198225300 BARTHA Hidraulica 2

I. Bartha

V. Javgureanu

N. Marcoie

Hidraulică

I. Bartha, V. Javgureanu, N. Marcoie. Hidraulică, Vol. II: Lucrarea se adresează studenţilor şi specialiştilor din domeniul hidrotehnicii, hidroamelioraţiilor şi ingineriei mediului, dar poate fi oportună pentru o sferă mai largă de specialităţi.

Referenţi:

dr. ing. Mihail Luca dr. ing. Ilie Rusu

Manualul cuprinde noţiuni de hidraulica curgerilor cu nivel liber, mişcări potenţiale, mişcarea aluviunilor, hidraulică subterană şi noţiuni de modelare hidraulică. În fiecare capitol aspectele teoretice sunt exemplificate prin probleme practice concrete reprezentative.

Lucrare finanţată de GRANT; Cod CNCSIS: 33371/2004 ISBN 973-730-039-4 © I. Bartha, V. Javgureanu, N. Marcoie

Apărută în 2004.

Prefaţă Acest manual are scopul de a-i sprijini pe cei care învaţă Hidraulică, pentru a o folosi în soluţionarea problemelor tehnice şi ştiinţifice. Prin conţinutul său, modul de expunere, lucrarea este adresată studenţilor, dar poate fi folosită şi de specialiştii care vin în contact cu probleme din domeniul hidraulicii, pentru lărgirea şi aprofundarea cunoştinţelor şi pentru rezolvarea unor probleme tehnice. Manualul este structurat pe 11 capitole şi cuprinde mişcările efluente, hidraulica albiilor deschise, noţiuni de mişcări bifazice de apă – solid, hidraulica subterană şi noţiuni de modelare hidraulică. Sunt descrise aspectele teoretice - fizice şi matematice – ale fenomenelor, precum şi aplicaţiile acestora în domeniul Hidrotehnicii, Ingineriei Mediului şi altor ramuri ale tehnicii. Fiecare capitol cuprinde şi câteva exemple concrete, care înlesnesc înţelegerea expunerilor. S-a renunţat la anumite metode depăşite istoric prin posibilităţile oferite de tehnica modernă de calcul. Prin manual se doreşte punerea la îndemâna celor interesaţi a unui material didactic şi tehnico-ştiinţific în sfera hidraulicii aplicate. Lucrarea este rezultatul unei îndelungate experienţe didactice şi tehnico-ştiinţifice, al unor colaborări fructuoase între specialişti din ţări cu limbă oficială identică şi între generaţii diferite. Mulţumim şi pe această cale tuturor celor care ne-au sprijinit sub diferite forme, atât moral, cât şi material în elaborarea şi apariţia acestui manual. Autorii

EDITURA „PERFORMANTICA“, Iaşi, B-DUL CAROL I, nr. 3-5, [email protected] tel./fax. 0232 214763 EDITURĂ ACREDITATĂ DE CNCSIS BUCUREŞTI, 1142/30.06.2003 Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României: BARTHA Iosif Hidraulică - Vol. 2 / Iosif Bartha, Vasile JAVGUREANU, Nicolae MARCOIE – Iaşi: Performantica, 2004 560 p., 24 cm, ISBN 973-730-039-4 I. JAVGUREANU Vasile II. MARCOIE Nicolae CZU 532(075.8) B 35

Referenţi ştiinţifici: Dr. ing. Mihail Luca Dr. ing. Ilie Rusu Consilier editorial: Prof. univ. dr. Traian D. Stănciulescu Secretar editorial: Octav Păuneţ

© Toate drepturile asupra acestei ediţii aparţin Autorilor şi Editurii „PERFORMANTICA“, Iaşi, România

Hidraulică vol. II

5

CUPRINS 11. Mişcări efluente ...................................................................................13 11.1 Curgerea permanentă prin orificii............................................ 13 11.1.1 Curgerea prin orificii mici, libere ............................ 14 11.1.2 Curgerea prin orificii mici, înecate........................... 22 11.1.3 Curgerea prin orificii mari, libere............................. 23 11.1.4 Curgerea prin orificiile stăvilarelor în albii orizontale...................................................... 25 11.1.5 Curgerea prin orificii cu vârtej.................................. 31 11.2 Curgerea permanentă prin ajutaje............................................ 32 11.2.1 Curgerea prin ajutajul cilindric exterior.................... 32 11.2.2 Tipuri de ajutaje folosite în tehnică.......................... 35 11.2.3 Conducte scurte privite ca ajutate............................. 38 11.3 Jeturi lichide............................................................................. 39 11.3.1 Jetul liber................................................................... 40 11.3.2 Jetul înecat................................................................ 46 11.4 Curgerea lichidelor prin orificii şi ajutaje cu sarcină variabilă.................................................................. 47 11.4.1 Timpul de golire al rezervoarelor.............................. 47 11.4.2 Timpul de egalizare al nivelului în două rezervoare......................................................... 49 11.5 Deversoare............................................................................... 50 11.5.1 Teoria fundamentală a debitului............................... 52 11.5.2 Clasificarea deversoarelor......................................... 53 11.5.3 Deversoare cu perete subţire..................................... 61 11.5.4 Deversoare cu profil gros.......................................... 67 11.5.5 Deversoare cu profil curb.......................................... 71 11.5.6 Deversorul cu prag lat............................................... 76 11.5.7 Alte tipuri de deversoare........................................... 78 11.6 Aplicaţii.................................................................................... 85

6

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

12. Mişcarea uniformă a lichidelor cu suprafaţă liberă......................... 93 12.1 Noţiuni generale....................................................................... 93 12.1.1 Parametrii geometrici şi hidraulici ai canalelor........ 94 12.2 Legile curgerii uniforme a lichidelor în albii regulate ............ 95 12.2.1 Relaţia generală a curgerii uniforme în canale......... 95 12.2.2 Distribuţia vitezelor pe secţiune................................ 96 12.2.3 Curenţi aeraţi............................................................. 98 12.2.4 Instabilitatea mişcării uniforme................................ 99 12.3 Calculul hidraulic al albiilor regulate deschise în mişcare uniformă............................................................... 100 12.3.1 Problema de verificare a canalelor în mişcare uniformă.................................................. 100 12.3.2 Problema de dimensionare a canalelor în mişcare uniformă................................................ 100 12.4 Calculul hidraulic al canalelor închise.................................... 114 12.4.1 Calculul hidraulic al canalelor circulare................... 114 12.5 Calculul tehnico-economic al canalelor.................................. 118 12.6 Viteze admisibile pe canale..................................................... 119 12.7 Pierderi locale de sarcină în curenţi permanenţi cu nivel liber......................................................... 121 12.8 Aplicaţii.................................................................................... 126 13. Mişcarea permanentă lent (gradual) variată a lichidelor cu suprafaţă liberă.............................................................. 134 13.1 Ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent (gradual) variate a curenţilor cu nivel liber............................. 135 13.2 Studiul energetic al curenţilor permanenţi cu suprafaţă liberă.................................................................... 137 13.2.1 Energia specifică a curentului şi a secţiunii.............. 137 13.2.2 Variaţia energiei specifice a secţiunii în lungul curentului....................................................... 138 13.2.3 Stările curenţilor permanenţi.................................... 139 13.2.4 Recunoaşterea stării curentului................................. 144 13.3 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcare lent (gradual) variată.............................. 145 13.3.1 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă lent variată pentru I > 0..................................................... 145

Hidraulică vol. II

7

13.3.2 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă gradual variată pentru I = 0..................................................... 155 13.3.3 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă gradual variată pentru I < 0..................................................... 156 13.4 Metode de calcul ale curbelor suprafeţei libere în albii cilindrice şi prismatice................................................ 158 13.4.1 Exponentul hidraulic al albiei................................... 158 13.4.2 Soluţionarea ecuaţiei mişcării gradual variate în albii regulate prin metoda exponentului hidraulic al albiei (B. A. Bahmetev).......................... 161 13.4.3 Calculul suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variată prin metoda diferenţelor finite....................................................... 169 13.4.4 Construirea curbelor suprafeței libere pe râuri cu albie majoră sau albii bifurcate............................. 172 13.4.5 Principalele tipuri de probleme la calculul suprafeţei libere în mişcare permanentă gradual variată........................................................... 173 13.5 Aplicaţii.................................................................................... 175 14. Mişcarea permanentă rapid variată a lichidelor cu suprafaţă liberă.................................................................................... 189 14.1 Saltul hidraulic......................................................................... 189 14.1.1 Formele saltului hidraulic......................................... 190 14.1.2 Ecuaţia fundamentală a saltului hidraulic în albii orizontale...................................................... 194 14.1.3 Ecuaţia saltului hidraulic în albii dreptunghiulare cu pantă mare.................................. 201 14.2 Alte forme de mişcări permanente rapid variate ale curenţilor cu suprafaţă liberă............................................. 202 14.2.1 Pragul urcător............................................................ 202 14.2.2 Treaptă coborâtoare.................................................. 204 14.2.3 Prag de fund.............................................................. 205 14.2.4 Pilă în albie................................................................ 206 14.3 Aplicaţii.................................................................................... 206

