1erano_solucionario

1.er AÑO

Secundaria

Primer Año

Resolución 2

Resolución 1

N.º circunf.(F1)=4 N.º circunf. hasta la (F2)=9 N.º circunf. hasta la (F3)=16 

A 1

225 → n=14

C 3

D 4

E 5

F 6



=(n+1)2

I 9

J 10

YMMER=26+13+13+5+19=76

t1

t2

t3

14

26

38 ... 170

Clave

t14

C

Resolución 3

Total de intersecciones=



H 8

T U V W X Y Z 21 22 23 24 25 26 27

Hay 15 circunferencias grandes. Tenemos 14 intersecciones.



G 7

K L M N Ñ O P Q R S 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

N.º circunf.=(n+1)2

B 2

14+170  ·14 2

C=350 000 R1=8%

=1288 Clave

E

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R2=6%

t1=t años

t2=t años



I1 – I2=23 625



3 500 0 0 0 ⋅ t ⋅ 8 3 500 0 0 0 ⋅ t ⋅ 6 − = 10 0 10 0



=23 625 2 · t · 3500=23 625 Departamento de Publicaciones

1

COLEGIOS PROLOG

26 625 7000 27 t= años 8



Reemplazando (a) en J

t=





t= 3 años 4 meses 15 días Luego:



35 0000 · 32 · 3 I1= =336 000 100





10

35 0000 · 30 · 4 I2= =35 000 1200



2

I3=





=

K ( a + b + c + d) abcd

=

K( a + b + c + d )( a + b + c + d ) abcd

= K( a + b + c + d )·

= ak + bk + ck + dk·

a+ b+ c+ d abcd

5

35 0000 · 24 · 15 =3500 36 000

= A + B + C + D·

3

a b c d + + + abcd abcd abcd abcd

I1+I2+I3=374 500



a+ b+ c+ d abcd

Clave

A + B + C + D·

D

1 1 1 1 + + + bcd acd abd abc factor de J

Resolución 4

Un factor de la expresión J es:

A B C D Sea  = = = =k a b c d

1 1 1 1 + + + bcd acd abd abc



Aa Bb Cc Dd = = = =k a2 b2 c2 d2



Clave

Aa Bb Cc Dd = = = = k a b c d



Resolución 5

Aa+ Bb+ Cc+ Dd = k a+b+c+d



Para dos números a y b

Aa+ Bb+ Cc+ Dd = k (a+b+c+d)



J=

2

(a)

Dato:

De la expresión:

MA×MH=MG 2=a · b

Aa+ Bb+ Cc+ Dd



MA×MH×MG=512 000

abcd



 MG 2  ×MG=512 000

Departamento de Publicaciones

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A

Secundaria

MG 3=803 MG=80





2.a caja: 22(2,5)=S/.55 Total=S/.211 Clave

Se conoce que: MA – MH=36



MA×MH=802=6400=100×64

Interés de la 1.a parte

Identificando: MA=100



a+b=200



a×b=6400

C

Resolución 7





1.er AÑO

MH=64

MG=80

ab00 ·15 · 2 =30 · ab 100

Interés de la 2.a parte

Se obtiene: a=160

(a+3)bb(3b) ·20 · 4 4 = (a+3)bb(3b) 100 5

Además del enunciado tenemos:

b=40 Clave



4 30 ab + ( a + 3) bb( 3 b) 3 5 = 5 ab00 + ( a + 3) bb( 3 b)



150ab+4(a+3)bb(3b)

D

Resolución 6 unid.

precio

desc.

pago



=300ab+3(a+3)bb(3b)

1. caja

52

K

S

52K – S



(a+3)bb(3b)=150 · ab

2.a caja

22

S

K

22S – K

De donde observamos que 3b debe ser 0.

a

Entonces  b=0 lo pagado por



la 1.a caja

lo pagado por

=2 

la 2.a caja

52K – S=2(22S – K) 54K=45S 6K=5S S – K=0,5 → S=S/.3 K=S/.2,5

Luego:

a

1. caja: 52(3)=S/.156 www.prolog.edu.pe / ) 2833615 - 7199843



(a+3)000=150 · a0



(a+3)0=15a



10a+30=15a



a=6

La herencia es:

6000+9000=15 000 Clave

Departamento de Publicaciones

C

3

COLEGIOS PROLOG

El cuarto socio aporta

Resolución 8



Sea: n: número de socios F: fondo

5 (240 000) – 8000 24

→ 42 000

Luego: 1.er socio → aporta la patente

Clave

Resolución 9



2.o socio → aporta

5 F 24

abcdef(8)=...xy(3)



3.er socio → aporta

5 F – 4000 24



...

