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Universi Universidade dade Federa Federall de Mato Grosso do Sul Institut Inst ituto o de Matem´ atica atic a

Geometr ia Anal´ Anal´ıtica Disciplina:  Vetores e Geometria Professor:  Rafael Lucas de Arruda a

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Lista de Exerc Exer c´ ıcios  # –

unico unico pont p ontoo P  tal que u = P Q. Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 1.   Sejam u  um vetor e  Q  um ponto. Prove que existe um ´  # –

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aaoo A = B . Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 2.  Prove que se AQ = BQ , ent˜ Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 3.  Verdadeiro ou falso? Justifique!

(a) ( ) Se  u  =  v , ent˜aaoo u = v .  # –

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(b) ( ) Se u e v s˜ao ao vetores de mesma dire¸c˜ cao a˜o e   u  =  v , ent˜ao ao u = v .  # –

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(c) ( ) Se u e v s˜ao ao vetores de mesma dire¸c˜ cao a˜o e sentido, ent˜ao ao u = v .  # –

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Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 4.   Sejam u e v vetores vetores representados representados na figura abaixo. Represent Representee o vetor vetor soma u + v e o vetor diferen¸ca ca u − v  por flechas de origem O.  # –

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u

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v

O

Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 5.   Sejam u , v e w  vetores representados na figura abaixo. Represente o vetor u  + v − w por uma flecha de origem O.  # –

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w  # –

v

 # –

u

O

1

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Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 6.  Prove que para quaisquer vetores u e v   vale a desigualdade triangular  # –

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u + v  ≤ u +  v  .  # –

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Quais s˜ao ao os casos em que vale a igualdade? Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 7.  Prove que para quaisquer vetores u e v   vale a desigualdade  # –

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u −  v  ≤ u − v  .  # –

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e um exemplo exem plo geo geom´ m´etrico etr ico de vetores vetor es n˜ao-nulos ao-nulos u e v   tais que Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 8.  Dˆ  # –

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 u + v 2 =  u 2 +  v 2 .  # –

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e um exemplo exem plo geo geom´ m´etrico etr ico de vetores vetor es n˜ao-nulos ao-nulos u e v   tais que Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 9.  Dˆ  # –

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 u + v 2 <  u 2 +  v 2 .  # –

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exem plo geom´etrico etr ico de vetores vetor es n˜ao-nulos ao-nulos u e v  tais que Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 10. 10 .  Dˆe um exemplo  # –

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 u + v 2 >  u 2 +  v 2 .  # –

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Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 11. 11 .  Nas figuras abaixo  ABCD  ´ e um tetraedro. Obtenha a soma dos vetores indicados em

cada figura. D

D

D

C 

A

C 

A

C 

A

B

B  #–

 #–

B

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aaoo A = B . Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 12. 12 .  Prove que se AB + AC  = BC , ent˜ Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 13. 13 .  Determine a origem e a extremidade de um representante do vetor  #–

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 − F A − GC  +  + F B. BC  + GH  −

2

he x´agono agono regula regular. r. Obtenha Obtenha a soma soma dos vetore vetoress Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 14. 14 .  Nas figuras abaixo   ABCDEF   ´e um hex´ indicados em cada figura. C 

B

C 

O

D

A

B

O

D

A

E

F 

E

F 

C 

B

C 

B

O

D

A

E

O

D

F 

A

E

F   # –

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e um paralel par alelep ep´´ıpedo ıp edo.. Sejam Sej am u = AB , v = AD e Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 15. 15 .  Na figura abaixo   ABCDEFGH   ´  # –

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w = AE . Expresse H B e DF   em fun¸c˜ cao a˜o de u , v e w .  # –

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H 

G

E

F 

D

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w

C 

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v

A

B

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u

e um para pa rale lele lep´ p´ıped ıp edo, o, IJKLMNOP  e MNOPQRST  Exer Ex erc c´ ıcio ıc io 16. 16 .  Nas figuras abaixo ABCDEFGH  ´ s˜ao ao cubos de arestas congruentes.  # –

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a) Obtenha representantes dos vetores x e y   tais que  # –

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AB + AD + x = 0

e

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AB + AD + AE  + y = 0 .

b) Obtenha representantes dos vetores x e y   tais que  # –

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J P  + T Q + J O + x = 0  # –

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e M N  +  + J O − N O + y = 0 .

3

 # –

T  H 

G

S 

Q

R

E  P 

F  M  D

N  L

C  A

O

B

I

4

K 

J