8

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

15. Racordarea biefurilor.......................................................................... 211 15.1 Propagarea perturbaţiilor în albii deschise.............................. 211 15.2 Trasarea curbei suprafeţei libere la racordarea biefurilor.................................................................................. 214 15.2.1 Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme) la schimbare de pantă.............................. 215 15.2.2 Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme) prin construcţii cu lame efluente............. 223 15.3 Relaţii de calcul ale mărimilor hidraulice în racordarea biefurilor prin construcţii cu lame efluente.............................. 230 15.3.1 Relaţii de calcul pentru racordări în regim de fund al vitezei............................................................ 230 15.3.2 Relaţii de calcul pentru racordări în regim de suprafaţă al vitezei.................................................... 234 15.4 Aplicaţii.................................................................................... 235 16. Disiparea energiei. Disipatori de energie........................................... 245 16.1 Noţiuni generale. Tipuri de disipatoare................................... 245 16.2 Controlul racordării în bieful aval fără construcţii speciale de disipare a energiei................................................. 247 16.3 Controlul racordării şi disipării energiei cu salt înecat în bazine disipatoare................................................................ 249 16.3.1 Calculul hidraulic al bazinelor disipatoare simple........................................................................ 249 16.3.2 Bazine disipatoare complexe.................................... 254 16.3.3 Alte forme de bazine disipatoare de energie............. 257 16.4 Racordarea biefurilor şi disiparea energiei în jeturi libere...... 260 16.5 Racordarea biefurilor prin căderi în trepte.............................. 265 16.6 Calculul hidraulic al canalelor rapide (jilipuri)....................... 267 16.6.1 Calculul jilipurilor cu pereţi netezi........................... 267 16.6.2 Calculul jilipurilor cu macrorugozitate artificială................................................................... 270 16.6.3 Calculul canalelor cu trepte în curgere aerată........... 274 16.7 Aplicaţii.................................................................................... 282

Hidraulică vol. II

9

17. Mişcarea nepermanentă a lichidelor cu suprafaţă liberă................ 287 17.1 Consideraţii generale. Tipuri de unde...................................... 287 17.2 Ecuaţiile mişcării nepermanente în albii................................. 288 17.2.1 Ipotezele care stau la baza modelului unidimensional.......................................................... 288 17.2.2 Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant................ 289 17.2.3 Forma diferenţială a ecuaţiilor Saint-Venant............ 292 17.2.4 Forme generalizate ale ecuaţiilor Saint-Venant........ 293 17.2.5 Forme simplificate ale ecuaţiilor Saint-Venant........ 295 17.2.6 Forme liniarizate ale ecuaţiilor Saint-Venant........... 297 17.3 Metode de integrare ale ecuaţiilor Saint-Venant..................... 299 17.4 Noţiuni privind caracteristicile. Condiţii iniţiale şi la limită........................................................................................ 300 17.5 Scheme cu diferenţe finite pentru integrarea ecuaţiilor Saint Venant............................................................................. 303 17.5.1 Principiul metodei cu diferenţe finite....................... 303 17.5.2 Schemă implicită în patru puncte.............................. 305 17.5.3 Schemă explicită de integrare a ecuaţiilor Saint Venant.............................................................. 312 17.6 Unde de translaţie.................................................................... 314 17.7 Valuri....................................................................................... 316 17.7.1 Definiţii. Clasificarea valurilor................................. 316 17.7.2 Valuri marine. Acţiunea valurilor asupra construcţiilor................................................. 317 17.8 Aplicaţii.................................................................................... 320 18. Curgeri bifazice.................................................................................... 331 18.1 Difuzie, dispersie, mişcări polifazice, curgeri stratificate....... 331 18.1.1 Difuzia laminară........................................................ 332 18.1.2 Difuzia turbulentă..................................................... 333 18.1.3 Dispersia turbulentă.................................................. 335 18.2 Curgeri polifazice şi mişcări stratificate.................................. 336 18.2.1 Curgeri polifazice...................................................... 337 18.2.2 Curgeri stratificate..................................................... 338 18.3 Mişcarea aluviunilor................................................................ 339 18.3.1 Caracterizarea aluviunilor prin prisma transportului hidraulic............................................... 340 18.3.2 Despre conceptul de concentraţie............................. 346

10

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

18.3.3 Ecuaţiile fundamentale ale mişcării aluviunilor....... 347 18.3.4 Mişcarea aluviunilor târâte....................................... 350 18.3.5 Mişcarea aluviunilor în suspensie............................. 360 18.3.6 Cazuri practice de mişcări bifazice lichid-solid................................................................ 364 18.4 Hidraulica mişcării gheţurilor.................................................. 388 18.4.1 Mişcarea zaiului........................................................ 388 18.4.2 Mişcarea(plutirea) sloiurilor..................................... 390 18.4.3 Condiţiile formării şi menţinerii podului de gheaţă şi condiţiile formării zăpoarelor.................... 391 18.4.4 Curgerea apei sub podul de gheaţă........................... 396 18.5 Aplicaţii.................................................................................... 398 19. Mişcări potenţiale................................................................................ 404 19.1 Noţiuni generale. Definiţii....................................................... 404 19.2 Mişcări potenţiale plane........................................................... 407 19.2.1 Studiul mişcărilor potenţiale cu ajutorul funcţiilor analitice de variabile complexe................. 410 19.2.2 Exemple tratare indirectă a mişcărilor potenţiale plane.......................................................... 411 19.3 Metode de tratare directă a problemelor de mişcări potenţiale plane........................................................... 417 19.3.1 Metoda transformărilor conforme............................. 417 19.3.2 Metoda analitică aproximativă prin diferenţe finite.......................................................................... 422 19.3.3 Metode experimentale............................................... 424 19.4 Aplicaţii.................................................................................... 426 20. Mişcarea apelor subterane.................................................................. 431 20.1 Schema teoretică a curgerii permanente a apei subterane în regim saturat........................................................................ 432 20.1.1 Schematizarea curgerii.............................................. 433 20.1.2 Legea fundamentală a filtraţiei (legea lui Darcy)...... 434 20.1.3 Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy............... 435 20.1.4 Coeficientul de filtraţie şi de permeabilitate............. 436 20.1.5 Legea filtraţiei în afara zonei de valabilitate a legii lui Darcy............................................................ 438 20.1.6 Mişcarea apei subterane în medii poroase

Hidraulică vol. II

11

stratificate.................................................................. 439 20.2 Bazele hidrodinamice ale filtraţiei........................................... 442 20.2.1 Spectrul hidrodinamic............................................... 445 20.2.2 Calculul parametrilor hidraulici ai filtraţiei cu ajutorul spectrului hidrodinamic.......................... 446 20.2.3 Mişcări plane verticale cu suprafaţă liberă............... 448 20.2.4 Mişcări plane verticale în medii poroase neomogene, anizotrope............................................. 449 20.2.5 Mişcări plane verticale în medii ortotrope................ 450 20.2.6 Mişcări plane orizontale............................................ 451 20.2.7 Spectrul hidrodinamic în medii neomogene, anizotrope.................................................................. 453 20.2.8 Metode pentru construirea spectrului hidrodinamic.............................................................. 455 20.3 Calculul filtraţiei prin metode hidraulice................................ 455 20.3.1 Mişcarea uniformă a apelor subterane...................... 455 20.3.2 Mişcarea permanentă lent variată a curenţilor subterani.................................................................... 457 20.3.3 Ipoteza lui Dupuit generalizată................................. 464 20.3.4 Ipoteza lui Hooghoudt............................................... 469 20.3.5 Mişcarea nepermanentă a curenţilor subterani cu nivel liber.............................................................. 469 20.4 Calculul hidraulic al captărilor apelor subterane..................... 473 20.4.1 Captarea apelor subterane prin puţuri....................... 473 20.4.2 Mişcarea apelor subterane spre drenuri.................... 497 20.5 Filtraţia apei prin corpul construcţiilor din pământ................. 502 20.5.1 Filtraţia prin corpul barajelor de pământ.................. 503 20.5.2 Filtraţia prin corpul digurilor.................................... 516 20.6 Aplicaţii................................................................................... 520 21. Elemente de modelare hidraulică....................................................... 525 21.1 Noţiuni generale. Modele utilizate în modelarea hidraulică 525 21.1.1 Modele fizice şi numerice......................................... 525 21.2 Modele hidraulice.................................................................... 527 21.2.1 Consideraţii preliminare............................................ 527 21.2.2 Modele hidraulice convenţionale.............................. 528 21.2.3 Modele hidraulice distorsionate................................ 529 21.2.4 Modele de tip Froude şi Reynolds............................. 531

