2° Algebra
June 21, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Índice
ÁLGEBRA - 2 do AÑO DE SECUNDARIA Pág. T E M A
1
Teoria de exponentes..................................................................
2
T E M A
2
Expresione algebraicas................................................................
10
T E M A
3
Polinomios...................................................................................
18
T E M A
4
Operaciones con expresiones algebraicas...................................
30
T E M A
5
Productos Notables......................................................................
38
T E M A
6
Division Algebraica......................................................................
48
T E M A
7
Cocientes Notables......................................................................
63
T E M A
8
Factorización...............................................................................
72
T E M A
9
Fracciones Algebraicas................................................................
85
T E M A
1 0
Relaciones Binarias.....................................................................
100
T E M A
1 1
Teoria de Ecuaciones..................................................................
115
T E M A
1 2
Inecuaciones..............................................................................
139
T E M A
1 3
Funciones...................................................................................
150
T E M A
1 4
Miscelaneas................................................................................
171
Álgebra
I.E.P. CORPUS CHRISTI
TEMA Nº 01: TEORÍA DE EXPONENTES Capacidad es: Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes. Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones. Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación exponencial.
Desarrollo del Tema: POTENCIACIÓN Exponente (Base)
= POTENCIA
Ejemplos: 1) 27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 7 veces 2) 5 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 5
5 veces 3) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 6 veces En general: an = a . a . a . a . … a “n” veces LEYES QUE RIGEN LOS EXPONENTES 1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- Para tal efecto se escribe la misma base y como exponente la suma de los exponentes. Así:
am . an = am+n
Ejemplos: 1) x5 . x7 = x12
Segundo Año
Ecuación 2) x8 . x6 . x-3 . x-8 . x12 =
3) 2m+3 . 2m+4 . 24-2m =
2. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- En este caso se escribe la misma base, y como exponente la diferencia de los exponentes.
am a mn an
Así:
Ejemplos: 1)
x8 x5 x3
3)
2 m3 2 m 3
2)
x 12 x 3
4)
5 x 2 .5 x 3 5 2 x 1
3. EXPONENTE CERO.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero es igual a la unidad. Así:
a0 = 1
; donde: a 0
Ejemplos: 0
0
1) 5 7 51 5
0
0
3) 3 4 5 7 8 9 =
0
2) 4 29 4. EXPONENTE NEGATIVO.- Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1, cuyo denominador es igual a la misma expresión, pero con exponente positivo.
a n
Así:
1 an
, donde: a 0
Ejemplos: 1) x
3
1 x3
2) 2-1 = 5)
3)
1 x2
4)
a2 b4
a 3 b 5
5. POTENCIA DE UN PRODUCTO.- Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia. Así:
(a.b)n = an . bn
Ejemplos: 1) (a . b)5 = a5 . b5
3) x4 y4 =
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 3
Álgebra 2)
3 x
2
3 x .2 x 6x
4)
I.E.P. CORPUS CHRISTI
6. POTENCIA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia. n a a m ; b0 b b
Así:
Ejemplos: x 1) y
4
3 5
3
x4 y4
2)
3)
x7 y7
4)
8n 2n
7. POTENCIA NEGATIVA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se invierte el cociente y el exponente se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior.
a b
Así:
n
n
b a
bn an
Ejemplos: 2
5 2
2 5
2
1)
1 2
4 25
3)
2
1 3
3
1 5
4
3
1 5
2)
8. POTENCIA DE POTENCIA.- Para realizar esta operación se escribe la misma base y se eleva a un exponente igual al producto de exponentes.
a
m n
Así:
am
n
Ejemplos:
1) x 2
4
3)
x8
2) (x-3)-4 =
x
5 3 4
4) (x-2)5 =
OBSERVACIÓN:
a m
n
s
r
a m. n. r . s
9. RAÍZ DE UNA POTENCIA.- Para extraer la raíz de una potencia, se escribe la misma base y como exponente, el cociente del exponente de la potencia entre el índice del radical. Así:
n
Ejemplos:
am a
m
n
Segundo Año
Ecuación 1) 5 2)
x 10 x
3 4
10
5
x2
3)
X6
4
X 48
OBSERVACIÓN:
m n s r
a mnrs a
10.EXPONENTE FRACCIONARIO.- Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador del exponente fraccionario.
Así:
a
m
n
n am
Ejemplos: 1)
1
8 3 3 8 2
3) a3/5
2) 642/3
4) 1251/3 =
11.RAÍZ DE UN PRODUCTO.- Para efectuar, se extrae la raíz de cada factor. Así:
n
ab n a .n b
Ejemplos: 1)
5
x 10 y 25 5 x 10 .5 y 25 x 2 . y 5
2)
7
xy
3)
3
125.212 4)
5
32.243
12.RAÍZ DE UN COCIENTE.- Se extrae la raíz del numerador y del denominador.
Así:
n
a na b nb
Ejemplos: 1)
5
x 20 y 35
5
x 20
5
35
y
x4 y7
2)
4
16 625
13.INTRODUCCIÓN DE UN FACTOR EN UN RADICAL.- Se multiplica el exponente del factor por el índice del radical y a esto se le afecta del radical. Así:
a p n b n a pn b
Ejemplos:
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 5
Álgebra
I.E.P. CORPUS CHRISTI
1) x 2 5 y 5 x 2.5 y 5 x 10 y
4) 23 5
2) x 5 3 y 2
5) x
y
6) 54 2
3) 2 2
PRÁCTICA DE CLASE Resuelve: 1. E=2n+2 + 2n+3. a) 4
b) 4
8. Simplifica: c) 4
n+5
2n+5
d) 24
n
e) 12.2
n
2. Simplifica:
Q
3
n 1
a) 39
( a 4 b 3 c )(a 5 b 2 c 3 )(a 6 b 9 c 5 )(a 8 c 7 ) ( ab)(a 2 b 2 )(a 3 b 3 )(a 4 b 4 )(ac15 )
E
a) ab n2
3 3 3 n 1 b) 6
n3
b) ac
c) bc
d) abc
e) N.A.
9. Reduce:
c) 27
d) 13
e) N.A.
5.2 n 2 2 n 4 6.2 n 1 2n
E a) 0
b) 1
c) 2
d) ½
e) N.A.
3. Calcula:
2 n2 E n 3 2 a) 2
10. Simplificar:
b) 4
c) 8
d) ½
e) ¼
4 L (2 3 ) 9
a) 4
1
1 / 2
b) -4
+ 16 4
2 1
2 1
c) 2/5 d) 5/2
e) -2/5
4. Reduce: E=(2a4b5) (5a5b6) (6a6b7) (axax…xa) (bxbx….xb)
(n-15) veces
(m-18) veces
a) 60
b) 60ab
d) 60ambn
e) N.A.
c) 60anbm
5. Reduce:
x Q
a) x
xx x
x
x
x x 2 x x x 3 x x x x x x 2 x x3x
b) x-1
c) 0
1 2
1 2
1 1 2
. 1
a) ½
1 2
1 1 2
2
b) 1
. 1
1 2
1 1 2
2
c) -1/16
d) 1/16 e) -1/2
12. Simplifica:
x
d) 1
11. Reduce:
En
3 n .3 3 n.3 2 6 81
a) 1/3
b) 3
c) 81
1
e) N.A.
d) 9
e) N.A.
6. Resuelve: 13. Reduce:
2 n 1 A n 3 2 a) 2
b) 4
c) 8
d) 1/2
e) 1/4
a) 3
7. Reduce:
M
3 n 1 3 n 2 3n4
a) 36
b) 3
c) 12
n
1/ n
9 4 3 .3 n E 3 3n b) 9
c) 27
d) 1
14. Simplifica: d) 27
e) N.A.
Q
81 n
1 n
729 8 .8
2n
1 3
e) N.A.
Segundo Año
Ecuación a) 27
b) 17
c) 29
d) 8
e) N.A.
d)
y x
5
e)
x2 y2
5
15. Calcula el valor de:
2 x 4 32( 2 x 2 ) 2(2 x 3 ) 4( 2 x 1 ) 6( 2 x 1 )
2 x 5
23.
1
27
n
a3 3 a a
a) a b) a2
c)
21
n2
a) 4
16. A qué es igual :
Q
2 n2
n
d)
a
21
a2
b) 2
c) 1
d)
n
e)
2
2 n 1
e) N.A.
2x 3 2x 3 2x 3
24. 17. Halla el valor de la expresión: a)
20 n 1 E n n2 E 4 2 2n2
2 2n4
8
d)
x3 x
3
64x 7
b)
128x 7
e) N.A.
4
8
c)
128x 5
4
64x 7
18. Simplifica: 25. Realiza:
2 n2
n
n2
a)
2 2n n
2 n 1 b)
n
24 m 12 m 15 m 4m 3m m 2 2 10
2
n
2 c)
n
1 4
d)
n
e) N.A.
4
a) 3
b) 2
m 1
c) 2/3
d) 1,5
e) ½
26. Resuelve:
19. Calcula el valor de:
216 .35 3.80 3 E 4 9 2 E 15 .14 .30
a 1
6(6) a 4(4) a 3(3) a 2(2) a
a) -2
b) 2
c) 1
d) ½
e) N.A.
20. Efectúa:
E
15 6 .12 4 .5 9 .6 3 1011.313.5 4
a) 1
b) 3
27. c) 5
d) 2
e) 6
21. Simplifica: a
a) a
a
a
b)
a) ab
a .16 a 16
a
15
a) 2 c) a
2
d)
8
a
29.
y b) x
c) bc
d) abc
e) N.A.
4 0.5
b) -2
c) ½
d) -1/2
c) 3
d) -2
e) N.A.
2 m 3.4 m 2 n 9 m 2 .16 n 2 a) 1
c)
b) ac
e) 1
7
x y x2 3 5 y x y2 5
x y
30.
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 7
a nbn a ncn bncn a n b n c n
28. 8 27 9
22. Reduce:
x a) y
n
1 2
b) 2
e) -1
1 2
a) 3
b) 4
c) 2
d) ½
e) -1/2
Álgebra 31.
n 1
32.
a
a) x2 b) x3
5 n 1 2 n 1 51 n 21 n
a) 8
b) 10
xa
x 2a
I.E.P. CORPUS CHRISTI c) x4
d) x5
e) N.A.
33. Calcula: c) 12
d) 14
e) N.A.
3
2 7 2 7 3 1 3 3 3 3
1
a) 2
x 8a
b) 3
c) 4
d) 1
e) -1
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Resuelve:
7. Simplifica:
2 x 2 2 x 3 E 2 x2 a) 3
b) 4
E c) 2x+3
d) 12
e) N.A.
2. Simplifica:
E
5.2
a) 1
n2
1
a b
x ( a c ) . b a x ( b c ) ca
a) xab
x ( b c )
b) 1
1
1
c) xac
d) xa
e) xb
8. Reduce: n4
2 6.2 n 1 2
b) 2
c) 4
n 1
Q
d) 0
a) a
e) N.A.
m
am
n
an
b) an
m /( m n )
n
a aa
c) am
aa
d) 1
e) 0
9. Reduce: 3. Simplifica:
A
3.2 1 2.3 1 Q 3.2 1 2 x3 1 a) 13
b) 15
c)
a) 2
13 6
13 5
d)
e)
.2
2
2
2
b) ¼
c) 0
d) 1
e) N.A.
d) 1
e) N.A.
10. Resuelve: n 6
5 13
2
2
xn. xn n 3
x . x a) x-n
n
.( x 1 )13
b) xn
c) x
4. Reduce:
E a)
2.3 n 1 3 n 2 3 n 2 6.3 n 3 5 7
b)
11. Simplifica:
7 5
c)
7 5
d)
5 7
E n 1 e) -7
5. Reduce:
M xn a) x
m 1 / mm
1 x1 n c) 0
n
( n 1)
n x 2n
d) 1
e) -1
c) 8
d) 2
Q 64 a) 2
1 / 3
b) 4
(32) 3 / 5 c) 6
d) 0
e) N.A.
1 / 3
e) N.A.
13. Reduce:
6. Resuelve:
a) 4
b) 7
12. Simplifica:
b) x2
8 E 21
a) 6
3 n a 2 n 1 n 1 2 n a 1 31n 21n 21 n 1
1
b) ½
10
2
10
2 3
c) 2
d) ¼
n
2 1
3
E
e) N.A.
a) n
n
n
n
n n n
n
n
n n
b) n2
c) 2n
d) n3
e) 1
Segundo Año
Ecuación 5 5
14. Halla “x” en: a) 125
b) 5
5
x5
5
5
125
c)
Q
25 5
d) 1
e) N.A.
15. Calcula el valor de la séte. Expresión:
1 E ( xy ) 1 / 2
2/3
1 1 .3 x y
13
1
a) 8/7
b) -1
M n
c) 8
d) 0
e) N.A.
b) 2
c) 4
En a) 3 d) 8
e) 2.2
1/2
L
a) 3
x 1 y 1 x 1 . y 1 b) x+y c) y-x
d) –x –y
e) N.A.
c) 5
d) 6
e) 30
3 8n .36 27 2 n 1 9 3n 1 b) 9
c) 38
d) 1
e) 21/n
ab 3 a 2 b 1
b) 6
ab 1
c) ab
d) 1
e) N.A.
d) 64
e) N.A.
22. Calcula el valor de M, si:
18. Calcula:
M a) 32
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 9
b) 3
21. Simplifica:
17. Simplifica:
a) x-y
e) N.A
20. Calcula:
2 m 3.4 m 2 n 8 m 2 .16 n 2
a) 1
d) -7/8
6 n 10 n 15 n 2 n 3 n 5 n
a) 2
16. Calcula:
E
b) 7/16 c) 7/8
19. Simplifica:
2
Sabiendo que: x+y=-1 a) 1
2 n 4 2(2 n ) 2(2 n 3 )
4 n 3 4( 4 n ) 4( 4 n 1 ) b) 48
c) 60
Tema nº 02 : Expresiones algebraicas Capacidad es: Reconoce y clasifica una expresión algebraica. Reconoce términos semejantes a través de su parte literal y puede reducirlos a uno solo. Calcula el valor numérico de una expresión algebraica, correctamente. Resuelve problemas con expresiones algebraicas.
Exploración y Desequilibrio: I.
“Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo. Ejemplos: 1) 2 + 4 = 6
3) 3 + 4 =
2) -3 – 7 = -10
4) -13 – 9 =
II. “Si dos números son de diferente signo se restan los dígitos y se
coloca el signo del
mayor”. Ejemplos: 1) 3 – 2 = +1 2) -4 + 2= -2
3) 7 – 5 = 4) -13 + 8=
Desarrollo del Tema: 1. TÉRMINO ALGEBRAICO CONCEPTO: Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son: Parte constante: es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente mediante números reales. Ejemplo: 4, 5, -2, 4/3 Parte invariable: Es aquella que varía y se representa generalmente por letras (x, y, z,…) Ejemplo: x2, xyz, x5y7 La unión de dichas partes origina el Término Algebraico. Así: Parte variable Exponentes
2x 5 y 4 Bases Parte constante
Primer Año
Expresiones Algebraicas ACTIVIDAD Término Algebraico -3xy 4xyz -3abc 7 m2n3 -4abc3 -x5 -4 4xyzt4 -3x2z3
Parte
Parte
Bases
Constante
Variable
Exponentes
2. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma variable. Ejemplo: 3x4y4 es semejante con -2x4y5 porque tienen la misma parte variable. * 4x3y4
; -x3y4
* x5y3
; 7x5y3
* -a b 3
; -3b a
4
4
3
………………
son semejantes
………………
son semejantes
………………
son semejantes
OBSERVACIÓN: Un término algebraico NO puede tener como exponente a: a) Números irracionales: Ejemplos: 1) 4 x
……………
no es término algebraico
……………
no es término algebraico
1) -xxyyzz
……………
no es término algebraico
2) -2x y z
……………
no es término algebraico
3
y 4z
2) 2 xy 3 z
2
2
5
b) Letras: Ejemplos: 2
3 a
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1.
2.
Relacionar los términos semejantes: I) abc ( ) 7x II) 4x3y5z6 ( ) 2nma III) -3x ( ) cba IV) amn ( ) -x3z6y5
Son términos semejantes: I) ab; -a2b3II) 7xy; 4y2z III) 7,x IV) abc; -3cba a) I b) II c) III d) IV e) N.A.
3.
Colocar verdadero (V) o (F) según corresponda: I) En un término algebraico los ( ) exponentes no pueden ser números irracionales. ( ) II) Es un término algebraico 3xxy3z. ( ) III) 5x3y4z5 ; -3y3x4z5 son términos semejantes.
4.
Completar:
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 11
Término Algebrai co
1 5 x y 2
7 xz
Parte Constant e
Parte Variabl e
(b+4)x7 ; (2 – b)xb+2 Los coeficientes: a) 9 y 3 b) 9 y 3 c) 9 y 4 d) -9 y 4 e) N.A.
Término Semejant e 13.
Si: t1= 3x4y53 y t2 =-2xayb+2zc+1 Son semejantes: Calcular: A = a + b + c a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
14.
Si los términos semejantes presentan iguales coeficientes (b + 3)xbyc+3 ; 10xby5 Calcular la suma de los exponentes: a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9
15.
Dados los términos semejantes: 3xa+4yb+3zc+2 ; -2xb+4yc+3z8
Abc 7 -x4z5 5.
6.
7.
Si: t1 =13x7 t2 = 2xa Calcular: 4a 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Dado los términos semejantes: 3a2m+4 ; 3a12 Calcular: m + 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Si los siguientes semejantes: 5xa+4y7 ; -3x5y3+b Calcular: B a b 4 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
términos
Calcular: A
son
c) 3
8.
Dados los términos semejantes: 3xa+5yb+7 ; -x7ya+2b Calcular: R = a.b a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
9.
Dados los términos semejantes: t1 = (2a+b)x4yb+3 t2=(b-3a)x4ay5 Calcular: La suma de coeficientes a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10.
Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes: -2axa+by5 ; 12bx8yb+4 a) -14 y 12 b) 14 y 12 c) 4 y -12 d) -4 y -12 e) N.A.
a) 7 d) 4 16.
17.
18.
11.
12.
Dados los términos algebraicos semejantes: (a+4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2 Calcular: a b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
19.
20.
RECORDANDO: Como ya sabemos un término algebraico consta de:
Números
b) 6 e) 3
c) 5
Verificar si las siguientes expresiones son términos semejantes: a) xyz, 2xyz, 8xyz . . . . . . . . . ( ) b) 12abc , 3bca , 4 acb . . . . . .( ) c) 2ab , 6bc , 4ac . . . . . . . .( ) d) x2 y3 ; 3x4 y2 .........( ) e) 12a2bc , 3b2ca , 4 a2cb . . . . ( ) f) 2x2 , 3x3 , 4 x4 . . . . . . . . . . ( ) g) 2x3 , 2y3 , 2z3 . . . . . . . . . . ( ) Si los términos: 2xm+5 yn; 3x13 y4 son semejantes. Halla el valor de “m+n”: a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 Si los términos: 3ma+2nb+1 ; 2mb+3n4 son semejantes. Entonces (a+b) es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 Si: t1 = abxay3 ; t2 = 2x2yb , son términos semejantes. Calcular: t1 + t2 a) 7 b) 6 c) 8 d) 9
Si los términos: t1 = 2xm+n ym-n; t2 = 3x13-n y1-m son semejantes. Halla el valor de “m - n”: a) 5 b) 3 c) 2 d) 8
Calcular de los términos semejantes:
Parte constante
abc 3
Primer Año
Expresiones Algebraicas Parte variable
Letras
Nota: Cuando los términos son semejantes se pueden REDUCIR por adición o sustracción. Así: 2x + 4x – 3x + 5x
Ejemplo: 4a + 5a + 3a + 2b – 3b + 5c
Se reduce: 8x
Queda: …………………………………
MAYOR O IGUAL A 2 Cuando el resultado arroja un número limitado de términos algebraicos no semejantes se denomina EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Por ejemplo: Luego de reducir 2a + b – 3a + 4b + 5 nos queda: 5b – a + 5c
Expresión algebraica de 3 términos
-x + y + z
Expresión…………………………………………
-x – y
Expresión…………………………………………
3
4
Si: 3x3 + x4 + 2x5 + ……………… (No es porque son limitados)
5x
3
x 3 14 x 3 3
(No es porque los exponentes de las variables no pueden ser
x4 + 2 + 4y
números irracionales o letras)
Entonces ahora completa el siguiente cuadro: Expresión 2x3y4 + 5xy
x
3
Si es expresión algebraica
No es expresión algebraica
x3 4
x + x6 + x7 + … 5
x 3 x 4
3 + 2x …… + x3 – x2 + 4x 3x + 4x + 5x x 5 y 4 2x y 5x2 + 5y3 + 5z4
PRÁCTICA DE CLASE I. Reducir:
9.
2x2y3z4 + 3y2x3z4 – 12z2x3y4 + 7x3y2z4 +
1.
4x + 2x – 3x + 4x
x2y3z4 – 2x3z2y4 + 5z4x3y2 – y3z4x2 +
2.
5x + 3y – 2z + 4z – 3y + 4x
6z2x3y4
3.
5x2y2z2 + 3 x2y2z2 - 16 x2y2z2 + 15 x2y2z2
4.
3xy3z + 5yx3z + 7xy3z – 14zy3x + x3yz
5.
3yz +2zy + 3xyz – 4zy + 4yz – 5xyz
expresión luego de reducir:
6.
–{ab + [ - [ - [ -(a – b)+4ab-5ª+2b]]]}
-{ - [ - [ - [-a + [b + a – 2b – [a – b
7.
–{a+[2a+b+[-[b-2a+(6a-3b)+2a-
+2a – (a-b)]]]]]}
(5a+b)]]]}
a) 1
b) 2
d) 3
e) N.A.
8.
2
2
2
10.
2
–{(4xy +3yx )+[-(4x y+5yx )2
2
2
2
(3xy2+6xy2)]}
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 13
Indicar
cuántos
términos
c) 0
tiene
la
11.
Reducir los términos semejantes
d) 7x7
e) 6x7
(c+4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2 a) 8x3 d) 4x
b) 3x3
c) 8x4
e) 16x
4
14.
Dados
los
términos
semejantes
(reducir)
4
axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x 12.
Reducir los términos semejantes (a+b)x a) 10x d) 3x
a+b
+ (c+d)x b) 3x
3
+ (e+f)x
c+d
c) 4x
3
e+f
+x
3
b) 2x
d) 4x
e) 5x
c) 3x
5
e) 10x
10
a) 7x
15.
Si
los
siguientes
son
términos
semejantes: 13.
Reducir
si
los
términos
son
(a+1)xa+b; (b+1)xa+c; (c+1)xa+3; 2x5
semejantes:
Reducirlos:
(a+2)x + (c + 4)x + (b – 4)x b
7
a) 10x7
b) 9x7
a+3
– bx
a) 13x5
c+4
c) 8x7
b) 14x5
d) 7x5
c) 15x5
e) x5
PRÁCTICA DOMICILIARIA I. Reducir:
11.
Reducir los términos semejantes:
1.
2x + 3x – 7x + 10x
2.
2xy + 4xy + 5xy – 10xy
a) 7x4
b) 8x4
3.
5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3
d) 10x4
e) N.A.
4.
a b c + 2b c a + 3c a b – 7b c a +
2
3
2
4 5
2
3 4
(2 + c)x4 + x4 + (c – 4)x9-c + 3x4
2
5
3
4
5
3 4
c) 9x4
5
2a3b4c5 10c3a4b5
12.
Reducir los términos semejantes:
2x3y4a2 + 5a2x3y4 – 3x2y4a3 + x3a4y2 +
(a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x4
7x2y4a3 – x3y2a4
a) 12x4
b) 16x4
6.
–{a + {-{-[b + a 4b – (2a – b)]}}}
d) 20x4
e) N.A.
7.
–{-{-{-{-{-a+{-a+{-a –{a}}}}}}}}
8.
–{-(4xy2 + 5x2y) + [-(2x2y+3xy2)-(x2y-
mxm + nxn + pxq + qxq + x7
xy2)]}
queda:
5.
9.
13.
Al reducer los términos semejantes:
4
xyz +x zy +yxz +xzy +yzx
a) 29x7
b) 30x7
+ z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 +
d) 26x7
e) N.A.
2
3 4
Z 3
4
2
3 4
2 3
4
2 3
c) 17x4
c) 28x7
z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4 14.
Luego
de
reducir
los
términos
semejantes: 10.
Luego de reducir:
(a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4
-{-a + b + {-a – {b + c+{-a + b – a –
a) 5x3y4
b) 3x3y4
{a – b}+{+b}c} – a}
d) 6x3y4
e) N.A.
c) 7x3y4
La expresión tiene: a) 3 términos
d) 0
b) 2 términos
e) N.A.
c) 1 término
15.
Reducir: a + b – c – {a – b + c – {a – b + c – (a – b)}}} a) a
b) 2b – c
c) a + b
Primer Año
Expresiones Algebraicas d) a + b + c
e) N.A.
VALOR NUMÉRICO El valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere dicho polinomio cuando la variable o variables toman un determinado “VALOR”. Ejemplo: I CASO: P(x)= 2x+3 Q(x)=5x – 3 R(x)= 2x + 5 P(2)= 2(2) + 3 Q(1)=5(1) – 3 R(1)= P(2)= 7 Q(1)=2 R(2)= P(3)=2(3) + 3 Q(2)=5(2) – 3 R(0)= = 09 Q(2)=7 II CASO: Si P(x)=2x+3 P(a)= 2a + 3 P(x+3)=2(x+3) + 3 P(b)= 2b + 3 P(x+3)=2x + 6 + 3 P(x+3)=2x + 9
P(x)=2x – 5 P(a)= P(x+3)=
III CASO: Si P(x) = 2x+3 Calcular: A=P (P (P (3))) ¿CÓMO? Se empieza por adentro, es decir:
A = P (P (P (3) ) ) 2(3) + 3
A = P (P (9) ) 2(9) + 3 21 A = 2(21) + 3 A = 45
IV CASO: Si: P(x) = 2x+3 y Q(x)=3x + 5 Calcular: P(Q(x)) + 3 (Pero Q(x) = 3x+5) P(Q(x)) = 2(3x+5)+3 P(Q(x)) = 6x + 10 + 3 AHORA CALCULA : P(Q(x)) = 6x + 13 Q(P(x)) = ?
PRÁCTICA DE CLASE 1) Hallar el valor numérico de: x=1; y=2; z=3de los siguientes polinomios: P(x)=2x + 5 P(x,y)=3x + 2y – xy P(x, y, z)=xyz + 2x – y + z
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 15
P(x)=3(x+2)(x-
3)
P(x,y)= 2x(x+1)
(y-2)
2) Si: P(x)=2x-4 Calcular: A=P(1) + P(2) 3) Si: P(x,y)=2xy – x + 3y
Calcular: A=P(2,3) + P(0,1) 4) Si: P(x)=3x + 5 Calcular: M=P(a+2) – P(a-2)
A) 0 D) 2
B) 3 E) 4
C) 5
3 15)Dado: F m 1 m 5 Calcular z en:
F F F F z F F 2 1
5) Si:P(x)=2x – 1 Calcular: A=P (P(P(O))) 6) Si: P(x)=5x – 2; R(x)=2x+3 Calcular: A=P(R(2)) 7) Si: P(x)=3x+5 Q(x)=2x-1 y R(x)=3x+2 Calcular: A=P(Q(R(O)))
A) 3 D) 2
M (1) M (2) M (4)
17)Dada la expresión:
1 ; x 0 x 1 ; calcular x x 1 P 2 P 3 P 4 P 5 4 3 2 A) B) C) 5 5 5 1 7 D) E) 5 5 P x
9) Sea: N(5x 4) = 2(5x 4)19 + 3(5x 4)2 + 1 Hallar: I = N(1) + N(1) + N(0) 10)Sea: M(3x 2) = 5x 9 Hallar: I = M(7) + M(10) M(13) 11)Si: P(x,y) = x4 + y4 2x2y2 Q(x) = 2x3 3x2 + 8x 1 Calcular el valor de: a) Q[P(2,1)] b) P[Q(1); Q(2)]
C) 0
16)Calcular: “A” Si: M(x) = 4x
A
8) Si: L(x + 3) = x2 + x 1 Calcular: E = L(5) + L(3) L(4)
B) -1 E) -2
P x n; n R ; Calcular: R P 1 P 2 P 3 P 4 ..... P 15
18)Si : n
D) 15n
B) 2n
E) 55n
A)
C) 10n
19)De la expresión : 12)Sea: P x 1 4 x 1 , calcular P( x 6 ) A) 4x + 3 B) 4x + 8 C) 4x - 8 D) 4x + 10 E) NA. 13)Indicar el valor de a; b en ese orden, si: P x 3 x a 1 y 3 4 x c y d 7 x 5 y b 1 se reduce a un solo término.
x 1 y 1 ; y x 1 y 1
14)Sea: P x; y x
33 41 ; 41 33
x 1 1999 2 x 1998 4 x x 1
P
Calcular el valor de: P 3 P 1 A) 256 B) 16 C) 128 D)4 E) 23
x 20 17 x 125 x 3x 2 ; 5
20)Sea: P
calcular P 1 A) 17 D) 50
B) 20 E) 80
C) 30
Calcular P
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1.
Calcular el valor numérico de polinomios para x=2; y=3; z=1
P(x)=3x – 4
P(x,y)=2x+3y-2
P(x,y,a)=x + y +
z–6
P(x)= (4 – x)(x
-2)
Primer Año
Expresiones Algebraicas P(x,y)=(x+2)(y-
12.
Si: P(x) = 2x + 4 Calcular: M= P (P (P (P (3) ) ) )
3) P(x,y,z)=(x – 1)
13.
(y-2)(z-3)
Si: P(x) = 2x – 1
Q(x) = x + 3
Calcular: P(Q(x)) 2.
Si: P(x)=2x + 8 Calcular: A=P(a) + P(a-1)
14.
Si: P(x) = x + 5
Q(x) = x + 2
Calcular: P(Q(x)) 3.
Si: P(x,y)=5xy+x-y
15.
Calcular: P(1,2) + P(2,0) 4.
calcular el valor de p p 4
Si: P(x)=x + 2 Calcular: A=P(P(P(3)))
5.
Si: P(x)=x+3 ; R(x)=2x-1
Dado: p x x 3 4 x 2 3 x 13 ;
16.
A) -24
B) -21
D) 11
E) 34
Sea:
C) -12
P x x 20 8 x17 3 x 2 ;
2
Calcular: A=P(R(2))
Calcular P 1 6.
Si: P(x)=5x+3; R(x)=3x+2
A) 17
Calcular: A=P(R(x))
D) 50 17.
7.
Del problema anterior Calcular: B=R(P(x))
B) 20
C) 30
E) 8
Si: P(x) = x + 3x + 4 2
Calcular: P(2) + P(3) 18.
P(x) = 2x + 4 A = P ( P ( P ( P (2))))
8.
Si: P(x)=3x+4 Calcular: M=P(P(x))
9.
19.
Calcular “A” Si: A
20.
Calcular: A ( R ( x ) )
Si: M(x) = 2x4
M ( 0) M ( 2) M (1)
A(x) = 2x + 4
21.
Si: P x x 3 3 x 2 3 x 2 ; calcular
P 0 11.
Calcular: P(7) Si: P(x) = -x + 7x + 2x – 10 5
4
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 17
P(x)=x+3
Calcular: P( Q (x) )
Calcular: P(P(P(2))) Si: P(x)=2x – 1
10.
Si: Q(x) = x + 5
P 1 P 2
A) 2
B) -2
D) 5
E) 0
C) 4
Tema Nº 03: POLINOMIOS Capacidad es: Reconoce un polinomio. Diferencia entre monomio y polinomio, Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa. Resuelve problemas con polinomios.
Desarrollo del Tema:
Es una Expresión Algebraica que se caracteriza porque los exponentes de las variables son números naturales.
P( x , y) 4 x 3 y 4 2 xy 4 Término Variables
Independiente
1. MONOMIO Cuando se refiere a un solo término. Ejemplo:
M ( x , y, z ) 4 x 3 y 4 z 5 Parte Variable Parte constante (Coeficiente)
a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión Ejemplo: Sea: M(x,y) = 135x4y3 GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x” GR(x) : 4 (exponente de x) GR(y) : 3 (exponente de y)
b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: M(x,y) = 135x4y3 GA = 4 + 3 Exponente de variable x Exponente de variable y GA = 7
Segundo Año
Polinomios ACTIVIDAD: COMPLETA EL CUADRO Parte
Monomio M(x,y,z)
Constante (Coeficiente)
Parte
GA
Variable
GR(x)
GR(y)
GR(z)
39x3y -4 3x 4 z 5x2yz3 18z -4x5y4 8 2. POLINOMIO Es la agrupación por adición de monomios no semejantes. Ejemplo:
P ( x; y) 2 xy 3 4 y 4 3x 2 Término Independiente Polinomio de 4 términos 2
P(x) = 4x + x – x + 2x + 3
Polinomio de ___________________
P(y) = ax + bx + c
Polinomio de ___________________
P(x; y) = x + y
Polinomio de ___________________
4
3
2
a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio.
P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + GR(x)=3 GR(y)=4 Entonces: GR(x) = 5
GR(x)=5 GR(y)=3
2xy2 GR(X)=1 GR(y)=2
GR(y) = 4
AHORA TÚ: P(x,y) 3x3y + 2xy + 4x2y – x5y GR(x) :
GR(y) =
b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma el mayor:
P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + GA=7
GA=8
GA=8 ¡AHORA TU! P(x,y) 3x3y + 2xy + 4xy2 – x5y
2xy2 GA=3
GA = ACTIVIDAD: COMPLETAR Polinomio P(x, y, z) x6 + xy + x3y4z x+y+z zxy + x2y3 + 4 a + abx + bx2 3x3 + 4y4 -x3y4 + x5 + y8 4z3 + 4z – 3
GA
GR(x)
GR(y)
c) Cálculo de Grados en Operaciones 1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor. Ejemplo:
Si P(x) es de grado: a Si Q(x) es de grado: b
tal que: a > b Grado [P(x) Q(x)] = a 2. En la multiplicación los grados se suman (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2)
Ejemplo: Resolución:
Grado: 6 + 9 = 15 3. En la división los grados se restan
xy 8 x 3 y 3 x 7
Ejemplo:
x 4z y 3 x 3y 3
Resolución: Grado: 9 – 6 = 3 4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente (x3y – x2y6 + z9)10
Ejemplo: Resolución:
Grado: 9 . 10 = 90 5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical. Ejemplo:
3
xy 7 2x 3 y 6 7x 12
Resolución. Grado
Propiedad:
12 4 3
GR(z)
Segundo Año
Polinomios
En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir: Número de términos = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2 Como es completo: Número de términos = 6 PRÁCTICA DE CLASE 1.
Dado el monomio:
De: M(x,y,z) = -4xayb+2zc+3
M(x,y) = -3abxa+3yb
Calcular: A
De GR(x) = 7 y GA = 10 Calcular: El coeficiente a) -36
b) 36
c) 12
d) -12
e) N.A. 6.
2.
abc 7
a) 5
b) 4
d) 2
e) 1
c)3
Si GA=10; GR(x) = 5 del polinomio: P(x,y)=4xa+1yb+5xa+2yb+1 + 3xayb+2
Si el siguiente monomio: M(x,y,z) = -4xa+1yb+2z4
Calcular: A = a + b
Es de GA=14 y GR(y) = GR(z)
a) 1
Calcular: “a . b”
d) 4
a) 15
b) 10
d) 3
e) 6
b) 2
c) 3
e) N.A.
c) 5 7.
Dado el polinomio: P(x,y) = xayb+2+ xa+1yb+4 + xa+5yb + ab
3.
Si: GR(x) = 7
Si el monomio: M(a; b) = -4xya
x+2
b
Donde GR(a) = 5
GR(b) = 7
Calcular: “El coeficiente” a) 24
b) -24
d) 26
e) 12
GR(y) = 6
Calcular el término independiente:
y+5
a) 5
b) 6
d) 12
e) N.A.
c) 7
c) 25 8.
Si: P(x,y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3+cxa+b+3yc+abc
4.
Es de GR(x) = 14
Si en el monomio: M(w, t, ) = -2a b w 2
El GA = 17
y
3
t
a+3 b+2
GR(w) = 5
Calcular: “El Coeficiente” a) 512
b) 251
d) 251
e) 521
GR(y)=6
Calcular la suma de coeficientes:
6
a) 3
b) 4
d) 7
e) N.A.
c) 5
c) -512 9.
Si: P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1+xa + 2yb – 2zc
5.
Si
GA
=
15
GR ( z) GR ( y) 2 2 3
GR(x)
=
Donde GR(x) = 4 GR(y) = 5 Calcular el grado absoluto.
GR(z)=3
10.
Dado el polinomio: P(x) = x
a+3
+x
+x
a+4
a+2
+2
a
Calcular el término independiente si
15.
GA=8
A) 25
B) 26
D) 28
E) 29
C) 27
2 n 3 y 2 n 5 , donde el Sea: P x; y x
grado relativo con respecto a “x” es 7. 11.
Determine el grado del polinomio A) 45 D) 21
12.
Calcular
P x x 1 x 2 x 3.... x 10 2
3
B) 36 E) 28
C) 55
En el siguiente polinomio ordenado y
16.
completo de grado 2 :
P x x a 2 x a b 3 Calcular: a 2 b 2 A) 3 B) -1 D) 1 13.
Sea: P x 3ax
17.
5ax
a 6
2ax
a 8
.
suma de sus coeficientes. B) 60
D) 80
E) 90
absoluto
de
la
A) 22
B) 30
D) 25
E) 28
C) 35
Determine el grado del polinomio
P x x 1 x 2 2 x 3 3.... x 8 8 A) 45
B) 36
D) 21
E) 28
C) 15
C) 70
¿Cuántos términos tiene p x ?
P x x 2 n x 2 n 1 x 2 n 2 ... x 2 x 1 A)
Un polinomio de grado 17. señale la A) 20
grado
C) 0
E) 2 a 5
el
expresión:
10
18.
2n
B)2n + 1
D) 2n - 1
E) n
C) 3n
¿Cuántos términos tiene p x ?
P x x 2 n 1 x 2 n 2 x 2 n 3 ... x 2 x 1 14.
Dado el polinomio:
P x; y x m 2 n y 7 n x m n y 10 n x m 3n y 9 n
A)2n
B)2n+1
D) 2n - 1
E) n
, además: GR(x) = 15; GR(y) = 12. Calcular el grado absoluto.
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1. Dado en el monomio.
a) 12
b) 13
M(x,y) = 4abx y
d) 15
e) 16
a
b
Si. GR(x) = 2
c) 14
GA=7
Calcular: “El coeficiente” a) 10
b) 20
d) 40
e) 50
c) 30
3. Si en el monomio: M(, ) = 2xyx+4y+2 Donde: GR()= 7
GR()=5
Calcular el coeficiente: 2. En el siguiente monomio: M(x,y,z) = 3x GA=12
m+1
y
GR(x) =
Calcular: m . P
z
p+2 2
a) 18
b) 19
d) 21
e) 24
GR(y) 4. Si en el monomio:
c) 20
C) 3n
Segundo Año
Polinomios M(x,y,z) = 2a2b3c4xa+5yb+4zc+3 Si: GA=15
GR(x)=6
GR(z)=4
Calcular el coeficiente: a) 2
b) 4
d) 16
e) 14
P x , y ax 2 y 3 bx 5 y 6 8 x 7 y 2 ; a = GA. ; b = GR
c) 5
(y) Indicar la suma de los coeficientes. A) 13 B) 11 C) 12 D) 9
GR ( x ) GR(y) = 5
5. Si: GA=24
P x x 1 x 2 2 x 3 3.... x 7 7
Calcular: a . b b) 108
d) 25
e) 15
c) 64
b) 4
d) 6
e) 7
B) 36
D) 21
E) 28
C) 15
P x; y nx m y p mx m a y p 1 x n 8 le
3a
a) 3
A) 45
13. Si al polinomio:
6. Si: P(x) = xa+4 + xa+3 + xa-4 ;GA=7 Calcular:
E) 8
12. Determine el grado del polinomio
M(x,y)= 2xa+bya-b a) 96
11. En el polinomio :
3 4 restamos 10 x y , su grado absoluto
c) 5
disminuye ¿Cuánto vale el menor de los grados relativos?
7. Si : P(x,y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4+xa+2yb-2 GR(x) =5 Calcular el GA b) 2
d) 4
e) 6
B) -1
D) 4
GR(y) = 3
a) 1
A) 3
E) 2
14. Si: P x , y n x 2
c) 3
C) 0
n n 1
. y 26 m 2 x 3 y m
m
1
se
reduce a un monomio: Calcular GA de:
8. Si: P(x) = ax + (a+1)x a
a+1
+ (a+2)x
a-4
Es de GA=5 Calcular la suma de coeficientes: a) 14
b) 15
d) 17
e) 18
M x, y, z
m n
2
x 12 .3 y 2 m .z m
A) 10
B) 8
D) 4
E) 2
C) 6
c) 16 15. Si el polinomio completo es de (4 + a) términos.
