2 Distribuciones Muestrales (Parte 2)

   

63° C.A.P.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES 2

CURSO: Estadística DOCENT DOC ENTE: E: Mg.Sc. Mg.Sc. Ju an Franci sc o Bazán Baca

11 de julio de 2021

 

Distrib tribuci ucione oness mue muestr strale aless Dis 1. Distribución Ji-cuadrado (K. Pearson, 1857-1936). 2. Distribución Distribución t de student (W. Gosse Gosset, t, 1876-193 1876-1937). 7).

 – 

4. Distribución F (G. Snedecor  R. Fisher).

Mg.Sc.. Juan Fra Mg.Sc Francisc ncisco o Bazán Bazán Baca

 

ción n JiJi -cuadra cuadrado do o Chi-cua hi-cuadrado drado La distribu distr ibució La variable aleatoria X tiene distribución Chi-cuadrado con r grados de libertad (g.l) si su función de densidad de probabilidades es: =

si x > 0

= 0

si x ≤ 0

Distribución chi-cuadrado con r grados de libertad. P(X <

)=α

3

 

ropie ieda dade des s de d e la distribu distr ibució ción n JiJ i-cuadra cuadrado do Prop •   Es una distribución con sesgo o asimetría positiva. 2r.. •   Su media es r (los g.l) y su varianza 2r asintótica ca con respect respecto o al eje de las abscisa abscisas s en el lad lado o •   Es asintóti positivo. •   La distribución tiene menor sesgo conforme los grados de libertad son mayores (r > 30). vari riab able le al alea eato tori ria a X tie iene ne di dist stri ribu buci ción ón ch chiiNotación:   si la va cuadrado con r grados de libertad, se denota como X ~   . Para el cálculo de probabilidades se usa la Tabla 2, que da probabilidades acumuladas menores o iguales que: P(X < ) = α 4

 

Ejemplos Ejemplo 1: Si X es una variable aleator aleatoria ia

a) P[X < 10.9];

b) P[ X > 31.4 ];

. Calcular: c) P[ 10.9 < X  31.4 ]

Solución.-

Para hallar las probabilidades solicitadas, en la fila de 20 g.l de la tabla 2 se buscan los valores dados para X y se leen las probabilidades (acumuladas menores que) correspondientes en el encabezamiento de la lass colu lum mna nass as así: í: a) P[X < 10.9] = = 0.05 b) P(X > 31.4) = 1 – P(X  31.4) = 1 – 0.95 = 0.05 c) P[ 10.9 < X  31.4 ] = P(X  31.4) - P(X  10.9) = 0.95 – 0.05 = 0.90

5

 

Ejemplo 2.-

Si X es una variable aleator aleatoria ia con distribución P[a ≤ X ≤ b] = 0.95 Solución

y

Para r = 25 g.l.,

a=

. Hallar a y b tal que:

P[ X ≤ a ] = 0.025

= 13.1

0.95 = P[a ≤ X ≤ b] = P[X  b] – P[X  a] = P[X  b] - 0. 0.02 025 5

Luego: P[X  b] = 0.975

 



b=

= 40.6

6

 

Teoremas

1. Si la variable aleatoria X ~ N(, ²), entonces la v.a. Y

=

2

Z 

=

(  X  −  ) 2  

2

2 →    1

2. Propiedad Reproductiva Reproductiva de la Chi-Cuadrado: Sean de libertadvariables chi-cuadra chi-cuadrado do independientes con grados r1, r2, ..., aleatoria rp respectivamente, entonces la variable aleatoria: aleator ia: , donde .

3. Sea X1, X2, ..., Xn, una muestra aleatoria de una variable aleatoria X ~ N (, ²). Entonces, la variable aleatoria:

DGE-ASIS

 

Tema

2: Estadísticos

 

7

 

Distribución de la varianza muestral Teorema .- Sea X1, X2, ... , Xn una muestra aleatoria de tamaño n de

una población normal con media  y varianza ². Sea

y S² la media

muestral y varianz muestral varianza a muestr muestral al respectivamente, respectivamente, entonces: • Las variables aleatorias y S² son independientes.

