1er.boletin 1eropcion Aritmetica
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dd...
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10x 1/ 1/ x � x 6
&)
+ndi +ndica carr *erd *erdad ader ero o o ,als ,also o en las las sigu siguie ient ntes es alternati*as+. odos odos los conju conjunto nto igual iguales es son euipo euipoten tentes tes 0 rec1procamente. ++. ++. oda oda ,ami ,amili lia a de conj conjun unto tos s es conj conjun unto to de conjuntos 0 rec1procamente +++. +++. Dos Dos conj conjun unto tos s son son com compara para#l #les es'' si un conjunto pertenece a otro conjunto. A D
SOLUCIÓNADO Y EXPLICADO POR:
!elaci#n de $er%enencia e
2 x 5
x = 2' 3' "' 5
A = {!' {!' 3' 5' %}
"pta 1#$
%) Dado el conjunto: E 9 , 99 , 999 , 9999 , 99999 Determinarlo por comprensión:
10x 1/ x � x 6 10x 9 / x � x 5 x
1 1// x � x 6
x
1/ 1/ x � x 6
10
10
x10 1/ x � x 6
SOLUCI'N(
!pidamen !pida mente te deducir deduciremos emos "ue los elemento elementoss x son son de la #orma #orma 10 1 $ claro %x& 'a desde 1 (asta antes de 6 osea la respuesta es: +
+)
:i:i- A = {!' {!' 2' 3}' 3}' ;ua ;uant ntas as de las las sigu siguie ient ntes es proposiciones son *erdaderas< + ! A ++ { ! } A +++ A + A A {!' 2} A a ! # 2 c 3 d " e 5
SOLUCIÓ! ! A { ! } A A A A {!' 2} A
+ ++ +++ +
+ ,erdaderas "pta$
(empla)ando en 2x – 3 para cada *alor de x.
a) b) c) d) e)
odas son *alsas "pta$ D
BANCO CEPRU UNSAAC
SOLUCIÓ!
'()
II$ oda ,amilia de conjuntos es conjunto de co7 '() 8untos 0 rec1procamente. III$ Dos conjuntos son compara#les' si un conj.7 9nto pertenece a otro conjunto. '()
EO!IA DE CON"UNOS
Determinar el siguiente conjunto por extensión. A = {2x {2x – 3 / x N 2 x 5} Dar como respuesta la suma de los elementos de A. a !" # !5 c !$ d !% e !&
(ec1procamente
Universidad Nacional de Ingeniería-Lima
1)
4 6
SOLUCIÓ! I$ odos los conjuntos iguales son eipotentes 0
Ing. CHAKU GOMES MALDINI.
Incl&si#n Conjunto Potencia Operaciones entre Conjuntos Diagramas de venn Euler Diagramas de Lewis Carrol
!*%a.
-)
;u>nt ;u>ntas as de las prop proposi osicio cione nes s sigui siguient entes es son son *erdaderas<
n() = 0 = {} n{} = 1 {} { 0 } = { }
A 3
( ( ( ( (
) ) ) ) )
4 2
"
SOLUCIÓ! Por teoría: n() = 0 = {} n{} = 1 {} { 0 } = { }
(V) (F) (V) (V) (F)
D 5
6 !
Son verdaderas: 3 Rpta. #) :i- A = {' {}' {{}}' {{{}}}} +. A ++. {{}} A +++. {} A +. {{}} ?A . A +. {{{}}} ?A ++. {{}} A +++. {{{{ }}}} ?A
0)
4 2
3
De- nA = ! nD = ! n = @ nD = @ +. ++. +++. + ( , ( "pta$
D 5
6 $
SOLUCIÓ! +. A ++. {{}} A +++. {} A +. {{}} ? ?A . A +. {{{}}} ?A ++. {{}} A +++. {{{{ }}}} ? ?A
:i- A = {@ ! B–!C B@ ! –!C} ;u>ntas de las proposiciones siguientes son no *erdaderas< ?A {} ?B?AC {@ !} ?A { B–!C } ?A { { B–!C } } ?B?AC a !
# 2
c 3
d "
e 5
SOLUCIÓ!
?A ? {} ?B ?B?AC {@ !} ? ?A { B–!C } ? ?A { { B–!C } } ? B? B?AC
6(DAD6( 6(DAD6(+ 6(DAD6( AE: 6(DAD6(
:+- A = { { }' a' { a }} ;u>ntas proposiciones son ,alsas< +. . ?A A ++. A +. a { a } +++. { } A ++. ++. {{ a }} A +. { } A +++. {{ a }} ?A a !
# 2
c 3
d "
A A { } A { } A
1 *alsa "pta$ a ,
- verdaderas "pta$
1)
Determinar cuantas son *erdades si+ A A = { } ++ A – 4 4 – A = A 4 +++ A A = + A = A A 4 = A 4 a ! # 2 c 3 d "
e 5
+ ++ +++ +
A A = { } A – 4 4 – A = A 4 A A = A = A A 4 = A 4
11) +ndicar o
e odas
. ? ?A +. a { a } ++. ++. {{ a }} A +++. {{ a }} ? ?A
+. { 2 } A { 2 } A ++. { 2 } A { 2 } ? ?A +++. A A +. {2' } A {{ 2 }' { }} A . {{2' }} ?A {{ 2' }} ?B ?B?AC F (ecordar- odo lo ue inclu0e en A ?A
& ,erdaderas ,erdaderas "pta$
SOLUCIÓ! +. ++. +++. +.
SOLUCIÓ!