9. P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc GR(x) = 4
GR(y)=5
GR(z)= 3
Calcular el grado absoluto
10.
a) 1
b) 14
d) 10
e) 11
c) 12
P x 2ax 2 a 2a 1 x 2 a 1 2a 2 x 2 x 2 .... Calcular el valor de “a” A) 1 B)4 D)3
C)2
E) 5
16. En el polinomio:
Dado el polinomio: P(x,y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3
P x 6ax 5 a 5ax 4 a 4ax 3 a 3ax 2 a 20ax 2 a
Si el GA=7
Calcular “a”, si se cumple que la suma de coeficientes es igual a su termino independiente incrementado en 76. A) 1 B)4 C)2
Además: a – b=2
Calcular: A = ab a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
D)3
E) 5
Polinomios especiales POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto. Ejemplo: P(x,y) = 4x3y4 - 3x7 GA=7
+
GA=7
2xy6
-
GA=7
x5y2 GA=7
P(x,y)=2x3y5 + 5xay2 + 3xby7
3+5 =
a
a =
+
2 = b + 7
6 b = 1
POLINOMIOS IDÉNTICOS Son aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión. Ejemplo: P(x)= (x + 1)2 Q(x)=x2 + 2x + 1 P(O)= Q(O)=1 P(1) Q(1) = 4 P(x) y Q(x) son idénticos. Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos. Ejemplo: P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x)=Ax2 +5x – B A=4 B=3 NOTA: Observe que cuando es idénticamente nulo el valor numérico es siempre nulo. Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros). P(x) = Ox2 + Ox + O P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) …………… = P(1000) = 0 Así, sí tenemos: Que si P(x) = (A – 2)x2 + (B – 3)x + c + 2 es idénticamente nulo. Entonces: A = 2; B = 3; C = 2 ¡¡AHORA TÚ!! Si son idénticos: P(x) = Ax2 Entonces: A=
+ (B + 3)x + C + 2
con
B=
AHORA: Si: P(x) = ax3 + (b – 2)x2 + (c + 3)x – 2d + 14
Q(x)= 2x2 + 5x + 3
C=
Segundo Año
Polinomios Es idénticamente nulo: a=
c=
b=
d=
POLINOMIO COMPLETO Es aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta el menor. Ejemplo: P(x) 5x3 + 2x – 4x2 + 7
OJO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7) P(x) = 2x + 3
………………………
Es polinomio completo.
P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3
………………………
Es polinomio completo.
P(x) = x4 – 2x3 + 5x – 4
………………………
Es polinomio completo.
POLINOMIO ORDENADO Es aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos. Ejemplo: P(x) = x2 + 2x3 – x5
(Polinomio ordenado en forma ascendente)
P(x) = x7 – 4x + 3
(Polinomio ordenado en forma descendente)
P(x) = x17 – x25 + x50
(Polinomio ………………. en forma ……………………………)
P(x) = 14x – 2
(Polinomio ………………. en forma ……………………………)
Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una.
(Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “x”)
P(x,y) = 4x3y7 – 5x2y9 + 2xy4 P(x,y) = -5x y + 4x y + 2xy 2
9
3
7
(Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “y”)
4
POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO Es aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores. Ejemplo: P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3
(Observemos que es completo porque presenta todos los exponentes de “x” y además están ordenados en forma descendente).
P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3
(Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)
AHORA COMPLETA (MARCA CON UN ASPA) Polinomio P(x)=4x2+5-3x P(x)=x7 + x + 6 P(x)=5x2-3x+2
Ordenado Ascendente Descendente
Completo
Completo y Ordenado Ascendente Descendente
P(x)=x1000-x10+1 P(x)=1+2x+x2-x3 P(x)=4x5-x+5 P(x)=x102-x101-2
PRÁCTICA DE CLASE 1.
2.
Dado el polinomio homogéneo P(x,y)=2xay3 + 3x5y7 – xby8 Calcular: (a + b) a) 13 b) 14 c) 15 d) 16
a) 4 e) 17
Dado el polinomio homogéneo: P(x,y,z)=5xyz – x2ya + zb + xc Calcular: a + b + c a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
b)5
c) 6
d) 7
e) N.A
10. Si los siguientes polinomios son idénticos: P(x)=mx2+nx+p y Q(x)=ax2+bx+c Calcular: A a) 1
b) 2
mnp abc c) 3
d) 4
e) 5
11. Dado el polinomio idénticamente nulo: P(x)=(a – 2)x2 + bx + c + 3 Calcular: a . b . c a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A.
3.
Si el polinomio es homogéneo. P(x,y)= 3xa+2yb+8+xd+3y7+2x8y5 Calcular: a + b + d a) 1 b) 13 c) 6 d) 5 e) 8
4.
Dado el polinomio homogéneo: P(x,y)=axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10 Calcule la suma de coeficientes: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) NA
12. Dado el polinomio idénticamente nulo: Q(x)=3x2 + 5x-3+ax2 + bx – c Calcular: a + b + c a) -10 b) -11 c) -12 d) -13 e) N.A.
5.
Dado el polinomio homogéneo: P(x,y)=2bxbyc + 5x7y2+3cxb+7y Calcular la suma de coeficientes: a) 30 b) 31 c) 32 d) 33
13. Si el polinomio es nulo: R(x)=-3x2+(a2-1)x2+cx-2x+d-4 Calcular: a . c . d a) 1 b) 2 c) 16 d) 15 e)N.A.
6.
7.
8.
9.
e)NA
Si P(x) y Q(x) son idénticos donde: P(x)=ax5+3x2 – 4 Q(x)=(2a – 3)x5 + (c+2)x2 + b Calcular: a + b + c a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) N.A. Si: R(x)=2x2 + 5x – 3 Es idéntica con: S(x) = (a2 – 2)x2 + (b2 + 1)x + c Calcular: a+b+c a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A.
Dados los polinomios idénticos: P(x) = 4x2 + bx + 7 Q(x) = cx2 + 3x + 7 R(x) = (d + 1)x2 + 3x – a Calcular: a + b + c+ d a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A Dado: P(x)=(4 – a)x + 5c + d Q(x)=4c +3 + (2a + 2)x Son idénticos: Calcule: a + c + d
14. Dado el polinomio nulo: P(x)=(a2 + 1)x2+(b2+1)x+c2-1-2x2-10x Calcular: a + b + c a) 1 b) 5 c) 9 d) 10 e)N.A 15. Si el siguiente polinomio es nulo: P(x)=(m2-a)x2 +(n2-b)x + p2 – c Calcular: a) 1
m2 n 2 p2 abc
b) 2
c) 3
d) 4
e) N.A.
16. Calcular el valor de “a” en los siguientes polinomios completos: P(x)=4xa+4x2 +3-2x Q(x)=2x+xa+2+x2 – 4 R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+1 17. En el polinomio completo: P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2 Calcula la suma de coeficientes: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A. 18. Dado el polinomio completo:
Segundo Año
Polinomios
P x a b c 10 x a c b 9 x a Es
P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp Calcular: m + n + p a) 1 b) 6 c) 5 d) 4 e) N.A. 19. Ordenar en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios: P(x)= 25x5+3x7-2x+4 R(x)= 1- x+x3-x7+2x2 Q(x)= ax + nx3 – bx2 + abc 20. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios primero relativo a “x” t luego a “y” P(x,y)=x3y4–5xy2 + 2x7y3 – 2ab P(x,y)=axm+1yn-2 + bxmyn+cxm2 n+1 y -abc 21. Dado el polinomio completo ordenado: P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3 Calcula la suma de coeficientes: a) 1 b) 2 c)4 d) 5 e) N.A.
y
22. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+ab Calcule el término independiente. a) 4 b) 6 c)9 d) 12 e) N.A. 23. Si el polinomio es completo y ordenado en forma ascendente. P(x)=axc-1+bxb+cxa Calcular la suma de coeficientes. a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A. m 10
mn 5
p n 6
5x 2x 24. Si: M x x es completo y ordenado descendentemente, calcular: m + n + p. A) 38 B) 28 C) 26 D) 25 E) 36 25. Calcular el valor de: a
33
2 , si el a 99
polinomio:
6
9
idénticamente nulo. A) 1 B)4 D)3 E) 0
C)2
26. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo:
P x c x a x b a x b x c b x a x c abc A) 15 D)12
B) 6 E) 9
27. Si el polinomio:
C) 18
M x; y a b c d 2 x 2 b de xy 9 b c a e 2
es idénticamente nulo, calcula S.
S
d 2 9b 6a b e2 c
A) 15 D)13
B) 16 E) 9
C) 18
28. Si el trinomio: a x a b b x b c c x a c es homogéneo, de grado 10. de que grado es el monomio : a x b .b x c .c x a A) 7 B) 13 C) 27 D) 33 E) 30 29. Calcular la suma de coeficientes del polinomio homogéneo:
Q( x , y ) nx n 5 3 x n y m mx m 3 A) 10 D) 13
B) 11 E) 14
C) 12
30. Si la expresión:
a b
2 6
x a b ab 4 x a b b a x ,
puede reducirse a un monomio, este monomio es: A) 2x B) x C) 3x D) 4x E) 5x 31. Efectuar:
bx 6 y a 1 a b x b 2 y 7 ax a y b 3 siendo términos semejantes en variables “x” e “y”. 32. Se la familia de polinomios: Pn x nx b; n N b Z ; resolver:
P2 x P3 x P4 x P12 x x 11b A) b b b B) C) 78 2 D) -78
E) 0
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1.
Si el polinomio: P(x,y)=3x3ya+2x2y7-x9 es homogéneo.
Calcular: a 3 a) 1 b) 2
c) 3
d) 4
e)N.A.
2.
Dado el polinomio homogéneo: P(x,y)=2x4ya+1 – x3yb + 5x2y7 Calcular: a . b a) 48 b) 24 c) 12 d) 10
3.
e)N.A
2
b
4
5
Bx – C e) N.A
Dado el polinomio homogéneo:
Si: R(x) y Q(x) son idénticos. R(x) = bx2 + 3x + c Q(x) = (2b – 2>)x2 + ax + 2 Calcular : a + b + c a) 8 b) 7 c) 6 d) 5
7.
12. Si P(x) = mx2 : nx + p, es idéntico con: Q(x)= cx2 + dx + e cde Calcular mnp a) 1 b) 2 c) 3
Calcular A a) 1
b) 2
14. Calcular
e) N.A.
Si: R(x)=12x – 5x + 7 es idéntico con:
Dados los polinomios idénticos: P(x,y)= 5x2 - 2x + 4 R(x,y)= ax3 + c + bx5 Calcular: a.b.c a) 40 b) -40 c) 10 d) -10 e)N.A. Dados los polinomios idénticos: P(x)= (a2-1)x2 + (b+1)x + c + 2 Q(x)= 8x2 + 7 + 5x Calcular a + b c a)14 b) 15 c) 16 d) 17 e) N.A.
nulos.
los
polinomios
de
“b”
e) N.A. en
los
P(x)=3xb+1+x3-8+5x+7xb+3
Q(x)=4+53+2xb2+12x- x b
2
2
15. En el polinomio completo: P(x)=2x+4a – x3a+1 + 5x2 – x3 Calcular el término independiente a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 16. Dado el polinomio completo: P(x)=5x+2x2-3a +4x2a –x3 Calcular la suma de coeficientes: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 en
forma
ascendente
y
descendente los siguientes polinomios respecto a “x” y luego con respecto a “y”
e)N.A.
idénticamente
Calcular A, B y C
valor
d) 4
P(x)=x2b-4+x3+2x-4+3x2
17. Ordenar
10. Dados los polinomios idénticos:
11. Dados
el
c) 3
4
R(x) = (a+b)x3 + (c+d)x + 4 Q(X) = 3x3 + e + x Calcular: a + b + c + d + e a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
a c e * b d f
siguientes polinomios completos:
Q(x)=abx – 5x + a + b (Nota:a > b) Calcular: a- b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.
9.
e) N.A.
Es idénticamente nulo:
4
8.
d) 4
13. Si: P(x)= (a-b)x2 + (c+d)x + e – f
El polinomio homogéneo: P(x,y)=axayb + bxcyd + (c + d)x5 Tiene como suma de coeficientes a: a) 10 b) 11 c) 20 d) 15 e)N.A.
6.
Q(x) = (A+3)x2 – 5x + -x2 +
6
P(x) = axa + bxb – cxc + 2x2 Calcular la suma de coeficientes: a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e)N.A. 5.
R(x) = (A2–4)x2 + (B3-8)x +
C–2
P(x,y)=3x y – x y + 5x y Calcular: a + b a) 15 b) 16 c) 17 d)18 4.
P(x)
Dado el polinomio homogéneo. a
(A-3)x2 + (C+2)x + B – 5 =
P(x,y)=5x4y2+3xy3 – 2x5y7
P(x,y)=2xy – 5x2y3 + 4x7y4
P(x,y)=3 + 47 -5x2 + 7x
P(x,y)=3x3y4 – x8y2 + 2x2y3
P(x,y)=-7 + 2x3y4 + xy – 2x8y14
Segundo Año
Polinomios 18. Dado
el
ordenado:
polinomio P(x)=x
3a-2
completo
y
+3x -2x +x+4
Calcular: “a” a)1 b) 2 c) 3
3
2
d) 4
e)5
26. Ordenar
19. Dado el polinomio completo y ordenado: (Px)=x – 3x 4
a+2
+ 2x – x + 5 b
Calcular: a + b + c a)1 b) 2 c) 4 20. Dado
el
polinomio
c
d) 5
e)NA
completo
Calcular el término independiente. a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 21. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x)=abxa+bcxb + caxc + abc Calcular: a + b + c a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 22. Del problema anterior calcula el término independiente. a)2 b) 4 c) 6 d) 8 e)NA
23. Calcular el valor de “a” en los siguientes polinomios completos: P(x)=4x3+4x2 +3-2x Q(x)=2x+xa+2+x2 – 4 R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+1
25. Dado el polinomio completo: P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp
en
forma
ascendente
y
descendente los siguientes polinomios:
P(x)= 25x5+3x7-2x+4
R(x)= 1- x+x3-x7+2x2
Q(x)= ax + nx3 – bx2 + abc
y
ordenado: P(x)=3x3 – axa – bxb + ab
24. En el polinomio completo: P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2 Calcula la suma de coeficientes: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A.
Calcular: m + n + p a) 1 b) 6 c) 5 d) 4 e) N.A.
27. Ordene
en
forma
ascendente
y
descendente los siguientes polinomios primero relativo a “x” t luego a “y” P(x,y)=x3y4 – 5xy2 + 2x7y3 –
2ab P(x,y)=axm+1yn-2+bxmyn+cxm-2yn+1-
abc 28. Dado el polinomio completo ordenado: P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3 Calcula la suma de coeficientes: a) 1 b) 2 c)4 d) 5 e) N.A.
y
29. Dado el polinomio completo y ordenado: P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+ab Calcule el término independiente. a) 4 b) 6 c)9 d) 12 e) N.A. 30. Si el polinomio es completo y ordenado en forma ascendente. P(x)=axc-1+bxb+cxa Calcular la suma de coeficientes. a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A.
Tema Nº 04: operaciones con EXPRESIONES ALGEBRAICAS Capacidad es:
identifica una expresión algebraica y su clasificación, lo cual nos va a permitir reconocer un polinomio y en forma directa operar con expresiones algebraicas.
Exploración y Desequilibrio: A.
B.
Efectúa: 1) 3x + 2x = 5x
3) 3m + 4m – 5 m =
2) 6a + 4a
4) 8y – 3y + y =
=
Efectúa 1) 6x + 4y – 6x =
3) (x + y + 2z) + (2x + 3y – 6z) =
2) (a + 4) – (a – 5)
4) (m – 3n + 2p) – (3m + 4m – 6p)
Desarrollo del Tema: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS 2.1.
Adición de Polinomios Para armar varios polinomios que contiene términos de diversos clases, se indica cada clase con marcas, xx y se reduce separadamente cada una de ellas. Solución: 6x – 4y + 4 + 3y – 5x + 6
= x – y + 10 rpta.
En la práctica se escribe los polinomios sumandos completos y ordenados unos debajo de otros, de modo que correspondan los términos semejantes, procediendo a reducir los términos semejantes. Ejemplo: A(x) = 6x3 – 8x + 3 con B(x) = 3x2 + 12x – 10 Solución: A(x) = 6x3 – 8x + 3
A(x) = 6x3 + 0x2 – 8 x + 3
B(x) = 3x2 + 12x - 10 B(x) = 3x2 +12x – 12 - 10 __________________________ A(x) + B(x)= 6x3 + 3x2 + 4x – 7 2.2.
S(x) = 6x3 + 3x2+ 4x – 7 rpta.
Sustracción de Polinomios: Se llama diferencia de dos polinomios al polinomios que se obtiene al sumar el minuendo el punto del sustraendo. Ejemplo: Efectúa la diferencia indicada : (6x2 – 3xy + 4y2) - (3xy +5x2-7y2)
Segundo
Operaciones Con Expresiones Algebraicas Año Solución: Método práctico El polinomio minuendo es
: 6x2 – 3xy + 4y2
El opuesto del sustraendo es La diferencia es:
: -5x2 – 8xy + 7y2 x2 – 11xy + 11y2
Recuerda que: Después de la palabra De, encontramos al minuendo y después de la palabra restar encontramos el sustraendo
PRÁCTICA de Clase Suma los siguientes polinomios: 1) 7x – 3y ; 4x + 6y ; 5x – 8 ; 4x – 3y – 5 ; 6x – y + 2 2) 14x – 5 ; -3x + 6x2 ; -5x2 – 10x + 6 ; 23x – 4 + 3x2 3) 2x3 + 7x2 – 3x + 1 ; 3x3 – 5x2 + 6x – 4 ; x2 – 5x + 7 4) 3x2y – 8x3y2 – x4y3 ; 9x3y2 + 4x4y3 – 4x2y ; 3x3y2 – x2y 5) 2x2y3 + 4xy2 + 10x2y – 3x2y ; -xy2 + 6x2y3 – 8x2y + 2x2y2 6) -3x2 + 5x4 – x6 ; 4x5 – 2x4 + 3x6 ; 12x2 + x6 – 3x5 Efectúa la resta de los siguientes polinomios: 1) De: 3x2 – 8xy + 6y2
resta: 2x2 + 3xy + 5y2
2) De: 6x3+ 3x2 –x
resta: -4x2 – 3x + 5x3
3) De: -8x2y – y2 + 3
resta: 3y2 – 12 + 5x2y
4) De: ½ xy + 1/3 x2 + x2
resta: 5/8xy – 2/5x2 + 5/7x2
5) De: 0,13x2 – 0,5x3 + x4
resta: 0,9x2 + 1,2x3 + 0,4x4
6) De: -1,5xy + 0,8x2y + 0,1y2
resta: 0,2y2 -0,5x2y -1,4xy
7) De: -x2y – 3/8xy – 1/5y2
resta: 4/9 x2y – ½ xy – 8/15 y2
Suma los siguientes polinomios: 1) 0,3x2 – 0,8y2 + 0,2z2; 0,9x2 + 0,2y2 – 0,8z2 ; x2- 2z2 + 3y2 2) 0,2x3yz – 0,7xy2 + 1,5z2 + 1,2xy3 ; 0,7x3yz + 2,3xy2 – 2,6z2 + 0,6xy3 3) 2/3xy2 – ¼ xy3 – 5/7xz; - ¾xy3 + 2/5xz – xy2; xz – ¾ xy3 + 1/2 xy2 4) 1/3x2 + 1/2xy + 1/4 y2; 2/5x2 – 3/4xy – 1/5y2; 8/9x2 – 1/3xy – 3/7y2 5) 0,5x4 – 0,4x3y + x5 -3x2; 3x5 + 0,6x2 – 2/5x3y + 1/3x4 Efectúa la resta de los siguientes polinomios: 6) Resta: 5x2 + 3xy – 2y2 de : 8x2 – 5xy + 3y2 7) Resta: -x2y –y2 + 2y3 de: 5x2y – 4xy2 – y3 8) Resta: 12xy2 – 9x2y + x2 de: -9xy2 – 2xz + 10x2y 9) Resta: 3/7x3 + 2/9 x2 + ½ x de : 5/14x3 – 1/18x2 – 2/3x 10) Resta: -1/6xy – 3/8x2 + 5/7y2 de: xy -5/12x2 – 2/9y2 11) Resta: 0,1xy – 0,5x2y2 + 0,9x3y3 de: -0,7xy -0,8x2y2 + 0,12x3y3 12) Resta: -1,8x2 + 1,3y2 + 2,5z2 de: 0,6x2 + 0,9y2 – 1,2z2
13) Resta: 3xn – 5x2n + 8x3n de: 2xn – 6x2n + 5x 3n 14) Resta: 12 x n-1 + 9x n+1 – 5x n+2 de: 15x n-1 + 11x n+1 + 8x n+2 15) Resta: 0,1xyn+3 – 0,5x2y + 0,9x n+1 de: -0,9xy n+3 + 0,75x 2y + xn+1 Suma los siguientes polinomios 16) 3yn – 8yx + y2; -yx + 2y2 + 4yn; -5y2 – 6yn + yx 17) 8xn – 3xn+1 + 5xn+2; 4xn+1 – 3xn – 3xn+2 ; -8xn+2 + 6xn – xn+1 18) xn+3 – 6xn+2 + 2xn+1; -3xn+1 + 8xn+2 – 2xn+3; xn+2 – xn+3 + 5xn+1 19) 3xn – 2xn-1 + xn-2; 4xn-1 – 2xn-2 + 4xn; 6xn-2 + xn – 8xn-1 20) 5x4 -2/5 x3 – 3x2 -6 ; 4x3 + 2/5x2 -7x + ¼
PRÁCTICA DOMICILIARIA A.
Si : A(x,y) = 7x2 y – 3/2 xy2 + y3; B(x,y) = 4/7 y3- x2 Y – 3/5 x y2 C(x,y) = 3xy2 – 5x2 y + 2y3 ; Halla: 1) A(x,y)+B(x,y) 2) B(x,y)+C(x,y) 3) A(x,y)+C(x,y) 4) A(x,y)+B(x,y)+C(x,y)
B.
Si: P(x,y) = -12x2 y4 –1/3 x2 y2 +3/5 xy3; Q(x,y) = -x2 y2 + 32 y4 + 2/5xy3 R(x,y) = 5x2 y4 + 17/3 x2 y2 + 6xy3. Halla: 1) P(x,y) + Q(x,y)
C.
2) Q(x,y) + R(x,y)
3) P(x,y) + R(x,y)
4) P(x,y) + Q(x,y) + R(x,y)
Si: A = 3x2 – 2xy + y2 – 5; B = -8x2 + xy – 5y2 + 6; C = 0,9X2 – 0,5XY + 0,2Y2 – 1,2; Halla: 1) (A+B)-C
D.
2) A-(B+C)
3) (A+C)-B
4) (B+C) -4
Efectúa las siguientes operaciones 1) De: 3ax2 resta la suma: (2a + 5bx – a2x) con: (a – 2bx – 3a2x) 2) De: 5/9 resta la diferencia que hay entre (1/2 a + 3x) y (5/8ª - 2x) 3). De: -6x3 resta la suma: (3x- 5x2 – 8x3) con (2x + 4x2 – 7x3) 4). De: 0,3zx resta la diferencia que hay entre: (0,8x2 – 0,5ax) y 0,3x2 + 0,1ax
Suprime los signos de agrupación y reduce los términos semejantes en las expresiones siguientes: 1) 5X – {4Y – (3X – 2Y)} 2) -6X –[-2X –(3Y + X)] 3) 4X –{-2Y –[6Z –(3X – 7Y)]} 4) -9X –{-X-y –[3y –X –(3y –X)]} 5) –{-11X + [-7y –(8x – 10y) – (4x – 2x – 3y)]} 6) 2x –{3y – (2y – z) -4z + [2x – (3y – z – 2y)]} 7) –{-[13x – (6x – 8y – 7x) – 6y – (8x – 11x – 7y) -9x] – 4y}
Segundo
Operaciones Con Expresiones Algebraicas Año 8) (x-1) – {x-2 –[x – 3 – (x – 4)] + 2 + [x – 2x – y + (3y – x)]} 9) –(-2x – y) – {-(x + 2z) – {-x- [(x-y) + 2z – (y-x) – (x-3y)]}} 10) Si: A = x + y; B = -x –y; C = x – y ; D = -x + y Calcula: I –{(A-B) + (C-D)}
II) –{(B+C) -2 (C+D)}
Exploración y Desequilibrio: A.
Efectúa: 1) (+2) (+4) = + 8
3) (+5) (-6) = -30
2) (-6) (-7) = + 42
4) (-7) (+9) = - 63
1) (+5m2) (+3m3) =
3) (9ab3) (-3ª b5)
2) (-7a2) (-9a3) =
4) (-10x2) (2x3) =
B.
Desarrollo del Tema: MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS La multiplicación es una operación que consiste en hallar una expresión llamada producto a partir de otras dos llamadas factores: Recuerda
Multiplicando 5.4
=
Factores
Multiplicador
I. Ley de los signos
20
(+)(+) =+
(+) (-) = -
(-) (-) =+
(-) (+) = -
Producto II. Ley de los exponentes
am. an = am+n Efectúa : 1) -7.8
=
5) 72.73 =
2) 8.-6
=
6) a8.a4 =
3) -7.-6 =
7) 210.220 =
4) -9.12 =
8) a5.a7 .a2 =
(a.b)n = a n.bn
(am)n = am.n
Ejemplos: 1) (2.9)3 = 23.93
1) (32) 3 = 32.3 = 26
7) (2.32) 5 =
2) (m.n)5 = m5.n5
2) (25) 4 = 25.4 = 220
8) (x3.y) 3 =
3) (3.11)2 =
3) (x3) 7 = x21
9) (a2.b3)2 =
4) (2.8)5 =
4) (b2.a) 3 =
10) (a4.b)3 =
5) (5.8.9)7=
5) (55) 2 =
6) (a.b.c.d)3 =
6) (a2) 7 =
III.
Propiedad Distributiva
a(b+c) = ab + ac) Ejemplos: 1) 3(5+2) = 3.5. + 3.2
3) 8(5.3) =
= 15 + 6 = 21 1) 4(x+3) = 4.x. + 4.3
3) 3(2+4+3) =
= 4x + 12 3.1.
Multiplicación de Monomio por Monomio Para multiplicar 2 monomios, primero se multiplican las partes constantes (coeficientes) de acuerdo a la ley de signos luego se multiplican las partes variables de acuerdo a las Leyes de exponentes Ejemplos:
3.2.
1) ( (2x3) (3x5) = (2.3) (X3.X5) = 6X8
4) (-8y7) (9y9) =
2) (-5X2) (-2X3) =
5) (2xy2) (3x3 y2) =
3) (7Y4) (-4Y3) =
6) (3x5) (5x3) =
Multiplicación de Monomio por Polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se emplea la propiedad distributiva. Recuerda: Un
polimonio
es
una
monomios no semejantes Ejemplos: 1) 2x2 (x+5) =
2x2. x
+
2x2.5
Multiplicación
multiplicación
de monomios
de monomios
= 2x3 + 10x2
2) 3x3 (x2 + 2x) = 3x5 + 6x4
5) -2x2Y3 (x3y5+x2y3) =
3) 12x5 (x3 – 3x2) =
6) 3x (x+2) =
4) 5x (x
7) -5x(x2 + 3) =
2y
+ xy) =
8) 4x2(x3-4) 2.3.
Multiplicación de un polinomio por polinomio En este caso también se emplea la propiedad distributiva.
suma
limitada
de
Segundo
Operaciones Con Expresiones Algebraicas Año Ejemplos: 1) (x+5) (x+2) = x.x + 2. x + 5.x + 5.2 = x + 2x + 5x + 10 2
= x + 7x + 10
2) x + 5 x+2 x2 + 5x
2
2x + 10 x + 7x + 10 2
3) (x-3) (x + 4) =
4) (x + 3) (x2 + 2x + 1) =
5) (x-2) (x-5) =
6) (x+2) (x – 7) =
7) (x + 1) (x2 + x + 2) =
8) (x – 2) (x4 – x2 + 3) =
9) (x3 + x) (x3 + x + x5) =
10) (xy + 1) (x2y + xy2) =
PRÁCTICA DE CLASE Efectúa las siguientes multiplicaciones: 1) 5x3.4x2
2) 3x2y. 6x
3) -3ax . 6ax
4) -6xz . 3z2
5) (-8x2y) (-5x2)
6) 3/4x2y.(-5/8xy)
7) (-4/7x3y2)(-8/9y3)
8) (-1/5x) (x4y)
9) (5/3X5y3)(-3X3Y)
10) (0,5X2y2)(-0,3xz)
11) (0,8xy5)(-2,4ay2)
12) (-15xy2)
(0,8xy) 13) 0,6ax2.(-3x3)
14) (-5xa+2)(-2x3-a)
15) (3xn+11) (-xn+2)
17) (-13axy2) (-2xy2)(3x2)
18) (-a2b) (-9ax) (-5ax2y)
19) 18a5b3xy.5a4b4 (-2/9a3by3)
20) -12x3y4z5.3/4xy2.5x5y5z
21) 3x2 (2x-3x2y+x3y2)
22) -5xy (-3x3 + 5x2y – xy2)
23) -6ax2 (x+2y – 5)
24)
25) (9x3 – 5x2 + 6x -4) (4x2)
26) (3x2-5y + 6) (-2x2y)
27) (-5x3 y + 8x5y2 – xy) (3xy2)
28) –x2y2 (x4y3 – 5x3 – y2+10x2y)
3a2x (2x – 5b + 2a)
PRÁCTICA DE CLASE Efectúa las siguientes multiplicaciones: 1) 2/3 x2 (3/4x3 – 5/9 x2 -1/2x)
2) -3/4xy2 (-5/8 x3 + 1/3 xy2 + 2/5xy3)
16) 3a.5a2x .(-a2bx2)
3) - ½ a2xy (1/6ax – 1/4a2x2 -1/5a3x3)
4) (5/8x – 1/5x2 – ¾ x3) (3/5x3)
5) (-3/4y3 + 5/6y4- ½ y5) (-½ x2y)
6) (3/5xy -4/9x2 – 1/3y2) (-1/4x2y)
7) (0,3x3 – 0,8x4 + 0,1x5) (0,95x2)
8) (0,5ab2 + 0,92b – 0,8a2b2) (-0,7ab2)
9) 5a2 (3ax – 5ax+1 + 8ax+2)
10) -24a+1(8xa+1 – 6xa+2 + 3xa+3)
11) 3xa-2 (12xa-4 – xa-3 + 9xa-2)
12) -4bx-1 (-b2x+2 + 3b2x+2 + 5b2x)
13) (3x + y) (4x – 5y)
14) (2x3 + 4y2) (4x3 – 2y2)
15) (-3x2 -5y) (2x2 + 3y)
16) (2+2x2y) (2 + 3x2 y)
17) (2/3 x + 3/5) (x – 1/4y)
18) (1/2 x2 -3/8y2) (5/6 x2 – 2/5y2)
19) (x2 -4x + 2) (x – 1)
20) (x4 – 3x3 + 2x2 + 5) (x – 5)
21) (x4 – 8x3 + 4x2 + 5x-6) (4x -3)
22) (3x2 – 4) (x – 1) (2x2 + 3)
23) (x + 6) (2x – 1) (x2 – 5)
24) (3x + 2) (4 x – 3) (5x + 4)
25) 2x -3[x+ (2x – 3y) -5(x – 2y)]
26) x-2{x –[a – x + 5(a – x) -4 (a +x)]}
27) x – y – 3{x + y – 2 [-x + y – 4 (-x – y) + 2 (-x + y)-x] –y} 28) 6a2 + 4 {x2 –[a2 + 2a2 - 3x2 – a(3a - 8) + x (-2x + 2)]}
PRÁCTICA DOMICILIARIA Resuelve: 1.
Dado: P(x) = 2x3
Q(x) = 3x2
3.
Si de: P(x) = 4x2 y Q(x) = 2x-3
Donde: P(X) . Q(x) = mxn
Se obtiene : P(x). Q(x) = mxn + axb; n > b
Indica la o las proposiciones verdaderas:
Calcula :
n+b
I) m = n II) n – m = 1
a) 4
b) 20
III) n + 1 = m
c) 5
d) 2
a) solo I
b) sólo II
d) sólo I y II 2.
m -a
c) sólo III 4.
e) sólo II y III
a) (4x y ) (9xy ) 2
3
Si: P(x) = 2x3 – 3x + 5x5 + 3; y Q(x) = 7x5 Calcular: P(x). Q(x)
Asocia correctamente: 3
e) -4
(
) 36 x y
b) (18xy4) (2x3y2) (
) 36 x6 y5
x) (12x3y4) (3x3y) (
) 36 x4 y5
4
6
Da como respuesta la suma de Coeficientes:
Segundo
Operaciones Con Expresiones Algebraicas Año
5.
a) 47
b) 14
c) 0
d) -21
Dado: P(x) = x + 4
e) 49
10.
En la siguiente multiplicación de monomios: axay2 . mx3yb = 10x5 y6 Determina: a + m + b
y Q(x) = x – 3
Además : x + x = 12
a) 5
b) 2
Halla: P(x) . Q(x)
c) 4
d) 11
2
a) 24
b) 0
c) 12
d) -12
e) -24
11.
e) 10
Si: P(x) es idéntico a M(x) Donde: P(x) = -9x (3x + 2 – 4x2)
6.
Si: P(x; y) = - 3ax2 yb Q(x;y) = 2bxay4
M(x) = mx2 + nx + q x3
Son semejantes
Halla: m + n + q
Halla el coeficiente de: P(x;y) . Q(x;y)
a) -9
b) - 8
a) -48
b) -6
c) 7
d) 9
c) 2
d) -4
e) -8 12.
7.
nxn – mxm + (p+a)xp – qxq
Desde :
Por 2x2 se obtiene un polinomio complete y ordenando ascendentemente. Calcular la suma
Halla : m – n a) 2
b) -3
c) 0
d) -2
e) 3
y
13.
Q(x) = x + 2a
Calcula: Q (1) c) 4
d) -2
e) -5
El producto de: (x + y) (xn – xy + ym) es un polinomio homogéneo. Halla el N° de términos que posee dicho polinomio. a) 6
b) 4
c) 3
d) 5
del
polinomio
e) 12
a) -2
b) - 4
c) 0
d) -1
e) 2
Al multiplicar: ¿Cuántos términos tiene el resultado?
de coeficientes es 10. b) 5
coeficientes
P(x) = x2 + x + 1 y Q(x) = x2 – x + 1
Se obtiene un polinomio cuya suma
a) 2
de
resultante.
Si luego de multiplicar: P(x) = x + 1
9.
Si al multiplicador:
Si : P . Q es homogéneo P (x;y) = 3x2y3 ; Q(x,y) = xm+3 y-2x3 yn+1
8.
e) 0
14.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 9
Calcular el número de términos que se origina al multiplicar: P(x ; y) = (x – y) Q(x ; y) = x3 + x2 + xy2 + y3 a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 3
Tema nº 05: productos notables Capacidad es: Reconoce y Aplica productos notables. Resuelve problemas con productos notables.
Exploración y Desequilibrio: A.
B.
Efectúa: 1) (3x2) 2 =
3) (1/2x3) 4 =
2) (-6a2b3) 3 =
4) (-0,3 m2n4)3 =
Efectúa 1) (x + 5) 2 =
3) (x + 7) /x – 3) =
2) (a + b) =
4) (x + 5) (x2 – 5 x + 25) =
3
Desarrollo del Tema: PRODUCTOS NOTABLES Hallando de productos, se trata de cierta multiplicación que por su convivencia y empleo adquieren muchísima importancia de aquí viene la denominación de “PRODUCTOS NOTABLES” para las IDENTIDADES DE LENGENDRE. Dichos productos son aplicables a toda clase de términos; pero para mayor facilidad y claridad de comprensión se usarán los términos más comunes y sencillos. Los Productos Notables más comunes son: 1. Cuadrado de la suma de dos monomios (a + b)
Sea: (a + b), la suma de los monomios “a “ y “b”.
(a + b)
elevar al cuadrado (a + b) equivale a multiplicar el
a + ab
binomio (a + b) por si mismo. Esto es:
2
+ ab + b
(a + b) 2 = (a + b) (a + b) ; efectuando el producto
2
a2 + 2ab + b2
se obtiene.
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
Lo que nos dice: El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Ejemplos:
¡Ahora tú!
1) (x + 3) = x + 2(x) (3) + 3 2
2
2
3) (a + 5) 2 =
Segundo Año
Productos Notables = x2 + 6x + 9
Rpta.
2) (x2 + 2y) 2 = (x2) 2 + 2(x2)(2y) + (2y) 2 = x4 + 4x2y + 4y2
4) (3x3 + 8y)2 =
Rpta.
2. Cuadrado de la Diferencia de dos Monomios (a - b) (a - b)
elevar al cuadrado (a - b) equivale a multiplicar el por si
a - ab
mismo. Esto es
2
- ab + b
(a - b) 2 = (a - b) (a - b) ; efectuando el producto se
2
obtiene a2 - 2ab + b2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
Lo que nos dice: El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Ejemplos:
¡Ahora tú!
1) (5x - 3) = (5x) - 2(5x) (3) + (3) 2
2
3) (3x2-2y) 2 =
2
= 25x2 - 10 x + 9
Rpta.
2) (2xy3 – 5z4) 2 = (2xy3) 2 - 2(2xy3)(5z4) + (5z4) 2 4) (2/3x2 – 5/4x)2 = = 4x2y6 - 20xy3z4 + 25z8
Rpta.