12

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

21.3 Modelarea curgerilor cu suprafaţă liberă şi cu pat fix............. 532 21.3.1 Modelarea hidraulică a râurilor şi canalelor deschise..................................................................... 532 21.3.2 Modelarea structurilor hidrotehnice.......................... 536 21.3.3 Modele mixte............................................................ 537 21.3.4 Modelarea curgerilor sub presiune............................ 538 21.3.5 Modelarea schemelor de amenajare a râurilor.......... 539 21.3.6 Tehnica modelării hidraulice.................................... 539 21.4 Aplicaţii.................................................................................... 542 Bibliografie................................................................................................. 545 Anexe............................................................................................................549

Hidraulică vol. II

13

CAPITOLUL 11 MIŞCĂRI EFLUENTE Curgerea permanentă a fluidelor din recipienţi prin secţiuni relativ mici, într-un spaţiu ocupat de acelaşi sau de alt fluid se numeşte mişcare efluentă. În categoria acestor mişcări se încadrează curgerea prin orificii şi ajutaje, jeturile (vânele) de fluid rezultate, curgerea peste deversoare, cu lama deversantă aferentă. Aceste mişcări se caracterizează prin curburi pronunţate ale liniilor de curent şi, implicit, variaţii importante ale parametrilor geometrici şi hidraulici – secţiune de curgere, viteză, presiune şi nivel (la curgeri cu nivel liber) – în lungul curentului. La trecerea prin secţiunea de curgere curentul ia forma vânei lichide care se menţine, cu variaţii de formă, şi după trecerea în mediul aval. În raport cu variabila timp, aceste mişcări pot fi permanente (staţionare) sau nepermanente. Se studiază pe larg mişcările staţionare şi numai câteva cazuri practice de mişcări variabile cu timpul. 11.1. CURGEREA PERMANENTĂ PRIN ORIFICII Se numeşte orificiu o deschizătură în peretele sau fundul unui rezervor, prin care fluidele curg, conturul fiind în întregime în contact cu fluidul în mişcare. Rolul obişnuit al unui orificiu este măsurarea sau controlul curgerii. După dimensiunea pe verticală a orificiilor în raport cu sarcina (presiunea) sub care lucrează acestea pot fi mici şi mari. La orificiile mici (fig. 11.1) se poate considera că sarcina este constantă pe orificiu, pe când la orificiile mari (fig. 11.2) sarcina este şi trebuie considerată variabilă pe secţiunea orificiului. După condiţiile de curgere orificiile pot funcţiona liber (v. fig. 11.1) sau înecat (fig. 11.2). La orificiile libere vâna lichidă se dezvoltă în gaz şi descrie o anumită traiectorie, în general parabolică pe când la orificiile înecate vâna se dezvoltă în acelaşi fluid din care este format jetul şi păstrează o poziţie aproximativ orizontală.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

14

H>>d

H1

H

H~d

H2 d

d

Fig. 11.2. Orificiu mare liber

H

Fig. 11.1. Orificiu mic liber

Fig. 11.3. Orificiu cu funcţionare înecată

Curentul de lichid se dezlipeşte de muchia orificiului la paramentul amonte, sau dacă muchia amonte este rotunjită, aceasta are rol de dirijare a liniilor de curent. În această privinţă se întâlnesc orificii cu muchii ascuţite, teşite şi rotunjite. Orificiile pot avea diferite forme geometrice, de obicei regulate, însă cele mai des întâlnite în practică sunt cele circulare şi dreptunghiulare. Legile curgerii prin orificii sunt comune tuturor fluidelor, însă coeficienţii determinaţi experimental se referă în special la apă. 11.1.1. Curgerea prin orificii mici, libere Convenţional se consideră orificiu mic, acel orificiu la care înălţimea secţiunii sale d este cel mult H/10. Elementele analizate se referă la contracţie, viteză, debit şi traiectoria vânei lichide.

Hidraulică vol. II

15

10. Contracţia vânei lichide Urmărind spectrul curgerii prin orificii se observă că firele de curent din recipient descriu traiectorii curbe, convergente spre orificiu, curbura lor fiind mai pronunţată în apropierea orificiului. La orificiile cu muchii ascuţite firele de curent se dezlipesc de perete la muchia amonte şi datorită inerţiei îşi păstrează curbura. La distanţa δ de perete firele de curent devin paralele, vâna având secţiune minimă. Această secţiune poartă numele de secţiune contractată (fig. 11.4). Pentru secţiuni particulare – cerc cu diametrul „d” şi pătrat cu latura „a” – distanţa de la peretele amonte (secţiune de dezlipire) la secţiunea contractată este δ = 0,6d sau δ=0,5a. A Raportul secţiunii contractate Ac şi c A secţiunea orificiului A este coeficientul de contracţie: δ ε=Ac/A (11.1)

Fig. 11.4. Contracţia vânei lichide

Mărimea coeficientului de contracţie depinde de caracterul contracţiei care poate fi completă, imperfectă şi incompletă. Contracţia completă are loc dacă pereţii şi fundul recipientului nu influenţează curbura firelor de curent. Se consideră contracţia completă dacă muchia orificiului este la o distanţă de trei ori mai mare dată de elementele perturbatoare decât mărimea orificiului. Contracţia imperfectă are loc dacă orificiul se află mai aproape de elementele de perturbare decât cele arătate anterior; iar contracţia este incompletă dacă orificiul se află lângă peretele lateral sau pe fundul rezervorului. Coeficientul de contracţie variază în limite destul de largi; experimentele arată ε Є (0,56; 0,67), iar calculele teoretice, prin aplicarea teoremei impulsului, conduc la 4ε 2 1 (11.2) ε − 2 + =0 2 2

π

ϕ

16

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

cu valori ε ∈ ( 0 ,562...0 ,607 ) . Teoria mişcărilor potenţiale, prin transformări conforme, indică:

ε=

π π +2

= 0,611

(11.3)

20. Viteza şi debitul fluidului la orificii mici Se consideră un orificiu mic, cu muchie ascuţită în peretele vertical al unui rezervor cu două camere (fig. 11.5.). Orificiul se consideră cu funcţionare liberă, nivelul amonte constant, în cele două camere 1 şi 2 presiunea gazului deasupra lichidului fiind p1, respectiv p2, astfel încât curgerea are loc din rezervorul 1 către 2. Particulele de fluid urmează traiectorii curbe, mc fiind una dintre ele, cu punctul m în camera 1, iar c în 2, în centrul jetului din secţiunea contractată. P1

P2

hm

2

m

1

Um

H c

V0

zm

d

Uc

zc

Plan de referinta

Fig. 11.5. Curgerea prin orificiul mic

Aplicând ecuaţia energiei între punctele m şi c, rezultă: 2 2 um uc p1 p + + hm + z m = + 2 + z c + hrmc 2g γ 2g γ

(11.4) 2

Cu exprimarea pierderilor sub forma (8.1. – vol 1) hrmc 2

u = ζ c , se obţine: 2g

u p − p2 uc = 2 g[ H + m + 1 ] (11.5) 2g γ 1+ ζ Relaţia (11.5) exprimă în general legătura între viteza în secţiunea contractată şi sarcina pe orificiu. 1

Hidraulică vol. II

17

Vitezele în lungul diferitelor linii de curent diferă şi în locul lor se utilizează viteza medie de apropiere, v0. În secţiunea contractată profilul de viteză este cvasiuniform şi în loc de uc se utilizează viteza medie vc, cu acceptarea corecţiei Coriolis αc = 1. Cantitatea: 1 , (11.6) ϕ= 1+ ζ este coeficientul de viteză şi după înlocuirile necesare (11.5.) devine: 2  v p − p2  α 0 vc = ϕ 2 g  H + + 1 (11.7) , γ 2 g   relaţie care poate fi folosită şi pentru gaze când detenta lor sub diferenţa de presiune p1 - p2 este neglijabilă şi se utilizează greutatea lor specifică la presiunea medie. Când presiunea în cele două rezervoare este aceeaşi, p1 = p2, se obţine:

vc = ϕ 2 g ( H +

αv 0 2

(11.8) ) = ϕ 2 gH 0 , 2g unde H0 este sarcina totală sub care lucrează orificiul. Uneori şi viteza de apropiere este nesemnificativă şi utilizarea numai a sarcinii H în calcule nu introduce erori semnificative. Coeficientul ζ la orificii mici are valori între 0,02…0,08, coeficientul de viteză φ variind în limitele 0,96…0,99. Coeficientul de viteză poate fi privit ca raportul vitezei medii reale a fluidului prin orificiu şi vitezei teoretice a unui fluid eulerian, dată de relaţia lui Toricelli, φ=vc/vt. Utilizând ecuaţia de continuitate se obţine debitul orificiului: p − p2 p − p2 Q = AcVc = εϕA 2 g ( H 0 + 1 ) = µ 2g (H 0 + 1 ) (11.9)

γ

γ

în care

µ = εϕ este coeficientul de debit cu valori între 0,59 şi 0,66.

