1SEMINARIO

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

GEOMETRÍA 

01. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: I. Todos los ángulos son conjuntos no convexos. II. Una semirecta es un conjunto convexo. III. El exterior de un plano es un conjunto no convexo. IV. La intersección de 3 planos es un conjunto convexo. A) VVVV B) VVVF C) VVFF D) VFVF E) FFVF 02. Indicar el valor de verdad de las proposiciones I. Algún ángulo es un conjunto convexo. II. Alguna partición de una región cuadrada tiene tres regiones triangulares. III. Toda región poligonal sin un vértice es un conjunto convexo. A) FVV B) VVF C) FFV D) FVF E) VFV 03. En La figura mostrada se tienen las regiones circulares A y B. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: U

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( A ∩ B ) ' es un conjunto convexo. ( A ∪ B ) ' es un conjunto no convexo. III. (A – B) es un conjunto convexo. IV. (A – B) ∪ (B – A) es un conjunto no convexo. A) VVFF B) VFVF C) FFVV D) FVFV E) FVVV

I. II.

NOCIONES BÁSICAS: Definiciones. Postulados Fundamentales. Conjuntos Convexos y no Convexos. Ángulos.

A

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B

04. Asigne el valor de verdad a las siguientes proposiciones: I. Una región circular de la que se han excluido dos puntos de su circunferencia diametralmente opuestos, es un conjunto convexo. II. Si A ∩ B es un conjunto convexo, entonces A y B son conjuntos convexos. III. La unión de dos semirrectas opuestas es un conjunto convexo. A) VVV B) VFF C) VFV D) VVF E) FVF 05. Asignar el valor de verdad a las siguientes proposiciones: I. El rayo es un conjunto convexo. II. El exterior de un ángulo es un conjunto convexo. III. La intersección de dos regiones circulares es un conjunto convexo. A) FVV B) VVV C) VFF D) VFV E) FFV 06. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Existe algún conjunto de dos rayos que es un conjunto convexo. II. Sea un ángulo A contenido en un plano P, A puede determinar en el plano dos semiplanos. III. Sea O un punto en una recta AB, las semirrectas OA y OB son conjuntos convexos.

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A) FFV D) VVF

B) FFF E) VFF

C) VFV

07. Asignar el valor de verdad a las proposiciones siguientes: I. A cada valor de los números reales le corresponde un punto de la recta una vez asignado el valor cero a un punto de la recta. II. La medida de un ángulo es un número real mayor que 0 y menor que 180. III. Todos los segmentos tienen el mismo número de puntos. A) VVF B) FVF C) VVV D) FFF E) FFV 08. Dadas las siguientes proposiciones: I. Si en una región cuadrangular se excluyen los 4 vértices se obtiene un conjunto convexo. II. Un polígono es convexo si su interior es un conjunto convexo. III. El conjunto de puntos formado por 3 rectas paralelas es un conjunto convexo. Indicar la(s) proposición(es) verdaderas. A) I B) II C) III D) I y II E) II y III 09. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Sea T una región triangular y G su baricentro, entonces T – {G} es siempre un conjunto no convexo. II. El polígono es un conjunto convexo. III. En un plano P se tiene una circunferencia C y un triángulo T disjuntos C y T pueden determinar una partición de 5 elementos del plano. A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FFF

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10. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si omitimos un punto en una circunferencia, entonces los puntos restantes forman un conjunto convexo. II. Si omitimos un punto que no sea el vértice en un triángulo acutángulo, los puntos restantes forman un conjunto no convexo. III. Sea C la región cuadrada MNPQ y T la región triangular isósceles MNK (MN = NK), CUT es un conjunto convexo. A) FVV B) FVF C) FFV D) VVF E) FFF 11. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La unión de dos regiones triangulares congruentes, siendo un par de lados congruentes comunes, es un conjunto convexo. II. Si una región cuadrangular está contenida en un círculo, dicha región cuadrangular es un conjunto convexo. III. Sea P un plano y una recta L contenida en P, entonces P – L es un conjunto no convexo. A) VVV B) VFV C) FFV D) FFF E) FVF 12. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas? I. Todo plano es un conjunto convexo. II. Dada una recta arbitraria L, los puntos del plano que no pertenecen a L quedan divididos en dos conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales es convexo. III. La región circular es un conjunto convexo. A) I y III B) II y III C) I y II D) I, II y III E) Sólo I GEOMETRÍA

