2 1 Vigas Rigidez Ei Constante PDF

 

 

 

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DISEÑO DE VIGAS  ANÁLISIS Y DISEÑO CONTINUAS

1.  CASO 1: RIGIDEZ A LA FLEXIÓN CONSTANTE CONSTANTE [EI=cte] Resuelva la siguiente viga continua cuya rigidez a la flexión es constante [EI = cte]. La viga está sometida a una carga puntual y una carga uniformemente distribuida. Además, una de las vigas tendrá una rótula.

Figura 18. Ejercicio CASO 1 

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1.1.  ESTRATEGIA DE MODELACIÓN

 

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Lo particular de este ejercicio es que la viga continua tiene una rigidez a la flexión constante [EI=cte]. Esta condición es clásica para resolver ejercicios enmarcados en la mecánica estática, es decir sin importar cual es el módulo de elasticidad del material, ni la sección transversal de los elementos. La metodología de modelación se basa en configurar E e I con valores iguales a 1  [en las respectivas unidades del problema: KN y m], acción que representará la condición constante de ambas propiedades en todos los tramos de la estructura. Además, anularemos el resto de propiedades mecánicas 3 ya que no son del interés del análisis estático.

KN, m

Apoyos / Rótula

E = 1 KN/m2 

A = 1 m2 / I = 1 m 4 

DEFINIR UNIDADES DE TRABAJO

DEFINIR GEOMETRÍA

DEFINIR MATERIALES

DEFINIR SECCIONES

LECTURA DE RESULTADOS

ANÁLISIS DEL MODELO

ASIGNAR PATRONES DE CARGA

ASIGNAR SECCIONES

Reacciones / Deformada / DFC / DFM

Grados de libertad

Carga distribuida / Carga puntual

EI = cte

Figura 19. Estrategia de modelación 

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 Propiedades mecánicas como el producto de inercia, el área cortante, la torsión, el módulo de sección, el módulo plástico, el radio de giro y el centro de excentricidad cortante.

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1.2.  DEFINIR UNIDADES DE TRABAJO

 

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Después de abrir el programa SAP2000, desplegamos el menú del sistema de unidades ubicado en la parte inferior derecha y seleccionamos las unidades de trabajo para este caso: KN, m, C. 

1.3.  DEFINIR GEOMETRÍA

Figura 20. Unidades de trabajo

 

Ejecutar el comando File/New Model. En la ventana emergente ‘New Model’ seleccionamos el modelo predefinido correspondiente a vigas: ‘Beam’.

Figura 21. Ventana ‘New Model’ 

En la ventana emergente ‘Beam’ definiremos las características geométricas de la viga: primero definiremos el número de tramos que tendrá la viga, para eso en Number of Spans digitamos ‘4’; además activamos la opción Use Custom Grid Spacing and Locate Origin ya que para este ejemplo usaremos la grilla para poder editar las dimensiones. Clickeamos ‘Edit grid’. grid’. 

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Figura 22. Ventana de configuración ‘Beam’  ‘Beam’  

En la Figura 23, se presenta la ventana emergente ‘Define Grid System Data’. Aquí se definirán las ubicaciones de los ejes de la grilla respecto a las coordenadas X, Y y Z. Debido a que la estructura diseñada es unidimensional, no modificaremos las coordenadas Y ni Z [permanecerán en cero]. En la sección  X Grid Data, en la columna Ordinate (m)  colocaremos los valores 0, 3, 6, 7.5, 9 para posicionar a los ejes A, B, C, D y E respectivamente. Esto es para poder ubicar el origen de las coordenadas X, Y, Z en el eje A, donde empieza a dibujarse la viga; además, como el lector se habrá dado cuenta, las dimensiones digitadas son acumulativas respecto al origen de coordenadas. Presionamos el botón ‘OK’. Con lo configurado anteriormente, presionamos el botón ‘OK’  de la ventana ‘Beam’. Inmediatamente, como se puede apreciar en la Figura 24, en el entorno de trabajo del programa se observará a la viga en dos ventanas: ‘3‘3-D View’ [izquierda] y ‘X‘X Z Plane’ [derecha]. [derecha].