SOLUCIÓ! 1 "pta$
/)
1#) :i- A = {2 { 2 } { }} ;u> ;u>nt ntas as de las las sigu siguie ient ntes es prop propos osic icio ione nes s son son *erdaderas< +. { 2 } A { 2 } A ++. { 2 } A { 2 } ?A +++. A A +. {2' } A {{ 2 }' { }} A . {{2' }} ?A {{ 2' }} ?B?AC a ! # 5 c 2 d 3 e "
odas "pta$
.)
e ++ 0 +
SOLUCIÓ!
;uantas proposiciones son *erdaderas< A odas odas
:ean- A = {@} 4 = { } = D = { } +ndiue la proposición ,alsa+. nA = n4 n = nD ++. nA = n4 n = nD +++. nA n4 n = nD +. +. nA nA = nD nD nA = n4 a + # ++ c +++ 0 + d +
+ A 4 = A 4 ++ A A = A +++ A – 9 = a # c
d
e
SOLUCIÓ! + ++
A 4 = A 4 ?or Gorgan- A 4 = A 4 AE: A A = A
=A +++ A – 9 =
AE:
Son verdaderas: 3 Rpta. #) :i- A = {' {}' {{}}' {{{}}}} +. A ++. {{}} A +++. {} A +. {{}} ?A . A +. {{{}}} ?A ++. {{}} A +++. {{{{ }}}} ?A
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D 5
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:i- A = {@ ! B–!C B@ ! –!C} ;u>ntas de las proposiciones siguientes son no *erdaderas< ?A {} ?B?AC {@ !} ?A { B–!C } ?A { { B–!C } } ?B?AC a !
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SOLUCIÓ!
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A A { } A { } A
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Determinar cuantas son *erdades si+ A A = { } ++ A – 4 4 – A = A 4 +++ A A = + A = A A 4 = A 4 a ! # 2 c 3 d "
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& ,erdaderas ,erdaderas "pta$
SOLUCIÓ! +. ++. +++. +.
SOLUCIÓ!
SOLUCIÓ! 1 "pta$
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odas "pta$
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SOLUCIÓ!
;uantas proposiciones son *erdaderas< A odas odas
:ean- A = {@} 4 = { } = D = { } +ndiue la proposición ,alsa+. nA = n4 n = nD ++. nA = n4 n = nD +++. nA n4 n = nD +. +. nA nA = nD nD nA = n4 a + # ++ c +++ 0 + d +
+ A 4 = A 4 ++ A A = A +++ A – 9 = a # c
d
e
SOLUCIÓ! + ++
A 4 = A 4 ?or Gorgan- A 4 = A 4 AE: A A = A
=A +++ A – 9 =
AE:
=
6(DAD6(
((, "pta 1%) Ea expresión- BA 4 4 AC A 4
es eui*alente a A A 4
4 A
4 D 4 A
6 4 A A
A 4 4 A A 4
A–B
4 A ?or Gorgan4 A
B B–A
+gualando 2aH#72 = $
A 4
e piden- %a87 5 / "pta$3
A 4 = 2 3 "pta$
1&)
?ara dos conjuntos compara#les donde uno de ellos tiene 3 elementos m>s ue el otro' se cumple ue la suma de los cardinales de sus conjuntos potencia potencia es 5%$. 5%$. ;u>ntos ;u>ntos su#conju su#conjuntos ntos propios propios tiene la unión de ellos<
A 5!! 5!!
4 !5
3!
D !@%
6 255
:e tienen los conjuntos compara#les- A 4 DondeA n4 = x nA = x H 3 B
B A
A A 4 = A
nB?AC H nB?4C = 5%$
"empla4ando! ( )
2n( B ) 576
n A
2
X 3
:i los conjuntos 0 D son iguales = {2x H ! 2"2} D = {30 – ! !@25} Kallar la suma de los elementos de6 = {n/n N 0 L n L x} A 23 4 2" 3@ D 22 6 3!
SOLUCIÓ!
De donde Mn es- $ % & I 6 = {$ % & I} 6lementos es- $ H % H & H I = & "pta$ 1#) :ean los conjuntos igualesA = {a2 H !' I@} 4 = {a H #' 2$} 6l *alor de # – 5a es-
Dato!
2
1-)
Eos elementos del conjunto conjunto 0 D son 2"2 0 !@25 al igualar con*enientemente. 6ntonces se cumple 2x H ! = !@25 = 2 !@ H ! x = !@ 30 – ! = 2"2 = 3 5 – ! 0=5 Euego reempla)ando en el conjunto 66 = {n/n N 5 L n L !@}
SOLUCIÓ!
4
2 X 576
actori)ando x
2
(2
3
a) 80
1) 576
2
x
2
576
x
64
2 � 6
x
d) 60
e) 65
1.)
6
:i- 9 = {x/x N x !@} A 4 = {3' $} A = {$' "} 4 = {!' 2} A 4 = 6ntonces el conjunto A es-
Donde! n4 = $
c) 55
:i son iguales los respecti*os elementos. a2 H ! = 2$ a H # = I@ De donde- a = 5 # = &5 ?iden- &5 – 25 = # "pta$
9 2
b) 45
SOLUCIÓ!
( 9 ) 576
x
6 3
:i A es unitario se cumpleaH# = 2aH# – 2 = $
A 4
4 – A
A – 4
"pta$ 2
SOLUCIÓ!
SOLUCIÓ! ?or propiedad de Gorgan-
6s- -11 Su7conjuntos Su7conjuntos Propios$ 1+) :i- A es unitario. A = aH# $ 2aH# 7 2 Kallar- 2a H # A $ 4 & " D 5
nA = I
Piden! NJmero de su#conj. propios de A 4 nA 4 = n'2) 5 0 elementos A
B
# {3' "' $} e {"' 5' $' %}
c {3' $' 2' I}
SOLUCIÓ!
