2. Cemento Armato, C.a. Precompresso, 3za Ed.

Tecnica delle costruzioni 2. Costruzioni composte "acciaio-calcestruzzo" Cemento armato - Cemento armato precompresso

DELLO STESSO EDITORE A. Castigliani, V. Petrini, C. Urbano - Esercizi di scienza delle costruzioni R. Fidanza

Applicazioni di tenica delle costruzioni (2 Voli.)

-

C. Gavarini - Dinamica delle strutture C. Gavarini - Ingegneria antisismica (2 Voli.) C. Gavarini

-

Lezioni di scienza delle costruzioni

M. Menegotto - Corso di tecnica delle costruzioni

A. Migliacci - Progetti di strutture - Voli. 1 /2 A. Migliacci - Teorie e tecniche costruttive - Voi. 1 A. Migliacci, F. Mola - Progetto agli stati limite delle strutture in C.A. - Voli. 1/2 M.P. Petrangeli

-

Progettazione e costruzione di ponti

E.F. Radogna - Tecnica delle costruzioni (3 Voli.) G. Toniolo

-

Analisi strutturale con l'elaboratore elettronico

G. Toniolo - Appunti di tecnica delle costruzioni. Elementi strutturali in acciaio

G. Toniolo

-

Calcolo strutturale. I telai

G. Toniolo - Cemento armato. Calcolo agli stati limite - Voli. 2A e 28 A.E. Zingali - Lezioni di tecnica delle costruzioni

Emanuele Filiberto Radogna

Ordinario nell'Università di Roma "La Sapienza"

Tecnica delle costruzioni 2. Costruzioni composte "acciaio-calcestruzzo"

Cemento armato - Cemento armato precompresso TERZA EDIZIONE

MASSON 1998

Masson S.p.A.

Via F.lli Bressan 2, 20126 Milano

Masson S.A.

120, Bd Saint-Germain, 75006 Paris, Cedex 06

Masson S.A.

Calle Ronda Generai Mitre 149, Barcelona 08022

Tutte le copie devono portare il contrassegno della SIAE

I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale, con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), sono riservati per tutti i Paesi. L'Editore potrà concedere a pagamento l'autorizzazione a riprodurre una porzione non superiore a un decimo del presente volume. Le richieste di riproduzione vanno inoltrate all'AIDRO, via delle Erbe 2, 20121 Milano Tel. e F ax 02/809506.

© Masson S.p.A. - Milano 1991 - Prima edizione 1993 - Ristampa 1994 - Ristampa 1996 - Seconda edizione 1997 - Ristampa 1998 - Terza edizione Printed in ltaly

Finito di stampare nell'ottobre 1998 da "La Fenice Grafica" - Borghetto Lodigiano - LODI

Prefazione alla terza edizione

In analogia a quanto è stato fatto per il Volume 1, Fondamenti delle Costruzioni di acciaio, anche per questo secondo volume si è provveduto ali' aggiornamento dei riferimenti normativi, sostituendo i precedenti richia­ mi al D.M. 271711985 e alla circolare 31I1011986 n. 27996/stc. con quelli corri­ spondenti, relativi al D.M. 141211992, di cui forniamo in Appendice la ver­ sione integrale, e alla circolare 241611993 n. 37406/stc.

Poiché , nel frattempo, è stato pubblicato sulla G. V. 5 febbraio 1996, sup­ plemento n. 19, il D.M. 9 gennaio 1996 "Nonne tecniche per il calcolo, l'esecu­ zione ed il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precom­ presso e per le strutture metalliche", si è dedicato un apposito capitolo, il XVI, all'esame del nuovo documento normativo e si è altresì ampliato il

capitolo 7 che forniva una breve introduzione, storica e morfologica, sulle costruzioni di e. a. , con notizie integrative sul comportamento sperimentale dei componenti strutturali di tipologia ricorrente. In questo modo si è inteso sottolineare il comune riferimento fenomeno­ logico dei tre metodi di verifica, previsti dal D.M. 91111996 e cioè: - il metodo delle tensioni ammissibili, -- il metodo agli stati limite nella versione cosidetta "nazionale", - il metodo agli stati limite, nella versione "europea•, definita dall'Eurocodice n. 2, a sua volta integrato dallo specifico Documento di Applicazione Nazionale (D.A. N. ). La riflessione sulla medesima realtà fisica ed il costante richiamo ai requisiti di resistenza, di stabilità dell'equilibrio, di efficienza funzionale e di durabilità , che, comunque, devono essere assicurati ai componenti ed ai sistemi portanti, tendono a favorire lo studio unitario della materia ed a migliorare, in definitiva, la qualità della progettazione strutturale. Nel corso della revisione del volume si è svolta, infine, una trattazione un pò più estesa del taglio nel cemento armato precompresso, con l'obiettivo di mettere in risalto le analogie e le differenze con il caso del taglio nel cemento armato normale e di suggerire una metodologia di studio per quanto possibi­ le organica ed unitaria.

Roma, novembre 1998

E.F. RADOGNA

Prefazione alla prima edizione

Questo secondo volume è dedicato allo studio di tre sistemi costruttivi non omogenei, ottenuti mediante l'associazione del conglomerato di cemen­ to con vari tipi di acciaio, denominati, secondo la terminologia tradizionale, fatta propria dalla normativa tecnica: - strutture composte "acciaio-calcestruzzo'" - cemento armato normale, - cemento armato precompresso. Con riferimento alla relazione simbolica fondamentale della verifica di sicurezza di una sezione assegnata, che descrive il confronto fra !'«effetto delle azioni applicate» S e la «capacità di prestazione" R della sezione resi­ stente S�R lo scopo dello studio è quello di valutare il secondo membro della disugua­ glianza per ciascun sistema costruttivo e per le diverse caratteristiche di sollecitazione che possono realizzarsi, operando sia nell'ambito del metodo delle tensioni ammissibili che in quello del metodo agli stati limite. La necessità di considerare entrambi i metodi di verifica deriva dalle seguenti circostanze: a) la normativa italiana vigente li accoglie in modo paritetico; b) il metodo delle tensioni ammissibili, che ha preceduto, cronologicamente, il metodo agli stati limite, è tuttora il più diffuso nel nostro Paese; c) il metodo agli stati limite è l'unico previsto dalle norme tecniche unificate - gli Eurocodici - che saranno adottati dai Paesi della Comunità Economi­ ca Europea a partire dal 1° gennaio 1993; d) lo studio degli interventi di adeguamento e di riparazione delle strutture esistenti inizia con l'acquisizione di una serie di informazioni, fra cui i documenti di progetto, depositati presso gli Uffici regionali del Genio Civile, ai sensi della legge 5 novembre 1971, n. 1086. Nella maggior parte dei casi tali documenti sono basati sul metodo delle tensioni ammissibili;

VIII

Prefazione

e) il metodo agli stati limite è un metodo composito, che utilizza sia il calcolo a rottura, per le verifiche agli stati limite ultimi, sia l'analisi elastica, per le verifiche agli stati limite di esercizio. I procedimenti di calcolo che vengono utilizzati per valutare le tensioni e gli spostamenti dei compo­ nenti strutturali nelle condizioni di esercizio sono, nella maggior parte dei casi, gli stessi impiegati nel metodo delle tensioni ammssibili. Il maggior lavoro richiesto dallo studio comparato dei due metodi di verifica suggerisce di ricercare sistematicamente gli aspetti comuni alle teo­ rie delle strutture miste, del cemento armato e del precompresso, per facili­ tarne la comprensione e l'apprendimento. La ricerca di questi aspetti comuni costituisce un elemento caratteriz­ zante del nostro programma di lavoro, come emerge anche dall'esame degli argomenti trattati nei capitoli seguenti. Il primo capitolo è dedicato alla presentazione degli aspetti generali, comuni a sistemi di aste in parallelo formati da materiali aventi legami costitutivi di tipo diverso, sia elastici, che elasto-plastici. Con l'ausilio di alcuni esempi, vengono richiamati i principali risultati della analisi elastica di sistemi costituiti da due materiali diversi, fra cui, in particolare, il concet­ to di sezione ideale omogeneizzata. Viene poi considerato il caso della asso­ ciazione di un materiale elasto-fragile con un materiale elasto-plastico, che permette di descrivere alcuni aspetti tipici del cemento armato, fra cui la «rottura bilanciata», che separa le rotture duttili da quelle fragili. Il secondo capitolo fornisce una sintetica introduzione al tema della normativa tecnica, la cui importanza è andata continuamente aumentando, come conferma anche la elaborazione di nove Eurocodici da parte del CEN su commissione della CEE. Vengono ricordate le tappe principali della evo­ luzione dei metodi di verifica, dalle tensioni ammissibili agli stati limite e dall'uso dei coefficienti di sicurezza totali a quelli parziali. Vengono anche esaminati i contenuti delle vigenti norme italiane sul cemento armato, sia normale che precompresso, e quelli dell'Eurocodice corrispondente, l'Euro­ codice N° 2 (EC2), ciò che consente qualche confronto preliminare. Il terzo capitolo tratta i materiali costitutivi, svolgendo richiami sulle proprietà fisiche e meccaniche, degli acciai da carpenteria, utilizzati nelle costruzioni miste «acciaio-calcestruzzo», degli acciai da cemento armato normale, degli acciai da cemento armato precompresso e del calcestruzzo, materiale comune ai tre sistemi costruttivi in esame. Il quarto capitolo è dedicato all'esame dei modelli matematici impiegati per descrivere il comportamento dei suddetti materiali costitutivi nei proce­ dimenti di calcolo. Si passa quindi allo studio individuale dei tre sistemi costruttivi non omogenei. Le costruzioni miste «acciaio-calcestruzzo» sono trattate nei capitoli quinto (le travi) e sesto (le colonne). Gli argomenti relativi alle costruzioni di cemento armato sono divisi in tre parti: la prima parte ha carattere introduttivo e comprende due capitoli,

Prefazione

IX

il settimo (cenni storici, morfologia e modalità costruttive) e l'ottavo (collega­ mento per aderenza fra acciaio e calcestruzzo). La seconda parte è dedicata all'analisi del comportamento nel I e nel II stadio e riguarda quindi prevalentemente, ma non in maniera esclusiva, il metodo delle tensioni ammissibili: gli argomenti correlativi sono svolti nel capitolo nono. La terza parte riguarda il metodo agli stati limite: il decimo e l'undicesi­ mo capitolo trattano gli stati ultimi di resistenza, dovuti, rispettivamente alla flessione e pressione eccentrica ed al taglio e torsione, mentre il capitolo dodicesimo considera lo stato limite ultimo di instabilità delle aste snelle compresse e presso-inflesse. Gli stati limite di esercizio ed i problemi di durabilità sono trattati nel capitolo tredicesimo. Le costruzioni di cemento armato precompresso sono studiate nel capito­ lo quattordicesimo (precompressione totale e precompressione limitata) e nel capitolo quindicesimo (precompressione parziale e precompressione impres­ sa con cavi non aderenti). Ancora una precisazione: dato il carattere applica­ tivo del corso di Tecnica delle costruzioni, le esercitazioni hanno un ruolo di particolare importanza per due motivi. Attraverso concrete applicazioni nu­ meriche e grafiche i contenuti della teoria vengono sistematicamente appro­ fonditi; emerge inoltre in modo spontaneo la necessità di integrare i risultati forniti dalle schematizzazioni di calcolo con una serie di informazioni di carattere pratico, dettate dall'esperienza e riportate anche dalla normativa nelle regole pratiche di progettazione e nelle norme di esecuzione. Nel caso del cemento armato è particolarmente proficua la discussione sui dettagli costruttivi delle armature: essi in parte tendono a realizzare le ipotesi assunte dalla teoria ed in parte assicurano il corretto flusso delle tensioni nelle zone dei nodi trave-pilastro, di appoggio delle travi, di incrocio fra travi, ecc. , nelle quali non è valido il principio di De Saint Venant, cosic­ ché la teoria della trave non è in grado di fornire precise indicazioni. Da queste osservazioni scaturisce anche il suggerimento di verificare il grado di approfondimento della materia svolgendo appropriati esempi nu­ merici: in questo ordine di idee risulta particolarmente istruttivo il confronto dei risultati ottenuti applicando ad uno stesso problema progettuale il meto­ do delle tensioni ammissibili e quello agli stati limite. Infine, al pari del volume precedente sulle costruzioni di acciaio, deside­ ro rinnovare i miei ringraziamenti alla Casa Editrice Masson per la consueta, efficace collaborazione ed al Geometra Francesco Del Vecchio per la esecu­ zione dei disegni.

Roma, luglio 1991

E.F. RADOGNA

Indice PREFAZIONE ALLA TERZA EDIZIONE

V

PREFAZIONE ALLA PRIMA EDIZIONE

VII

CAPITOLO 1 - Generalità sui componenti e sui sistemi costruttivi non omogenei di conglomerato cementizio e di acciaio

1

1.1 1.2

Premessa Primo esempio: due aste tese in parallelo, materiali diversi entrambi illimitatamente elastici

4

1.3

7

1.4

Secondo esempio: due aste tese in parallelo, materiali diversi entrambi elasto-fragili Terzo esempio: due aste tese in parallelo, un materiale elasto-

1.5 1.6

fragile, l'altro elasto-plastico Richiami sulla trave inflessa non omogenea Sintesi del capitolo 1 ed osservazioni conclusive

CAPITOLO 2

-

Introduzione alla normativa tecnica

2.1

Concetti generali

2.2 2.3

Cenni sulla evoluzione della normativa tecnica I contenuti della normativa italiana sul cemento armato e del-

2.4 2.5

l'Eurocodice n° 2 I contenuti della normativa italiana sulle costruzioni composte "acciaio-calcestruzzon e dell'Eurocodice n° 4 Cenno alle norme sulle azioni applicate alle costruzioni

9 12 19 21 21 23 27 30 32

CAPITOLO 3 - I materiali costitutivi: richiami sulle proprietà fisiche e meccaniche

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Considerazioni introduttive Gli acciai da carpenteria Gli acciai da cemento armato Gli acciai da precompresso Il conglomerato cementizio come materiale composito Il comportamento del conglomerato cementizio sotto carichi di breve durata Il comportamento del conglomerato nel tempo

CAPITOLO 4

4.1 4.2 4.3 4.4

-

Modelli matematici dei materiali costitutivi

Considerazioni introduttive Relazioni costitutive lineari Il legame tensione-deformazione del calcestruzzo per stati di tensione monoassiale Criteri di resistenza del calcestruzzo

35 35 35 36 42 48 50 61 65 65 66 69 79

XII

4.5 4.6

Indice

La modellazione matematica dello scorrimento viscoso del cal­ cestruzzo La valutazione delle deformazioni dovute al ritiro

84 91

Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruz­ zo prevalentemente inflessi: travi, solette di calcestruzzo gettate su lamiere grecate

93

CAPITOLO 5

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

-

Morfologia Cenni storici Procedimenti costruttivi Inquadramento dei problemi di calcolo di una trave mista, soggetta a flessione e taglio Flessione: calcolo elastico delle tensioni Influenza dello scorrimento viscoso e del ritiro del calcestruzzo Flessione: calcolo del momento ultimo Le verifiche dei dispositivi di collegamento

CAPITOLO 6

-

6.5

Considerazioni introduttive Morfologia Modalità costruttive

7.4

133 133 135 138

La capacità portante ultima della sezione composta presso-in139 flessa 148 La capacità portante ultima della colonna composta snella

CAPITOLO 7

7.1 7.2 7.3

98 100 107 117 125

Componenti portanti a struttura mista "acciaio-calcestruzzo" prevalentemente compressi

6.1 6.2 6.3 6.4

93 94 97

-

Costruzioni di cemento armato: cenni storici, morfologia, modalità costruttive, comportamento sotto carico di 159 componenti strutturali tipici

Considerazioni introduttive Cenni storici

159 161

Morfologia e modalità costruttive dei componenti strutturali ricorrenti 166 Il comportamento sotto carico di componenti strutturali tipici 172

CAPITOLO 8 - L'accoppiamento delle barre di armatura con il calcestruzzo per aderenza

8.1 8.2 8.3 8.4

Considerazioni introduttive Le prove di aderenza La valutazione della lunghezza di ancoraggio I parametri che influenzano l'aderenza

183 183 185 191 196

XIII

Indice

CAPITOLO 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

9. 9

Componenti strutturali di cemento armato: analisi del 199 comportamento con leggi costitutive lineari

-

Considerazioni introduttive Le aste tese: la fessurazione Le travi soggette a flessione e taglio L'analisi lineare della flessione La sollecitazione composta di flessione e taglio La sollecitazione di torsione La sollecitazione composta di forza normale e flessione

199 200 209 209 226 235 239

L'analisi delle tensioni nei pilastri tozzi soggetti a sola forza normale di compressione

254

I pilastri cerchiati

255

CAPITOLO 10

-

Componenti strutturali di cemento armato: il calcolo nel III stadio (calcolo a rottura), per la flessione semplice e

composta

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Considerazioni introduttive La valutazione del momento ultimo nella flessione semplice retta La flessione deviata La sollecitazione composta di forza normale e flessione retta (Pressione eccentrica) Pressione e flessione deviata

261 261 262 281 284 291

CAPITOLO 11 - Componenti strutturali di cemento armato: il calcolo nel III stadio per la sollecitazione composta di flessione e

taglio e per la torsione

11.1 11.2

Flessione e taglio La torsione

CAPITOLO 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7

-

Problemi di instabilità

Considerazioni introduttive Richiami sulla instabilità delle aste snelle di acciaio L'instabilità delle aste snelle di cemento armato La relazione M-N-1/r Il metodo della colonna modello Metodi approssimati Eccentricità non intenzionali

CAPITOLO 13 - Problemi di efficienza funzionale e di durabilità 13.1 13.2 13.3

299 299 313 317 317 320 322 325 327 329 330 331

Considerazioni introduttive 331 Limitazione delle tensioni per rapporto alle condizioni di efficienza funzionale (service-ability) 333 Limitazione dell'ampiezza delle lesioni 334

XIV

Indice

13.4

Limitazione dei valori delle frecce massime per gli elementi 338 inflessi

13.5

Il danneggiamento progressivo del calcestruzzo e dell'acciaio 344 per fatica

13.6

Richiami sul danneggiamento del calcestruzzo per azioni am347 bientali

CAPITOLO 14

-

Costruzioni di cemento armato precompresso: precompressione totale e precompressione limitata

349

Considerazioni introduttive 14.1 La tecnologia della precompressione 14.2 Il sistema di carichi equivalenti alla precompressione 14.3 14.4 Le perdite di tensione istantanee 14.5 Le perdite di tensione differite 14.6 Il calcolo delle tensioni a vuoto ed in servizio 14.7 La sicurezza alla fessurazione La sicurezza alla rottura 14.8 14.9 Il taglio nel precompresso 14.10 Il dimensionamento delle sezioni in precompresso 14.11 La disposizione dei cavi lungo la trave

CAPITOLO 15

-

La precompressione parziale e la precompressione a cavi non aderenti

15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6

437

Considerazioni introduttive 437 Sguardo di sintesi alle varie classificazioni utilizzate nel cemen439 to armato precompresso 441 Criteri di classificazione del grado di precompressione Un procedimento semplificato per il progetto condizionato delle 443 armature di una sezione parzialmente precompressa 448 Le travi parzialmente precompresse nel III stadio La precompressione a cavi non aderenti 455

CAPITOLO 16

-

L'evoluzione della normativa tecnica nazionale e il recepimento degli Eurocodici

16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6

349 354 364 382 394 403 409 411 413 421 431

457

Considerazioni introduttive Esame generale dei contenuti del D.M. 16/1/1996

457 458 Esame della "Parte Generale" 459 Esame della Parte I (Cemento armato normale e precompresso) 463 474 Parte V. Norme per travi composte «acciaio-calcestruzzo» Osservazioni conclusive 475

APPENDICE

-

Decreto 14 febbraio 1992. Norme tecniche per l'esecu­ zione delle opere in cemento armato normale e precompresso e per le strutture metalliche

BIBLIOGRAFIA INDICE ANALITICO

477 51 1 51 9

Capitolo

1

Generalità sui componenti e sui sistemi costruttivi non omogenei di conglomerato cementizio e di acciaio

1.1

PREMESSA

In questa parte del Corso 4i occuperemo di sistemi costruttivi non omogenei, così denominati perché sono realizzati mediante l'associazione di materiali resistenti diversi. Noi considereremo i casi in cui uno dei materia­ li è sempre il conglomerato cementizio, mentre gli altri materiali sono ac­ ciai aventi caratteristiche differenti per composizione chimica, per procedi­ mento produttivo, per forma della sezione. In base al tipo di acciaio accoppiato con il conglomerato si hanno i tre sistemi costruttivi seguenti:

a) le costruzioni composte «acciaio-calcestruzzo», in cui vengono utilizzati

i profilati laminati a caldo e le lamiere grecate sagomate a freddo della carpenteria metallica; b) le costruzioni di conglomerato cementizio armato, (tradizionalmente, an­ che se impropriamente, denominato «cemento armato»), in cui l'acciaio, sempre a basso tenore di carbonio, è utilizzato in forma di barre tonde, totalmente immerse nel conglomerato; oggi si adottano quasi sempre barre con la superficie laterale corrugata, per migliorare la qualità del­ l'aderenza con il conglomerato e controllare in maniera efficace la fessu­ razione del conglomerato teso; e) le costruzioni di conglomerato cementizio precompresso (detto anche «cemento armato precompresso»), in cui vengono generalmente adottati due tipi di acciaio, l'uno uguale a quello da cemento armato normale, l'altro ad alto limite elastico, analogo, a quello usato per le corde dei pianoforti (acciaio armonico). Questo secondo tipo di acciaio, messo arti­ ficialmente in tensione ed ancorato al conglomerato, crea una sollecita­ zione preventiva di pressione eccentrica, che comprime le fibre destinate ad essere tese dalla azione dei carichi esterni. Le tensioni risultanti nella condizione di carico massimo possono risultare di compressione (pre-

2

1 Generalità sui componenti e sui sistemi

compressione totale), oppure di trazione con valori moderati cosicché il conglomerato teso non si fessuri (precompressione limitata), ovvero di trazione con valori tali da fessurare il conglomerato teso, come avviene nel cemento armato normale (precompressione parziale). Nella figura 1.1 sono rappresentati in modo schematico i casi ora elen­ cati con riferimento ad una trave semplicemente appoggiata, sottoposta ad un carico uniformemente ripartito. Esaminando i vari schemi si notano alcuni aspetti comuni: il conglome­ rato, che è una pietra artificiale fragile, dotata di buona resistenza a com­ pressione ma di limitata resistenza a trazione, svolge funzioni statiche nelle zone superiori delle travi, dove le fibre sono compresse dai momenti positi­ vi, come si vede nella figura 1. la) ed 1.l b). Le risultanti delle tensioni di trazione sono affidate all'acciaio: ad un profilato a doppio T nella figura l.la), a barre longitudinali inferiori nella figura l.lb). Nel caso del cemento armato precompresso, i cavi curvi, costituiti da acciaio ad alto limite elastico, messi preventivamente in tensione ed ancora­ ti alle testate della trave, generano nel conglomerato forze normali di com­ pressione e momenti flettenti negativi, che contrastano i momenti positivi dovuti ai carichi applicati.Nella sezione di mezzeria, la risultanteN della precompressione, che passa per il baricentro dei cavi, si sposta parallela­ mente a sè stessa verso l'alto, per effetto del momento positivo dei carichi esterni. Se la risultante resta nel nocciolo centrale di inerzia della sezione di mezzeria, la sezione, sotto il carico massimo,. resta integralmente com­ pressa, cosicchè il conglomerato è utilizzato su tutta l'altezza della sezione nel modo migliore (precompressione totale). Se la risultante N esce di poco dal nocciolo, la sezione risulta modera­ tamente tesa nella zona inferiore. Anche se il conglomerato non si fessura si dispongono barre longitudinali inferiori di acciaio da cemento armato normale in quantità tale da assorbire integralmente la risultante delle ten­ sioni di trazione agenti nel conglomerato (precompressione limitata). A maggior ragione è necessario disporre inferiormente barre da cemento ar­ mato normale se l'eccentricità della N è tale da provocare la fessurazione del conglomerato teso (precompressione parziale). Questa situazione si veri­ fica sotto l'azione del momento flettente massimo, dovuto sia ai carichi permanenti che a quelli accidentali. In assenza dei carichi accidentali, la risultante N si abbassa e rientra nel nocciolo, cosicchè la sezione torna ad essere totalmente compressa sotto l'azione dei carichi permanenti. Un'altra osservazione di carattere generale è la seguente: in tutti i casi il diagramma delle deformazioni è lineare sull'altezza della sezione non omogenea (conservazione delle sezioni piane). Perché questo avvenga, è necessario. che non si verifichino scorrimenti relativi fra il conglomerato e gli elementi di acciaio. Nel caso della trave composta •acciaio-calcestruzzo » la solidarizzazione fra la soletta di conglo­ merato ed il sottostante profilato d'acciaio avviene per il tramite di appositi CODDCttori (pioliNelson).Nel caso della trave di cemento armato il collega-

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Fig. I.I Esempio di trave semplicemente appoggiata, realizzata nei tre sistemi costruttivi che derivano dall'accoppiamento di prodotti industriali di acciaio con il conglomerato cementizio: -

Lia) trave composta acciaio-calcestruzzo»; l.lb) trave di cemento armato normale; l.lc) trave di cemento armato precompresso a cavi scorrevoli nelle tre soluzioni basate sul grado di precompressione, totale, limitata e parziale.

4

1 Generalità sui componenti e sui sistemi

mento fra il conglomerato e le barre corrugate, in esso intercluse, è dovuto a tensioni tangenziali di contatto, dette di «aderenza». Nel caso della trave di cemento armato precompresso i cavi di acciaio ad alto limite elastico sono collegati al conglomerato in corrispondenza delle loro estremità me­ diante appositi apparecchi di ancoraggio. L'esistenza di questi aspetti comuni ai tre sistemi costruttivi esaminati fa presumere che esistano delle analogie anche fra i modelli di calcolo con i quali si valutano le capacità prestazionali dei componenti strutturali tipi­ ci: travi, solette, piastre, pilastri. I modelli di calcolo disponibili utilizzano, di volta in volta, legami costi­ tutivi elastici, rigido-plastici, elasto-plastici, non lineari. Per avere un'idea per quanto possibile unitaria dei vari metodi di calco­ lo utilizzati per i diversi sistemi costruttivi, ci proponiamo di svolgere alcu­ ne considerazioni preliminari utilizzando lo schema semplicissimo di due aste, formate ciascuna da un materiale differente, collegate in parallelo e sottoposte ad una forza normale centrata. Per quanto riguarda i legami costitutivi, considereremo i casi seguenti:

a) i due materiali sono perfettamente elastici;

b) i due materiali hanno comportamento elasto-fragile con tensioni di rottu­ ra diverse, pari, rispettivamente, ad R1 ed R 2; e) uno dei materiali è elasto-fragile, con tensioni di rottura pari a R1 e l'altro è elasto-plastico con tensione di snervamento pari ad S2; d) tutti e due i materiali sono elasto-plastici, con tensioni di snervamento pari ad S1 ed Sz. I risultati ottenuti, per quanto dedotti da un caso particolare, fornisco­ no indicazioni orientative comuni ai casi più complessi, relativi ai compo­ nenti portanti, realizzati in struttura mista «acciaio-calcestruzzo», in ce­ mento armato ed in cemento armato precompresso ed utilizzando sia il metodo delle tensioni ammissibili che il metodo agli stati limite. 1.2

PRIMO ESEMPIO: DUE ASTE TESE IN PARALLELO, MATERIALI DIVERSI ENTRAMBI ILLIMITATAMENTE ELASTICI

Nella figura 1.2 è indicato il prototipo, costituito da due tubi coassiali, collegati fra loro in modo da allungarsi della stessa quantità quando sono sottoposti a due forze di trazione N, la cui linea di azione è baricentrica. Accanto è rappresentato il modello piano corrispondente. In questo primo esempio supponiamo che i materiali costitutivi delle due aste siano perfet­ tamente ed illimitatamente elastici, con moduli elastici E1 ed E2• Vogliamo valutare come si ripartisce la forza esterna N fra le due aste, determinando i valori delle forze N1 ed N2 (v. fig. 1.3). La forza N allunga le due aste della stessa quantità c5, a cui corrispondono le reazioni elastiche:

5

1.2 Primo esempio: due aste tese in parallelo

PROTOTIPO

MODELLO PIANO Flg. 1.2 Si considera un tirante non omogeneo, costituito da due tubi coassiali, di aree A1 ed A2, costituiti da materiali diversi, aventi moduli elastici E1 ed E2• I due tubi sono collegati fra -

loro in modo che gli spostamenti assiali siano gli stessi. Il comportamento sotto carico del prototipo è interpretato da un modello piano, formato da due aste collegate in parallelo mediante due traversi indeformabili.

