1._Kalkulus_1_Topik-topik_Pra_Kalkulus

Catatan Kuliah

KALKULUS I

BAB I. TOPIK-TOPIK PRA KALKULUS

• Sistem Bilangan Real • Pertaksamaan dan Nilai Mutlak  • Sistem Koordinat dan Garis Lurus • Fungsi

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Sistem Bilangan Real Komponen-komponen dari bilangan real : Komponen-komponen 1. Himpunan bilangan Asli : N = {1, 2, 3, …} • Satu faktor : 1 • Dua faktor (Bilangan Prima): Prima): {2, 3, 5, 7, …} • Lebih dua faktor (Bilangan Komposit): Komposit ): {4, 6, 8, 9, …}

2. Himpunan bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, …} 3. Himpunan bilangan Bulat : Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} • Bilangan Genap : Habis dibagi 2 = {…, -4, -2, 0 , 2, 4, …} • Bilangan Ganjil : Tidak habis dibagi 2 = {…, -3, -1, 1, 3, …}  p

4. Himpunan bilangan Rasional : Q = { q  p, q Z, q  0} Berbentuk desimal berulang. • Bilangan Pecahan : bila p tidak habis dibagi oleh q • Bilangan Bulat : bila p habis dibagi oleh q

5. Himpunan bilangan Irrasional = Himp bukan bil Rasional 6. Himpunan bil Real : R = Gab Bil Rasional dan Irrasional 

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Notasi Interval Misalkan a b  R ,

1. (a, b)  { x a   x  b }

(

)

2. [a, b]  { x a   x  b } 3. (a, b]  { x a   x  b }

(

4. [a, b)  { x a   x  b } 5. (a, )  { x

} 6. [a, )  { x  x  a } 7. (, b)  { x  x  b }  x

8. ( , b]  { x  x

 a

 b

) (

}

9. ( , ]  R

Hati-hati :

 

dan  bukanlah bilangan real.

)

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Sifat –sifat bilangan real •

Sifat-sifat urutan : 

Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y 



Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z 



Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz , sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz 

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Polinon / Suku Banyak  2 + · · · + a  x n, dengan n Bentuk Umum : p(x) = a0 + a1 x + a 2 x  n bilangan asli, a0 , a1 , · · · , an bilangan real (disebut koefisien dari polinom), dan x  bilangan real yang belum ditentukan (variabel).

Derajat polinom adalah nilai n terbesar yang koefisiennya tidak nol.

Bilangan real t disebut akar dari polinom p(x) bila p(t) = 0.  3 − 7x   2 + 8x + 12 , derajat p(x) adalah 4. Contoh: p(x) = x 4 − 2x  t = 2 adalah akar p(x) , sebab p(t) = p(2) = 0 

0 akarnya  x 2 Polinom Kuadrat/Derajat Dua: p( x )  ax  bx  c, a  0 Polinom Linear/Derajat Satu:  p( x )  ax  b, a  Akar-akarnya  x 1



 b

2a

 D

dan  x 2

Di sini ada tiga kemungkinan akar:





b



2a

• D > 0, Dua akar real berbeda (x 1  x 2  ). • D = 0, Dua akar kembar (x 1 = x 2  ). • D < 0, tidak ada akar real.

 D





b a



2 dengan  D 4ac b         



Diskriminan

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Koefisien a menentukan kecekungan grafiknya. Bila a > 0 grafik cekung ke atas (membuka ke atas) sebaliknya bila a < 0 grafiknya cekung ke bawah. Bila D < 0 dan a > 0 polinom disebut definit positif (ilustrasikan grafik) Bila D < 0 dan a < 0 polinom disebut definit negatif . Sifat: Setiap polinom derajat n > 2 dapat difaktorkan atas faktor- faktor linear / kuadrat definit. Contoh:  p(x) = x 6 − 1  3 + 1) =  (x  3 − 1) (x   2 + x + 1) (x + 1) (x   2 − x + 1) = ( x − 1) (x 

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Pertaksamaan Rasional Bentuk umum:

 A ( x )

C ( x )

B ( x )

D ( x )

 A(x),B(x), C(x), dan D(x) masing-masing polinom. Catatan: Tanda < dapat juga berupa ≤ , > atau ≥. 3

 x 

Contoh:

2

 x 

1

2 x 

3 x  8

5

 x 

3 x 

Himpunan dari semua titik x tersebut disebut solusi.

4

R y ang ’memenuhi’ pertaksamaan

Langkah-Langkah menentukan solusi pertaksamaan rasional:

(dijelaskan seiring dengan pencarian solusi dari

 x 

1

2

 x 

 x   x 

3

)

1. Tentukan ’daerah definisi’ dari pertaksamaan tersebut. 2. Tambahkan kedua ruas dgn

C ( x ) D ( x )

shg. diperoleh bentuk

P ( x ) Q ( x )

0

3. Faktorkan P(x) dan Q(x) atas faktor ’linier’ & ’kuadrat definit’ . 4. Gambarkan garis bil. real dan tandai akar-akar dari P(x) dan Q(x).