5 4.o socio → aporta F – 8000 24 5 n socio: → aporta F – 400(n – 2) 24 Si todas las aportaciones fueran iguales a la mayor (solo hay n –1 socios que aportan). 5 5 5 F F+ F+...+ F=F+ 24 24 24 4



aumenta

(n –1) sumandos



(n –1)

5 5 F= F 24 4

1/4

→ n=7

Son 7 socios, la suma de los aportes da el fondo necesario 5 5 5 F+ F – 4000 + F – 8000 +...=F 24 24 24 6 sumandos

C

...] ⋅ 3 2 + xy ( 3) =[ º 9

º → abcdef(8)=9 +xy(3) Como: º  8 = 9−1   º º 8 2 = 9 + 1  8 N.º par = 9 + 1  º º 8 3 = 9 − 1  8 N.º imppar = 9 − 1  º  9 4 = 9 + 1  → abcdef(8)=a · 85+b · 84+c · 83+ +d · 82+ e · 8+f º  =9 +a+b – c+d – e+f Multiplicamos por 1 y (–1) de derecha a izquierda Luego:



5 6/ ·  F – 4000(1+2+...+5)=F 24

BRUCEECURB214 8=9º+mn(3) + – + – + – + – + – + – +



5 F – F=4000 ·15 4

º+5 9º+B/ – R/+U/ – C/+E/ – E/+C/ – U/+R/ – B/+2 –1+4=9



F=240 000

4

Departamento de Publicaciones

(9º+5)2011=9º+52011 www.prolog.edu.pe / ) 2833615 - 7199843

Secundaria

Base (5) Módulo (9)



En 1 km hay n árboles

50  51  52  53  54  55  56 1  5  7  8  4  2  1 ...

6º

...

...

5 =9º+1 º 52011=56+1=9º+5

...



Entonces

Distancia 1000 D= m 191

D

n2=36 864 n=192

2011 BRUCEECURB214(8) =9º+5

5=12(3)=mn(3) m=1 n=2 → m2+n2=5

n

...

n

Luego

...

...

g=6

...



1.er AÑO

D=5,2 m Clave

Clave

A

D Resolución 11

Resolución 10



n=



º n=MCM(82; 150; 180) – 36



º n= 36900 – 36



5

º +46=82 º  – 36 82 º º 150+114=150 – 36 º º 180+144=180 – 36 3 h1 h2

n=36 864

Como es la cantidad de árboles en un km2, y se encuentra a igual distancia a los 4 más próximos para cada árbol. www.prolog.edu.pe / ) 2833615 - 7199843

Las alturas de los conos son proporcionales a los radios. Departamento de Publicaciones

5

COLEGIOS PROLOG

En un minuto llenan

Altura DP radio H =K R

1 70 1 A+C= 84 1 B+C= 140 A+B=

h1 h2 = → h1=5K   h2=3K 5 3

14 420 1 A+B+C= 60

2(A+B+C)=

También Volumen DP altura3

V H3

=K

V1

h13

A+ =

V1

1 1 1 = → A= 140 60 105

V2

h23

A lo llena en 105'=1 h 45' B+

V2

= (5K)3 (3K)3

V2=

+

1 1 1 = → B= 84 60 210

B lo llena en 210'=3 h 30'

27 V =21,6% V1 125 1

C+

1 1 1 = → C= 70 60 420

C lo llena en 420'=7 h Volumen desalojado:

Clave

V1 – V2=78,4%V1

Resolución 13 Clave

Resolución 12 A y B lo llenan en 70' A y C lo llenan en 84' B y C lo llenan en 140'

6

Departamento de Publicaciones

C

E

Existe una relación de proporcionalidad inversa

altura×caudal=constante

Mayor altura, menor caudal. → 100 · 3=500 · q2  q2=0,6 L/min www.prolog.edu.pe / ) 2833615 - 7199843

1.er AÑO

Secundaria

Porcentaje de disminución



(3 – 0,6)  · 100%=80% 3 Clave

D

Clave

Resolución 14



A: se extrae 2/30 → queda 28/30



B: se extrae 6/20 → queda 14/20 C: se extrae 12/75 → queda 63/75

Simplificando quedará

(A);

(B);

(C)



14 ; 15

7 ; 10

21 25

Sea F la capacidad del frasco, F debe estar contenido exactamente de los volúmenes de (A); (B) y (C). → F es un divisor común Como se quiere el menor número de frascos, F debe ser el mayor posible.

