1^a Esercitazione

PRIMA ESERCITAZIONE DI

COSTRUZIONI IDRAULICHE

Anno scolastico 2007/2008 Corso di laurea in Ingegneria Civile

STUDENTE: MATRICOLA:

Di Lenarda Roberto 73324

ESERCITAZIONE n° 1.1

Moto uniforme delle correnti a pelo libero: dimensionamento di un canale in terra di forma trapezia •

•

Si dimensioni un canale di bonifica in terra di forma trapezia per il trasporto di una portata Q, ipotizzando una velocità massima vmax. Si assuma un coefficiente di scabrezza di Strickler pari a Ks e una pendenza delle sponde di 1/m. Dimensionato il canale, si determini la profondità di moto uniforme corrispondente ad una portata pari a Qa.

y

1/ m

H

B RANGE DATI: Valore min

Valore max

2

8

mc/s

vmax

0,4

0,6

m/s

Ks

35

40

m1/3/s

Qa

5

6

mc/s

Q

1/m

½ oppure 2/3

DATI SELEZIONATI: Valore min Q

7

mc/s

vmax

0,5

m/s

Ks

35

m1/3/s

Qa

5

1/m

½

mc/s

PRIMA PARTE Svolgimento della prova: Innanzitutto andiamo a calcolare l’area minima indispensabile a far scorrere la portata che abbiamo scelto come dato di progetto. Utilizzando la formula: Amin =

Q vmax

attraverso la quale arriviamo a calcolare che l’area minima nel nostro caso sarà quindi: Amin =

Q 7m 3 / s = = 14 m 2 v max 0.5m / s

Andiamo ora a calcolare il tirante y.Nel nostro caso la sezione è trapezoidale e quindi il nostro tirante approssimato sarà: y = 0,5 Amin = 1.87 m

Per determinare la base minore del trapezio utilizziamola seguente tabella che mette in relazione il tirante calcolato prima e la base minore che ci interessa calcolare: y [m]

0.5

1

B [m]

1-1.2

1.52.5

Dalla quale ricaviamo quindi che

1.5

2

4-5.5 7-9

2.5

3

1114

16-22

B=6.8 m.

Calcoliamo ora il tirante minimo per un canale a sezione trapezoidale di cui abbiamo l’area Amin nota:

Atrapezio = y ( B + my )

Dalla quale ricaviamo il tirante y che quindi diventa: y min =

− B ± B 2 + 4m ⋅ Amin 2m

= 1.44 m

Avendo ora calcolato sia la base che il tirante possiamo calcolare il perimetro bagnato del trapezio che quindi sarà dato dalla formula: P = B + 2 y min 1 + m 2 = 13 .24 m

Ricavato il perimetro bagnato troviamo il raggio idraulico che sarà dato dal rapporto tra l’area minima ed il perimetro bagnato appena calcolato: Amin = 1.06 m P Bisogna ora calcolare la pendenza del canale. Per fare questo utilizziamo la formula di Manning che ci permette di calcolare la portata in funzione della pendenza cioè: R=

Q = Amin K s R

2 3

if

dalla quale riusciamo quindi a ricavare la pendenza if avendo già calcolato tutti i termini che compaiono nella formula: Avremo quidi che:

if

  Q = 2 K A R3  s min

2

   = 0.189 ‰  

Il canale è quindi dimensionato in quanto sono stati calcolati tutti i dati necessari.

SECONDA PARTE Partendo dalla formula di Manning e cioè:

2

Q = Amin K s R 3 i f

sostituendo nella quale le relazioni che legano ogni termine otteniamo: Qa = Amin K s R

2 3

if

 ( B + my ) y = K s ( B + my ) y ⋅  2  B + 2 y 1 + m

2

3   

if

Andiamo quindi a calcolare la profondità di moto uniforme che ci consente di ottenere una portata pari a Qa. La profondita y di moto uniforme sarà data dalla:

  Q y=  Ks if 

(

  B + 2y 1+ m 5   ( B + my) 3

)

2 2 3

     

3 5

Dalla quale essendo y=f(y) bisogna procedere al calcolo della profondità per via iterativa: Partendo da y(0)=ymin=1,44m otteniamo:

(

)

  Qa y (1) =  Ks if 

  B + 2 y (0) 1 + m 5   ( B + my(0)) 3

  Qa y ( 2) =  Ks if 

  B + 2 y (1) 1 + m 5   ( B + my(1)) 3

  Q y (3) =  Ks if 

 2  B + 2 y ( 2) 1 + m 5   ( B + my(2)) 3

  Q y (4) =  Ks if 

  B + 2 y (3) 1 + m 5   ( B + my(3)) 3

2 2 3

)

3 5

   =1.183 m   

3 5

(

2 2 3

   =1.205 m   

(

)

2 3

 5   =1.203 m   

(

2 2 3

 5   =1.203 m   

)

3

3

Quindi dopo 4 iterazioni abbiamo calcolato la profondità di moto uniforme (uno scarto di 0.001 m) che è pari a 1.203 m per una portata Qa di 5 m3/s.

ESERCITAZIONE n° 1.2 Moto uniforme delle correnti a pelo libero: scala delle portate

Un corso d’acqua presenta, nella sua parte valliva, un tratto con pendenza media del fondo pari a if, e una sezione costante caratterizzata da un alveo di magra e zone golenali (vedi figura sottostante). La pendenza di tutte le sponde è pari a 1/m, mentre il coefficiente di scabrezza di Gauckler-Strickler può essere considerato uniforme su tutta la sezione, con un valore di Ks Si richiede: 11. il calcolo delle portate corrispondenti ad una profondità compresa tra 0 e max(h+h1, h+h2) m, nelle due ipotesi di sezione compatta e sezione suddivisa in sottosezioni; 22. la determinazione della scala di deflusso in entrambi i casi. 3

b2

g1

Range Dati: if = 0.2 ÷ 0.6 % 1/m = 1/2 oppure 2/3 Ks = 35 ÷ 40 m1/3/s b = 10 ÷ 15 m g1,g2 = 20 ÷ 25 m h, h’ = 2 ÷ 3 m h1,h2 = 3÷4m

h

h'

h1

h2

b1

b

g2

Dati selezionati: if = 0.4 % 1/m = 1/2 Ks = 37 m1/3/s b = 10 m g1,g2 = 21 m h = 2.7 , h’ = 2.1 m h1 = 3.7 , h2 = 3.1 m

Determinazione della scala delle portate con l’ipotesi di sezione compatta Il coefficiente di scabrezza di Gauckler-Strickler può essere considerato uniforme su tutta la sezione, con un valore di 40 m1/3/s. Vogliamo calcolare le portate corrispondenti ad un tirante y compreso tra 0 e 6 m ipotizzando la sezione compatta. Poiché

V ( y ) = k s R ( y ) 2 / 3 i 1f / 2

dove

R ( y ) = A( y ) / P ( y )

con A(y) e P(y) calcolati in funzione del tirante y mediante le seguenti espressioni: 0≤y≤2.1 A(y) = y (b + my) P( y ) = b + 2 y 1 + m 2

A(y=2.1) = 29.82 m² P(y=2.1(inf)) = 19.39 m 2.1≤y≤2.7 A(y) = A (y=2.4) + ( y – 2.4 ) [ b1 + m( y - 2.4 )] P(y) = P ( y = 2.4) + g 1 + 2( y − 2.4) 1 + m 2 A( y=2.7) = 54.18 m2 P( y=2.7(inf)) = 43.075 m 2.7≤y≤5.8 A(y) = A (y=2.8) + ( y – 2.8 ) [b2 + m( y - 2.8 ) ] P ( y ) = P ( y = 2.8) + g 2 + 2( y − 2.8) 1 + m 2

A( y=5.8) = 268.08 m2 P( y=5.8) = 77.938 m

A questo punto è possibile calcolare la portata in funzione del tirante: Q ( y ) = A( y )V ( y )

ottenendo così la seguente tabella ed i relativi diagrammi: y 0,100 0,200 0,300

A(y) P(y) R(y) v(y) Q y A(y) P(y) R(y) v(y) Q 1,020 10,447 0,098 0,496 0,506 3,100 79,620 65,864 1,209 2,656 211,432 2,080 10,894 0,191 0,776 1,614 3,200 86,080 66,311 1,298 2,785 239,706 3,180 11,342 0,280 1,002 3,188 3,300 92,580 66,758 1,387 2,910 269,417