N

t L=l=l 1 2

tN2

t N1

I

l

I

N Flg. 1.3

li modello è separato nei suoi componenti, in modo da mettere in evidenza le forze interne N1 ed Nz. -

1 Generalità sui componenti e sui sistemi

6

Il sistema raggiunge l'equilibrio quando la somma delle reazioni elasti­ che uguaglia la forza esterna:

da cui si ricava l'incognita cinematica o

Noto &, è immediato determinare N1 edN2:

Si vede che la forzaN si ripartisce fra le due aste in parti proporzionali alle rispettive rigidezze assiali K1 e K2. Alla rigidezza assiale si può dare una interpretazione fisica: è la forza che produce l'allungamento unitario dell'a­ sta avente lunghezza l, area della sezione trasversale A, modulo elastico E. Nella figura 1.4 sono riportati i diagrammi che esprimono i legami funziona­ li fra le tre forze N, N1 ed N2 ed il correlativo spostamento assiale &. Determiniamo infine la tensione di trazione uniforme in una delle aste, per esempio l'asta 1. Si ha:

N

./ ../�--· --

Fig. 1.4 - Diagrammi rappresentativi delle relazioni costitutive N, = K10, N2 = K2o delle aste appartenenti al sistema in parallelo di cui alla figura 1.2 e della risultante N N1 + + N2

to

=

(K1 + Kz)O. Il collegamento rigido fra le due aste impone la uguaglianza dello spostamen­ assiale o. =

7

1.3 Secondo esempio: due aste tese inparallelo

a,=

N1 --

A1

=

K1

N

K1 + K2

A1

1 A1 +

E;"Ai Ei

N=

=

E1A1

N

E1A1 + EiA2

A1

N A1 + nAi

=

=

N Aid

avendo posto n = E2/E1 e Aid = A1 + nAi. Per l'asta Ai risulta: Ni

a2---_

Ai

_

EiA2

N --

Ei/E1

_

E1A1 + EiAi

Ai

A1 + Ez/E1Ai

N=

nN --

Aid

= na1

Come vedremo più avanti, a proposito del calcolo dei pilastri di cemen­ to armato con il metodo delle tensioni ammissibili, basato anch'esso sulla ipotesi di legami costitutivi lineari per il conglomerato e per l'acciaio, nel caso di forza di compressione N centrata, le tensioni nel conglomerato e nelle barre longitudinali di acciaio si scrivono: ac =

N -

A id

;

a5 = nac

in cui n = E5/Ec è il rapporto fra i moduli elastici del conglomerato e dell'ac­ ciaio e Aid = Ac + nA5 è l'area ideale«omogeneizzata» della sezione, conside­ rata cioè come se fosse costituita da un unico materiale - quindi omogenea - precisamente di calcestruzzo. Nel caso delle costruzioni miste«acciaio-calcestruzzo» risulta più pra­ tico scrivere l'area ideale omogeneizzata in acciaio invece che in conglome­ rato, nel modo seguente:

in cui As è l'area del profilato, Ac quella del conglomerato ed n è sempre posto uguale a Es/Ec. 1 .3

SECONDO ESEMPIO: DUE ASTE TESE IN PARALLELO, MATERIALI DIVERSI ENTRAMBI ELASTO-FRAGILI

Con riferimento allo stesso schema strutturale dell'esempio preceden­ te, ci proponiamo ora di determinare il carico di collasso del sistema. A tale scopo consideriamo il caso che entrambi i materiali abbiano comportamen­ to elasto-fragile, con tensioni di rottura pari, rispettivamente, ad R1 ed R2. I corrispondenti carichi di rottura ed allungamenti di rottura relativi alle singole aste considerate come indipendenti valgono: o o

-

l,R-

2,R-

-

N1,R K1 Nz,R

�

1 Generalità sui componenti e sui sistemi

8

N

Ò1.R

�1 J

b:z,R

- Nel caso di materiali elasto-fragili, i diagrammi di N1 K1c5 ed N2 K2c5 sono limitati, rispettivamente, dai valori di rottura N1,R ed Ni.R· Nella figura è rappresentato il caso in cui

Flg. 1.5 N1,R

<

=

=

Ni,R· Al momento della rottura, che avviene senza preavviso, la forza risultante vale N

=

N1,R + K201,R

=

N1,R

(I+ �:)

<

N1,R

+

N2,R

La rottura avviene in corrispondenza dell'allungamento minore. Se ò1,R < ò2,R (v. fig. 1.5) il carico totale di rottura è pari a:

se ò2,R

<

&1,R si ha:

se 01,R = ò2,R = ÒR si ha:

Dall'esame delle relazioni precedenti s� vede-che: a) la crisi del sistema è determinata dall'asta che ha il minor allungamento di rottura; b) l'altra asta contribuisce al carico ultimo totale con una frazione del proprio carico di rottura;

1.4 Terzo esempio: due aste tese in parallelo

9

e) il carico ·di rottura totale è uguale alla somma dei carichi di rottura individuali solo se gli allungamenti di rottura sono uguali; d) in tutti i casi la rottura avviene di schianto, senza preavviso.

Ai fini degli impieghi strutturali questo tipo di rottura è estremamente pericolosa, quindi l'accoppiamento di due elementi elasto-fragili non viene adottato. Tuttavia la rottura dell'acciaio teso sotto cicli ripetuti di tensioni oscil­ lanti (per fatica) è un fenomeno che può verificarsi anche in un acciaio duttile. 1.4

TERZO ESEMPIO: DUE ASTE TESE IN PARALLELO, UN MATERIALE ELASTO-FRAGILE, L'ALTRO ELASTO-PLASTICO

Consideriamo ora il caso in cui l'asta 1 sia costituita ancora da materia­ le elasto-fragile con tensione di rottura pari ad R1 e l'asta 2 da materiale elasto-plastico con tensione di snervamento pari ad S2. Si ha, evidentemente: N1,R

=

N 2,s

=

R1A1;

81,R

S2A2;

82.s

= K1Ni,R (allungamento a rottura)

= K2N2.s (allungamento all'inizio dello snerva­

mento, segnalato dal «ginocchio» sul dia­ gramma tensioni-deformazioni del mate­ riale elasto-plastico)

Occorre considerare tre sottocasi, in base ai valori dell'allungamento a rottura del materiale 1 e dell'allungamento alla soglia dello snervamento del materiale 2: 82,s < 81,R 0 2,s= 01,R

(v. fig. l .6a)

(v. fig. l.6b)

02,S > Ot,R

Nel primo sottocaso, lo snervamento dell'asta 2 precede la rottura del­ l'asta 1. L'asta 2, snervata, si allunga al carico costante N2.s, fino a che l'asta 1 raggiunge il carico di rottura Nt ,R· Il carico di rottura totale è dato dalla somma dei due carichi individuali di crisi:

Una situazione analoga si verifica nei pilastri di cemento armato, sog­ getti a pressione centrata, per i quali il carico totale di rottura è espresso dalla relazione NuLT. IO CUI

=

Nc,R + Ns,y

1 Generalità sui componenti e sui sistemi

10

N

Ns

N

0'1,li!.

a)

=

Ò'2 5

N2S I

I

R

b)

l.6a) - Sono rappresentati i diagrammi di Ni(o), Nz(o) e di N Ni(o) + Nz(o) nel caso in cui l'asta 1 è costituita da materiale elasto-fragile, l'asta 2 da materiale elasto-plastico ed il carico di snervamento N2.s risulta minore del carico di rottura Ni.R· A differenza del caso considerato

Fig.

=

nella figura 1.5, i due materiali sono sfruttati al massimo, infatti il carico di rottura totale è pari a NR = N1.R + N2,S· b) - È rappresentato il caso particolare in cui N1,R = N2.s, in cui i due materiali arrivano contemporaneamente alla crisi. Nella terminologia del cemento armato questa situazione è denominata «rottura bilanciata».

Nc.R è il carico di rottura della sezione di conglomerato, Ns,y è il carico di snervamento (in inglese yielding) delle armature longitudi­ nali. Nel secondo sottocaso i due materiali giungono contemporaneamente alla crisi, che ha carattere fragile, perché l'asta 2 non ha il tempo di svilup­ pare le deformazioni plastiche dopo la soglia dello snervamento, per l'imme­ diato cedimento dell'asta 1, elasto-fragile. Nel terzo sottocaso, caratterizzato da o2,s > o1.R, la rottura dell'asta 1 precede lo snervamento dell'asta 2 e si ricade quindi nel caso dei due mate­ riali elasto-fragili, per cui il carico di rottura totale è pari a:

Se però avviene che il carico totale, applicato alle due aste in parallelo all'atto della rottura dell'asta 1, è minore di N2.s e se, per la simmetria assiale del sistema effettivo, la forzaN esterna edN2 restano allineate, come avviene nel caso dei due tubi coassiali, allora tutto il carico totale si trasfe­ risce sull'asta 2, che non è ancora giunta allo snervamento, e l'equilibrio del \ sistema è ancora possibile. Si ha, quindi, immediatamente prima della rottura dell'asta 1: N1=N1,R;

N, R Ot =01R=--'K1 •

1.4 Terzo esempio: due aste tese in parallelo

Nz = KzOt,R=

K2 Ki

11

N1,R;

02 = 01.R

( ��)

Ntot = N1.R + N2= N1,R t +

Immediatamente dopo la rottura dell'asta 1, si ha:

Il sistema resistente si è ridotto all'asta 2, ma è ancora in grado di assorbire un incremento di forza assiale esterna A N* tale che: N2 = AN* = Nz.s

ed inoltre il collasso ha carattere duttile. La situazione precedente è descritta nella figura 1.7. Il comportamento ora esaminato è molto interessante, perché consente di realizzare una rottura duttile. La condizione perché esso si verifichi, espressa da:

( ��)

N101= N1.R 1 +

= R1A1

( :���) 1+

N Ntot

D

A

---

tJ1,ia . -

o

02

�Nif:

l1N2= tJ1,R

N2,S

-

N2=1 Ma,1ed Mc,t (v. fig. 5.9). Nc,t ed Mc,t sono diretti in verso contrario a Nc,o ed Mc,o in previsione della diminuzione delle sollecitazioni nella soletta, per effetto dello scorri­ mento viscoso dal calcestruzzo. In analogia con la precedente analisi elastica, abbiamo a disposizione le due equazioni di equilibrio: =

Nc,t

=

Na,t

Ma,t

=

Mc,t + Nc,t

•

d

Per semplicità , si considera Ec costante durante tutta la evoluzione del fenomeno, trascurando la sua variazione con l'età (invecchiamento). Trattandosi di un fenomeno variabile nel tempo, si fissa l'attenzione su un intervallo generico dt. Le equazioni di equilibrio si scrivono, con ovvio significato dei simboli: a)

dNa,t

b)

dMa, t

=

=

dNc dMc, l +d. dN

A loro volta le relazioni di congruenza si scrivono: c) d)

Mco

· ---

E Jc c

Er,oo

cp 00

dcpt d

(j)

t

-

--

+

Mct dMct dMat 1 ' dcpt - - 1· = Ea a Ee c E cJc

Nc,o EcAc

·

d

(j)t

_

� dcp EcAc

t

_

(conservazione delle sezioni piane).

. (uguaglianza delle curvature)

dNc,t EcAc

_

dNa,t EaAa

=d

.

dMa,t EaJa

111

5.6 Influenza dello scorrimento viscoso

Confrontando queste espressioni con le analoghe della soluzione elasti­ ca (v. par. 5. 5. 2), si vede che compaiono dei termini differenziali aggiuntivi (dMau , dMci, . dNa,v dNc, 1 ) che tengono conto delle variazioni di Mat, • Mc.i. Na,t• Nc,v che si verificano nell'intervallo infinitesimo dt: tali termini provocano solo deformazioni elastiche, rotazioni e deformazioni, perché essi hanno carattere istantaneo, mentre le altre caratteristiche, di lunga durata, sono in grado di provocare deformazioni viscose. Le quattro equazioni, per eliminazione di Nat, e di Nct, • si riducono alle due seguenti:

{

dMct a1 1 - _._ dt

+

dMat a12Mc't + b,,- _._ dt

+

b12Ma't + C1 =o

dMc,t dMa,t az,- -- + a22Mc'1 + bzi- -- + bi2Ma'1 + Cz = O dt dt La soluzione del sistema predetto fornisce le espressioni di Ma,t e di Mc,i. che sono formalmente piuttosto complesse e non adatte alle pratiche appli­ cazioni. Peraltro la struttura delle formule finali è molto semplice ed è la seguente: per l'acciaio:

Ma(t) =Ma,o + Ma,t Na(t) =Na,o + N at,

per il calcestruzzo:

Mc(t) =Mco, - Mct, Nc(t) =N e.o - N ct,

Per poter ottenere espressioni più idonee all'impiego nei problemi tec­ nici sono state introdotte ipotesi semplificative, f ra le quali una delle più note è dovuta al S ontag (1951), che, per le travi composte in cui l'altezza della parte di acciaio, è molto maggiore dello spessore della soletta, ha adottato l'equazione di equilibrio dei momenti approssimata

in cui non compare il momento Mct, · In effetti nelle travi alte risulta che Mc,t è molto minore di d Nb,t· Con questa semplificazione il sistema delle due equazioni diff erenziali viene disaccoppiato in due equazioni indipendenti di agevole soluzione. S i trova così: ·

Nc,t =

(

NRIT. n

Na,t =Nct,

Mat, =dNc,t

+

)

Nc,o (1 - e - a"'')

5 Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruzzo

112

Mc,t = Mc,o( l X

in cui: o.=

Aa ' Ja , A. J •

[e-aq>, P

-

[(�

e- q>.,,

--

d60

r�20cm

r�60cm

Umidità relativa dell'atmosfera

0,26X 10-3

0,2 1X 10-3

circa 75%

0,43X 10-3

0, 3 1X10-3

circa 55%

0,2 3X 1 0-3

0,2 1X 10-3

circa 75%

0, 32X 10-3

0, 30X 10-3

circa 55%

0, 16X 10-3

0,2 0X1 0-3

circa 75%

0, 19X 1 0-3

0,28X 10-3

circa 5 5%

Per le strutture isostatiche, le Istruzioni 1 00 1 6/85 indicano un procedi­ mento approssimato che è attribuito ad E . Morsch. Per prima cosa si imma­ gina che la soletta sia svincolata dalla trave di acciaio e che la soletta libera subisca integralmente la diminuzione volumetrica per ritiro con il valore percentuale massimo Eroo(t0). Nella direzione dell'asse della trave composta la variazione volumetrica si traduce in una certa diminuzione di lunghezza. A questo punto si pensa di far tornare la soletta alla lunghezza iniziale, prima del ritiro del calcestruzzo, applicando alle sue estremità due forze di trazione baricentriche capaci di produrre la stessa deformazione dovuta al ritiro, ma di segno opposto, in modo da annullare, nel complesso, la defor­ mazione della soletta.

5 Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruzza

116

L'intensità di queste forze è pari a:

in cui Ec si assume di solito pari al valore Ec = 5700 � (N/mm2) con R:K resistenza cubica caratteristica, determinata a 28 giorni di stagionatura. In realtà il fenomeno del ritiro si evolve nel tempo, cosicché da una parte la resistenza del calcestruzzo tende ad aumentare e così pure il modulo Ec, mentre, dall'altra lo scorrimento viscoso consente al materiale di deformar­ si a tensione costante, come se il modulo elastico Ec avesse valore nullo. Ci stiamo rendendo conto che una delle cause della approssimazione del meto­ do di calcolo in esame è insita nella valutazione del modulo Ec. Vogliamo anche stimare l'ordine di grandezza delle tensioni di trazione fornite da: Ec&roo(ìo) = 30 N/mm2( - 300 kg/cm2) 5.700.J30 3 1 .220 N/mm2 Ec e,.00(fo): assumiamo due valori, il massimo ed il minimo della tabella prece­ dente 0,43 X 10-3; 0, 1 6 X 1 0-3 = 3 1 .220X 0,43 X 1o-3 = 13.4 N/mm2 (- 1 34 kg/cm2) = 3 1 .220 X 0, 1 6X 1 0-3 = 5,00N/mm2(- SO kg/cm2) 02 0.7 fctm (valore caratteristico della resistenza a trazione semplice) = 0,7X 0,27 � (N/mm2) = =0.7 X 0.27 X if3fY = 1 , 82 N/mm2 ( = 1 8 kg/cm2) R:K

=

=

•

I valori di a1 o di a vanno pensati sovrapposti alle tensioni di compres­ 2 sione presenti nella soletta; comunque sono molto elevati, così da giustifica­ re le proprietà di moduli ideali, ridotti per tenere conto dello scorrimento viscoso. Per mantenere la soletta allungata in modo da compensare integralmen­ te l'accorciamento unitario finale per ritiro si immagini ora di ripristinare il collegamento fra la soletta e la trave (collegamento rigido, senza scorri­ menti relativi di tipo elastico) e di rimuovere le forze esterne acAc previste dal modello di calcolo. Le forze acAc sono ora fornite dalle reazioni elastiche della soletta, che tende ad accorciarsi e che ne è impedita dai dispositivi di collegamento. Sulla trave di acciaio agiscono ora, dopo l'ideale ripristino del collegamento, le stesse forze acAc, uguali ed opposte a quelle che tengono tesa la soletta: la trave metallica è dunque sottoposta a pressione eccentri­ ca. La figura 5.11 fa vedere la forza N, passante per il baricentro della soletta, ed il momento di trasporto M della medesima forza N dal baricentro Gc della soletta al baricentro G della trave composta resa omogenea; con la simbologia della figura, risulta che: M = Nc,RITX (Yc - y)

11 7

5.7 Flessione: calcolo del momento ultimo

ffi�­ n=� Flg. 5.11

Per quanto riguarda le tensioni, si ha: Tensioni

Oc,s= Oc,;=

Nc,RIT Nc,RIT Ac -

Oc,i

-

NOTE:

_

Nc,RIT

_

Nc,RIT

Ac

Oc,s=

==

Fase b

Fase a

Soletta tesa indipendente

_

_

nA

_

_

nA

Nc,RIT

Nc,RIT(Yc - y) ( nJ

H

Nc,RIT(Yc - y) (h a

_

y)

_

y)

nJ

_

Nc,RIT(Yc - Y)

A

J

A

J

Nc,RIT + Nc,RIT(Yc - Y)

(ha -y) y

Sezione composta resa omogenea presso-inflessa; sono tese le fibre inferiori

Si nota che il procedimento non tiene conto delle deformazioni elastiche della trave e della soletta, che influiscono sul valore della forza F < Nc,RIT• che si scambiano i due elementi. 5.7

5. 7.1

FLESSIONE: CALCOLO DEL MOMENTO ULTIMO

Modalità di collasso di una sezione mista

La crisi di una sezione mista può essere dovuta al cedimento di uno dei materiali costitutivi (snervamento dell'acciaio, schiacciamento del calce-

118

5 Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruzzo

struzzo), ovvero a quello degli elementi di collegamento fra la trave metalli­ ca e la soletta. Il problema del proporzionamento dei connettori sarà tratta­ to nel paragrafo 5.8); nelle considerazioni seguenti presupporremo che le dimensioni e l'interasse dei connettori siano tali da escludere che essi siano la causa primaria della crisi della sezione. Se la trave raggiunge per prima lo snervamento, mentre la tensione massima del calcestruzzo è minore di quella di rottura, la plasticizzazione si estende verso l'alto nella sezione di acciaio, la sezione composta continua a ruotare fino a che l'accorciamento unitario del calcestruzzo all'estradosso della soletta raggiunge a sua volta il valore critico, dell'ordine del 3.5%0: a questo punto il calcestruzzo si rompe e l'intera sezione collassa. Quindi la causa primaria della crisi è lo snervamento dell'acciaio, in quanto attiva automaticamente lo schiaccia­ mento del calcestruzzo. Questa modalità di collasso è quella che corrispon­ de ad un corretto proporzionamento della sezione, perché consente di sfrut­ tare completamente le risorse di resistenza di entrambi i materiali costitu­ tivi. Se invece è il calcestruzzo che si rompe per primo, mentre l'acciaio è ancora in campo elastico, la crisi è immediata a causa della disgregazione del calcestruzzo schiacciato; l'acciaio non può quindi raggiungere lo snerva­ mento e risulta. perciò male utilizzato. In definitiva, ritroviamo le stesse modalità di crisi messi in evidenza nel paragrafo 1 .4) con riferimento al caso di due aste collegate in parallelo, una di materiale elasto-plastico, l'altra di materiale elasto-fragile, sottoposte alla sollecitazione di forza normale. Consideriamo ora il caso della crisi di tipo duttile, distinguendo due sottocasi in base alla posizione dell'asse neutro rispetto alla soletta, se, cioè, l'asse neutro taglia la soletta, ovvero se taglia l'anima della trave di acciaio. Nel primo sottocaso la trave metallica risulta interamente tesa e non c'è pericolo di fenomeni locali di instabilità. Nel secondo sottocaso una parte della trave è compressa ed occorre prevedere l'eventualità dell'insorgere di tali fenomeni. A parità di altre condizioni (tipo e altezza del profilato, tipo di acciaio, spessore della soletta, classe di resistenza del calcestruzzo) la posizione dell'asse neutro dipende dalla larghezza della soletta. Quanto maggiore è la larghezza della soletta, tanto minore è la distanza dell'asse neutro dal bordo superiore della soletta. È quindi molto importante valuta­ re correttamente la larghezza collaborante della soletta (larghezza effica­ ce B), in corrispondenza della quale le tensioni normali O'x sono considerate costanti, mentre nella realtà diminuiscono in maniera non lineare con la distanza dalla trave di acciaio (v. fig. 5 . 1 2) Secondo le Istruzioni 1 00 1 6/85 B =be+ ber1 + bef2 in cui: ·

è la larghezza direttamente impegnata dai connettori sono le larghezze efficaci della soletta da ciascun lato della trave, determinabili mediante l'espressione: bef = 11b

in cui TI è un coefficiente da valutare caso per caso secondo le indicazioni fornite dalle Istruzioni, in funzione dello schema statico della trave (sempli-

119

5.7 Flessione: calcolo del momento ultimo

Fig.

5.12

cemente appoggiata, campata interna di trave continua, mensola), del rap­ porto fra la larghezza trasversale b (di solito un po' minore della metà dell'interasse delle travi, perché viene dedotta la larghezza direttamente impegnata dai connettori be), del tipo di carico (uniformemente ripartito, concentrato in mezzeria). 5. 7.2

Flessione semplice: calcolo plastico

L'acciaio da carpenteria è un materiale elasto-plastico; per semplicità nei calcoli seguenti viene considerato rigido-plastico, in quanto si trascura il tratto elastico vicino all'asse neutro e si considera un diagramma di tensioni rettangolare, il cui valore costante è pari alla tensione di snerva­ mento fy (ovvero alla tensione di calcolo fd = fyl-y, in cui y è un coefficiente parziale di sicurezza, precisato dalla normativa). Il calcestruzzo compresso ha un diagramma tensioni-deformazioni cur­ vilineo descritto dalla figura 4.2. Nel calcolo del cemento armato si accetta la semplificazione indicata nella figura 5 . 1 3, che conduce all'adozione di un diagramma detto « parabola-rettangolo ».

fc 0.4fc Flg.

5.13

----=�_,....... ;;:.._

I

51EMPLIFICAZION�

5 Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruzza

120

.,..

Fig. 5.14

jql f.c lc'. ·- �.!f"� t (a =o. e + o.es)

_ _

3.!1 %0

°?).S%a

E

E.

Fig. 5 . 1 5

Il diagramma parabola-rettangolo risulta definito in base alla figura 5 . 1 4, in cui sono rappresentati il diagramma delle tensioni caratteristiche, il diagramma delle tensioni di calcolo fcd =fcK/y ed il diagramma da utilizza­ re nelle verifiche, avente come ordinata massima il valore ridotto afcd · Il coefficiente a tiene conto degli effetti riduttivi dei carichi di lunga durata sulla resistenza a compressione, determinata in laboratorio con carichi applicati staticamente, ma pur sempre della durata di pochi minuti, ed, inoltre, degli effetti sfavorevoli dipendenti dal modo con cui il carico è applicato. La figura 5 . 1 5 mostra un diagramma alternativo, bilineare, di area equi­ valente al diagramma parabola-rettangolo, previsto dall'EC 2. Nella figura 5 . 1 6 è riportato, sempre dall'EC 2, un diagramma rettango­ lare di tensioni di compressione avente l 'altezza ridotta 0.8x, di modo che la sua area risulti equivalente a quella del diagramma parabola-rettangolo. Nel caso delle sezioni miste acciaio-calcestruzzo viene convenzional­ mente adottato un diagramma rettangolare, esteso a tutta l'altezza della zona compressa della soletta, dal bordo superiore all'asse neutro. La tensio­ ne uniforme del calcestruzzo è assunta pari a fcd =0,8 fcKIYc dalle Istruzioni 1 00 1 6/85 e pari a fcd =0.85 fcklYc dall'EC 4; in entrambi i casi fcK è la resisten­ za cilindrica caratteristica (frattile 5 %), valutata a 28 giorni. La utilizzazio­ ne di un diagramma delle tensioni rettangolare, corrispondente al legame costitutivo rigido-perfettamente plastico, per il calcestruzzo, caratterizzato

ctfcd.. J

Flg. 5. 1 6

_

o.fccL

_

IJ. a :ic

5. 7

121

Flessione: calcolo del momento ultimo

dal decadimento progressivo della resistenza al crescere della deformazio­ ne, rivelato dal ramo cadente del diagramma sperimentale tensioni-defor­ mazioni, può suscitare perplessità. Nel campo del cemento armato, i sostenitori dell'uso del diagramma

rettangolare, adducono le giustificazioni seguenti:

a)

la forma del diagramma delle tensioni nel calcestruzzo compresso non

ha che una modesta influenza sul valore del momento di rottura. Uno studio statistico di C. Massonet e di P. Monaert, presentato al 6° Congres­ so internazionale dell'A.I.P.C. (Association Internationale des Ponts et Charpentes), Stoccolma 1960, basato sui risultati di circa 1600 prove di flessione su travi di cemento armato, ha mostrato che il rapporto: r=

Momento di rottura osservato sperimentalmente Momento di rottura calcolato

è risultato pari, in media, a 1,007 quando il momento di rottura è stato calcolato con il diagramma rettangolare, e pari a 1,074 quando si è adot­ tato il diagramma parabolico. Già dal 1944, su proposta del professore P. Pasternak, il regolamento sovietico del cemento armato ha adottato, per la sua maggiore semplicità e per la buona approssimazione fornita, il diagramma rettangolare;

b) è possibile estendere al cemento armato la teoria della plasticità ed i teoremi della analisi limite (da non confondere con il metodo agli stati limite) e, quindi, si può convenzionalmente considerare il calcestruzzo come un materiale a comportamento rigido-perfettamente plastico, pur­

ché si assuma per la resistenza a compressione un valore ridotto f� = fc/v, in cui fc è la resistenza cilindrica e v è il coefficiente di efficacia (effecti­ veness factor). La figura 5.17 chiarisce il significato div, che dipende dal valore assegnato ad Eg, deformazione limite prefissata. Se si fissa Eg 10%0, il coefficiente v varia in funzione della resistenza cilindrica fc in base alla relazione seguente (H. Exner, 1979): =

6"

N/mm2 .f1

40 3o 20

W,

10

J�cLc

W2 =

=

o

e Fig. 5.17

o

1

2

J

4

5

�

E

122

5 Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruzza

V = 3,2/-Jf;, (fc in N/mm2) I richiami precedenti mostrano che l 'adozione del diagramma rettangola­ re richiede cautele, quando esso venga utilizzato non solo per la valuta­ zione del momento di rottura di una trave isostatica, ma anche per pre­ vedere il comportamento deformativo di una cerniera plastica in un sistema iperstatico. Dopo aver esaminato i legami costitutivi, ricordiamo le altre ipotesi: - conservazione delle sezioni piane; - collegamento rigido (senza scorrimenti relativi) tra soletta e trave di acciaio; - calcestruzzo teso non reagente; - spostamenti relativi nulli in direzione verticale fra soletta e trave. Siamo ora in grado di valutare il momento ultimo (momento plastico). I Caso:

l asse neutro taglia la soletta (v. fig . 5 . 1 8)

a) Risultante delle compressioni : C b) Risultante delle trazioni: T e) Posizione dell 'asse neutro:

C

-

T

=

O;

=

fcct B •

=

fyctA a

·

y

fcct

=

·

B

·

y

fyd Aa, da cui si trae:

f d • Aa y= y fcd . B

d.) Braccio delle forze interne: z = Z a y/2 e) Momento plastico: Mp1 = Cz = Tz = fyd Aa z -

•

•

Secondo una terminologia in uso negli Stati Uniti, in questo caso la soletta è considerata « sufficiente » (slab adequate), perché è in grado di fornire da sola la risultante complessiva delle tensioni di compressione.

