1er Material de Estudio IEN 2023 - 1

 

 

Sistemas de medición angular  01.  Determine

mostrado.

3639

3740

Calcule el valor de a A)   B)   D)   E)   

“x” a partir del gráfico

C)

38

 

05.  Si

S y C son los números de grados sexagesimales y centesimales que representan la medida de un ángulo, además se cumple que 5C   2S = 64; calcule la medida de dicho ángulo en el sistema radial. C)    A)   B)   D)   E)  

O

– /10 /5 /30

/2/20

x

06.  Si SC =

A 90º + β B β – D 180º + β –β  

–β

 90º

la figura, mostrada calcule:

20+ 

 √  /200 /100 /180 /150 /140 

C) 90º    

E) 180º    

02.  De

RS, donde S, C y R son números de grados sexagesimales, centesimales y radianes de un determinado ángulo. Calcule:   A)   B)   C)    D)   E)  

07.  Si

S y C representan los números de grados sexagesimales y centesimales, respectivamente, que contiene un ángulo, los cuales verifican.

 

20 (x + 12) S = 45( 45 (x + 15)  y C = 20(

Calcule la medida de dicho ángulo en radianes.

5yg 

3xº

A) D)

A)  1/2

B)  3/2

D) 1

E) 3/2

03.  Si:

–

Calcule el ángulo

D)

2

 



15

B)  

E)



5

 



20

C)



10

 

 

Relaciones en el sector circular y en el trapecio circular 08.  En

un sector circular, el arco mide L1; pero si triplicamos el radio y reducimos el ángulo central a su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo es L2. Calcule L2/L1. A) 3/2 B) 2/3 C) 4/3 D) 5/2 E) 5/3

 

B) 



C) 1/2

–   °′ 72  b°ab + 1′ 30°1′ 31°1′ 29°59′ 30°59′

A)   C)   E) 31°

 

 

 

 

09.  04.  Si:

a81′− 22′  ° = a250+2+ 2

 

En un sector circular, se sabe que la longitud del radio es el triple de la longitud del arco y que el área del sector circular es 54 cm2. Calcule el perímetro del sector (en cm).

1

 

 

B) 42

A) 40 D) 46 10.  Si

C) 44

E) 48

S1 es el área del sector circular COD y

S2 es el área del trapecio circular ABCD; además se cumple que S2  = 2S1  + 8. Calcule S1, en u2. O

L B

 A

S2 

C) 3S

13.  Se

tiene un sector circular cuyo arco mide 36cm. Si el ángulo central se incrementa en su tercera parte y el radio se reduce a su mitad, se genera un nuevo

Aplicaciones en poleas y engranajes 14.  El

3L A) 2/3 D) 4/3

B) 2S E) 5S

sector circular. Determine la longitud del arco del nuevo sector. A) 6cm B) 9cm C) 12cm D) 18cm E) 24cm

S1 

C

A) S D) 4S

B) 5/3 E) 2

C) 1

11.  En

la figura mostrada AOD y BOC son sectores circulares, calcule el área (en u2) del trapecio circular ABCD en  

B

u.

número de vueltas que da una rueda de radio r para recorrer exteriormente otra rueda de radio R es cinco veces el número de vueltas que da para recorrerla por el interior. Calcule R/r. A) 6/5 B) 5/3 C) 5/4 D) 3/2 E) 2

15. Calcule

el número de vueltas que da la rueda al ir A hasta tocar la pared.

 A 2u 2u

O

2

8u

2

D

2

C A) 30 D) 25

B) 18 E)  30

C) 20

12.  De

la figura AOB y COD son sectores circulares. Si las áreas de las regiones COD y CABD son S y 3S u2  respectivamente y la longitud del arco AB es 4u. Determine la medida del lado OC en función de S.  A

A) 1/4 D) 3/2

B) 2/3 E) 2

C) 1

16.  Si la rueda A da 10 vueltas y la rueda B da

4 vueltas, calcule la distancia separación entre dichas ruedas.