Figura 23. Ventana de configuración ‘Define Grid System Data’  Data’  

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Figura 24. Viga representada en el entorno de trabajo

Para visualizar mejor la situación, retiraremos los ejes de las ventanas. Para ello, en la Figura 25  se observa como seleccionando la ventana ‘3‘3 -D View’, ejecutamos el comando View/Show Grid4. Realizamos lo mismo para la ventana ‘X‘X-Z Plane’.  Plane’.  Si es del requerimiento del diseñador, procederemos a verificar las dimensiones de los elementos. Para ello, seleccionamos la ventana ‘X -Z Plane’ y ejecutamos el comando View/Measure/Line. Luego, en la ventana ‘X‘X-Z Plane’ seleccionamos, para el tramo de interés, el nodo de la izquierda hasta el nodo más próximo de la derecha. Por ejemplo, en la Figura 26 se muestra la información del primer tramo de la viga. La ventana emergente ‘Line Measurement Info’ nos indica que la l a longitud de dicho tramo es de 3 m. Presionamos el botón ‘OK’. Una forma alternativa para verificar las dimensiones de los tramos es seleccionando la parte central del elemento y dar anticlick con el mouse. Por ejemplo, como se muestra en la Figura 27, se realizó este procedimiento con el segundo tramo de la viga.

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 También se puede acceder a este comando mediante Ctrl + D 

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Figura 25. Viga representada en el entorno de trabajo sin ejes visibles

Figura 26. Información métrica del primer tramo de la viga

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Figura 27. Selección del segundo tramo de la viga  

Se abrirá la ventana ‘Object Model –   Line Information’. En la pestaña pestaña ‘Location’ se muestra la longitud del tramo seleccionado. En este caso, el segundo tramo mide 3 m.

Figura 28. Ventana ‘Object Model –  Line Information’  Information’ 

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    Como el lector se habrá dado cuenta, el modelo creado presenta apoyos         8 predeterminados en todos los nodos, de los cuales hay un par que no pertenecen        1 a la estructura que se desea modelar. Para eliminarlos, los seleccionamos haciendo click sobre ellos y ejecutamos el comando Assign/Joint/Restraints.

Figura 29. Selección de nodos 

En seguida, se abrirá la ventana emergente ‘Assign Joint Restraints’, la cual se muestra en la Figura 30. En ella presionamos el botón , el cual indica que en ese nodo no existirá ningún tipo de apoyo. Presionamos el botón ‘OK’. Los resultados de los cambios se observan en la Figura 31.

Figura 30. Ventana ‘Assign Joint Restraints’ 

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Figura 31. Geometría final de la estructura 

A continuación, procederemos a crear la rótula. Como sabemos, la rótula es un elemento estructural donde los momentos flectores se anulan. Para lograrlo, primero seleccionamos el segundo tramo como se muestra en la Figura 32.

Figura 32. Selección del segundo tramo de la viga

Seguidamente, ejecutamos el comando Assign/Frame/Releases/Partial Fixity. En la ventana emergente ‘Assign Frame Releases and Partial Fixity’, activamos el segundo casillero Moment 33 33 (Major) para liberar el extremo final del elemento seleccionado y presionamos el botón ‘Apply’. 

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Figura 33. Ventana ‘Assign Frame Releases Releases and Partial Fixity’ 

Podemos observar que el punto de color verde en el extremo ex tremo del tramo está conectado a la rótula.

Figura 34. Represent Representación ación rotula en un tramo 

Sin cerrar la ventana emergente ‘Assign Frame Releases and Partial Fixity’, seleccionamos el tercer tramo de la viga, y seguidamente desactivamos el segundo casillero de  Moment 33 (Major), para luego activar el casillero del extremo inicial Start. Presionamos el botón ‘Apply’ y seguidamente el botón ‘OK’.

Figura 35. Selección del tercer tramo de la viga  

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Figura 36. Ventana ‘Assign Frame Releases Releases and Partial Fixity’ 

Ahora, al lado de cada uno de los puntos de la ubicación de la rótula se ha anulado el efecto del momento flector.

Figura 37. Representación rotula en ambos tramos 

Para recuperar la forma original del modelo, ejecutamos el comando Display/Show Undeformed Shape5 en la ventana derecha.

Figura 38. Viga no deformada

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 También se puede acceder a este comando mediante F4 o presionando el botón rápido en la ventana del entorno de trabajo.

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ubicado en las barras de acceso

 

 

1.4.  DEFINIR MATERIALES  Ejecutaremos el comando Define/Materials. En la ventana emergente ‘Define Materials’ se muestran tres materiales ya predefinidos: 4000Psi [concreto de 280 kg/cm2], A992Fy50 [acero con fluencia de 50 ksi] y A416Gr270 [torón de acero pretensado de grado 270].