Flg. 5 . 1 8

123

5.7 Flessione: calcolo del momento ultimo

-

�

Ga,

d,3

---+

fad.

c1 =

11

fa ci

f�cL � t

2 facl

y Fig.

5.19

II Caso: l 'asse neutro taglia la trave di acciaio (v. fig. 5 . 1 9)

a) Risultante delle compressioni nella soletta:

Cc = fcd • B • S b) Questa volta Ta è minore di fyd · A3, precisamente:

Inoltre, per l'equilibrio delle forze orizzontali, si ha:

Uguagliando le due espressioni di T3 , troviamo: Cc + 2Ca = fyd · Aa, da cui c

a

=

fyd · Aa - fcd · B · s 2

Quindi l'area compressa di acciaio vale A� = C3/fyd· È immediato ricono­ scere che A� è la somma dell'area dell'ala superiore, che è nota in base ai dati riportati sul sagomario (area piattabanda = b · t) e della parte compressa dell'anima, che possiamo scrivere sa · x, in cui x è la distanza tra l'asse neutro e l'intradosso dell'ala superiore. Si ha quindi immedia­ tamente:

1 24

5 Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruzzo

x=

A� - b · t

Nota l'altezza x, la distanza dell'asse neutro dal lembo superiore della soletta è data dalla somma: y=

s(soletta)

+

t(piattabanda) + x

Le considerazioni svolte in precedenza per ricavare Ca suggeriscono di operare direttamente sul diagramma delle tensioni riportato a destra nella figura 5 . 1 9, in cui il diagramma delle tensioni di trazione è esteso a tutta l'altezza della trave di acciaio, ciò che fornisce il termine fydAa e quello delle tensioni di compressione è raddoppiato, in modo da scrivere direttamente il termine 2Ca = 2fydA� Per l 'equilibrio alla traslazione si ha: .

da cui si ricava la stessa espressione di A� di prima. e) Determinazione del momento plastico. È particolarmente semplice operare con le forze relative al diagramma delle tensioni a destra della figura 5 . 1 9, perché delle tre risultanti Cc, 2Ca e T fydAa, si conosce il punto di applicazione di due di esse: Cc è applicata a metà spessore della soletta e T = fydAa è applicata nel baricentro, noto, della intera trave metallica. Occorre quindi valutare soltanto il baricentro della sezione di acciaio a T, al di sopra dell'asse neutro: la sua distanza del lembo superiore della trave di acciaio vale: =

2 bt 12 + S3X(x/2 di = bt + S3X

+

t)

Indichiamo con d2 e con d3 rispettivamente le distanze fra il baricentro della intera trave metallica Ga ed i baricentri della soletta e dell'area A� . Il momento plastico, valutato rispetto a Ga, è fornito dalla espressione:

in cui:

dz d3

= =

Za - s/2 Za - S - d1

Con la terminologia utilizzata nel I caso, in questo caso la soletta è considerata " non sufficiente » (slab inadequate), perché una parte della ri­ sultante complessiva delle tensioni di compressione è fornita dalla zona superiore della trave metallica. A causa della possibilità di fenomeni di imbozzamento nella zona compressa dell'anima della trave metallica, la capacità di rotazione a momento costante può risultare limitata. Questo

125

5 . 8 Le ve rifiche dei dispositivi di collegamento

fenomeno non si verifica se risulta compressa soltanto l'ala superiore, cioè se l'asse neutro passa per il lembo inferiore dell'ala stessa. 5. 7. 3

L 'tnfluenza del taglto sul momento dt collasso plasttco

Nel caso delle costruzioni di acciaio abbiamo studiato (v. volume pagg. 1 1 9- 1 2 1 ) l'interazione del taglio e del momento in campo plastico: detto TP il taglio che produce la plasticizzazione completa dell'anima di area Aa (Tp = Aa f/v3) se la forza di taglio di calcolo (dovuta ai carichi di esercizio moltiplicati per i coefficienti parziali di sicurezza YF) è maggiore di 1 /3 TP si deve fare assegnamento su un valore ridotto Mr del momento di completa plasticizzazione Mu. Secondo l'EC 3 si assume: •

Mridotto = Mu ( l 1 - 0,3T/T } p ,

Nel caso delle travi composte di acciaio e calcestruzzo, il taglio è affi­ dato completamente all'anima dell'elemento metallico: valgono quindi, in sostanza, le stesse considerazioni di prima. Secondo le Istruzioni CNR 1 00 1 6/85 quando l'azione tagliante di calcolo V allo stato limite ultimo supera l'azione tagliante VP1 la riduzione del momento di collasso plastico viene effettuata in base al dominio di interazione riportato nella figura 5.20, valido per le travi metalliche a sezione doppiamente simmetrica. Criterio analogo è adottato nell'EC 4 .

.., o.a

Fig. 5.20

_

o

_

0.10

_

I ---- --! I I I

_

0.33

0.50

1.0

LE VERIFICHE DEI DISPOSITIVI DI COLLEGAMENTO

5.8

5.8. 1

Crttert di classificaztone det connettori

I connettori sono di quattro tipi: a} � a taglio; b) a staffa (v. fig. 5.2 1 ); c) a taglio ed a staffa; d) ad attrito;

5 Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruzzo

1 26

t--��---41,.-��---Jv� ������ \ ������ OAL-DATU R E. A CORDON E. DA�GOLO

Fig. 5.2 1

-

Connettore a staffa (prospetto e pianta).

A loro volta i connettori a taglio si suddividono in: al) a2) a3) a4) aS)

pioli muniti di testa (v. fig. 5.23, 5.24); pioli privi di testa; connettori a [ ; connettori a T; connettori ultrarigidi (v. fig. 5.22).

Ad eccezione dei connettori ad attrito, tutti gli altri tipi sono saldati all'estradosso dell'ala superiore della trave di acciaio. Le saldature sono di due tipi: saldatura automatica con pressione all'arco elettrico, adottata per i pioli; - saldatura manuale a cordone d'angolo per gli altri tipi. La saldatura elettrica automatica dei pioli ha incontrato largo favore per la rapidità di esecuzione e perché non richiede l'impiego di personale altamente specializzato, come nel caso della saldatura a cordone d'angolo

Fig. 5.22 - Esempio di collegamento ultra-rigido: a causa della sua rigidezza si può ipotizzare che

la pressione sul calcestruzzo a rottura sia distribuita in modo uniforme sulla superficie di contatto. Nella figura A1 è l 'area della superficie frontale del connettore e A11 è l 'area della superficie «allargata •, che compare nella formula della pressione di contatto ultima, che è maggiore della resistenza caratteristica del calcestruzzo, secondo le Istruzioni CNR 10016185.

5.8 Le ve rifiche dei dispositivi di collegamento

1 27

LESIONE

Fig. 5.23

Ax

1

ovvero a testa ed a T a penetrazione completa. L'automatismo delle opera­ zioni è assicurato dall'uso di una apposita pistola e di speciali corone di materiale semiconduttore, dette « ferule ». La fusione di una delle estremità del piolo e della zona dell'ala adiacente avviene all'interno della ferula, in ambiente protetto; successivamente anche la ferula fonde, fornendo metallo di apporto alla saldatura. Il piolo è spinto da una molla, contenuta nella pistola, contro un risalto anulare predisposto all'interno della ferula, a circa un terzo della altezza, cosicché, all'inizio della operazione, risulta leggermente staccato dall'ala. Quando la ferula fonde, il piolo, non più ostacolato, viene premuto nel bagno di fusione. Tutta l'operazione di fusione richiede circa un paio di secondi.

Fig. 5.24

128

5.8.2

5 Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruzzo

Meccanismi di trasferimento delle forze interne e modalità di crisi: il caso dei pioli con testa

Per la frequenza del loro impiego fissiamo l'attenzione sul collegamento a taglio con pioli muniti di testa. Nella figura 5.23 è schematizzato un piolo nella situazione prossima al collasso: il piolo, immerso nel calcestruzzo, è saldato al piede nell'ala della trave e si oppone allo scorrimento relativo dei due elementi. Il piolo, il cui interasse longitudinale è Ax, è sottoposto alla base alla forza di scorrimento T b Ax e lungo il fusto alle pressioni del calcestruzzo. La crisi del collegamento può essere localizzata in corrispondenza di un singolo piolo (quello più sollecitato) e può essere dovuta: •

·

- alla recisione del gambo; - allo schiacciamento del calcestruzzo, ovvero può avvenire nella zona di diffusione delle forze trasmesse dai pioli al calcestruzzo, per superamento della resistenza tangenziale del calce­ struzzo lungo superfici longitudinali qualsiasi, come, ad esempio, le super• fici a-a o b-b della figura 5.24. Per aumentare la resistenza allo scorrimento lungo le superfici longitu­ dinali suddette vengono disposte armature trasversali, come quelle visibili nella sezione. L'analisi dei meccanismi di trasferimento e di diffusione delle forze dall'ala della trave di acciaio alla soletta relativa al caso dei connettori a piolo suggerisce una metodologia comune anche agli altri tipi di connettori a taglio. Il comportamento dei connettori a staffa, che risultano tesi, risul­ terà più chiaro dopo aver studiato il funzionamento dei ferri piegati nel cemento armato. Per quanto riguarda i collegamenti ad attrito, che si utiliz­ zano per unire solette prefabbricate alle travi di acciaio, vale quanto già sappiamo sui bulloni ad alta resistenza. 5. 8. 3

Verifiche dei collegamenti a taglio

La verifica del singolo dispositivo di collegamento, eseguita col metodo agli stati limite (stato limite ultimo del collegamento) consiste nell'accertare che la forza di scorrimento di calcolo Qd sia non maggiore della resistenza di calcolo a taglio Pd· Se la crisi del collegamento può avvenire secondo due modalità distinte (recisione del connettore di acciaio, schiacciamento del calcestruzzo), la resistenza di calcolo Pd è il minore dei valori ottenuti valu­ tando la capacità ultima del collegamento in corrispondenza di ciascuna delle modalità di crisi. Se si opera con il metodo delle tensioni ammissibili si valuta la forza di scorrimento prodotti dai carichi di servizio Oser. e si controlla che sia non maggiore del valore ammissibile Pam Pd/ 1 .5. Ciò premesso, vediamo come si valuta la resistenza di calcolo a taglio Pd =

Le verifiche dei dispositivi di collegamento

5.8

129

per i connettori a piolo, a C, a T, ultra-rigidi, secondo le Istruzioni CNR 10016/85 .

5.8.3.1

a)

Pioli muniti di testa

Rottura a taglio del piolo:

in cui: dp: diametro dei pioli (cm);

fyK: tensione di snervamento caratteristica dell'acciaio costituente i pioli (N/mm2); 'Ya : coefficiente parziale di sicurezza dell'acciaio, posto uguale ad uno.

b)

Rottura per schiacciamento localizzato del calcestruzzo:

in cui: hp: altezza effettiva dei pioli (cm); h;: altezza efficace dei pioli, pari a: h;

se

= hp

h P � 4dP h� = 4dP

se

hp > 4 dP

f cK: resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo (N/mm2); 'Ys : coefficiente parziale di sicurezza del calcestruzzo pari a 1.4.

5.8.3.2

Connettori a C p

d=

(tr + 0,5tw)bp(8.5 + 0.3fcK)

in cui: tr: tw : bP:

'Ys

(KN)

spessore dell'ala del profilo a e, in cm, misurato in prossimità del raccordo con l'anima; spessore dell'anima (cm); larghezza del profilo (cm);

'Ys = 1.4 5.8.3.3

Connettori a

a)Pd =Ai

f yK 17 ,6'Ya

T

(KN)

in cui: : area della sezione trasversale (cm2); fyK: tensione caratteristica dell'acciaio dei connettori (N/mm2);

Ai

'Ya =

1

5 Componenti strutturali composti di acciaio e calcestruzza

1 30

in cui: bP : hP : fc K: Ys =

larghezza dell'ala del profilo a T (cm); altezza del profilo a T (cm); resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo (N/mm2); 1 ,4

5.8.3.4

Dispositivi di collegamento ultra-rigidi

(v. fig. 5.22) in cui: Ar: area della superficie frontale; fedi : valore di calcolo della pressione di contatto sulla parte frontale del connettore fcd l

_

fcK (Af l /Af) 112 Yc

- --

An: area della superficie frontale del connettore allargata con pendenza 1 /5 fino al filo posteriore del connettore immediatamente successivo. Va ovviamente presa in considerazione solamente la parte di An che si trova effettivamente all'interno della soletta di calcestruzzo; Yc = 1 ,6

Anche le saldature dei connettori devono essere verificate, tenendo con­ to non solo della forza di taglio, ma anche del momento, dovuto alle pressio­ ni frontali applicate al dispositivo di connessione, calcolato nella ipotesi che la forza agisca nel baricentro geometrico della superficie frontale. Inoltre occorre predisporre dispositivi idonei ad evitare il sollevamento della soletta; i quali vanno calcolati in modo da resistere ad una forza convenzionale di trazione pari, almeno, al 1 0 % di Pd; essi devono essere opportunamente spaziati lungo tutta la trave.

5. 8. 4

Verifica dell 'armatura trasversale (v. fig. 5.24)

Occorre verificare che la forza di scorrimento per unità di lunghezza agente su una superficie longitudinale qualunque, passante per il calce­ struzzo soddisfi alle seguenti condizioni: qe � 0, 9'tsle + 0, 7AefyK

qe i:;; 0, 1 9lefcK

5 . 8 Le ve rifiche dei dispositivi di collegamento

13 1

in cui: le :

lunghezza della intersezione della superficie considerata col pia­ no della sezione trasversale; 'ts 1 N/mm2 Ac : somma delle aree delle sezioni dell'armatura trasversale per uni­ tà di lunghezza della trave, che attraversa la superficie di scorri­ mento e che contribuisce alla resistenza allo scorrimento lungo detta superficie; fyK : tensione di snervamento caratteristica dell'acciaio delle armatu­ re trasversali; fcK: resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo. =

Lo sforzo di scorrimento qe può essere valutato in due modi: in base alle tensioni tangenziali agenti lungo la superficie di scorrimen­ to, calcolata con l'analisi elastica; oppure, più semplicemente ed a favore della sicurezza, assumendola pari alla resistenza di calcolo del connettore allo stato limite ultimo, come abbiamo visto nel paragrafo 5.8.3), moltiplicato per il numero di connettori per unità di lunghezza. Nel caso in cui si abbia fcK < 16 N/mm2 (caso che dovrebbe, peraltro, essere evitato con i cementi disponibili e con la diffusa conoscenza della tecnologia del calcestruzzo) occorre verificare che: qe � 0,05 fcKle+ 0 ,7 AefyK qe � 0,19 lefcK

Capitolo

6

Componenti portanti

a struttura mista «acciaio-calcestruzzo»

prevalentemente compressi

6.1

CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE

Esperienze sulla capacità portante di colonne miste, costituite da uno o più profilati di acciaio, interclusi in un getto di calcestruzzo avente sezione quadrata, sono state pubblicate dall'Ingegnere austriaco F. von Emperger nel 1907 sulla rivista Beton und Eisen, un anno dopo la emanazione in Francia delle prime « Instructions relatives à l'emploi du béton armé » (20 ottobre 1906). L'idea di utilizzare profilati invece di barre tonde negli ele­ menti compressi risale dunque agli albori delle costruzioni di cemento ar­ mato, probabilmente per la facilità di reperire i profilati, a causa della precedente diffusione delle costruzioni di acciaio. Tuttavia questa idea non ha trovato consenso nella pratica costruttiva europea per motivi indicati dallo stesso F. von Emperger in una comunicazione presentata al Primo Congresso dell'Association International des Ponts et Charpentens (A.I.P.C.), Parigi, maggio 1932:

a) la mancanza di una regolamentazione tecnica specifica per le colonne miste, analoga a quella valida per il cemento armato;

b) l'uso generalizzato dell'analisi elastica delle sezioni non omogenee, san­

cito dalla Circolare francese del 1906 ed accolto dalle successive norme nazionali sul cemento armato, che penalizza l'acciaio negli elementi com­ pressi, perché ne limita la tensione ad « n » volte il valore della tensione nel calcestruzzo ( aa = E a&a = Ea&c = Eaac/Ec nac); ad esempio, con Oc= =6 N/mm2 ed n = 15, si ha Oa = 6 X 15 = 90 N/mm2 ( = 900 kg/cm2 invece di 120071400 kg/cm2). L'influenza, negativa dal punto di vista economi­ co, di questa limitazione, è modesta nei pilastri di cemento armato, nei quali la percentuale di armatura longitudinale è dell'ordine dell'uno per cento della sezione trasversale di calcestruzzo, mentre diventa sensibile nelle colonne miste, in cui la percentuale dell'armatura realizzata con profilati può arrivare all'otto, dieci per cento; e) la tendenza alla specializzazione delle imprese di costruzione, le une nel campo delle costruzioni di acciaio, le altre nel campo delle costruzioni di =

134

6 Componenti portanti a struttura mista

cemento armato,che non hanno incoraggiato l'utilizzazione di una tecno­ logia mista, che richiede le competenze e le attrezzature di entrambi i sistemi costruttivi. Invece negli Stati Uniti la costruzione di edifici «alti» (grattacieli) e la correlativa particolare attenzione ai problemi della protezione degli ele­ menti strutturali in caso di incendio hanno favorito la applicazione delle colonne miste. Tra i primi esempi,ricordiamo due edifici costruiti nel 1908, il Mac Graw Hall Building e la sede dell'Engineering News Record. Nel 1924 le «Standard Specifications» nordamericane per il cemento armato hanno previsto l'impiego delle «composite columns», costituite da profilati di ac­ ciaio esterni e da un nucleo di calcestruzzo interno,e delle«structural steel columns» in cui i profilati sono contenuti all'interno del calcestruzzo; sono anche disposte barre di armatura longitudinali intorno alle quali è avvolta una forte staffatura. Più recentemente le norme Sovietiche hanno previsto l'impiego di co­ lonne miste nelle costruzioni di cemento armato: durante la costruzione di edifici multipiano,i profilati delle colonne vengono utilizzati come puntelli che sostengono il peso dei casseri, del calcestruzzo fresco e di eventuali sovraccarichi applicati prima dell'indurimento, e sono calcolati come ele­ menti di carpenteria metallica. Dopo l'indurimento del calcestruzzo,si atti­ va il funzionamento a struttura mista per rapporto ai sovraccarichi applica­ ti successivamente ed alle deformazioni di ritiro e di scorrimento viscoso impedite dai profilati e dalle barre di armatura. Il regolamento Sovietico si basa sul metodo agli stati limite, quindi la capacità portante delle colonne miste viene valutata in condizioni di rottura,sommando i contributi massi­ mi forniti da ciascuno dei materiali resistenti,il calcestruzzo, i profilati, le barre dell'armatura longitudinale. In Germania nel 1984 è apparsa la norma DIN 18806 parte 1, relativa alle colonne composte (Verbundstiitzen) e nel 1985 la Commisione delle Comunità Europee ha pubblicato come documento da sottoporre a inchie­ sta pubblica (EUR 9886 EN) l'Eurocodice N° 4 «Common unified rules for composite steel and concrete structures»,che raccoglie,in forma organica, le norme tecniche sia delle travi che delle colonne miste, utilizzando il metodo agli stati limite. In Giappone le costruzioni miste hanno avuto un notevole sviluppo; esse vengono designate con la sigla SRC ( Steel reinforced concrete) e sono disci­ plinate dalle norme S RC Design Standard dell'Architectural Institute of Japan (AIJ) del 1987. Ricordando le circostanze che hanno ostacolato in Europa l'impiego delle colonne miste,notiamo che due di esse,la assenza di norme specifiche ed il calcolo secondo l'analisi elastica,sono da considerarsi rimosse a segui­ to della pubblicazione dell'EC 4. In proposito osserviamo una importante differenza fra l'impostazione dell'EC 4 e quella di alcune norme tecniche precedenti: l'EC 4 considera in maniera unitaria i vari componenti struttu­ rali a struttura mista - le travi, i solai a lamiera grecata, le colonne -

6.2 Morfologia

1 35

mentre, in alcuni casi precedenti, le norme sulle colonne miste sono state incluse fra quelle del cemento armato, limitando alle travi ed ai solai le disposizioni specifiche per le costruzioni miste propriamente dette. Nell'ambito dell'inquadramento unitario dell'EC 4, il progettista è orientato verso la corretta concezione tridimensionale della struttura, uti­ lizzando per la realizzazione dei nodi «travi-colonne» gli schemi ben collau­ dati delle strutture di acciaio o, comunque, riconducibili ad essi. Invece l'impiego delle colonne miste nel contesto di una struttura di cemento arma­ to, con la sola guida della formula per valutarne la capacità portante, senza suggerimenti per la organizzazione dei nodi, per le disposizioni costruttive delle barre di armatura, tali da assicurare la trasmissione dei momenti di continuità tra travi e colonne, e senza informazioni sul comportamento allo stato limite ultimo dei nodi stessi, richiede al progettista di ricercare auto­ nomamente una documentazione sui problemi suddetti, ciò che non è sem­ pre agevole. Infine, per quanto riguarda la terza circostanza che F. van Emperger aveva individuata come antagonista alla utilizzazione delle colonne compo­ ste, si deve rilevare che da allora ad oggi la struttura organizzativa delle imprese è andata modificandosi notevolmente, acquistando flessibilità e capacità adattativa, con particolare riguardo all'uso di nuovi materiali e di tecnologie innovative. Possiamo quindi concludere che oggi le difficoltà segnalate sono da considerare rimosse. I vantaggi che vengono riconosciuti agli edifici interamente realizzati con struttura mista sono i seguenti:

a) incremento della capacità portante delle colonne di acciaio, per il contri­

buto del calcestruzzo che le avvolge; b) aumento del carico critico delle colonne per la diminuzione della snellez­ za, conseguente, a sua volta, dall'incremento del momento di inerzia della sezione mista rispetto a quella del solo acciaio; e) minore deformabilità della struttura nel suo complesso; d) aumento della resistenza al fuoco; e) uguale livello di duttilità rispetto alla struttura di solo acciaio, il che ha particolare rilevanza nel caso di costruzioni in zona sismica. Fatte queste considerazioni di carattere generale, passiamo ad esaminare i seguenti argomenti specifici, relativi alle colonne composte: la loro morfologia; le modalità costruttive e i collegamenti «trave-colonna»; la capacità portante ultima della sezione composta presso-inflessa; la capacità portante ultima della colonna composta snella. 6.2

MORFOLOGIA

Le sezioni delle colonne composte di acciaio e calcestruzzo possono classificarsi in tre categorie (v. fig. 6.1).

6 Componenti portanti a struttura mista

136

--t 1'111

r.,, ....e:

...,, li

--ij,

11:

-----f

� �J 4; 1� """".... ""'Il .. _____

(1ll)

__

-11 _f

4 (lll)

_ _ ___

_

__ _

jj

Fig. 6.1

profilati a doppio T completamente avvolti dal calcestruzzo, armato con barre longitudinali e staffe; II) profilati a doppio T nei quali il calcestruzzo riempie gli spazi compresi fra l'anima e le semi-ali; anche in questo caso è opportuno disporre barre longitudinali e staffe nel calcestruzzo; III) sezioni cave di acciaio riempite di calcestruzzo con o senza barre longi­ tudinali e staffe. I)

In tutti i casi le sezioni hanno due assi di simmetria, cosicché la sezione di acciaio (profilato e barre longitudinali) e qu�lla di calcestruzzo, conside­ rato nello stato non fessurato, hanno lo stesso baricentro. Nel caso dei profilati completamente ricoperti dal calcestruzzo (tipo I) lo spessore minimo del calcestruzzo che riveste il profilato deve essere di 40 millimetri (cy); il ricoprimento delle flange (c2) deve essere aumentato se la larghezza hy della flangia è superiore a 240 millimetri, secondo la relazione: hy

Cz�6 allo scopo di evitare il distacco del calcestruzzo dalla flangia. La distanza minima fra le armature longitudinali ed il profilato deve essere di 10 millimetri. Il ricoprimento delle armature longitudinali e trasversali viene deter­ minato in accordo con le regole stabilite per il cemento armato. In proposito l'EC 4 rinvia all'EC 2, che fissa il valore minimo del copri­ ferro di qualsiasi armatura, comprese le staffe, che, di regola, sono le più vicine alla superficie libera del calcestruzzo, in funzione di nove classi di esposizione, riferite alle condizioni ambientali. All'interno di edifici per abitazioni o uffici dove l'ambiente è da considerarsi asciutto, l'EC 2 prevede la classe di esposizione 1 a cui corrisponde il copriferro minimo di 15 millimetri. Questo valore deve essere aumentato, se necessario, in due casi: per assicurare la corretta trasmissione delle forz ;cri aderenza dall'accia­ io al calcestruzzo circostante e ciò dipende dal diametro della barra (il copriferro non deve essere minore del diametro della barra considerata); per assicurare una adeguata resistenza al fuoco, ove richiesta.

137

6.2 Morfologia

SUPERFICIE ESTERNA

o

PARTIC. A

15" (CoPAIFERAO MINIMO)

RA LON . ITUDINALE

STAFFA

Fig. 6.2

PARTICOLARE A

La figura 6.2 mostra che lo spessore minimo di 40 millimetri è compa­ tibile con staffe aventi il diametro di 6 millimetri e con barre longitudinali aventi il diametro di 12 millimetri, tenuto conto del distanziamento minimo di 1 O millimetri tra lo spigolo della flangia e la barra longitudinale. Quindi, in generale, è opportuno prevedere lo spessore minimo di 50 millimetri per non avere troppi vincoli sul diametro delle staffe e su quello delle barre longitudinali, anche quando si tratta di ambienti interni asciutti. Una limitazione superiore allo spessore del ricoprimento del profilato viene assegnata quando si voglia effettuare la verifica delle colonne compo­ ste utilizzando metodi approssimati che descriveremo nel seguito; detta limitazione è espressa nel modo seguente, con riferimento alla figura 6.1: in direzione dell'asse y: 40 mm :i:;; cy �0,4hy in direzione dell'asse z: 40 mm :i:;; c, :i:;; 0,3 h, Sempre ai fini dell'impiego dei suddetti metodi approssimati viene fis­ sata una ulteriore limitazione, che riguarda l'area della sezione trasversale delle barre longitudinali, che non deve superare il 3% dell'area della sezione di calcestruzzo. Per quanto riguarda il collegamento fra il profilato ed il calcestruzzo, esso è realizzato con pioli dotati di testa, saldati perpendicolarmente all'ani­ ma, da entrambi i lati (v. fig. 6.3). I pioli assorbono le tensioni tangenziali longitudinali prodotte da due cause:

a) i carichi trasmessi dalle travi alle colonne, inizialmente localizzati nella

zona del collegamento fra i profilati della trave e della colonna e che si diffondono in parte nel calcestruzzo, dando luogo a tensioni tangenziali sulla interfaccia fra i due materiali; b) le forze di taglio dovute ai carichi trasversali, come avviene, per esempio, nel caso di telai a nodi spostabili.

6 Componenti portanti a struttura mista

138

A

·Ltrl: �; "'

. .