(11.10)

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

18

Experienţele lui Bazin evidenţiază repartiţia vitezelor şi presiunilor în secţiunea orificiului (tab. 11.1, fig. 11.6).

0.703

0.636

0.703

r r

u 2gH

H 0.6

r

h=

p H

r

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

h

A

0

A

Fig. 11.6. Repartiţia vitezei şi presiunii relative în secţiunea orificiului

Distribuţia relativă a vitezei în secţiunea orificiului Tabelul 11.1 r r0 u

2 gH

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,636

0,636

0,645

0,652

0,660

0,670

0,680

0,688

0,703

0,703

Variaţiei de viteză în secţiunea orificiului îi corespunde şi o variaţie de presiune, presiunea maximă fiind în centrul orificiului, cu valoarea ~ 0,6γH, scăzând spre contur la zero. În general coeficientul de viteză este subunitar datorită pierderilor de energie, dar la orificii verticale s-au obţinut experimental şi valori uşor supraunitare (1,01…1,04), care s-au explicat prin presupunerea că, din cauza variaţiei continue de formă a vânei pe traiectorie s-ar putea să se producă presiuni vacumetrice în unele puncte.

Hidraulică vol. II

19

30. Factorii care influenţează coeficientul de debit a. Viteza de acces. Relaţiile prezentate sunt valabile când rezervorul din care are loc curgerea are o secţiune mare în raport cu secţiunea orificiului. Pentru orificii la capăt de conductă, cu secţiune de curgere în conductă relativ mică, coeficientul de debit creşte cu reducerea secţiunii amonte de curgere (fig. 11.7 şi fig. 11.8), dar este dependent şi de sarcină. 0,63 d/D

0,5

H=p/

0,62 0,45 V 0

D

0,61

d

0,40

µ=f ( d, H0) D

0,35 0,30 0,25

0,60

0,59

5

10

15

20

25

H0(m)

Fig. 11.7. Orificiu circular la capăt de conductă în perete normal pe axa conductei şi orificiului

Fig. 11.8. Variaţia lui µ cu sarcina totală şi raportul secţiunilor

Într-o asemenea situaţie, înlocuind viteza de acces din ecuaţia de continuitate, se obţine:  1 2  d 4  µA 2 gH (11.11) Q= = µA 2 gH 1 + µ    4 2 D     d 1− µ 2  D Pentru orificiu în interiorul conductei, în mod asemănător, se obţine:

µA 2 g Q=

p1 − p 2

γ

d 1− µ 2  D

4

4 p1 − p 2  1 2  d   = µA 2 g 1 + µ    γ  2  D  

(11.12)

care se foloseşte şi pentru gaze însă greutatea specifică a gazului se determină pentru presiunea medie sau, p = 0,5( p1 + p 2 ) .

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

20

b. Forma muchiei orificiului La orificii cu muchie ascuţită jetul se dezlipeşte la muchia orificiului. Practic nu se pot obţine muchii ascuţite, dar se poate realiza dezlipirea şi contracţia completă. La orificii cu muchie rotunjită, rotunjirea are rol de dirijare a firelor de lichid şi contracţia nu mai este completă (fig. 11.9.). Dacă rotunjirea are raza r, coeficientul de debit creşte cu aceasta astfel: pentru orice procent de rotunjire (r/d = 0,01), µ creşte cu 3,1%. Constatarea este valabilă pentru r/d ≤ 0,1. Rotunjiri mai pronunţate ale muchiei orificiului conduc la creşterea substanţială a coeficientului de debit care poate ajunge chiar la valoarea de 0,98 însă legea variaţiei coeficientului de debit diferă.

r d

Fig. 11.9. Efectul rotunjirii muchiei orificiului asupra contracţiei.

c. Rugozitatea peretelui în jurul orificiului, în funcţie de mărimea sa, are efect asupra componentelor vitezei de lângă perete. Creşterea rugozităţii reduce viteza la paramentul amonte şi, implicit, contracţia. Un orificiu cu parament amonte şlefuit are coeficient de debit cu până la 2 % mai mic decât orificiul în perete cu parament amonte aspru. d. Vâscozitatea crescândă a lichidului implică creşterea coeficientului de debit tot pe seama reducerii contracţiei datorită micşorării componentelor tangenţiale la parament ale vitezei. 40. Traiectoria şi inversia jetului a. Traiectoria. Pentru sarcini pe orificiu de H = 6…7 m, efectul frecării jetului cu aerul se poate neglija, traiectoria fiind parabolică. Se consideră un orificiu mic în peretele vertical al unui rezervor şi se urmăreşte traiectoria unei particule din centrul de greutate al jetului din secţiunea contractată (fig. 11.10.).

Hidraulică vol. II

H 0

Vc

X

g z

M(x,z)

x

Z

21

În punctul O particula este lansată cu viteza vc şi este acţionată de gravitaţională g, acceleraţia mişcarea pe orizontală poate fi considerată uniformă, iar pe verticală accelerată, neglijându-se frecările cu aerul. După timpul t particula ajunge în punctul M(x,z), coordonatele drumului parcurs de particulă după cele două direcţii fiind:

Fig. 11.10. Traiectoria jetului

{x = vc t (11.13) 1 2   z = gt 2  Dacă din aceste ecuaţii parametrice ale traiectoriei se elimină timpul, rezultă: g x2 z= (11.14) 2 vc 2 sau după înlocuirea vitezei de lansare cu (11.8), rezultă x2 (11.15) z= 4ϕ 2 H 0 Se observă traiectoria parabolică a jetului dacă frecarea cu aerul este neglijată. Ecuaţia traiectoriei jetului este uneori folosită la determinarea coeficientului de viteză. Măsurându-se sarcina constantă H0 şi perechea de coordonate (x, z), în lungul traiectoriei, având ca origine a axelor de coordonate centrul secţiunii contractate, rezultă, după prelucrări statistice, coeficientul de viteză ϕ.

b. Inversia jetului. Jetul rezultat de la diferite forme de orificii prezintă un fenomen interesant şi anume: inversia jetului. Forma jetului este asemănătoare cu cea a orificiului numai până la secţiunea contractată. În (fig. 11.11) sunt prezentate formele succesive ale jetului în lungul traiectoriei.

22

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

Fig. 11.11. Inversia jetului lichid

După parcurgerea acestor forme jetul revine la secţiunea iniţială şi, ciclic ia cele patru forme în lungul său dacă nu este dispersat de frecarea cu aerul şi de tensiunea superficială. În lungul jetului se observă un fenomen de răsucire al acestuia, secţiunile succesive având formele relative din fig. 11.11.

11.1.2. Curgerea prin orificii mici, înecate Se consideră un rezervor compartimentat de un perete vertical în care este practicat un orificiu mic. Nivelul constant în ambele compartimente este deasupra muchiei superioare a orificiului, între compartimente existând diferenţa de nivel H = H1 - H2 (fig. 11.12). a

H0

H

H1

Pa

V0 H2

c Vc 1

A

c

2 Ac

Fig. 11.12. Orificiu înecat

Procedând în mod analog ca la orificiul cu funcţionare liberă, rezultă:

Vc =

1 1+ζ

2g (H +

respectiv debitul: Q = µA 2gH 0

α 0 v02 2g

) = ϕ 2 gH 0

(11.16)

(11.17)

Hidraulică vol. II

23

sau când viteza de apropiere se poate neglija: Q = µ A 2 gH = µ A 2 g ( H1 − H 2 )

(11.18) De remarcat este faptul că în cazul orificiilor mici înecate coeficientul de debit este cu circa 2 % mai mic decât la orificii libere.

