1.raíz Enésima

 

Raíz enésima De la misma manera en que se define defi ne la raíz raíz cuadrada de d e un un número número  como el número número no negati negativo vo que elevado a 2 da como resultado , podemos definir definir otras raíces de acuerdo al a l resultado obtenido obtenid o al calcular una una potencia. po tencia. Por P or ejemplo:

4 ∗ 4 = 4  (4 elevado a 2 es igual a 16, en otras palabras 4 es la raíz cuadrada de cuadrada de 16 = 4 ) 16, matemáticamente matemáticamente √ 16 2 ∗ 2 ∗ 2 = 2 = 8  (2 elevado a 3 es igual a 8, en otras palabras 2 es la raíz cubica  cubica   de 8, matemáticamente matemáticamente √ 8 = 2 )  ∗  ∗  ∗  ∗  =  5 = −20 (x elevado a 5 es igual a -20, en otras palabras x es la 

raíz quinta de quinta de 8, matemáticamente

√ −20 −20 =  )

De manera general, si  es un número número natural ( ∈ ℕ) mayor que 1 y  es un número real ( ∈ ℝ) , decimos que   =  , entonces  es la la raíz enésima enési ma de  :

  =  ↔  √  =    Donde  se llama llama cantidad cantidad subradical y  es el índice de la raíz.

Es muy muy probab p robable le que a este punto punto dude acerca de d e aquellas raíces enésimas enésima s que poseen cantidad cantidades es subradicales negativas. El siguiente siguiente análisi análisis s permitirá generar una una regla re gla que determine determi ne si una una raí ra íz enésima e nésima cualquiera existe dentro del d el conjunto conjunto de los números números reales o no. no.

Considere el siguiente hecho

−3 ∗ −3 ∗ −3 = −3 = −27  −3 ∗ −3 ∗ −3 ∗ −3 = − −33 = 81  

 

  Siempre se cumple que el resultado de multiplicar un número negativo consigo mismo un número número impar imp ar de veces veces es otro número número negativo. Por otro lado lado,, el resultado de multiplicar un número negativo consigo mismo un número par de veces es un número positivo.

En base a lo anterior

−3 ∗ −3 ∗ −3 = −3 = −27 (-3 elevado a 3 a  3 es igual a -27, en otras palabras -3 es  −27 = −3 ) la raíz cubica de cubica de -27, -27 , matemáticamente √ −27

 Ahora  Ahor a bien ¿tienen sentido sentido las expresion expresiones es

−9 = 3 y √ −9 −9 = 3 ? √ −9

De acuerdo a la definició definición n de raíz raíz enésima dichas expresiones implican respectivamente que:

−3 ∗ −3 = −3 = −9  ; 3 ∗ 3 = 3 = −9 

Evidentemente esto es falso, el resul Evidentemente resultado tado en ambos casos es 9, por lo tanto tanto el −9 no pertenece al conjunto número √ −9 conjunto de los los números números reales. Afirmamo A firmamos s entonces entonces que toda raíz raíz enésima e nésima de índice índice par cuya cuya cantidad c antidad subradic subrad ical al sea un n número úmero negativo no pertenece al conjunto conjunto de los números números reales.



parr y  es un número negativo. √  ∉ ℝ, donde  es un número pa

Por otro lado

−3 ∗ −3 ∗ −3 ∗ −3 = − −33 = 81  (-3 elevado a  a  4 es igual a 81, en otras palabras -3  81 = −3 ). Sin embargo también es es la raíz cuarta de cuarta de 81, matemáticamente √ 81  811 = 3, en vista de los verdadero que 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 = 3 = 81 , matemáticamente √ 8 resultados anteriores anteri ores es e s posible posi ble afirmar que toda raíz raíz de índice par cuya cuya cantidad cantid ad

 

subradical sea un número número positivo posee dos valores valores idénticos en magnitud magnitud y de signo opuesto, esto es:



un número número positivo. posi tivo. √  = ± , donde  es un número par y  es un

Por ultimo considere



27, cuyo resultado es único, como es posible observar: √ 27

27 = 3 . 3 ∗ 3 ∗ 3 = 3 = 27 , es decir √ 27

Entonces Enton ces podemos concluir concluir que independiente independiente del signo de la cantidad subradical, toda raíz de índice índice impar impa r posee un único único valor, a diferencia di ferencia de las raíces de d e índice par.

En resumen

Sea  un número real rea l y  un número natural mayor que q ue 1.  es la la raíz raíz enésima e nésima de d e , que se escribe √ .

  =  , decimos que   

√  =  ↔   =   



Si  es un un número positi po sitivo vo se observa que: Si  es par:  

− no es un número número real √ −



sie mpre es un un numero numero positivo posi tivo √  siempre

− y Si  es impar:  √ − siguiente manera:



 siempre re son números números reales, y estos se relacionan relacio nan de la √  siemp 

− = − √   √ −