2 - 2 Nociones de Probabilidad

Probabilidad y estadística José Luis Poveda Macías Ingeniero Físico Maestro en Educación

Nociones de probabilidad • • • • •

Definición. Espacio muestral y eventos. Axiomas y teoremas. Eventos dependientes. Eventos independientes.

Reporte 1 • En equipos de 4 personas, se les entregará un dado distinto. • El experimento consiste en calcular el número de veces que saldrán los valores divisibles entre 3. Éste es el evento deseado o “éxito”. • Anoten después de cada repetición el resultado obtenido y si es el esperado. • Tabulen, en intervalos acumulados de 10, el resultado 𝑽𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒊ó é𝒙𝒊𝒕𝒐 obtenido: • Grafiquen

𝑹𝒆𝒑𝒆𝒕𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 É𝒙𝒊𝒕𝒐 la relación 𝑹𝒆𝒑𝒆𝒕𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

cada tanda de 10 acumulados. A. Actividad introductoria

para

Reporte 1 • Ahora hallen la

𝑬𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 relación 𝑬𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

para

un único experimento. • ¿Es una estimación acertada? Analicen sus resultados y saquen sus conclusiones al respecto. • Repitan el procedimiento con otro dado.

A. Actividad introductoria

Definición • La probabilidad es la ciencia matemática que estudia y modela los fenómenos aleatorios.

• Ajusta modelos deterministas a eventos que no son predecibles con exactitud. 1. Definición

Significado de términos clave • Probabilidad: Del latín probabilitas, -atis En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

• aleatorio: del latín aleatorius, propio del juego de dados 1. adj. Perteneciente o relativo a los juegos de azar 2. adj. Dependiente de algún suceso fortuito • determinista, de determinismo: Teoría que supone que la evolución de los fenómenos naturales está completamente determinada por las condiciones iniciales

¿Cómo es un fenómeno aleatorio? • Es un hecho del cual sus posible resultados son previsibles antes de efectuar el experimento. • Sin embargo, no se puede predecir el resultado final antes de realizarlo. • Al repetir el experimento varias veces, con las mismas condiciones iniciales, se pueden obtener resultados distintos.

1. Definición

Límite de una probabilidad • La probabilidad no es más que un límite cuando se repite un experimento infinitas veces. Es decir: 𝒔 𝐥𝐢𝐦 𝒇 = 𝒏→∞ 𝒏 • Donde f es la frecuencia relativa del resultado • s es el número de veces que ocurre un “éxito” • n es el número de repeticiones del experimento.

1. Definición

Definición clásica • Sea E un evento que puede ocurrir de s formas de un total de n maneras. Entonces su probabilidad se calcula: 𝒔 𝒑= 𝒏 • O dicho de otra forma: 𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒑= 𝑪𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

1. Definición

Espacio muestral • Recordemos la teoría de conjuntos: – El espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados posibles para un experimento determinado. – Puede considerarse como el Universo (U) para el experimento que se está planteando.

U 1

5 3

4 2. Espacio muestral y eventos

2 6

Evento – Es todo subconjunto existente en el espacio muestral del experimento. – Estos son definidos en el problema que se quiere resolver. El experimento es tirar un dado. U 1 Evento A= Cae un número par. 2 5 Evento B= Cae un número 4 B A 6 mayor o igual a 4. A= {2, 4, 6} B= {4, 5, 6} 3 2. Espacio muestral y eventos

Axiomas • Muchos de los axiomas pueden comprobarse mediante Diagramas de Venn, en caso de ser necesario. • P(A) = Probabilidad de que ocurra el evento A. • Axioma 1: 𝟎 ≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏 – Si el evento tiene una probabilidad de cero, se dice que es un evento imposible. – Si el evento tiene una probabilidad de uno, se dice que es un evento seguro.