A

o:o ..

·-

SEZ.A-A

Flg. 6.3

Come vedremo tra poco, se le tensioni tangenziali correlative non su­ perano i valori limite indicati dalle norme, non è necessario l'uso dei con­ nettori. 6.3

MODALITÀ COSTRUTTIVE

Nel caso di colonne costituite da una sezione metallica cava riempita di calcestruzzo, si dispone l'elemento di acciaio in situ, di solito per l'altezza di due o tre piani, si esegue il getto con l'ausilio di un tubo (proboscide), che si inserisce in appositi aperture praticate nella parete metallica all'altezza dei vari piani, e si vibra il getto dall'esterno, mediante vibratori che si fanno scorrere sulla parete stessa. Lungo l'altezza del profilo cavo sono realizzati fori più piccoli, del diametro di circa 2 centimetri, per favorire la ventilazio­ ne. Si può anche eseguire il getto dal basso con calcestruzzo spinto da apposite pompe (v. fig. 6.4). Nel caso di profilati parzialmente rivestiti si può effettuare il getto fuori opera, disponendo il profilato in posizione orizzontale, senza cassafor­ ma, ma solo con paretine di chiusura in corrispondenza delle testate (v. fig.

PROFILATO CAVO

Flg. 6.4

ARMArUR.A DI

ATTESA

6.4 La capacità portante ultima

IL PROF! LATO t PARZIALMENTE !;!\EMPITO

DI

CALCESTr.?U ZZO

139

j«Ù� � !',Zi1 �e��

ROTAZIONE DI 180° POI SECONDO GETTO

APERTURE NELL'ANIMA PER IL PASSAGGIO ·DEL CALCESTRUZZO SETTO . DI CHIUSURA

--- AVANZAMENTO DEL GETTO AGEVOLATO DALLA PENDENZA

IL PROFILATO t COMPLETAMENTE AVVOLTO NEL CALCESTRUZZO

J+� GETTO TRADIZIONALE IN CASSAFORMA

Fig. 6.5

AITTNZIONE ALLA ESECUZIONE OEL GETTO SOTTO IL PROFILATO

6.5): si getta la metà superiore e, dopo la presa e l'inizio dell'indurimento, si ruota il profilato di 180° intorno al suo asse longitudinale e si effettua il getto di riempimento nell'altra metà. Anche nel caso in cui i profilati sono completamente rivestiti dal calcestruzzo è possibile effettuare il getto fuori opera in una cassaforma orizzontale; occorre naturalmente mantenere sia il profilato che le barre longitudinali sollevate dal fondo della cassaforma, mediante appositi distanziatori, in modo da assicurare il prescritto spesso­ re di copriferro. Nel caso di colonne composte eseguite fuori opera è neces­ sario, inoltre, lasciare nel getto opportuni vani terminali per effettuare il collegamento fra le barre longitudinali e fra i profilati degli elementi so­ vrapposti. Per collegare le travi, si possono far sporgere fuori del getto mensole di acciaio, saldate preventivamente al profilato. 6.4

LA CAPACITA PORTANTE ULTIMA DELLA SEZIONE COMPOSTA PRESSO-INFLESSA

Nel caso della sezione omogenea di acciaio, soggetta a forza normale e flessione retta, abbiamo visto (v. volume precedente, pagg. 131-133) che la verifica si effettua in modo molto semplice operando nel piano N-M: basta accertare che il punto avente le coordinate Md, Nd. rappresentative degli «effetti delle azioni di calcolo» (cioè delle azioni di servizio moltiplicate per i correlativi coefficienti parziali di sicurezza YF). appartenga al dominio

140

6 Componenti portanti a struttura mista

resistente, delimitato dalla curva di interazione M-N. Detta curva è costrui­ ta per punti o mediante formule approssimate, fomite dalle norme tecniche (EC 3, Istruzioni C NR 10011-85) con riferimento al profilato da verificare, nella ipotesi di stato limite plastico (diagrammi rettangolari delle tensioni di trazione e di compressione). Nel caso della sezione non omogenea di acciaio e calcestruzzo il proce­ dimento di verifica resta invariato: il punto (Md, Nd) deve appartenere al dominio resistente, di cui occorre determinare la frontiera, cioè la curva di interazione M-N corrispondente alla sezione in esame. Per una data sezione composta la curva M- N si costruisce per punti; a differenza del caso delle sezioni non omogenee di cemento armato, per le quali si adotta un procedimento «rigoroso», basato sulle ipotesi seguenti: diagramma a-E del calcestruzzo compresso a forma di parabola-rettan­ golo; diagramma a-E dell'acciaio, sia teso che compresso, elastico-perfetta­ mente plastico; conservazione delle sezioni piane; perfetta aderenza fra acciaio e calcestruzzo; calcestruzzo teso non reagente. Nel caso delle sezioni non omogenee composte da un profilato di acciaio e da calcestruzzo le norme tecniche corrispondenti consentono un procedi­ mento approssimato, indipendente dalle deformazioni, che si basa sulle seguenti assunzioni: il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo compresso è rettangolare invece che a forma di parabola-rettangolo; si trascura la zona elastica dei diagrammi delle tensioni del profilato e si estende, per semplicità, il tratto rettangolare dei diagrammi fino al­ l'asse neutro; il calcestruzzo teso è considerato non reagente. Confrontando fra loro i risuÌtati forniti dai due suddetti procedimenti, applicati alla stessa sezione composta, si constata che i valori del metodo approssimato sono leggermente superiori rispetto a quelli del metodo «ri­ goroso», ma il divario è percentualmente tanto modesto, da consentire alle norme stesse di segnalare il procedimento approssimato. Ci proponiamo ora di descrivere il procedimento approssimato, seguen­ do il metodo proposto nel 1981 da R. Bergmann (v. fig. 6.6). Si tratta di determinare i quattro punti A, B, C e D e di adottare il poligono ABCD come frontiera del dominio resistente. Il poligono è interno alla curva di interazio­ ne completa e, quindi, la sua utilizzazione è a favore della sicurezza. Come si vede dalla-figura 6.6 il punto A corrisponde alla sollecitazione di compres­ sione centrata (NA = Np1; MA= O) ed il punto B a quella di flessione semplice retta (Na=O; Ma= Mp1). Il punto C è situato sulla verticale per B ( Ne; Mc= Ma= Mp1). quindi la sua ascissa .è nota, quando è noto Mpl· Il punto D ha per ordinata N0= Nc/2 e per ascissa il momento massimo del poligono M-N.

141

6.4 La capacità portante ultima

N

!Jc 2

Flg. 6.6

M"D

Ne

=MB +LlM

Valutazione di NA = Np1 In campo elastico si ha N

= =

ac(Ac - Aa - As) + aaAa + asAs = E[Ec(Ac - Aa - A.) + EaAa + EsAsJ

in cui

E è l'accorciamento unitario uguale per tutti e tre i materiali costitutivi; Ac è l'area lorda del calcestruzzo (Ac B X H�; Aa è l'area del profilato; As è l'area totale delle barre longitudinali; (Ac - Aa - As) è l'area netta di calcestruzzo. =

A rottura, se l'accorciamento unitario di picco del calcestruzzo, che è dell'ordine del 2%o, risulta maggiore dell'accorciamento unitario che segue il passaggio dal campo elastico a quello plastico per ciascuno dei due tipi di acciaio presenti, la forza normale ultima si scrive: NA = Npl = at:,u(Ac - Aa - A.) + Oa,yAa + : � ·. :

..'. �

·

·

ZONA DI ANCORAGGIO

• .

. .___

•

·.._�� � _: .. \:::; & 4 . 4. :::; '.I

. :, _: . �

�.1

·

.

·

.

·

;

: . ·Il I

ZONA DI COMPLETA UTILIZZAZIONE

1 --.. DELLA BARRA

1�!11 1 1°· I I

,_ EQUILIBRIO DEL TRATTO DI ANCORAGGIO

Flg. 8.6

N/mm2

TENSIONE NELLA BARRA

8.3 La valutazione della lunghezza di ancoraggio

193

Per barre ad aderenza migliorata: 'td

= fbd

=

2,25

fctk

Yc

fctK =0,7 fctm

L�y·· = 2 , 31 N/mm2 fctm =O,27..efRI.: cK (N/mm2)=O,27 V3'252

fc1K =0,7

X

2,31=1,62 N/mm2

'td =fbd = 2,25 1

4. Applichiamo

X

1,62 1,6 =2,28 N/mm2

373,9 0=41,00 � '

l'Eurocodice N° 2.

Nel «FIN AL DRAFT » dell'ottobre 1989 al paragrafo 3.2 (Reinforcing steel) non sono indicati i tipi di acciaio per cemento armato ed una nota, che precede il paragrafo 3.2, conferma che la norma correlativa CEN Standard (EN 10080) era, all'epoca, in corso di preparazione. Poiché a noi interessa esaminare soprattutto il procedimento, svolgia­ mo i calcoli assumendo per fyK due valori, precisamente 430 N/mm2 e 500 N/mm2: il primo corrisponde all'acciaio FeB 44K prodotto in Italia ed il secondo acciaio S 500, utilizzato in alcuni Paesi europei. Determiniamo prima 'td = fbd secondo la simbologia dell'EC 2. I valori di fbd, nella ipotesi di condizioni di buona aderenza, sono forniti dalla Tabella 5.3 dell'EC 2 in funzione della resistenza caratteristica fcK (cilindrica). Alla resistenza caratteristica cubica RcK=25 N/mm2 corrisponde, se­ condo la Tabella 3.1 dell'EC 2, la resistenza caratteristica cilindrica fcK= 20 N/mm2. Secondo le norme italiane il coefficiente di trasformazione è 0,83, quin-

di:

fcK=0,83

X RcK

=

0,83 X 25 =20,75 N/mm2

Si adotta f cK = 20 N/mm2, a cui corrisponde, secondo la Tabella 5.3, il valore della tensione di aderenza fbd = Ì,4 N/mm2, per barre ad aderenza migliorata. Questo valore è ricavato dalla formula:

fbd = (2,25 fc1K o,os)/yc con Yc = 1,5 La Tabella 3.1, già citata, fornisce per la resistenza caratteristica a trazione come frattile 5% corrispondente al calcestruzzo classe 20/25 (il primo numero è la resistenza cilindrica, il secondo numero è quella cubica), il valore seguente:

fctKO,os =1,6 N/mm2

8 L'accoppiamento delle barre di armatura

194

Prima di andare avanti osserviamo che utilizzando le norme italiane abbiamo trovato: fctK = 1,62 N/mm2 invece di 1,6 N/mm2 e che se si adotta Yc = 1,5 come previsto dall'EC 2, al posto.di Yc = 1,6, come previsto dalle norme italiane, si ricava, in corrispondenza:

't'd = fbd = 2,25

X

1,62

1""5 = 2,43

N/mm2

'

invece del valore 2,4 N/mm2 indicato dalla Tabella 5.3 dell'EC 2. Senza la pretesa di voler generalizzare, osserviamo che le valutazioni svolte seguen­ do le prescrizioni del Cap. 4. Norme di calcolo: metodo semiprobabilistico agli stati limite del D.M. 14/2/1992 sono risultate quasi uguali a quelle ana­ loghe fornite dall'EC 2. Valutiamo ora la lunghezza di ancoraggio Id utilizzando i due tipi di

acciaio:

FeB44K) ld =

__!_ 4

1 S500) ld = 4

373 9 • 0 = 39 00 2,4 I

500 2,4 X l,l5

0

= 45,30

In sintesi, abbiamo trovato per l'acciaio tipo FeB44K:

CODICE UTILIZZATO:

{

D.M. 14.2.92

[ �:�::

EUROCODICE 2:

40.10 41.00 39.00

Le differenze sono minime. Più rilevante sarebbe la differenza passando dalle zone in cui l'aderenza è «buona», secondo i criteri che vedremo nel paragrafo seguente, alle altre in cui tale condizione non si verifica: infatti per questa seconda ipotesi l'EC 2 prevede la riduzione della tensione di aderenza al 70% di quella riportata nella Tabella 5.3, quindi la lunghezza di ancoraggio diventa, al massimo, 1,43 volte maggiore di quella calcolata nelle condizioni ottimali di aderenza. Le considerazioni precedenti sono relative all'impiego di barre ad ade­ renza migliorata, che sono diventate di uso generalizzato, perché consento­ no il controllo della fessurazione anche in presenza di tensioni di esercizio relativamente elevate, rese a loro volta possibili dagli altri valori delle ten­ sioni di snervamento, compresi fra 400 e 500 N/mm2• Facciamo comunque anche un cenno al caso delle barre lisce, perché sono tuttora in commercio e perché in gran parte delle costruzioni esistenti, realizzate fino a qualche decennio fa, sono state impiegate barre lisce: nel

8.3 La valutazione della lunghezza di ancoraggio

195

caso di interventi di adeguamento o di riparazione è quindi necessario cono­ scere le caratteristiche delle zone di ancoraggio, che dovevano essere tassa­ tivamente dotate di «uncini» o «ganci» terminali. La forma di un uncino è descritta nella figura 8.7. L'uncino è semicircolare, la luce interna deve essere non minore di 5 0, il prolungamento del tratto rettilineo dopo il semicerchio è pari a 30. Lo

sviluppo lineare dell'uncino (semicerchio+ prolungamento) è equivalente ad un tratto rettilineo pari a 200 (esattamente: 3.14 X 60 + 30 = 21,840). Consideriamo un esempio numerico, limitatamente all'uso del metodo delle Tensioni ammissibili.

Fig.

8.7

Dati:

Acciaio liscio tipo FeB32K Tensione ammissibile: o5 = 155 N/mm2 Calcestruzzo: R.:K = 20 N/mm2 -

'tco = 0,4 +

20

-

15

75

2 = 0,47 N/mm

Tensione di aderenza nel caso di barre tonde lisce: 'td

= Tb = 1,5Tco = 1,5

X 0,47

=

0,7 N/mm2

Lunghezza di ancoraggio:

Lunghezza di ancoraggio in rettilineo, che precede l'uncino: ld - 200

=

55,40 - 200 = 35,40

�

Si noti c e nel passato all'acciaio FeB32K veniva fatta corrispondere la tensione ammissibile di 1600 kg/cm2, mentre Teo conserva lo stesso valore numerico:

Teo= 4 +

200 - 150 75

-

- 4,67 kg/cm

2

8 L'accoppiamento delle barre di armatura

196

td = 1,5 ld ld

=__!__ 4 -

X

4,67 = 7,0 kg/cm2 1600

•

7,0

X

0 = 570

200 = 370 =400.

Esaminiamo ora più da vicino la questione delle zone più o meno favo­ revoli alla aderenza.

8.4

I PARAMETRI CHE INFLUENZANO L'ADERENZA

Abbiamo visto negli esempi precedenti che la tensione tangenziale di aderenza si determina in funzione di due parametri:

a) b)

la resistenza a compressione del calcestruzzo da cui dipende la resisten­ za a trazione fctK ovvero la tensione tangenziale ammissibile tc0; le condizioni di rugosità della superficie delle barre, in base alla quale il rapporto fra la tensione di aderenza nel caso di barre ad aderenza miglio­ rata e la tensione di aderenza nel caso di barre tonde lisce varia all'incir­ ca fra 2 e 25 al variare della resistenza cilindrica fcK fra 16 e 35 N/mm2, come risulta dalla tabella 5.3 dell'EC 2. A questi parametri vanno aggiunti i seguenti:

e)

la forma della sezione trasversale della barra (circolare, quadrata, ret­ tangolare): l'aderenza diminuisce nel caso di sezione rettangolare (ferro

piatto); d) il valore assoluto del diametro nel caso di sezione circolare: l'aderenza diminuisce al crescere del diametro; e) la direzione delle barre rispetto al getto: l'aderenza è minore nelle barre

f)

orizzontali e maggiore in quelle verticali, perché in queste ultime è meno sentita la influenza dei fenomeni di essudazione (bleeding); la posizione delle barre rispetto alla sezione di calcestruzzo. Nel caso delle travi, l'aderenza delle barre superiori, vicino all'estradosso, è mino­ re di quella delle barre inferiori, ancora una volta a causa dell'essudazio­ ne, che rende più poroso il calcestruzzo vicino all'estradosso. Inoltre possono formarsi veli di acqua sotto le barre orizzontali di estradosso, le

g)

h)

quali, con la loro presenza, ostacolano la migrazione dell'acqua verso l'alto; la quantità di armature trasversali (perpendicolari alle barre longitudi­ nali). Specialmente nel caso di acciai ad aderenza migliorata, l'aderenza aumenta, perché le armature trasversali possono assorbire almeno in parte, secondo la loro giacitura (verticale od orizzontale), le spinte radiali verso l'esterno o le tensioni circonferenziali di trazione correlative; la presenza di eventuali stati di tensione di compressione, opportuna­ mente diretti, in modo da contrastare le spinte radiali a vuoto. L'aderen-

8.4 I parametri che influenzano l'aderenza

197

za aumenta se le tensioni di compressione agiscono in direzione perpen­ dicolare all'asse longitudinale della barra, perché così vengono contra­ state, almeno in parte, le spinte radiali verso l'esterno. È il caso delle zone terminali delle travi appoggiate, dove sono localizzate le reazioni verticali, che premono sul copriferro dell'intradosso e si oppongono alle fessure longitudinali di separazione (splitting) dovute alle tensioni cir­ conferenziali di trazione. Una parte di questi parametri è presa in considerazione dalle norme tecniche, che distinguono, di solito, le zone dove le condizioni di aderenza sono buone da quelle dove le condizioni suddette non sono buone. Secondo le norme italiane sono buone le condizioni di aderenza dove il conglomerato è compatto e la zona è utilmente compressa ai fini dell'anco­ raggio (barre ancorate nella metà inferiore della trave o a non meno di 30 cm dalla superficie superiore del getto o da un ripresa ed allontanate dal lembo teso, oppure barre inclinate non meno di 45° sulle traiettorie di compres­ sione). Secondo l'Eurocodice N° 2 le condizioni dell'aderenza sono considerate buone nei casi seguenti: a) per tutte le barre con una inclinazione compresa da 45° a 90° rispetto

b)

all'orizzontale, durante la fase di getto; per tutte le barre che hanno una inclinazione da 0° a 45° rispetto alla orizzontale e che sono:

- o ubicate in componenti strutturali il cui spessore nella direzione della esecuzione del getto non superi 250 mm, - o intercluse in componenti strutturali il cui spessore nella direzione del getto sia superiore a 250 mm e che sono situate: - o nella metà inferiore del componente, -

o ad almeno 300 mm al di sotto della superficie di estradosso del componente medesimo.

Tutte le altre condizioni, comunque diverse da quelle precedenti, sono da considerarsi non buone ai fini della valutazione dell'aderenza: in questi casi si ricavano i valori delle tensioni di progetto fbd dalla tabella 5.3, che valgono per le zone buone, e si moltiplicano per il coefficiente di minorazio­ ne di 0,7.

Capitolo

9

Componenti strutturali di cemento armato: analisi del comportamento con leggi costitutive lineari

9.1

CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE

In questo capitolo ci proponiamo di valutare le tensioni e gli spostamen­ ti di componenti rettilinei di cemento armato prima e dopo la fessurazione del conglomerato teso, cioè nel I e nel II stadio, con l 'unica limitazione di utilizzare legami costitutivi lineari per il calcestruzzo e per l'acciaio. Considereremo, nell'ordine, un'asta tesa, una trave soggetta a flessione e taglio, un'asta tozza pressoinflessa, una trave soggetta a torsione. ·Nel I stadio, per definizione, il calcestruzzo teso è reagente, perché le tensioni di trazione risultano inferiori a quelle di rottura: Trattandosi di sezioni non omogenee,· nel caso di forze normali e di momenti flettenti si opera sulla sezione ideale omogeneizzata pensata trasformata interamente in calcestruzzo; a tale scopo basta moltiplicare le aree metalliche per il rapporto dei moduli elastici n = E.IEc. Il momento d'inerzia di una sezione di cemento armato calcolato nel I stadio viene utilizzato per il calcolo della freccia teorica da confrontare con la freccia misurata durante le prove di carico del collaudo statico, ed in genere per valutare le frecce degli elementi prevalentemente inflessi sotto l'azione dei carichi di servizio. Nel II stadio, per definizione, il calcestruzzo teso è fessurato; ciò vuol dire che il calcestruzzo è non reagente in corrispondenza delle sezioni fessu­ rate; tra due sezioni fessurate, invece, il conglomerato, a causa dell'aderen­ za con le barre tese di acciaio che lo attraversano, continua ad essere teso e collabora con l'acciaio fornendo un contributo irrigidente (tension stiffen­ ing). Il contributo irrigidente del conglomerato teso è preso in considerazio­ ne nella valutazione dell'ampiezza delle lesioni e nel calcolo degli sposta­ menti delle travi, quando interessa prevederne il comportamento in fase di fessurazione. II. calcolo delle tensioni nel II stadio si effettua in corrispondenza delle sezioni fessurate; a tale scopo si adotta l'ipotesi che il calcestruzzo teso sia non reagente, indipendentemente dal valore della tensione di trazione rag­ giunta.

9 Componenti strutturali di cemento armato

200

p

s

Pa

o

(m) B'

e

/ / / �-___,�EFFETTIVO: CLS TESO FESSURATO D A P = PA /'

//

/

/

/

/

,,

/

//

fUL � CONVENZIONALE: CLS TESO NON REAGENTE DA P=O

f

Fig. 9.1

In altri termini, tutto va come se il calcestruzzo fosse prefessurato già prima della messa in carico. In sostanza l'ipotesi di calcestruzzo teso non reagente prefigura un II stadio convenzionale, che non è preceduto dal I stadio (calcestruzzo teso reagente) come avviene per il II stadio effettivo (v. fig. 9.1). A causa del processo di linearizzazione della funzione (carico-effetto del carico) la teoria basata sul II stadio convenzionale è stata adottata per le verifiche di resistenza nell'ambito del metodo delle tensioni ammissibili. Il metodo agli stati limite utilizza le analisi condotte nel I e nel Il stadio per le verifiche agli stati limite di esercizio (deformazione, fessurazione) ed allo stato limite ultimo di fatica, che, pur essendo uno stato limite ultimo, è dovuto alla ripetizione di carichi di esercizio. 9.2

LE ASTE TESE:

LA FESSURAZIONE

Consideriamo il comportamento di un'asta tesa di cemento armato (v. fig. 9.2) sottoposta a trazione centrata con valori del carico gradualmente crescenti da zero. Per carichi molto bassi il calcestruzzo, per quanto teso, non è fessurato (I stadio) e collabora con le armature ad equilibrare il carico esterno N. La determinazione delle tensioni nel calcestruzzo e nell'acciaio nel I stadio è immediata, nelle due ipotesi che i legami costitutivi di entrambi i materiali siano lineari, e che l'aderenza fra loro sia « perfetta», così da escludere ogni scorrimento relativo.

201

9.2 Le aste tese: la fessurazione

fN

f Nb I1 Ir r1 I1

�r

l 1 11

I i

Fig. 9.2

Al>

I

11 1,

:

I 11

j_

'Nb

'N

I dati del problema sono: Ac: As : Ec : Es : N : 1 :

area della sezione di calcestruzzo area della sezione di acciaio modulo elastico del calcestruzzo teso modulo elastico dell'acciaio teso carico assiale applicato alla barra di acciaio lunghezza dell'asta tesa di calcestruzzo

Le incognite sono due: le forze Ne ed Ns fra le quali si ripartisce la forza esterna N. Per determinarle, abbiamo a disposizione le due relazioni se­ guenti: a) equilibrio b) congruenza Oc O"s = Es Ec

-

-

.

,

, c1oe ancora

da cui si ricava con semplici passaggi, posto n = EJEc:

o

N

= s = _a As

n

N A c +nA,

=n

N

-- =

Aid

ncr

e

9 Componenti strutturali di cemento armato

202

in cui Aid è l'area ideale della sezione omogeneizzata, pensata interamente di calcestruzzo. Il problema della determinazione delle tensioni nella sezione non omo­ genea tesa di cemento armato è così risolto; osserviamo, tuttavia, che queste tensioni sono rappresentative di quelle reali soltanto ad una certa distanza dalle estremità del prisma di calcestruzzo. È necessaria, infatti, una certa lunghezza di trasferimento ltr perché la tensione dell'acciaio, che vale 0"8 = N/As all'esterno dell'asta di cemento armato possa diminuire fino al valore (v. fig. 9.3) O"s = nN/(Ac + nA8) mentre la correlativa deformazione dell'acciaio si riduce da Es = O"s /Es , all'esterno, a Es = Ec = crcfEc all'interno dell'asta.

6C= Ac

Fig. 9.3

In queste zone di trasferimento sono dunque presenti scorrimenti rela­ tivi tra acciaio e calcestruzzo e tensioni tangenziali, che non esistono nel tratto interno, da cui sono esclusi gli scorrimenti relativi per l'ipotesi di perfetta aderenza (Es = Ec).

203

9.2 Le aste tese: la fessurazione

Per valutare la lunghezza della zona di trasferimento adottiamo un modello di calcolo molto semplice, che esprime l'uguaglianza fra la forza Ne = crcAc, associata alla distribuzione uniforme delle tensioni crc sulla sezio­ ne Ac, ciò che avviene evidentemente alla fine della zona di trasferimento, e la risultante delle tensioni tangenziali di aderenza, che si sviluppano esclu­ sivamente lungo il tratto 11r; al fine di valutare questa risultante supponia­ mo, per semplicità, che la distribuzione delle tensioni tangenziali sia unifor­ me sul tratto medesimo. Si ha dunque, per l'equilibrio:

da cui si ricava, essendo As = 't02/4 .""f

avendo postoµ= AJAs (percentuale geometrica di armatura). Aumentando la forza esterna N, aumenta la tensione crc fino a raggiun­ gere in una sezione qualsiasi del tratto (L 211r), quella che in realtà è meno resistente, il valore della tensione di rottura per trazione fct· Si forma così la prima lesione (v. fig. 9.4), che segna il passaggio dal I al II stadio e l'inizio -

14'L.ESIOtJE

H

..

Fig.9.4

l 1'

L..

-

2 .e. t'l. L

�

�

.ehJ

H

di una serie di ridistribuzioni di tensioni. In corrispondenza della prima lesione, infatti, la forza esterna N è affidata interamente alla barra di acciaio e la tensione corrispondente assume il valore 0'5 = N/A5, come nei due tratti esterni al tirante di cemento armato.