11.1.3. Curgerea prin orificii mari, libere Orificiul se consideră mare dacă dimensiunea acestuia pe verticală este de acelaşi ordin de mărime cu sarcina sub care are loc curgerea. Astfel, sarcina în diferite puncte pe o verticală nu poate fi considerată constantă şi viteza diferă apreciabil. Se consideră un orificiu mare, de formă oarecare, care descarcă apă în atmosferă sub sarcină constantă (fig. 11.13). Pa b(H)

H1 H

H2

p=p a dH

dH

Fig. 11.13. Curgerea prin orificiul mare

În calcule orificiul mare se împarte într-o infinitate de orificii mici, de fâşii orizontale, care pot fi considerate dreptunghiuri elementare de înălţime dH. Pe un astfel de orificiu elementar se admite sarcina H şi viteza pe secţiune constante. Debitul elementar al unui astfel de orificiu mic virtual este: dQ = µb( H )dH 2 gH (11.19) Admiţând coeficientul de debit constant pentru toate fâşiile elementare, debitul total se obţine prin integrarea relaţiei H2

Q = µ 2 g ∫ b( H ) H dH

(11.20)

H1

Integrala se poate efectua dacă se cunoaşte funcţia b(H). Astfel, pentru un orificiu mare, de formă dreptunghiulară b(H) = b şi se obţine:

24

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

3

3

2 (11.21) Q = µb 2 g ( H 22 − H 12 ) 3 Pentru orificii mari cu muchie ascuţită şi contracţie completă se poate accepta µ = 0,6 fără a comite erori apreciabile (sub 5 %). La orificii dreptunghiulare, chiar relaţia orificiilor mici asigură o precizie acceptabilă folosind sarcina medie:  H + H2  (11.22) Q = µb( H 2 − H1 ) 2 g  1  2   Coeficientul de debit pentru orificiile mari cu contracţie incompletă sau imperfectă variază în limite largi, între 0,65 şi 0,95 (tab. 11.2) Coeficientul de debit pentru orificii mari Tabelul 11.2 Nr .

Felul orificiului

µ

1. 2. 3.

Orificii mijlocii, contracţie perfectă…….................................................. Orificii mari, contracţie perfectă……………………............................... Orificii de fund cu contracţie laterală perfectă, după gradul de perfecţie…………………………………............................................. Orificii de fund cu contracţie laterală redusă…………............................. Orificii de fund cu intrare laterală racordată…………............................. Orificii de fund prevăzute cu stavile cu pereţi curbi, netezi

0,63 0,70

4. 5. 6.

Tip a α=45o…………………………………………………............................ α=60o……......……………………………………….............................. α=70o………..……………………………………….............................. Tip b a/r 1,5 D jetul se lipeşte de peretele tubului în aval de secţiunea contractată şi iese în atmosferă cu secţiune egală cu cea a ajutajului. Aplicând ecuaţia energiei între secţiunea 0 şi e se obţine viteza la ieşire: Ve = ϕ 2gH 0

(11.43)

cu

ϕ=

1

αe + ζ

şi H 0 = H +

αv02 2g

(11.44)

l . În cazul lungimii mici a ajutajului D (l/D = 3…5) pierderile liniare se pot neglija, ţinând cont numai de pierderea la Coeficientul α e ~ 1 , iar ζ = ζ i + λ

34

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

intrare cu muchii vii, deci ζ ~ ζ i = 0,5 . În aceste condiţii ϕ ~ 0,82 . Pentru A secţiunea de ieşire coeficientul de contracţie, ε e = e = 1 , ecuaţia debitului A devenind: Q = ε eϕA 2 gH 0 ≅ 0,82 A 2 gH 0 (11.45) Comparativ cu debitul orificiului de acelaşi diametru, debitul ajutajului este mai mare cu circa 34 %. În secţiunea contractată, între vâna lichidă şi peretele ajutajului există un spaţiu de vârtejuri unde presiunea este mai mică decât cea atmosferică. Viteza în secţiunea contractată este superioară vitezei din secţiunea de intrare sau de ieşire. În secţiunea contractată ϕ ~ 0,98 şi ε ~ 0,64 , rezultând Vc = Vi/0,64 şi ζ ~ 0,06 . Ecuaţia energiei, scrisă secţiunilor 0 - c, cu α c ≅ 1 şi Vc = 0,82 2 gH 0 , permite calculul presiunii în secţiunea contractată cu relaţia: hvac =

pc

γ

≅ −0,74 H 0

(11.46)

Valoarea presiunii vacuumetrice măsurate în secţiunea contractată indică valori hvac ~ 0,75 H0, apropiată de valoarea calculată. Această presiune vacuumetrică nu poate fi inferioară presiunii de vaporizare în cazul funcţionării normale a ajutajului. Acceptând în loc de pv vidul absolut rezultă − 0,75 H 0 ≥ −0,33 mCA , sau H 0 ≤ 13,77 mCA . La sarcini H0 superioare, la care în secţiunea contractată se atinge presiunea de vaporizare, în ajutaj apar fenomene de cavitaţie şi de dezlipire a jetului de peretele ajutajului ceea ce atrage după sine scăderea coeficientului de debit. Reducerea acestui coeficient la valori apropiate coeficientului de debit caracteristic orificiilor nu are loc brusc, datorită antrenării şi circulaţiei aerului între jet şi peretele ajutajului (cel puţin pentru ajutaje cu diametre de ordinul milimetrilor). Viteza mare a jetului antrenează aerul spre ieşire în apropierea suprafeţei jetului, iar lângă peretele ajutajului are loc intrarea aerului (fig. 11.23). În secţiunea contractată presiunea este inferioară presiunii atmosferice – mişcarea aerului cu turbioane are loc cu pierderi de energie – şi orificiul funcţionează la sarcina H0 - hvac. Acceptând în relaţie H0, va fi influenţat µ . Prin experimentări chiar s-a remarcat un histerezis al coeficientului de debit (fig. 11.24).

Hidraulică vol. II

35 H0 12 10

orificiu

L

d

hvac

ajutaj

5 3

0,6

Fig. 11.23. Circulaţia în ajutaj după dezlipire

0,82 µ

Fig. 11.24. Variaţia coeficientului de debit la ajutaj cu fenomene de cavitaţie

Lungimi ale ajutajului de peste (3…5)D implică scăderea coeficientului de debit (şi viteză) datorită creşterii pierderilor liniare. Pentru λ = 0,02 lungimea ajutajului care asigură acelaşi coeficient de debit ca orificiul este l = 55 D. 11.2.2. Tipuri de ajutaje folosite în tehnică

Ajutajele sunt frecvent folosite în tehnică în diferite scopuri: mărirea coeficientului de debit faţă de orificiu; realizare de jet compact sau destrămat; instrumente pentru măsurare sau de limitare a debitului etc. Deseori H 0 > 13 mCA , iar evitarea fenomenelor de cavitaţie se realizează prin modelarea formei în lung a ajutajului. Se utilizează ajutaje conice (convergente şi divergente), conoidale, combinate şi, uneori ajutaje interioare tip Borda. Principalele lor caracteristici corespund (tab. 11.4). În tehnica hidroameliorativă ajutajele sunt frecvente ca duză de aspersor, (conic convergent - cilindric), elemente de distribuţie la microirigaţie prin rampe perforate (ajutaje cilindrice şi conic convergente). În tehnologia hidromecanizării se întâlnesc ajutaje la hidromonitoare (conic convergent cilindric); în hidroenergetică la ajutajele turbinelor Pelton; la furtune de pompieri şi duze pentru stingerea incendiilor; jetul fântânilor arteziene se obţine cu diferite forme de ajutaje lucrând la sarcini diferite, deseori variabile. Motoarele termice cu aprindere prin scânteie sau prin compresie utilizează frecvent ajutajele la carburatoare, injectoare, stropitoare, duze de purjare etc. În tehnica pulverizării în diferite scopuri se utilizează tot ajutaje de diferite forme.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

36

Tehnica propulsiei prin jet precum şi tehnica militară, adeseori apelează la ajutaje şi orificii.

Tipuri de ajutaje şi caracteristicile lor Tabelul 11.4 Denumire. Caracteristici hidraulice utilizate 2 Ajutaje exterioare

Schema ajutajului 1

Valoarea coeficientului de debit 3

1. Ajutaj cilindric exterior normal l = (3…5) d, cu muchie ascuţită

l d

µ = 0,82

2. Ajutaj cilindric exterior normal l = (3…5) d, cu muchie rotunjită

l

µ ∈ 0,82...0,97) µ m = 0,90

R

3. Ajutaj cilindric exterior înclinat l = (3…5) d cu muchie ascuţită

β

4. Ajutaj conic convergent µ max = 0,946 pentru β

o

1

β = 13 24

β µ β µ

0

10

20

30

0,82

0,80

0,78

0,76

40

50

60

0,75

0,73

0,72

β

µ

β

µ

90 60 45 36 30 22 18

0,873 0,892 0,909 0,920 0,925 0,931 0,937

15 13,24 11 7 6 5 4 6

0,942 0,946 0,938 0,908 0,896 0,883 0,857 0,82

Hidraulică vol. II 5. Ajutaj conoidal l = 0,6 d Este profilat după forma vânei

6. Ajutaj conic divergent cu muchia rotunjită. µ este raportat la secţiunea cea mai mică. Vâna este lipită β

numai pentru β are gol la mijloc

µ = 0,96...2,3

µ = 1,5 − 2,3 µ max = 2,3

β

a

D d b

D

µ = 0,956...0,994

= 5 o...7 o şi

7. Ajutaj conic convergent divergent τ

37

8. Ajutaj: a) conic-convergent (pompieri) b) conoidal-cilindric (hidromonitor)

d D

=

1 2

;µ = ϕ

9. Ajutajul turbinei Pelton. Injector

3′′ 4 3 φ1′′ 8

φ

pt.