• Axioma 2: 𝑷 𝑺 = 𝟏 3. Axiomas y teoremas

Axiomas • Axioma 3: Para eventos mutuamente excluyentes 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ para i ≠ j: 𝑛

𝑛

𝑃 ራ 𝐴𝑖 = ෍ 𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑖=1

𝑖=1

• Desarrollándolo: 𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 )

3. Axiomas y teoremas

Teoremas • 𝑷 𝑨∁ = 𝟏 − 𝑷 𝑨 • Sean A y B dos eventos cualesquiera: 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) • Si A ⊆ B, entonces 𝑷 𝑨 ≤ 𝑷 𝑩 • Sean A y B dos eventos cualesquiera: 𝑷 𝑨 − 𝑩 = 𝑷 𝑨 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) • Es importante notar que las propiedades de los Diagramas de Venn son aplicables en este caso. 3. Axiomas y teoremas

Ejemplo • Se ha seleccionado al azar una carta de una baraja de 52 cartas. Considera los eventos siguientes: A={corazón} y B={figura} a) Encuentra P(A), P(B) y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) b) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)

3. Axiomas y teoremas

Ejemplo a) Las cartas de figuras en las barajas son 3: jota, queena y rey; y hay uno por cada palo. En total son 12. Entonces, la probabilidad de que salga una figura es: 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂𝒔 12 𝟑 𝑷 𝑩 = = = 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒕𝒂𝒔 52 𝟏𝟑

3. Axiomas y teoremas

Ejemplo a) En una baraja común existen 13 cartas de cada palo (corazones, espadas, diamantes, tréboles). Entonces, la probabilidad de que salga un corazón es: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠 13 𝟏 𝑷 𝑨 = = = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠 52 𝟒

3. Axiomas y teoremas

Ejemplo a) Finalmente, se quiere conocer la probabilidad de que sea una carta de corazón con figura. De los 13 corazones, sólo 3 son figuras. Por lo tanto: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠 3 𝑷 𝑨∩𝑩 = = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠 52

3. Axiomas y teoremas

Ejemplo b) Se quiere hallar 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵), o lo que es lo mismo, la probabilidad de escoger una carta corazón o una carta figura. Entonces se puede calcular con el teorema de la adición: 1 3 3 22 𝑷 𝑨∪𝑩 =𝑷 𝑨 +𝑷 𝑩 −𝑷 𝑨∩𝑩 = + − = 4 13 52 52 𝟏𝟏 = 𝟐𝟔

A. Axiomas 3. Ejemplo y teoremas

Eventos dependientes • Las técnicas de conteo son muy útiles para poder determinar la probabilidad de distintos eventos. • Recuerda examinar el problema para escoger la técnica más conveniente para resolverlo. – – – – –

Diagramas de Venn Combinaciones Permutaciones Diagramas de árbol Adición y multiplicación.

A. Eventos 4. Ejemplodependientes

Ejemplo • Seis parejas casadas se encuentran en una habitación. Dos personas se eligen al azar. Encuentra la probabilidad p de que: a) Estén casadas entre sí. b) Una sea hombre y la otra, mujer.

A. Eventos 4. Ejemplodependientes

Ejemplo Son 12 personas en total, por lo tanto, los casos posibles se calculan:

a)

12 12 ∙ 11 = = 66 2 2∙1 Hay 6 parejas casadas, es decir: 6 1 𝑝= = 66 11

b) Si uno es hombre y el otro mujer, entonces, los casos favorables se determinan: 6 6 = 36 1 1 36 6 𝑝= = 66 11 A. Eventos 4. Ejemplodependientes

Actividad 2 • Debido a un error de manufactura, tres latas etiquetadas como “refresco de cola” fueron llenados accidentalmente con refresco dietético y colocados en un paquete de doce latas. Supón que tres latas se seleccionan de manera aleatoria del paquete de 12 latas. – Determina la probabilidad de que dos exactamente contengan refresco dietético. – Determina la probabilidad de que una exactamente contenga refresco dietético. – Determina la probabilidad de que las tres contengan refresco dietético. 7. Fórmulas A2. Actividadde conteo

Eventos independientes • Los eventos independientes son aquellos en los que se considera que la ocurrencia de uno no afecta directamente que suceda el otro. • Por ejemplo, si lanzo un dado, y luego tiro una moneda, son eventos independientes porque el resultado del dado no influye en la moneda.