PRÁCTICA DE CLASE Desarrolla los siguientes productos notables: 1)
(x + 3y)2
2)
(5x + 6y)2
3)
(4x2 + y)2
4)
(5x + 8y)2
5)
(10z + 9x)2
6)
(15x3 + 8y)2
7)
(x3 + 15y2)2
8)
(20z2 +12y)2
9)
(15x2 + 13y2)2
10) (2x2 + 14y3)2
11) (20x2 + 12y) 2
12) (13x6 + 9y3)2
13)
(xy + zw)2
14
15) (6x2y+ 3z3)2
16) (5a2x + 8by)2
17)
(12x3y2 + 6a2)2
18) (2b2z + 15x3y2)2 19) (x2yz + zy)2
(2ax + 5bz) 2
20) (3xy + 2abc)2
PRÁCTICA DOMICILIARIA Desarrolla los siguientes productos notables: 1)
(b – x)2
2) (6x – 4y)2
3) (8y – 3x)2
4) (4z – 2)2
5)
(5x2 – 3y2)2
6) (12x2 – 8y3)2
7) (x5 – 3y3)2
8) (18x2 – 9y2)2
9)
(5/8x -3/4y) 2
10) (2/3x2 – 8) 2
11) (1/9 – 3x) 2
12) (0,1x – 0,8y) 2
13)
(0,7xy – 0,6x2y) 2
14) (0,2x2 – 0,8) 2
15) (3xax-1-2bx+1) 2
16) (8xn+1 – xn) 2
Halla el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto: 1)
(
)2
= X2 + 12X + 36
2)
(
)2
= X2 + 22X + 121
3)
(
)2
= X2 + 14X + 49
4)
(
)2
= X2 - 26X + 169
5)
(
)2
= X2 + 16X + 64
6)
(
)2
= X2 + 18X + 81
7)
(
)2
= X2 + 8 X + 16
8)
(
)2
= X2 - 36X + 324
9)
(
)2
= X2 + 40X + 400
10)
(
)2
= X2 + 28X + 196
11)
(
)2
= X2 + 30X + 225
12)
(
)2
= X2 + 42X + 441
Halla el binomio que da origen a cada binomio cuadrado perfecto: 13)
x2 + 20x + 100
=
(
)2
14)
z2 + 62 + 9
15)
x2 + 40x + 400
=
(
)2
16)
17)
x2 + 8 x + 16
=
(
)2
19)
x2 + 22x + 121
=
(
)2
=
(
)2
x2 – 30x + 225=
(
)2
18)
x2 – 42x + 441=
(
)2
20)
x2 - 26 + 169=
(
)2
3. Producto de la suma por la diferencia de dos monomios Si: “a” y “b” representan dos monomios cualquiera, efectuamos el producto: (a + b) (a – b) como sigue: (a + b) (a - b) a2 + ab - ab - b2 a2 -
b2
(a + b) = (a – b)=a2 - b2
Lo que nos dice: El producto de la suma por la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. Ejemplos: 1)
(a+2b) (a-2b) ) = a2 – (2b) 2 = a2 – 4b2
2) (xn + 3) (xn – 3) =
3)
(x+√3) (x-√3) ) = x2 – √3 2 = x2 – 3
4) (2x2 - 1) (2x2 + 1) =
5)
(9 – 3x) (9 + 3x) = 81 –9x 2
6) (√5 - √2x) (√5 + √2x) =
7)
(√3 – 1) (√3 + 1) = √3 - 1
9)
(2/5x3 - 2) (2/5x3 + 2) = 4/25 x6 - 4
2
2
=3–1=2
8) (√7 + √5) (√7 - √5) = 10) (3/4xm – 5/2 yn) (3/4xm + 5/2yn) =
Segundo Año
Productos Notables
ACTIVIDAD N° 1 Aplica la regla del producto notable: (a + b) (a – b); halla el resultado de: 1) (a + 2x) (a – 2x)
2) (3a + 8y) (3a - 8y)
3) (5xy + 6) (5xy - 6)
4) (x + 1) (x – 1)
5) (2 + x) (x – 2)
6) (6 - x2) (x2 + 6)
7) (3x2 – 4) (3x2 + 4)
8) (ax + bx) (ax – bx)
9) (10xy2 + 6) (10xy2 – 6)
5
5
10) (1-2axy) (1 + 2axy)
11) (3xn + 5yn) (3xn - 5yn)
13) (X y – 5/8z) (x y + 5/8z)
14) (1/2 x + b ) (1/2 x – b )
3
4
3
4
2
12) (2x + 1/3) (2x – 1/3) 15) (0,2x3y + 0,8z3) (0,2x3y –
2
0,822) 16) (√5x+√2yn) (√5x-√2 yn)
17) (√3xn-4√9yn (√3xn+4√9yn 18) (x6+3xnyn) (x6-3xnyn)
ACTIVIDAD N° 2 Escribe en forma directa, el resultado de cada una de las siguientes expresiones (no es necesario efectuar la multiplicación) 1) (√3 – 1) (√3 + 1)
2) (√6 + √2) (√6 - √2)
3) (√11 + 3) (√11 – 3)
4) (5 + √2) (5 - √2)
5) (6 + √13) (6 - √13)
7) (2 +√15) (√15 – 2)
7) ¾ (√5 + 1) (√5 – 1))
8) (4√9 + 2) (2 - 4√9)
3) [(√7 + 2) (√7 – 2)]2
ACTIVIDAD N° 3 En cada ejercicio siguiente, escribe los dos factores cuyo producto es el que se le da: 1)
(
)(
) = x2 – 100
2)
(
)(
) = 25 –x2
3)
(
)(
) = x2 – 16
4)
(
)(
) = x6 –y4
5)
(
)(
) = 225 – y4
6)
(
)(
) = 121 –x8
7)
1/16 -z4 = (
8)
x6 - 49 = (
)
(
)
)
(
)
4. Producto de dos Binomios que tienen un término común Forma:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Donde: x
término común
a, b
términos no comunes
Lo que nos dice: El producto de dos binomios con término común es igual al término común al cuadrado más la suma de los términos no comunes por el común y más el producto de los términos no comunes. 1) (x+7)(x+3) = x2 + (7+3)x + 7.3 = x2 + 10x + 21
2) (x + 5) (x + 2) =
3) (2x+1)(2x+3) = 4x + 4(2x) + 3 = 4x + 8 x + 3
4) (x + 1/3) (x + ½ ) =
5) (x - 3)(x - 4) = x2 + (-3 - 4)x + 3.4
6) (2x - 3) (2x - 5) =
2
= x – 7x + 12 2
2
7) (x + 5)(x - 2) = x2 + 3x – 10
8) (x - 7) (x + 3) =
5. Cuadrado de un Trinomio Forma:
(a + b + c)2 = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo: 1) (x2 + x + 2) 2 =
2) (x2 - 5x + 1) 2
x4 + x2 + 4 + 2x3 + 4x2 + 4x =
x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4
=
x4 + 25x2 + 1 - 10x3 + 2x2 - 10x
=
x4 - 10x3 + 27x2 - 10x + 1
¡AHORA TÚ! 3) (a2 + 2a + 3) 2 = 4) (5x2 - 3x - 1) 2 =
PRÁCTICA DE CLASE Halla el producto de: 1) (x + 3) (x + 8)
2) (x2 + 1) (x2 + 2)
3) (x3 + 5) (x3 + 4)
4) (x + 10) (x + 5)
5) (x + 9) (x + 8)
6) (x2 + 12) (x2 + 15)
7) (x4 + 6) (x4 + 9)
8) (x3 + 3) (x3 +11)
9) (x2 + ½ ) (x2 + 1/3)
10) (x2 + 0,5) (x2 + 0,3)
11) (2x + 1) (2x +3)
12) (3x + 2) (3x + 4)
13) (x - 8) (x - 10)
14) (x - 1) (x -9)
15) (x - 10) (x - 20)
16) (x - 3) (x - 8)
17) (x - 7) (x - 6)
18) (x4 - 1 ) (x4 - 3)
19) (x – 0,7) (x – 0,2)
20 (x3 – 0,2) (x3 – 06)
21) (2x - 3) (2x - 5)
2
2
3
3
PRÁCTICA DOMICILIARIA Halla el producto de: 1) (x + 15) ( x – 3)
2) (x – 12) (x + 7)
3) (x – 5) (x + 4)
4) (x + 9) (x – 2)
5) (x – 13) (x + 8)
6) (x + 4/3) (x – 3/2)
7) (x – ½ ) (x + 2/5)
8) (x + 2/3) (x – 5/4)
9) (x – 0,7) (x + 0,2)
10) (x + 0,9) (x – 0,7)
11) (2x + 1) (2X – 3)
12) (5x + 2) (5x – 6)
13) (3x + 6) (3x – 1)
14) (5x – 2) (5x + 3)
15) (2x6 – 1) (2x6 + 5)
16) (x + y – z) 2
17) (2x + y + 3)
18) (2c + 1 – 2y) 2
19) (x2 – 3x – 5) 2
20) (x2 – 10x – 1) 2
2
2
2
2
3
3
3
3
2
6. Cubo de la suma de dos monomios 1ª Forma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
2ª Forma:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Lo que nos dice:
21) (2a2 – 5a - 3) 2
Segundo Año
Productos Notables
El cubo de un binomio es igual al cubo del primero, más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo. Ejemplo: 1) (x + 2)3 = x3 + 3(x2) (2) + 3 (x)(2)2 + (2)2
2) (3x+4)3 = ( )3+3( )2 ( )+3 ( )( )2+( )3
= x3 + 6 x2 + 12x + 4 3) (x + 5)3
= x3 + 3 (x)2 (5) + 3 (x) (5)2 + (5)3
4) (2x + 1)3 =
= x3 15x2 + 75x + 125 5) (x – 4) = (x) – 3(x) 3
3
2
=
(4) + 3(x) (4) – (4) 2
3
6) (2x – 3)
3
= x – 12x + 48x – 64 3
2
7) (x2 – y3)3 = (x2)3 -3(x2)2 (y3) + 3 (x2) (y3)2 – (y3)3
8) (x – y2)3 =
ACTIVIDAD Halla aplicando las reglas de los productos notables, el resultado de: 1) (x + y)3
2) (2x + 3)3
3) (3x + y) 3
4)(ax + y) 3
5) (3x + 2y) 3
6) (x2 + 4)3
7) (2x + 5)3
8) (2x2 + 1)
9)(x2 + y2)3
10) (2ax3+ 3b3)3
11) (½ + x)3
12) (x - 5)3
13) (3 - x) 3
14)(2x - 3y)3
15) (3b –2ay) 3
16) (x2 – y3)3
17) (x4 – 2y2)3
18) (-x - 3y) 3
19)(x3 – 1/3)3
20) (2/3 - x) 3
7. Suma de cubos de dos monomios Forma:
(a + b)
(a2 – ab + b2) = a3 + b3
De donde: a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) Lo que nos dice: La suma de cubos de dos monomios es igual a la suma de los dos monomios, multiplicando por el cuadrado del primer monomio menos el
producto de los dos
monomios más el cuadrado del segundo monomio. Ejemplos:
¡AHORA TÚ!
1) (x + 2) (x – 2x + 4) = x + 2 = x + 8
2) (2x + 3) (
2) (x + 1) (
4) (3x + 2) (
2
2
3
3
3
)=
8. Diferencia de cubos de dos monomios Forma:
(a - b)
(a2 + ab + b2) = a3 - b3
De donde: a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) Lo que nos dice:
-
+ )= )=
La diferencia de cubos de dos monomios, es igual a la diferencia de los dos monomios, multiplicando por el cuadrado del primer monomio más el producto de los dos monomios mas el cuadrado del segundo monomio.
ACTIVIDAD Halla, aplicando las siglas de los productos contables, el resultado de: 1) (x + 8) (x2 – 8x + 64)
2) (x + 6) (x2 – 6x + 36)
4) (3x + 1) (9x2 – 3x + 1)
3) (2x + 3) (4x2 – 6x + 9)
5) (5x2 + 2) (25x4 – 10x2 +4)
6) (2x3 + y2) (4x6 – 2x3y2
+ y4) 7) (5x2n + 2) (25x4n – 10x2n + 4)
8) (x-4) (x2 + 4x + 16)
10) (3x – 1) (9x2 + 3x + 1)
9) (x-9 )(x2 + 9x + 81)
11) (2x2 – 5) (4x4 + 10x2 + 25)
12) (6x – ½) (36x2 + 3x +
14) (2xn - 5) (4x2n + 10xn + 25)
15) (3xny -1/6) (9x2n y2 +
¼) 13) (8x2 – ¾ ) (64x4 + 6x2 + 9/16) xny/2 + 1/36)
PRÁCTICA DE CLASE 1.
Relaciona correctamente
Da como respuesta la suma de
a) (x + 5) ( ) x + 4x + 4
coeficientes:
b) (x + 3) ( ) x + 10x + 25
a) 0
b) 2
c) (x + 2) ( ) x + 6x + 9
c) 4
d) 5
2
2
2
2
2
2
e) -4 2.
Indica la relación correcta: a) (x - 10)2 ( ) x2 - 20x + 100
7)
Da
b) (x - 6) 2 ( ) x2 - 14x + 49
Da la respuesta en cada caso: a) (2x + 1) 2 = _________________
por
respuesta
el
mayor
coeficiente.
c) (x - 7) 2 ( ) x2 - 12x + 36 3.
Reduce: (x + 3) (x - 3) + (x + 2) (x – 2)
8)
b) (4x2 – x) 2 = _________________
a) 2
b) -13
c) 13
d) -2
e) 8
La expresión: (x + 3)2 – (x + 2) (x – 2) Se reduce a : mx + n Halla: m + n
4.
Desarrolla en cada caso:
a) 13
b) 17
a) (x + 2) (x – 2) =
c) 6
d) 18
e) 19
b) (2a + 3) (2a – 3) = c) (x2 + 3x) (x2 – 3x) =
9)
Luego de simplificar: (x + 2) 2 + (x – 2) 2 + (x + 3) 2 – (x – 3)2
5.
Si: (2x + 3) 2 = m x2 + nx + p
Indica el menor coeficiente.
Halla: m + n + p
a) 2
b) 8
c) 4
d) 12
a) 94
b) 96
c) 100
d) 98
e) 102 6)
Simplifica: (x + 1)2 + (x – 2)2
10)
Si: m2 + n2 = 5 > m n = 2 Halla: m + n
e) 1
Segundo Año
Productos Notables
11)
a) 2
b) 3
c) 5
d) 1
e) 4
Simplifica: (3ax + 2by) (3ax – 2by), sabiendo además que: a2 x2 = 1 b2 y2 = 2 a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
18)Simplificar: 7b 2 2ab
a
2
N
e) 4
a
13)
c) 2
d) 1
Cuál
es
el
grado
b .
siguiente
polinomio: P(x) = (2x + 3) – 8 x2 + 2
(2x – 3) 2 + x
14)
a) 2
b) 0
c) 3
d) 1
P
(x – 1) – (x – 3)
e) 4
c) 10x
d) 12x
e) 16x
R x 2 7 x 11 x 2 x 3 x 4 x 5
16)Efectuar: E
2
2
24)Reducir:
3
2
3
a2 b b
a a b a b a2 b2 2
a4 b4 a 2 .b 2
25)Si: (x+5)(x+b)(x–3) = x3–19x+a. Calcular a – b 26)Simplificar: A
b) 3x
23)Si: x3 + y3 = 280; x + y = 10 Calcular x. y
2
a) 2x 15)Reducir:
b
P 6 a b a b a 4 a 2b 2 b 4 b 6 a > 0
Reduce la expresión: (x + 1) 2 + (x + 3) 2 2
a
Determinar:
e) -2
del
2
a b 1; a . b 0 b a
22)Dado:
Calcula: x2 + 2x – 2 b) 0
2
20)Efectuar:
Si : (x + 1)2 = 3 a) 3
2ab
19)Efectuar: A 1 x 1 x 1 x 2 1 x 4 1
21)Simplificar: 12)
b2
6
16
2 1
2 1 3 . 5 .17 . 257
27)Simplificar: 2 2 3 2 2 3 B 2 2 3 2 2 3 28)Reducir:
R
17)¿Qué expresión hay que agregar a (3x+2)2 para que sea igual a: (3x+5) (3x+7)?
( x 9) 2 (x 13)(x 5) (x 10)(x 9) ( x 18)(x 3)
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1)
Si. (x + 1)3 = ax3 + bx2 + cx + d
a) 2
b) -2
Halla: b+c
c) 1
d) -1
e) 0
a +d
2)
a) 1
b) 3
c) 4
d) 1/3
3)
Calcula:
e) 2/3
Si: (x – 2) = mx + nx + px + q 3
Halla:
3
Si: (x + 2) (x2 – 2x + 4) ax3 + b
2
a+b
a) 3
b) 4
c) 2
d) 1
m+p +q m +n
4)
Se cumple que: (x – 3) (x2 + 3x + 9) mx3 + n
e) 5
Halla: m + n
5)
Q((x) = (x – 5) 2 + 4 – 20x – (x – 5)2
a) -26
b) 25
c) -22
d) 26
e) -28
Calcula:
7)
b) 0
c) 2
d) 3
e) 4
En la siguiente identidad: 13)
(x + 1) (x + 2) a x2 + bx + c:
6)
a) 1
N = (x + 3) (x + 2) + (x – 3) (x – 2) – 2x2
ab
c
Reduce:
a) 3
b) 1
c) 2
d) 5
e) 4
Simplifica: m = (a + b) 3 – 3ab (a + b) a) a3
b) b3
c) a3 – b3
d) 0
14)
a) 0
b) x2
c) 2x2
d) 6
e) 12
Simplifica: M = (x + 2) (x – 1) – (x + 3) (x – 2)
e)a3+b3
Reduce:
a) 4
b) 2
c) 6
d) -2
e) 0
G = (a – b) 3 + b3 + 3ab (a – b) a3 a) a3 –b3
b) a3
c) b3
d) 0
e) 1
15)
Halla: 8)
Si: a + b = 3 a
+
3
b
3
ab = 1 en
la
siguiente
expresión: a3 + b3 + 3ab (a + b)
Simplifica: M = (m + n) (m2 – mn + n2) + (m –n) (m + mn + n ) 2
2
a) n
a) 27
b) 18
c) 9
d) 3
e) 0
b) m
3
3
c) 2m
d) 2n3
3
e) 0
16)
En la expresión: (a + b) (a2 – ab + b2) Se cumple que: a + b = 2
9)
Si: m + n = 20 2
2
mm = 2
a) 2
b) 3
c) -2
d) 4
e) 0
(a + 3b) (a – 3b) = 0
17)
Calcula: 27 b2 a a) 3
b) 7
c) 9
d) 27
b) 5
c) 10
d) 9
Determina el valor de: a3 – b3 y
a2 + ab + b2 = 8
a) 6
b) 4
c) 8
d) 3
M = ( x + 3) (x + 2)
Calcula:
Sabiendo que: x2 + 5x = 2
x – 4x 2
b) 4
c) 0 Cuál
es
polinomio:
el
grado
e) 48
Determina el valor numérico de:
Si: (x – 2) = 5 2
a) 2
e) 25
e) 1 18)
12)
a) 2
Si: a – b = 6
3
11)
2
Halla: M = a3 + b3
Halla: m – n
10)
y
a – ab + b = 5 2
d) -1
e) 1
del
siguiente
19)
a) 2
b) 5
c) 6
d) 7
Calcula:
(x + 4) (x + 8)
Si: x + 12x = 4 2
e) 8
Segundo Año
Productos Notables
20)
a) 4
b) 32
c) 6
d) 36
N= e) 1
(a – b) 3 + 9
Si: (x + n) = x + 16 x + 64 2
Calcula:
a3 – b3 – 3ab (a – b) + 9
2
a) 0
b) 1
c) 3
d) -1
e) 9
3n
a) 6
b) 2
c) 3
d) 4
28) e) -2
Simplifica:
G = (m+n) (m2 – mn + n2) – (m – n) (m2 + mn +n2)
21)
Si: (x + 2)3 ax3 + bx2 + cx + d
a) n3
b) m3
Halla : 3 a+b+c+d
c) 0
d) 2n3
a) 2
b) 3
c) 1
d) 4
e) -2
29)
e) 2m3
Reduce: M = (x – 3) (x + 2) + (x + 5) (x –
22)
23)
Si: (x – 3) m x + n x 3
3
2
4) + 26
+ px + q
Halla: (m + n) (p + q)
a) 26
b) 24
a) 1
b) 0
c) 2x
d) x
c) -27
d) 9
2
e) -9
30)
Calcula: a + b b) 27
c) 26
d) 1
Simplifica M = (x – 3) (x – 2) – (x – 6) (x + 1)
Si: (x + 3) (x2 – 3x + 9) a x3 + b a) 28
e) 0
a) 6
b) -6
c) 12
d) -12
En la siguiente identidad:
a3
+
a) 24
b) 0
5
c) 40
d) 36
a) 3
b) 5
c) 1
d) 4
e) 2
32)
Determina: a3 + b3
(x + 3) (x – 5) ax2 + bx + c
a) 15
b) 5
Calcula: a + b + c
c) 2
d) -2
b) 16
c) -17
d) 17
e) 0
33)
a2 + ab + b2 = -2
a) 6
b) 5
M = (a + b)3 –b3 – 3ab (a + b)
c) -6
d) 1
b) b3
c) a3 + b3
d) ab
e) a3
34)
Reduce:
e) 6
Halla: a3 – b3
Simplifica: a) 0
e) 12
a2 – ab + b2 = 5
Se cumple que:
a) -16
siguiente
En: (a + b) (a2 – ab + b2)
e) -1
Halla el valor numérico de: M = (x – 1) (x + 2)
27)
la
m-n+1
Si: a – b = 3 26)
en
a3 + b3 + 3ab (a + b)
Si: a + b = 3 25)
b3
expresión:
(3x – 2) (9x2 + 6x + 4) m x3 – n Determina:
e) 0
Si: a + b = 4 ab = 2
31) Halla:
24)
e) x2
Si: x2 + x = 2
a) 2
b) 0
c) 1
d) -1
e) 7
Segundo Año
División Algebraica
Tema Nº 06: División algebraica Capacid ades:
Determina el cociente y residuo, utilizando el método clasico, de Horner , la regla práctica de Ruffini o el teorema del resto.
Resuelve problemas aplicando la división algebraica.
Exploración y Desequilibrio: A. Efectúa: 1) (3x2 ) (2x3) =
3) (x + 5) (x – 6) =
2) 5x (x + 8) =
4) (x – 2) (x2 + 2x + 4) =
B. Efectúa: 1 (-8 x6) : (4 x3) =
3) (x2 – y2) : (x + y) =
2) (5x3 – 3x2) : x =
4) (x2 + 7x + 10) : (x + 2) =
Desarrollo del Tema: DIVISIÓN DE MONOMIOS El corriente de los monomios es otro monomio (como de división exacta); cuyo coeficiente es el cociente de sus coeficientes y la parte literal es el cociente de sus partes literales, y si los monomios tienen la misma parte literal es la letra común con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. Ejemplo 1: Halla el cociente al divisor 12 x
6
entre 3x
Ejemplo 2: Halla el cociente de: - 20 x8 y4 entre 5x5 y2
2
SOLUCIÓN: 12 x6 = 12 3x2
3
x6
SOLUCIÓN: -20 x8 y4 = -20
x2
5x2 y2
= 4 x6 - 2 = 4x4
x8
y4
x5
y2
5 = -4 x8-5
y4-2
= -4 x3 y2 TÉRMINOS DE UNA DIVISIÓN EXACTA: En la división exacta entran los siguientes términos: a) DIVIDENDO; que es la cantidad que se ha de dividir (18 x) b) DIVISOR; es el término por el cual se efectúa la división (6) c) COCIENTE; que es el resultado de la división (3x) Ósea: DIVIDENDO :
18 x
:
DIVISOR
6
=
COCIENTE
3x
LEYES DE LOS SIGNOS:
(+) : (+) = + (El cociente de los (- ) : (-) = + términos de signos iguales es POSITIVO).
En la división de dos términos hay que tener presente la siguiente regla de los signos: dividiendo dos términos entre si, que tienen signos iguales, los dos positivos o los dos negativos, resulta su cociente positivo y dividendo dos términos que tienen signos diferentes, uno positivos
(+) : (-) = - (El cociente de los (- ) : (+) = términos de signos diferentes es NEGATIVO).
y otros negativos, resulta su cociente negativo; lo cual se resume de la siguiente forma: Ejemplos: 1) 16 x2
=
8x2-1 = 8x
2)
-30 x4 =
2x
10x4-1 = 10x3
- 3x
3) + 10 x8 = - 2x8-5 = -2 x3
4) 12 x7 = -3 x7-4
-5x5
= 3x3
- 4x4
ACTIVIDAD Halla el resultado de las siguientes operaciones: 1) 12 x6 y3
2)
4x4 y2
36 x8 y
3) 144 x6 y4
4
-9 x3 y3
5) 30 x8 y2 Z3 6)
72 xy2
-48 x6 y7 z2n
- 5x3 y z2 9) 108 x6 y9
10)
9x4 y7
8) 117 x7 y4 z3
-6 x2y3 z
-7 xy2 Z
84 x4 y7
11) 55a6 b9 x4 y9
9x3y2 Z 12) -72 xm+3 yn+2
-5a4 b2 xy6
14) -126 xn+1 yn+4
64 x4 yn
7x2 y2 Z
7) -56 x6 y6 Z4
-6 x y6
13) 128 xm+5 yn+2
4) -42 x3 y4 z2
15)
-6 xm y2
112 x3 y5
6xn yn+3
7x3 y2
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor y se suman algebraicamente cada uno de estos resultados. Ejemplo 1
Dividir: 42x6 y5 – 21 x3 y7 + 35 x5 y2 7 xy2
SOLUCION: Procedemos a dividir cada término entre el divisor: 42 x6 y5 – 21 x3 y7 + 35 x5 y2
=
7 x y2 =
6 x5 y3 - 3 x2 y5 + 5x4
42 x6 y5 7 x y2
Rpta.
Ejemplo 2: Divide: 0,8 x2 y2 + 1,2 x4y – 0,6 x6
-
21 x3 y7 7 x y2
+
35 x5 y2 7 x y2
Segundo Año
División Algebraica - 2x2 SOLUCION:
0,8 x2 y2 + 1,2 x4 y – 0,6 x6
=
- 2x2 =
0,8 x2 y2 + - 2x2
0,4 y2 - 0,6 x2 y + 0, 3 x4
1,2 x4 y - 2x2
- 0,6 x6 - 2x2
Rpta.
ACTIVIDAD DESARROLLA LAS SIGUIENTES DIVISIONES: 1. 8 X2 - 24 xy
2. 5x2 - 10 x
8x
3.
3xy3 - 5x2 y2 + 4x2 y3z
5x
- x y2
4. –6 x3 y2 + 9 x4 y4 z – 12 x2 y z3
5.
15 x6 y2 – 10 x4 y3 z5 - 20 x2 y5 z6
- 3 xy
5 x2 y2
6. 5/7 x4 y3 z – 2/9 x3 y4 z – ¾ x2 y5
7. 3/8 x4 y + x3 y3 – ½ x2 y5 z
- 2/3 x2 y2 8. –z
n
¾ x2 y
wn + 2zn+1 w n +1
9. 0,9 x2 y2 + 0,65 x3 y3 – 0,15 x4 y4
- 2n wn
-0,05 x y
10. 45xn-3 - 15xn-2 - 25xn-1
11. 1,5 x y5 z – 2,4 x2 y4 – 3,6 x3 y3
- 5xn-3
-0,1 x y3
DIVISIÓN DE POLINOMIOS Es la operación que nos permite encontrar unas expresiones llamadas Polinomios Cociente y Residuo de otras llamadas Polinomios Dividendo y Divisor. • Dados los polinomios: D(x) : Polinomio dividendo d(x) : Polinomio devisor
Vamos a calcular:
q(x) : Polinomio cociente R(x) : Polinomio residuo
D
(x )
d (x )
A l d iv id ir
D
(x)
R
(x)
d (x) q (x)
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN Es el criterio que se enuncia de la siguiente forma: Dados los dos polinomios D(x) y d(x) con d(x)0, entonces existe polinomios únicos q(x) y R(x) tales que:
D(x) d(x) . q(x) R(x) Esta identidad es conocida como el Algoritmo de Euclides. MÉTODO PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOS Para dividir polinomios existen diversos métodos cuyos procedimientos presentan reglas particulares que hacen fácil el cálculo del Cociente y Residuo.
I) Método Clásico o División Normal. II) Método de los Coeficientes Separados. III) Método de Horner. IV) Método de Ruffini. V9 Teorema del Resto OBSERVACIÓN: Antes de efectuar la división entre dos polinomios, estos se deben encontrar en forma completa y ordenada. De no ser así se completa con “ceros” y se ordena descendentemente. Ejemplo: Sea el polinomio:
P(x) 5x4 1 x3 3x2 Luego: Completando (con ceros) tendremos:
P(x) 5x4 x3 3x2 0x 1 (Es un polinomio completo y ordenado descendentemente)
A continuación vamos a emplear los diversos métodos para dividir polinomios, para lo cual se tiene que seguir ciertos procedimientos. I) MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN NORMAL Para dividir dos polinomios, previamente completo y ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una misma variable, debemos seguir los siguientes pasos: 1º Se escriben en línea horizontal uno a continuación del otro utilizando el signo de la división aritmética. 2º Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente. 3º Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan los resultados con signos cambiados debajo de los correspondientes términos del dividendo. 4º Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente. 5º Luego se procede como en el tercer paso, es decir, se efectúan las mismas operaciones anteriores. Así hasta que el resto sea de grado menor que el del divisor: Ejemplo 1: Efectuar la siguiente división:
6x4 13x3 5x2 6x 1 2x2 3x 1 Solución: * Se observa que:
D(x) 4 d(x) =2 *
Entonces:
q(x) D(x) d(x)
q(x) 4 2
Segundo Año
División Algebraica
q(x) 2 *
También: Máx
R(x) 2 1
R(x) 1 máx * *
Antes de efectuar la división tener presente que los polinomios deben estar completos y ordenados. Aplicando el Método Clásico o Normal.
6x4 + 13x3+ 5x2+ 6x + 1 - 6x4 -
9x3 + 3x2
+ 4x
3
2x
2
+ 3x + 1
3x
2
+ 2x + 1
+ 8x2 + 2x
- 4x3 - 6x
2
+ 2x
+ 2x2 + 8x + 1 - 2x2 - 8x + 1 5x + 2 Luego: El cociente es : El resto es
:
q(x) 3x2 2x 1
R(x) 5x 2
NOTA: Si observas en los resultados obtenidos * El grado del cociente es 2. * El máximo grado del residuo es 1. Lo que verifica los cálculos realizados al inicio de la solución. Ejemplo 2: Dividir
4x5 3x4 7x3 8x2 5x 2 4x2 x 2 *
Solución: Se observa que:
D(x) 5 d(x) 2 *
Entonces:
q(x) 5 2 3 Máx *
R(x )
2 1 1
Aplicando el método clásico:
4x - 4x
5 5
+ 3x
4
- 7x
3
2
+ 8x
- 5x + 2
+ x
4
- 2x
3
+ 4x
4
- 9x
3
+ 8x
2
- 4x
4
+
x
3
- 2x
2
- 8x
3
+ 6x
2
- 5x
+ 8x
3
- 2x
2
+ 4x
+ 4x
2
- x + 2
- 4x
2
+ x - 2 0
4x
2
- x + 2
x
3
+ x
2
- 2x + 1
Luego: 3 2 El cociente exacto es : q(x) x x 2x 1
El residuo exacto es
:
R(x) 0
NOTA: Cuando el resto es igual a cero se dice que un polinomio es divisible por otro que la división es exacta. II) MÉTODO DE LOS COEFICIENTES SEPARADOS Este método es recomendable para polinomios de una sola variable. Como su nombre lo indica, se debe trabajar únicamente con los coeficientes en forma separada, la distribución de sus términos es la misma que en el Método Normal, colocando ceros en los términos que faltan. Para determinar el grado del cociente y el resto se debe aplicar a las propiedades del grado. NOTA: Para ver que los métodos mencionados se cumplan vamos a realizar las mismas divisiones de los ejemplos 1 y 2. Ejemplo 1:
6x4 13x3 5x2 6x 1 Dividir:
2x2 3x 1
Solución: * Los grados del cociente y residuo serán:
q(x) 4 2 2
R(x) = 2 1 1
Máx Tomando la distribución de los coeficientes en la división:
Segundo Año
División Algebraica
6 – 6
+ 13 + 5 – 9 3 4 8 – 4 – 6 2 – 2
+ 6 + 1 6 2 8 – 3 5
Luego, colocando la parte literal se tiene:
2 + 3 –1 3 2 1
1 1 2
q(x) 3x2 2x 1
R(x) 5x 2 Ejemplo 2:
4x5 3x4 7x3 8x2 5x 2 4x2 x 2 Dividir:
R(x)
2 1 1
Máx Tomando la distribución:
4 – 4
3 1 4 – 4
Luego, colocando la parte literal: 3 2
q(x) x x 2x 1
y
R(x) 0
– 7 8 – 2 – 9 8 1 –2 – 8 6 8 –2 4 – 4 0
–5
–5 4 –1 1 0
2
4 1
–1 2 1 –2
1
2 –2 0
II) MÉTODO DE HORNER Este método es un caso particular del Método de Coeficientes Separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado. El procedimiento es el siguiente: 1º Se colocan los coeficientes del dividendo (horizontal) y divisor (vertical). 2º Se escriben los coeficientes del divisor en una columna, el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signos cambiados. 3º Las líneas punteadas (discontinuas) son importantes ya que separan al cociente del Residuo y para su trazo sólo observaremos el grado del divisor. 4º La división comienza dividiendo el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor. 5º El primer coeficiente del cociente obtenido multiplica a los demás coeficientes del divisor (coeficientes que cambian de signos) uno a uno. 6º Los resultados se ubicarán en las siguientes columnas, corriendo un lugar hacia la derecha.
7º Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado obtenido se divide con el primer coeficiente del divisor para obtener así el segundo término del cociente. El procedimiento se repetirá hasta llegar a las líneas punteadas. 8º Para obtener los coeficientes del Residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen al residuo. • En forma gráfica se tiene: Si nos piden dividir:
Entonces, por el procedimiento descrito se tiene:
* + * – *
q
R
Ejemplo 1: Dividir:
6x4 13x3 5x2 6x 1 2x2 3x 1 Solución: Los grados del cociente y residuo serán:
q(x) 4 2 2 Máx •
R(x) 2 1 1
Aplicando el Método de Horner:
2
6
– 3
13 – 9
+ 1
5
6
3 – 6
3
2
1
1
2 – 3
1
5
2
C o e fi c i e n t e s C o e fi c i e n t e s d e “ q ” de “R ” Escribiendo la parte literal con el Grado respectivo calculado se tiene:
q(x) 3x2 2x 1 R(x) 5x 2 Ejemplo 2: Dividir:
4x5 3x4 7x3 8x2 5x 2 Solución: Los grados del cociente y residuo serán:
4x2 x 2
Segundo Año
División Algebraica
q(x) = 5 2 = 2 Máx •
R(x) 2 1 1
Aplicando el Método de Horner:
4
4
+ 1 – 2
1
3
–7
1
–2 1
1
–2
8 –2 –2 1
–5
2
4 1
–2
0
0
Escribiendo la parte literal con el Grado respectivo calculado se tiene:
q(x) x3 x2 2x 1
R(x) 0 IV) MÉTODO DE RUFFINI Este es un caso particular del Método de Horner. El Método de Ruffini permite encontrar el Cociente y Residuo cuando el Divisor es un binomio de la forma o transformable a ella. Se debe observar y tener presente que el polinomio Dividendo sea completo y ordenado, si faltase algún término lo reemplazamos con ceros hasta completarlos. Es decir, si:
D(x) ax b
Q(x)
Cociente obtenido a
Entonces: De igual forma el Método de Horner, utilizaremos sólo coeficientes empleando para la división el siguiente esquema:
D IV ID E N D O d iv iso r C O C IE N T E ( o b te n i d o )
RESTO
Procedimiento: 1º 2º 3º 4º
Se coloca en posición horizontal el dividendo (coeficiente). Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable. Dicho valor despejado se ubicará en el esquema donde se indica el divisor. Se baja el primer coeficiente de D(x) que se multiplicará con el valor despejado, resultado que se indicará debajo del segundo coeficiente del D(x) . 5º Se suman los valores de la segunda columna cuyo resultado se volverá a multiplicar con el valor encontrado. Procedimiento que se repetirá hasta concluir la división (cuando se haya llegado a la última columna). 6º En la última columna se reducen los términos, el resultado obtenido será el residuo a calcular. 7º Para obtener el cociente Q(x) a los coeficientes del cociente (obtenido) se les divide con el primer coeficiente de divisor.
Ejemplo 1: Dividir:
10x3 3x2 6x 4 5x 1 Solución: Aplicando el procedimiento mencionado, por Método de Ruffini.
5x 1 = 0 x = 1 5
10
3
6
4
2
1
1
5
5
3
10
Como:
d(x) ax b
Luego:
d(x) 5x 1
•
Cálculo de
Q(x) Q(x)
C o c i e n te o b te n id o
a5
Q(x) :
10x2 5x 5 5
10x2 5x 5 5 5 5
Q(x) 2x2 x 1
R(x)= 3 Ejemplo 2: Dividir:
3x4 5x3 x2 x 1 x 2 Solución: Aplicando el Método de Ruffini:
x 2 = 0 x = 2 Como:
d(x) ax b y
d(x) = x 2 d(x) 1x 2 a 1
•
Cálculo de
Q(x) :
(4x2 6x 5) (2x 1)
Q(x) 3x3 x2 3x 5
3
5 6
1 2
1 6
1 10
3
1
3
5
11
Segundo Año
División Algebraica
R(x) 11 Ejemplo 3: Dividir:
5x4 9x3 3x2 6x 1 5x 1
Solución: Aplicando el Método de Ruffini:
5x + 1 = 0 x = 1 5
5
5
9
3
6
1
1
2
1
1
10 5
5
0
Como:
d(x) 5x 1 •
a 5
Calculo de Q(x):
Q(x)
5x3 10x2 5x 5 5
Q(x) x3 2x2 5x 5
R(x) 0 V) TEOREMA DEL RESTO Para encontrar el resto de dividir su polinomio P(x) entre un divisor de forma (a x + b) se halla reemplazando en P(x) el valor de “x” que anula al divisor, vale decir, habrá que calcular: P (-b/a) Ejemplo 1:
Calcula el residuo de dividir: x3 + 2x2 – x + 2 entre 2x – 1 SOLUCION: Calculamos el valor de “x” que anula al divisor: 2x–1= 0
2x = 1
x = ½
Este valor de “x” se replaza en el dividendo: DIVIDENDO: x3 + zx2 – x + 2 Residuo “R” = (½)3 + 2(½)2 – (½) + 2
R = 1 + 4 – 4 + 2 x 8 = 17 8
Ejemplo 2: Calcula el residuo de dividir: 3x3 – 5x2 + 7 entre x – 3 Solución: Calculamos el valor de “x” que anula el divisor:
8
x–3 = 0
x =3
Este valor de “x” se reemplaza en el dividendo Dividendo: 3 x3 – 5x2 + 7 Residuo: “R” = 3(3)3 – 5 (3) 2 + 7
R = 81 – 45 + 7 = 43
Ejemplo 3: Calcula el residuo de dividir: x5 – 8x3 + 4x2 – 5 entre
x–2
Solución: Calculemos el valor de “x” que anula al divisor. x–2=0
x =2
El valor de “x” se reemplaza en el dividendo: Dividendo: x5 – 8 x3 + 4 x2 – 5 Residuo: “R” = (2)5 – 8(2)3 + 4 (2)2 –5
R = 32 – 64 + 16 – 5 = -21
ACTIVIDAD HALLA EL POLINOMIO COCIENTE EN CADA DIVISIÓN 1. (3y3 – 10 y2 + 20y – 16) : (3y – 4)
2- (6 x2 – x – 2) : (2x + 1)
2. (2x4 – x3 + 7 x – 3) : (2 x + 3)
4. (z2 – 15z + 56) : (z – 8)
5. (6 y2 – 9y – 27) : (3y – 9)
6. (-10 z3 – 13z2 + 13z – 2 ) : (-5z + 1)
7. (8 y3 – 27) : (2y – 3)
8. (9 x3 + 3x2 + x – 1) : (3 x –1)
9. (x6 – 7 x3 + 12) : (x3 – 3)
10. (38 x4 – 65 x3 + 27) : (2x2 – 5x + 3)
11. (12x4–7x3–74 x2–7x+12): (3x2-7x-4)
12. (3/2 z7 – 6 z6 – ¼ z5 -5z4 + z2): (323 – ½ z)
ACTIVIDAD Halla el residuo de los siguientes divisores, empleando el tema del resto.
1.
2x4 – 5x3 + 3x – 6 entre x – 2
2. 8x5 – 3x4 + x3 – 5x2 + 3 entre x – 1
3. 5x3 – 2x2 + 7x – 2 entre x + 2
4. x2 – 5x + 9 entre 3x – 1
5. x6 – y6 entre x – y
6. x3 + 2x + 3 entre 2x + 1
7. x6 – 5x3 + 6x2 – 8 entre x + 2
8. x2 – 2ax + a2 entre x – a
9. x32 + 1 entre x + 1
10. x3 + 2 ax2 – 5 a3 entre x + 2 a
Segundo Año
División Algebraica
ACTIVIDAD Escribe en cada espacio libre el monomio que falta: 1.
: 3x4 = 4 x2
2.
:
5xy2 = 2 x3y
3.
: -6x2 y3= 4xy2
4.
:
5.
:
6.
: - 6xy4 = 2xy2
7.
: 3xy3 = 4y2
8.
: 8x5 y2= -3xy
9.
: –5x2 y3 = -6 y4
10. 20 x7 y4:
= 5x4 y3
12. –36x5y3:
= 9x3y
-8x3 y4 z2 = -3xy3z
11. 12x6 y4 z6:
= -x3 y2 z5
13. 128 x6 z5:
= -16x4z3
7x y2 z3 = -5x3yz
14. 112a3b2x5:
= 7abx3
DESARROLLA LAS SIGUIENTES DIVISIONES: 1. (z2x + zx + x) : - z
2. (3xy2 – 2x2y2 + 5x3y – 7x4): 2xy
3. (-4x2y + 6xy2 – 10y3):-2x
4. (12x3y3 – 15x2y2+18x):-3xy
5. (-8x3 + 16x2y2 – 32xy3):4xy
6. (4x2y – 63y2+ 10xy4): -2xy
7. (-6x3y2z4 + 9x2y3z2 – 3xy2z3): -3xy2z2
8. (18x4y3z2 – 24x2y2z3 + 36x3y3z2): 6x2y2z2
9. (-15x y z + 20x y z – 10x y z ): -5x y z 6
3
4
4 3
5
2 2
4
2
10. (20xn+1 yn – 16x
ACTIVIDAD Efectúa las siguientes divisiones: 1. (x5 + 3x4y + 3x3y2 + 5x2y3 – 10yx4 – 7y5) : (x+3y) 2. (6x4y + 21x3y2 – 60x2y3 + 24xy4) : (2x-y) 3. (3x4y – 4x3y2 – 4x2y3 + 8xy4 – 3y3(: (x2 – 2xy + y2) 4. (-4xy4 + 6x2 y3 – 3x3 y2 + 5x4y) : (-y3 + 2xy2 + x2y) 5. (-6x6 + 11x5y – 40 x4y2 – 6x3 y3 + 12x2y4) : (-12x2 + 6xy) 6. (1/3 x3 - 17/36 x2y + 13/24 xy2 + ¼y3 ) : (1/2 x – 1/3 y) 7. (2/3 x4 – x3 + x2/2 – 5x + 3) ( x + 1) 8. (12 x2a+2 - 23 x 2a+3 - 10x 2a+4 + 25 x 2a+5 : (4xa+1 – 5xa+2) 9. (xa+2 + 2x
a+1
+ 2 xa – 5xa-1) : (x2 – x)
10. (38 xa+3 – 65xa+2 + 27x
a-1
) : (2xa+1 – 5xa + 3xa-1)
11. (-5ya-1 + 2ya + 2ya+1 + ya+2) : (5ya-2 + 3ya-1 + ya) 12. (9xa+2 + 3xa+1 + xa + xa-1) : (3xa – xa –1) 13. (6xa+3 + 5/2 xa+2 – 16/3 za – 4xa-1) : (3xa+1 + 2xa) 14. (x5 – 27x – x4 + 7x2 + 10) : (x2 – x + 5) 15. (31 x2 + x6 – 8x – 5x5 + 21 ) : (x3 – 7 – 2x) 16. (x3 – 10x2 + 14x – 9) : (x2 – 4x + 3)
n+2
yn+1) : 4xnyn
17. (2x3 – x2 + 3) : (x + 1) 18. (x4 – 8x2 – 9) : (x – 2) 19. (x3 – 7x – 6): (x – 3) 20. (x3 – 7x – 6) : (x + 1) 21. Calcula el valor de “m” para que : x5– 3x4 + 2x2 + 4m, sea divisible entre x – 2. 22. Calcula el valor de “m”, para que : 2x3 – 6x2 + 5x – m/4, sea divisible entre 2x – 1. 23. Calcula el valor de “m” para que : 2x4 – 5x3 + 8x2 – 5m, sea divisible entre x + 1. 24. Calcula el valor de “m” para que: x6 + 3x5 – 4x3 – x2 + n, sea divisible entre x + 2
Tarea domiciliaria 1.
La división:
x 4 2x 3 7x 2 ax b . x 2 3x 5
x 4 5x 2 nx m ; Sea exacta x2 1
Es exacta, calcular “a + b” 9. 2.
Calcular el valor de “” en:
Calcular el residuo de:
x 5 2x 4 3x 3 2x x 2
x 6 6x 3 2x 5 7x 2 4x 6 x 4 3x 2 2 10. 3.
Calcular el cociente de:
3x 3 4x 2 5x 6 3x 2 2x 1
30x 5 18x 2 7 x 3 2 x 10x 3 6 x 11. 4.
Calcular el resto de la división:
x 5 x 4 mx 3 1 x 3 x n 12.
x 5 x 4 x 2 x 1 x2 1 6.
Calcular el valor de (m+n) en la siguiente división exacta
Calcular el cociente de:
3 x 2x 4 2x 3 x 2 5.
Calcular el resto de:
Hallar el término independiente del cociente, luego de dividir:
10x 4 6x 3 37x 2 33x 9 5x 2 7 x 3
Calcular la suma de los coeficientes del residuo al dividir:
13.