1
3 Entonces! nA nB?A 4C 2 =2 6
2I = 45!2 :u#conjuntos
6m$ de su7conj$ propios de 2 29 1 C
a {!' 2' 3' "' $} d {!' 3' "' $}
512 1
6mero de su7conjuntos propios de '2
Ora,icando datos am#iPn sa#es 4 = 4Gorgan omo- 4 = {!' 2} Del gr>,ico-
3)
2 5 91: %: &: +: #; "pta$
1/)
:i A 0 4 son conjuntos no *ac1os' simpli,icar ! A 4 A 4
a A – 4 d A 4
c A 4
# 4 – A e N.A.
SOLUCIÓ! 2nA = 2" nA = " 2n4 = 23 n4 = 3 2nA 4 = 25 nA 4 = 5 Ora,icando-
SOLUCIÓ!
A= 4 A
Solución gráfica:
B
B=3
4–x x
Piden: 2n(A B) = 22 = 4 Rpta.
2 3 "pta$
%&) ?ara dos conjuntos A 0 4 se cumple ue-
10)
Dado los conjuntos A 0 4' sinA 4 = 35 0 nA H n4 = "& ;u>ntos elementos tiene A 4< # !5
c 2!
d 23
e 22
– A tiene !$ su#conjuntos – 4 tiene & su#conjuntos – A 4 tiene 32 su#conjuntos ;u>ntos su#conjuntos tiene A 4< a 2
SOLUCIÓ! Nos damos cuenta ue- A 0 4 no son disjuntos. 6ntoncesnA 4 = nA H n4 – nA 4 35 = "& – nA 4 Donde- nA 4 = "& – 35 nA 4 = !3 :a#emos ue A 4 = A 4 – A 4 A 4 = 35 – !3 A 4 = 22 nB A 4 < 5 %% elementos
%% "pta$
%)
:i MN signi,ica el nJmero de elementos' siendo MA 0 M4 dos conjuntos tales uenA 9 4 = 3@ nA – 4 = !2 0 n4 – A = & Kallar- nA – n4 A 3 4 5 % D " 6 2
SOLUCIÓ! nA 9 4 = 3@ nA – 4 = !2 n4 – A = &
n(A)=22 2 12 10
nA
n(B)=18 2 8
– n4 = 22 – !& = + "pta.
%1)
;u>ntos su#conjuntos se ,ormaran con $ elementos< a $2
# $3
c $"
d $5
e %@
SOLUCIÓ! nB?AC = 2$ = #+ "pta$
%%)
Si A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y (A B) tiene 32 subconjuntos ¿Cuántos subconjuntos tiene (A B)?
4 2
# "
c &
d !$
e 32
SOLUCIÓ! – Nro de :u#conj. de A = !$ = 2" nA = " – Nro de :u#conj. de 4 = & = 23 n4 = 3 – Nro de :u#conj. de A4 = 32 = 25 nA 4 = 5 am#iPn- nA 4 = nA H n4 – nA 4 (empla)ando- 5 = " H 3 – nA 4 nA 4 = % – 5 nA 4 = 2 Nro. De :u#conj. = 22 = + Rpta.
%+)
?ara dos conjuntos- A 0 4 se cumple uenA 4 = !!. Adem>s- nB?AC H nB?4C = !I2 Kallar- nB?A 4C A & 4 !$ 32 D " 6 –"
SOLUCIÓ! De-
n!P(A)" 26
n!P(B)" 2
�n( A) 6 �n(B)
1#2 �
Adem>s- nA 4 = nA H n4 – nA 4 !! = $ H % – nA 4 2 = nA 4 ?iden- nB?A 4C = 22 = " "pta$
%-) Dado el conjuntoa /a Q' # +N @ a L " ! # L 3} # ;u>ntos su#conjuntos propios tiene A<
A = {
a $3
# 3!
c !5
d !2%
e 225
SOLUCIÓ! 1jate so#rinoa- a = @' !' 2' 3 # = !' 2
nB?AC = 2nA
A @
A 4
3
( !") (" !) =
a 2@
"–xH3=5 2= x
"
D !$
6 32
@ @ ! ! 2 2 3 3 # ! 2 ! 2 ! 2 ! 2 Eos elementos se toman sin repetirse! 3 Donde- A = {@' !' ' 2' 3' } nA = $ 2 2 6ntoncesNJmeros su#conjuntos propios = 2 $ – !
orma-
a
#& su7conjuntos propios "pta$
%#)
9n conjunto tiene !@2" su#conjuntos en total ;u>ntos su#conjuntos de $ elementos tendr><
A !@!% !@@@
4 2!@ 6 "%@
5@@
D
a 32 # 25 c 2$ d 3!
SOLUCIÓ! – 1jate Migre- :ea Mn el nJmero de elementos del conjunto A – Dato- n?A 2n = !@2" 2n = 2!@ +gualando 4ases n = !@ – Donde el nJmero de su#conjuntos de $ elementos es- aplicando propiedad elemental de com#inación R(ecuerdaS T
6l conjunto potencia de G tiene 2& su#conjuntos #inarios. ;u>ntos su#conjuntos terciarios m>s ue #inarios tienen el conjunto G< 4 2!