5. Eventos independientes

Eventos independientes • Si se realiza el experimento múltiples veces, también puede considerarse cada evento como independiente del otro, puesto que en teoría el resultado anterior no afecta al siguiente. Es idéntico a cuando se efectúa el experimento con dados distintos. • Si dos eventos son independientes: 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 𝑷(𝑩)

7. Eventos 5. Fórmulasindependientes de conteo

Ejemplo • Un sistema eléctrico en paralelo de n componentes independientes separados se muestra en la figura. La probabilidad de que un componente funcione es pi, con i = 1, 2, …, n, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? 1 2

A

… 5. Eventos independientes

3 n

B

…

Ejemplo • Un sistema en paralelo funciona cuando, por lo menos, uno de los interruptores hace contacto. La opción más lógica sería decir: P{el sistema funcione} = P{un contacto funcione} + P{dos contactos funcionen} + … + P{todos los contactos funcionen} • Sin embargo, es impráctico ya que existe una cantidad n de contactos que pueden funcionar. • ¿Existe alguna forma de tener un cálculo más sencillo? 5. Eventos independientes

Ejemplo Usemos otra perspectiva: • Una opción más sencilla es decir que el único caso que no me interesa es aquél en el que ninguno de los contactos esté funcionando. Utilizando la propiedad del complemento, obtenemos que: P{el sistema funcione} = 1 – P{el sistema no funcione} P{el sistema funcione} = 1 – P{ningún componente funcione} 1

2

A

… 5. Eventos independientes

3 n

B

…

Ejemplo • Sea Ai es el evento en el que componente i funciona, podemos decir que: ∁

∁

𝑷 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝟏 − 𝑷 𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 ∩ ⋯ ∩ 𝑨𝒏

∁

𝒏

𝑷 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝟏 − ෑ(𝟏 − 𝒑𝒊 ) 𝒊=𝟏

1 2

A

… 5. Eventos independientes

3 n

B

…

¡Cuidado! • ¡Antes de aplicar la fórmula de independencia, asegúrate que sea razonable suponer que todos los eventos son independientes entre sí!

• ¡Una fórmula mal empleada puede provocar efectos catastróficos!

5. Eventos independientes

Three Mile Island, situada en Harrisburg, Pennsilvania, 28 de marzo de 1979

• En esa planta nuclear ocurrió un accidente nuclear en 1978. • Se pensaba que la probabilidad de que ocurriese un accidente era de una en 10 millones. Sin embargo, ocurrió. • Los estadísticos consideraron que había una probabilidad de 1 en 1,000 de cerrar una válvula de control de agua. • Dos válvulas = (teóricamente) 1 en 1 millón.

5. Eventos independientes

Three Mile Island • Sin embargo, la independencia no toma en cuenta los casos en que hay errores de juicio. • Además, las dos válvulas nunca habían sido cerradas. El trabajador no pudo haber intuido que ambas debían cerrarse al mismo tiempo si no le fue explicado. • Por lo tanto, los riesgos fueron subestimados, casi provocando una catástrofe nuclear.

5. Eventos independientes

Actividad 2 • De acuerdo con una encuesta, cerca del 17% de los adultos hacen apuestas en deportes profesionales. La información del censo indica que el 48.4% de la población de México es hombre. – Asumiendo que apostar es independiente del género, calcula la probabilidad de que un adulto mexicano seleccionado al azar sea un hombre que apueste en deportes profesionales. – Basado en el resultado anterior, calcula la probabilidad de que un adulto mexicano seleccionado sea hombre o apueste en deportes profesionales. – La encuesta indicó que 10.6% de los adultos mexicanos son hombres que apuestan en deportes profesionales. ¿Qué significa esto para el supuesto del primer inciso? – ¿Cómo afecta la información en el tercer inciso a la probabilidad calculada en el Segundo inciso? A2. Actividad

Probabilidad y estadística José Luis Poveda Macías Ingeniero Físico Maestro en Educación

Probabilidad condicional • • • •

Definición. Procesos estocásticos. Ley de probabilidad total. Teorema de Bayes.