4x 4 5x 3 2x 2 3x 1 x 2 2x 1
Si la división
2x 4 3x 2 ax b x2 x 3 Es exacta, hallar
7.
4
a b
Al dividir:
x 3 3x 2 7 x 5 ; Señale el residuo. x 2 1 8.
Calcular “m–n” para que la división
14.
Hallar el resto de la división
Segundo Año
División Algebraica
x 18 3x 9 5x 6 7x 1 x 2 1 15.
20.
cociente:
9x 4 2x 2 5x 6 3x 2 x 2
Si el resto de:
x 7 2n 2n
x 2 14x 47 Es 256, hallar el valor de “n” 16.
Hallar el T.I. del resto de:
U)
V)
W)
1 X)
2 Y)
3
4
5
21.
8x 6x 4x 7 3x 1 2x 2 4
Hallar la suma de coeficientes del
2
Luego de dividir:
10x 5 x 4 3x 3 17 x 2 ax 3 5x 2
A)
B)
C)
Se sabe que el residuo es 5, hallar “a”
1 D)
2 E)
3
A) 4 D) 3
4
5 22.
17.
G)
H)
0 I)
1 J)
2
3
4
3
F) 2641 G) 2728 H) 2729 I) 2700 J) 2001 23.
Hallar el residuo de la división:
6x5 5x 4 y 8x3 y2 6x2 y3 2xy 4 2y 5 2x3 3x2 y y3
Si la división: 4
Hallar el resto de dividir:
x 2 4x 1
F)
18.
C) 1
x 2 12 x 51 x 4 51 2001
Hallar el resto de:
x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1
B) 2 E) –1
2
4x 2x mx 3x n x 2 2x 1 Es exacta. Halla (m+n)
K) 0 N) y 24.
L) 1 O) y5
M) xy
Si l coeficiente del término lineal del
K)
L)
M)
cociente es –45, hallar
16 N)
18 O)
20
–20
–16
2x 5 nx 2 6x 3 7 x 3
19.
Hallar el resto de:
P) –81 S) 81 25.
3x 8 28x 4 5x 2 4 x2 3
Q) –3 T) 72
4
n
R) 3
Calcular el resto de la siguiente división:
P)
Q)
R)
5 S)
10 T)
15
20
25
x 6 321 1
x 2 12x 37 U) x+1 V) x+2 W) x+3 X) x+4 Y) x+5
Segundo Año
Cocientes Notables
Tema Nº 07: COCIENTES NOTABLES Capacid ades: Aplica cocientes notables Calcula el termino k- ésimo de un cociente notable Resuelve problemas que involucren cocientes notables
Exploración y Desequilibrio: A.
Efectúa 1. (x + y) (x – y) = x3 – y3 (x2 – y2 ) : (x + y) =
2) (x + 3) (x + 5) = x2 + 8x + 15 (x3 + 8 x + 15): (x + 5 ) =
3. (x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 8 (x3 + 8) : (x + 2) =
4) (x + 2) (2x + 1) = 2x2+ 5x+ 2 (2x2 + 5 x + 2) : (x + 2) =
Desarrollo del Tema: 1) COCIENTES NOTABLES Los cocientes notables, son ciertos cocientes que se escriben por simple inspección, sujetándose a reglas fijas y sin realizar la división. I. COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADROS DE DOS MONOMIOS entre la suma o la diferencia de los mismos. Se trata de los COCIENTES que se obtienen de las divisiones que pertenecen a estas formas: X2 – y2
x2 - y2
o
x+y
; si efectuamos las divisiones se tiene:
x-y
x2
-y2 x + y ;
-x2 – xy
x–y
-xy - y
2
x2
-x2 + xy -xy - y
+ xy + y
y2
-
2
x - y x+y
2
+ xy + y2
0
0
Por lo tanto: x2 - y2 = x – y x+y
x2 - y2 = x + y x-y
La diferencia de los cuadrados de dos monomios entre la suma de los mismo es igual a la diferencia de ellos. La diferencia de los cuadrados de dos monomios entre la diferencia de los mismos es igual a l asuma de ellos. Ejemplos: 1. x2 - 1
= x2 - 12 = x – 1
2. x2 – 4 = x - 22 = x - 2
x+1 3. 100 - z
x+1 2
2
= 10
10 – Z
- z
x+2 2
x+2
2
4. x – 36 = x2 – 62 = x + 6
= 10 + z
10 - z
x–6
x–6
ACTIVIDAD Aplicar la regla de los cocientes notables, halla el cociente de: 1) x2 - 81
2) z2 – 1
x–9 5) w
2
3) x2 - 121
z+ 1
x – 11
2
- 144
1 + 3Z
10) 9 –(2x – 1)2
x+1+1
15) 64 x6 – 81z2
7 y2 - 4
17. 49X4 – 225 y4 (2z+3)2n
8x3 + 9z
18) x2n – y2n
7x2 + 15 y2
12) 16 x6y4 -1
7x2 + 32
14) 49 y4 - 16
5x + 1
13 + 4x
11) 49 x4 - 9z2
3 - 2x + 1
13. 25 x2 - 1
8) 169 - 16x2
7) 1 - 9z
2x + 10
9 (x-1)2 - 1
6x + 2
2
6) 4x – 100
w + 12
4) 36 x2 – 4
16) 81 - x4 – 16y6 9x2 - 4Y3
19) x2n+2 – 121 y2n
xn- yn
4x3 y2 + 1
12)(x+y)2n–
xn+1 + 11yn
(x+y) – (2z +
3) II.
COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS MONOMIOS entre la SUMA O DIFERENCIA DE LOS MISMOS. Se trata de escribir por simple inspección los cocientes: X3 – y3
x3 - y3 ; si efectuamos las divisiones se obtiene:
o
x+y
x-y
x3
-y3 3
2
x+y 2
-x – x y
x –xy+y
;
x3 -
y3
2
-xy - y2
x - y X2+XY+Y2
-xy - y2
+ xy + y2
+ xy + y2
0 Por lo tanto: x3 - y3 = x2 – xy + y2
x3 - y3 = x2 + xy + y2
x +y
x-y
La suma de los cubos de los monomios entre la SUMA de los mismos es igual al cuadrado del primero MENOS el producto del primero por el segundo MAS el cuadrado del segundo. La diferencia de los CUBOS de dos monomios entre la DIFERENCIA de los mismos es igual al cuadrado del primero MAS el producto del primero por el segundo MAS el cuadrado del segundo. Ejemplos: 1) x3 + 8 = x3 + 23 = x2 - 2x + 4 x+2
x+2
2) y3 + 27 = y3 + 33 = y2 – 3y + 9 y+2
y+3
Segundo Año
Cocientes Notables 3) x3 + 64 = x3 + 43 = x2 - 4x + 16 +(5y)2 x-4
4) 64x6 – 125 y3 = (4x2)3–(5y)3 = (4x2)2 + (4x2)(5y) 4x2 – 5y
x-4
4x2 + 5y = 16x4 + 20x2 }y + 25y2
ACTIVIDAD Aplica la regla de los cocientes notables y halla el cociente de: 1) x3 + 1
2) 64 + x3
X+1
4+x
6) x12+ 27
5y
12) 216 - y3
x – y2
0m4 x3 + 9m5 y3 III.
x2 + 2y
13) 27x6 + 64y3
10) 8z6 + y9 2z2 + x3
14) 729x9 + 27y3
3x2 + 4y
9x3n – 8 y2n
20) 0,064x9 + 0,125 y9
2 – x3
x 2 - y2
17) 729x9n - 512y6n
6x2n + y2
x3 + 1 9) x6 + 8y3
6-x
16) 216x6 – 8y3n 0,001y6
5) 8 – x9
8) x6 - y6
x 4 - y5
11) x3 – y6 125y3n
4) x9 + 1
5+y
7) x12 - y15
x4 + 3
n
3) 125 + y2
15) 64x3n –
9x3 + 3y
18) x6 y9 + 27 w3 z6 x2 y3 + 3w z2
4xn –
19)0,027x3– 0,3x – 0,1 y2
21) 0,008x3 – 0,001y3 0,2x – 0,1y
COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES POR LA SUMA O DIFERENCIA DE SUS BASES. A. La diferencia de potencias iguales, ya sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de sus bases así: 1. a4 – b4 = a3 + a2b + ab + b3 a–b 2. a5 – b5 = a4 + a3b + a2 b2 + a b3 + b4 a–b B.
La diferencia de potencies iguales pares, es siempre divisible por la suma de sus bases así: 3. a4 – b4 = a3 - a2b + ab2 - b3 a+b
C.
La suma de potencies iguales impares, es siempre divisible por la suma de sus bases así: 4. a5 + b5 = a4 - a3b + a2 b2 - a b3 + b4 a+b
D.
La suma de potencias iguales pares, nunca es divisible por la suma ni por la diferencia de sus bases así:
5. a4 + b4 = No es exacta la división a+b 6. a4 + b4 = No es exacta la división a-b LEYES QUE CUMPLEN ESTOS COCIENTES: Observando los ejemplos anteriores, se tiene: 1.
El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el exponente de las variables en el dividendo. 2. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de “a” disminuye en 1 en cada término. 3.
El exponente de “b” en el segundo término del cociente es 1; y este exponente aumenta 1 en cada término posterior a este.
4.
Cuando el divisor es “a – b” todos los signos del cociente son “+” y cuando el divisor es “a + b” los signos del cociente son alternadamente “+” y “-“.
5.
Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar usando la siguiente formula: FORMA DE LOS COCIENTES NOTABLES
FÓRMULA
xn ± yn
TK = ± xn-k yk-1
x± y Donde: ”K” es el lugar del término que se pide “x” representa el primer término del denominador del cociente notable “y” representa el segundo término del denominador del cociente Notable y “n” es el exponente igual al cual están elevados cada uno de los términos del denominador del cociente y que aparecen en el numerador. SIGNO:
1 Cuando el divisor es: “x-y” Todos son “+” 2 Cuando el divisor es: “x+y”
Si : k = # impar es “+”
Si : k = # par es “-” Ejemplo 1 : Calcula el 5to término del desarrollo de: x10 – y10 x–y Solución: Aplicando la fórmula: Luego : T5 = x
10 –5
y
5-1
TK = ± xn-k yk-1 = x
5
y
Donde : k = 5
n = 10
4
Ejemplo 2: Calcula el 3er término del desarrollo de ; 64 - z6
Segundo Año
Cocientes Notables 4 – z2 Solución: La expresión dada, se puede escribir así: 43 - (z2)3 4 – z2 Por formula:
TK = ± xn-k yk-1
Donde : k = 3 ; x = 4 n = 3 ; y = z2
T3 = 43-3 (Z2)3-1 = 40 z4 = z4 Ejemplo 3: Calcula el 4to término del desarrollo de : 64 x6 – y6 2x – y Solución: La expresión dada, se puede escribir así: (2x)6 – y6 2x – y Por fórmula:
TK = ± xn-k yk-1 T4 = (2x)
6-4
y
4-1
n=6
Donde : k = 4 2
3
= (2x) y = 4x
2
y3
ACTIVIDAD 1. Calcula el 3er término del desarrollo de : x7 – y7 x-y 2. Calcula el 4to término del desarrollo de : 81x4 – 1 3x – 1 3. Calcula el 2do término del desarrollo de : 125x3 – 27 5x – 3 4. Calcula el 4to término del desarrollo de : 64x6 – 1 2x + 1 5. Calcula el 3er término del desarrollo de : x14 + 128 y7 x2 + 2y 6. T12 de: x142 –y213 x2 – y3
7) T15 de: x350 - y280 x 5 + y4
8) T42 de: x51a + y102b xs + y2b
EFECTÚA: 1) x5 – 32 x-2 5) x10 – y10 x+y 9) x15 – y10 x3 – y2
2) x6 – 64y6
3.) 64x6 – y6
x-2y
4) y8 – x8
2x + y
y+8
6) x15 – y15
7.) x9 + y9
8) x21 – y21
x 3 + y3
x+y
x 3 + y3
10) 32x10 + 243
11.) 16a4 – 81b4
2x2 + 3
12) x3 – y12
2a - 3b
x + y2
Práctica de clase 1. Halla el cociente: 2x7 – 3x5 – x4 – 2x2 + 4 x3 – 2x + 3
c) 2x4 + x3 + 2 7x
a) 2x4 + x2 – 7x + 2
e) N.A.
b) 2x4 + 4
d) 2x4 +
2. Halla en cociente: 2x -2 x +5x +32 x2–52 x + 2 5
a) 2x4 + 2 x 4
3
4
3
2
4
d) 1
e) N. A.
c)3
9. Indica el resto de dividir: (x+3) (x+5)(x+4) (x+6) +3 2(x+9) + 18
3
e) 2x4-32x3 + 11x2 - 82 x+16
a) 1
b) 3
d) 6
e) 5
c) 4
10. Determina el coeficiente del término inicial del cociente al dividir:
3. Halla el cociente: 4x12 –9x9-4x3 – 5 x3 – 2 a) 4x9 – x6 –2x3 –8
b) x6 + x2
c) x9 + x6
d) 4x9 – x6
6 x4 + 7x3 + 11x2 - 5 3x + 2
e) N.A. 4. Halla el cociente: nxn – x + n x-1
a) -3
b) -6
d) 9
e) –1
c) 3
b) nx n-1 + xn
c) x n-1 + nx
11. Calcula el cuarto término del desarrollo De:
d) nxn
e) nx n-1 + x n-2 + ... + nx + (n-1)
(x+y)18 - (x-y)12 3
(x+y) – (x-y)
5. Halla el cociente: 8x20 + 5x8 – 4x4 + 3 2x 4 + 1 16
16
b) 4x + 2x
12
16
16
12
a) 4x + 2 c) 2x
b) 4
b) x4 + x3
c) 2x + 2x + x +1 d) 2x + 3x
a) nxn-1
a) 6
+x
d) 4x
– 2x
8
2
a) 32
b) 64
d) 128
e) 81
; para:
x = 23 y = 10
c) 16
4
+ x + 2x –3
e) N.A.
12. Al dividir : x4 –2x2 – 6 por x+3 ; el resto es: a) 69 b) 62 c) 59
6. Dividir: x4 + ax3 + bx2 + a x + b el x2 + 4x + 3
d) 57
e) 54
residuo es: 6x – 7 halla :”a b” a) 6
b) 15
d)10
13. Cuál es el polinomio que dividido por x2+1 da como cociente: x+2, resto: x-3
c)12 e) 18
a) x3 – 2x2 + 2x-1 b) x3 + 2x2 + 2x-1 7. 12 x4 + 2x3 – 3x2 + 12x-9 señala el 4x2 + 2x -3
c) x3 + 2x2 - 2x-1 d) x3 + 2x2 + 2x+1 e) x3 - 2x2 + 2x +1
coeficiente del término cuadrático del cociente. a) 3
b) –1
d) -2
e) 1
c)2
8. Halla la suma de coeficientes cociente 2 x4 + 3x3 + x2 + 2x + 16 2x + 1
14. Al dividir: x4 – 2x3 + 4x2 – x +1 por x –2 es resto es: a) 3
b) 9
d) 51
e) 61
c) 15
del 15. Encuentra el resto que se obtiene en: (x+5)80 – (x+3)81 +3 (x + 4)
Segundo Año
Cocientes Notables a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
18. Qué valor debe tener “m”, en el Polinomio: 2x4 + 25 x + m, para que sea divisible por x + 3?
16. Para que valor de “m” el polinomio: P(x) = (x2 –x +m)3 + (mx-1) 3
a) 87
b) -87
d) –86
e) N.A.
c) 86
Es divisible entre (x + 2) a) 5
b) -5
d) 1
e) -1
c) 3
19. Qué valor debe tener “p” para que el Residuo de la división: x3 + px2 – x + 8 por x – 4, sea 100?
17. ¿Qué valor debe tener “m”, para que el Polinomio: 3
2
3
a) -2
b)
d) –3
e) N.A.
c) 2
2
4x + 4x y – xy + m, sea divisible 20. Dado: 4x3 – 8x2 – mx + 18, calcula el valor de “m” para que sea divisible
por x + y? a) y3
b) –y3 4
d) –y
c) y4
por: 2x – 3.
e) N.A.
3 B) 2x4y5
b) -9
d) –8
e)N. A.
x 28 128y 7 x 4 2y
21. Hallar el término de lugar 6, de: A)
a) 9
– C) 32x4y5
3 D) 2x5y4
E)
–32x5y4
x5y4
6n 22. Hallar el G.A. del término de lugar 8 xde: y 40
x n4 y 4 F)
G)
H)
I)
J)
30
20
40
50
25
23. Hallar el V.N. del término de lugar 29 de:
x 3 36 x 36 2x 3
K)
L)
M)
N)
O)
32
69
128
256
512
24. Hallar el T4 del desarrollo del siguiente C.N: P)
Q)
R)
S)
T)
X6
X5
x4
1
x
25. Hallar el número de términos de: U)4
V) 3
W) 2
X) 1
a 6n 1 a 5n a 2n 3 a n Y) 5
1
x 18 x 12 1 3
x x2
; para x = –1
c) 8
26. Hallar el T3 en: A) 9 x
x 3 x 81 3 x 3
B) 93 x
C) 33 x
D) 73 x
E)
G)13x
x
x 4 3 64
27. Halar el término lineal de: F) 12x
3
x
Z)
H)–12x
I) 10x
x
28. Hallar el término central de:
x 35 y 49 x5 y7
A) x17y27 B) x27y17 C) x21y15 D) x15y21 E) x12y13
29. Hallar el grado absoluto del quinto término de: A) a24
B) a12b12 C) ab12 D) b24
E) b18
a 75 b 30 a 15 b 6
30. hallar el G.A. del sexto término del desarrollo de: F) 45
G) 55
H) 65
I) 75
x 64 y 48 x4 y3
J) 85
Tarea domiciliaria 1. Sabiendo que el resto de la siguientes división: 5
3
2
8x + 4x + mx + p
2
es R(x) = 5x – 3x+7
2x3 + x2 + 3 Calcula los valores de: m, n , p a) 20; -9; 16
b) 20; 10; 9
c) 9; 10; 11
d) 8; 20; 5
3
4
4
3
3
b) 3x3 – x2 – 2x + 1
c) 3x2 + 6x +2
d) 3x3 + 5x2 + 1
5. Calcula el resto en: (x + a) 7 – x7 – a7 x + 2a
2. Halla el cociente : 3x + 2x – 10x + 4x+1 3 – 1/3 4
a) 3x3 + 5x e) 3x3 + x2 +1
e)11; 12; 20 5
4. Halla el cociente: 15x4 – 8x3 – 9x2 + 7x + 1 5x – 1
2
a) 3x + 9x + 1 3x+3
b) 3x + 3x – 9x –
c) 3x4 + 3
d) 3x4 + x2 + x
e) N.A. 3. Halla el cociente: 3x8 – 28 x4 – 5x2 + 4 x2 + 3
a) –126
b) 126a7
d) 127a3
e) 127a6
6. ¿Cuanto se le debe restar al dividendo Para que la división sea exacta? 3x4 – 7x3 + x2 + 5x + 3 3x2+ 2x + 1 a) 4x + 1
b) 4x – 1
d) 3x –1
e) 2x –3
b) 9x6 + 3 x2
a) 64
b) 65
c) 3x6 – 9x4 – x2 – 2
d) 3x6 – 9x4 + x2
d) 68
e) 102
e) 3x – x
2
c) 3x +1
7. Halla el resto de dividir: (x-1)6 (x-2)5 +1 x-3
a) 3x6 + 9x4 6
c) 126a6
c) 63
Segundo Año
Cocientes Notables 8. Calcula “a+b” si se sabe que el cuarto término del cociente notable al que da lugar la división x10 – y15; es igual a ; xa yb+5
15. Hallar
el
termino
desarrollo
x 21 y 21 x3 y3
x2 – y3 a) 8
b) 9
c) 6
d) 11
e) 13
16. Calcular “n”
9. La división: a125 + b175, da lugar a a5 + bm
d) 164
e) 166
c) 126
10. Calcula el 11° término del CN Correspondiente a la siguiente a) –x5 y550 b) x y5
del
x n 1 y 3n 4 x y2
18. Calcular el número de términos del
(x60 - y660) : (x5 – y55)
División:
4
x 3n 8 y 2 n 1 siguiente cociente: x2 y
da lugar 22. b) 162
lugar
17. Calcular el número de términos del
un CN Halla el grado del término a) 160
del
x 20 y n siguiente cociente: xn y5
c) x5 y550
d) x10 y500 e) x5 y5 19. Hallar el valor numérico del término 11. Da el grado del 8° término del C.N. correspondiente a la siguiente 100
División:
x
10
x
número 37 para x
120
+m
5x 9 43 5x 43
+ m12
a) 104
b) 76
d) 48
e) 102
1 de: 5
10x 9
c) 82
20. Hallar el desarrollo del siguiente C.N.
12. Halla el grado respecto a “y” del Séptimo término del CN correspondiente
x 4 3 8 x 6
a la siguiente división: a180 - y150
21. Hallar el lugar que ocupa el término de
a18 - y15 a) 60
b) 75
d) 90
e) 78
13. Hallar
el termino
desarrollo:
14. Hallar
el
desarrollo
grado
c) 84
x 28 x 49 x 4 x 7
en
el
desarrollo
x 180 y 80 x9 y4 del lugar
14
del
x 31 y 31 x y termino
101,
22. Si A es el penúltimo término del C.N.
x 40 y 10 x4 y del
lugar
3
del
Hallar A
de:
23. Hallar el grado absoluto del décimo
26. Encontrar el cociente que dio origen al
primer término en el cociente notable
que se obtiene al dividir:
24. Si
la
Origina
división: un
x
5x 1
cociente
en
y y n 5
3n 2
5n 1
x
2
99
5x 1 x
el
cual
99
un
término tiene la forma A(25x – 1) , 2
B
Calcular A–B
siguiente desarrollo: x35 – x30 + x25 – x20 + x15 – x10 + x5 – 1
27. Calcular el tercer término de:
x 82 1 x 2 1
28. Hallar T5/T10 del siguiente desarrollo:
a 51b 119 m 85 . n 34 a 3b 7 m 5 . n 2
25. El grado absoluto del término de lugar 6
x 3n 9 y 3n del siguiente C.N. ; es: x3 y2
29. ¿Cuál
es
el
tercer
x 10 32y 5 cociente? x 2 2y
término
en
el
Segundo Año
Factorización
Tema Nº 08: FACTORIZACIÓN Capacidad es: Transforma una suma algebraica en un producto de factores. Factoriza expresiones indicando sus factores primos. Aplica diversos métodos de factorización en la solución de ejercicios. Conoce equivalencias Notables, de tal manera que nos ayude a la factorización de manera directa.
Desarrollo del Tema: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTORIZACIÓN.- Factorizar un polinomio es transformarlo en un producto de dos o más factores primos. PRODUCTO
Así:
x2 + 7x + 10
La factorización o descomposición en factores de una expresión se realiza sólo para polinomios.
= (x + 2) (x + 5)
FACTORIZACIÓN CASOS DE FACTORIZACIÓN 1.
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO CON FACTOR COMÚN MONOMIO Factor común numérico es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado, está formado por el M.C.D. de los coeficientes y las letras comunes elevadas a su menor exponente. Ejemplos: Factoriza o descompone en factores: 1) 8x2y + 6x3yz – 10xy2w = 2xy(4x + 3x2z – 5yw) ¡¡AHORA TÚ!! 2) 2,4ab3 – 1,8a2b – 0,9ab = 3ab ( 3) x – 2xy + x = x ( 3
2
-
-
+
-
)
)
4) 12x y z – 15x yz – 6x y z + 9xy z = 3x2yz3 3
2 3
2
3
2
3 4
5 3
ACTIVIDAD N° 1 Factoriza los siguientes polinomios: 1) 6a + 18b
2) 12x + 8bx
3) ab2 + ab
4) x3 – x2
5) b4 – b3x
6) 36xy – 18xz
7) 6x2 – 24xy
8) 8x3 – 16x2y
9) 20ax2 + 36abx
ACTIVIDAD N° 2 Factorizar los siguientes polinomios: 1) a3bx + 3a2b2y – a4b3z
2) 2x3y2 – 7x2y + 0,6x4y2z
3) -ab2 + 8a2by – 5abx2
4) 25a2x – 30a4y + 35a3z
5) -12x2y + 18xy2 – 24xyz
6) 21a3bx – 15a2xy – 9a4bx2
7) 15a2b3c – 9a3b – 6abx
8) -24x3y + 16x2y2 – 8x2yz2
9) 50a3b3 – 40a2b4 + 30ab5x
10) -22abc + 44a2c – 66b2c
2.
FACTORIZACIÓN DE UN PONINOMIO CON FACTOR COMÚN POLINOMIO En caso de que el polinomio tenga un factor común polinomio de dos o más términos para factorizarlo se procede en la misma forma como en el caso anterior, o sea aplicando la propiedad distributiva. ab + ac = a (b + c) Ejemplos:
Factoriza:
1) 3a (x – 2y) + 6b2 (x – 2y) = 3 (x – 2y) (a + 2b2) ¡¡AHORA TÚ!! 2) 8a2 (x-2)4 + 16a3 (x-2)2 – 24a5 (x-2)3 = 8a2 (x-2)2 3) -2x – 3y + ab3 (2x + 3y) =
Recuerda que:
4) 5x (2a – 7b) – 2a + 7b) =
-a – b = -(a+b)
ACTIVIDAD N° 1 Factoriza los siguientes polinomios: 1) 3x (5a – 2b) + 2y (5a – 2b)
2) 12a (x2 – y2) + 5 (x2 – y2)
3) 4x2 (y – 1) – 9 (y – 1)
4) 7x (8m + 3) + 8m + 3
5) x + 2y – 3z (x + 2y
6) xy2 (2-a) + x2y (2-a)
7) (x-3)2 (x+2) + (x-3) (x-1)
8) 8abc3 (x+3y) – 7a2bc (x+3y)
9) (3x-2)3 (x-2) – (3x-2)2 (x+1)
10) (x+2)3 (x+5) + (x+5) (x-2)2
ACTIVIDAD N° 2 Descompone en factores: 1) 16x2 (z+2y) + 4x (z+2y)
2) 20xy3 (a-3b) + 152y (a-3b)
3) 12 (a+2b) (x-y)2 – 18 (a+b2b)2 (x-y)
4) 81 (x-3y)2 (m+n) + 27 (x-3y) (m+n)
5) -3a – 5b – (3a + 5b) 5x2
6) -6x2 + 9y2 + 4w (2x2 – 3y2)
7) 4a2 – 9b2 – 6xy (4a2 – 9b2)
8) 6a (5x – 2y – 3z) -5x + 2y + 3z
9) (x – y ) + (x-y) z – x + y 3
3.
3
2
2
10) -7x + 2y – 2ab (7x – 2y)
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS El proceso para factorizar por “agrupación de términos” consiste en agrupar convenientemente los términos de un polinomio a fin de obtener, en cada grupo formado, un factor que sea común a todos los términos, luego se procede como en el caso anterior. Ejemplos:
Segundo Año
Factorización Descompone en factores: 1) ax + ad + bc + bd
¡¡AHORA TÚ!!
Solución:
2) mx – m – x + 1
(ac + ad) + (bc + bd) a (c + d) + b (c + d) (c + d) (a + b) 3) 2x2 + 2xc – 3bx – 3bc
4) 3y2 – 2ax + 3x – 2ay2 + 4a – 2
ACTIVIDAD N° 1 Factoriza por agrupación los siguientes polinomios: 1) x3 + xz + x2y2 + y2z
2) x2 – 3xz + 2xy – 6yz
3) 3x3 – 2x2y + 3xy + 2y2
4) ax – 2ay + 3bx – 6by
5) 3x – 2x y + 3xy – 2y
6) 21x2y + 3x – 14xy – 2
3
2
2
7) 12a2 – 10ab2 + 5b3 – 6ab
8) 2ax + 3a + x + 3/2
9) x – y – y – x
10) 9a2 – 25b2 – 3a – 5b
2
2
ACTIVIDAD N° 2 Factoriza por agrupación los siguientes polinomios: 1) x3 + 3x2 – x – 3
2) x3 + 2x2y – xy2 – 2y3
3) ax2 16ay2 + bx2 – 16by2
4) xn + 1 + 3x + 2xn + 6
5) x3n + 2x2n – 2 - xn
6) x3 + xy + 2x + x2y + 2y + y2
7) 3by + az + cy + 3abz + ay + cz
8) 4ay – 10cy + 6az – 2by – 15cz – 3bz
4.
FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Hemos visto en los productos notables ya estudiados que una diferencia de cuadrados se obtiene multiplicando la suma de dos términos por la diferencia de los mismos. O sea:
(a + b) (a – b) = a2 – b2 Diferencia de cuadrados
En una diferencia de cuadrados siempre será igual al producto de la suma de dos términos, por la diferencia de los mismos. En general: a2m – b2n = (am+bn)(am – bn) Luego: Da una diferencia de cuadrados para hallar sus factores. 1) Se extrae la raíz cuadrada de cada término. 2) Se formando dos factores uno con la suma de las raíces halladas y el otro con la diferencia de dichas raíces.
Ejemplo: Factoriza:
1. x2 – 49 = (x+7)(x-7)
x
7
¡AHORA TÚ! 2. 252 – y2 = (
+
)(
-
)
3. 36a2 – 25/4= 4. 3x2 – 300 = ACTIVIDAD N°1 Factoriza los siguientes polinomios: 1) x2 - 121
2) 64 – x2
3) 36x2 – 1
4) 49 – 16x2
5) 25x2 – 4y2
6) 2x2 – 200
7) 6a2 – 6b2
8) x4y2 – 1
9) 16/9x2 – 36
10) 81 – 1/9z2
11) 144 – a2n+
12) 49x2n – y2n
ACTIVIDAD N° 2 Descompone en factores: 1) 3x2 – 9
2) 5x2 – 3
3) 7 – 2x2
4) 1/4x2m – 1
5) 1/3x4 – 16/3y4
6) x4 – 81
7) 1/25x4 – 1/9y6
8) 15 – 60x2n
9) 49a4b2 – 25x2
10) 16ax4n
11) (x+3y)2 – 4
12) (2x – 1)2 – 64
5.
FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS La suma de cubos es un producto igual a la suma de sus ases, multiplicado por el trinomio que se forma del cuadrado de la primera base menos el producto de sus bases y más el cuadrado de la segunda base. O SEA:
a3 + b3 =(a + b)(a2 – ab + b2)
Ejemplos: Factoriza: 1) 27a3 + 64b3 = (3a + 4b)(9a2 – 12ab + 16b2)
3a
4b
2) 125x3 + 1 = (5x + 1)(
5x
-
+
)
4) 0.27x3 + 0,001y3=
1
3) x6 + 1/8y3= ACTIVIDAD N° 1 Factoriza los siguientes binomios:
5) (x+2y)3 + 64z3=
Segundo Año
Factorización 1) 8x3 + 1
2) x3 + 64
3) 125x3 + 27y3
4) 8 + 1000x3
5) 1 + 27x6
6) 343x9 + 1
7) x3 + x-3
8) 729x3 + y6
9) 64 + 27x3n
10) x3n + 1
11) x6 + 1
12) 8x15 + y12
ACTIVIDAD N° 2 Descompone en factores: 1) 7x4 + 7x
2) 6x5 + 6x2y3
3) 6bx6 + 48by9
4) (a + b)3 + 125x3
5) 64(x – 3)3 + 27y6
6) (x – y)3 + (a – 2)3
7) (x2 + a)3 + (a + 2)3
8) 729(3a – y)3 + (2x + y)3
9) 0,008 (x+5y)3 + (3 – y)3
6.
FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS La diferencia de dos cubos es un producto igual a la diferencia de las bases, multiplicada por el trinomio que consta del cuadrado de la primera base más el producto de las bases y más el cuadrado de la segunda base. OSEA: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Ejemplos: Factoriza 1) 8x3 - 27 = (2x - 3)(4x2 + 6x + 9)
2x
3
2) 125x – y3 = (5x2 – y) (
+
6
5x2
+
)
3) a3 – a-6 =
y
3) 64x – (3x – 1)3= 3
ACTIVIDAD N° 1 Factoriza los binomios siguientes: 1) 2) 3) 4)
x3 - 1 x6 – 27y9 1331x9 - y3 8 - x3
5) 6) 7) 64x3 – 8)
x9 + y6 x3n - 27 y3 64x12 - 1
9) x6 - 1 10) x3 – 125y3 11) 216x3 – 125y6 12) 8x12 - y15
ACTIVIDAD N° 2 Descompone en factores: 1) 2) 3) 4)
64x6 – y9 1000x6 – y15 4x5 – 4x2 x3 – a6b9
5) 6) 7) 8)
64x3y6 – z9 8x7 – 8x4y3 1/27x3 – 1 8x6y9 – a12
9) 12ax6 – 96ay9 10) 1/216x3 – y6 11) 0,125x6 – 0,008y3 12) (2x+y)3 – 8x6
FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADO 7.
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Cuando un trinomio después de haberlo ordenado el primero y el tercer término son cuadrados y el segundo término es el doble producto de las bases de dichos términos esta clase de términos se llaman “TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS”. Todo trinomio cuadrado perfecto se descompone en dos factores binomios iguales, que se obtienen extrayendo la raíz cuadrado de los términos primero y tercero, empleando el signo del segundo término. Ejemplo: Factorizo
1) 4x2 + 28x + 49 = (2x+7)(2x+7)= (2x+7)2 2x
7
2(2x)(7) = 28x ¡AHORA FACTORIZA TÚ!
2) 25a2 – 30ab + 9b2 = 2(
)(
3) 36x2 – 12x + 1
)= 4) 25x2n + 64 + 80xn
OBSERVACIÓN: Todo trinomio cuadrado perfecto tiene su origen en el cuadrado de una suma o de una diferencia de dos términos, o sea: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Trinomio Cuadrado Perfecto
Trinomio Cuadrado Perfecto
ACTIVIDAD N°1 Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: 1) x2 + 18x + 81
6) x2 + 24x + 144
2) x2 – 20x + 100
7) x2 + 16x + 64
3) x2 + 30x + 225
8) 4x2 + 12x + 9
4) 9x2 + 30x + 25
9) 25x2 + 10x + 1
5) 49x2 + 9 + 42x
10) 121x2 + 132x + 36
ACTIVIDAD N° 2 Descompone en factores: 1) x2 – 8x + 16
6) x2 – 14x + 49
2) x2 – 26x + 169
7) x2 – 12x + 36
3) x4n – 2x2n + 1
8) x6 – 4x3 + 4
Segundo Año
Factorización 4)
x 2 2 xy y2 9 3
9) 0,04x2 + 0,12xy + 0,09y2
5) 9x6 + 1,2x3 + 0,04 8.
10) 25x2 + 10
3 x+3
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA:
x2 + bx + c
p+q=b Así: x + bx + c = (x + p)(x + q)
siendo:
2
p.q=c
“Par de números que multiplicados de el tercer término “c” y sumados de el coeficiente del segundo término “b”. Ejemplos: 1) Factorizo x2 + 9x + 14 = (x + 2) (x + 7) Porque: 2 . 7 = 14 2+7=9 ¡AHORA FACTORIZA! 2) x2 + 10x + 24 = 3) x2 – 6x – 16 = (x -
)(x
+
)
4) a4 – 16a2 + 64=
ACTIVIDAD N°1 Factoriza cada uno de los trinomios siguientes: 1) x2 + 11x + 24
8) x2 + 6x – 72
15) x2 – 13x + 40
2) x2 + 14x + 13
9) x2 + 13x + 22
16) x2 + 9x + 20
3) x2 + 2x – 8
10) x2 + 15x + 54
17) x2 + 16x + 28
4) x2 + 5x – 16
11) x2 + 5x – 24
18) x2 + 8x - 48
5) x2 + 13x – 48
12) x2 + 6x – 72
19) x2 + 5x - 36
6) x2 – 7x – 44
13) x2 + 6x – 40
20) x2 – 14x - 36
7) x2 – 15x + 56
14) x2 – x – 132
21) x2 – 12x – 64 22) x2 + 5x – 36
ACTIVIDAD N° 2 Descompone en factores: 1) x2 – 5x – 104
6) x2 – 20 + 8x
11) x2 – 27 + 6x
2) x2 + 121 + 22x
7) x2 – 56 – x
12) x2 – 72 + 14x
3) x2 + 126 – 23x
8) x2 – 96 + 10x
13) x8 – 3x4 – 18
4) x6 – 5x3 – 14
9) (ax)2 – 3ax – 18
14) a4n + 5a2n – 6
5) x6 – 3x4 – 40
10) x16 – 15x8 + 26
15) (x+2)2 + 12(x+2) + 27
9.
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA:
ax2 + bx + c
“MÉTODO DE ASPA” Ejemplos: Factorizar: 1) 2x2 + 7x + 6
= (2x + 3)(x + 2)
2) 3x2 – 10x – 8
2x
+3
+3x
3x
+2
2x
x
+2
+4x
x
-4
-12x
7x
-10x
3) 5x – 17x – 12 =
4) 3x + 23x – 36 =
2
5x
3
x
-4
2
ACTIVIDAD Factoriza cada uno de los trinomios siguientes: 1) 2x2 + x – 10
8)2x2 + 13x – 24
15) 3x2 + 14x + 8
2) 3x2 + 35x – 12
9) 4x2 – 5x – 21
16) 2x2 + 5x – 3
3) 5x2 – 28x – 12
10) 4x2 + 25x + 6
17) 5x2 + 31x + 6
4) 4x2 + 5x – 21
11) 6x2 + 7x – 3
18) 10x2 + 17x + 6
5) 3x2 – 2 – 5x
12) 2x2 – 18 – 9x
19) 4x2 – 3 – 19x
6) 5x2 – 4 – 8x
13) 2x2 – 7 – 5x
20) 6x2 + 3 + 19x
7) 3x2 – 32 – 4x
14) 5x2 – 16 – 38x
21) 6x2 – 2 – x
10.
ASPA DOBLE: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
Ejemplos: 1. Factorizar:
La expresión factorizada es: (5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1) 2. Factorizar:
La expresión factorizada es:
Segundo Año
Factorización (3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z) 11.
ASPA DOBLE ESPECIAL: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E.
Regla: 1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente, se calcula la suma del producto en aspa. 2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomio Ejemplo: 1. Factorizar
P(x) = (x2 + 3x – 5) (x2 + 2x + 3) 12.
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS: Con éste método se busca uno o más factores binomios primos
Además: 1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).
P x x x0 2. Los demás factores se encuentran al efectuar: 3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:
Divisores T. indep. de P x Posibles x0 Divisores Coef. Pr incipal de P x ceros Ejemplo: Factorizar:
Posibles ceros
P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6
Divisores 6 Divisor de 1
Posibles ceros = (1, 2, 3, 6) Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini
R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego un factor es (x – 1) Luego:
P(x) = (x – 1) (x2 – 5 x + 6) x
–3
x
–2
P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2) ACTIVIDAD
1.
Factorizar: 4x2 – 15y2 + 17xy + 12x – 9y
3.
repite.
e indicar la suma de sus factores
P(x) = x4 – 16x3 + 72x2 – 128x + 512
primos 4. 2.
Factorizar:
Los polinomios P(x) = x4 + 2x3 – x – 2
x4 – 3x3 – 7x2 + 27x - 18 Indicando la suma de sus factores primos.
13.
Factorizar e indicar el factor que se
Q(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 Tienen un factor común. Indicar la suma de coeficientes de dicho factor común
MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS: Se inspecciona el dato, comparándolo con alguna identidad conocida, la mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para constituir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato, naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen. Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.
Ejemplo: Factorizar:
x4 + 64y4
x4 + 64y4 + 16x2y2 – 16x2y2 x4 + 16x2y2 + 64y4 – 16x2y2 (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 Donde: (x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy) ACTIVIDAD Factoriza los polinomios siguientes: 1) 4x4 + y4
4) 4a4 + 81
7) a4 + a2b2 + b4
2) 4m4 + 3m2 + 9
5) 16x4 + 4x2 + 1
8) 4x4 + 3x2 + 1
3) 36m4 + 15m2n2 +4n4
6) 9x4 +2x2 + 1
9) 9x4 + 8x2y2 + 4y4
PRÁCTICA DE CLASE 1.
Después de factorizar:
a2 (b+c) – c2(b+c) – b – c; indica el factor trinomio:
Segundo Año
Factorización
2.
a) a2 – c2
b) b + c
d) a2 – c2 – 1
e) a + c
c) a2 – c2 +1
a) xp
b) yp
d) xp + y9
e) xpy9
12.
a) x + y
b) x2 + y2
d) x
e) y
e) 4x – 1
Al factorizar: x4 + 4x2 – 117 un factor a) x + 3
b) x – 3
d) x2 + 15
e) x + 1
c) x2 – 9
a) x2 + 1
b) xn + 1
d) xn–x–1
e) xn – 1
Uno de los factores de: a) x2 – x + 1
b) x2 + x + 1
c) x2 + x – 1
d) x2 + 3x + 1
e) x2 – 3x + 1 13.
Indique el número de factores primos. Q(X) = x9 (x + 1)10 (x2 +
c) xn + x + 1 1)11
Un factor de : x3 – 7x2 – x + 7 es : a) x + 7
b) x-1
d) x2+7
e) x2+7x+1
14.
