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Matemática II
UNID AD I
L A DER I V AD A COMO T AS A DE V AR I ACIÓN V (O R AZÓN DE C AMBIO) La mayoría de las cantidades que aparecen en la vida diaria cambian o varían en el tiempo. Esto es particularmente evidente en las investigaciones científicas. Por ejemplo un químico puede estar interesado en la rapidez con la que cierta sustancia se disuelve en agua. Un ingeniero eléctrico quizá necesita conocer la intensidad con la que la corriente varía en alguna parte de un circuito. Un b iólogo puede saber la rapidez con la que las bacterias en un cultivo aumentan o disminuyen. Veamos entonces el significado significado de razón promedio y razón instantánea. instantánea.
1.
TASA DE VARIACIÓN MEDIA Se denomina así al cociente entre las variaciones de unas cantidades respecto de otras. Ejemplo: Al estudiar la potencia de arranque de un prototipo de automóvil se ha obtenido la siguiente tabla: v = velocidad (km/h)
0
15
30
50
75
100
130
160
t = tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
Calcular la tasa de variación media (aceleración media) en cada intervalo de tiempo de 1 segundo.
Solución En el intervalo 0,1 0,1 , am
15 0 1 0
En el intervalo 1,2 , am
30 15 2 1
En el intervalo 2,3 , am
50 30 32
20
km / h s
En el intervalo 3,4 , am
75 50 4 3
25
km / h s
En el intervalo 4,5 , am
100 75 54
15
km / h s
15
km / h s
25
1
km / h s
Matemática II
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En el intervalo 5,6 , am
130 100 6 5
30
km / h s
En el intervalo 6,7 , am
160 130 76
30
km / h s
Ejemplo: Un nadador ha nadado los 800 metros libres en una competición. Un cronometrador ha registrado los siguientes tiempos cada 100 metros. s = espacio (m)
0
100
200
t = tiempo (s)
0
56,4 113,5
300
400
500
171
229,2
288
600
700
800
346,6 405,6 463,7
Calcular la tasa de variación media (velocidad media) cada 100 metros.
Solución vm
100 0 56,4 0
En el intervalo 100,200 , vm
200 100 113,5 56,4
En el intervalo 200,300 , vm
300 200 171 113,5
En el intervalo 300,400 , vm
400 300 1,718m / s 229,2 171
En el intervalo 400,500 , vm
500 400 288 229,2
1,701m / s
En el intervalo 500,600 , vm
600 500 346,6 288
1,706m / s
En el intervalo 600,700 , vm
700 600 405,6 346,6
1,695m / s
En el intervalo 700,800 , vm
800 700 463,7 405,6
1,721m / s
En el intervalo 0,100 ,
1,773m / s
1,751m / s
1,739m / s
El análisis en la carrera indica que, a causa del cansancio, el nadador ha ido disminuyendo su velocidad media conforme transcurría la carrera, excepto en los últimos 100 metros, en que la velocidad ha aumentado ligeramente.
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Matemática II
Se define la tasa de variación media de una función definida en un intervalo a,b f(b) f(a) b a
siendo a b como:
Ejemplo: Calcular la tasa de variación media de la función f(x) x 3 en los intervalos 3,2 , 2, 1 , 1,0 , 0,1 , 1,2 y 2,3 .
Solución Tendremos
a,b
b-a
f(b) f(a)
Tasa de variación media
3,2 2, 1 1,0 0,1 1,2 2,3
1
1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
Tal como puede observarse, en este caso la tasa de variación media es la misma en todos los intervalos estudiados. Ejemplo: Calcular la tasa de variación media de la función f(x) x 2 en los intervalos 3,2 , 2, 1 , 1,0 , 0,1 , 1,2 y 2,3 .
Solución Tendremos
a,b
b-a
f(b) f(a)
Tasa de variación media
3,2 2, 1 1,0 0,1 1,2 2,3
1 1 1 1
-5 -3 -1 1
-5 -3 -1 1
1 1
3 5
3 5
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Tal como puede observarse, en este caso la tasa de variación media no es la misma en los intervalos estudiados. Se define la tasa de variación instantánea de una función f en un punto a como: f '(a) lim b a
f(b) f(a) b a
Ejemplo: Calcular la tasa de variación media de la función f(x) x2 en los intervalos 1;2 , 1; 1,1 , 1; 1,01 , 1; 1,001 y 1; 1,0001 . Calcular a continuación, la tasa de variación instantánea de dicha función en el punto x 1 .
Solución Tendremos
a,b
b-a
f(b) f(a)
1,2
1 0,1 0,01
3 0,21 0,201
Tasa de variación media 3 2,1 2,01
0,001 0,0001
0,002001 0,00020001
2,001 2,0001
1, 1,1 1, 1,01 1, 1,001 1, 1,0001
Tal como puede observarse, la tasa de variación media parece irse aproximando a 2 conforme se reduce la longitud del intervalo considerado. Calculemos ahora la tasa de variación instantánea de la función en el punto x 1 . f '(x) 2x
f '(1) 2 (1) 2
Así, pues, la tasa de variación instantánea coincide con la derivada de la función valuada en x 1 . Concluyendo lo discutido hasta aquí, tenemos que: Por razón (tasa) promedio se entiende la relación:
y por razón (tasa) instantánea:
f'
4
df dx
f x
cambio de ordenadas cambio de abscisas
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2.
Matemática II
LA DERIVADA COMO MEDIDA DEL CAMBIO La derivada es una medida de la rapidez con la que cambia la variable dependiente y con respecto a la variable independiente x . Cuando la derivada es positiva, y crece con x tanto más deprisa cuanto mayor sea la derivada. Si por el contrario es negativa, y disminuye al aumentar x.
y = f(x)
x a
b
c
Observa:
3.
La magnitud y decrece en el punto a (rapidez negativa). La magnitud y crece mas rápidamente, con respecto a x , en b que en c . (rapidez positiva mayor en b que en c )
LA DERIVADA EN EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO La descripción del movimiento de los cuerpos es la aplicación más inmediata de la derivada en Física. Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta. Llamamos t al tiempo medido a partir de un cierto instante, y e a la distancia del objeto a un origen dado. En estas condiciones, la distancia e es función del tiempo t , función que designamos por e(t ). Pues bien, la velocidad del móvil es la derivada de la función e (t ):
v(t)
de dt
5
e '(t)
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m
4
0
45
15
3
30
2
1
-1
0
1
2
3
4
metros
10
15
20
25
30
Hemos escrito v (t ) para significar que la velocidad es, a su vez, función del tiempo. La derivada de la función velocidad es la aceleración: a(t)
dv dt
v '(t) e(2) (t)
la aceleración resulta así la segunda derivada de la función e (t ). Si v (t )>0 decimos que el objeto avanza y si v (t )0 y desacelera si a (t )
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