2&
D 35
6 N.A
SOLUCI'N( :u#conjuntos #inarios n+ n * = 2& +n )+ = 2&
{a}' {e}' {i}' {o}' {u} 0 el conjunto *ac1o 9nitarios
"pta$
&)
9n ,erretero o,rece mati)ados de pintura en o,erta' si se com#inan las pinturas de di,erente color' el cliente se #ene,icia con descuentos. 9n seWor compra pinturas ue resulta de mati)ar com#inar dos clases di,erentes' si el ,erretero tiene 2@ colores di,erentes. ;u>ntos Mtonos distintos de pintura o#tu*o<
A) 2$
B) %$
C) 12$
&) 1#$
') %$$
SOLUCIÓ! i*in+i+ente e- .eeteo tiene e- conjunto P de /intu+s0 A- +ti+ dos co-oes, obteneos subconjunciones bin+i+s: 2$
C2
– ?ero- nS = n – 2S n – !n – 6ntonces- n – ! n = 5$ n = & :u# conjuntos terciarios-
%/)
Entonces se anular?!
2$ ?or lo menos 2 personas
%.)
*
conjunto de 5 auxiliares 6m$$ de su7conj$$ = 25 32 :u#conjuntos. 32 euipos en total. ?ero como de#en Va#er como m1nimo 2 personas.
Donde! 32 – $ una persona = 2$
10+ 10+ 10 = *6 10 6)+6+ = -+6+ 10 � 9 � . � � 6+ 10 *6 = - � � � 1 � 6+ = %1 "pta$
. =
A = {a' e' i' o' u}
n+
n
e 2"
SOLUCIÓ
* = n )+ +
n = !@ U = $ (empla)ando-
A !"
& H % – 3 = 1% "pta$ %0) 6n el la#oratorio de u1mica' el je,e dispone ue se de#e ,ormar' de una lista de 5 auxiliares ,ormar un euipo integrado de por lo menos 2 personas. ;u>ntas posi#ilidades se tienen >
2$ 2 �18
2$(1# )18 2(18 )
= 1#$ Rpta.
&1)
.+ = 5$ + 5+ Nos piden- 5$ – 2& = %/ "pta$
:i nA = 3
Donde- 4 = n ?A = :u#conj. ?ropio de A D = :u#conj. De 2 elementos de A
Dados dos su#conjunto- A 0 4 se de,ine A 4 = {x/x A 4 x A 4} :i- 9 = {x/x QH x L !@} A = {x/x 9 x es di*isor de !2} 4 = {x/x 9 x es impar} Kalle el nJmero de su#conjuntos propios de A 4 a 2 # & c ! d 5 e %
SOLUCIÓ!
Kallar- 4 H – D a &
# 3
c !!
d !2
e !"
SOLUCIÓ! Soluci=n! :i nA = 3 3 4 = n ?A 2
8 subconjuntos
= :u#conj. ?ropio = & – ! = % D = :u#conj. De 2 elementos = 32 = 6ntonces4 H – D
3S !.2S
= 3
9 = {!' 2' 3' "' 5' $' %' &' I} A = {!' 2' 3' "' $} 4 = {!' 3' 5' %' I} A 4 = {2' "' $' 5' %' I} Donde- A 4 = {!' 3' &} nB A 4 C = 3 NJmero de su#conjuntos propios-
/
23 – ! = . su7conjunto propios "pta$ &%) ?ara los conjuntos! ! ! ? = {2 3 } X = { /x N' x 2} 3 2 x Kallar- ? X X = < a {!/2} d {! !/3}
# {!/2 !} e
!
A = {2a/a N a 5} 2# ! ={ /# 4} 3
La sua de !os e!eentos de conjunto C es" a &
# 5
c !2
d !@
e 3
SOLUCIÓ Donde- 9 = {@'!' 2' 3' "' 5}
!
!
/x N' x 2} 3 2 x Donde- x = @' !' 2 ! ! ! ! ormax @ ! 2 +ndeterminado ! X = {!' } 2 Donde- ? X X ! ! ! {!' 2' ' 3' } {!' !/2} = {!' } "pta$ 3 2 2 3
9 = {Naturales} a" 4={ /a A} 2
c {!/2 !/2}
SOLUCIÓ! ? = {2
&-) :ean los conjuntos-
} X = {
orma do#le- A = {@' 2' "' $' &' !@} orma-
a "
4 2 2 " " " $ " & " !@ " 4= 2 2 2 2 2
6ntonces- 4 = {2' 3' "' 5' $' %} 2# ! % I !! !3 !5 orma4 = 3
3 3 3
3
3
omo - U 5 aturalesC = {3' 5}
3 H 5 = / "pta$
&#)
Dados los conjuntos' 6l cardinal- nA 4' esn 16 2
&&)
:i A
x x N' ! x 5 x 4 Σ � x x N' 3
/n Q @ L n 5} n% 4 = {2x H ! / x Q ! x L $} A I 4 !! 5 D % A = {
&
Kallar el nJmero de elementos de A 4. A 3
4 "
5
D $
SOLUCIÓ! ?rimero calculas el conjunto A por extensión-
6 %
A x x N' ! x 5 = !' 2' 3' "' 5
A = {
x 4 Σ � x & = 3' "' 5' $' %' & x N' 3
&+)
:i-
"pta$
9 = {x Q / ! x &} A = {x Q / 2 x 5} 4 = {x Q / ! x L $} Kallar- ?BA 4 C
a !2&
# !53
c 5&3
d !2"
e $"
SOLUCIÓ! De- 9 = {!' 2' 3' "' 5' $' %' &} A = {2' 3' "' 5} 4 = {!' 2' 3' "' 5}
B 1 3
2 5
4A
Donde- A 4 = A 4 – A 4 A 4 = { ! } am#iPn- A 4 = {2' 3' "' 5' $' %' &} 6lementos = % 6ntonces- ?BA 4 C = 2% = 1%/su#conjunt. o partes Rpta.