Hallar la suma de factores primos. A(x) = (x + 2)(x – 1) + (x + 3)(x + 2) + x + 2
c) x2 + 1
Factorizar e indicar uno de los factores
Señala un factor de:
primos.
x
(x + y)x2 – (x + y)z2 + (x + y)y2
+ 2x y + y m
n
2n
a) xm
b) yn
d) xmyn
e) xm+yn
Un factor de: x
3n
c) xm + y2n 16.
a) x2n + xn + 1
b) x2n+2xn +1
c) x2n – xn +1
d) x2n – 2xn +1
Indicar un factor primo de: (x + y2) (x + y) + z (x + y2)
+ 1 es: 17.
e) x – 1
Indicar un factor primo: (x2+y2) (x–2y) + (x2+y2) (2x+y)
n
8.
d) 4x + 4
c) 2x + 1
x4 – 3x2 + 1; es:
c) (x-y)3
Señala un factor de:
2m
7.
b) 3x – 1
de primer grado es:
15. 6.
a) 2x – 3
Señala un factor de:
xn+2 + x3 – xn – x + x2 – 1
5.
11.
c) xm + yn
x3 – x2y + xy2 – y3
4.
Señala un factor de: 4x4 – 17x2 + 4
Señala un factor común de: 3xm+2pyn + 6xm+pyn+9 + 3xmyn+29
3.
10.
Uno de los factores de: x4 + 4; es: a) x2 – 2x + 2
b) x2 + 2x + 1
c) x – 1 +
d) x2 + x + 1
2
18.
Indicar un factor primo de: (x–3y)(x2+y2)+(x2–y2)(x-3y)+x–3y
e) No es factorizable. 19.
Factorizar: (x+y)(xy+1) +y(x+y) – (x+y)
9.
Señala el factor primero repetido de:
20.
x +x –x –1 6
4
a) x +1
2
b) x – 1
Dar un factor primo de: (x2+y2)(xy +2)+(x2+y2)(x2–1)– (x2+y2)
c) x2 + 1
21.
d) x + 2 e) x 2
Factorizar: (x+3y)(xy+2)+(xy+2)z +(x+3y+z)
22.
Factorizar:
(x+y)(x–y+z) – (x2 – y2) – x – y 23.
Factorizar: a4 – b4 ; Señalar un factor
28.
primo. 24.
Dar
un factor primo la
suma
de
los
términos
29.
Factorizar: x2 – 49
30.
Indicar la suma de coeficientes de un
independientes de los factores primos de: 2x2 – 7xy + 6y2 – 2x + y – 12 25.
Indicar un factor primo al factorizar:
factor primo de:
(a2 + b2) – (c2 + b2) 26.
x2 + 5xy + 6y2 + 9x + 22y + 20
Indicar el número de factores primos de:
27.
x8 – 44
31.
Dar la suma de los factores primos:
Factorizar: Q(x) = 18x2 – 39x + 20; A)
33.
3x
G)
3x
3x
L)
6x
3x
3x +6
M)
6x
E)
I)
3x
2x
C)
J)
2x
N)
2x
O)
D)
3x
H) 8x + 6
3x –8
E)
+2 +2 2x(x+2)(x+3) – 3(x+5)(x+3)
G) 9x
3x
+8 + 10 (x - 5) (x2 – 6x) + (40 – 7x) (x – 5)
x
A) x – 3 C) 2x – 5 B) (x + 3)2 37. Indicar la suma de factores primos de:
3x –4
– 13 +8 3x(x+2)(2x–3)+(14x+12)(2x–3)
+4 +3 Dar un factor primo de:
F) 8x
D)
+4 +5 2 (x+7) (x –6x) = (x+7) (5x–12)
H)
3x
B)
Indique cual es un factor primo.
C)
+8 – 18 Indicar un factor primo de: A)
36.
3x
+9 + 14 Dar la suma de factores primos: K)
35.
B)
+1 –5 Dar la suma de factores primos de: F)
34.
6x
Indicar un factor primo de: x2 + xy - 6y2 + 3x + 19y – 10
x2 – y2 – xz – yz 32.
Factorizar: a2 + b2 – c2 + 2ab; Indique
3x +5
D) 2x + 3 E) 2x – 3 6x(2x–1)(2x+3) – (5x-2)(2x+3) I) 9x + 6
J) 7x – 3
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1.
La suma de los factores de la expresión
3.
2.
Señala el factor primo de mayor grado
algebraica: x – xy – y – 1:
contenido en: x2 + x4y2 – y4 – x2y6
a) 2x – y
b) x+y+1
a) x+y3
b) x-y3
d) x-y
e) x+y
d) x+y2
e) x-y2
2
c) 2x-y+2
c) 1+x2y2
Al factorizar: x+y+xy2+x2y-x3-y3 en tres factores uno de dichos factores es: a) 1 + x + y
b) 1+x-y
d) x-y-1
e) –x-y-1
4.
c)1-x-y
Halla el producto de coeficientes de un factor primo de: 9x4+8x2y2 + 4y4 a) 1
5.
b) 6
c) 12
d) 18
Factoriza e indica un factor:
e)21
Segundo Año
Factorización x3 – 2x2y – xy2 + 2y3
6.
7.
8.
22.
x3 + x2 – y2 – y3
23.
a4 – 625
24.
x2y2 – 4x3 + 4xy2 – y4
25.
8x3 – 12x2 – 2x + 3
Indica el factor primo cuadrático de
26.
12xy2 + 8y3 + x3 + 6x2y
mayor suma de coeficientes, después de
27.
x4+x3 + x + 1
factorizar: x4+4x2 +16
28.
a3 – a2 – a + 1
29.
a3 + a2 – 8a – 12
30.
x2 – 8xy3 + 15y6
31.
4x2 – 29x - 24
Hallar un factor de: x5 – 2x4 – x+2,
32.
9x2 + 109xy2 + 12y4
señalando el factor de menor término
33.
a2 – 2ab + b2 – 9
independiente:
34.
4m2 – 4mn + n2 – 49
35.
x2 – y2 + 8y – 16
36.
a4 – a2 + 2a – 1
37.
30ab – 25ª2 + 4c2 – 9b2
Factoriza y da como respuesta la suma
38.
n4 + 2m2n2 + 9n4
de los factores de:
39.
x4 – 7x2y2 + y4
40.
9a4 + 26a2 +25
41.
Uno de los factores de:
a) x + 2y
b) y – 2x
d) 2x+y
e) x2 + y2
c) x – y
a) x2 + x + 2
b)x2-x +2
d) x2+2x+4
e) x2 + 7
a) x-1
b) x+1
d) x-3
e) x+2
c) x2+9
c) x+3
9(x-y)2 + 12(x2-y2)+4(x+y)2 a) y-5x
b) 5x+y
d) 8x-3y
e) 8x+3y
c) 5x-y 3m3 – 20 + 12m2 – 5m es:
9.
Al factorizar x7-x3 + 8x4 indica el número
a) m + 3
b) m2+2
de factores primos.
d) m + 1
e) m + 4
a) 4
b) 3
c) 5
d) 6
e) 2 42.
¿Cuántos factores primos tiene:
10.
(x+y)3 – (x-y)3
x5 – 4x3 + x2 – 4?
11.
27x3 – (x – y)3
a) 1
b) 2
12.
x3 + x2 – 4x – 4
d) 5
e) 3
13.
a4 + a3 – 8a – 8
14.
x6 – 2x3 + 1
15.
x5 – a2x3 – c3x2 + a2c3
16.
4a4 + b4
17.
a4 + 5a2 + 9
18.
4a2 – b2 – 2ac + bc
19.
x2+y2-z2 – 2xy
20.
16a2+b2 – c2 + 8ab
21.
4m2+9y2 + 12my – 64
c) m – 4
43.
c) 4
¿Cuántos factores lineales se obtienen al factorizar P(x)? Si: P(x)=18x4 + 25x2 – 3
44.
a) 1
b) 2
c) 4
d) 4
e) ninguno
¿Cuántos factores lineales tiene P(c) si: P(x)=3x6 – 2x3 – 1 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Tema Nº 09: fracciones Algebraicas Capacid ades:
Reconoce y clasifica una expresión algebraica racional. Opera con expresiones algebraica racionales. Resuelve problemas con expresiones algebraicas.
Exploración y Desequilibrio: A) 1)
3)
EFECTÚA
2)
2 1 4 1 3 1 3 6 6 6 2 4 1 8 1 9 7 14 14 14
4)
1 2 2 x 1 x 1
6)
5 1 5b a 2 b ab 8 3 8x 3 2 x x x2 x 3 x 3 . x2 9 x
5)
Desarrollo del Tema: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
ES RACIONAL, SI TIENE LA FORMA DE UNA FRACCIÓN.
LLÁMESE FRACCIÓN ALGEBRAICA AL
COCIENTE INDICADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS, DONDE EL DENOMINADOR DEBE TENER AL MENOS UNA LETRA O VARIABLE.
EJEMPLOS:
a 2b 6 x 5 a 3 b 3 z 3 6m x 3 1 ; ; ; ; a2 x4 ab z n x 1
* EL DIVIDENDO ES EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN Y EL DIVISOR ES EL
DENOMINADOR.
1) CLASIFICACIÓN 1.1 FRACCIONES PROPIAS CUANDO EL NUMERADOR ES DE MENOR GRADO QUE EL DENOMINADOR. EJEMPLOS:
x 1 xy 3 x 6 x 2 5 x 2 ; ; ; x 2 1 xy 2 1 x 3 2 x 3 3 x 1 1.2 FRACCIONES IMPROPIAS CUANDO EL NUMERADOR2 ES MAYOR QUE EL DENOMINADOR. 2 5 2 6 4 EJEMPLOS:
x 2 x 1 x x 3 x x x2 8 ; ; ; x x 1 x3 x 2 x 2 3x 6
1.3 FRACCIONES HOMOGÉNEAS SON AQUELLAS QUE TIENEN IGUAL DENOMINADOR.
Segundo Año
Factorización EJEMPLOS:
x 5x 2 5x 4 3x 5 ; ; ; y2 2 y2 2 y2 2 y2 2 1.4 FRACCIONES EQUIVALENTES DOS
FRACCIONES ALGEBRAICAS SON EQUIVALENTES CUANDO TIENEN EL MISMO VALOR NUMÉRICO
PARA LOS MISMOS VALORES OTORGADOS A SUS VARIABLES, A EXCEPCIÓN DE AQUELLOS QUE HAGAN CERO SU DENOMINADOR COMO POR EJEMPLO:
2
x 3 x 2
Son fracciones equivalentes para todo valor que tome “x” diferente de –3y -2
2 x 5x 6 2
SIGNO DE EQUIVALENCIA
1.5 FRACCIONES COMPLEJAS
O COMPUESTAS
CUANDO TIENEN COMO NUMERADOR Y/O DENOMINADOR OTRAS FUNCIONES ALGEBRAICAS. EJEMPLOS:
x 1 i x 1 1 1 1 1 x 1
2 2 ii ) x 1 3 3 3 3 x 1
1.6 FRACCIONES IRREDUCTIBLES SON
AQUELLAS EN QUE SUS NUMERADORES Y DENOMINADORES SON EXPRESIONES PRIMAS ENTRE
SÍ; ES DECIR, NO TIENEN FACTOR COMÚN.
EJEMPLOS:
x 2 x7 7 x3 1 ; ; x 3 x 3 x 1
; ETC, SON FRACCIONES IRREDUCTIBLES.
2) SIGNOS DE UNA FRACCIÓN LOS SIGNOS DE TODA FRACCIÓN SON TRES: EL SIGNO DE LA FRACCIÓN; EL SIGNO DEL NUMERADOR Y EL SIGNO DEL DENOMINADOR.
EJEMPLO:
Signo de la fracción (+) Signo del numerador (-) Signo del denominador (+)
- 6x . +7x
3) CAMBIOS DE UNA FRACCIÓN PODEMOS ANOTAR QUE: x x x x y y y y
e indicar que el resultado es el mismo si se cambian dos de los tres signos de la fracción.
EJEMPLOS: 1) DADA LA FRACCIÓN:
–A Y–X
B
CAMBIAMOS DE SIGNO Y ES TÉRMINO DEL NUMERADOR Y AL DENOMINADOR; OBTENIENDO:
ba ba a b yx yx x y 2) DADA LA FRACCIÓN: 5 . 1-X2 CAMBIAMOS DE SIGNO A LA FRACCIÓN A LOS TÉRMINOS DEL DENOMINADOR, OBTENIENDO:
6 6 6 2 2 2 1 x 1 x x 1
4) CAMBIOS DE SIGNOS A LOS FACTORES DEL NUMERADOR Y/O DENOMINADOR 1)
CASO: CUANDO SE CAMBIA DE SIGNO A UN NÚMERO PAR DE FACTORES, LA FRACCIÓN NO CAMBIA DE SIGNO x. y ( x )( y ) EJEMPLO: EJEMPLO 2: x. y x.( y )
z.w
2)
CASO:
z.w
z.( w)
( z )( w)
CUANDO SE CAMBIA DE SIGNO A UN NÚMERO IMPAR DE FACTORES, LA FRACCIÓN
SI
CAMBIA DE
SIGNOS.
EJEMPLO 1: EJEMPLO 3:
1 1 x x
EJEMPLO 2:
x x 2 y ( y ) 2
x x yzw ( y )( z )( w)
5) PRINCIPIOS ACERCA DE LAS FRACCIONES 1)
AL
MULTIPLICAR EL NUMERADOR DE UNA FRACCIÓN POR UN TÉRMINO CUALQUIERA LA FRACCIÓN QUEDA
MULTIPLICADA POR DICHO TÉRMINO.
EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN: 3X . 5Y MULTIPLICA EL NUMERADOR POR
2)
AL
“2Z”, OBTENIENDO:
2 z.3 x 6 xz 5y 5y
DIVIDIR EL NUMERADOR DE UNA FRACCIÓN POR UN TÉRMINO CUALQUIERA, LA FRACCIÓN QUEDA DIVIDIDA
ENTRE DICHO TÉRMINO.
EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN:
16 x 3 3x
DIVIDO AL NUMERADOR ENTRE
3)
AL
“4X”, OBTENIENDO:
16 x 3 : 4 x 4 x 2 3x 3x
MULTIPLICAR EL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN POR UN TÉRMINO CUALQUIERA, LA FRACCIÓN QUEDA
DIVIDIDA ENTRE DICHO TÉRMINO.
EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN:
3x 4y2
MULTIPLICA AL DENOMINADOR POR
4)
AL
“2Z”, OBTENIENDO:
3x 3x 2 4 y .2 z 8 y 2 z
DIVIDIR EL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN ENTRE UN TÉRMINO CUALQUIERA, LA FRACCIÓN QUEDA
MULTIPLICADA POR DICHO TÉRMINO.
Segundo Año
Factorización EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN:
6x 9x 3
DIVIDO AL DENOMINADOR ENTRE
5)
AL
6x 6x 3 9 x : 3 x 3x 2
“3X”, OBTENIENDO:
MULTIPLICAR LOS DOS TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN POR UN MISMO NÚMERO, TENDREMOS COMO
RESULTADO OTRA FRACCIÓN EQUIVALENTE.
EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN:
3x 5y
MULTIPLICO LOS DOS TÉRMINOS DE LA FRACCIÓN POR
“3X”; OBTENIENDO:
3 x.3 x 9x2 5 y.3 x 15 xy 6)
AL
DIVIDIR LOS DOS TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN ENTRE UN MISMO TÉRMINO, TENDREMOS COMO RESULTADO
OTRA FRACCIÓN EQUIVALENTE.
EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN:
8 xy 6 xz
DIVIDO LOS DOS TÉRMINOS DE LA FRACCIÓN ENTRE
“2X”; OBTENIENDO:
8 xy : 2 x 4 x 6 xz : 2 z 3z 6) SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS SIMPLIFICAR
UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA ES TRANSFORMARLA EN OTRA EQUIVALENTE E IRREDUCTIBLE.
SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN SE SUGIERE LO SIGUIENTE:
1) FACTORIZAR EL NUMERADOR Y DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN. 2) SE ELIMINA LOS FACTORES COMUNES (SE CANCELAN) EJEMPLO 1: SIMPLIFICAR: 6X3- 9X2 3AX2 SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS EL NUMERADOR: ENTONCES:
6 x 3 9 x 2 3x 2 (2 x 3) 2 x 3 a 3ax 2 3ax 2 EJEMPLO 2: SIMPLIFICAR:
x 2 5x 6 x2 x 2
SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS NUMERADOR Y DENOMINADOR: ENTONCES:
x 2 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 3 ( x 2)( x 1) x 1 x2 x 2
EJEMPLO 3: SIMPLIFICAR:
EJEMPLO 4: SIMPLIFICA:
x2 9 x2 x 6 x3 8 x2 4
Recuerda que : A - Bx A B Cx C
PARA
: ACTIVIDAD SIMPLIFICA: 1)
4)
ab 3ax
2)
6bx 2 12b 2 y
2a 12ax 2 3
5)
7)
2
3)
6b 3 y 3 18b 3 y 2 x
3
8x y 32 x 5by 4 6)
9a 2b 2 27 a 3b 3
9 xy 2 x y xy 2 2
8)
a2 x 5a 3bx 2
3
5
3ab 2 3a 6ab
9) 10)
5x2 y 15 x y 2 10 x 3 y
11)
x2 y2 3x 3 y 3 2 x 4 y 4
14)
x2 6x 9 x3
2
13)
x2 5x 6 x2
16)
x 6x 8 x4
12)
25a 3b 4 30a 4b 3 10a 3b 2 x
15)
y 2 7 y 12 y4
18)
x 2 8 x 15 x 3
2
19)
17)
x2 9 ( x 3) 2
x2 7 x 6 x6 ( x 5) 2 x 2 25
20)
2a 4 a2
21)
9a 25 x 3a 5 x 2
22)
2
x2 1 x3 1 125 x 3 64 y 3 25 x 2 16 y 2
23) 24)
7) REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR PARA
TRANSFORMAR VARIAS FRACCIONES EN OTRAS DEL MISMO DENOMINADOR SE HALLA EL
M.C.M.
DE TODOS
LOS DENOMINADORES Y SE MULTIPLICAN LOS DOS TÉRMINOS DE CADA FRACCIÓN POR EL COCIENTE QUE RESULTA DE DIVIDIR EL
M.C.M. POR EL DENOMINADOR RESPECTIVO.
EJEMPLO 1: REDUCE AL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR LAS FRACCIONES: 2 ; 5 ; 5X
3XY
7
.
9X2Y2
SOLUCIÓN: PRIMERO SE BUSCA EL M.C.M. DE: 5X; 3XY; 9X2Y2 M.C.M. ES: 45X2Y2 LUEGO SE PROCEDE: 18XY2 ; 75XY ; 45X
2 2
Y
2 2
45X
Y
35 . 45X2Y2
EJEMPLO 2: REDUCE AL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR LAS FRACCIONES:
Segundo Año
Factorización 2 ; 5 ; X
X+1
X X
+4
2
–1
SOLUCIÓN: M.C.M. ES: X(X+1)(X-1) 2(X+1)(X-1) ; X(X+1)(X-1)
5X(X-1) X(X+1)(X-1)
;
X(X+4)
.
X(X+1)(X-1)
ACTIVIDAD REDUCE AL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR LAS SIGUIENTES FRACCIONES:
3 2 5 xy ; ; x y z
1)
3a 4b 6 ; ; 2 x 3x 9 x
3)
xy 3 x 2 2 xy x ; ; 2 x y x y x y2
2)
a 3x 5 ; ; 2 3x 4 x 2 x 3
4)
4 x 5 x 3a ; ; 3 xy xy 6
6)
5)
2 5 12 ; ; 2 x 2 3x 3 6 x 2 6
3x 5 x 6c 2 10 ; ; x 2 x 2 x2 4 7)
ab 3ab 1 ; ; 3 x 3 x 9 x2
8)
3a 8 3 ; ; x 2 16 3 x 12 4 x 16
2a 3b 5x ; ; ( x 1) 2 x 2 1 2 x 2 10)
9)
8) OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 8.1 SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS SUMA DE DOS O MÁS FRACCIONES ES HALLAR UNA NUEVA FRACCIÓN; VEAMOS LOS SIGUIENTES CASOS: 1ER CASO: SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA
CON IGUALES DENOMINADORES
SUMAR DOS O MÁS FRACCIONES QUE TIENEN IGUALES DENOMINADORES, SE SUMAN SOLAMENTE SUS
NUMERADORES, DEJANDO EL MISMO DENOMINADOR.
EJEMPLO 1: SUMA :
SOLUCIÓN:
3a b 2a 3a b 2a 5a b 5x 5x 5x 5x 5x
EJEMPLO 2: SUMA:
SOLUCIÓN:
3a b 2a 5x 5x 5x
2 6m 4m x5 x5 x5
2 6m 4m 2 6m 4m x5 x5 x5 x5
2DO CASO: SUMA DE FRACCIONES
CON
DISTINTOS DENOMINADORES
PARA SUMAR DOS O MÁS FRACCIONES CON DISTINTOS DENOMINADORES, SE PROCEDE DE L SIGUIENTE MANERA: 1)
SE SIMPLIFICA CADA FRACCIÓN DADA, SI FUERA POSIBLE.
2)
SE HALLA EL M.C.M. DE LOS DENOMINADORES.
3)
SE
DIVIDE EL
M.C.M.
HALLADO ENTRE CADA UNO DE LOS DENOMINADORES Y EL RESULTADO SE MULTIPLICA POR
EL RESPECTIVO NUMERADOR.
4)
SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES EN EL NUMERADOR QUE EL DENOMINADOR.
5)
SE SIMPLIFICA LA FRACCIÓN RESULTANTE, SI FUERA POSIBLE.
EJEMPLO 1: SUMA :
2x 5y 3y 2 y2 5y 2 x (2 y ) 5 y (3) 4 xy 15 y y (4 x 15) 4 x 15 2x SOLUCIÓN: 2 3y 2 y 6y 6y2 6y2 6y2
EJEMPLO 2: SUMA:
x3 x2 x 1 x2 1
SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS LOS DENOMINADORES:
( x 3)( x 1) ( x 2)(1) x 2 2 x 3 x 2 x 2 3 x 5 x3 x2 ( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x2 1
EJEMPLO 3: SUMA: . SOLUCIÓN:
1 2 1 2 2 x 5 x 8 x 15 x 5 x 6 1 2 1 M ( x 5) ( x ) ( x - ) ( x ) ( x M
M
( x 5)(
)(
)
)
8.2 RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 1ER CASO: RESTA DE FRACCIONES QUE TIENEN CON IGUALES DENOMINADORES PARA RESTAR UNA FRACCIÓN DE OTRA Y TENIENDO AMBAS IGUALES DENOMINADORES, SE ENTRE SUS NUMERADORES, DEJANDO EL MISMO DENOMINADOR. EJEMPLO 1: DE : 3A RESTA 3B EJEMPLO 2: DE 3X RESTA: 5Z 5X2 5X2 8Y3 8Y3 SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN:
3a 3b 3a 3b 2 2 5x 5x 5x 2
3x 5z 3x 5z 2 2 8y 8y 8y 2
BUSCA LA DIFERENCIA
EL SIGNO NEGATIVO DELANTE DE UNA FRACCIÓN: CUANDO DELANTE DE UNA EXPRESIÓN HAY EL SIGNO (-); ESTE SIGNO AFECTA A TODOS LOS TÉRMINOS DEL NUMERADOR O SEA AL EFECTUAR LA RESTA SE CAMBIAN LOS SIGNOS EN EL NUMERADOR.
Segundo Año
Factorización EJEMPLO : 2DOCASO: PARA
3x 2 x 5 (3x 2) ( x 5) 3 x 2 x 5 2 x 3 y3 y2 y3 y3 y3 RESTA DE FRACCIONES
QUE TIENEN DISTINTOS DENOMINADORES
RESTAR UNA FRACCIÓN DE OTRA QUE TIENEN DISTINTOS DENOMINADORES, SE PROCEDE DE LA SIGUIENTE
MANERA:
1) SE SIMPLIFICA CADA FRACCIÓN DADA, SI FUERA POSIBLE. 2) SE HALLA EL M.C.M. DE LOS DENOMINADORES. 3) SE DIVIDE EL M.C.M. HALLADO ENTRE CADA UNO DE LOS DENOMINADORES Y EL RESULTADO EL RESPECTIVO NUMERADOR. 4) SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES EN EL NUMERADOR Y EN EL DENOMINADOR. 5) SE SIMPLIFICA LA FRACCIÓN RESULTANTE, SI FUERA POSIBLE. EJEMPLO 1: EFECTÚA :
SE MULTIPLICA POR
5x 3 2x 2 4 x 2 x 1 x2 1
SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS LOS DENOMINADORES:
5 x 3 2 x 2 4 x 2 (5 x 3)( x 1) (2 x 2 4 x 2)(1) 5 x 2 8 x 1 2 x 2 4 x 2 ( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
3x 2 4 x 1 (3x 1)( x 1) 3x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1) x 1
EJEMPLO 2: EFECTÚA:
3x 4x 4 2 x 4x 3 x 2x 3 2
SOLUCIÓN : FACTORIZAMOS LOS DENOMINADORES: 3x 4x 4 ( x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) 8.3 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON
FRECUENCIA SE PRESENTAN CASOS EN LOS CUALES HAY LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA EN UN
MISMO EJERCICIO, EN ESTE CASO SE TRATA TAN SÓLO DE LA REDUCCIÓN DE SUS TÉRMINOS.
SI DICHAS FRACCIONES TIENEN DISTINTOS DENOMINADORES SE LES REDUCE AL COMÚN DENOMINADOR Y LUEGO SE EFECTÚAN LAS OPERACIONES INDICADAS. EJEMPLO 1: EFECTÚA: SOLUCIÓN:
2a 2 x 2 4x 5 2 3 8x 3x 6x
2a 2 x 2 4x 5 8(2a 2 x 2 ) 4 x (4 x ) 3 x 2 (5) 3x 3 6 x 2 8x 24 x 3
EJEMPLO 2: REDUCE:
16a 2 8 x 2 16 x 2 15 x 2 16a 2 9 x 2 24 x 3 24 x 3 E
x3 x2 4 2 4 x 4 2x 4 2x
SOLUCIÓN:
E
x3 x2 4 ( 2 x )(2 x ) 2( 2 x) 2( 2 x)
DAMOS COMÚN DENOMINADOR, SIENDO ESTE:
E
2( x 3) ( x 2)(2 x) 4( 2 x) 2( 2 x)(2 x)
E
2x 6 (x 2 2 2 ) 8 4x 2( 2 x)(2 x)
E
2x 6 x 2 4 8 4x 2( 2 x)(2 x)
E
x 2 2 x 18 2( 2 x)(2 x)
E
x 2 2 x 18 2(4 x 2 )
2(2+X)(2-X)
PRÁCTICA DE CLASE 3x 2 8 EFECTÚA LAS x 4 SIGUIENTES x 4 ´xSUMAS 4 Y RESTAS: 1)
3)
3ab ab 5ab 2 x 2 x 2 x
3c c 6c 5x 2 y 5x 2 y 5x 2 y 3a 8a a 5 3 2
5)
5a 3a a 8x 4 x 2 x
7)
2 xy 3y 3 4 xy 2 2 x y x y x y 2a 3x 5 x 2 2a 2 (a x) (a x) a2 x2
9)
x 1 x 1 3x 8 x 1 x 1 x 1 2 xy 6 xy xy 3 4 6
11)
2)
x5 x3 x5 8 4 6 3 6 4 20 x (1 2 x) (1 2 x) 1 4 x 2 2ax x 2 3x 5 x 2 2a 2 (a x) (a x) 2 a2 x2
Segundo Año
Factorización
4) 10) 6)
12)
8)
13)
15)
17)
5 2 10(5 x 2 2 x) 3(1 5 x) 2 10 x 1 25 x 2 5( 2 x ) 2(3 x 1) x 1 x 1
19)
x2 x3 x 2 8 x 15 x 2 2 x 15
2x 1 2 x y x y 2
16)
x 1 x 1 x 1 x 1
2x 5 x2 2 x 1 x 1 x 2y xy 3 y 2 2 x y x 2 xy y 2
21)
14)
2( x 2) 3( x 1) 2x 1 2x 1
18)
5x 2 15 x 2 x 3 x 3x
20)
2x 1 3x 2 x 2 4 x 3 x 2 5x 4
22)
PRÁCTICA DOMICILIARIA HALLA EL RESULTADO DE CADA UNA DE LAS OPERACIONES
SIGUIENTES:
2)
2 x 1 x 1 8 x 12 x 4 5 10 20
3)
x 2 2 x x 2 3x x 2 x 4 6 3 12
4)
x y x y y x y
5)
3 5 2x 1 x 1 x 1 x2
6)
x 1 x 2 x 3 x 6 15a 4a 6a 10a
3a 5a a 15a 2 7 14 6
1)
x 2 2x 1 x 3 5 x 2 2x 3 3 42 14 4
7)
8)
x 2 2x 1 x 2 2x 1 2x 4 3 2 4x 2 8x 4 4 x 2 8x 4
x 3 x4 x 1 3x 3 2 x 2 x 1
9)
2x 5x 1 x 1 2 3 x 12 6 x 12 4 x 2 8 x
4 x 3( x 1) 5( x 2 2 x ) 2x 3 2x 3 4x 2 9
10)
3x 2 x 3 x 2 x 1 x 2 x3
2
11)
x3 x2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
12)
13)
1 b 2a a 2a 3 2 2 4 2 2 ab a b a b a b4
x x 3 x 1 14)2 ( 1 x )( x 2 ) ( 1 x )( x 2 )( x 3 ) x 2 x 2x 3
15)
2 x y 12 x 2 4 xy 2 y 2 7x 2 2 x y 3x 3 y 3x 3 y
17)
16)
18)
8.4 PRODUCTOS
DE
FRACCIONES
1 1 1 2 x y x y x y 2
2 1 1 ( x 2)( x 2) x x 2 4
ALGEBRAICAS
SE PROCEDE COMO SIGUE: 1)
SE
FACTORIZAN LOS NUMERADORES Y DENOMINADORES DE LAS FRACCIONES QUE SE VAN A
MULTIPLICAR.
2)
SE SUPRIMEN (CANCELAN) LOS FACTORES COMUNES EN EL NUMERADOR Y DENOMINADOR.
3)
SE MULTIPLICAN
TODOS LOS FACTORES QUE QUEDAN EN LOS NUMERADORES, EL RESULTADO
ES EL NUMERADOR DEL PRODUCTO Y DE IGUAL FORMA SE MULTIPLICAN TODOS LOS FACTORES QUE QUEDAN EN LOS DENOMINADORES, EL RESULTADO ES EL DENOMINADOR DEL PRODUCTO.
Segundo Año
Factorización EJEMPLO 1: EFECTÚA:
x 2 9 x 2 3x 2 . x2 x 6 x2 1
SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS LOS NUMERADORES Y DENOMINADORES DE CADA FRACCIÓN SE OBTIENE:
x2 9 x 2 3 x 2 ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 1) x 3 . . ( x 3)( x 2) ( x 1)( x 1) x 1 x2 x 6 x2 1 EJEMPLO 2: EFECTÚA:
x 2 81 x 11 x 3 5 x 2 2 x 12 . . . 2 x 2 10 x x 2 36 2 x 22 2 x 18 SOLUCIÓN: FACTORIZANDO LOS NUMERADORES Y DENOMINADORES DE CADA FRACCIÓN SE TIENE:
( x 9)( x 9) ( x 11) x 2 ( x 5) 2 ( x 6) ( x 9).x x 2 9 x . . . 2 x( x 5) ( x 6)( x 6) 2( x 11) 2 ( x 9) 4( x 6) 4 x 24 8.5 COCIENTES DE DOS FRACCIONES ALGEBRAICAS EL
COCIENTE DE DOS FRACCIONES ALGEBRAICAS SE OBTIENE MULTIPLICANDO LA FRACCIÓN DIVIDENDO POR EL
INVERSO MULTIPLICATIVO DE LA FRACCIÓN DIVISOR.
A B DIVIDENDO
EJEMPLO 1: EFECTÚA:
:
C D
A B
.
DIVISOR
D C DIVISOR INVERSO MULTIPLICATIVO DEL DIVISOR
x 2 7 x 12 x 2 4 x 3 : x2 x 2 x2 x 6
SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS E INVERTIMOS LA FRACCIÓN DIVISOR:
( x 3)( x 4) ( x 3)( x 2) ( x 4)( x 3) x 2 x 12 . ( x 2)( x 1) ( x 3)( x 1) ( x 1)( x 1) x2 1
x 2 x 1 2x 5 : 6 3 2
EJEMPLO 2: EFECTÚA: R SOLUCIÓN:
DAMOS COMÚN DENOMINADOR A LAS FRACCIONES QUE ESTÁN ENTRE PARÉNTESIS:
3 1 1 3( x 2) 1( x 1) 2 x 5 2 x 5 . R : 6 3 6 2x 5 2 2
R
PRÁCTICA DE CLASE MULTIPLICA Y DIVIDE LAS SIGUIENTES FRACCIONES ALGEBRAICAS:
1)
3( x y ) x 2 y 2 . 2( x y ) 6x 15 x 30 3x . 2x 5 x 10
3)
5)
7)
9)
15)
17)
( a 1) 2 4 y ( a 1) . 2y2 a2 1
5a 5 2a 2 2 . 2a 2 4a 2 10(a 2 1)
4)
x 2 11x 30 x 2 25 . x 2 7 x 10 x 2 10 x 25
6)
4a 2 4a x2 y2 . x 2 2 xy y 2 8( a 1) 2a 2 5a 3 3a 2 a 2 . 3a 2 8a 4 2a 2 a 3
x2 y2 xy x2 y2 . . y a ( x y ) axy
8)
x 2 10 x 16 x 2 9 x 8 : x 2 9 x 20 x 2 6 x 5
10)
a 2 b 2 64 x 3 a 2 ab b 2 . . 16 x 2 a 3 b 3 16 4 x x 2
36 a 2 36 12a a 2 : a 2 7a 12 a 2 5a 6
11)
13)
2)
2a x 2 y 2 . x y 8ax
1 1 2x : 2 1 x 1 x 1 2 x x
12)
x 1 x x 1 x : 6 3 6 2 a 2 2a 1 a 1 a 2 3a 2 : : a 2 1 a 1 (a 1) 2
2a 2 7 a 5 2a 2 3a 5 : a 2 3a 2 4a 2 4
14)
2a 2b 2ab 2 2ab : 2 2 a b a b a 2 ab b
16)
2a 2 a a 3 a 2 : 4 5 3 2
18) 19) 20)
6 4 6 6x : x 1 5 x 2 3 x 1 3 x 2 8 x 4 5 x 2 11x 2 3 x 2 : : 2x 1 (2 x ) 2 1 2 x 1
Segundo Año
Factorización
PRÁCTICA DOMICILIARIA EFECTÚA LAS SIGUIENTES OPERACIONES
3 x3 (1 x ) 1 x 1 x
1)
a x
1
2x 2 2 a x 2 a x
INDICADAS:
2
2)
x
1 1 1 a 1 a 2 xy x y
2 xy y x y
3)
ab a b 4x
2x 2 ab
4 a
4)
5)
ba ab a 2 a 1 1 ab 1 ab 7)
1
9)
11)
2 a 2a a 1 : 2a 3 6a 9
19)
6)
9 x2 3 x 2 x : : 1 2 3 x 3 x 9 6 x x
8)
1
x
1
1 x
1 1 x
1 x
a 1 b 1 c 1 a b c 1 1 1 a b c x2 y 1 2 y x : y x2 1 2 y x
y2 y2 y2 y2
2x 2 1 x
12)
x a xa xa x a xa xa
14)
a 1 b 1 c 1 a b c 1 1 1 a b c
16)
ax a a 1 1 ax 1 ax 1 a 1 ax a 1 ax 1 ax 1
1
x x x 1 x
ab ab ab 1 ab
10)
1
1 17)
2x 2 x 2x 1 : 2 x 1 4 5
1
x x 1 x x x 1
1
15)
x 2 x
2
1
13)
x
1
1 1 a2 2 a a
18)
20)
PRÁCTICA DOMICILIARIA
1. Después de simplificar:
d) y
a) x y d) 1
b) y x e) x2
c) 0
a) ab(a 2 b 2 )
y 2. Señala el resultado de:
R
8 2 1 2 2 ( x 3)( x 1) x 3 x 1 2
a) 1 0 d) 1 x-1 3.
b) x-1
c)
e) x+2
a) x2-1 d) 1-y2
b) 1
c)
e) x+1
( x y ) 2 ( xy 1) 2 x2 1
e) x(x+5)
10)
Efectuar: a x 2 a y 2 a M 2 xy x xy y 2 xy
b) 1-x2 e) x2
11)
b) x
bn 2na n 2nx 2nb n 2nx an bn Para: x 2 12) c)
e) x+1
a
13)
( x y) ( x y) 8 x 3 y 8 xy 3 4
b) 1
Calcular el valor de:
a
c) y2-1
1 1 2 2 ; 2 x 3 2 x 1 3x 2 x 3 x 10 x 3
a) 0
b) x(x+2)
2
2
7. Simplifica: K
a3 b3 a2 b2
a) x(x+1) x(x+3) d) x(x+4)
6. Al reducir:
Se obtiene: a) 1 0 d) x-1
ab(a b) a2 b2
x 2 5x 6 x2 x 6 2x 3 6x 2 4x 2x 3 6x 2 4x
x 1 x 1 4. Reduce: M x ( x 1) 1 x 1
5. Simplifica: T
c)
9) Señala el numerador resultante al efectuar y reducir a su mínima expresión:
b) x-a c) y-a e) y-b
x
a) 0 x d) –x
a2 b2 ab
e)
xy ( x a )( y a ) ( x b)( y b) ab a ( a b) b(b a ) a) 1 d) x-b
b)
d) a2b2
Suma:
Q
e) xy
(a 3 b 3 ) 2 (a 2 b 2 ) 3 8. Reduce: R ( a b ) 2 4( a 2 b 2 )
x 2 y 2 xy y 2 ; resulta: xy xy x 2
c)
Reducir: 2
2
ax x 2 a 2 ax x 2 a x 3 a x 3
Reducir:
a 2a b 2ab 2 b 3 1 3 2 2 3 a b a a b ab b b a 3
4
n
2
x
Tema Nº 10: relaciones binarias
2
c)
Segundo Año
Factorización
Capacidad es: Conoce el concepto de correspondencia y relación. Calcula el producto cartesiano de dos conjuntos. Conocer la dependencia e independencia que existe entre variables.
Desarrollo del Tema:
RELACIONES BINARIAS
Par Ordenado.- Un par ordenado de elementos es un conjunto de dos elementos a ^ b, el par ordenado se escribe: (a , b). Donde: “a” es el primer elemento llamado también primer componente, y “b” segundo elemento o segundo componente del par, por lo tanto ahora, es: (a ; b) ≠ (b ; a) Dicho de otro modo: si dos pares ordenados son iguales, sus componentes deben ser respectivamente iguales, así: (a ; b) = (c ; d) ; quiere decir a = c b = d Observaciones: -
Es distinto el par ordenado (2 ; 3) y el conjunto {2 ; 3}; pues en el último el orden no es esencial, mientras que en el primero sí, o sea: (2 ; 3) ≠ (3 ; 2) El orden si interesa. {2 ; 3} = {3 ; 2} El orden no interesa, porque los dos son conjuntos.
-
Es de notar que los componentes de un par ordenado no necesitan ser diferentes esto es: (3;3) ; (4;4) ; (5;5); (1;1) son pares ordenados válidos.
PRODUCTO CARTESIANO Definición.- Dados los conjuntos A B el producto cartesiano de A por B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a ; b) tal que
a Є A b Є B.
Se denota por “A x B”, se lee: “A por B” o “A aspa B”. Ejemplo: Dados los conjuntos:
simbólicamente:
A = {2 ; 3 ; 4} B = {3 ; 5}
A x B = {(a ; b)/ a Є A b Є B}
A x B = {(2,3) , (2,5) , (3,3) , (3,5) , (4,3) , (4,5)} Representación gráfica del producto cartesiano de los conjuntos.- Puede hacerse de las siguientes formas: a) Diagrama de Caminos
c) Diagrama de árbol
b) Diagrama Sagital
d) Diagrama Cartesiano
Ejemplo:
Sean:
A = {1 ; 2} B = {a , b , c}
Luego:
A x B = {(1,a) , (1,b) , (1,c) , (2,b) , (2,b) , (2,c)}
a) Diagrama de Caminos de A x B
b) Diagrama Sagital A x B
c) Diagrama del Árbol de A x B
d) Diagrama Cartesiano de A x B B c b a 1
2
A
Observación.- Recuerda que A x B ≠ B x A; siempre y cuando A B sean conjuntos. Si A tiene 2 elementos, B tiene 3 elementos, entonces A x B; tendrá: 2 x 3 = 6 elementos. TABLA DE DOBLE ENTRADA A
B 1 2
a (1,a) (2,a)
b (1,b) (2,b)
c (1,c) (2,c)
A x B {(1,a) (1,b) (1,c), (2,a) (2,b) (2,c)}
Ejercicios: 1. Si: A = {1 ; 6} B = {2 , 4}; halla: A x B, luego B x A, representa gráficamente cada producto en diagramas cartesianos. 2.
Dado: A = {2; 4; 6}, halla: A x A.