204

9 Componenti strutturali di cemento armato

La apparizione della prima lesione determina, inoltre, due nuove zone di trasferimento (nella figura 9.4 rispettivamente a destra ed a sinistra della lesione). Si vede quindi che il regime di tensioni uniformi massime nel calce­ struzzo, tali da produrre nuove lesioni, si può realizzare solo nelle zone « a » e « b » della figura 9.4. Le zone « a» e « b » rappresentano quanto resta del prisma di calcestruzzo lungo L, dedotte le quattro zone di trasferimento

14 LE.SION E.

I

N

Fig. 9.5

presenti. In pratica occorre aumentare un poco il valore di N per attivare la formazione della seconda lesione, che supponiamo localizzata nel tratto b della figura 9.4 . Essa genera due nuove zone di trasferimento che limitano ulteriormente ai tratti « a », « c », « d » le zone in cui le tensioni di trazione, riescono a diffondersi uniformemente su tutta la sezione e possono provoca­ re nuove lesioni. Aumentando leggermente il carico N è probabile che si formino le lesioni terza, quarta e quinta (v. fig. 9.6 a), dopo di che gli ulteriori aumenti del carico non danno luogo a nuove lesioni, ma aumenterà progres­ sivamente l'ampiezza delle lesioni esistenti. Ciò si spiega con il fatto che lungo il prisma di calcestruzzo ormai non c'è più spazio per trasferire dalla barra al calcestruzzo per aderenza la risultante Ne = fcc Ac necessaria per provocare ulteriori lesioni. Questa situazione, in cui il calcestruzzo teso è fessurato e l'armatura è ancora in campo elastico, caratterizza il II stadio. È chiaro che, ai fini della capacità di trasferire forze assiali N, si deve fare assegnamento esclusivamente sulle barre di acciaio, che sono le uniche ad assicurare un percorso continuo da un estremo all'altro del tirante. La messa fuori servizio del tirante dipende dunque soltanto dalla crisi per snervamento dell'acciaio. Per quanto riguarda le condizioni di esercizio e la durabilità, interessa invece controllare che le ampiezze delle lesioni si mantengano al di sotto di ·

205

9.2 Le aste tese: la fessurazione '

valori di ampiezza ritenuti« ammissibili » in relazione alle condizioni am­ bientali. Si imposta agevolmente il calcolo della ampiezza della lesione, se ci rendiamo conto che essa è sostanzialmente uguale all'allungamento delle barre longitudinali comprese fra due lesioni consecutive. In altre parole, se indichiamo con i1 ,m l'interasse« medio » delle lesioni, e O"s,m la tensione« me­ dia» nelle barre, l'allungamento di un tratto di acciaio lungo i 1 .m è pari a: • O"s.m · 'i:'. u s.m =E s.m ·11 ,m = -- ·11 ,m

Es Trascurando l'allungamento elastico dei blocchi di calcestruzzo, com­ presi tra due lesioni consecutive, l'ampiezza« media » Wm delle lesioni è uguale a Ùs,m· Occorre dunque valutare sia i1,m che Es.m· Guardando la figura 9.5 non è difficile convincersi che esiste una relazione fra la lunghezza di trasferimen­ to l1r e l'interasse medio tra le lesioni, espresso dalla duplice limitazione seguente:

N a)

Fig. 9.6

N

206

9 Componenti strutturali di cemento armato

La limitazione inferiore corrisponde alla eventualità che la lesione si formi proprio alla fine della lunghezza di trasferimento, non appena si sia realizzata la completa diffusione delle tensioni di trazione sulla intera sezio­ ne trasversale di calcestruzzo. La limitazione superiore corrisponde alla eventualità che due zone di trasferimento si trovino l'una di fronte all'altra ad una distanza un po' minore di quella necessaria per realizzare la completa diffusione delle ten­ sioni di trazione sulla intera sezione (v. fig. 9.6 b). La tensione media nell'acciaio su un tratto di lunghezza i1 si ricava facilmente in base alla figura 9.7 che mostra l'andamento della forza Ne che è massima al centro e dove vale Ne=0,5 'tct 7t0 i1 e della forza N5 che è minima al centro, dove vale N5 = N - Ne. ·

·

·

LESIONE

i

- ---

-· -·--

-

------------

--- -------

Fig. 9.7

Dunque il valore medio della forza N5, nella ipotesi di variazione linea­ re, è il seguente: N s,medio

_N+N5 _N+ N-Nc _ -

2

-

2

Dividendo per A5 = 7t02/4 si ottiene:

-

1 N - 4 'tct

. ·1t0 ·11

207

9 . 2 Le aste tese: la fessurazione

Poniamo i1 = al1ro cona compreso fra 1 e 2, ricordiamo che ltr = fJ'td x x (0/4µ) e scriviamo la deformazione media dell'acciaio:

1

Es,media= E

(

a fc

O"s-4

µ

)

L'ampiezza della lesione, pari all'allungamento elastico della barra di acciaio lungaaltro vale: W=

a ltr

X Es,media =

(

afc0 cr s 4Es 't d . µ

-

a fc - 4 µ

)

Scritta in questa forma, la relazione precedente consente di analizzare agevolmente l'influenza dei vari parametri. In particolare risulta che l'ampiezza delle lesioni w diminuisce: a) al diminuire della tensione effettiva crs nell'armatura, calcolata in corri­ spondenza della lesione, b) al diminuire del diametro0 della barra, e) all'aumentare della tensione tangenziale di aderenza'td, ciò che si ottiene con l'impiego sistematico degli acciai ad aderenza migliorata, d) all'aumentare della percentuale di armaturaµ. Valutiamo ora la somma delle ampiezze di tutte le lesioni che si pos­ sono verificare in un prisma teso lungoL. Supponendo, come prima, che le lesioni abbiano lo stesso interasse i1, il numero delle lesioni n1 contenute nel trattoL è dato dal rapporto:

L a somma delle ampiezze delle lesioni contenute nel tratto lungo L è fornito dal prodotto:

.I:w

_

-

L n1 . w - -1 altr X Es.media a tr _

_

-

L. Es, media

_

-

(

1 a fc L . E O"s -4µ s

)

Dall'esame di questa ultima espressione risulta che la somma delle ampiezze delle lesioni nel prisma lungo L non dipende né dal diametro 0 né dalla aderenza 'td, ma soltanto dalla tensione nell'acciaio crs e dalla percentuale geometrica di armaturaµ= AsfAc.

9 Componenti strutturali di cemento armato

208

p e

D

p

Y8=P

a... �-�

A k-------�----&-�--'B

T= P A

Fig. 9.8

lllllllffil[lllllle

011111r1lfE1111 !Il�=

p

9.4 L'analisi lineare della flessione

9.3 9.3.1

209

LE TRAVI SOGGEITE A FLESSIONE E TAGLIO

Generalità

Consideriamo la trave appoggiata della figura 9 .8, caricata in modo che nella zona centrale CD il taglio è nullo. Allora nel I stadio (calcestruzzo teso non fessurato) le isostatiche di trazione sono orizzontali. Il II stadio ha inizio con la apparizione di lesioni perpendicolari alle dette isostatiche (lesioni verticali). La giacitura delle lesioni coincide quindi, limitatamente alla zona centrale CD dove il taglio è nullo, con la giacitura delle sezioni della trave, normali alla linea d'asse. Grazie a questa coincidenza è possibile estendere alle costruzioni di cemento armato la teoria tecnica delle travi, alla De Saint Venant. Invece, nei tratti laterali AC e BO le tensioni principali sono oblique e così pure le fessure. In queste zone viene meno la coincidenza fra l'anda­ mento delle lesioni e la giacitura delle sezioni, non si può utilizzare la teoria tecnica delle travi, ma occorre far ricorso a schemi di travi reticolari (tralic­ cio di Ritter-Mi:irsch), internamente isostatiche. Passiamo ora ad esaminare le varie caratteristiche di sollecitazione, semplici e composte, con il criterio di considerare da prima quelle che agiscono prevalentemente sulle travi e poi quelle che agiscono prevalente­ mente sui pilastri.

9.4

L'ANALISI LINEARE DELIA FLESSIONE

Ricordiamo le ipotesi basilari, che sono quattro sia per il I stadio (calce­ struzzo teso reagente) che per il II stadio (calcestruzzo teso fessurato); le prime tre sono uguali nei due casi: 1) legami costitutivi lineari sia per il calcestruzzo che per l'acciaio; 2) conservazione delle sezioni piane; 3) perfetta aderenza Ec = E8; 4) questa ipotesi riguarda il comportamento del calcestruzzo teso ed è quel­ la che definisce la corrispondenza del procedimento di calcolo al I od al II stadio:

a) se si ipotizza che il calcestruzzo teso è reagente, si intende operare nel I stadio; ciò avviene, per esempio, nel calcolo della freccia di un solaio o di una trave da sottoporre a prova di carico;, . b) se si ipotizza che il calcestruzzo teso è non reagente sin dall'inizio (a trave scarica), si intende operare nel II stadio convenzionale, che dif-

210

9 Componenti strutturali di cemento armato

ferisce dal II stadio effettivo (calcestruzzo teso fessurato) sotto due aspetti: è esclusa la esistenza di un I stadio (calcestruzzo teso reagente), che precede la fase fessurata (II stadio), la fessurazion� è idealmente diffusa su tutto lo sviluppo lineare della trave, cosicché, qualsiasi sia la sezione considerata, per essa valga l'ipotesi che sia fessurata (anzi prefessurata). Confrontando queste ipotesi con quelle riportate nel paragrafo 5.4 a proposito delle sezioni miste « acciaio-calcestruzzo », si vede che sono le stesse; l'unica differenza è questa, che nel caso del cemento armato non viene rnenzionatà la quinta ipotesi, che esclude il movimento relativo verti­ cale della soletta rispetto alla trave, a causa del monolitismo tradizionale della costruzione di cemento armato. Peraltro nelle costruzioni di cemento armato prefabbricate può verificarsi una situazione analoga a quella delle sezioni miste di acciaio-calcestruzzo, e cioè che la trave di cemento armato (o di cemento armato precompresso) è prefabbricata e va assicurato il colle­ gamento con la soletta, che può essere, a sua volta, gettata in opera o anch'essa prefabbricata. Osserviamo ancora che le ipotesi 1) e 2) sono le stesse della teoria tecnica delle travi inflesse omogenee e che la ipotesi 3) è adottata nel caso delle sezioni non omogenee in modo da estendere ad esse la ipotesi della conservazione delle sezioni piane, cioè della variazione lineare delle epsilon sull'altezza della sezione, che implica, evidentemente, il I11Utuo collegamen­ to fra le fibre sovrapposte che formano la sezione stessa. La ipotesi 4), relativa al II stadio, linearizza, nel modello di calcolo, il legarne fra il carico (causa) e la freccia o la tensione (effettq): la eliminazione convenzionale del I stadio fa passare la semiretta, che rappresenta il legarne funzionale « causa-effetto », per l'origine del riferimento cartesiano e rende possibile la estensione del concetto di tensione ammissibile al calcolo elasti­ co delle sezioni inflesse di cernen to armato (v. fig. 9.1). Infatti solo se il legarne « carico-effetto del carico » è direttamente pro­ porzionale (lineare per l'origine) è possibile controllare la sicurezza al col­ lasso, limitando i valori delle tensioni di esercizio con opportune frazioni delle tensioni di rottura o di snervamento (le tensioni ammissibili): il coeffi­ ciente di sicurezza « interno », rapporto fra la tensione di crisi e la tensione massima di esercizio, risulta pari, in questo caso, al coefficiente di sicurezza « esterno », espresso per il tramite di quel valore del moltiplicatore dei cari­ chi di esercizio che provoca la crisi di resistenza nella fibra più sollecitata della sezione in peggiori condizioni. Nel caso della applicazione del metodo delle tensioni ammissibili alle costruzioni di cemento armato, vengono utilizzati due coefficienti di sicu­ rezza interni diversi, l 'uno relativo al calcestruzzo, dell'ordine di grandezza di 3, l'altro relativo all'acciaio, dell'ordine di grandezza di 2: ciascuno di essi può essere interpretato come il prodotto di due termini, l'uno che corrispon­ de al margine prefissato fra il carico di esercizio e quello di crisi, dell'ordine

211

9.4 L'analisi lineare della flessione

di 1 ,5, l'altro che tiene conto delle incertezze sulle resistenze dei materiali - dell'ordine di 2 per il calcestruzzo ( 1 ,5 X 2 = 3), e di circa 1 ,4 per l'acciaio ( 1 ,5 X 1 ,4 2, 1 ). Questa interpretazione dei coefficienti di sicurezza differenziati del metodo delle tensioni ammissibili corrisponde, nella sostanza, alla tecnica dei coefficienti parziali, in parte divisori delle resistenze (YM) ed in parte moltiplicatori dei carichi (YF), utilizzata nel metodo agli stati limite. I coefficienti di sicurezza del metodo delle tensioni ammissibili YT.A. vengono così considerati come corrispondenti ai prodotti: =

YF YM •

=

YT.A.

La trattazione che stiamo ora svolgendo è quindi utilizzabile sia nel­ l'ambito del metodo delle T.A. che in quello del metodo agli S.L. con riferi­ mento agli stati limite di esercizio (deformazione e fessurazione). Nel capi­ tolo successivo considereremo i legami costitutivi non lineari, necessari per una realistica modellazione del comportamento a rottura delle sezioni e dei componenti ed utilizzati quindi per le verifiche agli stati limite ultimi di resistenza nell'ambito del metodo agli S.L. 9. 4.1

Flessione semplice retta: il problema della verifica

In questo caso la direzione dell'asse neutro è nota a priori: essa è orto· gonale all'asse di sollecitazione. Non resta che determinare la posizione mediante la distanza y dal bor­ do compresso (fig. 9.9), facendo uso della equazione di equilibrio delle forze nella direzione della linea d'asse della trave:

Per la ipotesi 1 :

f Ob dA + :Eo�A� - :EoaAa = O J Ab

Per la ipotesi 2:

/

Flg. 9.9

,

,

,

,

,

9 Componenti strutturali di cemento armato

212

e, quindi, tenuto conto della ipotesi 1:

Inoltre, per la ipotesi 3:

quindi, tenuto conto della ipotesi 1 :

Ciò premesso, l'equazione di equilibrio diventa: o'b,I

--

Y1

J

o'b,I ob' ,I "'A'a y - n --L__, -O ...,AaY2y dA+ n--L__, y, Y1 Ab

Cioè, il momento statico rispetto all'asse neutro della sezione costituita dal calcestruzzo compresso e dell'acciaio sia compresso che teso (sezione ideale reagente) è nullo, in altri termini, l'asse neutro è baricentrico rispetto alla sezione ideale reagente. Il risultato è identico a quello già noto nella teoria di De Saint Venant per le travi omogenee ed elastiche; l'unica differenza consiste nel fatto che ora ci si riferisce non alla sezione effettiva (incluso il calcestruzzo teso), ma a quella ideale (escluso il calcestruzzo teso). Scriviamo ora l'equazione di equilibrio tra il momento esterno M ed il momento interno dovuto alle tensioni:

l ob ydA +L::o�A�y + �OaAaY2 = M J Ab

Procedendo come prima si trova:

da cui:

M

Ob,l =- Y1 J id

avendo riconosciuto che il termine fra parentesi esprime il momento d'iner­ zia rispetto all'asse neutro, baricentrico, della sezione ideale reagente. Vo­ lendo la tensione nell'acciaio al livello y2, si ha: M

oa( y2) = no b( Y2) = n 1

-

id

Y2

9.4 L'analisi lineare della flessione

213

Con questi valori delle tensioni si esegue la verifica, cioè il confronto con le tensioni ammissibili del calcestruzzo e dell'acciaio. Il giudizio è positivo se si verificano contemporaneamente due condizioni: a) O"b,max � ab

(compressione)

b) O"a ,ma x :s=;; O"a

(trazione)

Se risulta non verificata la sola condizione b, l'armatura tesa è insuffi­ ciente e deve essere aumentata. Se risulta non verificata la sola condizione a, la zona di calcestruzzo compresso risulta insufficiente. Essa può essere aumentata in vari modi: o aumentando le dimensioni geometriche della sezione di calcestruzzo in tutto o in parte, oppure aumentando l'armatura compressa, oppure l'armatura tesa. Questo ultimo provvedimento si basa sul fatto che l'asse neutro è baricentrico rispetto alla sezione ideale reagen­ te: aumentando l'armatura tesa, l 'asse neutro si sposta verso di essa, aumen­ tando, automaticamente, l'area di calcestruzzo compresso. Applichiamo ora le relazioni generali ad alcune sezioni di forma parti­ colare e di uso frequente: a) Sezione rettangolare con sola armatura tesa Determinazione dell'asse neutro:

-

by 2 2

nA8(h

-

y) = O

Ponendo, per semplicità di scrittura, f = nAalb e risolvendo la equazione di 2 °grado, si ottiene la posizione dell'asse neutro:

(

y=f - 1+

H

Fig. 9.10

�1 + : ) 2

9 Componenti strutturali di cemento armato

214

Il braccio della coppia interna risulta: z = h - y/ 3 Il momento d'inerzia della sezione ideale vale: Jid

=

by3 -- + nAa(h - y)2 3

Le tensioni marginali possono scriversi sia nella forma generale, sia in forma semplificata, in base alle espressioni Cz = Tz = M,

�

r

2M

M

�.�

�'

O'b ,max = 1 Ymax = -b yz id

M

·

(compressione)

/

...,.

M

1 (h - Ymax) = O'a,max =Il A aZ id

(trazione)

b) Sezione rettangolare con armatura doppia (sia compressa che tesa) Ponendo: f=n

Aa +A; b

h0 (distanza del baricentro delle armature tesa e compressa dal bordo com­ presso): . Aah + A;h ' Aa +A; la posizione dell'asse neutro è data da:

6a.=-'Yl6� I

y -ft) (y-

�ca �Cb

G

(Aa.t-/1A

-

�T Fig. 9.11

9.4 L'analisi lineare della flessione

215

Il momento d'inerzia della sezione ideale risulta: Jid =

Si ha, infine:

bt [

]

+n Aa(h - y) 2 +A�(y - h')2

M Ob =-y Jid

(compressione)

a� = n-(y - h')

(compressione)

M

Jid

M Oa = n-(h - y) J;d

(trazione)

c) Sezione a T con armatura doppia

L'ala superiore della sezione a T è realizzata dalla compartecipazione della zona piena del solaio misto di spessore s ovvero dalla compartecipazio­ ne della eventuale soletta piena. In questo secondo caso il punto 5.5 delle Norme italiane precisa che la larghezza della zona collaborante con la ner­ vatura deve essere pari, da ciascun lato, alla maggiore fra le dimensioni seguenti: - un decimo della luce della nervatura; - cinque volte lo spessore della soletta più una volta la lunghezza dell'eventuale raccordo della soletta.

& 2

tr A�,tl.a, A�) Ào. Flg. 9.12

9 Componenti strutturali di cemento armato

216

b-

{

bo + 2

Lnerv

10

ho+ 2 Ss ·

Al solo fine di determinare la posizione dell'asse neutro conviene consi­ derare la sezione a T come se fosse una sezione rettangolare di larghezza b0, nella quale alla armatura compressa A� si aggiunga la armatura fittizia A: pari all 'area della soletta di calcestruzzo esterna alla nervatura, trasforma­ ta (omoge rtéizzata) in acciaio, cioè: b - ho A:= s Il

Tale area fittizia è concentrata alla distanza s/2 dal bordo superiore della sezione. Si ha allora:

Aa + A� + A: ho Aah + A'a h' + A* s/2 hoAa + A' a + A*a 0

f =

_

Posizione dell'asse neutro:

Trovato l'asse neutro, per scrivere il momento d'inerzia non vale più la pena di considerare la soletta come area metallica concentrata al livello di s/2, ciò che richiederebbe di introdurre un termine correttivo per tener conto del momento di inerzia della sezione (b - b)s rispetto al proprio asse baricentrico, ma conviene riferirsi direttamente alla sezione ideale così come è, cioè:

Tensione marginale: M

ah = --y Jid

M

aa = n-(h - y) Jid

9.4 L'analisi lineare della flessione

217

Osservazioni 1) Se l'asse neutro taglia la soletta, la sezione ideale della sezione a T è identica a quella della sezione rettangolare larga b. Per questa ragione, spesso si comincia il calcolo dell'asse neutro con la formula più semplice relativa alla sezione rettangolare, larga b, e si vede se y è minore o maggiore dello spessore s. Nel primo caso la posizione dell'asse neutro, trovata con la formula della sezione rettangolare, è quella effettiva, nel secondo caso si può dire soltanto che la formula della sezione rettangolare non è applicabile e che occorre ripetere il calcolo con la formula della sezione a T. 2) In genere le sezioni a T delle travi che derivano dalla solidarietà delle nervature con i solai, hanno l'ala in alto. Tale ala alta risulta dunque com­ pressa solo dai momenti flettenti positivi (tese le fibre di sotto), mentre, in presenza di momenti negativi (tese le fibre di sopra) l'ala superiore viene a trovarsi in zona tesa e non va messa in conto per la ipotesi 4) di pagina 209. In corrispondenza degli eventuali momenti negativi come sezione resi­ stente va considerata quella rettangolare larga b0• In qualche caso, per esempio nelle travi a sbalzo per pensiline con solaio non praticabile, è possibile avere la nervatura in alto e l'ala collaborante in basso, ciò che è vantaggioso in presenza dei momenti negativi della mensola. Anche nei solai misti di calcestruzzo e laterizio, in cui la sezione di e.a. risulta a T con ala alta dalla collaborazione della soletta di estradosso con le nervature, è possibile migliore la situazione in corrispondenza dei mo­ menti negativi realizzando la cosiddetta «zona piena», cioè una soletta a tutto spessore eliminando i blocchi forati di laterizio. Negli altri casi, quando la nervatura larga b0 non è sufficiente a soppor­ tare il momento negativo, si può aumentare la sezione in due modi: o a coda di rondine, aumentando la larghezza della sezione e tenendo costante l'al­ tezza, oppure con mensole, aumentando l'altezza e tenendo costante la lar­ ghezza.

9.4.2

Flessione semplice retta: i problemi di progetto libero e di progetto condizionato. Uso di tabelle

Le considerazioni precedenti riguardano esclusivamente il problema di verifica, nel quale sia la sezione di calcestruzzo che quella di acciaio figura­ no fra i dati, assieme al momento flettente ed alle caratteristiche dei mate­ riali. Vengono chiamati problemi di progetto quelli che riguardano la deter­ minazione delle dimensioni delle sezioni di calcestruzzo e di acciaio. Risulta comodo indicare come «progetto» o «progetto libero», quello che riguarda il dimensionamento delle sezioni di calcestruzzo e di acciaio senza esplicite limitazioni e come «progetto condizionato» quello che ri­ guarda il progetto della sola armatura, quando sia fissata in precedenza la sezione di calcestruzzo. .

9 Componenti strutturali di cemento armato

218

I problemi di progetto libero e di progetto condizionato sono resi molto semplici dalla esistenza di apposite tabelle, che vogliamo ora esaminare. Consideriamo la sezione rettangolare con sola armatura tesa. Vogliamo renderci conto che le seguenti formule:

h=cx.JM/b b = j3b.,jM/ b = ybh

Aa = 13-JM

·

derivano dalle due stesse equazioni di equilibrio che sono servite per deter­ minare l'asse neutro e la legge di distribuzione delle tensioni sulla sezione. Nelle formule suddette i coefficienti a, �. y valgono:

a=

� K(l-�3)ab

1 Oa(l - K/3)a 2 ab = l_ y = K/ a Oa �=

Il punto di partenza consiste nel fissare il diagramma delle tensioni a cui si vuole che lavori la sezione rettangolare da progettare. È naturale scegliere i valori più elevati compatibili con le caratteristiche dei materiali, cioè le tensioni ammi ssibili ab (compressione) e Oa (trazione). Osserviamo che tale scelta definisce la posizione dell'asse neutro come percentuale dell'altezza h, ancora da determinare. Detto K il coefficiente di posizione dell'asse neutro, si ha (v. fig. 9.13): Y K-h

Fig.

9.13

ab'

---­

ab+ aaln

9.4 L'analisi lineare della flessione

219

Scriviamo ora le risultanti delle tensioni interne di compressione e di trazione ed il braccio della coppia interna:

z = h - y/3 = h(l - K/3) Scriviamo quindi, con la nuova simbologia, Cz=M e Tz=M. Dalla prima si ha:

da cui si ricava:

1f

h=a avendo posto: a=

� K(l -�3)ab

Dalla seconda relazione, cioè Tz = M, si ha:

da cui: Aa =

M Oa(l - K/3)h

ma h =a..JM/b, quindi: Aa =

M

-

rM Oa(l - K/3)a'J b

= P..JM.b

avendo posto: P=

1

Oa(l - K/3)a

9 Componenti strutturali di cemento armato

220

Scriviamo infine, sempre con la nuova simbologia C = T:

da cui:

Le formule precedenti permettono di costruire le tabelle dei coefficienti a�y in funzione delle coppie di valore prefissati delle tensioni ammissibili aa e ab. Esse sono riportate nei manuali per il calcolo del e.a. ed anche in molti libri sul e.a. Nel caso di progetto libero l'impiego delle formule è immediato: in base ai valori prefissati di aa e di ab si ricavano dalle tabelle i corrispondenti valori di a e di y. Si fissa quindi la larghezza b dèlla sezione e si determinano i valori dell'altezza utile h = a-JM!b e della armatura necessaria A= ybh. Nel caso di progetto condizionato sono assegnate la tensione ammissibi­ le dell'acciaio 03 e le dimensioni della sezione di calcestruzzo b ed h; sono incognite l'armatura tesa e la tensione del calcestruzzo ab. Determinata quest'ultima occorre controllare che essa risulti non supe­ riore alla tensione ammissibile del calcestruzzo ab. La procedura è la seguente: in primo luogo si calcola: a=

h

{f

poi, nella tabella relativa alla tensione ammissibile dell'acciaio, si cerca il valore di a che approssima per difetto il valore calcolato e si legge sulla riga orizzontale il corrispondente valore della tensione di compressione nel cal­ cestruzzo. Se ab � ab si legge sulla stessa riga orizzontale di prima il valore di y e si determina Aa = ybh. Se invece ab> ab occorre rinunciare a far lavorare l'acciaio al massimo, cioè a a3, e passare ad un valore inferiore della tensione. In questo modo aumenta, a parità di condizioni, la percentuale di armatura, l'asse neutro è richiamato verso l'armatura tesa, aumenta la zona compressa, diminuisce la tensione di compressione nel calcestruzzo. In certi casi, particolarmente sfavorevoli, il provvedimento di ridurre la tensione ammissibile nell'acciaio può risultare insufficiente: occorre allora modificare la sezione ovvero disporre armature integrative sia in zona tesa che in zona compressa (doppia armatura).

221

9.4 L'analisi lineare della flessione

9.4.3

Il progetto della armatura compressa con l'uso delle tabelle della flessione con armatura semplice

Per il progetto dell'armatura compressa esistono apposite tabelle con due dati di ingresso di più, il rapporto fra la armatura compressa e quella tesa A�!Aa ed il rapporto fra il copriferro della armatura compressa e l'altez­ za utile dell'armatura tesa h '/h. Ci proponiamo ora di determinare l'armatu­ ra compressa con un procedimento diverso, che richiede l'impiego delle tabelle per la sezione con armatura semplice: lo scopo è quello di approfon­ dire la conoscenza del meccanismo portante della sezione di calcestruzzo e di acciaio. Supponiamo di avere una sezione di dimensioni assegnate b h e siano altresì assegnati le tensioni ammissibili aa e ab. Domandiamoci qual è il massimo momento che questa sezione può sopportare e quale è la armatura corrispondente. La risposta è immediata: alla prefissata coppia Oa e ab corrispondono due ben determinati valori di a e di 'Y che indichiamo con a* e y*, quindi il massimo momento che la sezione può sopportare vale: ·

M* =

bhz a*2

e la corrispondente armatura risulta: A; = y*bh Se vogliamo affidare alla sezione un momento M maggiore di M*, dob­ biamo rinforzare opportunamente la sezione in modo che essa possa sop­ portare la differenza: AM= M-M*

Ciò è possibile se disponiamo due armature aggiuntive, una in zona compressa, l'altra in zona tesa, tali da assorbire le forze: C=T=

AM h-h'

L'aggiunta delle due armature deve essere fatta in modo da non modifi­ care la posizione dell'asse neutro, fissata inizialmente dalla scelta di oa e di ab: a tale scopo basta determinare le aree A� e AAa in base alle a ricavate dal diagramma delle tensioni in corrispondenza, rispettivamente di (y h') e di (h - y). In questo modo l'armatura compressa A� fornisce al momento statico un contributo uguale ed opposto a quello dell'armatura aggiuntiva AAa. -

9 Componenti strutturali di cemento armato

222

Si ricava subito: Aa = /

AM · Y (h- h' ) · nab(y- h' )

AAa =

AM (h h')aa

(in zona compressa) (da aggiungere in zona tesa ad A;)

_

In conclusione le armature risultano: in zona compressa: A� in zona tesa: A; + AAa Con tali armature la sezione sopporta il momento M*+AM = M con le tensioni ammissibili Oa e ab. \

Aa,,.

A*

6.A

Fig. 9.14

La sovrapposizione degli effetti è risultata in questo caso lecita - ciò che è eccezionale nel e.a. come vedremo fra poco nella flessione deviata e, più avanti, nella pressione eccentrica - perchè, non modificando la posizione dell'asse neutro, la sezione di calcestruzzo compresso è rimasta invariata. 9. 4. 4

La flessione semplice deviata

Si ha flessione deviata quando l'asse vettore del momento esterno M non è parallelo ad uno degli assi principali d'inerzia della sezione. Nel caso

9.4 L'analisi lineare della flessione

223

y

y

y

n.

t My

a)

I In. II &,h� i ir' �t)b .