Aiesire = 16 Amin

µ = 0,983

µ = 0,959

µ ≅ 0,97

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

38

Ajutaje interioare (tip Borda) 1. Ajutaj cilindric interior 1.1. Ajutaj conic divergent interior

l ≅ 2,5 D

µ = 0,51 − 0,52

Forma ajutajului influenţează puţin coeficientul de debit

11.2.3. Conducte scurte privite ca ajutaje

Evacuarea apelor din spatele digurilor, barajelor, curgerea prin podeţe tubulare sub presiune (fig. 11.25) – când lungimea conductelor este relativ mică în raport cu diametrul - poate fi privită curgere prin ajutaje, debitul descărcat fiind : Q = µA 2 gH (11.47) Coeficientul de debit depinde de forma conductei (circulară, dreptunghiulară etc.), de forma intrării în conductă, şi raportul L/D. Dacă L ≤ 50 D coeficientul µ corespunde (tab. 11.5) în caz contrar pierderile se calculează ca pentru conducte scurte. Coeficienţii de debit pentru conducte scurte, asimilate ca ajutaje Tabelul 11.5 Intrare în conductă Buză tăiată oblic

Intrare dreaptă cu muchii vii

L (m)

0,305

0,46

3,05 6,10 9,15 12,20 15,25 3,05 6,10 9,15 12,20 15,25

0,86 0,79 0,73 0,68 0,65 0,80 0,74 0,69 0,65 0,62

0,89 0,84 0,80 0,76 0,73 0,81 0,77 0,73 0,70 0,68

0,61

D (m) 0,915

1,22

1,525

1,83

0,91 0,87 0,83 0,80 0,77 0,80 0,78 0,75 0,73 0,71

0,92 0,90 0,87 0,85 0,83 0,79 0,77 0,76 0,74 0,73

0,93 0,91 0,89 0,88 0,86 0,77 0,76 0,75 0,74 0,73

0,94 0,92 0,90 0,89 0,88 0,76 0,75 0,74 0,74 0,73

0,94 0,93 0,91 0,90 0,89 0,75 0,74 0,74 0,73 0,72

Hidraulică vol. II

39

V0

H

D

Fig. 11.25. Conductă scurtă de golire, asimilată ca ajutaj.

De fapt aceste conducte de golire sunt privite ca ajutaje atâta timp cât profilul vitezei în lungul conductei nu este stabilizat, stratul limită nu este dezvoltat pe întreaga secţiune (fig. 11.26). La intrarea în conductă profilul de viteză este uniform apoi se dezvoltă stratul limită care, la anumită distanţă de la intrare, se extinde pe întreaga secţiune: • în laminar l s = 0,03Re D ; • în turbulent l s ≈ 50 D .

u(r) u~ c

u(r)

u= c u (r)

δ ls

δ

i

v

Fig. 11.26. Profilul de viteză în conducte scurte asimilate cu ajutaje

11.3. JETURI LICHIDE

După cum s-a mai arătat vâna lichidă aval de orificiu sau ajutaj se poate dezvolta în aer - vână liberă – sau în acelaşi lichid-vână înecată. Deşi există studii teoretice numeroase, descrierea jetului conţine numeroşi coeficienţi determinaţi experimental.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

40

11.3.1. Jetul liber

În 11.1.1. s-au studiat caracteristicile jetului liber de la orificii, pentru sarcini mici (H = 6…7 m), lansate după orizontală şi cât timp frecarea cu aerul se poate neglija. Într-un caz mai general, se consideră un jet lansat dintr-un orificiu, sub unghi θ faţă de verticală, secţiunea contractată fiind la distanţa R de la origine, iar originea la o distanţă b faţă de un plan orizontal arbitrar P (fig. 11.27.). Se consideră axa x pe orizontală, iar z pe verticală şi se aplică unui tronson din jetul aruncat teorema mişcării centrului de masă.

V0

θ

ΖΜ

M (x,z) x

rM 0

X

R

b B

XM

P

Xo

Fig. 11.27. Traiectoria vânei de lichid în aer

Ecuaţia mişcării este: M ɺɺ rM = M g

(11.48)

cu proiecţiile pe axele de coordonate:  XɺɺM = 0  ɺɺ  Z M = − g

(11.48’)

Condiţiile iniţiale ale acestui sistem sunt: t=0

 X M = R sin θ   Z M = R cos θ

şi

 Xɺ M = V0 sin θ ɺ  Z M = V0 cos θ

cu V0 = ϕ 2 gH Integrând ecuaţiile (11.48’) în condiţiile (11.49) se obţine:

(11.49)

Hidraulică vol. II

41

C1x = V0 sin θ C 2 x = R sin θ ;   = C V cos θ 0 C 2 z = R cosθ  1y coordonatele traiectoriei devenind:

( (

) )

 X M = R sin θ + φ 2 gH sin θ t   1  Z M = R cos θ + φ 2 gH cos θ t − gt 2  2

(11.50)

După eliminarea timpului din sistemul (11.50), se obţine: ZM = −

 R R +  ctgθ + 2 2 4φ H  2φ H sin θ

 1 X M2  XM − 2 2 4φ H sin θ 

(11.51)

sau X M2 − 2 (φ 2 H sin 2θ + R sin θ ) X M + ( R 2 + 4φ 2 H ⋅ Z M ) sin 2 θ = 0

(11.52)

Bătaia jetului X0 rezultă din ecuaţia (11.52) în care ZM = - b, X M2 − 2 (φ 2 H sin 2θ + R sin θ ) X M + ( R 2 − 4φ 2 H ⋅ b ) sin 2 θ = 0

(11.53)

deci prima soluţie a acestei ecuaţii este: X M = φ 2 H sin 2θ + R sin θ +

(φ

2

2

H sin 2θ + R sin θ ) − ( R 2 − 4φ 2 H ⋅ b ) sin 2 θ

(11.54)

Bătaia maximă a vânei X 0 se obţine prin anularea primei derivate a funcţiei (11.54) în raport cu variabila θ . Termenii care conţin R, în general, se pot neglija, datorită distanţei mici dintre secţiunea orificiului şi cea contractată, obţinând: (11.52’) X M2 − 2φ 2 HX M sin 2θ + 4φ 2 H ⋅ Z M sin 2 θ = 0 şi X M = φ 2 H sin 2θ +

(φ

2

2

H sin 2θ ) + 4φ 2 H ⋅ b sin 2 θ

(11.54’)

Când b este neglijabil se obţine relaţia cunoscută: X M = 2φ 2 H sin 2θ

(11.55) În toate cazurile ecuaţiile (11.54, 11.54’, 11.55) prezintă un maxim pentru θ = 45 0 , fiind neglijată frecarea cu aerul. Particulele de lichid vor fi dispersate de o parte şi alta a punctului B, unde centrul de masă întâlneşte planul P. Pentru jetul vertical θ = 0 înălţimea de ridicare maximă rezultă: V02 , (11.56) H= 2 ϕ 2g însă această înălţime este teoretică, fiind neglijată frecarea cu aerul.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

42

La presiuni mai mari de 6…7 mCA, de ordinul 10…35 mCA, bătaia maximă a jetului se obţine pentru unghi de lansare faţă de orizontală între 30…40o. Înălţimea de ridicare şi bătaia maximă sunt mai mici, datorită pierderilor de energie prin frecări interne şi cu aerul. Lansarea jetului depinde de forma ajutajului. Jetul de apă iese în atmosferă în general compact, dar după un anumit parcurs nu mai are unitate ci este format din trâmbe secundare care, la rândul lor, se descompun pe traseu până la picături şi cad în această formă. Forţele care participă la destrămarea jetului sunt: cele rezultate din diferenţe de presiune interioare, rezistenţa aerului şi tensiunea superficială, iar ca forţă stabilizatoare - vâscozitatea. În fig. 11.28. se reprezintă schematic structura jetului de apă. Datorită fenomenelor de destrămare - pulverizare se formează o zonare a jetului în lungime şi în secţiune transversală. Zona 1: este vână compactă, transparentă în centru, care se subţiază spre aval şi dispare la sfârşitul sectorului I. Zona 2: este compusă din fire de lichid cu bule de aer, începe la suprafaţa jetului din sectorul I (în secţiunea 1) şi formează exteriorul jetului I şi miezul sectorului II. Dispare la sfârşitul sectorului II. Zona 3: este compusă din picături izolate şi fire de lichid care se mişcă în aer; ea începe în sectorul II la suprafaţă şi formează tot jetul din sectorul III. Zona de picături şi fire de lichid în aer sau cu bule de aer are aspect alb-lăptos şi nu este transparentă. S e c to r I