Figura 39. Ventana ‘Define Materials’ 

Presionamos el botón ‘Add New Material’. En la ventana emergente ‘Add Material Property’ seleccionamos en Region la opción User y en  Material Type la opción Other. Presionamos el botón ‘OK’ ‘OK’  

Figura 40. Configuración en la ventana ‘Add ‘ Add Material Property’ Property ’ 

Esta acción abrirá una nueva venta emergente, la cual configuraremos de la siguiente manera:

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Nombraremos al material como ‘EI’  ‘EI’ 

Peso específico: se configurará con cero ya que el peso propio de la estructura se está despreciando

Módulo de Young / Módulo de elasticidad: se configurará con 1  ya que esta propiedad es constante y no tiene un valor específico

Cuidar que las unidades sean las que definen el problema

El resto de propiedades las dejaremos tal cual aparecieron ya que no intervienen en la modelación y no causan ningún efecto

Figura 41. Configuración en la ventana ‘Material ‘ Material Property Data 

Presionamos el botón ‘OK’  en las ventanas ‘Material Property Data’ y ‘Add Material Property’.  Property’. 

 

1.5.

 

DEFINIR SECCIONES Ejecutamos el comando Define/Section Properties/Frame Sections.  Se presenta la ventana emergente ‘Frame Properties’. Por defecto, el programa define la sección FSEC1, pero lo que se requiere en este e ste caso es crear una sección general, con propiedades generales. Seleccionamos el botón ‘Add New Property’.

Figura 42. Ventana ‘Frame Properties’  Properties’ 

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    En la ventana emergente ‘Import Frame Section Property’, Property’ , en Frame Section         4 Property Type elegimos el tipo de material Other. Presionamos el botón ‘ General’.         2 Esta opción nos permite crear secciones transversales sin ninguna forma particular, pero sí con ciertas propiedades mecánicas.

Figura 43. Ventana ‘Add Frame Section Property’ 

En la ventana emergente ‘Property Data’ se procederá a configurar las propiedades mecánicas de nuestra viga. Como lo mencionamos anteriormente, la viga tiene una sección con EI constante. Ya configurado el módulo de elasticidad en el apartado anterior; los momentos de inercia y el área axial del elemento también serán configurados con 1, además de anular el resto de propiedades que no son de interés en la modelación. La configuración final 6  queda como se muestra en la Figura 44.

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 Se debe cuidar que esta configuración se realice con las unidades de medidas del problema original.

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    Presionamos el botón        5 ‘OK’. Esta acción abrirá         2 la ventana emergente ‘General Section’, la cual configuraremos de la siguiente manera:

Figura 44. Configuración de la ventana ventana ‘Property ‘Property Data’ 

Nombraremos la sección como ‘EI’ ‘EI’  

Las dimensiones las dejaremos como están. No intervendrán en el cálculo

Seleccionamos el material ‘EI’ antes creado

Figura 45. Configuración de la ventana ventana ‘General ‘General Section’ Section’  

Presionamos el botón ‘OK’  en las ventanas ‘General Section’ y ‘Frame Properties’.   Properties’.

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1.6.   ASIGNAR SECCIONES 

 

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En la ventana ‘X‘X-Z Plane’ [derecha], seleccionamos todos los tramos de la viga y ejecutamos el comando Assign/Frame/Frame Sections. Figura 46. Selección de los tramos de la viga 

En la ventana emergente ‘Assign Frame Sections’, seleccionamos la sección que acabamos de crear ‘EI’. Presionamos el botón ‘Apply’ y ‘OK’.

Ahora se observa en la ventana ‘X‘X -Z Plane’ que el programa ha asignado la sección ‘EI’ a todos los tramos. 

Figura 48. Viga con EI constante 

Figura 47. Ventana ‘Assign Frame Sections’ 

1.7.   ASIGNAR PATRONES DE CARGA   Las cargas que involucran al ejercicio, eje rcicio, predeterminadamente se configuran como cargas muertas. Para verificarlo, ejecutamos el comando Define/Load Patterns. La ventana emergente ‘Define Load Patterns’ nos muestra un patrón de carga muerta predeterminado. El valor 1 en la columna Selft Weight Multiplier es un indicador que advierte que si el material configurado tiene algún valor como peso específico se considerará como peso propio. Más adelante se explicará como configurar otro tipo de cargas, como las cargas vivas. viv as. Presionamos el botón ‘OK’.

