohjgatg gstos `ds vormofhgs ohgotdrmos sda  R ? a?

ma`gpga`mgatgs, gatdangs  R 6 a6   smiug uao `mstrmfunmþa L   nda a?   iro`ds `g hmfgrto` ga gh aujgro`dr y a6   iro`ds `g hmfgrto` ga gh `gadjmao`dr >  (uao ofrgvmoturo poro gstd gs L ( a? ,a6 ) )

>

  Ho `mstrmfunmþa L tojfmía gs ndadnm`o ndjd ho `mstrmfunmþa L `g ^ag`gndr ga Bdadr o Igrig Y. ^ag`gndr uads `g hds po`rgs `g ho gsto`êstmno jd`grao.

Cuhmd Nísor Ohdasd N

Wamvgrsm`o` MNG^M

cnohdasdEmngsm.g`u.nd

?0

   

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

•  ^m  R ~ A (  5,ώ 6 ) , ]  ~  ω 6( a )   y  R    y ]   sda ma`gpga`mgatgs, gatdangs

 R 

 

] a

smiug uao `mstrmfunmþa t `g ^tu`gat 0  nda a  iro`ds `g hmfgrto`, `gadto`o pdr t ( a ) .

•  ^m  R ~ A a ( 5, ή ) , roa ( O ) : k   y  Oή  gs m`gjpdtgatg, gatdangs  R P  OR  ∸  ω k 6 . 6

•  ^m Y ~ t ( a) , gatdangs Y ~ L (?,a ) . ?.=  @mstrmfunmþa ndacuato `g prdfofmhm`o` Ho luanmþa ndacuato `g `mstrmfunmþa  poro  poro `ds vormofhgs ohgotdrmos  R   y ] , `gadto`o pdr  l ( x, y ) , sg `glmag ndjd3

⎩ f `  ⎣⎣ ∫ ∫  l ( x, y ) `y`x sm R y ]  ndatmauos (O6.65)  l ( x, y ) : U ( o ≠ x ≠ f, n ≠ y ≠ ` ) : ⎢ o n ⎣ ∟ ∟ l ( x,y ) sm R y ]  `msnrgtos ⎣⎭o ≠ x ≠ f n≠ y ≠ `  Pd`o luanmþa ndacuato `g `mstrmfunmþa `gfg nujphmr3  l ( x, y )  ≧ 5   ∑ ∑

∫ ∫  l ( x, y ) `y`x : ?   sm  R    y ]   sda vormofhgs ohgotdrmos ∟ ∟ l ( x,y ) : ?  sm  R   y ]  sda vormofhgs ohgotdrmos `msnrgtos

ndatmauos,

d

∖∑ ∖∑

 Pd`d x Pd`d y

Gs mjpdrtoatg oadtor, qug ga gstg nosd gh vohdr gspgro`d `g nuohqumgr luanmþa i ( x, y )   gstï `o`d pdr3

⎩∑ ∑ ⎣⎣ ∫ ∫ i ( x, y ) l ( x, y ) `y`x sm R y ]  ndatmauos   (O6.6?)  G ⎯⎮ i ( x, y ) ⎠⎬ :  ⎢ ∖∑ ∖∑ ⎣⎣  Pd`d ∟y i ( x, y ) l ( x,y ) sm R y ] ` msnrgtos ⎭ ∟ x Pd`d Adtga qug gsto m`go gs lïnmhjgatg gxtgasmfhg o jïs `g `ds vormofhgs ohgotdrmos, ga gsg nosd tga`rgjds qug ho luanmþa `g `mstrmfunmþa poro hos vormofhgs ohgotdrmos  R ? , R 6 , ...., R a   sgrï  l ( x? , x6 , ...., xa ) . ] td`ds hds rgsuhto`ds `g hos `mstrmfunmdags fmvormo`os 7 sg pug`ga gxtga`gr oh nosd `g a  vormofhgs ohgotdrmos.

0

 D smjphgjgatg uao `mstrmfunmþa t.  ^g gatmga`g pdr `mstrmfunmþa fmvormo`o oqughho luanmþa `g `mstrmfunmþa qug `gtgrjmao ho prdfofmhm`o` `g qug `ds vormofhgs ohgotdrmos gstía ga ua `gtgrjmao`d matgrvohd.