S e c to r II

S e c to r III 3

2 1

1 2 3 zona I

z o n a II

z o n a II

z o n a III

Fig. 11.28. Structura jetului de apă în aer

z o n a III

Hidraulică vol. II

43

Studiile efectuate asupra jetului liber, dezvoltat în atmosferă, arată că înălţimea jetului vertical este: V02 (11.57) H V = H − ∆H = 2 − ∆H ϕ 2g unde ∆H reprezintă pierderile de energie. Prin analogie cu pierderile de energie liniare HV V 2 ∆H = K 1 (11.59) d 2g sau H V2 ∆H = K 2 (11.59’) d 2g V02 K Admiţând 2 = V 2 şi notând 1 = χ ecuaţiile 11.59 şi 11.59’ devin d ϕ H HV = (relaţia lui Luɺɺger ) (11.60) 1 + χH şi  K H (11.60’) H V = H 1 − 2  d  

χ are dimensiunea L−1 şi valori χ ∈ [0,0014;0,0228] pentru d = 10…50 mm. Coeficientul χ poate fi calculat după relaţia: 2,5 ⋅ 10 −4 χ= (11.61) 1 + (10 D )2 D fiind diametrul jetului în origine, exprimat în m. Între coeficienţii K1 şi K2 există relaţia: K2 K1 = (11.62) H 1− K2 d Pe o anumită lungime a jetului acesta este compact, apoi pulverizat (fig. 11.29). Lungimea jetului compact este indiferentă de înclinarea sa; înfăşurătoarea jetului compact la diferite unghiuri de lansare faţă de orizontală este un cerc cu raza Rc = Hc. Înălţimea părţii compacte HC a jetului se defineşte convenţional astfel: lungimea de la ajutaj până în secţiunea în care jetul transportă, într-un cerc cu diametrul de 38 cm, 90 % din debitul ajutajului de

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

44

lansare şi într-un cerc cu diametrul de 26 cm 75 % din debitul ajutajului. Această înălţime se defineşte: H C = RC = βH V (11.63) Valorile coeficientului β corespund tabelului 11.6. Se mai poate utiliza relaţia empirică: −1

 e 5, 42 + 0,03044  (11.64) H C = H 1 +  6 3 3  1 − 2,4 d 10 d  Curba înfăşurătoare a jetului (partea compactă şi pulverizată), în coordonate polare este (fig. 11.29) R p = αH V (11.65)

(

)

cu valorile lui α conform tabelului 11.7. H

R =H c c

Hv

Rp

compact

θ

pulverizat

L

0

Lmax

Fig. 11.29. Traseul jetului lichid în atmosferă

Valorile coeficientului β (H ) Tabelul 11.6 HV (m )

7

9,5

12

14,5

17,2

20

24,5

26,8

30,5

35

40

48,5

β

0,840

0,840

0,835

0,825

0,815

0,805

0,785

0,760

0,725

0,690

0,650

0,600

Valorile coeficientului α (θ )

() 0

θ α

Tabelul 11.7 0

15

30

45

60

75

90

1,40

1,30

1,20

1,12

1,07

1,03

1,00

Hidraulică vol. II

45

La presiuni de peste 7 mCA bătaia maximă a jetului se realizează pentru unghiuri θ < 45 0 , fiind cuprinse între 30…40o. Mărimea relativă a celor trei sectoare ale jetului poate fi modificată prin construcţia ajutajului în funcţie de destinaţia jetului. Astfel pentru combaterea incendiilor se potriveşte structura jetului din sectorul II, pentru irigaţie prin stropire structura jetului din sectorul III (picături), injectoarele de combustibil ale motoarelor sau pentru împrăştiat ierbicide, insecticide, fungicide lucrează în domeniul zonei pulverizate (uneori se utilizează injectoare sonice). Jeturile de plasmă la tăierea metalelor sau jeturile de apă ale hidromonitoarelor au nevoie de jeturi compacte cât mai lungi. Pulverizarea jetului este mai pronunţată dacă jetului i se atribuie o mişcare elicoidală. Aspersoarele asigură jet destrămat şi prin rotirea lor, mărimea picăturilor de ploaie artificială de 1 – 2 mm trebuie să fie distribuită uniform pe o distanţă cât mai mare. Duzele conic – convergente - cilindrice asigură acest deziderat (uneori chiar se foloseşte spărgător de jet) la presiuni 2 - 6 bar, şi viteză de rotaţie 1 - 3 rot/min. Dispozitivul care asigură rotirea este şi spărgător de jet (turbină, prism sau cupă). Unghiul de lansare a jetului este de 32o faţă de orizontală, bătaia după Pikalora fiind: L = 0,42 H + 1000 d, (11.66) (relaţia este valabilă pentru H/d > 1000). La jetul de hidromonitor, cu presiune de lucru 3 - 15 bar, lungimea de bătaie este: L = 0,4153 θdH 2 (11.67) unde θ este unghiul de lansare faţă de orizontală H în m, iar d în mm. Relaţia este recomandată pentru θ = 5 0...32 0 , d = 5…50 mm şi H = 30…80 mCA. La fântâni decorative se folosesc diferite forme de ajutaje cu efecte variate şi jeturi de diferite feluri. Jeturile în aer îndreptate în direcţie opusă produc prin ciocnire o formă de disc în plan vertical de formă circulară. Încărcate electric jeturile se atrag sau se resping în funcţie de încărcare electrică. Jetul fragmentat de vibrarea ajutajului se foloseşte la imprimante cu jet de cerneală. Tronsoanele de jet încărcate electrostatic sunt deflectate diferenţiat de câmp magnetic comandat, care, împreună cu deplasarea uniformă a hârtiei pe direcţie ortogonală formează matricea de imprimare.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

46

11.3.2. Jetul înecat Spre deosebire de jetul liber, la cel înecat procesul de amestec dintre fluidul injectat şi mediu joacă un rol important, determinând structura jetului (fig. 11.30). r z o n a p r in c ip a la z o n a in it ia la p a rte t u r b u le n t a Rx n u c le u 0

x Vo

θ 2 = 1 4 -1 5 Vo

o

θ1 = 2 0 - 3 0

Vo Vo

1

x

r B

Rx v

V1

2

3

Fig. 11.30. Structura jetului înecat

Un jet înecat este format dintr-un nucleu - cu mişcare ordonată şi viteză constantă V0 (viteza de lansare) – şi o parte turbulentă – în care vitezele scad pe direcţia radială din cauza frânării şi amestecului cu fluidul înconjurător. Nucleul scade în diametru în lungul zonei iniţiale; pentru un jet rotund conicitatea nucleului fiind θ 2 = 14 0...15 0 . În zona principală viteza maximă este în axa jetului dar scade treptat până la stingerea jetului (V = 0) după o lege hiperbolică de forma: vm = const / x (11.68) Conicitatea divergentă a jetului înecat este θ 1 = 20 0...30 0 şi depinde de forma ajutajului şi de natura fluidului. Bătaia jetului este distanţa de la ajutaj până la secţiunea 3 unde jetul se stinge. Calculul jetului înecat este o operaţie complexă şi se bazează pe numeroşi coeficienţi experimentali. Viteza axială depinde de diametrul şi forma ajutajului şi de distanţa x. Experienţele arată că presiunea în lungul jetului practic este constantă şi egală cu ceea a mediului ambiant. Vitezele în interiorul jetului depind de distanţa de la axă-coordonata r şi de viteza iniţială V0. În punctul B, definit prin coordonatele (x, r), viteza este:

 v   r = 1−  v m   R x 

  

3 2

   

2

(11.69)

Hidraulică vol. II

47

Dacă D0 = 2R0 este diametrul iniţial al jetului, atunci: Rx v (11.70) = 3,3 0 R0 vm iar distanţa de bătaie xmax = Rx / a x (11.71) unde ax = 0,066…0,076 este un coeficient experimental. Cunoaşterea structurii jetului submers are importanţă mare la realizarea motoarelor cu ardere internă cu injecţie, a motoarelor cu jet (rachete), turbinelor cu gaz, ventilaţii, dispersia apei calde în emisar ş.a. Elementele constructive ale ajutajelor au rol determinant în caracteristicile jeturilor rezultate şi necesită studii experimentale fiindcă rezultatele sunt valabile numai pentru fiecare construcţie în parte. Ataşarea unui jet de lichid la un perete adiacent este efectul Coandă. Jetul poate adera la un perete plan sau curb, pe o lungime mare şi poate fi deflectat cu unghiuri mari (chiar până la 1800). Efectul a fost observat în 1910 de inventatorul şi omul de ştiinţă român Henri Coandă. Efectul Coandă are numeroase aplicaţii tehnice din domenii diferite.