 A

de

B 4

C

1

O 

A) 4 + 52   D) 8 + 52 

D

  B) 6+ 52   C) 4+26   E) 2 + 26 

B

2

 

 

17.  En

la figura se muestra dos monedas de radios 2 cm y 5 cm, la rueda mayor se mantiene estática mientras que la rueda menor gira en torno a la rueda mayor hasta volver a su posición inicial por primera vez. ¿Cuántas vueltas dará la

A) 3/4 D)  12/29

un triángulo ABC, se traza las alturas BH y AP que se intersectan en el punto Q, siendo 2(BQ) = 5(QH). Calcule el valor de tan(A).tan(C). A) 7/5 B) 7/2 C) 5/2 D) 3/2 E) 5/7

sesenn3x3x−√ 3−c1515° °. . csc cs cx x + 35 35° ° = 1 ot x + 5°5° + 3 csc x + 12°

22.  Si:

B) 3 E) 4,5

 

Calcule:   Si todos los ángulos involucrados son agudos. C) 9 A) 7 B) 8 D) 10 E) 11

C) 3,5

23. 

Razones trigonométricas de ángulos agudos

Si:

sensenx+1° x+1°xsecsec∈ 〈0;x−1° x−1° tan20°20° tan 70° 90°〉 = tan donde

18.  Si

 es la medida de un ángulo agudo que cumple:

senθ = 2291  y cotθ =  2nn +−2170

Calcule n. A) 15 D) 40

B) 26 E) 45

 

A) 30 D) 74

B) 45 E) 81

C) 60

sencos−−+ =cscsen70°70° = 1 x/y 4/59/4 5/95/4 9/5 / AC = ED = a .CD = b  

 

C) 35

Calcule el valor de

B), si BC = a, AC = b, AB = c, además:

A) D)

25.  En

b.sen(A)  a.tan(C) = 2b/3. ¿Cuál es el valor de sec(A).sec(C)? A) 1,2 D) 3,6

 

. Calcule x.

24.  Si:

19.  En un triángulo rectángulo ABC (recto en

–

C) 4/7

21.  En

rueda menor?

A) 2,5 D) 4

B) 3/7 E) 11/29

   

 

B) E) 

   

C)

 

la figura mostrada,  y , determine  en función de  y

 

B) 1,8 E) 5,4

C) 2,4

20.  En

la figura mostrada, AB = CN. Calcule: tan (   )  

B N

53°

A) B)

 A

C

 ccoscososos −sen −sen 

 

3

 

 

C)

D) E) 26.  Si

  sen sen +cos    −cos  sen −sen –

30.  Una persona observa la parte más alta de

     

tan(3) = 0,75 y 0° <   < 90°, calcule 3cot()  10cos().

A) 1 D) 4

B) 3 E) 2 

A) 191 D) 194 m m

C) 5

Ángulos verticales ángulo de elevación para la parte superior de un edificio A vista desde el pie de otro edificio B tiene una medida de 60° y desde la parte superior del mismo edificio, que tiene 15 m de altura, dicho ángulo es de medida 30°, Calcule la altura del edificio A (en m) B) 18 E) 30

C) 22,5

objetos, a un mismo lado del edificio y alineados con él, con ángulos de

depresión de medidas 45º y θ θ < 45º. cotθ.

Si la distancia que separa a los objetos es el triple de la altura del edificio, calcule   B) 3 E) 6

C) 4

un ángulo de elevación de medida θ, complemento de θ. Si el niño se sutanθpadre, calcule el valor de: cotθ +

niño divisa los ojos de su padre con  pero  pero después de acercarse una distancia igual al cuádruplo de la diferencia de sus estaturas, el ángulo de elevación mide el encuentra siempre a un mismo lado de  

5

–

una recta se tiene los puntos consecutivos A = ( 8; 5), B = ( 5; 1) y C = (a; b), siendo 4(AB) = 3(BC). Calcule el valor de 2a + b. A) 6

B) 7

D) 9

E) 10

––

C) 8

–

un paralelogramo ABCD, donde A = ( 5; 1), B = (7; 3) y C = (9; 11). Calcule la suma de las coordenadas del punto medio del segmento DM, siendo M punto medio del lado AB.

A) 5/2 D) 11/2

C) 9/2 

B) 7/2 E) 13/2

––

33.  En

un triángulo de vértices A = ( 5; 3), B = (7; 1) y C = (3; 9). Calcule la longitud (en u) de la mediana CM de dicho triángulo.