0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 1,100 1,200 1,300 1,400 1,500 1,600 1,700 1,800 1,900 2,000 2,100 2,100 2,200 2,300 2,400 2,500 2,600 2,700 2,700 2,800 2,900 3,000

4,320 5,500 6,720 7,980 9,280 10,620 12,000 13,420 14,880 16,380 17,920 19,500 21,120 22,780 24,480 26,220 28,000 29,820 29,820 33,780 37,780 41,820 45,900 50,020 54,180 54,180 60,480 66,820 73,200

11,789 12,236 12,683 13,130 13,578 14,025 14,472 14,919 15,367 15,814 16,261 16,708 17,155 17,603 18,050 18,497 18,944 19,391 40,391 40,839 41,286 41,733 42,180 42,628 43,075 64,075 64,522 64,969 65,416

0,366 0,449 0,530 0,608 0,683 0,757 0,829 0,900 0,968 1,036 1,102 1,167 1,231 1,294 1,356 1,418 1,478 1,538 0,738 0,827 0,915 1,002 1,088 1,173 1,258 0,846 0,937 1,028 1,119

1,198 1,373 1,532 1,679 1,816 1,944 2,065 2,181 2,290 2,396 2,497 2,594 2,688 2,779 2,867 2,953 3,036 3,118 1,912 2,062 2,206 2,343 2,476 2,603 2,727 2,093 2,241 2,384 2,522

5,177 7,552 10,297 13,398 16,850 20,646 24,784 29,263 34,082 39,240 44,740 50,583 56,770 63,305 70,189 77,426 85,018 92,969 57,001 69,655 83,330 97,998 113,635 130,220 147,734 113,372 135,554 159,320 184,626

3,400 3,500 3,600 3,700 3,800 3,900 4,000 4,100 4,200 4,300 4,400 4,500 4,600 4,700 4,800 4,900 5,000 5,100 5,200 5,300 5,400 5,500 5,600 5,700 5,800

99,120 105,700 112,320 118,980 125,680 132,420 139,200 146,020 152,880 159,780 166,720 173,700 180,720 187,780 194,880 202,020 209,200 216,420 223,680 230,980 238,320 245,700 253,120 260,580 268,080

67,205 67,652 68,100 68,547 68,994 69,441 69,889 70,336 70,783 71,230 71,677 72,125 72,572 73,019 73,466 73,913 74,361 74,808 75,255 75,702 76,150 76,597 77,044 77,491 77,938

1,475 1,562 1,649 1,736 1,822 1,907 1,992 2,076 2,160 2,243 2,326 2,408 2,490 2,572 2,653 2,733 2,813 2,893 2,972 3,051 3,130 3,208 3,285 3,363 3,440

3,032 3,151 3,267 3,380 3,490 3,599 3,704 3,808 3,910 4,010 4,108 4,204 4,299 4,392 4,484 4,575 4,663 4,751 4,838 4,923 5,007 5,090 5,172 5,252 5,332

300,537 333,043 366,913 402,127 438,666 476,514 515,656 556,077 597,765 640,707 684,894 730,313 776,957 824,815 873,880 924,145 975,601 1028,243 1082,064 1137,059 1193,221 1250,547 1309,031 1368,670 1429,458

Dai diagrammi che seguono le tabelle sopra riportate si nota che ci sono delle zone di discontinuità Tale assurdo si elimina suddividendo l’alveo in sottosezioni.