3. Dados: A = {1; 2; 3; 4} B = {a ; b ; c}, halla A x B y representa en el diagrama del Árbol. 4. Dados: A = {3;4} ; B = {2 ; 4) C = {5; 6} Halla:
b) (A x B) (A x C).
a) A x {BC}
5. De las afirmaciones siguientes coloca en cada paréntesis una “V” si es verdadero y una “F” si es falsa. a) (32;4) = (9;22) b) (1:8) = (12;23) c) (3-1;6) = (1/3;6) d) (50;√9) = (1;3)
… … … …
( ( ( (
) ) ) )
f) (52;7) = g) (6;0) = h) (24;9) = i) (2-3;8) =
(25;7) (25;7) (43;32) (1/8;8)
… … … …
( ( ( (
) ) ) )
Segundo Año
Factorización e) (9;3)
= (3;√81) … (
)
j) (13;4)
= (4 ; 1) … (
)
6. En cada ejercicio halla el valor de “x” y el valor de “y”; para que exista igualdad de pares ordenados. a)
(x + 2; 5) = (6; y-3)
b)
(2x ; 1)
= (8; y-5)
c)
8-5 ; 2y)
= (x + 1; -10)
x+1;1 2
=
2; y–2 4
6; -3 y
=
(3 ; -3)
=
-2 ; 3-y 3
d) 3 e)
x
f) 3
2-x ; -5 6
7. Halla el conjunto de A x B sabiendo que: A = {xЄN / 3 ≤ x < 6} B = { xЄZ / -2 < x ≤ 2} y elabora un diagrama cartesiano para representar dicho producto. 8. Hallar el conjunto de E x F, sabiendo que: E = { xЄZ / -3 ≤ x < 2} F = { xЄZ / -2 < x ≤ 3}. Elabora una diagrama cartesiano para representar dicha propiedad. 9. Halla el conjunto de A x B, sabiendo que: A = {2x – 1 / -2 ≤ x ≤ 1 ; x Є Z} B = {3x + 1 / -2 < x ≤ 0 ; x Є Z}. Elabora un diagrama sagital, para representar dicho conjunto. 10. Halla el conjunto de A x A sabiendo que: A = {x2 + 2 / -1 ≤ x < 3 : x Є Z} => x : -1, 0 , 1, 2. Elabora un diagrama cartesiano para representar dicho conjunto. ACTIVIDAD Ejercicio 1: De las afirmaciones siguientes: cuales son verdaderas? Coloca una dentro del paréntesis ¿Cuáles son falsas? Coloca una F dentro de los ( ). a) (x ; y)
= (y ; x)
(
)
f) (11°, 32) = (1 ; 9)
(
)
b) (x ; y)
= (x ; y)
(
)
g) (2 ; 7)
= (3 ; 7)
(
)
c)
(25 ; 4) = (5 = 4)
3
2
(
)
h) (x ; y)
= (y ; x)
(
)
3
d) (81 ; 64) = (3 = 4 )
(
)
i)
(5 : 4 )
=
(3 ; 1)
(
)
e)
= (4 ; 5)
(
)
j)
(√81; 2) =
(9 ; √4)
(
)
2
4
(2 ; 5) 4
2
3
0
5
Ejercicio 2: Si: (4 ; 7) = (a ; b) y (a ; b) = (x ; y); ¿Cuánto vale “y”? Solución: Ejercicio 3: Si: (a + 1 ; 4) = (3 ; t); }¿Cuánto vale t y cuánto vale “a”? Solución:
Ejercicio 4: Si: (3a ; 5) = (6 ; y) ¿cuanto vale “a”? Solución: Ejercicio 5: Si: x + 3 ; 7 2 Solución:
(x ; 7) ¿Cuánto vale “x”?
Ejercicio 6: Si: (82 ; 2) = (x6 ; 22) ¿Cuánto vale “x”? Solución: Ejercicio 7: Si Solución:
x+1;6 4
=
2 ; y – 1 ; ¿Cuánto vale 2
x+y 2
Ejercicio 8: Si: (n ; 3) = (x ; y) y (x ; y) = (6 ; 3); escribe dentro de cada paréntesis una F o una V, según sea Falsa o Verdadera en cada una de las siguientes afirmaciones: a) (6 ; 3) = (y ; x)
(
)
d) (3, n) = (x ; y)
(
)
b) (x ; y) = (n ; 3)
(
)
e) (6;y) =
(n ; 3)
(
)
c) (x ; y) = (6 ; 3)
(
)
f) (6 ; y) = (3 ; n)
(
)
Ejercicio 9: Escribe los pares ordenados de cada producto cartesiano y observa si se cumple la propiedad conmutativa gráfica en un diagrama cartesiano: a) A = {5 ; 2} B = (3 ; 7) Solución: A x B= { B x A = { b) P = {3 ; 5 ; 9} Q = {6 ; 0 ; 8}
=> P x Q Q x P
c) M = {a ; b ; c ; d} N = {3 ; 6}
=> M x N N x M
Ejercicio 10: Si A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} B = {a ; b ; c} Hallar A x B y grafica el productoa) En un diagrama de caminos.
d) En diagrama cartesiano.
b) En un diagrama de árbol.
e) Construir una tabla
c) En un diagrama de Sagital
de doble entrada.
Ejercicio 11: Si A = {xЄN / 3 < x < 7} Q = {xЄN / 4 ≤ x ≤ 6} Halla: A x B Ejercicio 12: Si: P = {xЄN / 2 ≤ x < 5} Q = {xЄN / 7 < x < 10} Halla: P x Q Ejercicio 13: Si: M = {xЄN / 0 ≤ x ≤ 2} N = {xЄN / 2 < x < 6}
Segundo Año
Factorización Halla: M x N Ejercicio 14: Si: R = {xЄN / 1 < x < 4} S = {xЄN / 3 ≤ x < 5} Halla: R x S Ejercicio 15: Si: P = {1; 2; 3} Q = {2 ; 6} Halla: (PQ) x Q Ejercicio 16: Si: M = {3 ; 4 ; 6} N = {3 ; 6 ; 7} Halla: (M) x M Ejercicio 17: Si: E = {3; 4; 5} F = {4; 5; 6}. Halla: (E – F) x F. Ejercicio 18: Si: A = {2; 3; 4} B = {5; 1; 8} C = {3; 1; 6} Halla: a) (AB) x C
b) A x (BC)
c) A x (B – C)
Ejercicio 19: Halla los pares ordenados correspondientes a los puntos: P1; P2; P3; P4; P5; P6 ^P7 que aparecen en los diagramas (1) (2). Ejercicio 20: Dado el conjunto : A = {1; 2; 3; 4}. Calcula la diagonal del producto cartesiano: A x A. Trazar su gráfico.
NOCIÓN DE CORRESPONDENCIA Este diagrama es el diagrama de flechas del producto A x B. Observa que se ha unido con flechas cada elemento de “A” con todos los elementos de “B”. Estos son los pares de elementos que forman el producto A y B. A x B = {(a;
), (a,
), (a,
), (e,
), (e,
), (e,
), (i,
), (i,
), (i,
)}
Ahora unimos los elementos de A con algunos de B. Al conjunto “A” se le llama conjunto de Partida y al conjunto B se le llama conjunto de llegada. Los pares de elementos correspondientes que se ha formado en éstos dos últimos conjuntos, son:
S = {(a ;
), (e ;
Observa que:
), (i ;
SC A x B
), (i ;
)}
(El grupo “S” es un subconjunto del producto A x B)
S es una correspondencia de A hacia B Una correspondencia de A hacia B es un subconjunto del producto cartesiano A x B. CORRESPONDENCIA UNÍVOCA.- Una correspondencia es unívoca cuando de cada elemento del conjunto de partida sale una sola flecha al conjunto de llegada. Ejemplo:
CÓMO CONSTRUIR UNA CORRESPONDENCIA ENTRE DOS CONJUNTOS: Para construir una correspondencia, basta dar el conjunto de Partida A, el conjunto de llegada B, y el grafo o subconjunto del conjunto producto A x B. Estos son los tres elementos esenciales de una correspondencia. Ejemplos: Sean:
A = {a; e; i; o; u} B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
La correspondencia de A hacia B, es: S = {(e;2), (e;3), (0;1), (0;3), (u;6)} grafo
Segundo Año
Relaciones Binarias
La correspondencia así definida puede también expresarse por cualquiera de los tres diagramas siguientes: DIAGRAMA TABULAR (TABLA DE DOBLE ENTRADA) B
A a e i o u
1
2
3
(e,2)
(e,3)
(0,1)
4
5
6
(o,3) (u,6)
DIAGRAMA SAGITAL
DIAGRAMA CARTESIANO 6 5 4 3 2 1
B
a
e
i
o
u
A
OBSERVACIÓN: No confundas Grafo con gráfico de una correspondencia, el grafo es el conjunto de pares que define una correspondencia, gráfico es cualquiera de los diagramas que la representan. -
Del diagrama satelital, podemos decir que: 2 es la IMAGEN de e en 3 3 es la IMAGEN de e de o 1 es la IMAGEN
de 0 y
6 es la IMAGEN
de u, mediante la correspondencia de “F”.
A su vez: “e” es el origen ó pre-imagen de 2 y de 3; “o” es el origen ó pre-imagen de 1 y de 3; “u” es el origen ó pre-imagen de 6. Esto se expresa de cualquiera de estas dos maneras siguientes:
-
e
2 ; f(e) = 2
e
3 ; f(e) = 3
e
1 ; f(o) = 1
e
3 ; f(0) = 3
u
6 ; f(u) = 6
Observamos que en esta correspondencia solamente los elementos “e”, “o” y “u” del conjunto “A” tienen imágenes en B. Su conjunto se llama DOMINIO de la correspondencia f. Se escribe así:
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 109
dom.f = {e; o; u} DOMINIO de una correspondencia f entre A y B es el conjunto de los orígenes o preimágenes de los pares de f. También observamos que solamente los elementos 1, 2, 3 y 6 del conjunto B son imágenes de otros elementos del conjunto A. Su conjunto se llama RANGO de la correspondencia f. Se escribe así:
Ran.f = {1; 2; 3; 6}
RANGO de una correspondencia f entre A, B es el conjunto de imágenes de los pares de f. CORRESPONDENCIA INVERSA Sean los conjuntos : P Q P={
;
;
;
;
;
} Q = {círculo, cuadrado, triángulo}
Se ha establecido la correspondencia: P . f . Q En este diagrama, P es el conjunto de Partida y Q es el conjunto de llegada.
Consideramos ahora al conjunto Q como conjunto de partida y P como conjunto de llegada, siendo el diagrama el siguiente: f-1 * f – 1 Es la inversa de la correspondencia f. * El conjunto de partida de una correspondencia es el conjunto de llegada de la correspondencia inversa.
El conjunto de llegada de una correspondencia es el conjunto de partida de la corresponsal inversa.
CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA Entre los conjuntos M N se ha establecido la siguiente correspondencia.
Como se observará la correspondencia es unívoca porque de cada elemento del conjunto de partida sale una sola flecha. Ahora, hallamos la correspondencia inversa veamos: -1
Segundo Año
Relaciones Binarias
También la correspondencia es unívoca porque de cada elemento del conjunto de partida sale una sola flecha. Luego:
f
f-1 son unívocas
Cuando una correspondencia es unívoca y su inversa también lo es, esa correspondencia se llama BIUNÍVOCA. APLICACIÓN.- Consideremos los conjuntos: A = {María, Manuel, Carmen, Fidel} B = {Blusa, camisa, corbata}
- como se observará la correspondencia es unívoca. - del conjunto de partida A, salen flechas de todos sus
elementos.
Para que una correspondencia sea APLICACIÓN es necesario que sea UNÍVOCA, que salgan flechas de todos los elementos del conjunto de partida. Ejemplo 1: Esta correspondencia si es aplicación porque de todos los elementos del conjunto de partida salen flechas.
Ejemplo 2:
Esta correspondencia no es aplicación, porque del elemento “o” no sale ninguna flecha.
Ejemplo 3:
Esta correspondencia no es aplicación porque
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 111
de los elementos a i salen de cada una 2 flechas.
Ejemplo 4: Esta correspondencia si es aplicación porque de todos los elementos del conjunto de partida salen flechas.
CÓMO DISTINGUIR LAS APLICACIONES: Para saber si una correspondencia es una aplicación, basta observar el conjunto de partida. Lo más sencillo es trazar el diagrama sagital, y ver si de cada elemento de A (conjunto de partida) sale una, solo una flecha.
No es aplicación
No es aplicación
Si es aplicación
RELACIONES BINARIAS Ejemplo: Si: A = {3; 4} B = {1; 2; 5; 6} Halla R (relación binaria) de A en B para la condición o relación “es menor que”. Solución: 1°
Hallamos A x B A x B = {(3;1), (3;2), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), (4;5), (4;6)}
2°
R = {(3,5), (3,6), (4,5), (4,6)} observamos que
R es un subconjunto de A x B.
Definición: Dados dos conjuntos A B llamamos Relación Binaria entre los elementos de ambos conjuntos, a un subconjunto R del producto cartesiano A x B. Simbólicamente: R = {)a,b) A x B / a A b B; según a R b} Dominio y Rango de una Relación Binaria. Dominio de una relación R. Es el conjunto formado por todos los primeros elementos o componentes de los pares ordenados que pertenecen a R se denota por D (R) Rango de una relación R. Es el conjunto formado por todos los segundos elementos o componentes de los pares ordenados que pertenecen a R se denota por R(R) . Así en el ejemplo anterior en la relación buscaría R. R = {(3;5), (3;6), (4;5), (4;6)} El dominio de R, es D(R) = {3,4}
Segundo Año
Relaciones Binarias El rango de R, es R(R) = {5,6}
Imagen de una relación R.- Cada uno de los elementos del rango de R, que satisfacen a cada elemento del dominio, se llama imagen así en el ejemplo podemos afirmar que 5 es imagen de 3 4 ; y 6 es imagen de 3 de 4. También se puede decir: 3 es pre-imagen de 5 y de 6 4 es pre-imagen de 5 y de 6 Representación Gráfica de una relación binaria. Puede hacerse de las siguientes formas: a) El diagrama sagital
b) El diagrama cartesiano
Ejemplo: sean : A = {3; 5; 7} B = {2; 4; 6; 8}; halla, grafica la relación R, definida por la condición: “a>b” Solución: 1) A x B = {(3,2), (3,4), (3,5), (3,8), (5,2), (5,4), (5,6), (5,8), (7,2), (7,6), (7.8)} 2) R = {(3,2), (5,2), (5,4), (7,2), (7,4), (7,6)} A) DIAGRAMA SAGITAL
B) DIAGRAMA CARTESIANO
D(R) = {3, 5, 7}
D(R) = {3, 5, 7}
R(R) = {2, 4, 6}
R(R) = {2, 4, 6}
Relación de A en A.- Entre los elementos de un mismo conjunto se puede establecer también una relación binaria R, llamada relación R de A en A, o simplemente R en A. Ejemplo: Sea: A = {1; 3; 5}; halla R de A en A; para “a = b” Solución: 1° A x A = {(1,1) (1,3) (1,5) (3,1) (3,3) (3,5) (5,1) (5,3) (5,5)} 2°
R
= {(1,1), (3,3), (5,5)}; aquí también: RC A x A
A) DIAGRAMA SAGITAL
B) DIAGRAMA CARTESIANO
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 113
D(R) = {1, 3, 5}
D(R) = {1, 3, 5}
R(R) = {1, 3, 5}
R(R) = {1, 3, 5}
Relación Simétrica. Una relación R de A en A, se llama simétrica: Si:
(a; b) R (b; a) R
Ejemplo: Del conjunto A = {1; 2; 3; 5} Se ha establecido una relación cuyos pares son: R = {(1;5) ; (2;3) ; (5;1) ; (3;2)} Esta relación es simétrica porque: (1 ; 5) R (5 ; 1) R (2 ; 3) R (3 ; 2) R
DIAGRAMA SAGITAL
DIAGRAMA CARTESIANO
Una relación definida en un conjunto tiene la propiedad simétrica cuando en su diagrama de flechas (sagital) no hay ningún par de elementos que esté unido por una sola flecha. Relación Reflexiva: Una relación R de A en A es reflexiva cuando: aA (a ; a) A
( se lee: para todo)
Ejem.: Sea: A = {1 ; 5; 6} y la relación en A: R = {(1 ;1), (5;1), (5;5), (5;6), (6,6)} Es reflexiva pues:
1A (1 ; 1) R 5A (5 ; 5) R 6A (6 ; 6) R
DIAGRAMA SAGITAL
DIAGRAMA CARTESIANO
Segundo Año
Relaciones Binarias
Una relación en un conjunto tiene la propiedad reflexiva cuando en su diagrama de flechas todos los elementos tienen un lazo. (
)
RELACIÓN TRANSITIVA Una relación R de A en A es transitiva: Si (a ; b) R (b ; c) R => (a, c) R Ejemplo: Dado la relación: R = {(1 ; 2), (3 ; 1), (3 ; 2), (4 ; 1), (4 ; 2)} Es transitiva, pues: i)
(3 ; 1) R (1 ; 2) R (3 , 2) R
ii)
(4 ; 1) R (1 ; 2) R (4 , 2) R
DIAGRAMA SAGITAL Una relación tiene la propiedad transitiva cuando se cumple que si un elemento está relacionado con un segundo, éste está relacionado con un tercero, el primero está relacionado con el tercero. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Una relación de R de A en A es de equivalencias, si cumple las tres condiciones siguientes: 1) aA
(a , a) A
(Relación reflexiva)
2) Si: (a ; b) A
(b ; a) R
(Relación simétrica)
3) Si: (a ; b) A
(b ; c)
R
(a ,c ) R (Relación transitiva).
Ejemplo: Dado: A = {1; 2; 3} y la Relación: R: A A: R = {(1;1), (2;2), (1;2), (2;1), (3;3)} ¿es relación de equivalencia? Solución: 1)
1A (1;1) R 2A (2;2) R
“R” es reflexiva
3A (3;3) R 2) (1;2) R (2;1) R
(1;1) R (1;1) R
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 115
3) (1;1) R (1;2) R
(1;2) R
(2;2) R (2;1) R
(2;1) R
(1;2) R (2;1) R
(1;1) R
“R” es transitiva
Luego “R” es una relación de equivalencia. Ejemplo: Dados: A = {1; 3; 5; 7; 9} B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Halla la relación de A en B, definida por la condición: a) Primera componente es igual a la segunda componente. b) Primera componente es menor que la segunda componente. c) Segunda componente es el doble de la primera componente. Solución: A x B = {… Luego: a) R1 = {(1,1), (3,3), (5,5)} Representación Sagital
D(R) = {1, 3, 5} R(R) = {1, 3, 5}
b) R2 = {(x,y) A x B / x < y} R2 = {(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (3,4) (3,5) (3,6) (5,6)} Representación Sagital c) R3 = {(x,y) A x B / x = 2y} R3 = {(1; 2), (3;6)}
PRÁCTICA DE CLASE 1.
Dado los conjuntos: E = {3; 5; 8} F = {2; 3; 4}; definimos la relación R 1 de la siguiente manera:
3.
Dados: A = {2-x/-1 ≤ x < 2 ; xZ} B = {2x + 1 /-3 < x ≤ 1 ; xZ}
R1 = {(x;y) E x F / x > y}
Define la relación R3; como: 2.
Representa
la
relación
R3 = {(x;y) AxB / y = 2x – 5}
siguiente
como un conjunto de pares ordenados.
Representa R3 como un conjunto de
Si: P = {2x/4 ≤ x < 9 ; xN}
pares ordenados. Halla su dominio, rango.
Q = {2x – 1 / 1 ≤ x ≤ 4 ; xN} Entonces: R2 = {(x;y) P x Q/y = x/2} Halla el dominio y su rango.
4.
Dado el conjunto: A = {x2-1/-2≤x 4}
pares ordenados. Halla su dominio y rango. 5.
Siendo: E = {2-x2/-3 y} a) Halla su dominio y su rango. b) Representa gráficamente.
13.
Representa la relación siguiente como un conjunto de pares ordenados, si: S = {2x / 3 ≤ x < 7 ; x N} T = {3x -1 / 4 < x ≤ 6; x N} Entonces: R = {(x ; y) S x T/y = x + 2} a) Halla su dominio y su rango. b) Representa gráficamente.
Dados: A = {2;4;6} B = {3;5;8}; definimos la relación R1 de la siguiente manera: R1 = {(x;y) AxB/x y} * Halla su dominio y su rango. * Representa gráficamente.
la
Dados: P = {1; 4; 6; 8} Q = {2; 3; 6}, definimos la relación R3 de la
siguiente manera:
siguiente manera:
R1 = {(x ; y) P x Q / x < y}
R3 = {(x ; y) P x Q / x = 2y}
Halla su dominio y su rango.
* Halla su dominio y su rango.
Representa gráficamente.
* Representa gráficamente.
Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez 117
Dado: A = {2; 4; 5} B = {1; 3;
Dados: C = {1; 2; 3; 4} } D = {2;
5.
8.
Z} Definiciones R4: R4 = {(x ; y) G x N/y = x2 + 2} Representa R4 como un conjunto de pares ordenados. Halla su dominio y su rango.
4; 5; 8}, definimos la relación R 4 de la siguiente manera: R4 = {(x ; y) C x D / x = y/2} * Halla su dominio y su rango. * Representa gráficamente.
6.
Representa
la
relación
9. siguiente,
como un conjunto de pares ordenados, sí: S = {3x / 2 ≤ x < 6; x N} y T = {3x - 2 /2 < x ≤ 5; x N} Entonces:
Dado: A = {3; 4; 5; 6} B = {4; 6; 8} y la relación: R = {(x ; y) A x B / x + y ≥ 11} ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la relación R?
11.
Dado los conjuntos: E = {1; 2; 3; 4} F = {1; 4; 6; 9} y la relación R = {(x ; y) E x F / y = x2} ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la relación R?
12.
La relación: R = {(2; 4), (4; 2), (2; 6)}; definida en el conjunto: A = {2; 4; 6}. ¿Será simétrica?
* Halla su dominio y su rango. * Representa gráficamente. Dados: A = {3 – x / -1 ≤ x < 3 ; x Z} y B = {2x + 3 / -2 < x ≤ 3 ; x Z} Definimos la relación R3 como: R3 = {(x ; y) A x B/y = 3x + 2} ; representa R3 como un conjunto de pares. * Halla su dominio y su rango. * Representa gráficamente.
Siendo: E = {3 – x2 / -2 < x ≤ 4 ; x Z} Definiciones R5: R5 = {(x ; y) E x Z/y = 3x - 1} Representa R5 como un conjunto de pares ordenados. Halla su dominio y su rango. * Halla su dominio y su rango. * Representa gráficamente.
10.
R2 = {(x , y) S x T/y = x + 1}
7.
Dados: G = {x2 – 3/-3 ≤ x < 2 ; x
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones
TEMA
Nº
11: Teoría de Ecuaciones
Capacidad es: Despeja el valor de la incógnita, aplicando propiedades de transformación para la resolución de una ecuación algebraica. Reconoce
y diferencia a las raíces y las diversas propiedades inherentes de las
ecuaciones polinomiales de primer y segundo grado. Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado. Resuelve sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variables
Desarrollo del Tema: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Resuelve: 1)
3 x2 x 5 2 10
Solución : M.C.M (5; 2, 10) 10 6 5 ( x 2) x 6 5x - 10 -4
2)
4 3 x 5
x 4x
-1 x
C.S.= -1 1. DEFINICIONES PREVIAS Para dar conceptos claros referente a ecuaciones, consideremos las siguientes definiciones: IGUALDAD: (= ; signo de la igualdad) son de expresiones aritméticas o algebraicas, que gozan del mismo valor; por ejemplo: 1) una docena = 10 unidades
2) 8 + 3 = 15-4
3) 5x = 20
IDENTIDAD: (; signo de identidad); es una igualdad por si misma evidente; por ejemplo: 1) 7 7
2) 3x 3x
3) y + 6 y + 6
INCÓGNITA O VARIABLE: Se llama así a la letra que representa el número buscado en la ecuación; generalmente se le representa por “x” 2. ECUACIÓN Es una igualdad de expresiones de las cuales una encierra cantidades desconocidas (incógnitas) a las cuales corresponden unos valores condicionales pero determinados. Por ejemplo: 2x = 10
Las cantidades desconocidas están expresadas por medio de letras, generalmente las últimas del alfabeto como son la x, y, z, etc. En la ecuación: 2x = 10; el valor de “x” es 5; porque 2 veces 5 da 10. O sea: 2x = 10 x
10 x5 2
Verificación: 2x = 10 2. 5 = 10 10 = 10 2.1.
MIEMBRO DE UNA ECUACIÓN En toda ecuación se distinguen dos partes llamadas miembros de la ecuación que se encuentran de uno, otro lado del signo de la igualdad “=”. Llámese primer miembro, la parte de la ecuación que está a la izquierda del signo de la igualdad (2x) Llámese segundo miembro, la parte de la ecuación que está a la derecho del signo de la igualdad (10); o sea en: 2x = 10
1º Miembro
2.2.
Toda ecuación consta tan sólo de dos miembros el primero y el 2º Miembro
segundo; pero cada miembro puede tener uno o más términos.
RAÍZ Y CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Si en la ecuación: 3x + 6 = 21 si a la variable “x” le damos el valor de 5, obtenemos la proposición verdadera veamos. 3 . 5 + 6 = 21 21 = 21
En este caso se dice que 5 es la raíz o solución de la ecuación: 3x + 6 = 21, y el conjunto 5 es el conjunto solución de la ecuación.
Si en la ecuación: x2 + 4x = 12, si a la variable “x” le damos los valores 2 y -6: (2)2 + 4(2) = 12
;
(-6)2 + 4(-6) = 12
En este caso se dice que 2 y -6 son las raíces o soluciones de la ecuación: x 2 + 4x = 12 el conjunto 2; -6 es el conjunto solución de la ecuación. 2.3.
SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN Es el número que al reemplazar a la variable de la ecuación la transforma en una proposición verdadera.
2.4.
CONJUNTO SOLUCIÓN El conjunto solución de una ecuación de primer grado con una variable, es el conjunto que tiene como único elemento a la raíz de la ecuación.
2.5.
RESOLVER UNA ECUACIÓN Resolver una ecuación es hallar el conjunto solución de la ecuación. Ejemplo: Dada la ecuación: 7x = 28 La variable o incógnita es “x”, la raíz o valor de “x” que satisface la ecuación es: 4. Luego el conjunto solución “5” de la ecuación es: S= 4
2.6.
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones Considerando en la ecuación sus distintos elementos, éstos pueden ser: I.
Con Respecto a los coeficientes de las incógnitas:
a) Ecuación Numéricas: Si los coeficientes de las incógnitas son números. Ejemplo: 2x2 – 3x + 7 = 0 (Los coeficientes son: 2; -3 y 7) b) Ecuaciones Literales: Si los coeficientes de las incógnitas son letras. Ejemplo: ax2 + bx + c = 0 (Los coeficientes son: a; b c). II. Con respecto a su forma a) Ecuaciones Racionales: cuando sus incógnitas no están afectadas de radical. Estos a su vez pueden ser: Ecuaciones racionales enteras o ecuaciones racionales fraccionarias. 4x2 – 5x = 21 (Ecuación racional entera)
Ejemplos:
x 1 x 1 23 (Ecuación racional fraccionaria) x2 x3 6
Una ecuación es racional fraccionaria cuando presenta letras en su denominador. b) Ecuaciones Irracionales: cuando la incógnita se encuentra dentro de un radical Ejemplos:
x3 2
x 1
x 1
III.Con respecto al número de incógnitas: pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas. Ejemplos: 2x + 1 = 3x – 4
;
es una ecuación con una incógnita: x
5x – 3y = 3
;
es una ecuación con dos incógnitas: x e y
x + 2y – 3z = 8
;
es una ecuación con tres incógnitas: x, y, z
IV. Con respecto al grado de la incógnita a) Ecuaciones de primer grado: cuando el exponente de la incógnita es uno (1) Ejemplo: 6x – 5= 7 b) Ecuaciones de segundo grado: cuando el mayor exponente de la incógnita es dos (2) c) Ecuaciones de tercer grado: cuando el mayor exponente de la incógnita es tres(3) d) En general de “n” grados: según el grado de la incógnita a toda ecuación le corresponde tantas raíces o soluciones. Veamos: Si la ecuación es de 1º grado le corresponde una raíz. Si la ecuación es de 2º grado le corresponde dos raíces. Si la ecuación es de 3º grado le corresponde tres raíces. V. Con respecto a sus raíces o soluciones Pueden ser: a) Compatibles: cuando tienen por lo menos una solución. A su vez estas ecuaciones se dividen en:
Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones.
Ejemplos: 4x – 7 = x + 8 ; tiene una raíz o solución. ; tiene dos raíces o soluciones.
x2 – 3 = 6
Indeterminadas: Si tienen un número ilimitado de soluciones. Ejemplo: 3x – (x-1) = 2x + 1; es indeterminada, esto significa que la igualdad se verifica para cualquier valor de x, es decir tiene infinitas soluciones.
b) Incompatibles o Absurdas: Son aquellas que no admiten solución. Esta ecuación resulta ser absurda, pues el signo que precede a la raíz, es positivo, luego en el segundo miembro debería aparecer una cantidad positiva y no negativa como la que aparece. Ejemplo 1:
x 1
Positivo
Negativo
Ejemplo 2: 3x + 1 = 3x + 4; también es una ecuación incompatible. 2.7.
ECUACIONES EQUIVALENTES Dos ecuaciones con las mismas incógnitas se llaman equivalentes si todas las soluciones de la primera ecuación son soluciones de la segunda y viceversa. Ejemplo: la ecuación:
x 1 7 ; y la ecuación: 3x – 5 = 3 – x; son equivalentes ya 3 2 6
que ambas se satisfacen para: x = 2 2.8.
PROPIEDAD DE LA TRANPOSICIÓN DE TÉRMINOS 1º Miembro:
2º Miembro
lo que está sumando Sumando
Restando
Restando
Sumando
Multiplicando
Dividiendo
Dividiendo Así:
pasa
Multiplicando
1) x + 8 = 13 x = 13 – 8 3) 6z = 18 z = 2.9.
18 6
2) y – 9 = 6 y = 6 + 9 4)
w 4 w 4.3 3
REGLA PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Para resolver una ecuación de primer grado con una variable se puede seguir este orden: 1) Se suprimen los signos de colección, si los hay. 2) Se reduce la ecuación al común denominador, si es fraccionaria. 3) Se reúnen las variables en el primer miembro y los demás en el segundo (transposición de términos). 4) Se reducen los términos semejantes, si los hay. 5) Se despeja la variable. 6) Se comprueba la ecuación resuelta, reemplazando la variable por el valor hallado, reduciéndola a una identidad.
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones
3. VOCABLO MATEMÁTICO Para que una ecuación esté bien planteada; es recomendable que tengan en cuenta las “palabras” que a continuación mencionamos, que traducidas al vocablo matemático, significan los siguiente: A) Palabras
Significado Matemático
DE DEL
PRODUCTOS
DE LOS Ejemplo 1: El triple de un número 3
x
N
Ejemplo 2: El doble de la tercera parte 2
x
Ejemplo 3: El 20%
1/3
de los
20/100
de x
3/4 de
x
¾
x
un número. N
30% de un número 30/100 x
N
B) Palabras ES; EN; SERÁ; SEA; TENDRÁ;
Significado Matemático
OBTIENE;
IGUALDAD
TIENE; RESULTA. Ejemplo 1: La mitad de un número es ½
x
N
la cuarta parte de 20
=
Ejemplo 2: La quinta parte de un número 1/5 Ejemplo 3: Qué número
x
N
¼ será
+
el doble
=
hay que sumarle a 8
N
x 20
2
de 3. x
3
para que sea 12.
8
=
12
ACTIVIDAD Traduce los siguientes enunciados de la forma simbólica. FORMA VERBAL a) Un número aumentado en 15 b) El cuádruple de un número aumentado en 3 c) El cuádruplo de un número aumentado en 3 d) Cinco veces un número disminuido en 7 e) El cubo de un número, aumentado en 2 f) El triple de un número es igual al doble de éste aumentado en 13 g) La suma de tres números consecutivos es 24 h) El quíntuplo de un número disminuido en 8 es igual al doble del mismo número.
FORMA SIMBÓLICA
PRÁCTICA de clase Resuelve los siguientes problemas:
1)
2x 3 1 x4
6)
4 2 6 x 25 x 5 x 5
2)
x 1 x 3 x2 x5
7)
x5 x4 2 0 2 x 4 x 4x 4
3)
4x 3 4x 7 2x 1 2x 5
8)
8 x3 5 x x 1 x 11 x 1
4)
1 2 3 0 x 2 x 3 x 4
9)
3 2 5 x 3 3 x 9 x2
5)
2x 1 8 2x 1 2 2x 1 1 4x 2x 1
10)
11)
2
2
xa xb a b 1 a 2 b2 ab
Qué número debe restarse al numerador y denominador de la fracción 3/8 para que la fracción resultante sea igual a 1/6?
12)
Halla un número cuyo inverso sea igual a 6 dividido por el número aumentado en 45.
13)
El cociente de 612 entre los 2/3 de un número es 17. Halla el número.
14)
El valor de una fracción es igual a 2/5. Si el denominador de la fracción excede a su numerador en 24. ¿cuál es la fracción?
15)
Un número consta de dos cifras. La cifra de las decenas excede a la cifra de las unidades en 7. Si el número aumentado en 7 se divide por la suma de sus cifras, el cociente es 9. Halla el número
16)
Actualmente un padre tiene 26 años más que su hijo. Dentro de 6 años, el cociente de ambas edades será 2 y el residuo 6. Halla las edades actuales. Dar el denominador de dicha fracción.
17)
Si la edad de Nataly es 3 veces la edad de Vanesa, y sus edades suman 48años. ¿Dentro de cuántos años, será la edad de Vanesa la mitad de la edad de Nataly?
18)
La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la diferencia de los cocientes es 6. ¿Cuáles son los números?
19)
Antonio tiene 18 años más que Fidel. Hace 18 años, la edad de Antonio equivalía a los 5/2 de la edad de Fidel. Halla la edad que tiene Antonio.
20)
En un gallinero hay 5 pavos más que gallinas y 3 patos más que pavos. Si en total hay 49 aves. ¿cuántas gallinas hay?
PRÁCTICA Domiciliaria Resuelve las siguientes ecuaciones:
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones 1) 2x + 5 = 9
6) 2 x 4
2) 7(x + 3) = 35
7)
4 1 x
3) 3 + x – (5 – 2x) – 1 = 3
8)
1 2 x 1 1 2y
4)
3(5 x 2) x 17
9)
5)
x2 4 1 3
10)
11) 12)
Si al cuadrado de un número natural se
cociente 4.
le resta su menor se obtiene el cuadrado
Halla dos números cuya suma es 14, y el
de su antecesor. Halla dicho número.
16)
La
suma
de
tres
números
pares
consecutivos es igual a 300. ¿Cuáles son
mayor se divide por el menor, el cociente
dichos números? 19)
Gasté los 2/7 de lo que tenía y S/.20
La diferencia de dos números es 6 y el
más quedándome con la quinta parte de
cociente del mayor por el menor es 4/3.
lo que tenía y S/. 16 más ¿Cuánto tenía?
Halla los números. 15)
18)
La suma de dos números es 22. Si el es 3 y el residuo 2. Halla los números.
14)
7 2 1 10 x x
Halla dos números cuya suma es 60 y su 17)
cociente del mayor por el menor es 4/3. 13)
x 2x 1 6 9
20)
El numerador de una fracción excede en
La diferencia de dos números es 32 si al
5 unidades al triple del denominador.
mayor se divide por el menor, el cociente
Cuando simplificamos la fracción nos
es 5 y el residuo 4. Halla los números.
queda 17/4.
La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 1 a la cifra de las unidades. Si el número se divide entre la cifra de las decenas, el cociente es 10 y el residuo 5. Halla el número.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Exploración y Desequilibrio: Resuelve:
1) x2 = 16
2) x2 + 7x + 12 = 0
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1. DEFINICIÓN.- Una ecuación se llama de segundo grado o cuadrática cuando después de quitar denominadores, reducir términos semejantes y pasar todos sus términos al primer miembro, adopta la forma típica: ax2 + bx + c = 0 Donde: ax2 término cuadrático. Además: a 0 bx término lineal. b R término independiente. c R
c
Los coeficientes “b” y “c” pueden ser nulos. Entonces la ecuación de segundo grado toma las formas siguientes: Si: c = 0
ax2 + bx = 0
ii) Si: b = 0
ax2 + c
iii) Si: c= b = 0
ax2 = 0
i)
=0
ECUACIONES INCOMPLETAS
Resolver una ecuación de segundo grado es hallar los valores de la incógnita “x” que hacen cierta la igualdad: ax2 + bx + c = 0; convirtiéndola en una Identidad. Estos valores que toma “x” son las raíces o soluciones de dicha ecuación. 2. RESOLUCIÓN ALGEBRAICA.- Para hallar las raíces distinguiremos tres casos, según que el trinomio sea incompleto o completo. CASO I: Si: b = 0 la ecuación es de la forma:
ax2 + c = 0
Ejemplo: Resuelve 3x2 – 12 = 0 Solución:
Comprobación:
3x – 12 = 0
Para: x = 2
2
3x2 = 0
3x2 – 12 = 0 3(2)2 – 12 = 0
x2 = 4
x2
12 – 12 = 0 (cumple)
4
x =±2 x1 = 2 x1 = Primera raíz x2 = -2 x2 = Segunda raíz C.S. = -2;2
Para: x = -2
3(2)2 – 12 = 0 12 – 12 = 0 (cumple)
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones
ACTIVIDAD Resuelve las siguientes ecuaciones:
6) 2x2 – 8 = 0
1) x2 – 36 = 0
7) 5x2 – 2 = 23
2) 3x2 = 48
8) 4y2 – 16 = 3y2 + 20
3) x2 + 7 = 3
9) (x+2)(x-2) = -5
4) 75x – 5 = 0 2
5)
10)
y2 y2 5 y2 y2
CASO 2: Si: C=0
La ecuación es de la forma :
2 x 2 6 x 2 4 5 x 2 10 0 2 4 7 ax2 + bx = 0
Ejemplo: Resuelve: 2x2 – 6x = 0 Solución:
Comprobación
Sacando el factor común “x”, tenemos:
Para: x1 = 0
x(3x-6) = 0
2(0)2 – 6(0) = 0
Igualando cada factor a cero:
0
=
i)
x1 = 0
Para: x2 = 2
ii)
3x – 6 = 0
2(2)2 – 6(2) = 0
3x = 6
8–8
0 se cumple
= 0 se cumple
x2 = 2 C.S.= 0;2 ACTIVIDAD Resuelve las ecuaciones siguientes: 1) x2 – 3x = 0
7)
5x2 = 30x
2) 3x2 – 9x = 0
8)
7x = -14x2
3) 6x2 – 2x = 0
9)
(x+2)2 – (x-1)2 = x2 +3
4) (2x – 5)2 – 25 = 0 5)
x2 x 6 3 2 10 5
10)
y2 y6 2 y 1 y 3
6) x2 + 5x = 0 CASO 3: Ecuación Completa:
ax2 + bx + c = 0
Las ecuaciones completas de segundo grado se resuelven por factorización y aplicando la fórmula general. A) Resolución de una ecuación de segundo grado por factorización Dada una ecuación de segundo grado, es posible que podamos factorizar su primer miembro. Si fuera así, aplicando entonces la propiedad de que, si el producto de dos factores es cero, cada factor es cero, podemos hallar muy fácilmente sus raíces. Ejemplo 1: Resuelve: x2 – 5x + 6 = 0
Solución:
Comprobación:
Factorizando el primer miembro:
Para: x1 = 2
(x-2)(x-3) = 0
x2 – 5x + 6 = 0
Igualando cada factor con cero:
(2)2 – 5(2) + 6 = 0
x -2 = 0 x1 = 2
4 - 10 + 6 = 0
x – 3 = 0 x2 = 3
0=0
C.S. = 2;3
Para: x2 = 3 (3)2 – 5(3) + 6 = 0 9
- 15 + 6 = 0 0=0
ACTIVIDAD Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones: 1) x2 – 3x + 2 = 0
6) x2 – 6x – 16 = 0
2) 2x2 – 3x – 2 = 0
7) 3x2 – 21x + 36 = 0
3) 9x2 = 12x – 4
8) x2 + x – 6 = 0
4) x2 + 5x – 14 =0
9) 5x2 – 3x – 2 = 0
5) 4x2 + 4x = -1
10) 6x2 – 11x + 3 = 0
Deducción de la fórmula general, consideremos la educación general de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 1. Transpongamos el término independiente “c” al segundo miembro: ax2 + bx = -c 2. Multipliquemos por 4a los dos miembros de esta ecuación: 4a2x2 + 4abx = -4ac 3. Sumamos b2 a los dos miembros de esta ecuación, y se tendrá: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac 4. Se ha formado así en el primer miembro el cuadrado del binomio 2ax + b, luego la ecuación anterior se puede escribir así: (2ax + b)2 = b2 – 4ac 5. Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros, se tiene: 2ax + b = ± b 2 4ac 6. Transponiendo “b”: 2ax = - b ± b 2 4ac 7. Despejando “x” resulta finalmente:
x
b b 2 4ac 2a
Que es la fórmula general de las ecuaciones de 2º grado, obteniéndose las dos raíces al considerar el doble signo ± de la raíz cuadrada, es decir:
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones
x1
b b 2 4ac ; 2a
x2
b b 2 4ac 2a
Teniendo en cuenta: a coeficiente del término cuadrático. b coeficiente del término lineal c término independiente.
