2 - 2. Derivada de Una Curva en Forma Parametrica
October 12, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Calculo vectorial vectorial
(Calculo 2, Larson 9ª Ed. Pag. 721-723)
Unidad 2. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 2 – 2. 2. Derivada de una curva en forma paramétrica Teorema. Forma paramétrica de la derivada
Si una curva suave C esta dada por las ecuaciones es:
(,,)
Como
y
, entonces la pendiente de C en
() () ≠ 0 ,
es función de t , puede emplearse el teorema teore ma anterior repetidamente para hallar las derivadas
de orden superior . Es decir:
[]
Ejemplo 1.
Hallar
para la curva dada por y .
Solución:
Como: () Entonces: () − () Por lo tanto:
Ing. José Ramón Tapia Torres
Segunda derivada
Tercera derivada
Ejemplo 2.
Hallar
para la curva dada por y .
Solución: Como:
−(() − − −
La segunda derivada, es útil para determinar puntos de inflexión inflexión en la curva (si los hay) y para analizar la concavidad de la misma.
Ejemplo 3.
y , en el punto Hallar la pendiente de la recta tangente para la curva dada por y en el punto . Y determine los puntos de inflexión y analice la concavidad de la curva.
(1,0 1,0))
Solución:
Representación gráfica de la curva para
t
x
y
0
0 0.7071
1 0.7071
1
0
0.7071
-0.7071
0 -0.7071
-1 -0.7071
-1
0
-0.7071
0.7071
0
1
4 23 54 43 27 4 2
0 ≤ ≤ 2.
Primera derivada para determinar la pendiente, en el punto
Ing. José Ramón Tapia Torres
(, , )
(0,1) 0,1)
0 en el punto (0,1), entonces: | − −(() 0, por lo tanto, 0 . = (()
Sea
Ecuación de la recta tangente, se obtiene con la ecuación punto-pendiente: Se tiene de información, el punto
1 0( 0) 1
y el valor de pendiente
(0,1) 0,1)
, entonces:
0
Primera derivada para determinar la pendiente, en el punto
en el punto (1,0), entonces: | − ⇒ , =
( )
(, , )
Sea
por lo tanto,
Se tiene de información, el punto
⇒ .
(1,0) y el valor de pendiente esta indefinido, entonces:
Sabemos que una recta vertical tiene pendiente indefinida, por lo que la ecuación de la recta es
1.
Segunda derivada para analizar la concavidad de la curva
1 1 Primero determinamos los puntos de inflexión
(,() ,())) es un punto de inflexión para la gráfica de una función , entonces ´´ ´´(() 0 o ´´ ´´(() no
Si existe.
Ing. José Ramón Tapia Torres
0, entonces: 0, la ecuación no tiene t iene solución, entonces debemos determinar el valor de para la cual la
expresión de la segunda derivada en este caso se indefine. Entonces:
0
es un número entero. 0 ( (2 2 + 1 ) en el intervalo 0 ≤ ≤ 2 Por lo tanto tenemos dos puntos p untos de inflexión: (1,0) (1,0) , para
Prueba para concavidad
´´ existe sobre (, ). ,), entonces la gráfica de es cóncava hacia arriba sobre (, , ). a) Si ´´( ) > 0 para toda en (,
Sea una función para la cual cua l
b) Si
´´(() < 0 para toda en (,,), entonces la gráfica de es cóncava hacia abajo sobre (, ). ´´
Tomando dentro del intervalo
, , el valor de .
Evaluando:
| 1 (valor positivo) = () es cóncava hacia arriba. , entonces la curva en el |= > , Tomando dentro del intervalo
, 2 ∪ 0, , el valor de 2.
Evaluando:
| 1 (valor negativo) = () ) |
< , entonces la curva en el , 2 ∪ 0, es cóncava hacia abajo. =
Ing. José Ramón Tapia Torres
Ejemplo 4.
Hallar los puntos de tangencia horizontal y vertical vert ical (si llos os hay) de la curva dada:
y .
Solución: Representación gráfica de la curva para
0 ≤ ≤ 2.
Para determinar los puntos de tangencia horizontal y vertical, debemos saber que una recta es horizontal si su pendiente es cero y una recta es vertical cuando su pendiente no está definida, definida, es decir: − . Recordando que la pendiente de una recta se obtiene con,
−
Ing. José Ramón Tapia Torres
0 , si 0 , por lo tanto la recta es horizontal. esta indefinida, si 0 , por lo tanto la recta es vertical. Cuando obtenemos la derivada de las ecuaciones paramétricas podemos obtener la pendiente de una recta tangente en un punto dado.
Entonces para obtener los puntos de tangencia t angencia horizontal, determinamos la derivada de respecto de y luego igualamos a cero.
Y para obtener los puntos punto s de tangencia vertical, determinamos la derivada de respecto de y luego igualamos a cero.
Resolviendo ambas expresiones, determinamos los valores de donde podemos ubicar los puntos de tangencia y poder determinar las coordenadas correspondientes. Entonces: Puntos de tangencia horizontal
() 0 0 , donde es un numero entero. 0,0, 2 2 , son los valores de , donde tenemos puntos de tangencia horizontal. Coordenadas correspondientes: (0,1), (0,1) (0,1). Por lo tanto, , para
Puntos de tangencia vertical
() Por lo tanto, 0 0, para ( (22 + 1) , donde es un numero entero. , son los valores de , donde tenemos puntos de tangencia vertical. Coordenadas correspondientes: (1,0) (1,0).
Ing. José Ramón Tapia Torres
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