7

Cuhmd Nísor Ohdasd N

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?7

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

  Gcgjphd O6.9 @mstrmfunmþa Adrjoh Fmvormo`o. Ho `mstrmfunmþa fmvormo`o adrjoh gsto `glmam`o ndjd

?  6 6 :  l x y g  R ] R ]  6 · · ώ ώ Ϗ   , , , , , 6υώ R ώ ]  ? ∖ Ϗ  

(

6 ⎩ ⎯ ( x ∖ · )6 ( x ∖ · R )( y ∖ ·] ) ( y ∖ ·]  ) ? ⎣  R ⎦ ∖ 6 Ϗ  + ⎢∖ 6 6 6 ώ R ώ ]  ώ ]  ⎣⎭ 6(?∖ Ϗ  ) ⎦⎮ ώ R

⎠  ⎫⎣ ⎧⎨ ⎧⎬ ⎣ ⎪

 

)

6  R   ndrrgspda`g

`da`g ·  R   y ώ 

o ho jg`mo y vormoazo `g  R  , rgspgntmvojgatg. ^mjmhorjgatg, · ]   

6

y ώ ]   ndrrgspda`g o ho jg`mo y vormoazo `g ] , rgspgntmvojgatg. Lmaohjgatg,  Ϗ   ndrrgspda`g o ho ndrrghonmþa gatrg hos vormofhgs ohgotdrmos  R   y ] . Irïlmnds `g ho @mstrmfunmþa Adrjoh Fmvormo`o nda `mlgrgatgs vohdrgs `g Ndrrghonmþa

 l ( x, y 5, 5, = 0 , = 0 , 5 )  

 l ( x, y 5, 5, = 0 , = 0 , > 7)  

 

^

 l ( x, y 5, 5, =  0 , = 0 , ∖> 7 )  

^

 l ( x, y 5, 5, =  0 , = 0 , ∖?)  

^

Cuhmd Nísor Ohdasd N

 

^

 l ( x, y 5, 5, =  0 , = 0 , ∖?)  

 

^

 

 

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?<

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

Gcgjphd O6.2 @mstrmfunmþa Adrjoh Juhtmvormo`o. Wao igagrohmzonmþa `g ho `mstrmfunmþa fmvormo`o adrjoh prgsgato`o ga gh Gcgjphd O6.9. gs ho `mstrmfunmþa Adrjoh Juhtmvormo`o. ^m ndasm`grojds ua vgntdr ohgotdrmd  R    `g tojoÿd a ,  gatdangs  R   gstorï `mstrmfum`d adrjohjgatg sm y sdhojgatg sm3  P  ⎩ ? ⎫

 l ( R ) : ( 6υ ) 

∖

a

6

 ∖?  ⎢∖ ( x ∖· ) ή∖? ( x∖ · )⎨

⋇ ή g⎭

6

⎪

 

`da`g ή   y ·    gs ho jotrmz `g vormoazos y ndvormoazos y gh vgntdr `g jg`mos `gh vgntdr , rgspgntmvojgatg.

?.?5  @mstrmfunmþa jorimaoh y nda`mnmdaoh `g prdfofmhm`o` ^goa `ds vormofhgs ohgotdrmos  R   y ]  nda su rgspgntmvo luanmþa ndacuato `g `mstrmfunmþa  l ( x, y ) . Ho `mstrmfunmþa jorimaoh `g prdfofmhm`o`   , d luanmþa `g `mstrmfunmþa jorimaoh, `g ho vormofhg ohgotdrmo  R   sg `glmag ndjd

⎩∑ ⎣⎣ ∫  l ( x, t ) `t sm R y ]  ndatmauos .  l R  ( x ) : ⎢ ∖∑ ⎣ ∟ l ( x,y ) sm R y ]  `msnrgtos ⎣⎭ Pd`d y

(O6.66)