Catatan Kuliah

KALKULUS I

5. Pada setiap ’subinterval’ yang terbentuk, ambil satu buah titik dan P ( x )

periksa tanda dari Q( x ) 6. Simpulkan solusi dari pertaksamaan tersebut. Diskusi: Perhatikan langkah kelima di atas. Untuk menentukan P ( x ) tanda dari sepanjang suatu subinterval, mengapa Q( x )

cukup diuji pada satu titik saja ? Jelaskan !  2 −x < 6. Latihan: Tentukan solusi dari: 2 ≤ x 

Hati-Hati: • Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanya, ilustrasi:

1

 x 

1

1

• Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi:

3

( x  3) ( x  1) ( x  3)

2

0

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Harga Mutlak Misalkan x ∈ R . Harga mutlak dari x , ditulis Contoh: Sifat2: Misalkan a dan b bilangan-bilangan real , 1. 2. 3. 4.

Latihan: 1. Tuliskan tanpa tanda mutlak: 2. Tentukan solusi dari

ilustrasi

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Akar Kuadrat Misalkan x ≥ 0. Akar kuadrat dari x , ditulis

adalah bilangan real

non-negatif a sehingga a2  = x . Ilustrasi : Secara Umum : Bila b

∈

R maka

Pertaksamaan memuat nilai mutlak dan akar kuadrat Sifat2 (buktikan/ilustrasikan !):

• • Untuk mencari solusi pertaksamaan yang memuat nilai mutlak / akar kuadrat, usahakan menghilangkan nilai mutlak / akar kuadratnya, lalu diselesaikan sebagai pertaksamaan rasional.

Catatan Kuliah

Contoh:

Soal latihan mandiri

KALKULUS I

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Sistem Koordinat Kartesius / Persegi Panjang Pelopor: Pierre de Fermat (1629) & Ren´e Descartes (1637)

Sumbu horizontal dinamakan sumbu- x ( a bsis ) dan s umbu vertikal dinamakan sumbu- y ( ordinat   ). Setiap pas ang an terurut bilang an (a, b) dapat digambarkan sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya, setiap titik pada bidang koordinat Kartesius berkorespondensi dengan satu buah pasangan bilangan (a, b).

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Jarak dua titik di bidang Misalkan P( x 1 , y 1) dan Q ( x  2 , y   2) dua buah titik pada bidang, jaraknya adalah

Garis Lurus Bentuk umum: A x + B y + C = 0 dengan A , B , dan C konstanta. Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan. Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik ( x 1, y 1) dan ( x 2, y 2 ) yang memenuhi persamaan tersebut.

Hal2 khusus: • Bila A = 0, pers berbentuk

, grafiknya sejajar sumbu-x.

• Bila B = 0, pers berbentuk

, grafiknya sejajar sumbu-y.

• Bila A , B tak nol,

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Misalkan (x 1   , y 1 ) dan (x 2   , y 2 ) dua titik pada garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan sebagai

Buktikan bahwa Persamaan garis lurus yang melalui dua titik ( x 1 , y 1 ) dan (x  2 , y   2 ) :

Persamaan garis lurus dgn kemiringan m dan melalui titik (x 1, y1) :

y − y 1 = m(x − x 1 ) Misalkan garis L 1 dan L 2 dua garis dengan kemiringan m1 dan m2 . Kedua garis tersebut sejajar

m1 = m 2

Kedua garis tersebut saling tegak lurus (mengapa?)

m1 · m 2 = −1

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama (disebut  jari-jari lingkaran) terhadap titik tertentu (disebut pusat lingkaran). Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan jari-jari r adalah: x  2 + y  2 = r  2 (gambar sebelah kiri). Bila pusat lingkaran berada di titik ( p, q) maka persamaannya  2 (gambar sebelah kanan). menjadi ( x − p) 2 + (y − q) 2 = r 

lingkaran x 2  + y 2  = 3

lingkaran ( x − 1)2 + (y − 2)2  = 3

Latihan: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 −2x+y 2 +4y−20 = 0 

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Elips Bentuk umum elips yang berpusat di (0,0 ):

(gambar kiri).

Elips yang berpusat di ( p, q ) persamaannya

 2 − 4y + 39 = 0. Latihan: Gambarkan elips berikut 4 x  2 − 24x + y 

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Hiperbola Bentuk umum

Garis putus-putus mempunyai persamaan 2y = 3x dan merupakan asimtot terhadap hiperbola tersebut. Bila kedua parabola di atas dirotasi berlawanan arah dengan putaran  jarum jam sebesar 45o maka diperoleh hasil diatas.