3√ √ 1313

29.  Un

A)   D) 2 6  

C) 193 m

––

31.  En

32.  En

28.  Desde lo alto de un edificio se divisan dos

A) 2 D) 5

B) 195 192 m m E)

Introducción a la Geometría Analítica

27.  El

A) 16 D) 24

un edificio con un ángulo de elevación de 45°. Luego se acerca, al edificio 48 m observando la parte más alta del edificio con un ángulo de elevación de 53°. Calcule la altura del edificio.

A) D) 

 

–

 

B) E)

34√ √ 10115105

   

C)

4√ 5

 

–

34.  En

un triángulo se sabe que sus vértices tienen por coordenadas A = ( 3; n), B = (5; 2) y C = (m; 4). Además su baricentro tiene por coordenadas G = (1; 2). Calcule m + n.

–

2 5

B) 6   E) 6

C)

 

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

4

 

  35.  Si

S es el valor del área de una región triangular, donde dos de sus vértices tienen por coordenadas los puntos (3; 2) y (5; 4), y el baricentro de dicha región triangular es el punto (1; 4); calcule:

F =  S − 8 2

A) 1 D) 4

39. 

Determine el punto de intersección de la recta L1 con el eje de abscisas.

C) 3 40. 

La recta

–

36.  Sean

–

los puntos A( 4;6) y B(3; 2) equidistantes de una recta L cuya pendiente es 1/7. Halle la ecuación de la recta L.

–

– ––

E) 8

–

Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto ( 10; 6) y que sea perpendicular a la recta. L: 2x + y + 21 = 0

Determine de por: la región triangular (enelu2)área formado L1: x = 4; L2: x + y = 10 y el eje X.

––

–

– –– – – – –– –

A) 20 D) 5 42. 

A) 2x + 11y  42 = 0 B) 11x  2y  13 = 0 C) 2x  11y + 46 = 0 D) 11x + 2y  17 = 0 E) 4x  7y + 11 = 0

B) 18 E) 30

C) 10

Un rayo de luz va dirigido por la recta L: 3y   2x  12 = 0 al tocar el eje x se ha reflejado de él. Determine la ecuación del rayo reflejado.

– –

A) 2x + 3y  12 = 0

Dadas las rectas: L1: 5x  9y + 30 = 0 L2: 5x  2y  5 = 0 Determine la ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema coordenado y por el punto de intersección de L1 y L2.

– –

D) 7

C) 6

41. 

el triángulo ABC, donde A = ( 3, 7), B = (8, 5) y C = ( 1, 4). Halle la ecuación de la recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB de dicho triángulo.

38. 

B) 5

–– –– – –

C) 2x 14y  27 D) x ++7y + 27 == 00 E) 2x + 14y  25 = 0

–

A) 4

A) x  2y + 22 = 0 B) 2x  y + 22 = 0 C) x  2y + 32 = 0 D) 2x  y + 32 = 0 E) x  2y  42 = 0

A) x + 7y  27 = 0 B) x + 7y  25 = 0

37.  Sea

––

L2: 7x + 3y  11 = 0

 

B) 5 2 E)

Dadas las rectas paralelas: L1: (2k  1)x + ky + 35 = 0

– –

A) 5x  3 y = 0

B) 5x  4y = 0

C) 4x  3y = 0 E) 3x  5y = 0

D) 4x  5y = 0

B) C) D) E) 43. 

2x + 3y  6 = 0 2x + y  10 = 0 2x  3y  6 = 0 2x  3y + 12 = 0

Si:

–– –– –– –

L1: 15x  8y  51 = 0 L2: 15x  8y + 68 = 0 Son rectas paralelas, entonces distancia entre ellas (en u) es A) 8 D) 5

B) 7 E) 4,5

la

C) 6

5

 

 

Razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud 44.  En

48.  A partir de

b ⋅t⋅ tanθnθ + b ⋅ sseecθ + a ⋅⋅ccscθcθ

senθ = 37nn −+ 11

la figura mostrada se sabe que:

.