B) Resolución de una ecuación de segundo grado aplicando la fórmula general. Ejemplo: Resuelve: 3x2 – 5x + 2 = 0 Solución: Valores:
Fórmula General
a=3 b = -5
x
b b 2 4ac 2a
c=2 Reemplazando:
x
( 5)
( 5) 2 4(3)(2) 2(3)
Las raíces son:
x1
5 1 6 1 6 6
5 1 4 2 x2 6 6 3
5
25 24 5 1 5 1 6 6 6 Comprobación: Para x1 = 1
Para x2 =
3(1)2-5(1)+2 = 0
2 3 3
3
- 5 +2=0 5–5 =0
2
2 3
2 5 2 0 3
4 10 20 3 3
-2+2=0
ACTIVIDAD Resuelve las siguientes ecuaciones, aplicando la fórmula general: 1) x2 + 4x + 3 = 0
2) x2 + 3x – 10 = 0
2) x2 – x – 20 = 0
3) x2 – 7x + 11 = 0
3) 3x2 + 5x + 1 = 0
4) 11x2 + 7x + 1 = 0
4) 5x2 – 7x – 1 = 0
5) 3x2 + 50 = 25x
5)
x3 x2 1 2 3x x
6) 2
2x 1 1 3 2x 1
3. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
SUMA DE LAS RAÍCES Las dos raíces de la ecuación general: ax2 + bx + c = 0, son: 1) x1
b b 2 4ac 2a
2) x 2
b b 2 4ac 2a
Sumando miembro a miembro estas dos igualdades resulta:
x1 x 2
2b 2a
x1 x 2
b a
Lo que nos dice que: La suma de las raíces de una ecuación completa de segundo grado es igual al coeficiente del término de primer grado, con el signo cambiado, dividido por el coeficiente del primer término. Ejemplos: a. Halla la suma de las raíces de la ecuación: 2x2 – 6x – 3 = 0 Solución: Tenemos: x1 + x2 =
b 6 3 a 2
b. Halla la suma de las raíces de la ecuación: 3x2 + 5x – 1 = 0 Solución: Tenemos: x1 + x2 =
b 5 a 3
PRODUCTO DE LAS RAÍCES Multiplicando miembro a miembro en igualdades (1) y (2), se tiene:
x1 x 2
b
b 2 4ac b b 2 4ac 4a 2
El numerador del segundo miembro es el producto notable: suma por diferencia, luego es igual a la diferencia de cuadrados, y por lo tanto:
x1 x 2
b 2
x1 x 2
b 2 4ac 4a 2
2
b 2 b 2 4ac 4ac c 4a 2 4a 2 a
c a
Lo que nos dice que: El producto de las raíces de una ecuación completa de segundo grado es igual al término independiente dividido por el coeficiente del primer término. Ejemplos: 1. Halla el producto de las raíces de la ecuación: 5x2 – 3x + 10 = 0 Solución.
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones Tenemos: x1 x 2
c 10 2 a 5
2. Halla el producto de las raíces de la ecuación: 3x2 – 4x – 7 = 0 Solución: Tenemos: x1 x 2
c 7 a 3
En particular si el coeficiente del primer término es igual a la unidad (a = 1), entonces, la ecuación general toma la forma: x2 + bx + c = 0 Y se tiene: x1 + x2 = -b
x1 .
x2 = c
Es decir: 1º La suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado. 2º El producto de las raíces es igual al término independiente. Ejemplos: 1. Halla la suma y el producto de las raíces de la siguiente ecuación: x2 + 8x + 15 = 0 Solución: Tenemos:
a) x1 + x2 = -8 b) x1 . x2 = 15 ACTIVIDAD
Halla la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones: 4. 6y2 + 4y + 3 = 0 1. 5x2 – 3x + 7 = 0 2. 2x2 – 3x + 5 = 0 3. y2 + 3y – 10 = 0
5.
2 2 1 x x 1 0 3 3
6. x2 + 7x + 12 = 0
9. x2 – x – 20 = 0
7. x2 – 5x + 1 = 0
10. -2x2 + 3x + 2 = 0
8. my2 – my – 7 = 0 4. APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Formación de una ecuación de segundo grado conocidas las raíces: acabamos de ver que si a=1, la ecuación general se expresa: x2 + bx + c = 0 y que si: x1 x2 son las raíces de la ecuación, se tiene: x1 + x2 = - b x1 . x2 = c Estas relaciones que dan la suma y el producto de las raíces, permiten forman una ecuación que tengan raíces conocidas. En efecto, basta tomar una ecuación cuyo término sea “x2”, y en la que el coeficiente de “x” sea la suma de las raíces dadas, con signo cambiado, y el término independiente sea el producto de las mismas.
Ejemplos: x2 = 4
1. Forma la ecuación cuyos términos sean: x1 = 2 Solución: Tenemos:
a) x1 + x2 = 2 + 4 = 6 b) x1 . x2 = 2 . 4 = 8
Ecuación: x – 6x + 8 = 0 2
1 2
2. Forma la ecuación cuyas raíces sean: x1 =
x2 = -
1 3
Solución: Tenemos:
Ecuación: x2 -
a) x1 + x2 =
1 1 3 2 1 2 3 6 6
b) x1 . x2 =
1 1 1 . 2 3 6
1 1 0 6x2 – x – 1 = 0 x6 6 ACTIVIDAD
Forma las ecuaciones cuyas raíces: x1 x2 sean, respectivamente: 1) 7 y 4 5)
1 y6 2
9)
5 3 y 6 4
2) -3 y -5
3) 5 y -2
2 3
7) 4 y
6) -1 y 10)
2 3 y 3 5
4) -8 y 1
2 5
11) 2m y -7m
8)
2 2 y 5 3
12) 2+ 3
y 2
PRÁCTICA DE CLASE Resuelve las siguientes ecuaciones: 1. x – 25 = 0 2
2. 3(x2 – 25) = 0
15. Los
3 de un número es igual al cociente 4
de 48 por el número. Halla el número.
3. 4x2 – 12x = 0 4. 2x(x-5) = x2 -4x 5. x2 – 10x + 24 = 0 6. 5x2 – 21x + 4 = 0 7. 3x2 + 22x – 16 = 0 8. 2x2 – 15 = 3 9. 4x(x+1) = 4x +1 10. 5x2 – 20x = 0 11. 4(x2 + x) = 6x(x-1)
16. El cuadrado de un número, diferente de cero, es igual a 4 veces el mismo número. Halla el número. 16. El producto de dos números naturales consecutivos es 156. Halla los números. 17. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 85. Halla los números.
12. El cuadrado de un número disminuido en 18. Si un número se disminuye en 1, su cua8, da 17, ¿cuál es el número? drado es igual a los
9 del mismo núme4
3
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones 13. La suma de un número con 6 multiplicado por su diferencia, da 13. Halla el número.
ro. Halla el número. 19. La suma de dos números es 3. Si la razón de sus cuadrados es
14. La edad de un padre es el triple que la de su hijo, y la suma de los cuadrados de ambas edades equivale
números?
a 1440 años.
¿cuántos años tiene cada uno?
1 , ¿cuáles son los 4
20. El área de un triángulo es 52cm ¿Cuáles son sus dimensiones si su altura mide 5m más que su base?
PRÁCTICA DOMICILIARIA Resuelve los siguientes problemas: 1. x2 + 6x – 55 = 0
8.
x2 – 2x – 35 = 0
2. 6x2 + 11x + 3 = 0
9.
2x2 – 26 = 10 – 7x2
3. (x+1)(x-1) = 2
10. 2x2 + x = 5x2 – 3x
x x 2 2x 6 2 3
11. 3x2 + 11x + 10 = 0
4.
5. x2 + 21x + 108 = 0
12. x2 – 2x – 360 = 0
6. ¿Cuál es el número que multiplicado por su 13.El área de un rectángulo es 256 cm2 si su mitad da 288?
base es el cuádruplo que su altura. ¿cuáles son sus dimensiones?
7. Hace 7 años el cuadrado de la edad de Elena, era igual a 49. Hallar su edad 14.El cuadrado de la cuarta parte de un actual.
número, diferente de
cero, es igual a su
mitad. Halla el número. 15. Si al cuadrado de un número se agrega su duplo, se obtiene 80. Halla el número. 16. La suma de dos números es 25 y su producto 126. Halla los números. 17. Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 9 es igual a 160. 18. Halla un número natural cuyos
2 2 multiplicado por sus da 540. 5 3
19. El área de un círculo es igual a 78,50m2. Calcula su radio. 20. El área de un rectángulo es igual a 128cm2. Calcule sus dimensiones sabiendo que la base es el duplo de su altura.
Sistema de ECUACIONES I. Sistema de ecuaciones.- Vamos a estudiar sistema de ecuaciones con dos incógnitas, normalmente "x" e "y" de primer grado es decir que el mayor exponente de las incógnitas sea uno.
a x by e (I) c x dy f (II)
Formacanónica: donde "x" e "y"; son las incógnitas
Ejm:
2x 5y 7 (I ) 4x - 7y 1 ; 4x 3y 15 (II ) 3x 4y 10
II. Solución de un sistema.- La solución de un sistema es el conjunto de valores de la variable que transforman las ecuaciones en igualdades. Resolver un sistema es encontrar su solución:
S is te m a
I g u a ld a d e s
S o lu c ió n
3x - 5y = 1 4x + 3y = 11
x = 2; y = 1
2x - 3y = 12 4x - y = 7
x = 3; y = 2
3(2) - 5(1) = 1 4 (2 ) + 3 (1 ) = 1 1
III. Principios de equivalencia. Primer principio: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta el mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente. Segundo principio: Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un mismo número o expresión algebraica se obtiene otra ecuación equivalente. Nota: De estos dos principios se deducen las reglas de transposición que se usan para transformar en sistema en su forma "canónica" Ejm: Expresar en su forma canónica el siguiente sistema:
x + 4 - y = 2 3 x - 1 + 3y = 5 2
x + 4 - 3y = 6
x - 3y = 2
x - 1 + 6y = 10
x + 6y = 11 " F o r m a c a n ó n ic a "
IV. Métodos de resolución 1. Método de igualación: Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones, para luego igualar sus equivalencias. Ejm: Resolver:
Resolución:
x 2y 7... (I ) x y 4... (II )
Despejando la incógnita "x" de las dos ecuaciones de (I): x + 2y = 7 de (II): x - y = 4
x = 7 - 2y x=4+y
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones Igualando las equivalencias de "x" de las ecuaciones (I) y (II). 7 - 2y = 4 + y
7 - 4 = y + 2y 3 = 3y 1=y
El valor de "y" se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones. El valor de "y" reemplazamos en la ecuación (II). x =4 + y
x = 4 + (1)
Ahora el conjunto solución del sistema será los valores de "x" e "y".
CS x; y CS 5; 1 Practica de clase 1. Resolver:
x y7 x - y 13
9. Resolver:
x 3y 8 x- y4
10. Resolver:
2. Resolver:
3x y 7 2x - y -2 x - 4y 11 x 8y 13
3. Resolver:
x 6y 27 x - y -1 4. Resolver:
5. Resolver:
2x y 8 3x - y 7 2x y 19 3x - y -4
6. Resolver:
7x y 17 5x - y 19 7. Resolver:
x 6y 27 x - 3y 9 8. Resolver:
x - 2y -2 x 8y -62
11. Resolver por igualación:
3m - 7n 5 2m - n 3 12. Resolver por igualación:
2a - b 3 a 3b - 4 13. Resolver por igualación: 2a 3b 8 3a b 5 14. Resolver por igualación:
3 - x 2y 4x - 3 2x y 8 15. Resolver:
9x 16y 7 4y - 3x 0
16. Resolver:
14x - 11y - 29 13y - 8x 30 17. Resolver: 15x - 11y - 87 - 12x - 5y - 27 18. Resolver:
7x 9y 42 12x 10y - 4 19. Resolver: 6x - 18y - 85 24x - 5y - 5 20. Resolver:
3x 7y 15 2x - 5y - 19 Tarea domiciliaria
1. Resolver:
x y 17 x- y5 2. Resolver: x 2y 8 x- y5 3. Resolver: x - 3y 2 x y6 4. Resolver por igualación:
3x y 11 5x - y 13
x y6 5x - 4y 12 10. Resolver: x - 2y 10 2x 3y - 8 11. Resolver:
x 3y 6 5x - 2y 13 12. Resolver por igualación:
2x y 5 x - 3y 6
5. Resolver: 2x 8 y 2 y 4 x2
13. Resolver por igualación: 3x - y 7 2x 3y 12 14. Resolver:
6. Resolver: 2x - 3y - 11 3x y 11
15. Resolver:
7. Resolver: 5x 2y 24 3x - y 10
16. Resolver:
8. Resolver: x - 2y 5 2x 4y 18
17. Resolver:
9. Resolver:
x - 5y 8 - 7x 8y 25
5x 6y 20 4x - 3y - 23
4x 5y - 32 3x - 5y 11 5x 7y - 1 - 3x 4y - 24
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones
20. Resolver por igualación: 1 x y-2 x- y 3 3x y - 3 - 1 2y - x 11
18. Resolver: 4y 3x 8 8x - 9y - 77
19. Resolver por igualación:
2y - 6 x 5 y- x9 2. Resolución por el método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita de las dos ecuaciones para luego reemplazarla en la ecuación que no se despejo dicha incógnita. Ejm. Resolver el sistema: x 2y 7... (I ) x - y 4... (II ) Despejamos la incógnita "x" de la ecuación (I) de (I): x = 7 - 2y Ahora la incógnita "x" despejado de la ecuación (I) lo reemplazamos en la ecuación (II) es decir:
x - y = 4
7 - 2y - y = 4
Desarrollando: 7 - 3y = 4 7 - 4 = 3y
3 = 3y 1=y
Finalmente sustituimos el valor de "y" en la ecuación (I): x = 7 - 2y x = 7 - 2(1) x=5 Luego la solución del sistema es: x = 5; y = 1
Practica de clase Resuelva usando el método de sustitución los siguientes sistemas:
x y 14 x- y6 1.
2.
2x y 4 3x - y 11
3.
2x y 4 x y -2
4. Exprese en forma canónica el siguiente sistema y resuelve:
3x 2(y - 3) 2y 2x - (y 2x) 4 5. Exprese en forma canónica el siguiente sistema y halle el valor de las incógnitas.
5 (a b) b 22 a 5 (a 4) b 15 6. Resolver por sustitución:
3m 2n 2m n 2
14.
Resolver:
32x - 25y 13 16x 15y 1
7. Resolver por sustitución:
a b-5 2a b 8
15.
Resolver:
- 13y 11x - 163 - 8x 7y 94
8. Resolver:
5x 2y 6 7x 2y 10
16.
3(a - 2b) 15 2 (2a - 5b) 14
9. Resolver:
6x 4y 14 6x - 3y - 21 10.
11.
18.
19.
Resolver:
Resolver por sustitución:
8x - 5 7y - 8 6x 3y 9 20.
Resolver:
Resolver:
3x - (4y 6) 2y - (x 18) 2x - 3 x - y 4
10x 18y - 11 16x - 9y - 5 13.
Resolver por sustitución:
30 - (8 - m) 2n 30 5m - 29 m - (5 - 4n)
Resolver:
7x - 2y - 34 5x 3y - 11 12.
17.
Resolver:
x 2y 10 x 2 - y 3
Resolver por sustitución:
Resolver:
2y 1 x-2 5 3 4 2x - 1 y 5 4 3
4x 5y 5 - 10y - 4x - 7
Tarea domiciliaria 1. Resolver:
2x y 1 3x - y 14
4. Resolver el sistema:
4x 5y 7 x 3y 7
5. Resolver:
2. Resolver:
3. Resolver el sistema:
5x y 14 3x - 4y 36
7x y 1 5x - 2y 17
7x - 3y -15 0 4x 9y 24 0 6. Resolver:
2x - 3y - 14 3x 3y 39
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones 7. Resolver:
15.
3x 8y - 18 7 x 5y 7 13
Resolver por sustitución:
(x - y) - (6x 8y) - (10x 5y 3) y - 1 (x y) - (9y - 11x) 2y - 2x
8. Resolver:
3x 5 -y y - 13 6x
16.
Resolver:
2x 5y 3 2 3 x 2y 4 2 3
9. Resolver por sustitución:
x-1 y1 x - 3 3y - 7 10.
17.
Resolver por sustitución:
Resolver:
2(x y) - 4 10 - x
3(m 2) 2n 2 (n 5) 7m 11.
3x 2y 17 10 5 5
Resolver por sustitución:
18.
Resolver:
x - 1 3y 2 4 2 5 3x 2 2y 3x 3 3
x - 1 2 (y 6) x 6 3 (1 - 2y) 12.
Llevar a su forma canónica y resolver:
2x (x - 3y) 5(x y) 2 3x 3x - (2y - x) 35 3y
13.
Resolver:
4( x 3) 2y 11 3( x 2) - 3y 13 14.
Resolver por sustitución:
3a - (9a b) 5b - (2a 9b) 4a - (3b 7) 5b - 47
19.
Resolver:
x y x - 1 2y - 3 4 2 6 3 2x - y 4 - (3x - 2y) 20.
Llevar a su forma canónica y resolver:
y-1 x-1 2 3 4 2x 1 - 3y 2 x 5 3 2 3 6
3. Resolución por el método de reducción Consiste en eliminar una incógnita combinando las dos ecuaciones, tratando que los coeficientes de la incógnita a eliminar tengan el mismo valor absoluto y el signo contrario. Ejm: Resolver el sistema
x 2y 7... (I ) x - y 4... (II) Multiplicando ambos miembros de la segunda ecuación por 2, obtenemos el sistema.
x 2y 7 2x - 2y 8 Ahora sumamos miembro a miembro las ecuaciones de este sistema y obtenemos. 3x = 15 de donde x = 5 Finalmente sustituimos el valor hallado de "x" en la primera ecuación y hallamos y = 1 luego la solución del sistema es: x=5;y=1
CS 5; 1 Practica de clase Resolver los siguientes sistemas por el método de reducción.
8. Resolver:
1. Resolver:
x- y4 x y 12
3(x 2) 2y 2(y 5) 7x 9. Resolver:
2. Resolver:
2x - y -3 3x y 8
8x - 5 7y - 9 6x 3y 6
3. Resolver:
3x - 7y 3 2x + y 2 4. Resolver:
2x + 2y 5 -2x + y 4
10.
6x - 5y - 9 4x 3y 13
5. Resolver por reducción:
7x - 15y 1 - x - 6y 8
Resolver por reducción:
11.
Resolver por reducción:
3x - 4y 41 11x 6y 47
6. Resolver:
x-1 y1 x - 3 3y - 7
12.
30 - (8 - x) 2y 30 5x - 29 x - (5 - 4y)
7. Resolver:
x - 1 2(y 6) x 6 3(1 - 2y)
Resolver:
13.
Resolver por reducción:
Segundo Año
Teoría de Ecuaciones
2 (a 5) 4 (b - 4a) 10 (b - a) 11b - 12a 14.
Resolver:
3x - (9x y) 5y - (2x 9y) 4x - (3y 7) 5y - 47 17.
2( x 5) 4( y - 4x) 10( y - x) 11y - 12x
Resolver:
( x - y) - (6x 8y) - (10x 5y 3) ( x y) - (9y - 11x) 2y - 2x 18.
Resolver:
5( x 3y) - (7x 8y) - 6 7x - 9y - 2( x - 18y) 0 15.
19.
Resolver:
12(x 2y) - 8(2x y) 2(5x - 6y) 20(x - 4y) - 10
3x - 4y - 2(2x - 7) 0 5( x - 1) - (2y - 1) 0 16.
20.
Resolver:
Resolver:
Resolver por reducción:
5 (m 3n) - (7m 8n) - 6 7m - 9n - 2 (m - 18n) 0
Tarea domiciliaria 1. Resolver:
3x - ( y 2) 2y 1 5y - (x 3) 3x 1
x - y 10 2x y 8 2. Resolver:
5x +y -8 7x - y -16
7. Resolver:
3x - (4y 6) 2y - (x 18) 2x - 7 x - y
3. Resolver:
3x 4y 15 2x y 5
8. Resolver por reducción:
3m - 4n - 2 (2m - 7) 0 5 (m - 1) - (2n - 1) 0
4. Resolver:
5x y 16 4x 3y 15
9. Resolver por reducción:
5. Resolver:
10x - 3y 36 2x 5y - 4
x 2y 10 x y 8 6. Resolver: 10.
Resolver por reducción:
11x - 9y 2 13x - 15y - 2 11.
x -
Resolver por reducción:
9x 11y - 14 6x - 5y - 34 12.
3y 3 4 y - 1 5x 4
17.
Resolver:
2 x y x- y -7 8x y - 1 2 x - y - 2
Resolver:
3(2x y) - 2(y - x) - 4(y 7) 3(2y 3x) - 20 - 53 13.
Resolver por reducción:
18.
Resolver:
12 (m 2n) - 8 (2m n) 2 (5m - 6n) 20 (m - 4n) - 10 14.
Resolver:
x( y - 2) - y (x - 3) - 14 y( x - 6) - x(y 9) 54 15.
Resolver:
y x 5 4 y x -1 3 3 16.
3x 2 y 11 x y 7 2
Resolver:
19.
Resolver:
y-3 6 5 3y - x - 2 9 7 3x -
20.
Resolver:
3x 4 y2 7 3 5 x 4 x 24 2y 11 2
x -
Segundo Año
Inecuaciones
Tema Nº 12: INECUACIONES Capacidad es: Define y expresa intervalos como conjunto y gráficamente. Opera con intervalos. Resuelve inecuaciones , utilizando la regla de los puntos críticos, que será de gran ayuda para el análisis de las funciones algebraicas en el conjunto R.
Exploración y Desequilibrio: No es posible jugar ajedrez sin conocer las reglas, podríamos mover un peón 4 espacios o mover la torre diagonalmente; de igual forma no podemos trabajar con los números sin conocer las reglas que la gobiernan. Los números están vinculados a tantas aplicaciones teóricas y prácticas. Por ejemplo la música y los números se relacionan estrechamente, ya se ha descubierto que existe una relación entre la calidad armónica de los acordes de una Lira y las razones entre las longitudes de las cuerdas pulsadas. De tantas otras aplicaciones no nos equivocamos el decir que el mundo esta gobernado por los números. Siendo este el concepto matemático más importante, incluso marca hitos en la historia, así:
El origen de los números naturales caracteriza a la sociedad primitiva y es acondicionado para resolver las necesidades de las actividades prácticas del hombre.
La introducción de los números negativos fue provocada por el desarrollo del álgebra en la resolución de problemas generales (siglo XVII).
La aparición de los números fraccionarios positivos fue acondicionada a la necesidad de efectuar mediciones más pequeñas que la unidad.
En los años 70 del siglo XIV, fue desarrollada una teoría rigurosa de los números reales en los trabajos de R. Dedekind, G. Cantor y Weirstrass.
Cada uno de estos conjuntos numéricos ha sido creado por extensión debido a las necesidades circunstanciales de resolver los problemas concretos de la vida cotidiana. En la recta numérica que se menciona consideremos los puntos -1 y 2.
Entre -1 y 2 ¿Cuántos números reales existen? -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Desarrollo del Tema: INTERVALO: Un intervalo es un subconjunto de R, cuyos elementos x están comprendidos entre los extremos a y b que pueden o no estar incluidos en el. CLASES DE INTERVALOS: Pueden ser limitados o ilimitados. 1. INTERVALOS LIMITADOS: A. Intervalo cerrado: Es aquel que si considera a sus valores extremos y se representa: a; b . Gráficamente:
Donde x representa a cualquier de los elementos del intervalo obsérvese que los puntos a y b están sombreados lo que significa que se incluyen a los extremos.
x a Representación:
b x a; b
{x R / a x b}
Ejemplo: Representar el intervalo de números reales x comprendidos entre -3 y +4 considerando a estos extremos.
x -3 De donde:
4
x 3;4
{x R / 3 x 4}
B. Intervalo Abierto: Es aquel conjunto de números que no considera a sus valores extremos: Gráficamente: Obsérvese que los puntos extremos a y b no están sombreados esto implica que no pertenecen al intervalo. Representaciones:
Como conjunto:
x a; b
o
x a; b
{x R / a x b}
Ejemplo: Representar el intervalo de números reales x comprendidos entre -5 y -2 sin considerar a estos números extremos:
Segundo Año
Inecuaciones de donde:
x 5;2
ó
{x R / 5 x 21}
C. Intervalo semiabierto: Cuando sólo incluye a uno de los extremos. Aquí se presentan dos casos bien definidos: * Abierto por la derecha y cerrado por la izquierda. Gráficamente: Aquí sólo a pertenece al intervalo, no así el extremo b. Luego:
x [ a; b o
{x R / a x b}
* Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha. Gráficamente: Aquí sólo b pertenece al intervalo, no así el extremo a. Representación: x a; b ] o {x R / a x b}
2. INTERVALOS ILIMITADOS Convengamos emplear el símbolo para indicar que la sucesión de números reales “x” tiende al infinito y el símbolo para indicar que la sucesión de números reales “x” tiende al infinito pero en sentido opuesto (menos infinito). Es preciso aclarar que el no es un número sino la representación de una cantidad astronómica, muy grande, pudiendo ser mayor que cualquier número por muy grande que este sea. Como carece de un valor definido no podrá efectuarse con las operaciones aritméticas. A. Intervalo Ilimitado cerrado por la izquierda Gráficamente
x a
Este intervalo cerrado en a es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y simbólicamente lo expresamos:
B. Intervalo ilimitado abierto por la izquierda: Gráficamente Este intervalo abierto en a es el conjunto de todos los números reales mayores que a y simbólicamente lo expresamos:
x a;
ó {x R / x a} C. Intervalo Ilimitado cerrado por la derecha. Gráficamente Este intervalo cerrado en a es el conjunto de todos x los números reales menores o iguales que a y a simbólicamente lo expresamos: x ; a ó {x R / x a}
D. Intervalo ilimitado abierto por la derecha Gráficamente:
Este intervalo abierto en a es el conjunto de todos los números reales menores que a y simbólicamente lo expresamos:
x ; a ó
3.
x R / x a
OPERACIONES CON INTERVALOS Como los intervalos son subconjuntos de R, pueden realizarse con ellos las propiedades operativas de los conjuntos, como son: la unión, intersección, diferencia y complementación.
PRACTICA DIRIGIDA 1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos, cuáles falsos y por qué? a) b) c) d) e) f)
12 9, y x, y 4;1 3 / 5 1;1 a a; b 3 1;1
2. Exprese en notación conjuntista los siguientes intervalos a) 5;3 / 2
g) 7;5]
b) 8 / 5;
h)
[3;4
j)
[16;0
e) ;3.6
k)
f) 9;3
l) 3;
2 ;2 2]
3. Exprese en notación de intervalos los siguientes conjuntos: a) x / x R x 11
i) x / x R x 5
b) x / x R x 2
j) x / x R x 11
c) x / x R 7 x 8
k) x / x R 13 x 9
d) x / x R 5 x 4
l) x / x R 4 x 1
e) x / x R 2 x 6
m) x / x R x 30
f) x / x R 4 x 7
n) x / x R 17 x 2
Segundo Año
Inecuaciones
g) x / x R x 0
ñ) x / x R
h) x / x R x 1
o) x / x R
1 x 2
1 2
4. Dados los intervalos:
3
a. A 4; 2
y
b. P 4;13 / 2
y
c.
d.
B 2;3,
Hallar : A B, A B, A B
BA
Q 5;8 , Hallar : A B, A B, A B y B A
A 4; ;4 B 3;1 y C 1; ,3 Hal ar : AC, C A, A B, B A, B C A ,2 y B , ,1 hal ar : A B, A B, B A y A'
5. Escribe los siguientes intervalos en forma conjuntista: a.
y
[ 5;
b. 0.8,
c.
[6.6;4.4
d.
[ 3, 6. Escribe con notación de intervalos los siguientes conjuntos: a. x / x R x 5 b. x / x R x 2 c. x / x R x 7 d. x / x R 2 x
2
7. ¿Qué intervalos representan los siguientes gráficos? a.
b.
1,2 c.
8. Escribe la gráfica de: a. x 5
d.
b. x 1
c. x 6
d. 1 x 1
9. Dados los intervalos:
A [1;
B ,3
Grafica y halla: a. A B b. A C g. B D h. B E
10. Si:
A [7; ;3 B 2;5]
C 5;1
D 2; ]3
E 0;4
c. A – D i. C D
d. A E j. C E
e. B – A k. D – E
Determinar a qué intervalo pertenece “A – B”
a. 2;3
b. ;3
11. Si: A 5;3]; B [0;4 entonces a.
0;3]
12. Si:
b. 0;3
(x )2 8; ]4 x A
, y que si:
(3x 1)2;1 ] x E
a. 3;4
b.
1;3]
d. 2;3
A B es:
[0;3
d. 0;3
c. 2;6
e. 7;2
2;5]
e.
(x 3) [1;12 x B , por tanto
c. 1;3
b. 1;4
A 3;2]; B 2;5
[3;5
[2;3
A 3;4]; B 1;6
a. 3;4
a.
c.
A B es:
d. 3;8
e. 8;6
y si (4 x 2) 6;14 x F por lo tanto E – F es:
14. Sean los intervalos:
15. Si
c.
b. 3;9
a. [2;8]
13. Si:
f. B C l. E – B
Calcular
b. 3;5
e. 1;4
d. 3;4
Calcular
A B
c. 1;4
d.
[1;6
A B
c. ;
d.
3;5]
e.
e. 1;4
Segundo Año
Inecuaciones 16. Si a.
P [1;3; Q 3;6 Calcular P Q
[1;6
17. Efectuar a. 5;2
b. 1;6
c. 1;6
A B Si: A 5,1]; b.
5;2
d.
1;6]
B [1;2 c. 5;2
e.
d. 1
e. N.A
18. En la siguiente recta numérica se presentan dos intervalos N y M. Entonces el intervalo M – N.
a.
1;3]
b. 1;3
c.
[1;3
d. 1;3
e.
19. Señalar las afirmaciones correctas:
a; b
I.
Intervalo cerrado
II. a; b Intervalo semi abierto III. (a;b) Par ordenado a. Sólo I b. Sólo II
c. Sólo III
20. Sean los intervalos: A 5;7 ;
A B
a. 5
b. 10
21. Sean los intervalos:
d. I y II
B 3;9 Calcular la suma de los valores enteros de c. 15
C 9;9 y D 9;15
a. 9;9
e. Todas son correctas
b. 9;15
c.
d. 20
e. 25
Calcular: C D
9;15]
d.
[0;15
e.
[9;15 22. Escoge un valor específico para probar en cada intervalo y registra los resultados en la tabla: Interv alo Signo
1 2x x3 2x 1
3 x 2x 1
x 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x + 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se pueden utilizar para resolver inecuaciones, con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x + 6 > 0.
PRACTICA De clase 1)
En cada caso halla los valores de la incógnita, de tal manera que cumpla la desigualdad: a) 2x + 30 < 200 – 40 + (3)(6) d) 5z + (4)(14) = (4)( z + 5 ) + (17)(3) b) 4y + 40 < (3)( y – 4 ) e) 4x - 2x – (6)(6) = (19)(5) c) x – (5)(8) = (2)( x – 10 ) f) 4m – 3m + 18 = (2)(2 + m )
2)
Hallar el conjunto solución de: 2 + 3x < 8 + 5x
3)
Hallar el conjunto solución de: 3 (2 - 3x) < 2(6 + 4x)
4)
Hallar el conjunto solución de: x2 >
5)
Hallar el conjunto solución de: x2
>
6)
Hallar el conjunto solución de: 12
< 3x < 36
7)
Hallar el conjunto solución de: 15 < 5x + 5 < 45
8)
Hallar el conjunto solución de: 2 + 3x < 8 + 5x < 26 - 4x
9)
Hallar el conjunto solución de: 12 + 3x < 18 + 5x < 36 - 4x
10)
Hallar el conjunto solución de: 1-4x <
x ( x- 2 ) + 3 x ( x+ 2 ) + 3
11 + 2x < 6x –1
Segundo Año
Inecuaciones 11)
Hallar el conjunto solución de: 3x + 2 < 0,8x + 4 < x + 6
12)
Hallar el conjunto solución de: (2x-1)/3 <
(3x-1)/2 + ( 5-x)/6
13)
La carga máxima que puede transportar un camión es de 3500kg. Si se sabe que en cada viaje transporta como mínimo 2800kg. ¿Cuántos paquetes de 70kg como máximo puede transportar en cada viaje? a) 50 b) 70 c)80 d) 60
14)
Un lado de un triángulo mide 65cm, otro mide 15cm y el tercero tiene la mayor medida exacta de centímetros terminada en 5. Hallar el perímetro del triángulo a)150 b)155 c)180 d)160
15)
Janine, Francisco y Felipe son hermanos. Janine tiene 15 años y Francisco tiene 3 años más que Felipe. La suma de los años de Francisco y Felipe no alcanzan a igualar la edad de Janine. ¿Cuántos años tiene Felipe, si su edad es un número impar mayor que 4? a) 6 b) 7 c)8 d) 5
16)
Se reparte un número de monedas, comprendidas entre 285 y 305, entre los hermanos Basilio, Vicente y Fernando. Se sabe que Vicente recibe 8 veces lo que recibió Basilio y éste recibió 5 monedas, menos de lo que recibió Fernando. ¿Cuánto recibe cada uno? EXCEPTO a) 232 b) 34 c)29 d) 90
17)
El triple de un número de aumentado en 4 es menor que 214; y la mitad del número, disminuido en 4 es mayor que 30. El número es: a) 70 b) 66 c)68 d) 69
18)
En una caja donde sólo hay bolas rojas y blancas, las rojas exceden en 8 a las blancas. Si el total de bolas está comprendido entre 206 y 210. ¿Cuántas bolas blancas hay? a) 99 b) 101 c)102 d) 100
Exploración y Desequilibrio:
Encuentra un los valores numérico para “x”, de tal manera que cumpla la igualdad? a) 2X + 6 < 14 b) 3X – 8 > 10
Desarrollo del Tema:
INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
1. UNA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma, ax2 + bx + c > 0, ó ax2 + bx + c < 0 Donde “a”, “b”, y “c” son coeficientes, siendo a 0 Si “a”, “b”, y “c” son diferentes de cero, la inecuación se llama completa. Y si “b” ó “c” ó ambos, son ceros, la inecuación se llama incompleta; “a” no puede ser cero, porque entonces dejaría de ser la inecuación de segundo grado. Si “a” fuera negativo e multiplican ambos miembros por –1 para hacerlo positivo, con lo cual se cambia de sentido a la desigualdad.
2. RESOLUCIÓN: Para determinar las soluciones de una inecuación de segundo grado se aplica los siguientes procesos:
Si fuera de la forma: x2 - c > 0 se despeja “x” y se resuelve según la equivalencia: Si c > 0 entonces x2 > c si y solo si x>c ó x 0 entonces x > c si y solo si x>c ó x 0 entonces x2 < c si y solo si -c< x < c 2 Si c > 0 entonces x < c si y solo si -c< x < c Si el trinomio ax2 + bx + c fuera completa: Se procede a factorizar y obtener las raíces Se ubican las raíces sobre la recta numérica real. Mediante una línea paralela y en la parte superior al eje real desde él, avanzando de la derecha hacia la izquierda cortando sucesivamente las raíces ubicadas sobre la recta, hasta el Considerando que el área encerrada por encima de la recta numérica real son positivos y corresponden a todas aquellas proposiciones abiertas positivas y las otras que corresponden a las negativas. Si las desigualdades poseen < ó > se consideran abiertos y si poseen < ó > se consideran cerrados
PRACTICA De clase 1)
Cuando son Inecuaciones Cuadráticas Incompletas de la forma: ax2 - c < 0 a)x2 - 64 < 0 d) 2x2 - 288 < 0 b) x2 - 400 < 0 e) 3x2 - 75 < 0 c) x2 - 256 < 0
2)
Cuando son Inecuaciones Cuadráticas Incompletas de la forma: ax2 - c > 0 a) x2 - 49 > 0 d) 3x2 - 588 > 0 b) 6x2 - 486 > 0 e) 7x2 - 63 > 0 c) 4x2 - 9 > 0
3)
f) 64x2 > 4x
Cuando son Inecuaciones Cuadráticas Completas a) x2 < 5x - 6 f) x2 > - 6 - 7x b) x2 < 15 - 2x g) x2 > - 21 - 10x c) x2 < 12 - 7x h) 2x2 > 6x + 140 d) x2 < 9x - 8 e) x2 < 23x - 120
5)
f) 20x2 - 5 > 0
Cuando son Inecuaciones Cuadráticas Incompletas de la forma: ax2 + bx > 0 a) x2 < 5x d) 7x2 > x b) 2x2 < 6x e) 3x2 > 6x c) 5x2 < 45x
4)
f) 6x2 - 96 < 0
i) 3x2 > 180 – 21x j) 4x2 > - 16 + 20x
Resuelve las sgtes Inecuaciones Cuadráticas Incompletas despejando la variable: a) 3x2 - 48 < 0 d) 5x2 - 125 < 0 b) 5x2 - 320 < 0 e) 6x2 - 12 < 0 c) 5x2 - 45 > 0
f) 6x2 - 24 > 0
Segundo Año
Inecuaciones 6)
Resuelve las sgtes Inecuaciones Cuadráticas por factorización: a) 11x2 = 176x g) 7x2 = 252x b) 11x2 = 275x h) 9x2 = 162x c) x2 + x – 156 > 0 d) x2 – 8x +12 < 0
i) - x2 – 7x + 18 > 0 j) x2 + 2x –35 < 0
e) x2 - 10x + 25 < 0 f) 6x2 < 13x - 7
k) 2x2 < 3 - 5x l) 4x2 = 6 - 10x
7)
¿Tendrá solución la inecuación cuadrática: x2 – 4x + 6 < 0 ?
8)
¿Tendrá solución la inecuación cuadrática: x2 + 14x + 49 < 0 ?
Tarea domiciliaria 1
Si x + 4 > 7, calcular el mínimo valor entero de “x” a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 Si x + 3 6, calcular el máximo valor de “x”. a) 2 b) 3 c) 8 d) 1 e) 6 2
3
Calcular la suma de los valores de los números enteros “x”, tal que: 3 2 x 10 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
8 a) x 7 c) x < 3
Si x + 2 0, calcular el mínimo valor de (x + 6) a) 7 b) 8 c) 13 d) 4 e) 5 5
6 a)
7
x - ; 2 3 ; 6
c)
x - ; -4 3 ; +
d)
x -3 ; 2 4 ; +
e)
N.A.
x3 2 x2 b) x 2 ; 7 d) x 3 ; 6
9
a) b)
x -3 ; 3
c)
x -2 ; 2 – {10}
d)
x - ; -3 3 ; +
e)
N.A.
Resolver:
11
b)
x - ; -3 3 ; 4
c)
x - ; 1 2 ; 3
d)
x - ; 7
e)
N.A. Si x 5 ; 8, indique el mayor
valor que toma la expresión:
Resolver:
a) x 2 ; 7 c) x -3 ; 6
e) N.A.
10 Resolver: (x2 – x – 6)(x + 7) 0 Resolver las siguientes inecuaciones a) x - ; -7 -2 ; 3
x4 0 Resolver: x3 x - ; -4 3 ; 8
b)
7 1 x b) x 7 d) x = 0
1 x2 x -3 ; 2
9
4
Si x 1 ; 7, entonces a que intervalo pertenece x + 3 a) 3 ; 4 b) 4 ; 10 c) 3 ; 7 d) 7 ; 10 e) N.A.
Resolver:
e) N.A.
12 Resolver la inecuación: (x + 1) < (x + 1) (4x – x2 – 3) a) x -1 ; +
x3 x 1
b)
x - ; -1
c)
x - ; 0
d)
x -3 ; 4
e)
N.A.
13
Sean los intervalos:
c) x [ 2; + [ e) x [ 3; + [ 16
A = [-6 ;
5]
B = ] -2 ; 9[ Calcular la suma de los valores enteros de AB a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 14
Si la unión de los intervalos: E = [- 4 ; 5[ F = ]- 2 ; 5] es : [a ; b]. Calcular “ab” a) – 20 b) – 10 c) 2 d) 8 e) 25 15
Resolver: a) x [- 2;+[
Resolver: x 2 3x 4 a) x R b) x > -1 c) x > 4 d) 1 x 4 e) –1 < x < 4
Resolver: x2 2x 8 ; e indicar un intervalo solución : a) ]4; +[ b) ]- ; 2[ c) ]2;+[ d) ]1; +[ e) ]4;+[
17
18 a) ] c) R e)
1 0 Resolver: 2 x x1 35 ; 7 [ b) ] 35 ; d) R ]
19
(x 5)(x 3) (x 2)(x 1) 3
b) x ]- ;- 3]
d) x ]- ; - 2]
a) x > 14 d) x > 15
35 ;
3[
7[
3x 1 5 x5 b) x > 13 c) x > 12 e) x > 5
Resolver: 3
Segundo Año
Funciones
Tema Nº 13: Funciones Capacidad es: Define y grafica funciones. Resuelve problemas con funciones.
Desarrollo del Tema: FUNCIONES Ejemplo.- El profesor de Historia del Perú organiza a sus alumnos de clase en equipos para que realicen un trabajo (asignación). Con tal fin les recomienda una lista de libros y pude a cada alumno lea un libro. Veamos cómo trabajó cada equipo. A = {alumnos del equipo # 1}
B = {alumnos del equipo # 2}
L = {libros recomendados}
L = {libros recomendados}
Los diagramas representan la relación R… leyó el libro… entre el conjunto de alumnos de un equipo y el conjunto de libros recomendados. Observa cuántas flechas salen de cada punto del dominio.
Equipo # 1
Equipo # 2
De acuerdo a este diagrama:
De acuerdo a este diagrama:
De: 1, 2, 3, 4; 6 7 sale una sola
De 1, 2, 3 y 4 sale una sola flecha
flecha (cada uno leyó un libro)
(cada uno leyó un solo libro)
De 5 no sale ninguna flecha (no leyó
De 5 6 no sale ninguna flecha (no
ningún libro). leyeron ningún libro). De cada punto del conjunto de partida sale una sola flecha o ninguna. Las relaciones que cumple esta propiedad se llama funciones. DEFINICIÓN.- Se dice que una relación entre A y B es una función cuando de cada punto del conjunto de partida sale a lo más una flecha. Ahora analicemos el diagrama del equipo # 1. En el conjunto de partida:
El punto 1 tiene como correspondiente al punto a, se dice que “a” es imagen de 1. Al punto 5 no le corresponde ninguno como imagen. Se dice que la función no está definida para el punto 5. Los puntos 1, 2, 3, 4, 6 y 7 tienen una sola imagen. En el conjunto de llegada: A los puntos b d no llega ninguna flecha (b d no son imágenes de ningún punto del dominio). Al punto c llega una sola flecha (c es imagen de un punto del dominio). Al punto 2 “a” llegan dos flechas (a es imagen de dos puntos del dominio). Al punto “e” llegan tres flechas (e es imagen de tres puntos del dominio). Marquemos el dominio de cada función.