Matumtmvojgatg, ho `mstrmfunmþa jorimaoh sg pug`g gatga`gr ndjd ho luanmþa `g `mstrmfunmþa `g uao sdho vormofhg ohgotdrmo nuoa`d miadrojds hos dtros vormofhgs ohgotdrmos qug bonga portg `g uao luanmþa `g `mstrmfunmþa ndacuato.  Obdro supdaiojds qug sm ads mjpdrto gh vohdr qug tdjg ho sgiua`o vormofhg, y pdr toatd qugrgjds sofgr nuoh gs ho prdfofmhm`o` `g qug  R   sgo miuoh o ua vohdr d gstg ga ua matgrvohd prg`gtgrjmao`d `o`d qug ho vormofhg ]   gs gxontojgatg miuoh o ua vohdr `gtgrjmao`d. Ga dtros pohofros qugrgjds ndadngr ho `mstrmfunmþa `g prdfofmhm`o` `g ho vormofhg  R    nda`mnmdao`o o ua vohdr `gtgrjmao`d `g ho vormofhg ] . Ga gstg nosd gs agngsormd `glmamr ua augvd ndagptd3 ho `mstrmfunmþa nda`mnmdaoh `g prdfofmhm`o`. Matumtmvojgatg, sm ndasm`grojds ho `mstrmfunmþa fmvormo`o adrjoh poro hos vormofhgs gstdnïstmnos  R    y ]   mhustro`o ga gh Gcgjphd O6.9, gatdangs ho `mstrmfunmþa nda`mnmdaoh `g  R   `o`d qug ] : y  gs gqumvohgatg o ndrtor uao ‘toco`o‚ lmao nda ua nunbmhhd ufmno`d porohghd oh gcg `g hos  x   y ho toco`o lmao sgrï ndrto`o gxontojgatg ga gh puatd qug ] : y  (\gr Irïlmnd O6.6). ^m ndhdnojds gsto ‘toco`o sdfrg uao jgso, gandatrorgjds ua irïlmnd ga `ds `mjgasmdags `g uao `mstrmfunmþa adrjoh, ho jg`mo `g gsto `mstrmfunmþa  ‘toco`o‚ `gpga`grï `g nuoh gs ho ohturo o ho nuoh sg ndrto ho `mstrmfunmþa fmvormo`o, gs `gnmr gh vohdr ] : y . Ldrjohjgatg, ho `mstrmfunmþa nda`mnmdaoh `g prdfofmhm`o`   , d luanmþa `g `mstrmfunmþa nda`mnmdaoh, `g ho vormofhg ohgotdrmo  R   `o`d ] : y  sg `glmag ndjd3 Cuhmd Nísor Ohdasd N

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?9

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

 l ( x ] : y ) : l ( x y ) :

 

  l ( x, y )    l]  ( y )

(O6.6>)

Irïlmnd O6.6. Luanmþa `g `mstrmfunmþa nda`mnmdaoh Adrjoh. .

        )      x         (         l

x

Uoagh o. 

 

Uoagh f. 

Ga gh Uoagh o, sg dfsgrvo uao `mstrmfunmþa fmvormo`o adrjoh  l ( x, y 5, 5, = 0 , = 0 , > 7 ) . Mjoimag qug ndrto nda ua nunbmhhd uao ‘lmao toco`o‚ `g gsto ‘jdatoÿo‚ ndhdnoa`d gh nunbmhhd  porohghd oh gcg `g hos  x  y gxontojgatg o ho ohturo `g ]   : 6 . Gsto ‘lmao toco`o‚ ndrrgspda`grï o ho hêago sþhm`o `gh Uoagh f  (ga gstg nosd  R y : 6  ∸ A (?.6,?.00 ) ). ^m sg rgohmzo ua ndrtg smjmhor, pgrd o ho ohturo `g ]   : ∖? , dftga`rgjds ho luanmþa `g `gasm`o` puatgo`o jdstro`o ga gh Uoagh f (ga gstg nosd  R y : ∖? ∸ A ( ∖.. ^gsid `g ua Gstmjo`dr. Urdf `g β ˌ

Urdf `g β ˌ  

β ˌ

β   

o) Gstmjo`drgs Masgsio`ds

β   

β ˌ  

f)Gstmjo`dr ^gsio`d

Ndjd gs `g gspgrorsg, sg prglgrmrï ua gstmjo`dr qug tgaio uao jgadr `mspgrsmþa ohrg`g`dr `g ho jg`mo (vormoazo) o uad nda joydr `mspgrsmþa. Wa gstmjo`dr β ˌ ?   gs ndasm`gro`d ua gstmjo`dr masgsio`d jïs glmnmgatg  qug  qug β ˌ  sm 6

ˌ ˌ ? \or β 8 \or β   6  

( )

(O6.62)

( )

 Obdro ndasm`grgjds gh nosd ga qug gstojds ndjporoa`d ua gstmjo`dr sgsio`d nda uao vormoazo rghotmvojgatg pgqugÿo nda ua gstmjo`dr masgsio`d nda uao vormoazo rghotmvojgatg iroa`g (\gr Irïlmnd O6.0.). Ho prgiuato aoturoh gs3 ´nuïh `g hds `ds gstmjo`drgs `gfgrï sgr prglgrm`d4 Irïlmnd O6.0. ^gsid vgrsus Jêamjo \ormoazo. Urdf `g β ˌ  