-� e)

b)

Flg. 9.15

di materiale omogeneo, isotropo, elastico, resistente anche a trazione, è lecito decomporre la flessione deviata in due flessioni rette e determinare le tensioni interne per sovrapposizione degli effetti. Questo procedimento non è più valido nel caso delle sezioni di cemento armato, considerate nel II stadio (metodo « n »), perchè a ciascuna delle due flessioni rette corrispondono sezioni resIStenti differenti fra loro (v. fig. 9. 1 5), mentre la sovrapposizione degli effetti ha senso soltanto se, al variare delle caratteristiche di sollecitazione, la sezione resta sempre la stessa. Abbiamo visto nel paragrafo 9.3.1 che, nel caso di sezioni dotate di un asse di simmetria quando l'asse di sollecitazione coincide con l'asse di simmetria, la direzione dell'asse neutro è nota (è ortogonale all'asse di sollecitazione) è che, pertanto, è necessario soltanto trovarne la posizione; nota la pqsizione dello asse neutro allora e soltanto allora risulta determina­ ta la sezione resistente. Le caratteristiche dell'ellisse centrale d'inerzia della sezione resistente sono da questo momento in poi facilmente determinabili:

a) il baricentro dell'ellisse coincide con il baricentro della sezione resisten­ te (incrocio dell'asse di simmetria con l'asse neutro); b) uno degli assi principali coincide con l'asse di simmetria, che resta lo stesso sia nel I stadio che nel II stadio; e) le lunghezze dei semiassi dell'ellisse sono dati dalle formule:

Px,id=�

- rJ;;; Py,id-\J�

9 Componenti strutturali di cemento armato

224

in cui J;d,x· J;d,y. Aid sono, rispettivamente, i momenti d'inerzia rispetto all'as­ se neutro ed all'asse di sollecitazione, nonché l'area della sezione ideale reagente. Nel caso della sezione rettangolare con sola armatura tesa, si ha, per esempio: A;d = by+ nAa

- by3

2 J;d,x - -3- + nAa(h- y)

yb3

J;d,y=----u-+

(

2 Aa b n 2 2

_

)2

c

in cui c è il copriferro dell'area metallica Aa/2 concentrata alla distanza (b/2 - c) dall'asse di sollecitazione. Nel caso della flessione deviata il problema è più complesso perché, a differenza del caso precedente, la direzione dell'asse neutro non è nota a priori. f. vero che tale direzione risulta coniugata all'asse di sollecitazione rispetto all'ellisse centrale d'inerzia della sezione ideale resistente, come vedremo fra poco, ma tale sezione resta incognita fino a che non vengono determinate le due incognite che caratterizzano l'asse neutro: la inclinazio­ ne e la posizione. Per estendere al cemento armato la teoria della flessione

Flg. 9.16

225

9.4 L'analisi lineare della flessione

deviata stabilita nel corso di Scienza delle Costruzioni si procede con la stessa metodologia adottata nella flessione retta. Si scrivono le tre equazioni di equilibrio, disponibili nei problemi piani, che esprimono la equivalenza fra la risultante relativa delle forze esterne (ridotta in questo caso ad una sola coppia, agente l\el piano avente l'asse s come traccia) e la risultante delle tensioni interne (che anch'essa deve avere per risultante una coppia agente nello stesso piano di traccia s). Il sistema delle forze interne deve perciò avere risultante nulla, ed il suo momento risultante non deve avere componenti nel piano normale al piano di sollecitazione, ma deve essere contenuto esclusivamente nel piano di sollecitazione stesso. In simboli:

J abdA l::A'a�A� - l::AaaAa=O J OblldA + l::A�CJ�TIA� l::AOaTIAa 0 J ObsdA + l::A'CJ� S A� + :L:Aaa S Aa +

e

+

e

•

e

•

=

•

•

=

M

Come al solito, gli integrali sono stesi all'area C del calcestruzzo com­ presso e le sommatorie si riferiscono, separatamente, alle armature com­ presse (A�) ed a quelle tese (A8). Le distanze s ed TI dell'elemento di area dA dagli assi s ed n sono misurate parallelamente agli assi medesimi. Tenuto conto della linearità del diagramma delle tensioni, che permette di esprimere la tensione generica nel calcestruzzo (e quindi nell'acciaio essendo Oa = nab), in funzione del rapporto: a1(si) a(s) S S1 che misura la pendenza del diagramma suddetto, le equazioni precedenti assumono ordinatamente la forma:

J

e

sdA + nl::A�sA� - nl::AsAa =O

cioè il momento statico della sezione ideale reagente rispetto all'asse neutro è nullo, quindi l'asse neutro è baricentrico:

J ST1dA + nl::A�sllA' + nl::sT1Aa e

=O

cioè il momento d'inerzia misto della sezione ideale reagente rispetto all'as­ se di sollecitazione ed all'asse neutro è nullo, quindi i due assi sono coniuga­ ti rispetto alla ellisse centrale d'inerzia della sezione predetta;

9 Componenti strutturali di cemento armato

226

posto: e

la terza equazione fornisce la espressione della formula monomia della tensione:

Estesi i risultati della teoria della flessione deviata al caso delle sezioni parzializzate di cemento armato, si deve rilevare che la risoluzione del sistema di equazioni di cui sopra presenta difficoltà pratiche rilevanti, per cui è invalso l'uso di seguire un procedimento iterativo per la determinazio­ ne dell'asse neutro e, quindi, della sezione ideale reagente. Il procedimento si articola in cicli, in ciascuno dei quali si ripetono le seguenti due operazioni:

a) si assegna a sentimento la inclinazione deII' asse neutro e si determina la corrispondente posizione mediante l'annullamento del momento statico della sezione ideale reagente; b) si controlla che l'asse così trovato sia l'asse neutro effettivo, calcolando il momento d'inerzia misto rispetto agli assi s ed n della sezione ideale reagente; se tale momento risulta nullo, l'asse neutro è quello giusto, altrimenti occorre rinnovare il tentativo, con un secondo ciclo, nel quale si ripetono le operazioni a) e b), a partire da una diversa direzione dell'as­ se neutro.

Quando, dopo qualche ciclo, si è individuato l'asse neutro, si calcola il momento d'inerzia Jid,n• si valutano le tensioni con la formula monomia pre­ cedente e si controlla che le tensioni massime non superino quelle am­ missibili (problema di verifica). 9.5

_

LA SOILECITAZIONE COMPOSTA DI FLESSIONE E TAGLIO

Nel paragrafo 7.4. l sono stati esposti i risultati salienti di prove di cari­ co, spinte fino a rottura, eseguite su travi di cemento armato sollecitate a flessione e taglio: la formazione di lesioni oblique nelle anime delle travi, e la conseguente necessità di predisporre staffe e ferri piegati in aggiunta alle barre longitudinali, richieste dalla flessione; nel paragrafo 9.3.l si è prean­ nunciata la necessità di predisporre un modello di calcolo, diverso da quel­ lo fornito dalla Teoria tecnica della trave, secondo Barré de Saint-Venant, per tenere conto della ridistribuzione delle forze interne fra il calcestruzzo compresso dell'anima, intercluso fra le lesioni oblique, e le armature tra­ sversali tese, che attraversano e che cuciono le lesioni medesime. Adesso dobbiamo precisare i procedimenti di calcolo, che permettono di effettuare le verifiche di sicurezza nei confronti dei fenomeni seguenti:

9.5 La sollecitazione composta di flessione e taglio

227

a) la fessurazione del calcestruzzo, teso dalle tensioni principali di trazio­ ne, che coesistono con le tensioni tangenziali dovute al taglio e che segnano il conseguente passaggio della trave dal I al II stadio; b) lo snervamento delle armature trasversali, che individua una delle modalità di raggiungimento del II stadio; e) lo schiacciamento delle bielle inclinate del calcestruzzo dell'anima, che corrisponde all'altra modalità della realizzazione del III stadio. 9.5. 1

La sicurezza allafessurazione obliqua

Consideriamo, per fissare le idee, la trave della fig. 9.17, semplicemen­ te appoggiata e sottoposta al carico uniformemente ripartito p: nella sezio­ ne di appoggio il taglio è massimo e vale pl/2, mentre il momento è nullo. Nel I stadio le tensioni tangenziali seguono la legge:

Fig. 9.17

che per la sezione rettangolare è parabolica, con il valore massimo nel bari­ centro, pari a: T 3 T 'tm ax = bz1 = l bH

=l,5'tmedia (v. fig. 9.18a)

228

9 Componenti strutturali di cemento armato

Fig. 9.18

Tracciando il cerchio di Mohr che descrive lo stato di tensione intorno all 'elementino baricentrico soggetto a taglio puro, si vede che le tensioni principali sono uguali, in modulo, a 'tmax : la cr1 di trazione è inclinata a 45° rispetto alla linea d'asse orizzontale della trave, mentre la crn di compres­ sione è inclinata a 135° (v. fig. 9.17). Nella sezione di appoggio della trave in esame il passaggio dal I al II sta­ dio è atteso quando cr1 uguaglia la tensione di rottura del calcestruzzo teso, il cui valore medio vale, secondo il punto 2.1.1 del D.M. 14 febbraio 1992, fctm =0.2i J..}R 2ck (N / mm2 ), ovvero fctm =0.58�R 2ck (kgf / cm 2) Nel caso di Rck = 25 N/mm2, risulta il valore medio fctm = 2,3 N/mm2. Il valore caratteristico, corrispondente al frattile 5% può essere assunto pari a 0.7 fctm cioè 1,6 N/mm2.

9.5 La sollecitazione composta di flessione e taglio

229

Con riserva di ritornare fra breve su questo punto, ci limitiamo per ora ad osservare che nel metodo delle Tensioni Ammissibili la massima tensione tangenziale per solo taglio, calcolata con la formula 't(II) = _I_= T non bzu O, 9bh R 15 deve superare il valore :re I = 1, 4 + ek (N I mm 2 ) secondo il punto 3.1.4 35 del D.M. 14.2.1992. Ponendo, come prima Rck = 25 N/mm2, si ricava 'te1 = 1, 4 + 0.29 1,69 N/mm2 circa uguale a 1, 6 N/mm2, il frattile 5% della distribuzione statistica delle resistenze a trazione aventi 2, 3 N/mm2 come valore medio. Le considerazioni precedenti hanno mostrato l'essenza della verifica alla fessurazione obliqua nella sezione di taglio massimo di una trave appoggiata. Esse giovano anche ad introdurre il procedimento di calcolo tradizionale, che è stato adottato sin dai primi anni di questo secolo per le verifiche con il Metodo delle Tensioni Ammissibili. Si tratta di una proce­ dura che può destare qualche perplessità dal punto di vista metodologico, perché si propone di ricavare la formula della tensione tangenziale massi­ ma nel II stadio, secondo D.J. Jourawski, uguagliando la risultante delle tensioni tangenziali orizzontali 'L}!.�x b dx alla risultante delle tensioni normali dovute a dM = Tdx (fig. 9.18b). Queste tensioni sono quelle ricavate nella flessione semplice, ipotiz­ zando le lesioni verticali e non oblique, la conservazione clelle sezioni pia­ ne, la perfetta aderenza ed il calcestruzzo teso non reagente. -

=

·

·

A conti fatti risulta 't}!.�x = T/bzn. Tenendo conto che zn 0.9 h e nel caso frequente in cui h = 0,95H, T . l l 7T I bH. ancora che 't Mint· Nella figura 12.5 sono note la forza normale N e la eccentricità e si vuole determinare la lunghezza critica lcr dell'asta. Le tre rappresentazioni corrispondono a modi diversi di descrivere lo stesso fenomeno e conducono agli stessi risultati. =

12.4

LA RELAZIONE M-N-1/r

Nella figura 12.6 sono riportati alcuni diagrammi «momenti interni­ curvature» in corrispondenza di assegnate forze normali esterne Nest N;nt· =

As

M1vnt �2 N1 .iilsr.

{

b

A�

N1 < tJ2 < NJ < N 4

Fig. 12.6

o

-i

't,

12 Problemi di instabilità

326

Si nota l'influenza della intensità della forza normale N sull'andamento dei diagrammi Mint 1 /r. Per valori moderati di N sono visibili i tre stadi che caratterizzano il comportamento della sezione inflessa: il punto A indica il passaggio dal I stadio (sezione di calcestruzzo integralmente reagente) al II stadio (calce­ struzzo teso fessurato); il punto B indica che l'acciaio teso ha raggiunto la tensione di snervamento. All'aumentare di N il III stadio scompare; per valori ancora più elevati di N la rottura si verifica nel I stadio. Assegnate la sezione b X H, le armature As ed A; e la forza normale esterna Nest· si vuole costruire il correlativo diagramma M;n1 1/r. Sono noti i legami costitutivi del calcestruzzo (parabola-rettangolo) e dell'acciaio (dia­ gramma bi-lineare elastico-perfettamente plastico). Il procedimento di calcolo si articola in cicli di tre fasi, con eventuale iterazione: -

-

- nella prima fase si assume un valore iniziale per la curvatura 1/r e per la deformazione Em sull'asse rispetto al quale si valutano i momenti. Si divide la sezione in strisce orizzontali, si determinano per ciascuna stri­ scia le e e le a correlative nel calcestruzzo e nell'acciaio (v. fig. 12.7); - nella seconda fase si valutano la risultante Nint ed il momento risultante M;nt Nint

=

EacdAc

Mint

=

Eac z dAc + Ea5ZA5

+

EasAs

- nella terza fase si confronta Nint con Nes t per controllare se è soddisfatta l'equazione di equilibrio Nest= Nint· In caso affermativo si è trovato un pwito del diagramma M1nt 1/r; in caso contrario occorre modificare il valore di Em assunto nella prima fase, conservando il valore della curvatu­ ra. Si ottiene un nuovo diagramma di deformazioni e nuove tensioni e si ripetono tutte le operazioni successive, fino a che risulta Nest N1ni· -

=

A questo punto si inizia un secondo ciclo assumendo nuovi valori di 1/r e di Em; in base ai quali si determina un altro punto del diagramma.

(

A's

H és

Flg. 12.7

327

12.5 Il metodo della colonna modello

Si ripete il procedimento in modo da descrivere l'andamento completo della curva fino alla crisi della sezione. Si ottiene così il diagramma Mint 1 /r per N= cost, che descrive la funzione Mini= f(l/r) = f(y"). Ricordiamo che, in campo elastico vale la relazione molto più semplice M;n1= - EJ/r= - EJy ", che permette di scrivere l'equazione di equilibrio fra il momento esterno e quello interno nella forma: -

N(e+y)= - EJy", da cui:

Invece, in campo non lineare, si ha, in corrispondenza, N(e+y) = Mini( Y") L'integrazione della equazione differenziale della deformata diventa quindi notevolmente più complessa, come abbiamo visto in precedenza a proposito dell'analisi non lineare svolta da von Karman per le aste snelle pressoinflesse di acciaio. È dunque naturale che anche nel caso del cemento armato si sia cercato di adottare formulazioni semplificate, sullo spirito delle proposte avanzate da Westergaard, Osgood e Jezek, assegnando una ragionevole funzione atta a descrivere la deformata dell'asta. Nel campo del cemento armato questo procedimento semplificato è noto come metodo della colonna modello. 12.5

IL METODO DELLA COLONNA MODELLO

Con riferimento alla figura 1 2.8 si adotta l'ipotesi semplificata di descrivere la configurazione deformata dell'asta con la funzione

�

y= a sin(1t x/l) Per x= l/2 si ha y= a sin

;

=a

Per x= l, risulta y= a sin 1t= O Valutiamo ora la curvatura: y = a(1t/l) COS (1tx/l) I

y "= - a(1t/l)2 sin (1tx/l) ( 1/r)= - y "

I I I I \ \" \ \ \

I

B

J_

Flg. 12.8

328

12 Problemi di instabilità

Per x= 1/2, si ha (1/r)= a(1t/1)2 sin (1t/2) = a(1t/1)2 da cui:

Ponendo 1 2s, risulta a= 0,4 s2 X (1/r). Viene definita «colonna modello» la colonna AC, libera in A ed incastra­ ta in e, per la quale vale la relazione, che lega lo spostamento a dell'estremo A alla curvatura della sezione C, di base, =

a= (12/10)

X

(1/r)= 0,4(1/r)s2

Il momento totale alla base risulta pari a:

in cui M1 è il momento del I ordine ed M è il momento aggiuntivo M = Na. 2 2 Note le caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione di base e nota la relazione M - N - 1/r correlativa, il massimo momento del I ordine che la colonna può sopportare vale: M1 = M - 0,4 N(l/r)s2

in cui M ed (l/r) si riferiscono alla sezione di base (sezione C). La relazione precedente dà luogo alla seguente interpretazione grafica (v. fig. 12.9). Qualora non esista la tangente alla curva Mint parallela alla retta di M 2 la crisi è dovuta al superamento della resistenza della sezione al piede (v. fig. 12.10). Per quanto riguarda l'influenza dello scorrimento viscoso, va osservato che l'EC2, nella Appendice 3: «Supplementary information on the ultimate limit states induced by structural deformations », al punto (9) di A.3.4 con­ sente di trascurarne gli effetti nel caso in cui le colonne facciano parte di

M

B

TANGENTE /. ALLACURVA /

M,i,,,t/

PARALLELA ALLARmA M2 Fig. 12.9

Mtmqx

/

·

./.

/

/

/

/

/

/

/

ROTTURA DELLA SEZIONE

/ /

(1/t)

(N-i.'llt

=

N��t)

2

� M2 = 0.4 N : . o ,.� .- �----t�����������---:� /.

/

111(,

329

12.6 Metodi approssimati

/

ROTTURA D6LLA SE:Z.I0"-1 E.

M

/ Fig. 12.10

./

/

./

/

./

/

/

-i

--------'--;;;;� 't.

edifici senza spostamenti orizzontali dei piani e siano vincolati in maniera monolitica alle travi o alle solette in corrispondenza di entrambe le estremi­ tà. 12.6

METODI APPROSSIMATI

Alcune norme tecniche consentono di valutare i momenti della teoria del II ordine con procedimenti approssimati diretti, che non richiedono la conoscenza della relazione M, N, (l/r).

a) Impiego del coefficiente di amplificazione 1/(1

-

PIPE)·

Viene applicato al momento del I ordine per ottenere il momento totale

in cui:

Una questione delicata è quella della valutazione del prodotto EJ: in genere le stesse norme forniscono indicazioni orientative. Questo metodo è

Flg. 12. 1 1

12 Problemi di instabilità

330

presente sulle norme nordamericane (ACI Code) ed in quelle sovietiche. Noti M ed N la verifica si esegue con l'uso delle curve di interazione.

b) Impiego del momento additivo Mi= Na con curvatura assegnata. È un metodo approssimato, derivato da quello della colonna modello, in cui si prefissa il valore della curvatura nella sezione di base. È menzionato in diverse edizioni delle Raccomandazioni del CEB ed anche nell'EC2; a volte è suggerita la curvatura associata alla rottura bilanciata (5%o/h), a volte la curvatura corrispondente al simultaneo snervamento delle armatu­ re tesa e compressa (2Eyd/0,9h). Nella figura 12.11 sono riportati i diagrammi delle E corrispondenti. Noto Mi= Nl2/10 X (1/r), si determina il momento totale M= M1 +Mi. A questo punto si procede alla verifica come nel caso precedente, utiliz­ zando le curve di interazione. 12.7

ECCENTRICITA NON INTENZIONALI

Come si è detto in 12.3, la tendenza della normativa è quella di conside­ rare in ogni caso una eccentricità non intenzionale, dovuta ad inevitabili imperfezioni geometriche. Secondo le Norme italiane ed il Model Code 1978 l'eccentricità non intenzionale è assunta pari a en = 10/300 (10 espresso in cm) e comunque non inferiore a 2 cm. Per esempio, nel caso della colonna modello della figura 12.8, incastrata in C e libera in A, la eccentricità del I ordine nella sezione C è pari a e1 = en + Hs/N; se N avesse la eccentricità e0, si avrebbe e1 = e0 +en + Hs/N.

Capitolo

13

Problemi di efficienza funzionale e di durabilità

13.1

CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE

In questo capitolo ci occupiamo di quei fenomeni pericolosi o comun· que indesiderabili che possono insorgere nel corso della normale utilizza· zione della costruzione per effetto degli stessi carichi di servizio e delle azioni ambientali. Tali fenomeni sono di due tipi:

a) limitazioni alla efficienza funzionale della costruzione per rapporto al· l'impiego previsto in fase di progetto;

b) danneggiamento progressivo dei materiali costitutivi sotto azioni mecca· niche, fisiche, chimiche e conseguente diminuzione della capacità di pre· stazione da parte delle sezioni resistenti.

I danni che conseguono da questi fenomeni sono prevalentemente eco­ nomici, perché possono essere mitigati da interventi di riparazione e di manutenzione, tuttavia alcuni fenomeni di danneggiamento progressivo del­ le armature - fatica, corrosione - sono particolarmente pericolosi, perché possono compromettere la sicurezza strutturale. È un merito del metodo agli stati limite quello di avere messo in evidenza l'importanza degli stati limite di servizio accanto a quella, indiscussa, degli stati limite ultimi e di avere chiarito che i primi sono dovuti ai carichi di servizio ed i secondi ai carichi ultimi di progetto, cioè ai carichi di servizio moltiplicati per coeffi­ cienti di ponderazione YF (coefficienti parziali di sicurezza moltiplicatori delle azioni), dell'ordine di grandezza di 1,5. Alla luce di tale classificazione viene anche evidenziato il carattere peculiare dei fenomeni di fatica (dan­ neggiamento progressivo in presenza di vibrazioni) che è quello di dare luogo ad uno stato limite ultimo (S.L.U. di fatica), diverso da tutti gli altri stati limite ultimi, perchè è dovuto proprio ai carichi di servizio, non molti­ plicati per i coefficienti di ponderazione YF· Risulta inoltre incoraggiato lo studio della interazione fra la fatica e la corrosione (fatica assistita dalla corrosione) e della contestuale adozione di adeguati provvedimenti protetti­ vi: il progettista strutturale deve quindi affrontare in un quadro unitario i

332

13 Problemi di efficienza funzionale e di durabilità

temi della sicurezza e della durabilità. Nel caso delle costruzioni di cemento armato, gli stati limite di senrizio ricorrenti sono tre:

a) limitazione delle tensioni nel calcestruzzo teso, compresso e nell'acciaio teso;

b) controllo dell'ampiezza delle lesioni; e) controllo delle frecce. Altri stati limite, per esempio quello relativo al controllo delle vibrazio­ ni, possono essere di interesse per tipologie strutturali particolari (basa­ menti di macchine, vie di corsa di carri ponte, passerelle pedonali, ecc.). Peraltro, nell'ambito dei requisiti essenziali delle costruzioni, le esigen­ ze della efficienza funzionale e della durabilità sono sempre state tenute presenti dai progettisti e dai costruttori, con riferimento ai materiali di volta in volta impiegati. Marco Vitruvio Pollione, autore del famoso Trattato in dieci libri sulla Architettura, nel capitolo III del libro I precisa i requisiti di «firmitas » (resistenza, stabilità nel tempo, durabilità), «utilitas» (efficienza funzionale) e «venustas« (rispetto di esigenze estetiche) e nel capitolo VII del libro II fornisce un criterio per controllare la durabilità delle pietre estratte da nuove cave: tagliarle, lasciarle all'aperto per due anni e prescegliere quelle che non mostrano tracce di alterazione al termine del periodo di esposizione. In tempi più vicini a noi Navier, che abbiamo già citato nel paragrafo 2.2, afferma che non è sufficiente la conoscenza del carico di rottura per il progetto degli elementi di una costruzione, ma occorre integrare tale cono­ scenza con quella del carico che può essere applicato senza che il materiale subisca alterazioni crescenti nel tempo. Anche nell'ambito del metodo delle Tensioni ammissibili i requisiti degli stati limite di senrizio sono presi in considerazione, sia pure in una forma non sempre dichiarata: - nel caso della flessione, le ampiezze delle lesioni risultano implicitamente limitate dai valori assegnati alle tensioni ammissibili delle armature, che sono differenziati in base alle caratteristiche di rugosità superficiale del­ le barre (1600-:--1800 kg/cm2 per le barre lisce, 2400-:--2600 kg/cm2 per le barre ad aderenza migliorata secondo i vari regolamenti nazionali); - nel caso del taglio, la fessurazione obliqua è controllata, in modo conven­ zionale, con la limitazione T/0,9 bh � 'tc1, che, nella sostanza, equivale ad una limitazione della tensione principale di trazione a1= I t I; - le stesse considerazioni valgono per la torsione; - nel caso delle frecce massime, il controllo si esegue calcolando la freccia nel I stadio (calcestruzzo teso reagente a trazione) e confrontandola con la freccia considerata ammissibile in base alla destinazione d'uso o a prescrizioni specifiche del Committente.

13.2 Limitazione delle tensioni

333

Ciò premesso, esamineremo le procedure di verifica degli stati limite di servizio propriamente detti, secondo la terminologia dell'Eurocodice n. 2. 13.2

13.2.1

LIMITAZIONE DELLE TENSIONI PER RAPPORTO ALLE CONDIZIONI DI EFFICIENZA FUNZIONALE (SERVICE-ABILITY) Tensioni nel calcestruzzo

La limitazione delle tensioni di compressione nel calcestruzzo sotto l'azione dei carichi di servizio tende: - ad evitare la formazione di fessure longitudinali, analoghe a quelle «co­ lonnari» osservate nei provini prismatici, sottoposti a compressione cen­ trata (fig. 3.6b a pag. 52). Queste fessure prendono origine dalle zone di contatto fra gli aggregati e la pasta di cemento indurita, dove più facil­ mente si formano le « microfessure interfacciali» propriamente dette. All'aumentare del carico queste microfessure si propagano prima intorno agli aggregati e poi passano da un elemento lapideo all'altro attraverso la matrice di pasta indurita. Evidentemente la forza di compressione appli­ cata non ostacola la propagazione delle microfessure che si sviluppano parallelamente alla direzione della forza stessa; ne risulta la coalescenza di tali microfessure e la apparizione macroscopica delle fessure longitu­ dinali, che rappresentano una situazione di danneggiamento irreversibile del calcestruzzo, la cui durabilità risulta ridotta; - ad evitare che le deformazioni dovute allo scorrimento viscoso siano superiori a quelle previste sulla base dei coefficienti 150 si pone s = 150

K1 0,4 barre ad aderenza migliorata K1 = 0,8 barre lisce K2=O,125 flessione K2= 0,25 trazione pura. =

Confrontando poi l'espressione di Srrn dell'EC2 con quella corrisponden­

te di pagina 203

alcr

=

a(fcf'tct) 0/4µ, scritte per la trazione pura, si ·

vede che

la struttura della formula è la stessa, tenuto conto che µ è la percentuale di armatura e che K1

=

fcf'tct.

Dopo aver valutato l'ampiezza di calcolo wk occorre determinare il

valore nominale WHrn per effettuare il confronto fra i due valori.