0
n %
/n Q @ L n 5}
(n %)( n % ) (n % )
/n Q @ L n 5} erdadero *alor
F 6n la indeterminación Va0 ue le*antarla' sino le sale un elemento menos A = {n H " / n Q' @ L n 5} F alores de n Q- !' 2' 3' "' 5 F alores- n H "- 5' $' %' &' I F 6ntonces- A = {5' $' %' &' I} F AVora calculemos el conjunto 4 4 = {2x H ! / x Q ! x L $} F alores de x Q- !' 2' 3' "' 5 F alores 2x H !- 3' 5' %' I' !! F 6ntonces- 4 = {3' 5' %' I' !!} Donde entonces pidenAB = 3, 4, 6, , 8, #, 115 n (A B) = 7 Rpta.
A 4 = !' 2' $' %' & nA 4 = -
n 16 2
A = {
SOLUCIÓ!
6 !3
&.)
:e tiene- 9 = {x/x Q @ x L !@}
A 4 = {@ ' $ ' I} A 4 = {! ' 2 ' %} A – 4 = {3 ' 5} Kallar la suma de todos los elementos de- 4 – A a !3 # !" c $ d 5 e !2
SOLUCIÓ! 9 = {@' !' 2' 3' "' 5' $' %' &' I}
DondeA 4 = {@' $' I} A 4 = {!' 2' %} A – 4 = {3' 5} F R1jateS De- A 4 9 – A 4 = {@' $' I} :e deduce- A 4 = {!' 2' 3' "' 5' %' &} #ser*amos- 4 – A = {"' &}
6lementos = " H & = 1% "pta$
&/)
:i- 9 = {x/x N x !@} A 4 = {3' $} A = {$' "} 4 = {!' 2} A 4 = 6ntonces el conjunto A esa {!' 2' 3' "' $} d {!' 3' "' $}
& = 10 2
# {3' "' $} e {"' 5' $' %}
6
c {3' $' 2' I}
A
B 1
3 6
2 4
C
&0) A
una reunión asistieron 3!5 peruanos VispanoVa#lantes' de los cuales !@@ Va#lan inglPs' !"5 Va#lan ,rancPs 0 !23 solo castellano. ;u>ntos Va#lan sólo dos idiomas< 53
D !%$ 6 !3I
SOLUCIÓ! % = 315 # = 100 a = 47 23 so!o caste!!ano
x b = 92 $ = 145
!@@ H # H !23 = 3!5 # = I2 ,rancPs' castellano !"5 H a H !23 = 3!5 a = "% inglPs' castellano DondeI2 H x H "% H !23 = 3!5 a H # = "% H I2 a H # = 1&0 @a7lan s=lo dos idiomas Rpta.
3
B = 10
De un grupo de $@ alumnos- 2@ gustan de matem>tica solamente' " gustan de matem>tica 0 ,1sica pero no de u1mica' !2 gustan de ,1sica pero no de matem>tica' uno gusta de los 3 cursos' !& gustan de u1mica pero no de ,1sica. ;u>ntos no gustan de alguno de estos 3 cursos< a % # I c !! d 5 e &
SOLUCIÓ! Ora,icandoDel gr>,ico2@ H !2 H !& H " H ! H x = $@ x = $@ – 55
+%)
Ka0 3 estaciones de radio- A' 4 0 ue pueden ser reci#idas por 3@@@ ,amilias' se o#tu*o la siguiente in,ormación – !&@@ ,amilias escucVan la estación A – !%@@ ,amilias escucVan la estación 4 – !2@@ ,amilias escucVan la estación – !25@ ,amilias escucVan las estaciones A 0 4 – %@@ ,amilias escucVan las estaciones A 0 – $@@ ,amilias escucVan las estaciones 4 0 – 2@@ ,amilias escucVan las estaciones A' 4 0 ;u>l es el nJmero de ,amilias ue no escucVan A pero escucVan 4 ó < a !2@@ # $@@ c $5@ d "@@ e 55@
SOLUCIÓ!
9sando los diagramas de enn–6uler F +ntroduciendo datos en el gr>,ico1250 A = 1800
la Jltima limpiada de Gatem>tica donde participa#an !@@ estudiantes' se reali)aron !@ prue#as matem>ticas 0 en la premiación notP ue – 3 ganaron medallas de oro' plata 0 #ronce. – 5 ganaron medallas de oro 0 plata. – $ ganaron medallas de oro 0 #ronce. – " ganaron medallas de plata 0 #ronce. ;u>ntos no ganaron< %5
4
+1)
+) 6n
4 $2
1
A 5 - "pta$
#ser*Pis *osotros el gr>,ico-
A $@
3
x
2 5 91: %: &: +: #; "pta$
4 !%"@
Del gr>,icoxH2H2H$H"H " = !@@ x = /% "pta$
4 3
Ora,icando datos am#iPn sa#es 4 = 4 Gorgan omo- 4 = {!' 2} Del gr>,ico-
A !3@
' = 10 2
SOLUCIÓ!
SOLUCIÓ!5
D &2 6 I@
B = 1700
a = 50
1050
b = 50
200 500 700
400 600
c = 100
C = 1200
– Del gr>,ico' ,amilias ue no escucVan A pero escucVan 4 ó – Del diagrama, entonces escuchan B ó C, pero no A. !@@ H "@@ H 5@ = -- "pta$
+&)
6n una po#lación- 5@Y toma lecVe' el "@Y come carne' adem>s sólo los ue comen carne o sólo los ue toman lecVe son el 5"Y' ;u>l es el Y de los ue no toman lecVe ni comen carne<
a 25Y # 3@Y
c 2&Y
d "5Y
e 2"Y
1
2@ eran mudos 0 3@ eran cantantes callejeros. ;u>ntos de los ue no son cantantes callejeros' no eran mudos ni ciegos<
SOLUCIÓ! L= 50
a) 0
b) 5 c) -0 d) -5 e) 60 ! SOLUCIÓ *ompletemos los espacios "ue "ueden 'ac2os con 'ariables apropiadas, $ lue3o analicemos el 3r!#ico4
C= 40
50 – n
40 – n
n
x
:e *e- 5@ – nY H "@ – nY = 5"Y n = !&Y on el total5@ – !&Y H !&Y H "@ – !&Y H x = !@@Y De un grupo de 32 personas – " damas tiene ojos negros – !% damas no tienen ojos negros. – !@ damas no tiene ojos a)ules. – & *arones no tiene ojos a)ules o negros ;u>ntos *arones tienen ojos negros o a)ules< a " # % c $ d 5 e 3
SOLUCIÓ!