β   

β ˌ

Wa nrmtgrmd poro gsndigr ua gstmjo`dr gatrg dtrds gs ndasm`gror gh gstmjo`dr nda gh jêamjd Grrdr Jg`md oh Nuo`ro`d, (`gadto`d J^G pdr su adjfrg ga maihís ‘Jgoa ^quorg Grrdr‚), gstg sg `glmag ndjd3

( )

(

)

6

 J^G βˌ : G  βˌ ∖ β  .

(O6.6=)

Gs lïnmh jdstror qug3 6

 J^G ⎯βˌ ⎠ : ⎯ ^gsid ⎯βˌ ⎠ ⎠ + \or ⎯β ˌ ⎠   ⎮ ⎬ ⎮ ⎮ ⎬⎬ ⎮ ⎬

Cuhmd Nísor Ohdasd N

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cnohdasdEmngsm.g`u.nd

(O6.>5)

65

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

 Osê oh jmamjmzor gh J^G, sg gstï tgamga`d ga nugato toatd gh sgsid ndjd ho `mspgrsmþa `gh gstmjo`dr. Adtg qug ga nosd `g ndjporor `ds gstmjo`drgs masgsio`ds, gh nrmtgrmd `g jmamjmzor gh J^G mjphmnorï gsndigr gh gstmjo`dr nda ho jêamjo vormoazo. Gcgjphd O6.= Pohvgz gh gcgjphd jïs lojmhmor gs gh gstmjo`dr `g ho jg`mo. ^updaio qug qugrgjds gstmjor ho jg`mo pdfhonmdaoh ·  ; gh gstmjo`dr jïs gjphgo`d poro ho jg`mo pdfhonmdaoh gs a

∟ R 

m

b ( R ? , R 6 , ..., R a  ) :

m :?

a

  , gstg gstmjo`dr ndjóajgatg sg ndadng ndjd  x . Adtga qug

⎯ a ⎠  R  ∟ m ⎦ ⎧ ?  ⎯ a ⎠ ? a ⎧ : G ⎦ ∟ R m ⎧ : ∟ G [ R m Z , `o`d qug td`os hos  R m   prdvmgaga `g ho  G [ x Z : G ⎦ m :? ⎦ a ⎧ a  ⎮ m :? ⎬ a m :? ⎦⎮ ⎧⎬ jmsjo pdfhonmþa, gatdangs  G [ R m Z  : ·   poro td`d m . Osê  G [ x Z :

? a a

∟ · : ·  . Udr toatd  x   gs m :?

masgsio`d.

Lmaohjgatg, dtro prdpmg`o` `gsgo`o ga ua gstmjo`dr gs ho ndasmstganmo. Matumtmvojgatg, ua gstmjo`dr gs ndasmstgatg sm nuoa`d ho jugstro sg bong iroa`g (y pdr toatd jïs ngrnoao o ho pdfhonmþa tdtoh), gatdangs ho prdfofmhm`o` `g qug gh gstmjo`dr sgo `mlgrgatg `gh vohdr pdfhonmdaoh β   gs ngrd. Gs `gnmr, o jg`m`o qug ho jugstro sg bong iroa`g gh sm sgsid `gh gstmjo`dr `gsoporg`g. Ldrjohjgatg, β ˌ  gs ua gstmjo`dr ndasmstgatg   sm

(

)

hmj U   β ∖ βˌ 8 ΰ  : ?  

a ↖∑

(O6.>?)

`da`g ΰ   gs uao ndastoatg pdsmtmvo orfmtrormojgatg pgqugÿo. ?.?>  Pgdrgjo `gh hêjmtg Ngatroh Gh tgdrgjo `gh hêjmtg ngatroh pug`g sgr uad `g hds rgsuhto`ds jïs pd`grdsds y osdjfrdsds `g ho nmganmo gsto`êstmno. Ho matumnmþa `gtrïs `g gstg tgdrgjo gs juy sganmhho; sm sg sujoa ua aójgrd sulmnmgatgjgatg iroa`g `g vormofhgs ohgotdrmos, gatdangs sma mjpdrtor ho `mstrmfunmþa `g hos vormofhgs ohgotdrmos sujo`os, ho sujotdrmo sgiumrï uao `mstrmfunmþa adrjoh. Gxmstga aujgrdsos vgrsmdags `gh tgdrgjo `gh hêjmtg ngatroh, uad nda rgstrmnnmdags jïs lugrtgs qug dtros, pgrd ho vgrsmþa jïs sganmhho `g gstg tgdrgjo gs3 a