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13. Indicar cuál(es) de las proposiciones es(son) falsa(s): I. Sea C una región cuadrada y P un punto, P ∈ C , entonces C − {P} es un conjunto convexo. II. Sea T una región triangular y H su ortocentro, entonces T − {H} es siempre un conjunto no convexo. III. La intersección de un conjunto convexo con un conjunto no convexo es un conjunto no convexo. A) I y II B) I y III C) II y III D) I, II y III E) Solo I 14. Indicar si las proposiciones es(son) correcta(s). I. Una recta L contenida en un plano determina dos semiplanos S1 y S2, luego S1 ∩ S2 = L . II. En un triángulo ABC, las alturas concurren en H. Sea R la región triangular ABC, entonces R − {H} es un conjunto no convexo. III. En un círculo R, la circunferencia es L. (R ∪ L) ' es un conjunto convexo. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II, III E) Ninguno 15. Indicar la(s) proposición(es) verdadera(s) I. Ningún punto es un conjunto no convexo. II. El interior de un ángulo es un conjunto convexo. III. Dos rayos que tienen el mismo origen es un ángulo. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 16. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Todo punto de AB está contenido en el conjunto K, entonces el

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conjunto K es un conjunto convexo. II. Un conjunto que consiste solamente de un punto es un conjunto convexo. III. Si le omitimos un punto a una línea recta, los puntos restantes forman un conjunto convexo. A) VVF B) FVV C) FFV D) FVF E) VVV 17. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Una región circular, de la que se han excluido dos puntos de su circunferencia, es un conjunto no convexo. II. Sea T una región cuadrangular tal que T es un conjunto convexo y G un punto de T. T – {G} es un conjunto no convexo. III. Un pentágono regular es un conjunto convexo. IV. La unión de dos rayos colineales es un conjunto convexo. A) VVFV B) FVFF C) FFFF D) FVFV E) FVVV TRIÁNGULOS: Teoremas Fundamentales 18. En un triángulo KLM, las bisectrices interiores KN y MP se interceptan en el punto I, luego se traza IQ ⊥ LN ( Q ∈ LN) , calcule m(LIQ . m(MIN 3 2 1 A) B) C) 4 3 3 1 E) 1 D) 2 19. En un triángulo rectángulo KLM, recto en M, la bisectriz interna KN determina sobre LM los segmentos LN=a, NM=b. Indique si la(s) proposiciones es(son) verdaderas: I. a = b II. a < b GEOMETRÍA

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III. a > b A) Sólo I C) Sólo III E) Sólo II y III

a 1 = b 2 B) Sólo II D) Sólo IV IV.

20. Asignar el valor de verdad a las proposiciones siguientes: I. Sea ABC un triángulo, entonces AB ≤ BC + AC . II. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC. Si AC < AB, el triángulo es acutángulo. III. Según las medidas de los ángulos, los triángulos son rectángulos y oblicuángulos. A) VVF B) VVV C) FVF D) FFV E) FVV 21. Si en un triángulo rectángulo ABC recto en B se tiene que AC = 12u, entonces el máximo valor de la longitud de la altura relativa a AC es A) 5 B) 7 C) 4 D) 5,5 E) 6 22. Asigne el valor de verdad a: I. En un triángulo ABC se traza la ceviana BF donde AC = 2(BF), entonces BF es una mediana. II. Sea el triángulo ABC, P y Q son AB y BC puntos de respectivamente de manera que AC = 2(PQ), entonces PQ // AC . III. Todo segmento tiene mediatriz. A) FFF B) VVV C) VVF D) FFV E) VFV 23. En un triángulo ABC, se ubican los puntos P y Q en AB y AC respectivamente. Si m(ABC = m(PQC , AQ=6u y PQ=5u, entonces el número de valores enteros de AP es A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9 CEPRE-UNI

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24. En un triángulo ABC se ubica el punto P en el interior del triángulo, de manera que (BPA y (BPC sean ángulos difusos. ¿Cuántos valores enteros tiene el resultado de AP+PC? A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 25. En un triángulo ABC, obtuso en C, se tiene que m(ACB − m(BAC = 80 . Se trazan la altura BP y la bisectriz exterior BQ (P y Q pertenecen a la prolongación de AC ), la medida del ángulo PBQ es A) 50 B) 40 C) 45 D) 55 E) 35 26. En un triángulo isósceles ABC, m(ABC = 120 . Sea M un punto de AC y N un punto en la prolongación de AB de modo que BN = MC = AB. Halle la medida del ángulo BNM. A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 25 27. En un triángulo ABC, m(A = 2m(C , se traza la ceviana BD tal que m(DBC = 3m(C . Si AB=18u y BD=15u, calcule CD. A) 29u B) 30u C) 32u D) 33u E) 36u 28. En un triángulo ABC, se ubica el AC tal que punto M en m(MBC = 3m(BCA . Si m(BAC = 2m(BCA y AB=4u, la longitud entera (en u) de MC es A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 29. Asignar el valor de verdad a las siguientes proposiciones: I. El interior de un triángulo es la intersección de los interiores de sus respectivos ángulos interiores del triángulo. GEOMETRÍA