4
60. 6/ a 0
x 90 50
/0. 6/ b 0 c x 10 -0 x 1/0 x
x
+.)
8
Au!es b
+-) De un grupo de %@ estudiantes en la M9N:AA' se sa#e lo siguiente – !@ ,uman pero no *an a la #i#lioteca – 25 *an a la #i#lioteca pero no tienen !% aWos. – !$ ue no *an a la #i#lioteca no ,uman 0 tienen !% aWos. – 5 *an a la #i#lioteca' tienen !% aWos pero no ,uman – 2 ,uman' *an a la #i#lioteca 0 tienen !% aWos.
Cuntos estud*antes no t*enen 17 a+os, no -uan, n* .an a !a b*b!*oteca/ c !"
d !5
e !$
SOLUCIÓ! :egJn los datos Diagrama de arroll
$uan
o -uan 25
B*b!*oteca
o b*b!*oteca
0
"pta$
Del gr>,ico- $ H " H !! H a H # H & = 32 2I H a H # = 32 a 8 7 5 & "pta$
# !3
00 00 00
a
11
17
2
5
10
16
Durante un examen se o#ser*ó en un aula' ue !5 alumnos mira#an al tecVo 0 no usa#an lentes' !@ usa#an lentes 0 resol*1an el examen. 6l nJmero de alumnos ue usa#an lentes 0 mira#an al tecVo era el do#le de los ue resol*1an el examen 0 no usa#an lentes. :i en el salón Va#1a &5 alumnos. ;u>ntos resol*1an el examen<
a) 0
b) 5
SOLUCI'N(
c) -
Miran al ec3o
d) 0
e) 6
!es&elven E4amen U
Len%es
15
.5
a a
10
Del 3r!#ico: 15 a 10 a .5 5 a .5 a 60 a 0 or consi3uiente los "ue resol'2an el examen ser!n: 10 a 10 0 0
!*%a.
x 70 a!unos
De la ,igura- !@ H 25 H 2 H 5 H !$ H x = %@ 5& H x = %@ A 5 1% "pta$ De una muestra recogida a 2@@ transeJntes se determinó lo siguiente- $@ eran mudos %@ eran cantantes callejeros 0 I@ eran ciegos de estos Jltimos'
2
Del 3r!#ico:
0
c Ciegos 90
6
+#)
0
eos
10
a !2
b
a
A 5 %/ "pta$
++)
60 Can%an 0 U 00
M&dos
+/) En una #iesta, donde (ab2a 0 personas, 10
eran (ombres "ue no les 3ustaba la msica *78; 0 eran mujeres "ue 3ustaban de esta msica4
a) 10
b) 0
c) 0
d) -0
e) 5
A 5 %/B "pta$
-1)
SOLUCI'N(
Hom7res
M&8eres
U
Criolla
a
0
0
a
10
6l siguiente gra,ico representa a A A – 4 4 – A A 4 A – 4 9 – A – 4 DA 4 6A 4
B
%
SOLUCIÓ!
Del 3r!#ico:
A
10 a 0 a 0 0 -a 0 -a -0 a 10 (ora 3ustan de la msica criolla: a 0 0 +0) Se+n A, B, C t+- 7ue: n() = #3 n(A) = n(B) = %1 n(C) = %6 n!(A B) 9 C" = # n!(B C) 9 A" = n!A 9 (B C)" = 180 +--+ n(A B C) A) 4 B) C) 1 &) #
B
%
A – 4 4 – A = 2
3
"pta$
!*%a.
-%)
:i A 0 4 son dos conjuntos incluidos en el 9 tales ue- nA = !2 n4 = !$ nA 4 = % alcular- nA 4 A !& 4 2@ 23 D !% 6 !$
') 2
SOLUCIÓ! ?or propiedad se cumple- A �4 =A74 6ntonces- nA 4 = nA – 4 = % Ora,icando-
SOLUCIÓ: ; 18 < # < # < 26 = #3
n(A) = (12)
A = %1
(B) = 16
B = %1 #
18
7
+
5
11
> c
A– B C = 26
b
nA 4 = % H !! = 1/ "pta$
+ = 26 Ao+: n(B) = %1 > < + < # < = %1
-&) una reunión asistieron 6. turistas de los x = 5 Rpta.
-)
6n una po#lación- 5@Y toma lecVe' el "@Y come carne' adem>s sólo los ue comen carne o sólo los ue toman lecVe son el 5"Y' ;u>l es el porcentaje de los ue no toman lecVe ni comen carne< a 25Y # 3@Y c 2&Y d "5Y e 2"Y
SOLUCIÓ:
L = 50
cuales: 0 *onocen ?acna $ *usco: El nmero de turistas "ue conocen *usco es el doble de los "ue conocen sólo ?acna El nmero de los conocen ?acna es i3ual al nmero de los "ue no conocen ni ?acna ni *usco4 =*u!ntos turistas conocen sólo *usco> a) 1 b) c) d) e) 5
SOLUCI'N:
C = 40
50 – n
n
b
C
a U 6.