F= MCD 



F=

14 7 21 ; ; 15 10 25

MCD(14; 7; 21) 7 = MCM(15; 10; 25) 150

N.º frascos=

A

Resolución 15

Sean las sustancias A; B y C



 14 7 21  + +  15 10 25 = =53 7 150

Vtotal Vfrasco

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De la 1.a aleación



A

B

2K

3K



se toma 25 kg



2K+3K=25



K=5



Hay 10 kg de A y 15 kg de B.

De la 2.a aleación





C

D

3m

4m

Se toma 7m kg C es fino Al fundirse con la primera, que no tiene metal fino, se tendrá ley=

peso del metal fino peso total de la aleación

3m 25+7m



0,3=



1 3m = 3 25+7m

m=12,5

Departamento de Publicaciones

7

COLEGIOS PROLOG

Se toma

Cálculo de la moda



de C: 3(12,5)=37,5 kg



de D: 2(12,5)=50 kg

Clave

Resolución 16 De la figura se forma la siguiente tabla Nota

xi

Fi

fi

xi fi

0 – 4

2

5

5

10

4 – 8

6

20

15

90

8 – 12

10

30

10

100

12 – 16

14

80

50

700

16 – 20

18

100

20

360

Cálculo de la media 10+90+100+700+360 5+15+10+50+20



x=



1260 =12,60 x= 100



x=12,60

B

Como f4=50 es la mejor de todas las frecuencias.

La moda pertenece al 4.o intervalo 4(50–10) (50–10)+(50–20)



Mo=12+



Mo=14,285



x+Me+Mo=40,485

→ C552=

A

X

Salgan 2 ases de 4 posibles.

La mediana ∈ al 4.o intervalo 4 100   – 30 50 2



Me=12+



Me=13,60

8

Departamento de Publicaciones

A

52! 47!×5!

Casos favorables A

100 2

Clave

Escoger 5 cartas de 52

C42

como F4=80 >

B

Resolución 17

Y

Z

Salgan 3 cartas (no son ases de 48 posibles).

×

Cálculo de la mediana

Clave

P(sacar 2 ases)=

C48 3 C 42 × C 48 3 C 52 5

4! 48 ! × 2 ! × 2 ! 45 !× 3 ! = 52! 47 !× 5 ! =0,0399

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1.er AÑO

Secundaria

Resolución 19

Resolución 18 Hacemos



y

3

Hacemos los siguientes cambios =a  y 

3 x =b

a=c+s+r ∧ b=25+R+4

En la 1.ª ecuación

(1)

a – b=18

a b = =2 → a2–2ab+b2=0 b a

En la 2.ª ecuación 3x

+ 3



32



3x +3 3 3



y

⋅ 32

 (a – b)2=0 a=b

y

Reemplazando

b +3a=84 3

(2)

a=b → C+S+R=2S+R+4 → C – S=4

3a – 3b=54 – b 3a+ =84 3

Convertimos S y C a radianes y hallamos R así:

10b =30 3 b=9 a=27

200R 180R 20R π  –  =4 → =4 → R= π π π 5 Clave

Luego



3

y 2

= 27 = 3 3

→



(C+S+R), (2S+R+4) en a=b y reducimos

(1)×3 se tiene



Reemplazando:

x 3 2 =9=32

D

y =3 2 y=36

→ x=4

y 36 =  =9 x 4 Clave

C

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Departamento de Publicaciones

9

COLEGIOS PROLOG

Resolución 21

Resolución 20

x+ y +2+

G

t=2 min y A

1 h 30

60º C

30º



(α)

2x + 3 y + 2x − 3 y =

3 km 2

1 km

y + x−2 =

x + y + 2 + 2x − 3 y = H

F

2x + 3 y +

y + x−2 =



(β)

(α) y (β) 60º

señal D

B 

Cálculo de AC AC=v.t



AC=180



AC=6 km



Calculamos CD CD=3 3 km



Pero CD es igual a FE FE=3 3 km



Calculamos H H=FE+FG

2x + y + 2 = 2 2x + 3 y

E

→x=

y −3 y +2

(α) y (β)

km 1  ·  h h 30

Luego de una diferencia de cuadrados se tiene: 3 y =2 → y=8  x= 8 → x2 · y=64 Clave

Resolución 22

3 2



=3 3 +



7 3 km H= 2

r O2 L r

6 O1

L1

30º

6

2

L3 R 60º

R

O3

H=3,5 3 km



Clave

10

Departamento de Publicaciones

E www.prolog.edu.pe / ) 2833615 - 7199843

E

1.er AÑO

Secundaria



Del gráfico obtenemos:

sen30º=

R+r 1 = → 2R+r=6 6+R 2

tan60º=

6+r = 3 → 6+r= 3 (R+r)(β) R+r



a2+b2

(a)