Video: Monty Hall

1. Video

Fuente: http://www.youtube.com/watch?v=AbepvfOaFhw&

Definición • La probabilidad condicional implica la reducción intencionada del espacio muestra para determinar la probabilidad de un evento cuando ya ocurrió otro. • Es decir, 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷 𝑨𝑩 = 𝑷(𝑩) • Esto es, la probabilidad de que ocurra A si B ya sucedió.

B es el nuevo espacio muestral 𝑨 ∩ 𝑩 se convierte en los “casos favorables” 1. Definición

Definición • Se utiliza la probabilidad condicional cuando:

se quiere calcular la probabilidad y sólo se tiene información parcial al respecto se descubre que hay datos que son más relevantes para lo que nos interesa calcular (Estadística).

1. Definición

Ejemplo • En cierta universidad, el 25% de los estudiantes reprobaron matemáticas, el 15% reprobaron química y el 10% reprobaron ambas. Se selecciona un estudiante al azar. a) Si el estudiante reprobó química, ¿cuál es la probabilidad de que haya reprobado matemáticas? b) Si el estudiante reprobó matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya reprobado química? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante haya reprobado matemáticas o química? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no haya reprobado ni matemáticas ni química? 1. Definición

Ejemplo a) Se busca 𝑷(𝑴|𝑸), es decir, la probabilidad de que el estudiante, habiendo ya reprobado química, también haya tronado matemáticas. 𝑃 𝑀 = 0.25, 𝑃 𝑄 = 0.15, 𝑃 𝑀 ∩ 𝑄 = 0.10 Aplicando la fórmula:

𝑷(𝑴 ∩ 𝑸) 𝑷 𝑴𝑸 = 𝑷(𝑸) 0.10 𝟐 𝑃 𝑀𝑄 = = 0.15 𝟑

1. Definición

Ejemplo b) Ahora se solicita 𝑷(𝑸|𝑴), es decir, la probabilidad de que el estudiante, habiendo ya reprobado matemáticas, también haya tronado química. Aplicando la fórmula: 𝑷(𝑴 ∩ 𝑸) 𝑷 𝑸𝑴 = 𝑷(𝑴)

0.10 𝟐 𝑃 𝑄𝑀 = = 0.25 𝟓 1. Definición

Ejemplo c) Esto implica utilizar la regla de la adición: 𝑷 𝑴 ∪ 𝑸 = 𝑷 𝑴 + 𝑷 𝑸 − 𝑷(𝑴 ∩ 𝑸) 𝑷 𝑴 ∪ 𝑸 = 0.25 + 0.15 − 0.10 = 𝟎. 𝟑𝟎 d) Se desea obtener a todos aquellos estudiantes que no se encuentran definidos dentro de A y B, o sea, (𝑴 ∪ 𝑸)∁ . Esto se halla con la fórmula:

𝑷 𝑴∪𝑸

1. Definición

∁

=𝟏−𝑷 𝑴∪𝑸

= 1 − 0.30 = 𝟎. 𝟕𝟎

Actividad 2 • El mes de junio, en Chicago, se reportaron 37% de días nublados. También en junio, el 21% de los días fueron nublados y lluviosos. ¿Cuál es la probabilidad de que un día de junio seleccionado al azar será lluvioso si se reporta como nublado?

A2. Actividad

Procesos estocásticos • Es una sucesión finita de experimentos en donde cada experimento tiene resultados con probabilidades dadas. • No tiene que ser una repetición del mismo experimento. • Los diagramas de árbol rotulados son utilizados para resolverlos fácilmente.