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 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

`da`g  R m   poro m : ?,6,..., a , ·    y ώ 6   sda nuohqumgr jugstro ohgotdrmo `g tojoÿd a   prdvgamgatg `g ho jmsjo pdfhonmþa, ho jg`mo y ho vormoazo pdfhonmdaoh, rgspgntmvojgatg. Wao vgrsmþa gqumvohgatg y jïs ndadnm`o `g gstg tgdrgjo gs3 a

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⎛ ώ 6 ⎑   ~ A ⎘ · , ⎔   a ⎚ a ⎥ m

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?.?0  Matgrvohds `g ndalmoazo y prugfos `g bmpþtgsms. Ho prdfofmhm`o` qug uao gstmjonmþa puatuoh sgo gxontojgatg miuoh oh vohdr rgoh `gh porïjgtrd gs ngrd (´Udr quí4). Uoro oujgator ho ngrtm`ujfrg gatdrad o augstro gstmjonmþa, pd`gjds gjphgor ho `mstrmfunmþa `g prdfofmhm`o` `gh gstmjo`dr poro ojphmor augstro gstmjonmþa o ua matgrvohd d prdfor `mlgrgatgs bmpþtgsms. Uoro oqughhds gstmjo`drgs qug smiuga uao `mstrmfunmþa smjítrmno ndjd ho t d ho adrjoh, ho gstrunturo `g ua matgrvohd `g ndalmoazo gs juy sganmhho. Ho m`go gs nrgor ua matgrvohd nda uao ndalmoazo `gh ?55 (? ∖ ο ) %   qug tgaio ndjd ngatrd gh vohdr gstmjo`d y hds hêjmtgs malgrmdr y supgrmdr smiuga ho gstrunturo3  Gstmjonmda ∞ ( \ohdr `g uao `mstrmfunmda )ο  \or   [ Gstmjo`dr Z  

(O6.>0)

6

`da`g gh vohdr `g uao `mstrmfunmþa `gpga`g `g ho `mstrmfunmþa `gh gstmjo`dr y `gh amvgh `g ndalmoazo ο   `gsgo`d. Ga igagroh ua matgrvohd `g ndalmoazo `g ?55 (? ∖ ο ) %   ad smiamlmno qug nda ua ?55 (? ∖ ο ) %   `g ngrtgzo gh vohdr rgoh `gh porïjgtrd gstorï ga gh matgrvohd. Ho matgrprgtonmþa `g ua matgrvohd `g ndalmoazo `gh ?55 (? ∖ ο ) %   gs qug `g ?55 jugstros qug sg igagrga `g ho jmsjo pdfhonmþa ga ?55 (? ∖  ο )   vgngs hos gstmjonmdags gstorïa `gatrd `g `mnbd matgrvohd. Ga nuoatd o hos prugfos `g bmpþtgsms ga tdrad o porïjgtrds, gstos prgsgatoa uao gstrunturo smjmhor (\gr Gsqugjo O6.?.) Obdro ndasm`grgjds rïpm`ojgatg uad `g hds ospgntds jïs mjpdrtoatgs `g uao prugfo `g bmpþtgsms, hds tmpds `g grrdrgs mavdhunro`ds ga no`o `gnmsmþa. Ga gspgnmoh, nuoa`d gsndigjds ua amvgh `g smiamlmnoanmo ο  , y pdr gcgjphd rgnbozojds ho bmpþtgsms auho, ga gsg nosd gs pdsmfhg qug mandrrgntojgatg bohhojds rgnbozo`d ho bmpþtgsms auho nuoa`d gsto gro vgr`o`gro; o gstg grrdr hd hhojojds grrdr tmpd M  y   y gs `msgÿo`d poro sgr `gh ο  %. ^updaiojds obdro qug ad gs pdsmfhg rgnbozor ho bmpþtgsms auho, ga gstg nosd gs pdsmfhg qug ad gstgjds rgnbozoa`d ho bmpþtgsms auho nuoa`d gsto ga vgr`o` gs lohso; o gstg grrdr hd hhojojds grrdr tmpd MM   y gs `gadjmao`d nda ho hgtro irmgio  ζ  . Udr toatd, hd m`goh oh `msgÿor uao prugfo `g bmpþtgsms gs qug toatd ο   ndjd  ζ   sgoa hd jïs pgqugÿd pdsmfhg. Hostmjdsojgatg gxmstg

Cuhmd Nísor Ohdasd N

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66

 

 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

ua ndjprdjmsd (tro`g-dll  (tro`g-dll ) gatrg gh grrdr tmpd M y gh grrdr tmpd MM, pugs nuoa`d sg `msjmauyg gh grrdr tmpd M gh grrdr tmpd MM sg oujgato.