Resolviendo (a) y (β) obtenemos R ∧ r R=12 3 –18 y r=12 – 6 3

b

a

atotal=4 · Sdiagonal 2



2 ( ab + bc + ac) = 4 ⋅ a 2 + b2 ⋅ c

Sea 2P el perímetro: 2P=L1+L2+L3

4b+4b+4(4)=2 · 4 16+b2 8b+16=8 16+b2 b+2= 16+b2 b=3 Reemplazando Stotal=2(ab+bc+ac) =2(4 · 3+3 · 4+4 · 4) =2(40) Stotal=80 cm2

π π π = · 6+ · r+ · R 6 2 3 

Reemplazando obtenemos: π 2P= (6+3r+2R) 6 → 2P=π( 3 +1) cm Clave

Clave

C

C

Resolución 24

Resolución 23 Graficando el paralelepípedo rectángulo.

c=4

Sdiagonal

a2+b2

B 4

b

a=4 Sabemos que

Stotal=2(ab+bc+ac) www.prolog.edu.pe / ) 2833615 - 7199843

A 8

4

C8

En el t isósceles ACB: AB=4 2 En el octaedro regular Departamento de Publicaciones

11

COLEGIOS PROLOG 3 V=( AB) ⋅ 2 = (4 ⋅ 2 ) ⋅ 2 3

3

V=

Resolución 26

3

Se pide CD[MCM(49n; 280)]=?

256 cm3 3 Clave

D

A=

1 1 1 1 + + +...+ 1· 2 2 · 3 3 · 4 (n –1)n

Resolución 25 A=1 − r

B R

A=

n –1 n

B=

1 1 1 1 1 + + + + ... + ⋅ 9  ( n − 3)( n − 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅7 7 1)

d A

d=2 R.r

tangente común exterior

1 1 1 1 1 1 1 + − + − + ... + − 2 2 3 3 4 n −1 n

 n− 2  sumandos  2 

Aplicando la propiedad indicada AB=2 9x=6 x

(a)

BC=2 x ·16 =8 x

(β)

AC=2 9 ·16 =24

(θ)

1 1 1 1 1 1 1 – 2B=1– + – + – +...+ 3 3 5 5 7 n–3 n–1 2B=

Pero AC=AB+BC

(ω)

Reemplazando

144 =x 49 Clave

Departamento de Publicaciones

Observación n–2 =N.º entero → n es par 2 n=2k

(a); (β) y (θ) en (ω) 24=6 x +8 x 24=14 x

12

n–2 2(n – 1)

C

MCM=

2k – 1 2k – 2 =171 ; 2k 2(2k–1)

MCM=

2k – 1 k – 1 =171 ; 2k 2k–1

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1.er AÑO

Secundaria

(2k – 1)(k –1)=171=19 · 9 → k=10 n=20

114 litros es desalojado sólo por el hueco de la base

MCD(49 · 20; 280)=140=22 · 5 · 7 t2= CD(MCD)=3 · 2 · 2 =12 Clave

C

114 =76 h 3 2

t1+t2=94 h ≡ 3 días, 22 horas Clave

Resolución 27

D

Resolución 28

P(rojas)=

t1

57 L 171 L 2 ×171=114 L 3

5 L/h 3

N.º bolas rojas total de bolas

P(R)=0,5=

N.º bolas rojas 24

→ N.º bolas rojas=12 t2 P(V)=0,375=

3 L/h 2

N.º bolas verdes 24

→ N.º bolas verdes=9 t1=tiempo (1) N.º bolas azules 24

t2=tiempo (2)

P(A)=0,125=

57 litros es desalojado por los dos orificios.

→ N.º bolas azules=3

t1=

57  3 5  +  2 3

=18 h

N.º bolas rojas – N.º bolas azules 12 – 3=9 Clave

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Departamento de Publicaciones

E

13

COLEGIOS PROLOG

Resolución 29

262k+288k (56k)·d = → d=5 55 28



Para realizar una misma obra en un mismo tiempo.

Clave

Resolución 30

N.º obreros  IP  N.º eficiencia 5 e1 7 e2 8 e3 5e1= 7e1= 8e3 → =

a

e1 e2 e3 = = 56 40 35

2 ( 56 k + 40 k + 35 k) 3 ( 56 40k 56 k ⋅ d    k + 262 k

14

PROLOG

Producto de b= números primos que hay entre a y b.

50  PROLOG  60=53×59=3127

Disponiendo los datos

2 días

A

288 k

3 días

Departamento de Publicaciones

Clave

d días

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D