Otteniamo quindi il grafico della portata in funzione del tirante:

Scala lineare delle portate

1400,000 1200,000

Q(mc/s)

1000,000 800,000 600,000 400,000 200,000 0,000 0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

y(m)

Scala bilogaritmica delle portate 10000,000

1000,000

ln Q

100,000

10,000

1,000 0,100

1,000

10,000

0,100

ln y

Metodo minimi quadrati per il calcolo degli errori nel caso di sezione compatta

Per quanto riguarda la portata questa verrà espressa nella forma Q = σy α da cui passando ai logaritmi da entrambe le parti otteniamo log Q = log σ + α log y . Per tracciare la curva linearizzatrice ai minimi quadrati è necessario calcolare i coefficienti A e B dell’equazione X = AY + B in modo da poter disegnare la retta su di un grafico logaritmico. Andiamo a calcolare quindi varianza e covarianza per sostituirli in A eB: N x −x ( yi − y med ) i med covarianza S x , y = ∑ N i =1

(

varianza

N

S N,y = ∑ 2

)

( yi − y med ) 2

i =1

N

si procede quindi con il calcolo di A e B: A=S

x,y

/S

B=X

med

N,y

2

– (S

= 2,096 /S

x,y

N,y

2

)Y

med

= 3,231

da cui

σ= 10

3,231

= 25,306

Una volta che abbiamo calcolato A e B possiamo andare a disegnare questa retta sulla scala bilogaritmica delle portate. Linea Arancio: Q = σy α Scala bilogaritmica delle portate 10000,000

1000,000

ln Q

100,000

10,000

1,000 0,100

1,000

10,000

0,100

ln y

Determinazione della scala delle portate con ipotesi di sezione suddivisa in sottosezioni Allo stesso modo di prima otteniamo le espressioni di area e perimetro bagnato in funzione del tirante:

Alveo Centrale (1) : 0≤y≤2.1 A(y) = y (b + my) P( y ) = b + 2 y 1 + m 2

A(y=2.1) = 29.6 1m² P(y=2.1) = 19.391m 2.1≤y≤2.7 A(y) = A (y=2.1) + ( y – 2.1 ) [b1 + m( y - 2.1 )] P(y) = P( y = 2.1) + g1 + 2( y − 2.1) 1 + m 2 A( y=2.7) = 41,010 m2 P( y=2.7) = 20,733 m 2.7≤y≤5.8

A(y) = A (y=2.7) + ( y – 2.7 ) [b2 + m( y - 2.7 ) ] P( y ) = P( y = 2.7) + g 2 + 2( y − 2.7) 1 + m 2

A( y=5,8) = 101,15 m2 P( y=5,8) = 20,733 m Alveo di Sinistra (3) : 2.1≤y≤5.8 A(y) = ( y – 2.1 ) [g1 + m( y – 2.1)/2] P ( y ) = g1 + ( y − 2.1) 1 + m 2

A(y=5,8) = 90,77 m2 P(y =5,8) = 29,273 m Alveo di Destra (2) : 2.7≤y≤5.8 A(y) = ( y – 2.7 ) [g2 + m( y – 2.7)/2] P ( y ) = g 2 + ( y − 2.7) 1 + m 2

A(y=5.8) = 74,71 m2 P(y =5.8) = 27,932 m Vado quindi a ricavare una tabella con i valori relativi alla sezione suddivisa. Questi valori andranno inseriti, come nel caso di sezione compatta, in due grafici. Il primo scala lineare delle portate e il secondo la scala bilogaritmica delle portate. y