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II. Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo. III. Una bisectriz de un triángulo es un segmento que divide un ángulo del triángulo en dos ángulos congruentes y tiene sus puntos extremos en un vértice y el lado opuesto al ángulo. A) I y II B) sólo I C) II y III D) I, II y III E) sólo III 30. Se

un triángulo ABC, AB = BC = a , donde a pertenece a los naturales. Una recta secante intersecta a los lados AB y BC, en F y E respectivamente y a la prolongación de AC en D. Si la m∠ADF > m∠ABC , AD = a y EF = 3 , el mínimo valor entero de la longitud del segmento DE es A) a – 4 B) a – 2 C) a – 1 D) a + 1 E) a + 2

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A) 90 − D)

θ 2

θ 2

B) 45 − θ

C) 30

E) θ

34. En un triángulo ABC, obtuso en B, m∠A = 2m∠C , AB = 4 y BC = x, donde x ∈ ` . Calcule x. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

tiene

31. Se tiene el triángulo ABC, la distancia del incentro al vértice A es 6 u y la distancia del incentro al vértice C es 2 u. Si AC es un número entero. Calcule AC (en u). A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 32. Se tiene el triángulo ABC, en AB y BC se ubican los puntos P y Q respectivamente, diferentes de los vértices. Entonces se cumple A) PQ + AC = AQ + PC B) PQ + AC < AQ + PC C) 2PQ + AC > PC + AQ D) PQ + AC > PC + AQ E) PQ − AC > 2PC − AQ 33. En un triángulo escaleno ABC la bisectriz del ángulo BAC y la bisectriz del ángulo exterior en C se intersecan en E. La bisectriz del ángulo AEC interseca a AC en D y a la bisectriz del ángulo ABC en F, m∠EDC = θ . Halle m∠BFE . CEPRE-UNI

35. Se tiene el triángulo ABC tal que, AB > BC y m∠ACB = 37 , la medida del ángulo ABC es un número natural. Calcule el menor valor que puede tomar la medida del ángulo ABC. A) 106 B) 107 C) 108 D) 109 E) 110 36. Se tiene el triángulo ABC de manera que m∠ABC = 62 y m∠BCA = 60. Se construye exteriormente el triángulo ADC de tal forma que m∠CAD = 63 y m∠ACD = 60 . Entonces el mayor de los segmentos es A) CD B) AD C) AC D) AB E) BC 37. En el triángulo isósceles ACB (AC ≅ CB) se ubica el punto D exterior al triángulo, tal que el segmento AD intercepta a BC , m∠BCD = 90 y BC ≅ CD . Si la m∠DAB = x , entonces A) x depende de las medidas de los ángulos del triángulo ABC. B) x es independiente de las medidas de los ángulos del triángulo ACB. C) x puede ser igual a la medida del ángulo CAD. D) x no puede ser igual a la medida del ángulo CAB. GEOMETRÍA

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E) x es mayor que 45 y menor que 90. 38. En un plano H se ubican los puntos consecutivos A , B, C, D, E y F tal BF ≅ FC ≅ FD ≅ DE y que m∠BFC = 90. m∠AFB = 120, Si m∠FAB = 25, m∠FCD = 61 y m∠EDF = 96 , entonces el segmento de menor longitud es B) FC C) DE A) FD E) CD D) AB 39. En un triángulo ABC, los puntos E y D AC y EC pertenecen a respectivamente. Si AE ≅ BC ≅ AB y m∠DBC = 2m∠EBD, entonces m∠BDA es A) 22,5 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 40. En un triángulo ABC, AB = 6 u, BC = 8 u y AC = 5 u . Se ubica el punto P en el interior del triángulo de manera que los ángulos BPA y BPC son obtusos. ¿Cuántos valores enteros tiene la suma de las longitudes de AP y PC ? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: Líneas Notables del Triángulo. Aplicaciones de la Congruencia. Triángulos Notables. 41. En un triángulo ABC, se trazan la mediana CM y la altura BH , BH ∩ CM = {Q} . Si BH = CM, calcule m(BQC . A) 105º B) 120º C) 135º D) 145º E) 150º