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Fungsi Misalkan A dan B dua buah himpunan. Fungsi dari A ke B adalah aturan memasangkan (memadankan) setiap elemen di A dengan satu elemen di B. Bila elemen-elemen dari A lebih banyak dari elemen-elemen B , dapatkah kita membuat fungsi dari A ke B ? Sebuah fungsi disebut fungsi real bila B

. Pembahasan selanjutnya akan dibatasi untuk A , B . Notasi fungsi: y = f(x) dengan x  elemen A , f(x) aturan pemadanannya,dan y adalah elemen B yang merupakan pasangan dari x . Pada persamaan berikut, tentukan mana yang mendefinisikan fungsi:

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Daerah Definisi (daerah asal/wilayah/domain) dari suatu fungsi f(x), dinotasikan D f  adalah himpunan semua bilangan real yang menyebabkan aturan fungsi berlaku/terdefinisi. Daerah Nilai (daerah hasil/jelajah/range) dari suatu fungsi f(x), dinotasikan R f  = { y | y = f(x), x D f } (berisi semua pasangan dari x ). Contoh2: Tentukan D f  dan R f  dan grafik dari fungsi-fungsi berikut:

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil/Gasal: Fungsi f disebut fungsi genap bila memenuhi f(−a) = f(a). Grafik dari fungsi genap simetri terhadap sumbu-y  Fungsi f disebut fungsi ganjil bila memenuhi f(−a) = −f(a). Grafiknya simetri terhadap titik asal (titik pusat koordinat).

Latihan: 1. Periksa apakah fungsi berikut termasuk fungsi ganjil / genap.

2. Adakah fungsi yang sekaligus genap dan ganjil? (bahas!)

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Pergeseran Grafik Fungsi: Diberikan grafik fungsi y = f(x) dan a > 0. Selanjutnya dibentuk fungsi g(x) = f(x − a), maka gambar  grafik g (x) dapat diperoleh dengan menggeser grafik f(x) sejauh a ke kanan (jelaskan !). Diskusi: Jika a > 0, jelaskan cara memperoleh grafik-grafik

h = f(x + a), l(x ) = f(x) + a dan m(x) = f(x) − a dari grafik f(x) . Contoh: Berdasarkan grafik y = x 2 , gambarkan grafik h = x 2  + 4x + 3

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Operasi pada fungsi Misalkan f(x) dan g (x) fungsi2 real dengan daerah definisi D f  dan D g .

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Peta/Image dan Prapeta/Preimage: Misalkan f suatu fungsi dengan daerah definisi D f  dan daerah nilai R f  Misalkan A

D f  dan B R. • Peta dari A oleh f adalah f(A ) = { y R f  | y = f(x), x A } • Prapeta dari B oleh f adalah f −1(B ) = { x D f  | f(x) B } (ilustrasikan kedua konsep di atas dengan gambar )

Diskusi: Benar atau salah (a) f −1( f ( A )) = A , (b) f ( f −1(B )) = B

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Fungsi Komposisi Perhatikan dua buah fungsi

dan

Dibentuk fungsi baru (g f )( x ) = g (f ( x )) ◦

Jadi Fungsi demikian disebut sebagai fungsi komposisi dari f dan g.

Masalah: Bagaimana cara menentukan Dg  f  dan R g  f  ◦

◦

Perhatikan gambar di bawah ini. Titik-titik dari Df  yang dapat dievaluasi oleh fungsi komposisi g f adalah titik-titik yang oleh fungsi f dipetakan ke dalam Dg  (mengapa?). Sebut A = R f ∩ Dg , maka: Dg  f  = f −1(A) dan R g  f  = g(A) ◦

◦

◦

Catatan Kuliah

Contoh2:

KALKULUS I

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Fungsi Trigonometri Perhatikan gambar lingkaran berjari-jari satu di sebelah kiri. Posisi titik P=( x, y). Sudut t-positif dihitung berdasarkan arah yang berlawanan jarum jam dengan satuan radian. Definisi: f(t) = sint = y  dan g(t) = cos t = x . Df  = Dg  = . . .

R f  = R g  = . . .

Sudut t + 2π dan t menentukan posisi titik P yang sama, sehingga, sin(t + 2π) = sin t dan cos(t + 2π) = cos t . Dikatakan fungsi tersebut periodik dengan periode 2π.

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Catatan Kuliah

KALKULUS I

Fungsi-Fungsi Trigonometri Lainnya:

latihan: Periksa apakah fungsi2 tersebut termasuk fungsi ganjil/genap

latihan: Apakah fungsi2 tersebut periodik, berapa periodenya ?

Catatan Kuliah

Sifat-Sifat Penting Fungsi Trigonometri:

KALKULUS I