A1

P1

R1

v1

Q1

A2

P2

R2

v2

Q2

A3

P3

R3

v3

Q3

Qtot

0,100

1,210

10,447

0,116

0,556

0,673

0,673

0,200

2,440

10,894

0,224

0,863

2,106

2,106

0,300

3,690

11,342

0,325

1,107

4,085

4,085

0,400

4,960

11,789

0,421

1,314

6,517

6,517

0,500

6,250

12,236

0,511

1,495

9,346

9,346

0,600

7,560

12,683

0,596

1,657

12,530

12,530

0,700

8,890

13,130

0,677

1,804

16,040

16,040

0,800

10,240

13,578

0,754

1,939

19,854

19,854

0,900

11,610

14,025

0,828

2,063

23,953

23,953

1,000

13,000

14,472

0,898

2,179

28,321

28,321

1,100

14,410

14,919

0,966

2,287

32,949

32,949

1,200

15,840

15,367

1,031

2,388

37,824

37,824

1,300

17,290

15,814

1,093

2,484

42,940

42,940

1,400

18,760

16,261

1,154

2,574

48,290

48,290

1,500

20,250

16,708

1,212

2,660

53,867

53,867

1,600

21,760

17,155

1,268

2,742

59,666

59,666

1,700

23,290

17,603

1,323

2,820

65,684

65,684

1,800

24,840

18,050

1,376

2,895

71,918

71,918

1,900

26,410

18,497

1,428

2,967

78,363

78,363

2,000

28,000

18,944

1,478

3,036

85,018

85,018

2,100

29,610

19,391

1,527

3,103

91,880

91,880

2,100

29,610

19,391

1,527

3,103

91,880

0,000

21,000

0,000 0,000

0,000

91,880

2,200

31,460

19,615

1,604

3,206

100,872

2,110

21,224

0,099 0,502

1,060

101,931

2,300

33,330

19,839

1,680

3,307

110,225

4,240

21,447

0,198 0,794

3,367

113,593

2,400

35,220

20,062

1,756

3,405

119,939

6,390

21,671

0,295 1,037

6,624

126,563

2,500

37,130

20,286

1,830

3,501

130,010

8,560

21,894

0,391 1,251

10,710

140,720

2,600

39,060

20,510

1,904

3,595

140,437

10,750

22,118

0,486 1,447

15,551

155,988

2,700

41,010

20,733

1,978

3,687

151,218

12,960

22,342

0,580 1,628

21,094

2,700

41,010

20,733

1,978

3,687

151,218

12,960

22,342

0,580 1,628

21,094

0,000

21,000 0,000

0,000

0,000

172,313

2,800

42,950

20,733

2,072

3,803

163,328

15,170

22,565

0,672 1,796

27,243

2,110

21,224 0,099

0,502

1,060

191,630

2,900

44,890

20,733

2,165

3,916

175,808

17,400

22,789

0,764 1,955

34,015

4,240

21,447 0,198

0,794

3,367

213,189

3,000

46,830

20,733

2,259

4,028

188,652

19,650

23,012

0,854 2,106

41,387

6,390

21,671 0,295

1,037

6,624

236,663

3,100

48,770

20,733

2,352

4,139

201,857

21,920

23,236

0,943 2,251

49,339

8,560

21,894 0,391

1,251

10,710

261,906

3,200

50,710

20,733

2,446

4,248

215,416

24,210

23,460

1,032 2,390

57,855

10,750

22,118 0,486

1,447

15,551

288,822

3,300

52,650

20,733

2,539

4,356

229,326

26,520

23,683

1,120 2,523

66,921

12,960

22,342 0,580

1,628

21,094

317,340

3,400

54,590

20,733

2,633

4,462

243,581

28,850

23,907

1,207 2,652

76,523

15,190

22,565 0,673

1,797

27,302

347,407

3,500

56,530

20,733

2,727

4,567

258,179

31,200

24,130

1,293 2,777

86,652

17,440

22,789 0,765

1,958

34,145

378,976

3,600

58,470

20,733

2,820

4,671

273,114

33,570

24,354

1,378 2,898

97,298

19,710

23,012 0,856

2,110

41,598

412,009

3,700

60,410

20,733

2,914

4,774

288,383

35,960

24,578

1,463 3,016 108,452

22,000

23,236 0,947

2,256

49,640

446,475

3,800

62,350

20,733

3,007

4,875

303,983

38,370

24,801

1,547 3,130 120,107

24,310

23,460 1,036

2,396

58,254

482,344

3,900

64,290

20,733

3,101

4,976

319,910

40,800

25,025

1,630 3,242 132,256

26,640

23,683 1,125

2,531

67,426

519,592

4,000

66,230

20,733

3,194

5,076

336,160

43,250