• La función de la varianza muestral: . ~

8

 

Ejemplo 3 De una población X: N(u, 18), se extr extrae ae una muestr muestra a aleato aleatoria ria de tamaño n = 21. Calcule e interprete: P (9.77 < S2 < 30.78) Solución

Se sabe que:

entonces,

Multiplicando la probabilidad solicitada por 20/18 se tiene una P (9.77 < S2 < 30.78) = = P[

 34 34.2 .2]] - P[

= P[10.9 <

así:

< 34.2] =

 10.9] = 0.975 – 0.05 = 0.925.

Interpretación: en el 92.5% de las muestras de tamaño 21, de una

población X N(u, 1 18 8 ), las varianzas varianzas muestr muestrales ales (S2) se encuentra entre 9.77 y 30.78. 9

 

Distribución t de Student Definición.Definición .- Sea Z una variable aleatoria normal estándar N(0, 1). Sea X2 ~

una varia ariabl ble e alea aleattoria oria qu que e ti tien ene e una una dis distrib tribuc ució ión n chichi-cu cuad adrrado ado co con n r gr grad ados os de li libe bert rtad ad,, y si Z y X2 so son n indepe independi ndien ente tes, s, ento entonce ncess la vari variabl able e aleat aleatori oria: a:

~ tr tie iene ne una una dis istr triibuci bució ón t, con r grados de libertad, y su función de densidad de prob pr obab abil ilid idad ades es está está da dada da po por: r:

, - < t < 

Notación: decir que la variable aleatoria T, tiene distribución t con r grados de Notación:

li libe bert rtad ad,, se de deno nota ta como como T ~ tr. 10

 

Propiedades de la distribución t • La media y la varianza de la v. a. T con r grados de libertad son: E(T) =  T = 0 , r>1 Var(T ar(T)) =

, r>2

• Tiene forma acampanada y simétrica respecto a su media 0. • Es más dispersa que la distribución normal estándar. • Es asintótica con respecto al eje de las abscisas. • Conforme aumenta r, la dispersión disminuye y se aproxima a 1.

11

 

Propiedades de la distribución t la Toabla ab la 3, que: se ob obti tien enen en pr prob obab abil ilid idad ades es ac acum umul ulad adas as •   Con menores iguales

Fig. 5 Obtención de valores Tα para α < 0.05

• Para  < 0.5, los t son: t = - t 



1- 

• P[ T  -a ] = 1 - P[ T  a ] α 0

Tα = - T(1 - α)

α  

0

T(1 - α)

12

 

Ejemplos Ejemplo 4.- Si T ~ t con 18 gr grados ados de libert libertad ad (T18), hallar:

a) P(T > 2.101)

b) P(-1.734 ≤ T ≤ 2.552)

c) Hallar t0 tal que P(-t0 ≤ T ≤ t0) = 0.95. Solución

a) P(T > 2.101) = 1 - P(T ≤ 2.101) = 1 – 0.975 = 0.025 b) P(-1.734 ≤ T ≤ 2.552) = P(T  2.552) – P(T  -1.734) = = P(T ≤ T18, 0.99) – [1 - P( P(T T  1.734)] = = 0.99 – [1 – 0.95] = 0.94 c) 0.95 = P(-t0 ≤ T ≤ t0) = P(T18 ≤ t0 ) – P(T18 ≤ -t0) = = P(T18 ≤ t0 ) – [1 - P(T18 ≤ t0)] = 2 P(T18 ≤ t0 ) – 1  P(T18 ≤ t0 ) = 0.975  to = T18, 0.975 = 2.101 13

 

Dist stri ribu buci ción ón de la me medi dia a mu mues estr tral al Di

Si X , X , .... , X es una muestra aleatoria de tamaño n (n < 30) de una1pob2lación non rmal, con media E(X) = μ y varianza Var (X) = σ2. Entonces: ~ tn-1

donde:

Distribución de la diferencia de medias

~ t n +m -2

14

 

Distribución F de Fisher y Snedecor Definición.Definición .- Sea U y V dos variables aleatorias independientes que

tienen distribuciones chi-cuadrado, con r1 y r2 grados de libertad, respe re specti ctiva vamen mente. te. En Ento tonce nces, s, la varia variable ble ale aleat atori oria: a: ti tien ene e un una a di disstr trib ibuc ució ión n F con r 1 y r 2 grados de libertad y su función de dens de nsid idad ad de prob probab abil ilid idad ades es es está tá da dada da po por: r: f F (x) =

, 0