2. Procesos estocásticos

Ejemplo • Supón que se te dan 3 cajas: – La caja X tiene 10 focos, de los cuales 4 están defectuosos. – La caja Y tiene 6 focos, de los cuales 1 está defectuoso. – La caja Z tiene 8 focos, de los cuales 3 están defectuosos.

• Se escoge una caja al azar y luego se selecciona un foco de la caja. a) Encuentre la probabilidad p de que el bombillo no esté defectuoso. b) Si el bombillo no está defectuoso, encuentre la probabilidad de que provenga de la caja Z.

2. Procesos estocásticos

Ejemplo • Empecemos por determinar las probabilidades de cada experimento. 1. El primero consiste en seleccionar una caja al azar. Puesto que todas las cajas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, la probabilidad para cada una de ellas es 1 . 3

2. El segundo experimento depende de la caja elegida. 4 2 Si se escoge X, se tiene una probabilidad de = de 10 5 tomar un foco defectuoso. Por lo tanto, la probabilidad de 3 escoger un foco funcional es de . 5

3. Este proceso se repite para las otras cajas. 2. Procesos estocásticos

Ejemplo • Una vez planteadas las probabilidades, se dibuja un diagrama de árbol donde se ponen todas las opciones existentes para el problema. Experimento 2 Experimento 1 X 1 3

Inicio

1 3

3 5

1 6

Y

1 3

Z 2. Procesos estocásticos.

2 5

5 6

3 8 5 8

D

N • Cada ramal debe sumar 1 D • Considerar si los experimentos son al azar o existe algún sesgo. • Es posible calcular la N probabilidad total de un evento ocurrido en el segundo experimento. D N

Ejemplo a) Noten que las tres trayectorias principales son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, si ocurre el primer experimento y el segundo experimento, y luego consideramos que hay 3 casos posibles, obtendremos la probabilidad de seleccionar un foco no defectuoso: 1 3 1 5 1 5 247 𝑝=𝑃 𝑁 = ∙ + ∙ + ∙ = ≈ 0.686 3 5 3 6 3 8 360 2 5 1 3 1 3 1 3

2. Procesos estocásticos

D 3 5

X 1 6

Y

D

5 6

N

3 8

Z

N

5 8

D N

Ejemplo b) Es un caso de probabilidad condicional, ya que sabiendo que el foco no es defectuoso, queremos saber si provino de la caja Z. Ya tenemos la probabilidad de que no sea defectuoso. Ahora necesitamos la probabilidad de que no sea defectuoso y que salga de la caja Z, o sea, 𝑷(𝑵 ∩ 𝒁). 2 5 1 3 1 3 1 3

3 5

X 1 6

Y

N D

5 6

N

3 8

Z 2. Procesos estocásticos

D

5 8

D

N

1 5 5 ∙ = 3 8 24 Ahora aplicamos la fórmula de probabilidad condicional 𝑷(𝒁 ∩ 𝑵) 5/24 𝑷 𝒁𝑵 = = = 𝟎. 𝟑𝟎𝟒 𝑷(𝑵) 247/360 𝑷 𝒁∩𝑵 =

Ley de probabilidad total • Remitámonos de nuevo al ejemplo anterior. Cada rama principal se puede considerar como un subconjunto (o eventos) mutuamente excluyente: A1

A1

A2

E

E A2

A3

E

E

S

• En el segundo esquema tenemos que: 𝑬 = 𝑬 ∩ 𝑺 = 𝑬 ∩ 𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐 ∪ … ∪ 𝑨𝒏 = 𝑬 ∩ 𝑨𝟏 ∪ 𝑬 ∩ 𝑨𝟐 ∪ ⋯ ∪ (𝑬 ∩ 𝑨𝟑 ) A. Ley 3. Ejemplo de probabilidad total