Prima di tutto si deve fare riferimento alla seguente lista di classi di

esposizione, riferite alle condizioni ambientali, che, nell'EC2 sono riportate

nella tabella 4.1, e che qui richiamiamo in forma sintetica:

Classe di esposizione l 2 3 4 5

Condizioni ambientali

Atmosfera asciutta Atmosfera umida Atmosfera umida, ghiaccio, sali antigelo Ambiente marino Ambiente chimicamente aggressivo

13 Problemi di efficienza funzionale e di durabilità

338

In assenza di requisiti particolari, quale, ad esempio, quello della im­ permeabilità, l'EC2 fissa, per le classi di esposizione da 2 a 4, il valore wlim 0,3 mm sotto la combinazione di carico quasi permanente. Per la classe di esposizione 1 l'ampiezza delle lesioni non è rilevante ai fini della durabilità ed il correlativo valore di Wiim deve essere basato su altre consi­ derazioni. Per quanto riguarda la classe di esposizione 5 occorre prevedere caso per caso appropriate misure per limitare l'ampiezza delle lesioni, in relazio­ ne alla natura delle sostanze aggressive. È bene tenere presente che i fenomeni connessi con la fessurazione del calcestruzzo teso sono caratterizzati da un notevole grado di aleatorietà, pertanto i valori wk delle ampiezze di calcolo delle lesioni vanno intesi come grandezze di riferimento, utili per la progettazione strutturale, ma non possono essere usati per confrontarli con le ampiezze effettive delle lesioni, misurate in situ (si veda in proposito il commento al punto 7.4.1.1 del CEB­ FIP Model Code 1990, First Draft, Bollettino CEB n° 196, marzo 1990). =

13.4

LIMITAZIONE DEI VALORI DELLE FRECCE MASSIME PER GLI ELEMENTI INFLESSI

La limitazione dei valori delle frecce massime per gli elementi inflessi è strettamente connessa al requisito della efficienza funzionale della costru­ zione, conseguente alla compatibilità fra le deformazioni dei componenti "portanti» e quelle degli elementi "portati», fissi o mobili. Come esempi si citano le pareti divisorie, le vetrate, i rivestimenti con piastrelle, gli intona­ ci, ecc. A volte le limitazioni alle frecce sono richieste dal funzionamento di apparecchi, macchine, impianti, appoggiati sulle strutture inflesse, a volte, nel caso delle terrazze, occorre evitare che eccessivi abbassamenti diano luogo al ristagno delle acque piovane. Particolare attenzione è richiesta nel caso di carichi mobili ed, in generale, in presenza di vibrazioni. Non è facile assegnare i valori degli abbassamenti ammissibili, se non si ha la possibilità di esaminare il comportamento in servizio di costruzioni similari già realizzate. Le norme non possono dare altro che indicazioni orientative, da vaglia­ re attentamente caso per caso. L'EC2 suggerisce come abbassamento gene­ ralmente ammissibile sotto la combinazione dei carichi quasi permanente un valore pari a 1/250 della luce. È consentito di dare una controfreccia alla cassaforma del getto di calcestruzzo, che, a sua volta, non dovrebbe supera­ re 1/250 della luce. Nel caso di elementi portati fragili, come certi tipi di tramezzi, il valore ammissibile deve essere ridotto ed il limite di 1/500 della luce può essere considerato adeguato, almeno orientativamente. Per quanto riguarda la valutazione della freccia effettiva, dovuta alla combinazione dei carichi di interesse, essa non è facile, a causa della non linearità della funzione «carico applicato-spostamento», dovuta alla fessu-

339

13.4 Limitazione dei valori

razione del calcestruzzo teso. A sua volta la fessurazione è un fenomeno discontinuo, che pone delle incertezze nella valutazione di un momento d'inerzia «medio», rappresentativo del comportamento delle sezioni fessu­ rate e di quelle, adiacenti, non fessurate. Infine anche la estensione della zona fessurata è incerta; essa dovrebbe essere individuata riportando sul diagramma dei momenti flettenti l'ordinata del momento di prima fessura­ zione calcolato nel I stadio in funzione della tensione media di rottura a trazione secondo la relazione: Mfess = ""' As/r e contri­ buisce allo spostamento verso l'alto del punto e, distante X da B, della quantità M = (As/r)x.

340

13 Problemi di efficienza funzionale e di durabilità

J

M

11 STADIO, ACCIAIO RIVESTITO DAL CALCESTRUZZO

I STADIO

I

LtAr:: EJ1 't

I

M

Il STADIO IDEALE (ACCIAIO NUDO)

1 't.

[,

I DEAL.E

Fig. 13.3

Fig. 13.4

Nel complesso, il contributo della deformazione di tutti i conci elemen­ tari lunghi �s allo spostamento verticale della sezione B è dato, in maniera approssimata, dalla sommatoria f I:x �sir ed, esattamente, dall'integrale f

=

\'

uO

=

·

(x/r)ds.

In campo elastico e nel caso della flessione semplice si può anche scri­ vere:

341

13.4 Limitazione dei valori

E

r f=

y

M EJ

ft M f' MM' 0 xdx = 0 --m- dx EJ J

J

ritrovando così la familiare espressione dello spostamento del baricentro della sezione generica di una trave elastica inflessa, in cui M' è il momento dovuto alla forza fittizia, virtuale, unitaria applicata nella sezione di cui si calcola lo spostamento e diretta nella stessa direzione dello spostamento. Nel caso della trave fessurata e della sezione rettangolare si ha: (1/r)1 =M/EI1

in cui

I1 =bH3/12

(llr)u = M/EJu

in cui

In=by2/3 + nAs(h - y)2

(pag. 198); la sezione ideale omogeneizzata, pensata interamente di calce­ struzzo, è definita dalla conoscenza della posizione dell'asse neutro y=nAal b(-1+ ,j l+2bh /nAa) (pag. 213). Vediamo su un esempio concreto qual è la differenza fra I1 ed I : consi­ 2 deriamo la sezione 30 X 80, armata con 4024 (As = 18,10 cm2), per la quale(1) risulta: h =80-4=76 cm,

n=15,

y=29,13 cm,

In=Iid =843.615 cm4 Il momento d'inerzia nel I stadio, trascurando il contributo dell'area metallica, la cui percentuale geometricaµ vale 18,10/(30 X 76)=0,79%, ri­ sulta pari a: I1=30

X

803/12=1.280.000 cm4

Nel caso in esame si trova quindi: I1/Iu=1.280.000/843.615=1,52 A parità di condizioni, se la percentuale di armatura diminuisce, l'asse neutro, che nella analisi elastica è baricentrico rispetto alla sezione ideale reagente omogeneizzata, si sposta verso l'alto, il momento d'inerzia In dimi­ nuisce ed il rapporto I1/In aumenta.

(1) Si veda l'esercizio n° 1 delle Applicazioni di Tecnica delle Costruzioni, Parte II, di R. Fidenza, M. Giangrasso, C. Muscaritoli, V. Pascucci, editoriale ESA 1983.

13 Problemi di efficienza funzionale e di durabilità

342

La valutazione delle frecce f1 ed fu, calcolate, rispettivamente, con I1 ed In permette quindi di individuare gli estremi dell'intervallo in cui si situa la freccia effettiva dello stato parzialmente fessurato. Secondo la citata Appendice 4 dell'EC2, invece di adottare il procedi­ mento prima esposto, basato sull'impiego della curvatura media (1/r)m da introdurre nell'integrale

t

(1/r)mxdx, è possibile seguire un procedimento

alternativo, considerato accettabile dal punto di vista dell'approssimazione, che consiste nel calcolare preliminarmente le frecce f1 (I stadio) ed fu (II stadio ideale, acciaio nudo) e poi nel calcolare una freccia «media» fm, ap­ plicando lo stesso criterio di combinazione adottato per le curvature, cioè:

Fin'ora ci siamo occupati di frecce istantanee; per quanto riguarda il calcolo delle frecce dovute a carichi di lunga durata, che attivano fenomeni di scorrimento viscoso, giova ricordare preliminarmente alcuni risultati della Teoria delle strutture visco-elastiche omogenee, perché, come vedre­ mo, essi vengono adottati, in via di ragionevole approssimazione nel caso delle travi di cemento armato non fessurate (I stadio). Per le strutture omogenee con vincoli rigidi e con leggi costitutive vi­ scoelastiche lineari, cosicché sia valido il principio di sovrapposizione per le deformazioni (o delle tensioni) dovute ad incrementi di tensione (o di deformazione) applicati in tempi diversi, si enunciano i seguenti due princi­ pi fondamentali: 1° principio della viscoelasticità lineare (forze imposte variabili). In una struttura omogenea con vincoli rigidi lo stato di tensione elastico afi (t), dovuto ad un sistema di forze di volume f;(t) e di superficie p;(t), non è modificato dallo scorrimento viscoso, mentre lo stato elastico di deforma­ zione uf1(t) è modificato per il tramite della funzione 0(t, 't), precisamente:

a;i(t) aij1(t) (coincidenza del tensore delle tensioni effettivo del materiale viscoelastico con il tensore delle tensioni elastico) =

u;(t)

=

Eco

t

4>(t, -r)duf1(-r) (amplificazione degli spostamenti effettivi u;(t) ri­

spetto a quelli elastici secondo la legge costitutiva di tipo integrale: E101(t) - t.,(t) =

t

fl>(t, 't)da('t)

in cui tn(t) è la deformazione non dipendente dalle tensioni, dovuta, per esempio, al ritiro); 2° principio della viscoelasticità lineare (azioni geometriche imposte varia­ bili). In una struttura omogenea con vincoli rigidi lo stato di deformazione elastico uf1(t), dovuto ad un sistema di spostamenti al contorno variabili assegnati U;n(t) e/o a deformazioni anelastiche t0(t), non è modificato dallo

343

13.4 Limitazione dei valori

scorrimento viscoso, mentre lo stato di tensione elastico aiiel(t) è modificato per il tramite della funzione di rilassamento r(t, -r), precisamente:

Ai fini della valutazione degli spostamenti, consideriamo il caso di una trave viscoelastica sottoposta a forze costanti al tempo t = to ed applichiamo il 1 ° principio della viscosità lineare, assumendo Eco=Ec(to):

o(t, to)l

·

ui1

in cui compare il coefficiente di scorrimento viscoso q>(t, t0), esaminato a suo tempo nel capitolo 4. Nella realtà le travi di cemento armato non sono omogenee per la pre­ senza delle armature ed anche le caratteristiche dello scorrimento viscoso non sono le stesse ovunque, tenuto conto delle variazioni locali del contenu­ to di acqua, della composizione del calcestruzzo, della temperatura, ecc. Tuttavia, proprio a causa della notevole complessità dei fenomeni e della difficoltà a valutarli quantitativamente, si tende ad adottare nei calcoli delle strutture ricorrenti degli edifici il modello più semplice, quello del materia­ le omogeneo, ed a calcolare la freccia a lungo termine nel I stadio con la espressione fì�t.=( 1 + q>)f�� t.· Una difficoltà insorge quando non si possa con­ siderare il componente strutturale nel I stadio, ma sia prevedibile una par­ ziale fessurazione (II stadio) nelle zone in cui il momento flettente esterno supera il momento di fessurazione. Nella figura 13.5 è indicato qualitativamente l'andamento delle defor­ mazioni e delle tensioni in una sezione fessurata a causa dello scorrimento

13 Problemi di efficienza funzionale e di durabilità

344

A.N.

t := to

__,..__,,

__

--r-t---++---"A--"-.=N·'---'�=-=---+,K-'-

____

_

o VARIAZIONE DELLE DEFORMAZIONI PER SCORRIMENTO VISCOSO

VARIAZIONI DELLE TENSIONI

Fig. 13.5

viscoso del calcestruzzo: le deformazioni dell'acciaio teso subiscono varia­ zioni limitate, aumentano le deformazioni nel calcestruzzo compresso, si abbassa quindi l'asse neutro e si riduce, contestualmente, la tensione mar­ ginale di compressione. Supponendo, in prima approssimazione, che la deformazione dell'acciaio teso &5 resti invariata nel corso del tempo, scri­ s vendo &vi c cp(t)&el e tenendo presente che la curvatura elastica vale 1 (1/r)e1 = ee /y, l'incremento della curvatura per scorrimento viscoso risulta . pari a (1/r)vi sc = cp(t)Eel/h = cp(t)y/h(l/r)e1. Il rapporto (y/h) fornisce il coefficiente di posizione dell'asse neutro elastico e, secondo il modello semplificato adottato, rappresenta anche il coefficiente di riduzione della curvatura differita nel caso di sezione fessu­ rata rispetto a quello di sezione non fessurata. Sviluppando questo concetto sono stati proposti metodi approssimati per valutare la freccia sotto carichi di lunga durata nel II stadio, per es. nel FIP-CEB Model Code 90 al punto 7.5.22 e nel Bollettino CEB N ° 158 (1985) paragrafo 3.4. ·

13.5

=

IL DANNEGGIAMENTO PROGRESSIVO DEL CALCESTRUZZO E DELL'ACCIAIO PER FATICA

Negli stati limite di servizio- considerati nei precedenti paragrafi le verifiche sono consistite nel confronto fra una grandezza uk dovuta ai cari­ chi di esercizio ed una grandezza u1 rappresentativa di una soglia da non superare, in modo da soddisfare la diseguaglianza:

Nel caso del danneggiamento progressivo per fatica, dovuto alla ripeti­ zione di un gran numero di cicli di tensione �a, prodotti dai carichi di servizio accidentali, avviene invece che, nella relazione simbolica S � R, in

13.5 Il danneggiamento progressivo del calcestruzza e dell'acciaio per fatica

� /j� A�----==---­ � A 6"2 +,fo.=,J1-'Yl.:..:..2=-----�--� N'2

345

ASINTOTO

... _ - - - - - - - - - �---,..;_,;...___

O�IZZOl-JTALE.

Fig. 13.6

o

N

cui S è l'effetto dei carichi ed R la capacità resistente della sezione, è la grandezza R che tende a diminuire all'aumentare del numero n di cicli di tensione Aa fino a che si raggiunge un numero di cicli N in corrispondenza del quale si ha la rottura. Per un dato materiale, il fenomeno è descritto da diagrammi sperimentali .Aa N, detti curve di Wohler; per comodità di rappresentazione si adottano generalmente scale logaritmiche sia per le ordinate Aa; che per le ascisse N; (v. fig. 13.6). Nel paragrafo 3.5 del volume sulle costruzioni di acciaio abbiamo esaminato in dettaglio le modalità delle prove a flessione rotante utilizzate per costruire le curve di Wohler per l'acciaio. Anche per il calcestruzzo si eseguono prove a fatica, sottoponendo i provini a cicli di tensione di compressione pulsante, cioè senza cambia­ mento di segno. A differenza dal caso dell'acciaio, fin'ora non è stato possi­ bile dimostrare per il calcestruzzo la esistenza di un asintoto orizzontale nei diagrammi S-N (log S-log N): come è noto tale asintoto indica la possibilità di realizzare una vita illimitata a fatica per cicli di tensione le cui ordinate Aa; risultino minori della ordinata dell'asintoto stesso. Con riferimento alla ampiezza Aa1, il segmento AB rappresenta il nume­ ro di cicli N1 che provoca la rottura. Se il numero dei cicli effettivamente applicati al materiale è n1, rappresentato dal segmento AC, il danneggia­ mento subito è espresso dal rapporto:

-

Evidentemente si ha la rottura per D 1. Se il materiale è sottoposto a cicli di ampiezza diversa, per esempio .Aa1 e Aa2, i danneggiamenti parziali sono espressi da D1 n1/N1 e D2 nz/N2 Si deve a Palmagren ed a Miner l'ipotesi detta del danneggiamento cumulativo, secondo la quale il danneggiamento totale è espresso, nel modo più semplice, dalla somma dei danneggiamenti parziali: =

=

=

13 Problemi di efficienza funzionale e di durabilità

346

mentre la rottura è individuata sempre dalla condizione D = 1. Quindi, in generale, per sequenze di K cicli: D=

K

2: n/Ni i =I

=

1

Se, invece, si constata che D è minore di 1 si conclude che il materiale, sia pure danneggiato, non si rompe sotto la sequenza dei K cicli, ognuno caratterizzato dalla ampiezza �ai e dal numero di ripetizioni ni. Queste considerazioni indicano una procedura per effettuare la verifica a fatica che si basa sulla conoscenza di due diagrammi, tutti e due rappre­ sentati sul piano S-N (log S-log N): la curva di Wohler, che rappresenta la frontiera dello stato limite ultimo di rottura per fatica e l'istogramma delle frequenze ni dei cicli di ampiezza �ai ovvero la correlativa curva cumulativa dall'alto, detta, a volte, «collettivo delle sollecitazioni» (v. fig. 13. 7). Si approssima la curva cumulata con una poligonale circoscritta, si determina per ciascuna ampiezza �a1 il corrispondente numero di cicli nir supposti tutti della stessa ampiezza �ai, nonché il numero di cicli Ni, letti sulla curva di Wohler, si calcolano i danneggiamenti parziali n/Ni, si valuta la loro somma:

e si accerta se, al termine della applicazione del numero totale di cicli 2..;ni, l'elemento sopravviverà o meno, secondo che . risulti D < 1 opure D � 1. Naturalmente, ai fini di una effettiva verifica allo stato limite ultimo di fatica, occorre applicare coefficienti di sicurezza, che tengano conto delle varie cause di incertezza, sia sulla definizione della curva di Wohler che su

ASINTOTO

1 Flg. 13.7

L 'I

13.6 Richiami sul danneggiamento del calcestruzzo per azioni ambientali

347-

quella della curva cumulata delle frequenze delle Aai. Il Model Code 90 applica i coefficienti parziali alle Aai, maggiorandole, e con i valori 'Ysd 'Ys,fai Aai calcola i valori delle durate della vita a termine Ni, che risultano quindi ridotti, e, quindi D

= i:t n/Ni. =I

La verifica a fatica viene scritta nella forma:

in cui D1im può essere assunto pari ad 1 ovvero può essere prudenzialmente minore di 1 (p. es. O, 7). In presenza di fenomeni di corrosione le curve S-N dei materiali subi­ scono delle modifiche: nel caso dell'acciaio si manifesta una progressiva sparizione del tratto orizzontale della curva S-N, unitamente alla variazione di pendenza del tratto obliquo, che diviene più ripido: in definitiva diminui­ scono le ascisse Ni ed aumentano, a parità di numero di cicli applicati ni i corrispondenti valori dei danneggiamenti parziali e di quello totale. Queste considerazioni qualitative possono fornire qualche orientamen­ to preliminare nei casi in cui non sia immediatamente disponibile una docu­ mentazione sperimentale dettagliata sulla fatica assistita dalla corrosione. 13.6

RICHIAMI SUL DANNEGGIAMENTO DEL CALCESTRUZZO PER AZIONI AMBIENTALI

Richiamiamo brevemente alcuni argomenti trattati nel corso di Tecno­ logia dei materiali e Chimica applicata sui fenomeni che danneggiano il calcestruzzo e che ne compromettono, quindi, la durabilità. Conoscere le cause di degrado è il prerequisito per adottare appropriati provvedimenti di prevenzione in fase di progetto e di costruzione e per impostare corretta­ mente lo studio della riparazione di componenti strutturali ammalorati. Cominciamo perciò ad elencare le principali sostanze che possono nuo­ cere alla conservazione nel tempo delle caratteristiche chimiche, fisiche e meccaniche iniziali di un calcestruzzo. Tali sostanze sono presenti nell'atmosfera, nelle acque, nei terreni. L'anidride carbonica può penetrare nei pori della pasta di cemento indurita e reagire con l'idrossido di calcio, dando luogo alla formazione di carbonato di calcio ed acqua. Il processo di carbonatazione diminuisce il valore del pH da circa 14 a circa 8; diminuisce quindi anche il livello di protezione contro la corrosione offerto alle barre di armature dalla situazio­ ne di passività in cui esse vengono a trovarsi in condizioni normali e per la quale non subiscono fenomeni di danneggiamento. Una volta indebolita la barriera della passivazione interviene l'ossigeno dell'atmosfera che dà luogo, in presenza di acqua, alla formazione di ossidi di ferro, con due effetti dannosi:

348

13 Problemi di efficienza funzionale e di durabilità

- la riduzione di sezione delle barre, - l'aumento di volume degli ossidi stessi, che esercita una azione espansiva all'interno del calcestruzzo e che provoca fessure e rotture. Nell'atmosfera delle grandi città la circolazione dei veicoli con motore a combustione interna ed, in inverno, il riscaldamento degli edifici immetto­ no anidride solforosa, che si trasforma in anidride solforica ed in acido solforico, che attacca il calcestruzzo, al pari di altri fumi acidi presenti nelle atmosfere industriali. Le acque pure in movimento dissolvono l'idrossido di calcio contenuto nella pasta di cemento indurita, aumentandone la porosità e riducendone la resistenza meccanica. Le acque contenenti anidride carbonica libera hanno anch'esse azione aggressiva perché trasformano l'idrossido di calcio in bicarbonato solubile. Le acque contenenti solfati attaccano il calcestruzzo in modo grave, con formazione di sostanze espansive. Le acque contenenti cloruri non danneggiano il calcestruzzo, ma l'arma­ tura, perché riducono la passivazione dipendente da valori elevati del pH. Le acque di mare sono ricche di sali, fra cui il cloruro ed il solfato di magnesio, che esplicano una azione aggressiva nei confronti della pasta indurita. Anche i getti di calcestruzzo immersi nel terreno possono venire a con­ tatto di acque aggressive, secondo i meccanismi sinteticamente ricordati. I fenomeni citati sono causa di reazioni chimiche, ma anche i fenomeni fisici del gelo e dell'incendio possono provocare danni cospicui: l'acqua contenuta nei pori capillari gela ed aumenta di volume, provocando fessure, rotture superficiali o profonde, mentre temperature superiori ai 300-;- 400 °C determinano la diminuzione della resistenza del calcestruzzo. Alla luce delle suddette considerazioni, - l'allontanamento delle acque dalle strutture di cemento armato, - l'aumento della compattezza della pasta, con riduzione della porosità e della permeabilità, - la riduzione dell'ampiezza delle lesioni, sono provvedimenti che favoriscono la conservazione nel tempo delle carat­ teristiche meccaniche iniziali, cioè, della durabilità delle opere suddette; non sono però gli unici perché la durabilità dipende da un complesso di accorgimenti e di attenzioni che cominciano dalla fase di progettazione e continuano non solo durante il periodo della costruzione, ma anche nel corso dell'intera durata della vita di servizio della struttura.

Capitolo

14

Costruzioni di cemento armato precompresso: precompressione totale e precompressione limitata

14.1

CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE

Mentre le strutture di cemento armato normale sono sottoposte ad "azioni>> , costituite da «forze applicate» e da «coazioni», derivanti da causa naturali (ritiro del calcestruzzo, variazioni di temperatura, cedimenti diffe­ renziati dei vincoli, ecc.), le strutture di cemento armato precompresso sono caratterizzate dalla presenza permanente di «coazioni impresse artificial­ mente», le quali coesistono con le azioni precedentemente indicate. Lo scopo per il quale si imprimono le coazioni artificiali è quello di migliorare il comportamento della struttura in rapporto agli stati limite di servizio, in particolare quelli di eccessiva deformazione e di fessurazione. Ciò avviene se lo stato di tensione artificialmente impresso ha segno opposto a quello dovuto ai carichi applicati, cosicché le tensioni risultanti sono minori di quelle che si avrebbero se i carichi applicati agissero da soli. I mezzi con i quali si imprimono le coazioni artificiali costituiscono, nel loro complesso, una tecnologia particolare. Vengono impiegati acciai di caratteristiche meccaniche notevolmente superiori a quelle degli acciai in uso nel cemento armato normale, per realizzare i «cavi» scorrevoli in guai­ ne ovvero i «fili aderenti», secondo una nomenclatura che sarà fra breve precisata. È necessario far ricorso ad attrezzature oleodinamiche apposita­ mente studiate per tendere i cavi scorrevoli ed i fili aderenti ad un prefissa­ to livello di tensione. Occorrono inoltre speciali elementi di ancoraggio, coperti da brevetti, per bloccare i cavi scorrevoli dopo averli messi in tensio­ ne contrastandoli contro il calcestruzzo. Dopo il bloccaggio si devono ese­ guire, infine, iniezioni di malta cementizia all'interno delle guaine, per riem­ pire lo spazio residuo fra i cavi e la guaina stessa in modo da prevenire la corrosione dell'acciaio di precompressione e fornire una efficace aderenza fra l'acciaio ed il calcestruzzo.

350

14 Costruzioni di cemento armato precompresso

I I

P1

I

0"1

.261

I

�

62

>

26.,

6

Flg. 14.1

Questa tecnologia pone altresì ulteriori specifici problemi alla proget­ tazione strutturale, che si aggiungono agli altri, più propri della Teoria classica delle strutture: essi riguardano la applicazione di forze molto rile­ vanti (dell'ordine di grandezza di centinaia di tonnellate) su aree di calce­ struzzo molto ristrette e la riduzione dello stato di coazione nel calcestruzzo per un complesso di fenomeni, in parte istantanei, in parte differiti nel tempo. Molto più semplici sono i problemi di analisi delle tensioni e delle deformazioni nelle condizioni di servizio, per le quali si opera, di regola, nel I stadio (sezione di calcestruzzo integralmente reagente). Il fatto che una trave inflessa di calcestruzzo operi in servizio nel I ' stadio, come avviene nei pilastri e negli archi, è dovuto alla coazione artifi­ ciale, che, sostanzialmente, equivale ad una pressione eccentrica e che ren­ de il comportamento statico di una trave simile a quello di un pilastro o di un arco. Una complicazione sorge, invece, quando si passa a considerare la sicu­ rezza allo stato limite ultimo delle strutture in cemento armato precompres­ so, perché, in presenza di coazioni, il metodo delle tensioni ammissibili, che si era potuto estendere con successo anche al e.a. normale, non risulta più idoneo a misurare il margine di sicurezza tra le condizioni di servizio e quelle di collasso. Ciò si vede in modo molto semplice dalla figura 1 4.1, in cui la dipendenza fra causa (carico esterno) ed effetto (tensione) è lineare, ma il diagramma non passa per l'origine a causa della coazione a0, che permane quando il carico esterno è nullo: raddoppiando quindi il carico esterno, le tensioni corrispondenti aumentano più del doppio ed il metodo delle tensioni ammissibili perde di significatività agli effetti della sicurezza alla rottura. È dunque necessario sempre, senza eccezione alcuna, integrare la verifica nelle condizioni di servizio (eseguita nel I stadio) con la verifica

1 4 . 1 Considerazioni introduttive

351

a rottura, da eseguirsi considerando la struttura nel III stadio. In definitiva il metodo di calcolo del precompresso, a volte impropriamente incluso nel metodo delle tensioni ammissibili, si svolge nella logica del metodo agli stati limite, anche se non ne condivide l'uso dei coefficienti parziali e non adotta la distinzione fra combinazioni di carico rare, frequenti e quasi permanenti. Osservazioni a) la utilità della precompressione non è affatto limitata alle strutture rea­

lizzate con calcestruzzo, ma si estende a quelle costituite da qualsiasi materiale. È vero che il calcestruzzo, poco resistente a trazione, risente in modo esplicito dei benefici della precompressione per quanto riguar­ da la sicurezza alla fessurazione, ma i vantaggi derivanti dalla limitazio­ ne delle deformazioni, indotte dai carichi permanenti, sono anche parti­ colarmente apprezzati nelle costruzioni miste acciaio-calcestruzzo e nelle costruzioni costituite integralmente da acciaio; b) malgrado la semplicità concettuale dei calcoli, la progettazione delle opere di cemento armato precompresso richiede consapevolezza e senso di responsabilità ancora maggiori di quelli richiesti per il e.a. normale, sia perché la non appropriata introduzione di stati di coazione può risul­ tare dannosa, sia perché, di regola, le fasi di costruzione sono più nume­ rose e richiedono ciascuna la scrupolosa valutazione dei carichi, delle condizioni di vincolo e le verifiche di sicurezza correlative;

e) il mantenimento della sezione di calcestruzzo nel I stadio si realizza non solo imponendo che nelle condizioni di servizio la sezione sia completa­ mente compressa (precompressione totale), ma anche ammettendo mo­ derate tensioni di trazione, tali da escludere la fessurazione del calce­ struzzo teso (precompressione limitata). Il caso delle sezioni precompres­ se fessurate (precompressione parziale) verrà esaminato nel capitolo 15. Del pari rilevante è la responsabilità del costruttore di strutture in c.a.p., perché il progetto sia eseguito fedelmente, con particolare riguardo alle ipotesi poste a base del progetto stesso. Fra le altre si ricordano: a) il valore della resistenza caratteristica del calcestruzzo all'atto della te­

satura ed in servizio;

b) il valore del coefficiente di attrito fra cavi e guaine, in relazione allo stato di conservazione degli uni e delle altre; e) la mobilità dei vincoli nella direzione longitudinale della trave all'atto della tesatura: se la trave non può accorciarsi, non entra in coazione; d) la accurata esecuzione delle iniezioni di malta nelle guaine; e) il rispetto delle fasi costruttive previste in progetto e nei corrispondenti intervalli di tempo, posti a base della valutazione delle cadute di tensio­ ne, frazionate in relazione appunto alle varie fasi costruttive ed ai carichi permanenti in esse presenti.