40 – n
a x
:e o#ser*a- 5@ – nY H "@ – nY = 5"Y n = !&Y on el total5@ – !&Y H !&Y H "@ – !&Y H x = !@@Y
Del 3r!#ico:
0
x b
56
a 0 a 0
a
(A B)
a 0 x b 6. 0 a 0 a 0 6. -a -. a 1
@inalmente: x x
a 0 1 0
N9ME!OS ENE!OS : �) N9ME!OS NAU!ALES : ) N9ME!OS !ACIONALES : �
!*%a.
x -
-+) En una batalla donde inter'inieron 100 (ombres4 - #ueron (eridos en la cabeAa4 - en el braAo4 en la pierna4 5 en la cabeAa $ braAo4 . en el braAo $ la pierna4 6 en la pierna $ en la cabeAa4 =*u!ntos #ueron (eridos en la cabeAa, pierna $ braAo a la 'eA> a) 1 b) c) d) e) 5
SOLUCI'N(
C
-
5
a
d x
6
Del 3r!#ico:
(C &) (A B) 9 (C &) !*%a.
$
#
;
;ANCO CE$!U UNSAAC $!O;LEMA 5
En el sistema de los nmeros enteros, indicar la 'erdad C) $ #alsedad @) de las si3uientes proposiciones: 7) a , + a / a a) F 0 77) a G 0 bH0 a bH0 777) a G b a cGb c, cG0 7C)a sustracción cumple con la propiedad de clausura4 ) @@CC D) @C@C
b e
.
c
- U 100
)
b
I) C@C@ E) @CC@
*) C@@C
SOLUCIÓN:
7)
a
, +a
/ a Ja) F 0
. #
- 5 6 -- -- -. B a d x # b e c 100 - . - # 100 10- # 100 - # @inalmente: # x 6 - x 6
) ctica !" a!" #!5 c !5 "a 3 "2 – 3a = "a "2 = %a a=$ !" – a =
!5 – c = 2c !5 = 3c c=5
?iden- a H # H c = 1& "pta$
1%)
6l producto de dos nJmeros enteros es igual a ""232' al disminuir el multiplicador en !!' el nue*o producto es "!%2". 6l do#le del multiplicador es-
A ""$
4 3&&
2$I D 35&
Ea suma de dos nJmeros es %%$ 0 el cociente !2' siendo su residuo "&. Kallar el nJmero ma0or. a &!5
6l producto de 2 nJmeros es %2@. si se aumenta $ unidades a uno de los ,actores' el nue*o producto es &!$ el *alor del otro ,actor' es -
(1er.Ex.CEPRU) a !"
SOLUCIÓ:
# !&
c !$
d !%
e !5
– :a#emos del productoG x m = %2@ – DatoGH$ m = &!$ – 6,ectuando-
%2@H$m = &!$ $m = &!$ – %2@ I$ m= m 5 1# "pta$ $ 1+) Kallar la suma de las ci,ras de un nJmero de cuatro ci,ras' sa#iendo ue' al ser multiplicado por "3 se o#tiene como suma de sus productos parciales un nJmero ue termina en 55"3. a 2@ # 25 c 2" d 22 e 23
# %2@
c 53@
d $55
e 35@
SOLUCI'N:
SOLUCI'N:
1&)
$
1-)
6 35!
:ean- G = multiplicando m = multiplicador :a#emos- G $ m = ? Datos- G $ m = ""232 T + Gm – !! = "!%2" perandoG $ m – !!G = "!%2" T ++ (empla)ando- + 0 ++""232 – !!G = "!%2" ""232 – "!%2" = !!G 25@& = !!G G = 22& Gultiplicando De +- G $ m = ""232 22& $ m = ""232 m = !I" Gultiplicador 6l do#le de m = 2!I" = &// "pta$
a#cd % .....55"3
Gultiplicando en ,orma ordenada% $ d = 3 d = I % $ c H $ = " c = " % $ # H 3 = 5 # = $ % $ a H " = 5 a = 3 6ntonces- a#cd 3$"I :uma de ci,ras- 3 H $ H " H I = %% "pta$
* "a ' ( %$#2c )3& !5
!" – # = $# !" = %# #=2
3$"I
Del dato- A H 4 = %%$ A = %%$ – 4 T+ Del enunciado A 4 "& !2 A = !24 H "& T++ (empla)ando + en ++%%$ – 4 = !24 H "& %2& = !34 4 = 5$ (empla)ando en +- A = %%$ – 5$ A = .% 'n6mero maor) "pta$
1#)
6l residuo de la di*isión de cierto nJmero entre !3' es !! pero dicVo nJmero si se di*ide entre !!' el cociente aumenta en ! 0 el residuo anterior disminu0e en !. ;u>l es el nJmero< a !2 # &$ c %$ d "5 e 3$
SOLUCI'N: :ea A el nJmero Del enunciado A = !3 H !! T + A = !! H ! H !@ T++ +gualando + 0 ++ !3 H !! = !! H ! H !@ =5 Euego- A = !35 H !! = .# "pta$ 1.) Ea suma de dos nJmeros es 323. Al di*idir el ma0or de los nJmeros por el otro' se tiene !$ de cociente 0 residuo m>ximo. 6l nJmero ma0or es A 3@2 4 23" 3@5 D 3@" 6 2"3
SOLUCI'N:
5/
– :ean los nJmeros- N 0 323 7 N 323 E E – ondición- (n 1) 1 6
el di*idendoa !2@@ # !2I$
– ?or el algoritmo de la di*isión- 323 – N = !$N H N – ! 323 – N = !$N H N – ! N = !& F ?iden- 323 – !& = 3@5 "pta$ :* d*.*des un enteo, cu:o d*.*so es 35 :
obt*enes 8 de coc*ente : su es*duo ;o exceso es 5 a!!a !a sua de! d*.*dendo s e! coc*ente> da coo es;uesta !a sua de c*-as a !!