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42. Indique el valor de verdad: I. En un triángulo ABC, se traza la AC = 4 (BF ) , altura BF; si entonces la m(C = 15 . II. En el triángulo ABC, si la m(A = 45 y BC = 2 ( AB ) , entonces la m(B(105 . III. En el triángulo ABC con m(A = 75 , se traza la altura BF tal que AC = 2 (BF ) , entonces AB = BC . A) VVF B) FFV C) FVF D) FVV E) VVV 43. En un triángulo ABC, obtuso en A, se traza la bisectriz BD y se ubica E en CA. Sí la prolongación de m(BAE + m(BCA = m(BAC y AB=11 u, DC=8 u, entonces la longitud (en u) de BC es A) 18 B) 16 C) 15 D) 14 E) 19 44. En un triángulo ABC se trazan la mediana BD y la ceviana CE (E ∈ AB ) , las que se interceptan en el punto F de manera que m(BFC = 75 y m(ACE = 30 , entonces m(AFE es A) 12,5 B) 15 C) 22,5 D) 30 E) 45 45. En un triángulo ABC, donde AB ≅ BC, una recta secante al triángulo intercepta en P a BC y en M a la prolongación de CA . La recta MP intercepta a AB en N. Si AN = a, BN = b (a < b) y MN ≅ NP , entonces la longitud de BP es (a + b) C) 2a – b A) b – a B) 2 b−a 2a + b E) D) 2 3

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46. El número de rectas distintas que contienen a las alturas, medianas y bisectrices interiores de un triángulo equilátero es A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

51. Sea el triángulo ABC, m(BAC = 75º AC y BH ⊥ AC . Si BH = , entonces 2 m(C es A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 45

47. En un triángulo ABC se tiene que m(BAC = 45 y m(ACB = 30 . Se trazan la mediana AM y la altura AN , entonces la medida del ángulo MAN es A) 37 B) 30 C) 45 D) 44 E) 42

52. En un triángulo ABC, m(BAC = 36º y m(ABC = 108º . Se traza la bisectriz AD del ángulo BAC, si M ∈ AD y BC ≅ MC , entonces m(CMD es A) 30º B) 36º C) 45º D) 60º E) 75º

48. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas AD y AE de manera que m∠DAC = 30 , m∠EAC = 20 y m∠BAD = m∠ABD = 50 . En AE se ubica el punto F tal que m∠FCA = 20 . Entonces m∠DFE es A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

53. En un triángulo ABC (AB < BC), m(BCA = 20 , se traza la bisectriz BF y luego la mediatriz de BF que intercepta a la prolongación de CA en Q, QA = 20 u, QB = FC. M es un punto de BC tal que MC = AB, entonces MF en u es A) 10 B) 20 C) 35 D) 40 E) 70

49. Una hoja de papel ABCD de forma rectangular, es doblada de modo que B y D coincidan, siendo PQ la línea del doblez (P en AB y Q en CD ). Si BP = 10 u y AB = 16 u, entonces el perímetro de la hoja (en u) es A) 32 B) 48 C) 64 D) 56 E) 46

54. En un triángulo acutángulo KLM, se construyen los triángulos equiláteros LMN y LPK, ambos exteriores, hallar el ángulo obtuso que determinan los segmentos MP y KN . A) 100º B) 120º C) 130º D) 140º E) 150º

50. En un triángulo ABC (AB = c, BC = a) se traza CH perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo externo con vértice en B, si M es punto medio de AC , entonces la longitud del segmento MH es a−c A) a + c B) a – c C) 2 a+c a+c D) E) 2 3

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55. En un triángulo ABC, AB=4 u, BC=7u, halle el máximo valor entero de la longitud de la mediana relativa del lado AC (en u). A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 56. Dado el triángulo ABC, m(B = 150 y m(C = 10 , la distancia del vértice C a la bisectriz que parte de A es 5 cm. La medida de AB (en cm) es A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11 GEOMETRÍA

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57. En un triángulo ABC se tiene que AB = 3 u, AC = 7 u y m(ACB = 30 .

Desde el vértice B se traza BP perpendicular a la bisectriz del ángulo BAC, P pertenece a dicha bisectriz; luego la distancia de P (en u) hacia el lado BC es A) 1,2 B) 0,75 C) 1,6 D) 1 E) 0,5 58. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, m(A = 15 , AC = 24 u. Halle la longitud de la bisectriz BF del ángulo ABC (en u). A) 3 3 B) 4 3 C) 7 D) 8 E) 12 59. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la mediana AM tal que BC=2AH, m(AMB = 45 . Calcular m(BCA . A) 15 B) 18 C) 22,5 D) 30 E) 45 60. En un triángulo ABC, AB=c y BC=a (c