2. Convergenta Uniforma a Unui Sir de Functii Si a Unei Serii de Functii

2. Convergenta uniforma a unui sir de functii si a unei serii de functii Def. Se spune ca sirul de functii (fn(x))n>=1 converge uniform ape multimea E⊆ X catre functia limita f(x) daca, , n0(ɛ)ϵN si nu depinde de p x ϵE, astfel incit , n0(ɛ)ϵN si x ϵE se verifica |fn(x)-f(x)|< ɛ Se noteaza →

fn(x)→ f(x),n→ definitie. Se spune ca seria de functii ∑ converge uniform ape multimea E⊆X catre suma ei S(x) daca sirul sumelor partiale ce corespunde ei (Sn(x))n>=1 converge uniform pe multimea E⊆X catre functia lumita S(x). Teorema (criteriul de convergenta uniforma ) Sirul de functii (fn(x)n>=1 converge uniform ape multimea E catre functia limita f(x), daca si numai daca limita im

(x)-f(x)|}=0

→

Exemplu. Sa se cerceteze la convergenta uniforma (fn(x))x>=1, fn(x)=

pe E=[0,1]

Rexolvare 1) Cercetam sirul la convergenta punctiforma calculam limita lui (fn(x))n>=1 im

(x)= im

→

=0 f(x), x ϵ[0,1] fixat

→

Deci functia limita este f(x)=0 2) Cercetam la convergenta uniforma utilizam criteriul im

(x)-f(x)|}=0

→

Alcatuim fn(x)-f(x)=

-0=

Alcatuim |fn(x)-f(x)|=|

=

=

, x ϵ[0,1]

3) Calculam supremul acestei expresii = Calculam derivate functiei (

= )’x =

= (

)

Rezolvam ecuatia =0 , , x ϵN*, x ϵ[0,1] im

→

=0

, , x ϵN*

=

Raspuns →

→ 0,

→

exemplu 2 sa se cerceteze la convergenta uniforma (fn(x))x>=1, fn(x)=

pe E=[0,1]

In mod simila r avem ca si in exmplu (1) =

= ≠

Raspuns sirul de functii converge punctiforma pe [0,1] catre f(x)=0