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Figura 49. Ventana ‘Define Load Patterns’  

A continuación, se procederá a definir las cargas. Como se ha visto, en los dos primeros tramos tenemos una carga uniformemente distribuida y en medio del tercer y cuarto tramo existe una carga puntual. Seleccionamos los dos primeros tramos, tal como se muestra en la Figura 50.

Figura 50. Selección de los dos primeros tramos 

Ejecutamos el comando Assign/Frame Loads/Distributed. Aparecerá la ventana emergente ‘Assign Frame Distributed Loads’ en dónde definiremos DEAD  en Load Pattern, en Load Direction definimos Gravity, además modificaremos el valor de Uniform Load a 3. Presionamos el botón ‘Apply’ y ‘OK’.

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Figura 51. Configuraci Configuración ón de ventana ‘Assign ‘ Assign Frame Distributed Loads’ 

En la ventana ‘X‘X-Z Plane’ se puede observar la carga distribuida de 3 KN/m.  

Figura 52. Carga distribuida de 3 KN/m en la viga 

Seleccionamos el nodo ubicado entre el tercer y cuarto tramo de la viga, tal como se muestra en la Figura 53.

Figura 53. Selección del cuarto nodo en la viga 

Ejecutamos el comando Assign/Joint Loads/Forces. Aparecerá la ventana emergente ‘Assign Joint Forces’ en dónde definiremos DEAD  en Load Pattern, además modificaremos el valor de Force Global Z a -5, ya que el eje Z es positivo hacia arriba y la fuerza puntual se dirige en dirección a la gravedad. Presionamos el botón ‘Apply’ y ‘OK’.

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Figura 54. Configurqción de la ventana ‘Assign Joint Forces’ 

En la ventana ‘X‘X-Z Plane’ se puede observar la carga puntual de 5 KN.

Figura 55. Carga puntual de 5 KN en la viga  

Es bueno aclarar al lector le ctor que la carga distribuida no ha h a desaparecido. Para mostrar la carga, nos ubicamos en la ventana ‘X -Z Plane’ y ejecutamos el comando Display/Show Object Load Assign/Frame. En la ventana emergente ‘Display Load Assign –   Frame Object’, en la sección Load Pattern Name  seleccionamos la carga DEAD. Presionamos ‘Apply’ y el botón ‘OK’.

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Figura 56. Ventana ‘Display Load Assigns’ 

Se

aprecia

la

carga uniformemente distribuida y la carga puntual. Figura 57. Cargas actuantes en la viga continua

A continuación, ejecutamos el comando 7 File/Save As  y guardamos el archivo con el nombre y la ubicación que mejor nos parezca.

1.8.   ANÁLISIS DEL MODELO  Para definir que el análisis se trata de un modelo plano 8 , ejecutamos el comando Analyze/Set Analysis Options. En la ventana emergente ‘Analysis Options’ clickeamos ‘XZ Plane’ y presionamos el botón ‘OK’. 

Figura 58. Configuración de la ventana ‘Analysis Options’ 

7

 También se puede acceder a este comando mediante Ctrl + Shift + S   Los grados de libertad necesarios para definir un pórtico plano son UX, UZ y RY

8

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Posteriormente, seleccionamos la herramienta ‘Run Analysis’  , la cual se        1 Analysis’          3 encuentra en la barra de herramientas he rramientas ubicada en el entorno del trabajo. En la ventana emergente ‘Set Load Cases to Run’ se aprecian dos casos de

que se generan automáticamente: DEAD y MODAL. Para deshabilitar la carga MODAL, la seleccionamos y presionamos el botón ‘Run/Do Not Run Case’. Finalmente, presionamos el botón ‘Run Now’  para ejecutar el modelo.

Figura 59. Ventana ‘Set Load Cases to Run’ 

carga

1.9.  LECTURA DE RESULTADOS  En la vista ‘Deformed Shape (DEAD)’ [ventana izquierda] se observa la deformación de la estructura debido a la carga muerta DEAD 9 . En la parte superior, seleccionar

‘Set XZ View’.

Figura 60. Deformada de la viga en el entorno de trabajo  

9

 También se puede acceder a este comando mediante F6 o presionando el botón rápido en la ventana del entorno de trabajo.

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ubicado en las barras de acceso

 

  Se muestra una deformación en la rótula. Al realizar un acercamiento, se observa que la deformación10 es de 105.75/EI m ↓, debido a las cargas actuantes.

Figura 61. Deformaciones en la rotula

A continuación, se presentarán las reacciones en los apoyos. Para ello, ejecutamos el comando Display/Show Forces/Stresses/Joints 11 . Se presenta la ventana emergente ‘Display Joint Reactions’, que para Case/Combo seleccionamos  Name  DEAD. Presionamos el botón ‘Apply’.