25,249

1,713 3,350 144,894

28,990

23,907 1,213

2,661

77,143

558,198

4,100

68,170

20,733

3,288

5,174

352,731

45,720

25,472

1,795 3,456 158,015

31,360

24,130 1,300

2,787

87,394

598,140

4,200

70,110

20,733

3,382

5,272

369,620

48,210

25,696

1,876 3,560 171,614

33,750

24,354 1,386

2,909

98,169

639,403

4,300

72,050

20,733

3,475

5,369

386,823

50,720

25,919

1,957 3,661 185,687

36,160

24,578 1,471

3,027 109,459

681,968

4,400

73,990

20,733

3,569

5,465

404,337

53,250

26,143

2,037 3,760 200,229

38,590

24,801 1,556

3,142 121,257

725,823

4,500

75,930

20,733

3,662

5,560

422,160

55,800

26,367

2,116 3,857 215,238

41,040

25,025 1,640

3,254 133,556

770,954

4,600

77,870

20,733

3,756

5,654

440,290

58,370

26,590

2,195 3,953 230,710

43,510

25,249 1,723

3,364 146,349

817,349

4,700

79,810

20,733

3,849

5,748

458,723

60,960

26,814

2,273 4,046 246,643

46,000

25,472 1,806

3,470 159,631

864,997

4,800

81,750

20,733

3,943

5,840

477,458

63,570

27,037

2,351 4,138 263,032

48,510

25,696 1,888

3,574 173,398

913,887

4,900

83,690

20,733

4,037

5,932

496,491

66,200

27,261

2,428 4,228 279,877

51,040

25,919 1,969

3,676 187,643

964,011

5,000

85,630

20,733

4,130

6,024

515,820

68,850

27,485

2,505 4,316 297,175

53,590

26,143 2,050

3,776 202,365 1015,360

5,100

87,570

20,733

4,224

6,114

535,444

71,520

27,708

2,581 4,403 314,924

56,160

26,367 2,130

3,874 217,558 1067,925

5,200

89,510

20,733

4,317

6,204

555,360

74,210

27,932

2,657 4,489 333,122

58,750

26,590 2,209

3,970 233,219 1121,701

5,300

91,450

20,733

4,411

6,294

575,565

76,920

28,155

2,732 4,573 351,768

61,360

26,814 2,288

4,064 249,346 1176,679

5,400

93,390

20,733

4,504

6,382

596,059

79,650

28,379

2,807 4,656 370,860

63,990

27,037 2,367

4,156 265,935 1232,854

5,500

95,330

20,733

4,598

6,471

616,838

82,400

28,603

2,881 4,738 390,397

66,640

27,261 2,445

4,246 282,984 1290,219

5,600

97,270

20,733

4,692

6,558

637,901

85,170

28,826

2,955 4,818 410,378

69,310

27,485 2,522

4,335 300,491 1348,771

5,700

99,210

20,733

4,785

6,645

659,246

87,960

29,050

3,028 4,898 430,802

72,000

27,708 2,599

4,423 318,454 1408,503

5,800 101,150

20,733

4,879

6,731

680,871

90,770

29,273

3,101 4,976 451,668

74,710

27,932 2,675

4,509 336,871 1469,411

172,313

Scala lineare delle portate 1600,000 1400,000 1200,000

Q

1000,000 800,000 600,000 400,000 200,000 0,000 0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

Y

Scala bilogaritm ica delle portate

10000,000

1000,000

ln Q

100,000

10,000

1,000 0,100

1,000

10,000

0,100

ln Y

Si nota che considerando la sezione composta nel grafico non compaiono più quelle discontinuità che c’erano nel caso di sezione compatta

Calcolo degli errori nel caso di sezione composta Andiamo anche in questo caso a calcolare gli errori e a trovare la retta come nel caso di sezione compatta. Si utilizzano le stesse formule del caso precedente. Andiamo a calcolare quindi varianza e covarianza per sostituirli in A eB: N x −x ( yi − y med ) i med covarianza S x , y = ∑ N i =1

(

varianza

N

S N,y = ∑ 2

i =1

)

( yi − y med ) 2 N

si procede quindi con il calcolo di A e B: A=S

x,y

/S

N,y

2

B=X med – (S da cui: σ= 10

3,419983

= 2,028137 /S

x,y

N,y

2

)Y

med

= 3,419983

= 30,56891 Scala bilogaritm ica delle portate

10000,000

1000,000

ln Q

100,000

10,000

1,000 0,100

1,000

0,100

ln Y

10,000