A3

Ley de probabilidad total • Ahora, con la fórmula de probabilidad condicional, obtenemos que: 𝑷 𝑬 ∩ 𝑨𝒌 = 𝑷 𝑨𝒌 𝑷(𝑬|𝑨𝒌 ) • Aplicando la fórmula: 𝑷 𝑬 = 𝑷 𝑨𝟏 𝑷 𝑬|𝑨𝟏 + 𝑷 𝑨𝟐 𝑷 𝑬|𝑨𝟐 + ⋯ 𝑷 𝑨𝒏 𝑷(𝑬|𝑨𝒏 ) 𝒏

𝑷 𝑬 = ෍ 𝑷 𝑨𝒊 𝑷(𝑬|𝑨𝒊 ) 𝒊=𝟏

que, en realidad, es la fórmula que aplicamos en el ejemplo. A. Ley 3. Ejemplo de probabilidad total

Teorema de Bayes • Es otra fórmula que es muy útil pero, sobre todo, es aplicada intuitivamente cuando se tienen que calcular probabilidades con diagramas de árbol. A1

A2

A3 A. Teorema 4. Ejemplo de Bayes

E

E

E

También se mostró en el ejemplo. Consiste en la división de la probabilidad total con respecto a la rama que nos interesa. Es un caso particular de probabilidad condicional.

Teorema de Bayes • Tenemos los eventos A1, A2, …, Ak, …, An, que forman una partición con S, y E es un evento cualquiera. Si aplicamos lo antes visto en la fórmula de probabilidad condicional: 𝑷 𝑨𝒌 𝑬 =

𝑷(𝑨𝒌 ∩𝑬) 𝑷(𝑬)

=

𝑷 𝑨𝒌 𝑷(𝑬|𝑨𝒌 ) 𝑷(𝑬)

Si consideramos la fórmula obtenida para calcular la probabilidad total de E: 𝑷 𝑨𝒌 𝑬 = A. Teorema 4. Ejemplo de Bayes

𝑷 𝑨𝒌 𝑷(𝑬|𝑨𝒌 ) σ𝒏 𝒊=𝟏 𝑷 𝑨𝒊 𝑷(𝑬|𝑨𝒊 )

Ejemplo • Supongamos que un dormitorio estudiantil en una universidad está conformado por: 1) 30% de estudiantes de primer año, de los cuales el 10% posee un auto. 2) 40% de estudiantes de segundo año, de los cuales el 20% posee un auto. 3) 20% de estudiantes de tercer año, de los cuales el 40% posee un auto. 4) 10% de estudiantes de cuarto año, de los cuales el 60% posee un auto. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de tercer año si tiene auto? 7. Teorema 4. Fórmulasde deBayes conteo

Ejemplo • Se traza el diagrama de árbol respectivo, y se determinan los eventos útiles. A

10% 90%

30% 40%

T N T

B

20% 80%

T

C

40% 60%

20% 10% D

60% 40%

N

N T N

4. Teorema de Bayes

Nos interesa T (evento tiene auto) a) La probabilidad total es: 𝑃 𝑇 = 0.30 0.10 + 0.40 0.20 + 0.20 0.40 + 0.10 0.60 = 𝟎. 𝟐𝟓 b) Se busca la probabilidad de 𝑷(𝑪|𝑻). Noten que la intersección está marcada en la probabilidad total anterior. Por el teorema de Bayes: 𝑷 𝑪 𝑷(𝑻|𝑪) (0.20)(0.40) 𝑷 𝑪𝑻 = = 𝑷(𝑻) 0.25 8 = = 32% 25

Actividad 2 • Un fabricante de navajas de afeitar compra tiras de acero de tres proveedores: A, B y C. En promedio, 70% se compran a A, 20% a B y 10% a C. La probabilidad de que las tiras de acero A provoquen que se detenga la línea de producción debido a alguna variación de ancho o espesor es 0.001. Para B, la probabilidad es de 0.002, mientras que para C es 0.005. Si una tira sin identificar produce un paro en la producción, ¿cuáles son las probabilidades de que haya provenido de A, de B y de C? 7. Fórmulas A2. Actividadde conteo