Figura 62. Ventana ‘Display ‘Display Joint Reactions’ Reactions’ 

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 Las deformaciones [traslación y rotación] están en función de EI. Recordar que se ha configurado con EI=cte=1  También se puede acceder a este comando mediante F7 .

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    Se observan las reacciones de los apoyos. Las fuerzas dirigidas hacia arriba         3 son positivas y las fuerzas dirigidas hacia abajo son negativas.         3

Figura 63. Reacciones en los apoyos de la viga  

A continuación, se presentarán los diagramas de fuerzas internas. Para ello, ejecutamos el comando Display/Show Forces/Stresses/Frame/Cables/Te Forces/Stresses/Frame/Cables/Tendons ndons12. En la Figura 64  se presenta la ventana emergente ‘Display Frame Forces/Stresses’,, que para Case/Combo Name  seleccionamos  DEAD  y en Forces/Stresses’ Component seleccionamos una alternativa, dependiendo de lo que queremos observar:

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 También se puede acceder a este comando mediante F8  o presionando el botón rápido en la ventana del entorno de trabajo.

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ubicado en las barras de acceso

 

 

 

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Diagrama Fuerzas Normales [DFN]

Diagrama Fuerzas Cortantes [DFC]

Diagrama Momentos Flectores [DMF]

Figura 64. Ventana ‘Display Frame Forces/Stresses’ Forces/S tresses’  

Seguidamente, presionamos ‘Apply’. En las Figuras 65 y 66  se observan el DFC y el DMF, respectivamente. Las propiedades positivas positivas se representan repre sentan de color azul y las negativas de color rojo.

Figura 65. Diagrama Fuerza Cortante en el entorno de trabajo

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Figura 66. Diagrama Momento Flector en el entorno de trabajo

Para visualizar los valores numéricos de los diagramas, en la ventana emergente ‘Display Frame Forces/Stresses’, activamos la casilla Show Values. Presionamos el botón ‘Apply’.

Figura 67. Ventana Force/Stresses’ 

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‘Display

Frame

 

  Así, el diagrama fuerza cortante y el e l diagrama momento flector resultan13:

Figura 68. Diagrama Fuerza Cortante de la viga  

Figura 69. Diagrama Momento Flector de la viga 

Otro modo de poder visualizar los resultados es seleccionando el tramo de interés14 y presionar el botón secundario del mouse. Por ejemplo, observaremos los resultados existentes en el segundo tramo.

Figura 70. Selección del Segundo tramo de la viga 

Al hacerlo, se presentará la ventana ‘Diagrams for Frame Object 2 (EI)’, la cual muestra los efectos debido a las cargas. car gas. En el primer gráfico se observa el diagrama de cuerpo libre del tramo seleccionado, con las cargas externas que equivaldrían a los resultados que se están obteniendo; en el segundo gráfico se presenta el diagrama de fuerzas cortantes sólo de ese tramo; en el tercer gráfico se presenta el diagrama de momentos flectores sólo de ese tramo, y por último en el cuarto gráfico se presenta la deformación del elemento.

13 14 El

diagrama fuerza normal se ha obviado en este ejemplo ya que la estructura no posee esfuerzos axiales internos.  Esta acción se realiza necesariamente en alguna de las vistas de los diagramas de fuerzas internas. En este caso, se realizó en la vista del diagrama de fuerzas cortantes.

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    Si en Display Options seleccionamos Scroll for Values, obtenemos la        7 posibilidad de mover con el mouse la línea vertical gris hacia cualquier punto del         3 tramo y obtener la información necesaria. Por otro lado, si seleccionamos Show Max, visualizaremos solo los puntos máximos de cada gráfica.

Por ejemplo, en la Figura 71 se muestran los resultados al arrastrar la línea líne a gris hasta el extremo final del tramo. Podemos verificar que en ese punto el momento flector es cero ya que en ese e se punto se encuentra la rótula. Presionamos el botón ‘Done’ para cerrar esa ventana informativa.

Figura 71. Ventana ‘Diagrams for Frame Object 2 (EI)’  

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1.10.  SOLUCIÓN DEL EJERCICIO: CASO 1 

Figura 72. Ejercicio CASO 1

Figura 73. Reacciones en los apoyos [KN]

Figura 74. Deformada

Figura 75. Diagrama Fuerza Cortante [KN]

Figura 76. Diagrama Momento Flector [KN-m]

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