# !2
c !@
d !5
e !3
SOLUCI'N: Reamos S – :ea MN el nJmero entero – Donde- Dato N 35 5 & 6xceso F ¡No mencionan ue & es cociente por excesoS F 6ntonces se asume ue & es cociente por de,ecto – 6ntoncesDato N 35
Di*isión por exceso
5 & H ! N = 35I – 5 6xceso N = 3!@ – ?iden- suma del di*idendo H cocientede,ecto 3!@ H & = 3!& F :uma de ci,ras- 3 H ! H & = 1% "pta$
10)
Al di*idir dos nJmeros por de,ecto 0 por exceso' se o#tu*o como residuos- 3! 0 2! respecti*amente. :i la suma del di*idendo' di*isor 0 cociente es I&". Kallar el Di*idendo A I@2 4 I3" I@5 D I@" 6 I!5
SOLUCI'N: – Del enunciado
(empla)ando"
?or de,ectoD n 2"
?or excesoD
+
n !$
n
n&
%1)
Kallar la suma de todos los nJmeros enteros ue al ser di*ididos entre 25 originan un cociente ue es el triple del residuo ! a 223$! # 22&@@ c 3$"5! d %%&@@ e "@@I$
SOLUCI'N: D
25
D = 253( H ( ( 3( D = %$( ( L 25 ?ropiedad Donde el residuo es un *alor no ilimitado en una di*isión inexacta omo D = %$(' la suma de sus posi#les *alores ser>(ecuerda- (min = ! (max = 2" :uma D = %$ $ ! H %$ $ 2 H T H %$ $ 2" %$! H 2 H 3 H T H 2" = %%/ "pta$
%%)
de coc*ente : un esto x*o Cuntos n?eos cu;!en con d*c@a cond*c*n/ Al di*idir +bc
entre !% se o#tiene
4 2"2 0 "I& solo "2& 6 "2"' 2"2 0 &"I
RigreS :a#es- Desto ,á>i,o diFiso 1 +bc
1
16
bc
,á>i,o
a#c = !% #c H !$ !@@a H #c = !% #c H !$
!@@a = !$ #c H !$
r de, r exc di*isor
52 H 3! H 52 H = I&" 53 = I@! = !% – 6ntonces D- 6n +- D = d $ H r de, D = 52 $ !% H 3! D 5 01- "pta$ %) 9na di*isión se e,ectJa por de,ecto 0 por exceso' encontr>ndose ue- el resto por de,ecto' el resto por exceso' el cociente por de,ecto 0 el di*isor' ,orman una progresión aritmPtica de ra)ón &. Kallar
bc
SOLUCI'N:
D d r exc H ! D = d H ! – r exc T++
d $ H r de, H d H = I&"
++
r de, H r exc = Di*isor ?ropiedad n H n H & = n H 2" 2n – n = 2" – & n = !$ 6n- + ?or de,ecto D = d $ H r de, D = n H 2"n H !$ H n D = "@ $ 32 H !$ D = 1%0# "pta$
F Por eAceso
– (empla)ando- 3! H 2! = di*isor = 52 D H d H = I&" T++
n 2"
De(empla)ando-
D d r de, D = d $ H r de, T+
50
e !"23
r de, = n r exc = n H & = n H !$ di* = n H 2"
A "2" 0 &"I D :olo &"I
F Por de*ecto
– DatosF r de, = 3! F r exc = 2!
d !35@
SOLUCI'N:
Desiduo ,á>
1/)
c !3@@
25a = " #c H " 25a = " #c H !
#ser*a cViuitoaMa de#e contener a "' 0a ue 25 no lo contiene' entonces a = " 25 = bc H ! bc = 2"
a=&
+bc = +%+
5@ = bc H ! +bc = /+0 bc = "I
6ntonces- +%+ /+0 "pta$ GO7servaH Ma 0a no puede tomar el *alor !2' Ma es de una ci,ra.
%&)
+--+ “c” en -+ si*uiente su+: +%b 4b+2 c+ bb+68
++ A @
4 2
"
D $
6l cociente de dos nJmeros irracionales es un nJmero irracional. +++ oda operación reali)ada con un par de nJmeros racionales genera otro nJmero racional.
6 &
SOLUCIÓN:
A%"# H 5#a2 c%a ##a$&
&e -os i--+es --eFo G1H b=1 'n -+s unid+des: 1 < 2 < + = 8 + = 4 'n -+s decen+s: % < 4 < = 16 (--eFo G1H) 'n -+s centen+s: 1nto Va0 ue disminuir el gasto diario para ue Pste al ,inal del aWo' sea :/. !53@@@< !5@
D !%@
6 2@@
SOLUCI'N: Del !ro de enero al !% de octu#re se tiene 2I@ d1as 6ntonces cada d1a gasta-
10500 = :/. "5@ 90
Euego6l !& de octu#re el gasto diario disminu0e en"5@ – 3@@ = S$ 1- "pta$
un
$!O;LEMA 5.
Dada las si3uientes proposiciones: 7) a suma de dos #racciones irreductibles es otra #racción irreductible4 77) ?odo nmero #raccionario es un nmero racional $ rec2procamente4 777)?oda #racción impropia es menor "ue la unidad4 os respecti'os 'alores de 'erdad son: ) @@@ I)C@C *) C@@ D) @CC E) @@C a c ad bc b d bd
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