Gsqugjo O6.? Gstrunturo `g uao prugfo `g Bmpþtgsms ?.  B 5 3  Bmpþtgsms Auho (bmpþtgsms qug sg qumgrg rglutor) 6.  B  O 3  Bmpþtgsms Ohtgrao (bmpþtgsms qug sg qumgrg ongptor) >. Nohnuhd `g ua gsto`êstmnd (`gpga`g `g ho `mstrmfunmþa `gh gstmjo`dr) 0. @gnmsmþa (Ndjporor gh gsto`êstmnd nohnuho`d nda ua vohdr nrêtmnd `g ho ndrrgspda`mgatg luanmþa `g `mstrmfunmþa)

Gs pdr gsto rozþa, qug smgjprg qug sg phoatgo uao prugfo `g bmpþtgsms, sg troto `g ndastrumr hos bmpþtgsms auho y ohtgrao `g toh ldrjo qug hds qug sg `gsgo ndjprdfor sgo phoatgo`d ga ho bmpþtgsms ohtgrao y ad ga ho bmpþtgsms auho. Osê, sg prgtga`g ndjgtgr ua grrdr tmpd M jêamjd qug gs jïs lïnmhjgatg ndatrdhofhg pdr gh mavgstmio`dr, `o`d qug hds gsto`êstmnds poro glgntuor hos prugfos `g bmpþtgsms sda `msgÿo`ds poro ndatrdhor gh grrdr tmpd M, `gcoa`d gh grrdr tmpd MM sma ndatrdh. ?.?7  Vglgrganmos.  Ojgjmyo, Pokgsbm. ?==0. Matrd`untmda td ^totmstmns oa` Gndadjgtrmns . Hda`da3 Bogvor` Wamvgrsmty Urgss. Jdd`, Ohgxoa`gr JnLorhoag. ?=75. Matrd`untmda td tbg tbgdry dl stotmstmns 3 JnIrow-Bmhh. ?.?, ]   gh aójgrd ga ho noro supgrmdr `gh `o`d rdcd `gspuís `g hoazo`d `mvm`m`d pdr >,  S    ho sujo `gh aójgrd ga ho noro supgrmdr `g no`o uad `g hds `ds `o`ds `gspuís `g sgr hoazo`ds, y lmaohjgatg sgo Y : RS . Ganugatrg3 •   G ( R ) ,  G (] ) ,  G ( S ) , y  G (Y ) .

•  \or ( R ) , \or (] ) , \or ( S ) , y \or (Y )   •  ´^da Y  y  G  ma`gpga`mgatgs4 6.  Wao `mstrmfunmþa `msnrgto juy uso`o gs ho `mstrmfunmþa Udmssda. Udr gcgjphd, supdaio qug  R   gs gh aójgrd `g pgrsdaos qug sg prgsgatoa ga uao vgatoamhho Cuhmd Nísor Ohdasd N

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 Opía`mng 6- Ghgjgatds  Ghgjgatds `g Gsto`êstmno Gsto`êstmno

`g otganmþa `g ua foand ga ua pgrêd`d `g tmgjpd `o`d gsndim`d ohgotdrmojgatg. Gatdangs ua jd`ghd lrgnugatgjgatg uso`d gs ∖ λ   x g λ   l ( x ) : x : 5,?, , 5,?, 6,...    x ! >.  @gjugstrg qug ho `mstrmfunmþa Udmssda nujphg hos nda`mnmdags 5 ≠  l ( x ) ≠   y

∟  l ( x )  : ?   m

td`d td`d   xm

6

0.  Jugstrg qug \or [ R Z : G ⎯⎮ R 6 ⎠⎬ ∖ ( G [ R Z ) . 7.  Jugstrg qug \or [ oR + f Z : o 6\or [ R Z  .