OBSERVA: De cada punto del dominio sale una sola flecha. El conjunto D(+) se llama dominio de la función. El conjunto R(+) se llama rango de la función. De acuerdo con estas observaciones podemos dar otra definición de función. DEFINICIÓN.- Se dice que una relación es una función cuando de cada punto de su dominio sale una y sólo una flecha. OBSERVACIONES.- Toda función es una relación, esto quiere decir que de una función surge la frecuencia de i) un conjunto de partida; ii) un conjunto de llegada; iii) una flecha de correspondencia.
Para que una relación sea función debe cumplirse lo siguiente: “Cada elemento de su dominio debe tener una sola imagen”.
No toda relación es función.
NOTACIÓN DE UNA FUNCIÓN: Donde: A : conjunto de partida. B : conjunto de llegada.
f = {(x; y) A x B/y = f(x)}
Segundo Año
Funciones Y = f(x) : Regla de correspondencia. x : Preimágenes; variable independiente. y : imágenes; variable dependiente. D(+) : Dominio de la función; conjunto de todas las imágenes. R(+) : Rango de la función; conjunto de todas las imágenes.
OBSERVACIÓN.- Si el dominio de la función D(+) es igual al conjunto de partida (A); o sea D(+)=A, entonces la función recibe el nombre de Aplicación. Luego, toda aplicación es una función; pero no toda función es una aplicación. Ejemplo 1: Dados: A = {1; 3; 5; 7} B = {2; 4; 6; 9; 10; 12} Halla: a) f : a B; tal que : y = x + 1 b) D(f) R(+) c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación? Solución: a) (tabulado) f = {(1; 2), (3; 4); (5; 6)} b) Dominio de la función: R(+) = {1; 3; 5} Rango de la función: R(+) = {2; 4; 6} c) f : A B “se lee f aplica x en y”.
d) No es una aplicación pues el dominio de la función, o sea: D’f) = {1; 3; 5} es diferente del conjunto de partida ; o sea A = {1; 3; 5; 7} D(+) = + A Conjunto de partida
Conjunto de llegada
Ejemplo 2: Dados: A = {-2: -1: 0; 1; 2} B = {0; 1; 2; 3; 4} Halla: a) f : A B; tal que: y = x2 b) D(+) R(+) c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación? Solución.a) + = {(-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4)} b) D(+) = {1-2; -1; 0; 1, 2} D(+) = {0; 1; 4{ c) Diagrama
d) Si es aplicación porque D(+) = A
Ejemplo 3: Dados: A = {1; 3; 5; 7} B = {3; 5; 6; 7; 9} Halla: a) f : A B; tal que: y = 2x + 3 b) D(+) R(+) c) Diagrama sagital
d) ¿Es aplicación?
Solución.a) + = {(1; 5); (3; 9)} b) D(+) = {1; 3}; R(+) = {5; 9} c) d) No es una aplicación pues el dominio de la función D(+) o sea: D(+) = {1; 3] es diferente al conjunto A O sea: A = {1; 3; 5; 7} D(+) A
FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE DIAGRAMA SAGITAL Una relación definida mediante un diagrama sagital es función si de cada elemento de su dominio sale una sola flecha. Analicemos cada una de las siguientes relaciones definidas gráficamente mediante diagramas sagitales. Si:
Si:
En la relación R1 se observa que el conjunto de partida es: A = {1; 3; 5; 7} y el conjunto de llegada es: B = {2; 4; 6; 8}, siendo: D(R1) = {1; 3; 5}; R(R1) = {2; 6; 8} REGLA DE CORRESPONDENCIA
Segundo Año
Funciones “a 1 le corresponde 8”, “a 3 le corresponde 2” y “a 5 le corresponde 6”
R1, si es una función; porque_ “cada elemento de su dominio tiene una sola imagen”; también podríamos decir que de cada elemento de su dominio sale una sola flecha.
En la relación R2 si es una función, porque de cada elemento de su dominio, sale una sola flecha.
En la relación R3, no es una función, porque del elemento 4 de su dominio, salen 2 flechas.
En la relación R4 si es una función, porque de cada elemento de su dominio sale una sola flecha.
FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE PARES ORDENADOS Las relaciones R1; R2; R3 R4, pueden ser definidas de la manera siguiente: R1 = {(1; 8); (3; 2); (5; 6)} R2 = {(1; 5); (2; 6); (3; 7)} R3 = {(2; 3); (4; 1); (4; 6); (8; 3)} R4 = {(1; 4); (3; 1); (4; 6); (9; 8)} De acuerdo a la definición de función; R1; R2 y R4 son funciones, pues observamos que las primeras componentes de cada función son todas diferentes; sin embargo en la relación R3, observamos los pares ordenados diferentes con primera componente igual: (4; 1) y (4; 6) (4; 1) (4; 6); esto es lo que distingue a una relación que no es función. FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE DIAGRAMAS CARTESIANAS Como bien sabemos, las relaciones en general también son expresadas mediante diagramas cartesianos; así: Ejemplo 1: Dados: A = {1; 2; 3; 4} B = {5; 6; 7} Halla: R = {x; y} A x B / y – x = 3} y diagramar. Solución:
R = {(2; 5); (3; 6); (4; 7)} Del diagrama: D(R) = {2; 3; 4} R(R) = {5; 6; 7} La imagen de 2 es 5 La imagen de 3 es 6 La imagen de 4 es 7 R si es función.
D(R) Con D’partida
Ejemplo 2: Dados: A = {1; 2; 3} B = {1; 2; 4} Halla: R = {(x, y) A x B / x > y} y diagramar Solución.R = {2; 1); (3; 1); (3; 2)}
R no es función.
Ejemplo 3: Dados: A = {1; 2; 3} B = {2; 4; 6} Halla: R = {(x, y) A x B / x = y/2} Solución.-
R si es función.
R = {(1; 2); (2; 4); (3; 6)}
RECOMENDACIONES Una relación definida mediante un diagrama cartesiano es función si una recta trazada perpendicularmente al eje de coordenadas en el que está representado el dominio, contiene a lo más un punto de dicha representación.
(si es función)
(no es función)
(si es función)
RECUERDA QUE: Una función puede ser definida por su diagrama sagital o cartesiano o por un conjunto de pares ordenados o grupo. EJERCICIOS 1) Dados: A = {2; 3; 4} B = {3; 5; 6}; cuáles de las siguientes relaciones no es una función de A en B. R1 = {(2; 3); (3; 5); (4; 6)} R2 = {(2; 5); (3; 3); (4; 6)} R3 = {(2; 5); (2; 6); (3; 3)} 2) Dados: A = {-1; 0; 2; 4} B = {-2; 0; 6; 8} Halla:
a) + : A B; tal que: Y = 2X
b) Dominio, rango de f
c) Diagrama sagital
d) ¿Es aplicación?
3) Sean: A = {1; 4; 5; 7} B = {2; 3; 5; 7} Encuentra: R = {(x, 7) A x B / x = y + 1}; diagramar
Segundo Año
Funciones
4) Sean: A = {2; 3; 4; 5} B = {3; 8; 15; 26] Encuentra: R = {(x; 7) A x B / y = x2 – 1}, diagramar. CLASES DE FUNCIONES 1. FUNCIÓN INYECTIVA O “UNO A UNO”.- Una función f : A –B, es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio se hacen corresponde imágenes distintas, es decir a ninguna imagen llegan dos flechas. Una función f : A –B; se llama inyectiva (uno a uno) si para todo X1 y X2 que pertenecen al dominio de f; siendo: X X2 implica que: f(x1) f(x2)
2. FUNCIÓN SURYECTIVA; SOBREYECTIVA O FUNCIÓN SOBRE.- Una función f : A B, es subyectiva; cuando el rango de la forma es igual al conjunto B. Una función f : A B; se llama suryectiva, si para todo elemento Y B, existe un elemento X A; tal que: (X; Y) f ó Y = f(x)
3. FUNCIÓN BIYECTIVA.- Sea la función: Se observa: f : es inyectiva y como R(f) = B; también es subyectiva. Luego: una función f : A B se llama función biyectiva o es una bisección, si f es inyectiva y suryectiva.
Ejemplo 1: Dados: A = {1; 2; 3; 4} B = {a, b, c} , la función: f = {(2; b); (3; a); (1; a); (4; c)} Solución.a) f no es inyectiva porque: (1; a) , (3; a) b) f es suryectiva pues R(f) = B c) f no es biyectiva pues para serlo debe ser inyectiva y suryectiva a la vez.
Ejemplo 2: Dados: A = {1; 3; 5; 6; 7} B = {2; 4; 6} , la función: f = {(x, y) A x B = x + 1} a) ¿Es inyectiva?
b) ¿Es suryectiva?
c) ¿Es biyectiva?
Solución.f = {1; 2) , (3; 4) , (5; 6) Grafica: Luego: a) f si es inyectiva (uno a uno) b) f si es suryectiva pues R(f) = B, esto quiere decir que el rango de la función es igual al conjunto B. c) f si es biyectiva por (a) (b) Ejemplo 3: Dados: A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 7} , la función: f = {(x, y) A x B/Y = 2x a) ¿Es inyectiva?
b) ¿Es suryectiva?
c) ¿Es biyectiva?
Ejemplo 4: Dados: A = {1; 3; 5; 6} B = {5; 9; 11; 15} , La función: f = {(x, y) A x B / y = 2x + 3} a) ¿Es inyectiva?
b) ¿Es suryectiva?
c) ¿Es biyectiva?
INVERSA DE UNA FUNCIÓN.- La función de una relación es siempre otra relación. Veamos: Dada la relación: R … leyó el libro Si se cambia el orden de los elementos es necesario cambia la relación para que la proposición obtenida resulte verdadera; o sea: El libro “fue leído por” el alumno. Esta relación se llama inversa de R, se designa por R-1 Luego: Si: Entonces
R: … leyó el libro … R-1 … fue leído por … R-1
Segundo Año
Funciones (C alumnos)
(C libros)
(C alumnos)
(C libros)
Relación: R … fue leído por … -1
¿SERÁ LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN OTRA FUNCIÓN? Analicemos el diagrama. En los que has representado la relación: R-1 … fue leído por …
No es función, porque de “a” salen dos flechas. Como recordarás del conjunto de partida (de donde salen las flechas), tan solo debe salir una sola flecha para que dicha relación sea función. (C alumnos) (C libros) Nota.- Como se ha podido observar no siempre la inversa de una función es otra función. COMPARACIÓN DE FUNCIONES.- Se puede realizar operaciones con funciones. Especialmente vamos a estudiar la operación llamada COMPARACIÓN DE FUNCIONES. Componer dos funciones f g significa aplicar la segunda al resultado de la primera. Ejemplo:
Si: f; x x . 3
x
f
x.3
g
x.3-1
y;g:x Aplicamos la función g al resultado de la función f. Cuando aplicamos f al valor x anotamos f(X). Cuando aplicamos g al resultado de f, anotamos: g o f, o es el signo de la operación de composición. g o f se lee: “g cerito f” o “g compuesta con f”. Los siguientes diagramas muestran primero las funciones f g, y luego la composición de ambas funciones: g o f.
Luego: g o f [f(x)] = f(x) – 1 = x . 3 -1 = 3x – 1 g o f = 3x – 1 NOTA.- La compuesta de dos funciones es otra función g o f. f:x
x g:x x+5 2
Solución: Si : f : x
x 2
x
x .3 2
f
y: g:x x+5
g
x .3-1 2
x x +5 gof= +5 2 2
Luego: g o f = g [f(x) = f(x) + 5 =
Ejemplo 2: Dadas las funciones: f : x x2 g:xx–2 a) define
a) g o f
c) f o g
Solución: a) Calculamos: g o f Si: f : x x2
x
f
x2
g
x2 - 2
Segundo Año
Funciones y;g:xx–2
Luego: g o f = g[f(x) = (f(x)2 – 2 = x2 – 2
g o f = x2 - 2
b) Calculamos: f o g Si: g : x x – 2
x
g
x-2
f
(x – 2)2
y ; f : x x2
Luego: f o g = f(9(x)] = (g(x)2 = (x – 2)2
{f o g = (x – 2)2
ACTIVIDAD EJERCICIO 1.- Determina todas las funciones posibles entre A y B, siendo A el dominio
EJERCICIO 2.- De acuerdo con el diagrama la imagen de cada uno de los siguientes elementos es: f(b) = f(e) = f(c) = f(f) =
f(d) = f(a) = EJERCICIO 3: Decir, ¿cuál(es) de los gráficos representa una función?
EJERCICIO 4: Indica cuáles de las siguientes relaciones son funciones:
EJERCICIO 5: Sean f g funciones reales definidas por: f(x) = 2x – 3 g(x) = 4 – 5x; halla a) (f o g)(3)
b) (g o f) (-1)
EJERCICIO 6: Sean f g funciones reales definidas por: f(x) = x – 1 g(x) = 2 – 3x. Halla: a) (f o g)(2)
b) (g o f)(2)
EJERCICIO 7: Sean f g funciones reales definidas por:
Segundo Año
Funciones F(x) = 3x – 2
g(x) = 4 – 5x. Halla
a) (f o g)(x)
b) (g o f)(x)
EJERCICIO 8: Sean f g funciones reales definidas por: f(x) = 6 – 3x g(x) = x2 + 1. Halla: a) (f o g)(x)
b) (g o f)(x)
NOTACIÓN FUNCIONAL Así como utilizamos x para representar un número, sin especificar cuál necesitamos un símbolo para representar una función sin tener que especificar de qué función particular estamos hablando. Esta notación es: y = f(x); que se lee “y es una función de x” o “y es igual a f de x” (esta última notación no significa f por x). Obviamente en lugar de x e y hubiéramos podido emplear cualesquiera dos variables, escritas en la forma: variable dependiente = f(variable independiente). VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES En la ecuación: y = 2x + 3, y, recibe el nombre de variable dependiente porque su valor depende del valor que se le de a x; así si asignamos a x el valor de 2; y = 2(2) + 3 = 7; o si x = 3, entonces: y = 2(3) + 3 = 9. A la variable x se le llama variable independiente. Las funciones normalmente se expresan en forma de ecuaciones. Ejemplo: La ecuación: y = 3x2 – 4x + 2, es una función. Podemos hallar uno y solo un valor de “y” que corresponda a cada valor que se asigne a “x”. Veamos: Cuando: x = 0 y = 3(0)2 – 4(0) + 2 y = 2 Cuando: x = 1 y = 3(1)2 – 4(1) + 2 y = 1 Cuando: x = 2 y = 3(2)2 – 4(2) + 2 y = 6 Cuando: x = -1 y = 3(-1)2 – 4(-1) + 2 y = 9 No todas las ecuaciones son funciones. Para que una ecuación sea función debe cumplirse que para cualquier valor que tiene “x”; a “y” le debe corresponder un solo valor. Ejemplo: La ecuación: y =
x no es función, porque para cada valor de “x” obtenemos
dos valores para “y”. Veamos: Cuando: x = 1 y =
1 y=1
Cuando: x = 4 y =
4
y=2
Cuando: x = 9 y =
9
y=3
En este caso decimos que la función: y =
x ; no es función.
Con frecuencia la variable dependiente “y” en las funciones es sustituida por el símbolo F(x). En consecuencia la ecuación y=3x2 – 4x + 2 puede ser simbolizada de esta manera: i)
F(x) = 3x2 – 4x + 2: se lee: F de “x” ó F está en función de “x” Variable Nos indica que “x” es la variable y que el polinomio F depende de “x”
ii)
P(x; y) = ax2 + by + cy2; x; y: son las variables a, b, c: son las constantes
VALOR NUMÉRICO O DETERMINADO DE UNA RELACIÓN O FUNCIÓN En el número (valor numérico) o la expresión algebraica (cambio de variable) que resulta de reemplazar una o más variables por valores numéricos o algebraicos. En la mayoría de los casos se trabaja con la función polinomio. Ejemplo: Sea: F=(x) = 2x2 + x – 3 Para: X = 0 F(0) = 2(0)2 + 0 – 3 = -3 Para: X = 1 F(1) = 2(1)2 + 1 – 3 = 0 Para: X = -1 F(-1) = 2(-1)2 + 1 – 3 = -2 Para: X = 2 F(2) = 2(2)2 + 2 – 3 = 7 Para: X = a F(a) = 2(a)2 + a – 3 = 2a2 + a – 3 Para: X = b-2 F(b-2) = 2(b-2) - 3 = 2b2 – 7b + 3 ACTIVIDAD
Ejercicio 1: Siendo: P(x) = X2 – 3X; Halla el valor de E
P(3) P( 2 ) P( 2 )
f (3) f (1) x 1 ; calcula: M = f (2) 2x 1
Ejercicio 2: Si: f(x) =
Ejercicio 3: Siendo: P(x) = x2 + 2x. Halla el valor de: R =
P (0) P (1) P (4) P ( 1) P (2) P ( 0 )
Ejercicio 4: Si: f(x+2) = x2 + 5x – 2; calcula el valor de: f(-5).
Ejercicio 5: Si: Q X
Ejercicio 6: Si: F(x) =
Ejercicio 7: Si:
P
1 2x 1 ; calcula: Q (a+1) 2 x 1
2x 1 ; halla el valor de F(F(2)) x 1
1 1 1 ; calcula el valor de: P(3) x x x 1
Ejercicio 8: Si: P(x) = x2 + x-1, simplifica: R = P(x – 1) – P(x + 1) – P (2x) + x2 Ejercicio 9: Si P(x) =
2x 1 ; halla: P[P(x)] x2
Ejercicio 10: Si: P(x+2) = 6x +1 ; P[F(x) = 12x – 17 Ejercicio 11: Si; P(x) = 3x + 2; además: P[Gx)] = 3x2 – x + 2; calcula: G(2)
Segundo Año
Funciones Ejercicio 12: Sabiendo que: P(x + 4) = x2 + xh + h2 . Calcula: P(x) Ejercicio 13: Si f(x) = x – 2x2. Halla: a) f(-1)
b) f(2)
c) f(-2)
d) f(1)
e) f(3)
f) f(-3)
Ejercicio 14: Si: f(x) = x3 – 1. Calcula el valor de: E
f (1) f (3) f ( 2)
Ejercicio 15: F(2x + 1) = x3 – 2x + 3 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Es un plano que se forma al cortarse perpendicularmente dos rectas, una de las rectas se designa como eje “x” y la otra como “y”. EJE COORDENADAS X’X : Es el eje de las abscisas o eje de las “x” YY’ : Es el eje de las ordenadas o eje de las “y” O
: Es el origen de coordenadas.
SEMIEJES OX : Es el semieje (+) de las abscisas. OX’ : Es el semieje (-) de las abscisas. OY : Es el semieje (+) de las ordenadas. OY’ : Es el semieje (-) de las ordenadas.
CUADRANTES El primer cuadrante es XOY : (Q1) El segundo cuadrante es YOX’ : (Q2) El tercer cuadrante es X’OY’ : (Q3) El cuarto cuadrante es XUY’ : (Q4) POSICIÓN DE UN PUNTO O COORDENADAS DE UN PUNTO Se llama así, a la localización de un punto en el plano cartesiano, así: ABSCISA DE UN PUNTO.- Es la distancia de un punto al eje de las ordenadas de la figura: MP = ON = ABSCISA ORDENADA DE UN PUNTO.- Es la distancia de un punto al eje de las abscisas de la figura: OM = NP ORDENADA
Analíticamente un punto se representa así: P(a; b), donde “a” es la abscisa y “b” la ordenada del punto. OBSERVACIÓN.- Al punto P(a; b), también se llama “par ordenado” de números. Es un par en el cual el orden es importante. Así el par ordenado (-2; 5) no es igual que el par ordenado (5; 2). Además a; b pertenecen al campo de los números reales. Cuando decimos número real estamos afirmando que puede pertenecer a N (números naturales) o a Z (números enteros) o a Q (números racionales); o a I (números irracionales). DETERMINACIÓN DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS Ejemplo: Localiza los puntos: A(3; 4), B(-2; 5); C(-1; -3); D(4; -2); E(0; 2) FUNCIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO Una función es lineal o de primer grado, si su regla de correspondencia es: Y = ax + b; donde: a b son constantes, a 0. Ejemplo 1: Grafica y halla el dominio y rango de la función f en Z definida por: Y = f(x) = x + 3 Solución.1. Tabulación (algunos valores negativos y positivos para “x”) 2. Grafica:
D(f) = {…, -2, -1, 0, 0, 1, 2, 3, …} R(f) = {…, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} O también:
D(f) = Z D(f) = Z
Ejemplo 2: Grafica y halla el dominio y rango de la función P definida en N por Y = P(x) = 3x-4 Solución.-
1) Tabulación
2) D(P) = {2, 3, 4, …}
2) Grafica
R(P) = {2, 5, 8, …}
Ejemplo 3: Grafica y halla el dominio y rango de la función h definida en R por: Y=h(x)=2x+1 Ejemplo 4: Grafica y halla el dominio y rango de la función f definida en R: por Y=f(x) =
1 x+3 2
EJERCICIOS 1. Grafica y halla el dominio y el rango de la función f definida por: Y=f (x) = X+5 en el conjunto Z. 2. Grafica y halla el dominio y el rango de la función g definida por: Y=g (x) = 4x – 3 en el conjunto N. 3. Grafica y halla el dominio u el rango de la función h definida por: Y=h(x) = 3x – 1 en el conjunto R.
Segundo Año
Funciones
4. Grafica y halla el dominio y el rango de la función K definida por: Y=K(x) =
1 x +1 en el 2
conjunto R. En cada función lineal siguiente (real): a) Halla los interceptos. b) Con una regla traza la recta correspondiente. 5. f(x) = 4x + 3 6. f(x) =
1 x–2 3
7. P(x) = 2x + 6
9. h(x) = -2x – 6
8. K(x) = 6x – 3
10. K(x) = +4 – x
FUNCIONES ESPECIALES Las funciones que a continuación se presentan; son de uso frecuente, por ello es necesario recordar sus características. Entre estas funciones especiales se consideran las siguientes: 1. FUNCIÓN CONSTANTE.- Si en la función: Y=ax + b; a = 0; entonces la función resultante es: Y=b; a esta función se le denomina función constante. Son funciones constantes: Y=3; Y=-5; Y=
2 ; K(x) = 4; h(x) = -3; etc. 3
La función constante: Y=b nos dice que todos sus pares ordenados tienen como segunda componente al número b. Ejemplo: La gráfica de: Y=4 ó K(x) = 4, es:
IMPORTANTE a) El dominio de una función constante es: R(conjunto de los números reales). b) El rango de una función constante es: {b} c) Su gráfica es una recta horizontal. 2. FUNCIÓN IDENTIDAD Si en la función: Y=ax + b; a=1 b=0; entonces la función resultante es: Y=x. A esta función se le denomina función identidad. La función identidad; Y=x nos dice que todos sus pares ordenados gozan de la característica siguiente: “Su segunda componente, es igual a su primera componente”. La gráfica de: Y=x ó f(x) = x; es:
3. FUNCIÓN LINEAL.- Si en la función: Y=ax + b; b=0; “a” es una constante diferente de cero, entonces la función resultante es: Y=ax, a esta función se le denomina función lineal. La gráfica de: Y=ax ó f(x)=ax; es:
IMPORTANTE a) El dominio de la función lineal es R b) El rango de la función lineal es R c) Su gráfico es una recta oblicua que pasa por el origen. 4. FUNCIÓN AFÍN.- Es la función de la forma: Y=ax + b ó f(x) = ax + b; donde: a0 b0 La gráfica de: Y=3x +1; es:
Segundo Año
Funciones
IMPORTANTE a) El dominio de la función afín es R. b) El rango de la función afín es R. c) Su gráfico es una recta oblicua que no pasa por el origen cuya ordenada en el origen es b. 5. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.- La función valor absoluto es una función real, definida por f(x)=|0| ó Y=|x|, esta función puede expresarse de la siguiente manera:
X ; si : X 0; Y - X; si : X 0
esta notación se interpreta como la unión de dos funciones. Veamos : Y = X; si: X = 0
Y = -X; si: X < 0
6. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.- Es la función definida por: f(x) =
x
ó Y=
x ; si 0
7. FUNCIÓN CUADRÁTICA.- Una función cuadrática o de segundo grado, es una función real definida por: f(x) = ax2 + bx + c; donde “a”, “b”, “c” son números reales con a 0. Son funciones cuadráticas; por ejemplo, las siguientes:
1 2 x +9 3
Y=2x2 + x + 3;
Y=-
f(x) = 2x2 – 1
Y= 4x2; etc.
Toda función cuadrática: Y=ax2 + bx + c; puede ser escrita de la forma: (X-K)=E(X-h)2, con tan sólo “completar cuadrados”.
PRÁCTICA DE CLASE 1. Grafica la función Y=3x-1. Halla su dominio y su rango. 2. Grafica el par de rectas en un solo sistema de coordenadas.
Y=2x + 3
Y_x-2
3. Grafica la función: Y=|X+6|. Halla su dominio y su rango. 4. Grafica la función: Y=2
x . Halla su dominio y su rango.
5. Grafica las siguientes funciones y halla su dominio y su rango: a) Y=6
b) Y=9
c) Y=-4
6. Grafica las siguientes funciones y halla su dominio y su rango: a) Y=2x
b) Y=-x
c) f(x)=-4x
7. Grafica cada función siguiente, halla su dominio y su rango: a) Y=2x+3
b) Y=x+4
c) f(x)=3x+1
d) Y=x-2; x [-2; 2]
8. Grafica cada par de rectas en un solo sistema de coordenadas.
a)
Y 3X 1 Y X 3
b)
Y X 4 c) Y X 2
Y 2X 3 Y 2X 1
Y 5X 2 d) Y 5X 1
9. Grafica cada función siguiente; halla su dominio y su rango: a) Y=|x+1|
b) Y=|X-3|
c) Y=|X+4|
10. Grafica cada función siguiente, halla su dominio y su rango: a) Y=
2x
b) Y=
3X
c) Y=
4X
11. Grafica. Halla su dominio y el rango de la función: Y=2x2-4x+5 12. Grafica. Halla su dominio y el rango de la función: Y=-3x2-6x-8 13. Grafica cada función siguiente. Halla su dominio y rango. a) Y=5x2
b) Y=-4x2
c) Y=
1 2 x 3
14. Grafica cada función siguiente. Halla su dominio y su rango. a) Y = x2 + 8x – 10 ; x [0; 5> b) Y = x2 + 12x + 4 ; x [-4x; -2> c) Y = -x2 – 20x – 6 ; x
PRÁCTICA DOMICILIARIA 1) Si: F(x)=6x – 5; calcula: E a) 5/8
b) 5
c) 8/5
d) -5/8
F (1) F ( 2) F ( 0) e) -8/5
3) Si: F(x)=3x2-1. Halla el valor de:
2) Si: F(x)=2x+1 F(3x+1)=9; halla “x” a) 2
b) 1
c) 0
d) 3
e) -2
4) Si: F(x)=2x+1. Halla F(F(F(2)))
Segundo Año
Funciones F (5) F ( 2) F ( 6) a) 25
a) 23
b) 10
c) 8
d) 5
b) 11
c) 5
d) 47
e) 13
e) 1 6) ¿Cuál es el rango de la función: F={(1;3);(2;5);(1;a-1);(2;b+2);(a;b);(2b;a)}
5) Si: F(x)=5x-3; G(x) = 3x-4. Halla: F(G(2)) a) -7
b) -3
c) 3
d) 2
e) 7
7) Dado los conjuntos:
8) Si el siguiente diagrama sagital, representa a
A={x/x N 1 < x < 6}
una función de “A” en “B”. Calcula: E=a+b
B={x/x N 2 < x 5} ¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función de “A” en “B”? a) F={(2;3);(2;4);(3;4);(4;4)} b) F={(2;3);(3;4);(4;4);(4;3)} c) F={(2;4);(3;4);(4;3);(5;3)} d) F={(2;4);(3;3);(5;3);(5;4)} e) F={(2;3);(2;4);(3;3);(3;4)}
a) Absurdo
9. Dada la función: Y=f(x)=2x2-3x+1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
10) Los gráficos de las funciones:
¿Cuál es el valor de: K=f(0)}f(1)}f(2)?
f(x)=3x-2 g(x)=3-2x; se intersectan en
a) 1
el punto:
b) 2
c) 3
d) 4
e)5
11. Siendo “g” una función lineal que cumple: g(2)=14 g(-2)=8 Calcula el g(9) a) 24,5
b) 24
c) 23
d) 22
e) 0
a) (1;1) b) (2;3) c) (1;2) d) (2;1) e) (-1;2) 12) Si: F(x)=3x2-2; calcula el valor de
E F ( 2) F ( 0 ) a) 1
F ( 1 )
b) 10
c) 100
d) 1/10
e) 1/100
13) Reconoce el rango en la función: g={(2;a);(2;3a-4);(3;a-1);(4;a2)} a) {2;3;4}
b) {2;3}
d) {1;2}
e) {3;4}
c) {1;2;4}
14) Si: f(a)=a-2; f(a;b)=b2+a; entonces: f(3; f(4)); es: a) a2-4a+7
b) 7
c) 8
d) 11
e) 28
Segundo Año
Misceláneas
Tema Nº 14: MISCELÁNEAS Capacidad es: Resuelve problemas aplicando criterios algebraicos desarrollados en clase.
Desarrollo del Tema: 1) Resolver el sistema:
x 2y 3 ; hallar “x + 2y” xy 2 3
3 4 x y 1
21 2 2 x y 2) Resolver el sistema
2(x y 3) 0 3(x y 1) 12
7)
y2 0 3 0,2x 0,3y 5
x
*
Resolver los siguientes ecuaciones lineales: 3) Resolver:
x 1 3 y y 1 x 7 2 4) Resolver:
x3 y 2
y 6 1 x 5) Resolver:
x 8y 0 3x 2y 13 6) Resolver:
*
sistemas
de
Resolver los sistemas de ecuaciones:
8)
2 x y 8 4 xy 1 2 2 y 1 x 0 2 1x 1y 2 2 5
9)
x y 1 5 10) Resolver el sistema: 3 y 8x 0 14 x y 2 11) Resolver el sistema: 2y x 7 4 2
*
Resolver los ecuaciones:
siguientes
sistemas
y 2x 4 12) 1 2 x y 1 13)
x y 1 3 y 2x 2 0
14) Hallar el C.S. de:
5 x y 3 2 2x 1y 3 2
de 19) Resolver el sistema:
3 2 xy 2
2 3 2 x y 20) Resolver el sistema:
xy xy 2 4 8 2( x y ) 3( x y ) 2 3 4 21) Santiago tiene S/. 1950 en billetes de S/. 100 y de S/. 50. En total tiene 24 billetes. Determinar cuantos billetes son de S/. 100.
15) Resolver el sistema:
2y 1 x 3 6x 4 3y
16) Resolver el sistema:
4 5y x 3 x 8y 2 6
17) Resolver el sistema:
2( x 2y ) 6 12 1 x 2 ( 1 y ) ( 2x 4 y ) 2 18) Resolver el sistema:
10 10 x y 2 8 15 1 x y
22) Si la mitad del número menor se resta del mayor de 2 números, el resultado es 65. hallar los números; si difieren en 35. 23) Un padre reparte entre sus 2 hijos S/. 1200. si el doble de lo que recibe uno de ellos excede en S/. 300 a lo que recibe el otro. ¿Cuánto recibe cada uno? 24) Dos números están en la razón de 10 a 5; si se resta 20 al primero y se suma 20 al segundo; la razón de ellos se invierte. ¿Cuáles son los números? 25) Dividir 260 en 2 partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la menor; de 2 como cociente y 40 de resto. Hallar una de las partes. 26) En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres; y el triple de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres son; si en total hay 156 personas? 27) Descomponer 51 en 2 partes de manera que la parte mayor sea 3 más que el duplo de la parte menor. Hallar la parte mayor. 28) En un examen un alumno obtiene 2 puntos por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación, si después de haber contestado 50 preguntas, obtiene 64 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?
Segundo Año
Misceláneas 29) Juan tiene 28 animales entre conejos y patos. Sabiendo que hay 8 conejos más que patos. ¿Cuántos patos tiene Juan? 30) De una pieza de tela de 36m se ha vendido una parte a 90 soles y otra parte a 72 soles, quedando 9m. ¿Cuál es el precio por metro? Resolver: x 1 x 3 0 31) 10 6 32) 0,5( x 5) 1,6
x 3
x x2 x3 3 3 4 9 x 2 x 1 1 0 34) 9 3 x x 1 x 1 1 35) 2 3 4 1 1 36) ( x 5 ) ( x 2) 3( x 1) 2 3 x 2
2 3
3x 4
1 12
55) Resolver: x2 3 x3 x3
41)
4 3 8 x 2 x 1 ( x 1)( x 2)
42)
3x 1 3x 7 x2 x4
56) Resolver: 1 1 3x 1 x 2x 2x 2 1 57) Resolver: 1 2 5 2 x 1 x x x 58) Resolver: 1 x 5 8x x x x3
5 x 2 27 x 1 43) x 6 5x 3 x 1 4 4 44) 2 2x 2 2x 2 ( x 1)
59) Si x -1 ; 2 3x – 5 > 2x – 4 por lo tanto x pertenece al intervalo: a) -2 ; 1 b) -1 ; 2 c) 1 ; 2 d) {1 ; 2} e) {2 , 1}
2x 4 3( x 2) x 2 78 x2 2x 3 2x 2 x 6 2x
3x2 x
60) Resolver: (x + 1)2 + 3 > 0
3x 1
a) 0 c) R–
47) Simplificar: 3m n 5n p 7p m (35 )p ( 21)m (15 )n a) -1 b) 1 c) 0 d) 15
48) Al
racionalizar
5 q 6 , indicar
2
50) Resolver: x 1 x 1 2 2a 2a a
54) Resolver: (x + a)3 + (x – a)3 = 2x3 + 12a3
5 1 11x 1 2 3x 1 5 x 7 15 x 26 x 7
2 x 2 2x 1
a b 4a x 2 x
x b a x a x 3b 3a 13b 53) 2b 3a 6b
40)
46)
e) 22
52) x
2x 6 1 38) x3 x3 5 4 12x 6 39) 2x 1 x 1 2x 2 x 1
45)
49)
b) 3 d) 5
51) Resolver: 4x 3 3 2a b 2
3
33)
37)
a) 6 c) 13
e) 75 3
, 3 2 5q + 3
se
obtiene:
b) {0} d) R+
e) R
61) Si x [-2 ; 3], hallar: a + b si a 2 – 3x b a) -2 b) 1 c) -3 d) 3 e) 2 62) Resolver: 2[x2 – 7x + 12] < [x2 – 4x + 3] a) 7 ; 3 b) 3 ; 5 c) 7 ; 8 d) 10 , 12 e) 3 ; 7 63) Resolver:
(x2 – 3)(x + 1) – (x2 + 3)(x – 1) < 0 a) R c) [0 ; 3]
b) 0 ; 3 d) R – 0;3
e)
64) Hallar m + 2n; si el conjunto solución de la inecuación cuadrática en x: a) 4 b) -6 c) 6 d) 8 e) -8 65) De las siguientes igualdades: I. (x + 5)(x – 5) = x2 + 10x II. x(x + 6) = x2 + 6x III. 3x – 5 = 2x + 8 IV. (a + 1)2 = a2 + 2a + 1 ¿Cuál o cuales son idénticas?
75) Halle el resto en: a) 3 c) 1
( x 1)3 x 3 x 2 1 x 1 b) 2 d) 0 e) -3
76) Encontrar el resto de dividir: D(x) = x3 – 7x + 6 Por (x – 2)(x + 3) a) 0 b) 1 c) -1 d) x
66) De las siguientes igualdades: I. X2 + 6x = x2 + 6x II. (x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 15 III. 2(x – 3) = 4(x + 1) IV. (x + 3)(x – 3) = x2 – 9 ¿Cuál es una ecuación? 67) Resolver: (x + 3)3 = (x + 2)3 + 1 a) -3 b) -2 c) 6 d) {-3 ; -2}
74) Sean x – 2, x, x + 2 las longitudes de los lados de un triángulos rectángulo, hallar la longitud del mayor cateto. a) 10 b) 8 c) 6 d) 12 e) 14
e) x + 1
77) Si a, b, m y n son números positivos, reducir la expresión: a) 10 c) 100
e) 0
68) Al factorizar: P(x) = x5 + x +x3 + x2 + x4 +1, indicar el número de factores cuadráticos a) 0 b) 4 c) 1 d) 2 e) 3 69) Si P(x) = (1 + x) [(x+2)(x+3) – 2] indicar un factor primo. a) x b) x + 1 c) x + 2 d) x + 3 e) x + 5 70) Sea P(x;y) = 2x2+xy–y2+5x–y+2 dar como respuesta la suma de los factores primos. a) 3x + 3 b) x + 3 c) 3x + 1 d) 3x – 3 e) 3x 71) Factorizar f(x ; y) = (4x2 + 4x + 1) – y2, indicar el producto de coeficientes de un factor primo. a) -4 b) -3 c) -2 d) -1 e) 0 72) P(x) = (x + y) 2 – 5(x + y) + 6; indicar la suma de los términos independientes de sus factores primos. a) 2 b) 2x c) 2y – 5 d) 5y – 2 e) x + 7 73) Si las dimensiones de una caja están en progresión aritmética e razón 2 y la suma de las áreas de 3 caras diferentes es 23, indicar la menor arista. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
78) Simplificar: a) 10 c) 0
(am bn)2 (an bm)2 (a 2 b 2 )(m2 n2 ) b) 0–1 d) 0 e) 1 (a 2 b 2 )(m2 n2 ) 4abmn (am bn)2 (an bm)2 b) 1 d) 0,1 e) 100
79) Sean los polinomios: p(x;y) = x + y ; q(x;y) = x2 + y2; s(z) = z2+z+1; Dar la expresión simplificada de: 2 2P( y ; x ) q( y ; x ) x y S( x ) S( y ) a) -2 b) -1 c) o d) 2
e) 1
80) Si a + b + c = 1 y P(x) = ([ax2 – bx + c] + [bx2 – cx + a] + + [cx2 – ax +b])3 Indicar: P(a + b + c) a) -1q b) 0 c) 1 d) 2 e) -2} 81) Si P(x) = x3 + 1 y q(x) = x2 – 3 y R(x) = p(x) + q(x). Calcular: “m + n”, donde: m = °[R(x)] y n = R(1) a) 0 b) 11 c) 10 d) 1, 5 e) 1 82) Si P(x) = (–16 – a)x3 + (7 – b)x2 + (9 + c)x + a – c + b indicar S.I. donde s: es la suma de coeficientes t es el termino independiente. a) 4 b) -2 c) 6 d) 0 e) 2 83) Si
0,3 3 2 se puede escribir como 6 q (q
Q), indicar el valor de
3
2q
Segundo Año
Misceláneas a) 6 c) -1
b) 0 d) 2
84) Reducir:
3
3
2
A)2 D)16
e) 2/3
87) Indicar
expresión:
72
2
B)4 E) 8
C)6
3
86) Al reducir
B)4 E) 6 x .2 a x 3
5a
89) Si: x 10
C)1
5.
17
90) Si: 6 8
C)2
5.........
B)1 E) 25
C)10
5.
5.
25
C)10
5 x 4 . x 1 . x n
Hallar: A)2 D)5
; se obtiene: x 20
hallar el valor de “a” A)1 B)4 D)3 E)8
A)3 D)5
xa
16
25.4 5 3. 5
B)11 E) 13
88) Reducir:
que la expresión a x .2 a x .3 a x 1 es igual a 12 , calcula el exponente de “x” en A)2 D)3
A)12 D)9
85) Sabiendo 11
el exponente final de 5 de la siguiente
n 1
B)1 E) 3 n
C)0
2n ; n N
Hallar: n 1 A)2 B) 2
C)4
D)5
E) 3
91) Simplificar la siguiente expresión, sabiendo que; a, b, c son reales positivos
E
(a b) 2 (b c) 2 (c a ) 2 2c(a b) 2a(b c) 2b( a c) a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2(ab bc ca )
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
92) Reducir la expresión:
E ( x 2 y z ) 2 3[( x y ) ( z y )] 2 [( y z ) ( y x)] 2 [ z x 2 y ] 2 a) 6
b) 0
xy xy ............. xy 20 factores B) y 5 C) x 5
A) x 10 x y
d) 2
e) -2
60 factores 3 x . y . x .3 y ....... x .3 y
93) Simplificar: E
5
c) -1
D) y 10
E)
5
94) Calcular “x”:
9 x 3 x .5 27
5
A)2
B)1
95) Indicar el valor de “K”
C)-1 K
A)5
B)25
96) Hallar el valor de:
A B
A)5
B)4
97) Reducir: E
19
6
6
A
13. 13. 13...........
B
3.
C)3
120 factores 5 x . y . x .5 y ....... x .5 y x. y .3 x. y ..........3 x. y 30 factores
3
E) -3
D)12
E) 8
D)2
E) 6
6...............
C)18 Si:
D)-2
3.
3...........
A) xy 5
B) x 5 y
98) Resolver:
A)1 E)
C) x 3 y 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 15 x 2 2 2 2 B)-3
D) x 10 y
C)-1
E) x 5 y 5
D)3
1 3
99) Resolver:
xx
x 1
256
A)1
B)0
C)2
D)
1 2
E) -2
100) Calcular “x”
Si: A)
1 2
2
x3 x
3 x3 x
3 x... 2
B)
3
2
C)
5
2
D)
23
E)
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