Y

(a; b)

 

Calcule: n

la figura, reduzca

Y

P( –15; 8)

X  

X A) 2 D)  5

B) 3 E) 6

–

A) a D)  b

C) 4

  es la medida de un ángulo en posición normal que cumple las

siguientes condiciones: cos() + sec() < 0 y 3/7

sen() =

–

Calcule: sen() + cos()

B) 6 E) 12

–

–

  y   son ángulos cuadrantales, positivos y menores que una vuelta, que

 

sesenαnα + cos2θ−α cocossθθ = −2 ––  

−1 √ 3

B) E)

√ −3√ 2

 

 

C) 2600°

–

C) 1

C)

B) 2480° E) 2890°

  y  son las medidas de dos ángulos coterminales, tales que:

cos() = 15/17 y csc() > cot(). Calcule 17sen() + 15tan().

tiene dos ángulos coterminales tales que el mayor mide trece veces lo que mide el menor. Si la diferencia del mayor con el triple del menor es mayor que 560° pero menor que 620°, calcule la suma de los cosenos de dichos ángulos.  

A) 2320° D) 2740° 51.  Si

47.  Se

A) D)  D)   

E) 2

la suma del mayor y menor de los ángulos coterminales con 320°, que sean mayores que 450° pero menores que 1900°.

46.  Si

B)  1 E)  1/2

–

C) 1

50.  Calcule

 

C) 8

cumple: Calcule el valor de

B) 0 

A) 2 D) 1

3  − 2√ 10 10

D) 1/2

–

C)  a

  y  son las medidas de dos ángulos cuadrantales positivos y menores de una vuelta que cumplen: cot() + cos() = 1.

Calcule el valor de:

A) 0

B) b E) 0

49.  Si

45.  Si

A) 4 D) 10

O

–

A) 8 D) 8

B) 5 E) 0

–

C)  5

−1

 

6

 

 

Circunferencia trigonométrica  52. 

Indique el menor y el mayor, respectivamente de los siguientes valores: sen(1), sen(3), sen(5), sen(7), sen(9). A) sen(5), sen(3) B) sen(3), sen(1) C) sen(5), sen(1)

53. 

A) VVV D) VFV

B) VVF

Si: 180° < 1  < 2  < 270°, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada caso: I.  tan(1) < tan(2)

A) VVV D) FFF

B) VFV E) VVF

58.  En

la circunferencia trigonométrica mostrada, m(AP) =  . Determine el área de la region triangular AMN, en términos de . Y

C) VFF

3 − 2senθ; θ ∈ π4 ; 5π6  〈1;21;1;1;222〉 ⟨1;1;√ √2 2 1;2⟩ la

variación

de:

A)

 

B)

D) 

 

E)

 

C)

X P

 

 



A) 

π cot6 tantanα

E)

56. 

0;

B)   3  ; +   

D)

0; 3   

3

 

3 

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada caso: I.  csc(30°) > csc(80°) II.  csc(120°) > csc(140°) III.  csc(250°) > csc(340°)

1 2 1

(1 + sen() )  

(1 − sen() )   2 C) 1 (1 − cos() )   2 1 D) (1 + cos() )   2 1 E) sen() (1− cos( ) )   2 B)

 

 3 ;+      3

M N

Si   0;  , determine la extensión 4 de valores de

A) 1; +   

 A

O

 

C)

C) VFF

E) FVV

54.  Determine

55. 

C) VFF

II.  cot(1) < cot(2) III.  sec(1) < sec(2)

D) sen(7), sen(1) E) sen(9), sen(3)

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada caso: I.  cos(1) > cos(3) II.  cos(2) > cos(4) III.  cos(1) > cos(6) A) VVV D) VFV

57. 

B) VVF E) FVV

59. 

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada caso: I.  cot(2) > cot(3) II.  sec(3) > sec(4) III.  csc(4) > csc(5) A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FVV

7

 

 

Reducción al primer cuadrante 

60.  Indique la secuencia correcta después de

determinar si la proposición verdadera (V) o falsa (F): I.  csc(1)  csc(4) > 0 II.  tan(3)  tan(4) < 0 III.  cos(1)  cos(6) > 0

es

–– –

A) VVV D) VVF 61. 

B) VFV E) FVF

63. 

 

64. 

65.  Si

 A X A) C) E)

 

M B’ 

tan() − 1

C)

 

cos( co s() cos() − 1 cos co s() 1 − cos()

C) 5

E) 1

D)

 

tan tan() 1 − tan() sen se n()

E)

 

   

 

7tan7π3π2  +x+ 2cot2π −x 5tan   + x + 2c2cotot1515ππ −x− x – 2 – sensen((17π3   ) coscos((71π4   ) tantan((1771π6   )

− 49  < 