1 Técnica Transformada Integral Generalizada (GITT)

Universidade Federal de Santa Catarina Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica (PosMEC) Métodos Matemáticos para Solução de Equações Diferenciais Parciais (EMC 410050)

Professora Marcia Mantenelli

Alunos:  Marcus Vinicius Pedron Carneiro, Mauricio Mauricio Reynaldo, Thiago Croisfelt Croisfelt Batista Bat ista 1

Técnica Transformada Integral Generalizada (GITT) Ao longo do desenvolvimento de técnicas para resolução de modelos matemáticos

que descrevem sistemas físicos, que são fundamentais para o entendimento das respostas obtidas em sistemas reais, métodos numéricos e analíticos foram aprimorados nos dois cantos do mundo para obter o bter as soluções dos problemas em estudo. Observou-se ao longo desse processo de estudo que soluções híbridas, onde os códigos computacionais incorporam em seus cálculos as informações analíticas explicitas do problema, vários benefícios podem ser encontrados. Entre eles, pode-se citar: a) Redução do tempo computaci co mputacional onal (custo computacional) computacional)  b) Aceleração na taxa de convergência convergência numérica c) Inexistência de malhas. Desta maneira, a técnica transformada integral generalizada traz consigo esses  benefícios  benefícios citados através da transformação transformação analítica dos sistemas de equações diferenciais parciais (EDP’s) em sistemas de equações diferenciais ordinárias (EDO’s) e uso de ferramentas numéricas menos complexas que as soluções puramente numéricas (elementos finitos, diferenças finitas, métodos espectrais...), reduzindo o esforço computacional. A teoria clássica de transformadas integral foi apresentada em 1974 por Ozisik e Murray que propuseram uma alternativa ao problema de separação de variáveis. 1984, os mesmos autores apresentaram a técnica de transformada clássica (CITT) aplicada a  problemas de difusão de calor e massa e a partir de então, extensões extensões da técnica foram  propostas e após a publicação publicação de Cotta em 1993 convencionou-se convencionou-se chamar de GITT a união entre a CITT e as novas extensões da técnica. O formalismos apresentado para utilização da técnica t écnica generalizada generalizada contém um par transformada-inversa e um problema associado que incorpora as características  página 1 de 12

analíticas dos operadores do problema original e usando um operador de integração apropriado para o problema, pode-se eliminar as variáveis independentes, o que permite a obtenção de um sistema de EDO’s. Esse sistema de equações diferenciais ordinárias é denominado sistema transformado que é resolvido analiticamente ou numericamente levando em conta o truncamento que resulta na precisão prescrita do problema. A técnica apresentada permite resolução de diversos problemas que envolvem coeficientes variáveis, não linearidade e não homogeneidade. Entre eles pode-se citar  problemas de aletas com dissipação tempo-dependente, condução de calor com número de Biot tempo-dependente, mudança de fase onde os contornos são variáveis e em casos onde os sistemas auxiliares são de difícil resolução (Sturm-Liouville de funções complexas).

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Formulação matemática da GITT Dado os problemas acoplados de convecção difusão, num volume V com

superfície de contorno S, descritos pela equação generalizada (2.1) (2.1)

Com condições de contorno descritas por: (2.2) (2.3)

Cujo operador

é definido por: (2.4)

Aplicando a separação de variáveis para os problemas homogêneos equivalentes, têm-se os problemas auxiliares em  x  que definem as funções núcleos autofunções em  x, que dependem dos auto valores

 :

(), ou (2.5) (2.6)

Podendo-se utilizar de técnicas do tipo Sturm-Ville ou tabelas como a apresentada em anexo para determinação das auto-funções e autovalores definidos, para aplicá-los na transformada integral em  x, definida por:  página 2 de 12

(2.7) (2.8)

Onde os núcleos

() e as normas correspondentes ( ), são definidas a

 partir da propriedade de ortogonalidade das autofunções:

(2.9) (2.10)

Aplicando a transformada (2.7) em cada EDP (2.1) de cada problema acoplado k , chega-se ao sistema de equações diferenciais ordinárias, definidas por: (2.11)

Onde, associado à transformada integral das condições iniciais, tem-se: (2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Podendo o sistema de equações ser resolvido por software como o Mathematica (da Wolfram) ou o Maple. Truncado o somatório em  j = n  e a definição dos autovalores em i = N , tem-se uma redução do esforço computacional, implicando em erros controláveis e de simples calculo para avaliação de convergência. Reduzindo a formulação para problema de um único acoplamento ( k = 1), tem-se a definição da Técnica Transformada Integral Clássica (CITT), definida por Özisik em 1974.  página 3 de 12

3 3.1

Exemplos Obter a distribuição de temperaturas para uma placa plana finita de comprimento L, considerando condução unidimensional e transiente, propriedades constantes e que há geração de calor, sujeita às condições de contorno e iniciais indicadas.Utilize o método da Transformada Integral.

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