14 Costruzioni di cemento armato precompresso

352

14.1.1

Il

calcestruzzo

Il calcestruzzo che si impiega nel c.a.p. differisce da quello usato in e.a. normale soltanto per il valore più elevato della resistenza caratteristica minima consentita, che deve essere maggiore di 300 kg/cm2 (Norme Tecni­ che 1992, punto 5.2.2). Nei calcoli statici non può essere considerata una resistenza caratteristica maggiore di 550 kg/cm2, mentre nel e.a. normale la resistenza caratteristica minima consentita è di 150 kg/cm2, mentre nei calcoli statici il valore massimo che può essere utilizzato è quello di 500 kg/cm2 . Per le considerazioni di servizio le tensioni ammissibili, sia di compres­ sione che di trazione, sono espresse in funzione della resistenza caratteristi­ ca a 28 giorni di stagionatura, precisamente (N.I. 3.2.5.1):

Per le condizioni iniziali le tensioni ammissibili sono invece espresse in funzione della resistenza caratteristica Rcki del calcestruzzo nel giorno j di stagionatura, in corrispondenza del quale avviene effettivamente la tesatu­ ra, precisamente (N.I. 3.2.5.2):

Le Norme prendono anche in considerazione le pressioni localizzate prodotte dagli apparecchi di ancoraggio che non devono superare il valore Rck/1,3 (N.I. 3.2.5.2). Osservazioni a) A parità di resistenza caratteristica del calcestruzzo, le tensioni ammissi­

bili di esercizio per il e.a. normale e per il e.a. precompresso risultano differenti. Per esempio, con: Rck

=

350 kg/cm2

si ha, rispettivamente: e.a. normale:

Oc= 60 +

e.a. precompresso:

Oc= 0,38

350

·

� 150

=

110 kg/cm2

350 = 133 kg/cm2; 133/110

=

1,21

b) A differenza del e.a. normale, nel e.a. precompresso sono ammesse tra­

zioni nel calcestruzzo (è il caso della cosidetta «precompressione limita­ ta»), con l'obbligo di disporre in zona tesa armature sussidiarie di acciaio ad aderenza migliorata, opportunamente diffuse, in quantità tale da as­ sorbire integralmente la risultante del diagramma delle trazioni, adot-

353

1 4 . 1 Considerazioni introduttive

tando per le armature la tensione ammissibile convenzionale di 1 ·soo kg/cm2 (175 N/mm2), se si tratta delle condizioni di esercizio, oppure di 2·200 kg/cm2 (2 1 5 N/mm2) se si tratta delle condizioni iniziali. e) Anche nel caso della precompressione totale ed in quello della precom­ pressione limitata secondo le vigenti Norme italiane, è ammessa la par­ zializzazione della sezione, conseguente al superamento delle tensioni ammissibili di trazione, ma soltanto nelle fasi transitorie della costruzio­ ne, con esclusione, quindi, delle condizioni di servizio (N.I. 3.2.5.2) 14.1.2

Gli acciai

Gli acciai da precompresso devono avere limite elastico molto elevato, cosicché risulti del pari elevato l'allungamento elastico corrispondente. So­ lo in questo modo l'influenza degli inevitabili accorciamenti del calcestruz­ zo per ritiro e per scorrimento viscoso risulta percentualmente limitata e così pure la correlativa diminuzione della presollecitazione nell'acciaio e nel calcestruzzo. Nel paragrafo 3.4 abbiamo esaminato le principali caratteristiche di questi acciai. Nella figura 14.2 sono indicati i diagrammi a-E di due acciai da precom­ presso, rispettivamente per fili e per barre, e, a titolo di confronto, il dia­ gramma di un acciaio ad aderenza migliorata da e.a. ordinario.. Le tensioni ammissibili per gli acciai da precompresso sono espresse in funzione di due grandezze: la tensione caratteristica di rottura fptk e la tensione caratteristi­ ca allo 0,2% fp(Ol)k o altra tensione caratteristica atta ad individuare la soglia delle deformazioni plastiche, cioè la tensione all' 1 % della deformazione totale fp(JJk per _i trefoli e la tensione di snervamento fpyk per le barre. Le Norme italiane danno le seguenti limitazioni valide per le condizioni iniziali e per quelle di servizio: Strutture ad armatura post-tesa:

fili o trecce trefoli barre

0,8 5fp(o,Ì)k [aaspspi��0,60f ptk 0,8 5fp(l)k [aaspspi��0,60 fptk 0,8 5fpyk [aaspspi��0,60f ptk

Strutture ad armatura pre-tesa:

fili o trecce trefoli

0,90fp(o,2)k [aaspi� sp � 0,60fptk a spi� 0,90fp(l)k [asp � 0,60fptk

_354

14

Costruzioni di cemento armato precompresso

6(K.gfm�)

1&0

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160

140

--- --

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I

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ACCIAIO PER Fili DA PRECOMPRESSO

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100

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0,2%

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ACCIAIO PER BARRE UA l"Ht:WMPRESSO

""

-

--

I ACCIAIO A 37 PER C.A. NORMALE

1

DI DEFORMAZIONE RESIDUA

e(%)

4

-

Fig. 14.2

14.2

LA TECNOLOGIA DELLA PRECOMPRESSIONE

Vediamo ora quali sono i procedimenti pratici per imprimere uno stato di coazione in una trave di calcestruzzo, utilizzando acciai ad alto limite elastico. Perché gli elementi di acciaio possano fornire un sistema di forze al conglomerato, occorre che siano messi in tensione e che siano collegati al conglomerato. Ci sono due modi per fare tutto ciò: nel primo modo (sistema ad arma­ ture pre-tese) si prepara la cassaforma, che dovrà contenere il calcestruzzo, si dispongono nella cassaforma vuota le trecce (o il trefoli, o i fili con tacche per elevarne la aderenza), si mettono in tensione le trecce con dispositivi esterni alle testate della cassaforma; per esempio, ad una estremità le trecce

1 4.2 La tecnologia della p recompressione

355

saranno ancorate ad un blocco fisso ed all'altra saranno collegate ad un elemento mobile, che le metta in trazione ad una tensione prestabilita: Ospi = 0,90fp(0,2)k

A questo punto si esegue il getto di calcestruzzo nella cassaforma e si attende il tempo sufficiente perché il calcestruzzo raggiunga la resistenza necessaria per sopportare la coazione preventivata. Infine si liberano le estremità delle trecce dai blocchi terminali: le trecce tendono ad accorciarsi, ma ora si trovano collegate per aderenza al calcestruzzo circostante, il quale è costretto ad accorciarsi, fino a che è in grado di fornire una forza uguale ed opposta a quella esercitata dalle trecce. Si noti che la tensione delle trecce, nella configurazione ora raggiunta (equilibrata e congruente) è minore di quella che avevamo inizialmente, perché anch'esse si sono accorciate della stessa quantità del calcestruzzo circostante. I) Nella cassaforma vuota si mettono in tiro le trecce (fig. 14.3).

IW@lWZZZWam@WMUZQ?@Q@U @@??ZZWZZZ?M? @???dg Fig. 14.3

II) Si esegue il getto di conglomerato. Le trecce sono sempre tenute in tiro dall'esterno (fig. 14.4) . .!.0�D�. "- _·:._�··-�:··: �_ ·>_'·:� : ;··:·.;';':;::;.;jj

3

COMPRESSIONE SUL CONO DI ANCORAGGIO ANCORA SBLOCCATO, TRASMESSO DAL PIEDE DELLO STELO

359

14.2 La tecnologia della precompressione

Equilibrio dello stantuffo

REAZIONE AL PIEDE DEL Lo STELO SUL CONO BLOCCATO

N

lN {--- [jw1@1/umwwm:: � j --

R1suLTANTE DELLA PRESSIONE DELL'OLIO

-

Fig. 1 4.9

Equilibrio del corpo mobile

RISULTÀNTE DELLE FORZE APPLICATE Al FILI IN FASE 01 TESATURA

RISULTANTE DELLA PRESSIONE DELL'OLIO

Fig. 14.10

.;

� . ...

�·

-

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. .

'

o

.

.

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- -

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-

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o' , .

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...

\.

.-

Fig. 1 4. 1 1

Vediamo come avviene il bloccaggio di un filo all'ancoraggio: ciascun filo è in equilibrio sotto due forze R ed R1 (fig. 14. 1 1). Il tronco di cono centrale viene premuto nella sua sede al termine della tesatura. I fili, che tendono a rientrare, trascinano il cono centrale forzando­ lo maggiormente nella sua sede, in modo da autobloccarsi.

360

14 Costruzioni di cemento armato precomp resso

Accenniamo sin d'ora, a completamento delle notizie sul sistema ad armature post-tese, che, terminata la tesatura dei cavi, si provvede alla iniezione di malta cementizia nell'interno delle guaine, per raggiungere i seguenti due scopi: a) protezione dell'acciaio post-teso dalla corrosione; b) realizzare l'aderenza fra le armature e la guaina (e quindi, con il calce­

struzzo) per migliorare le condizioni di sicurezza alla rottura. Su questo secondo punto torneremo al paragrafo 14.8.

Il trasferimento degli sforzi dalle armature al calcestruzzo

Abbiamo visto che i sistemi di precompressione sono due e che il trasfe­ rimento degli sforzi dalle armature al calcestruzzo avviene per mezzo di apparecchi di ancoraggio relativamente piccoli, o, addirittura, senza appo­ siti dispositivi, ma solo per aderenza. In entrambi i casi questo trasferimento si svolge in zone di estensione limitata, per le quali non vale la teoria delle travi. Lo studio della distribuzione delle tensioni richiede l'impiego della teo­ ria della elasticità, cosa che si sa fare soltanto per casi relativamente sem­ plici, ovvero di tecniche sperimentali, fra cui la fotoelasticità. a) Sistemi ad armature post-tese. Zone di ancoraggio

Esaminiamo il caso di una forza localizzata N agente in asse alla estre­ mità di una trave prismatica, nella ipotesi semplificata di problema piano. Sulla testata la forza è applicata sulla sezione a· b; ad una certa distan­ za dalla testata (L == H) la distribuzione delle pressioni è, con buona appros­ simazione, uniforme con a = N/bH (fig. 14.12). Nella zona di lunghezza L ha luogo la diffusione delle tensioni dalla altezza a alla altezza H. Le isostatiche di compressione dietro l'ancoraggio presentano dapprima la convessità verso l'asse della trave, poi, subito dopo, la curvatura cambia; in corrispondenza ai cambiamenti di direzione delle isostatiche di compressione, si manifestano delle tensioni trasversali di compressione, subito dietro l'ancoraggio, che poi diventano tensioni tra­ sversali di trazione un poco più lontano (1). L'andamento delle a trasversali di trazione in funzione del rapporto a/H e della a media longitudinale, è indicato nella figura 14.13. Quando la a media longitudinale di compressione vale 100 kg/cm2, la a trasversale massima può arrivare, se a/H 0,1, a 40 kg/cm2• La risultante delle forze di trazione trasversali Z può essere valutata mediante l'espressione approssimata: =

(1) Subito dietro l'ancoraggio la dilatazione trasversale (effetto Poisson) è impedita dalla massa di calcestruzzo circostante scarico, che esercita un effetto cerchiante rappresentato dalle compressioni trasversali.

361

1 4.2 La tecnologia della precompressione

H

L

,

b

I.

L 1

� -L

LcH

1

o-bH

Fig. 1 4 . 1 2

+6

o.

=02

a. H =0,3

o ,5 6 .--r--r+--.r+...---T--r-r---ir----, o ,H t---t--.r""'d--t-t--t---t-­ -t...-11��+--+---t---1 o, 3' �-w-

o�sl--.,,..,�""'f'....,��r---ii---; o ,1 6 t-t"'H,_-t--r��;::�

Fig. 1 4.13

-6 Z = 0,3

·

N(l �) -

La presenza di tensioni di trazione richiede la disposizione di apposite armature trasversali, la cui ubicazione viene studiata in base alla distribu­ zione delle a trasversali di cui allo schema precedente. (Eliche o griglie multiple). Per quanto riguarda le pressioni longitudinali dietro l'ancoraggio, ri­ cordiamo che sono permesse compressioni molto elevate; se Rck = 300 kg/ cm2 (valore minimo consentito per il precompresso) agli ancoraggi si può arrivare a 300/1.3 = 230 kg/cm2•

_36_2

1 4 Costruzioni di cemento armato precompresso

b) Sistemi ad armature pre-tese. Zone di testata

Nel sistema ad armature pre-tese il collegamento fra acciaio e conglo­ merato avviene per aderenza: si potrebbe pensare che tutto si svolga con modalità uguali a quelle del cemento armato normale, ma non è così. Nel caso del cemento armato normale, l'armatura è tesa, il suo dia­ metro diminuisce per effetto Poisson ed essa tende a staccarsi dal conglo­ merato. Nel caso del precompresso, l'armatura, rispetto allo stato iniziale di tensione ad essa applicato sul banco di tesatura, subisce una diminuzione di trazione (N < N0) quando viene liberata dai blocchi di ancoraggio. Cioè, con riferimento allo sforzo iniziale N0, la variazione �N ha il carattere di uno sforzo di compressione applicato alla armatura, quindi il diametro aumenta per effetto di Poisson, con esso aumenta la pressione laterale esercitata contro il conglomerato e migliora la aderenza. Questo fenomeno viene spes­ so chiamato «effetto Hoyer », dal nome dell'ingegnere tedesco che lo ha messo in evidenza nel 1939. Il rigonfiamento dei fili è di pochi millesimi di millimetro, ciò nonostan­ te produce pressioni radiali nel conglomerato non indifferenti. Secondo il prof. M. Ros, (EMPA Zurigo), si può arrivare anche a 800 kg/cm2 •

Flg. 14.14

La figura 14. 1 4 mostra, schematicamente, l'effetto Hoyer: fuori della trave la tensione sul filo è caduta a zero, quindi il filo ha ripreso il diametro iniziale; ad una certa distanza dalla testata nel filo è applicata la tensione: Oa = Oo

-

n Ob ·

Nella zona intermedia, il diametro del filo varia, aumentando verso l'esterno e producendo o radiali di compressione. Per quanto riguarda le 't, la distribuzione è analoga a quella delle barre per cemento armato normale: a causa delle tensioni tangenziali, si forma una distribuzione di isostatiche di compressione, lungo le quali lo sforzo dello acciaio si irradia nel conglomerato, mentre le sezioni si ingobbano (fig. 1 4. 1 5).

363

14.2 La tecnologia della precompressione

Fig. 1 4. 1 5

Fig. 14.16

L

L

..

_l ZONA 01 ,L 1 TRASFERIMENTO ..,.....-

Le a del conglomerato, nulle sulla sezione terminale, vanno crescendo fino al valore (fig. 14. 16)

mentre, contemporaneamente, anche la a nello acciaio, nulla in testata, cresce verso l'interno, fino al valore

Esclusa la zona di trasferimento degli sforzi, la ripartizione degli sforzi nello acciaio e nel conglomerato è quella vista in precedenza. Nella zona di trasferimento, esistono a trasversali di trazione, come nel caso dei coni di ancoraggio: anche qui, dunque, si dovranno disporre arma­ ture trasversali a graticcio ortogonali oppure ad elica.

364 14. 3

14 Costruzioni di cemento armato precompresso

IL SISTEMA DI CARICHI EQUIVALENTI ALLA PRECOMPRESSIONE

Vogliamo ora analizzare il regime tensionale derivante dalla coazione impressa ad una trave, mediante l'uno o l'altro dei due sistemi tecnologici esaminati al paragrafo precedente. A tale scopo è necessario, nell'ambito della teoria approssimata delle travi, conoscere le caratteristiche di sollecitazione (N, M, T) per dedurre da esse le a o le 't in base alle note formule di Scienza delle Costruzioni. A loro volta le caratteristiche di sollecitazione si determinano in funzio­ ne dei carichi applicati, dopo avere, se è il caso, risolto preventivamente un problema iperstatico. Viene così, spontaneamente, a porsi il problema di associare, ad una generica disposizione di armature di presollecitazione, i carichi(concentra­ ti, ripartiti, coppie) che producono nella struttura le stesse deformazioni e tensioni, dovute alla tesatura delle armature, cioè i carichi equivalenti alla precompressione. I carichi equivalenti sono autoequilibrati, nel senso che, in un sistema staticamente determinato, non producono reazioni vincolari; nei sistemi iperstatici, invece, anche i carichi autoequilibrati producono, in generale, reazioni vincolari, anch'esse, nel loro complesso, autoequilibrate. Diciamo subito che, nel caso dei sistemi isostatici, in c.a.p. è possibile valutare le caratteristiche di sollecitazione in funzione della disposizione delle armature, senza la preventiva determinazione dei «carichi equivalenti». Nei sistemi iperstatici, al contrario, la preventiva determinazione dei carichi equivalenti è indispensabile per definre N, M, T e, da queste, le tensioni prodotte dalla coazione artificiale. Tuttavia anche per i sistemi isostatici la ricerca del sistema equivalente è interessante, perché fornisce una visione organica dell'effetto della coa­ zione su tutta la struttura, sottolineandone l'azione antagonista in rapporto alle forze esterne direttamente applicate, non solo a livello di tensioni e di caratteristiche di sollecitazione, ma anche in termini di carichi. Cominciamo ad esaminare il sistema equivalente alla precompressione nel caso del sistema ad armature post-tese (cavi scorrevoli). In via preliminare osserviamo che i cavi sono elementi strutturali quasi totalmente flessibili, assimilabili, in molti problemi, a «fili», cioè a «solidi tubolari di piccola sezione caratterizzati dalla condizione di momento flet­ tente nullo ovunque, escludendo altresì che lo sforzo normale possa essere una pressione». In altri termini «i fili sono capaci di resistere solo a trazione». Per questa loro proprietà i fili, sottoposti a forze esterne, assumono spontanea­ mente la configurazione per la quale si ha equilibrio tra le forze esterne e le risultanti delle trazioni interne. A differenza delle travi (solidi tubolari dotati di rigidezza flessionale), nel caso dei fili si pone un problema particolare, quello di determinare la configurazione geometrica di equilibrio assunta dal filo per una data distri-

14.3

Il sistema di carichi equivalenti alla precompressione

365

buzione di carichi; poi, in analogia con le travi, si ha il problema di determi­ nare la distribuzione delle tensioni lungo il filo. Ricordiamo, infine, che un filo fortemente teso su di una superficie regolare fissa esercita su di essa la pressione: p(s)

N = R(s)

in cui N è la forza di trazione nel filo ed R è il raggio di curvatura della curva assunta dal filo, che è una geodetica della superficie di appoggio. Questi brevissimi richiami sui fili ci sono utili per associare ad un cavo curvilineo il sistema equivalente che gli corrisponde: basta pensare al cavo come ad un elemento strutturale in parallelo con la trave, cioè come ad un filo fortemente teso dentro un canale interno alla trave ed ancorato, alle sue estremità, sulla stessa trave (dunque la configurazione del filo è nota). Quando siamo al momento della tesatura, il filo non è ancora iniettato; la forza di trazione nel filo (a prescindere da fenomeni di attrito, che esami­ neremo al paragrafo 14.5) è costante ed ha un valore noto, misurato al manometro della pompa, che comanda il martinetto. A ciascun ancoraggio, il filo trasmette una forza concentrata, pari alla forza di trazione predetta, con il segno cambiato (compressione per il con­ glomerato), diretta parallelamente alla tangente terminale del filo. Lungo il canale interno alla trave, realizzato costruttivamente dalla guaina del cavo, il filo, nei tratti in curva, si appoggia contro la parete del canale, premendo contro di essa con la forza ripartita per unità di lunghezza p(s) = N/R(s). La forza obliqua N, concentrata in corrispondenza degli ancoraggi ter­ minali, non passa, in generale per il baricentro della sezione della trave; trasferendola nel baricentro della sezione di conglomerato, nasce una cop­ pia concentrata, che è il momento di trasporto; inoltre, decomponendo la forza obliqua secondo la normale e la tangente alla sezione, si ottengono una forza di compressione ed una forza di taglio. Si vede chiaramente che le due forze di compressione, ai due opposti ancoraggi, si auto-equilibrano. Le forze di taglio sono in equilibrio, non fra di loro, ma con la compo­ nente tagliante della risultante dei carichi p = N/R, come vedremo subito con qualche esempio. 1) Cavo rettilineo baricentrico Lungo il cavo - ipotizzando, per ora, che non ci sia attrito - non c'è scambio di forze con il calcestruzzo, perché il cavo scorre liberamente dentro la guaina. Invece alle estremità, dove ci sono gli ancoraggi, il calcestruzzo riceve due forze concentrate N, uguali ed opposte a quelle che tendono il cavo.

1 4 Costruzioni di cemento armato precompresso

366

CAVO

GUAINA NON

�i

�llllllllf!Tillll/11111� 3 a) DISPOSIZIONE COSTRUTTIVA b) SISTEMA EQUIVALENTE e) SFORZI TAGLIANTI

a)

d)

375.

14.3 Il sistema di carichi equivalenti alla precompressione

8) Trave continua a due campate. Cavo rettilineo

Esaminiamo il seguente caso (v. fig. 14.29a). e------

--

I I I

-- -- -- -- - -- 1-- -

A

L

Fig. 1 4.29a

-

-

-

-

-

-

L

1

1) trave a sezione costante; 2) campate di ugual luce; 3) cavo rettilineo; 4) eccentricità terminale uguale (cavo orizzontale) eA = eB = e

Sistema di carichi equivalente alla precompressione (fig. 1 4.29b):

Fig. 1 4.29b

Risolviamo il sistema una volta iperstatico con il metodo delle forze (v. fig. 1 4.30).

t

e � L Hg. 14.30

.d: A

Ci)

� � N @ .li l!..l! �

�

a B

l Net

('nA

14 Costruzioni di cemento armato p recompresso

376

Come sistema principale scegliamo quello costituito da due travi appog­ giate, inserendo in C una cerniera, che interrompe parzialmente la continui­ tà della trave ABC, mettendo in evidenza il momento di continuità (incognita iperstatica) mc. La discontinuità introdotta in C mette in evidenza non solo il momento di continuità m, ma anche i momenti Ne, dovuti alla eccentricità del cavo nelle sezioni terminali. Equazione di congruenza in forma sintetica:

cpc a sinistra(N,m) =

-

cpc a destra (N,m)

Il segno - dipende dalla convenzione assunta per i segni degli angoli di rotazione e per i momenti: positivi gli angoli ed i momenti che alzano le tangenti sugli appoggi (fig. 14.3 1 ):

Flg. 14.31

Per la congruenza, è necessario che, se la tangente in C a sinistra ruota in senso orario, la tangente in C a destra ruoti in senso antiorario (fig. 1 4.32).

li A

Flg. 14.32

Per l'equilibrio dei momenti agenti in C, deve risultare: mcA = IllcB = mc

Esplicitiamo gli angoli di rotazione cp�CJ e cp�B>: L L (Ne + 2Ne) + (O+ 2m) 6EJ 6EJ L L (2Ne + Ne) + Q>c a destra(N,m) = (2m + O) 6EJ 6EJ

Q>c a sinis1ra(N,m) =

14. 3

Il sistema di carichi equivalenti alla p recompressione

377

Sostituendo le precedenti espressioni nella equazione di congruenza: L L L L 2m 2m = 3Ne 3Ne + 6EJ 6EJ 6EJ 6EJ cioè:

6Ne+4m = O 3 m = --Ne 2

Il momento risultante in e vale, dunque: 3 Ne - -Ne = - O, SNe 2

__[O.SNe. N\.LS:

Flg. 14.33

Come si vede (fig. 1 4.33), al sistema equivalente si è aggiunto il momento di continuità - 3/2 Ne, che modifica i valori dei momenti alle estremità C delle travi AC e CB. Disegnamo ora il diagramma dei momenti flettenti (fig. 14.34).

A

C

1111111111111111111111111111}

a) MOMENTI DOVUTI ALLA PRE­

COMPRESSIONE NEL SISTEMA PRINCIPALE

b) MOMENTI DOVUTI ALLA INCO­

GNITA IPERSTATICA PRODOTTA DALLA PRECOMPRESSIONE

e) MOMENTI RISULTANTI Flg. 14.34

L'esame del diagramma dei momenti flettenti risultanti conferma che nel caso di sistema iperstatico - non è più valido il comodo procedimento di dedurre direttamente il momento flettente in una generica sezione, moltipli­ cando la forza N per la eccentricità del cavo rispetto al baricentro della

14 Costruzioni di cemento armato precompresso

378

sezione stessa. Questo procedimento semplificato è applicabile solo ai pro­ blemi isostatici. Completiamo l'analisi statica della trave continua, calcolando le reazio­ ni vincolari YA = Ya ed Yc:

Flg. 14.35

M(A) =

-

Ne - O,SNe - y�q L = O

y�q =

-

1 ,5

�e

(verso il basso)

(verso l'alto). In C la reazione totale è la somma di y�q e di yf8l (v. fig. 14.36).

A

B

e

Flg. 14.36

Si vede che il sistema delle reazioni vincolari è autoequilibrato, così come è autoequilibrato il sistema equivalente. Si vede, inoltre, che la risultante in A di N ed YA è inclinata dell'angolo a (v. fig. 1 4.37).

LINEA DELLE PRESSIONI

aN

Flg. 14.37

�.5

Net L

14.3 Il sistema di carichi equivalenti alla p recompressione

Si ha: tga= �= N

1 ,SNe NL

=

379

15� ' L

La poligonale 0-1 -2 rappresenta il poligono delle successive risultanti, cioè il luogo dei punti di applicazione delle risultanti relative alle varie sezioni (più brevemente, luogo dei centri di pressione lungo la trave). Nel c.a.p. tale luogo si indica, di solito, come linea delle pressioni. Nell'esempio considerato la linea delle pressioni non coincide con il cavo, che produce la precompressione. Questa conclusione, dedotta da un caso particolare, ha portata generale, cioè vale per qualsiasi sistema iperstatico. Premesso che nel cemento armato precompresso si chiama «cavo risul­ tante» il cavo fittizio che esercita uno sforzo uguale alla risultante delle forze di precompressione e che ha l'eccentricità di questa risultante (se i cavi sono tutti uguali, il cavo risultante passa per il baricentro dei cavi effettivi), possiamo dunque enunciare la seguente proprietà: nei sistemi iperstatici la linea delle pressioni non coincide - in generale - con il cavo risultante. Torniamo, per un momento, ai sistemi isostatici, esaminati negli esempi da 1 a 7, per constatare che la linea delle pressioni coincide sempre con il cavo risultante (in assenza, evidentemente, di forze esterne, come, per esem­ pio, il peso proprio). Ci siamo soffermati sulla differenza fra linea delle pressioni e cavo risultante, perché il regime tensionale della trave è caratterizzato, ovvia­ mente, dalla linea delle pressioni e non dal cavo risultante. Utilizzeremo la linea delle pressioni quando studieremo il tracciato dei cavi lungo la trave, dopo avere progettato le sezioni in peggiori condizioni (nelle travi appoggiate, la sezione di mezzeria). Metteremo in evidenza delle semplici limitazioni geometriche cui deve soddisfare la linea delle pressioni, perché non si abbiano mai trazioni (la linea delle pressioni non deve uscire dai noccioli centrali d'inerzia delle sezioni della trave), in base alle quali si può tracciare senza particolari difficoltà l'andamento del cavo risultante. Evidentemente il lavoro di tracciamento del cavo risultante risulta faci­ litato nel caso dei sistemi isostatici, perché, per essi, la linea delle pressioni corrispondenti alla condizione di carico «precompressione pura» (cioè al sistema equivalente) coincide con il cavo risultante. A questo punto è interessante notare che anche nei sistemi iperstatici è possibile avere linee delle pressioni che coincidono con i cavi risultanti. A questi particolari cavi risultanti, che godono della proprietà di non provocare reazioni iperstatiche e che, per questa ragione, coincidono con le linee delle pressioni, si dà il nome di «cavo concordante». Vediamo subito un esempio di cavo concordante. Nella trave continua dell'esempio N.8, proviamo a disporre il cavo risul­ tante in una nuova posizione, precisamente quella che passa per i punti 0- 1-2

1 4 Costruzioni di cemento annatoprecompresso

380

-ta ------

e

Flg. 14.38

che definivano la linea delle pressioni associata al tracciato rettilineo, oriz­ zontale del cavo risultante (v. fig. 14.38). Determiniamo ora il sistema equivalente(') (v. fig. 14.39):

Flg. 14.39

Passando al sistema principale delle due travi appoggiate AC e CB ciascuno dei momenti Ne/2 compare applicato ad una estremità diversa (fig. 1 4.40).

�!.

li A

N,

Flg. 14.40

L L