11.4. CURGEREA LICHIDELOR PRIN ORIFICII ŞI AJUTAJE SUB SARCINĂ VARIABILĂ Curgerea lichidelor prin orificii, ajutaje, conducte scurte sub sarcină variabilă are loc la golirea rezervoarelor, lacurilor de acumulare, la egalizarea nivelului între două rezervoare - ecluze, când nivelul lichidului are variaţii în timp, deci mişcarea este nepermanentă. Variaţia nivelului în rezervoare este relativ lentă în timp şi pentru intervale scurte se poate asimila mişcarea cu una permanentă. Se va dezbate problema timpului de golire al rezervoarelor şi timpul de egalizare în două rezervoare.

11.4.1. Timpul de golire al rezervoarelor Se consideră un rezervor a cărei secţiune orizontală S(h) este o funcţie de cota h. Acest rezervor se goleşte printr-un orificiu, de secţiune A şi având coeficient de debit µ (fig. 11.31). Rezervorul poate fi alimentat cu un debit Qa.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

48 Qa

h0

dh

S(h)

h

Fig. 11.31. Schema pentru calculul timpului de golire al unui rezervor

h1 A

µ

10. Debit de alimentare nul Volumul de apă descărcat de orificiu în timpul dt este egal cu scăderea volumului din rezervor: − S (h)dh = µA 2 gh dt (11.72) După separarea variabilelor, rezultă: 1 S ( h) dt = − dh (11.73) µA 2 g h Golirea rezervorului de la cota h0 la cota h1 are loc în timpul t0-1, care se obţine prin însumarea timpilor elementari h1 1 1 S ( h) (11.74) t 0−1 = ∫ dt = − dh ∫ µ A 2 g h 0 h0 Problema este soluţionată dacă se cunoaşte funcţia S(h), exact sau printr-o metodă de integrare aproximativă. 10.a. În cazul unui rezervor prismatic S(h) = const., rezultând: 1 1  2 S  2 2  (11.75) t 0−1 = h − h 0 1  µA 2 g   La golirea totală (h1 = 0) se obţine: 2 Sh0 2W (11.76) tg = = µA 2 g h0 Qorif (h0 ) deci timpul de golire este dublu faţă de timpul necesar curgerii aceluiaşi volum sub sarcină constantă h0.

10.b. În cazul unui rezervor oarecare (ex. lacuri de acumulare) S(h) este arbitrară şi se recurge la soluţionarea ecuaţiei (11.74) prin diferenţe finite. Diferenţa de nivel h0 - h1 se împarte în ‚n’ părţi, fiecărei cote hi corespunzând o suprafaţă Si (determinată prin planimetrare).

Hidraulică vol. II n

t 0−1 = ∑ t i = 1

1 2 µA

(S i + S i +1 )(hi − hi +1 ) ∑ (hi + hi +1 ) g 1

49

n

(11.77)

20. Debit de alimentare existent, Qa Variaţia de volum în rezervor pe înălţimea dh este egală cu produsul diferenţei debitului evacuat şi de alimentare şi timpul dt (11.78) − S (h)dh = µA 2 gh − Qa dt rezultând h1 S (h) t 0−1 = − ∫ dh (11.79) h0 µA 2 gh − Qa Când integrala nu se poate rezolva prin calcule riguroase se recurge la diferenţe finite: n 1 n (S i + S i −1 )(hi − hi −1 ) (11.80) t 0−1 = ∑ t i = ∑ 2 1 1 µA g (hi + hi −1 ) − Qai

(

)

Debitul de alimentare poate fi constant sau o funcţie oarecare (de obicei de timp-hidrograf afluent). 11.4.2. Timpul de egalizare al nivelului în două rezervoare

Se consideră două rezervoare cu secţiunile orizontale S1 şi S2 constante, legate între ele printr-un orificiu (ajutaj, conductă scurtă) cu caracteristicile µ şi A. Cotele luciului apei în cele două rezervoare sunt z, respectiv z’ peste planul orizontal al axului orificiului, diferenţa de nivel fiind h = z - z’ (fig. 11.32). În timpul dt din rezervorul R1 curge prin orificiu în R2 volumul de lichid: (11.81) dW = µA 2 g ( z − z ′)dt Scăderea de volum în R1 este: (11.82) dW = − S1 dz iar creşterea de volum în R2 (11.83) dW = S 2 dz ′ . Egalizarea acestor volume conduce la: (11.84) − S1 dz = S 2 dz ′ = µA 2 g ( z − z ′) dt

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

50

S1

dz

S2 h

dz'

z

Fig. 11.32. Schema pentru calculul timpului de egalizare a nivelului în două rezervoare.

z' R1

µ ,A

R2

Secţiunile orizontale S1 şi S2 fiind constante se poate scrie: dz dz ′ dz ′ − dz − = = S2 S1 S1 + S 2

(11.85)

Făcând substituirea z - z’ = h şi dz - dz’ = dh, se obţine S dh dz = 2 S1 + S 2

(11.86)

Din − S1 dz = µA 2 g ( z − z ′) dt se determină dt, dt = −

S1 dz

µA 2 g ( z − z ′)

=−

S1 S 2 dh

µA(S1 + S 2 ) 2 gh

sau integrat în intervalul [h, 0], rezultă: S1 S 2 h S1 S 2 h t=2 =2 (S1 + S 2 )Qh (S1 + S 2 )µA 2 g unde Qh este debitul orificiului înecat lucrând la sarcina h.

,

(11.87)

11.5. DEVERSOARE

Prin deversor se înţelege o construcţie sau o instalaţie peste care curge un lichid cu suprafaţă liberă. Standardele definesc deversoarele drept construcţii hidrotehnice dispuse într-un curent cu suprafaţă liberă în scopul menţinerii unui nivel sau pentru măsurarea debitelor.

Hidraulică vol. II

51

Elementele deversoarelor corespund (fig. 11.33). 2

h= v αv0 /2g H

δ

p1

θ

hn

c b/2

z z0

. D L.

V0

I. P.

(2...3)H

S. P.

Ho

h dh

B/2

p

b.

Q

a.

β

Fig. 11.33. Elementele deversoarelor

B/2 b/2 δ c.

1. Caracteristicile geometrice sunt: forma profilului transversal (rezultat printr-o secţiune verticală în lungul curgerii 11.33.a); creasta sau coronamentul (c) deversorului este linia punctelor cu cotă maximă de pe deschidere; grosimea (δ) a deversorului este gabaritul profilului transversal la creastă; lungimea (b) a deversorului este lungimea crestei; pragul amonte (p1) şi aval (p) reprezintă înălţimea crestei peste fundul biefului amonte şi aval; forma deschiderii deversorului din vederea aval (fig. 11.33.b); înclinările deversorului faţă de verticală, direcţia curentului sau a crestei faţă de orizontală. 2. Elementele hidraulice determină fenomenul şi caracteristicile curgerii şi sunt caracterizate prin: sarcina pe deversor (H) este diferenţa dintre cota nivelului apei (măsurată la o distanţă de 2…3H în amonte) şi cota coronamentului; sarcina totală (H0) este sarcina corectată cu termenul cinetic de apropiere ( hv = αV02 / 2 g ); viteza de apropiere (V0) cu care soseşte curentul la deversor; debitul (Q) descărcat; căderea (z) - este diferenţa de nivel amonte

52

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

- aval; căderea totală (z0) este căderea corectată cu termenul cinetic de apropiere; adâncimea de înecare (hn) este diferenţa dintre cota luciului aval şi cota crestei deversorului; lama deversantă (LD) este jetul de lichid care trece prin deschidere şi este limitată de pânza superioară (PS) şi inferioară (PI). 11.5.1. Teoria fundamentală a debitului

Dezvoltarea formulelor debitului descărcat datează din începuturile istoriei teoriei hidraulice şi în principal se referă la forma dreptunghiulară a deschiderii. Sunt uzuale două căi de a ajunge la relaţia generală a deversoarelor: împărţirea lamei în fâşii orizontale cu înălţime dh şi considerarea curgerii prin fâşie ca la orificii mici, apoi însumarea debitelor elementare şi prin utilizarea teoremei produselor de la analiza dimensională (1.2.2. – vol 1). Conform figurii 11.33. debitul elementar este: dQ = µb 2 g (h + hv ) ⋅ dh (11.86) care se integrează pe domeniul [0, H], obţinând: 3 3   2 (11.87) Q = µb 2 g (H + hv ) 2 − hv2  3   Notând cu m0 coeficientul de debit al deversorului pentru funcţionare normală 2 (11.88) m0 = µ 3 rezultă 3  3 2 Q = m0b 2  H 0 − hv2  (11.89)   Când hv este neglijabil (H/p1 foarte mic) rezultă: 3 2 0

(11.90) Q ≅ m0 b 2 g H Termenul cinetic hv este o funcţie de debit, deci relaţiile (11.89 şi 11.90) sunt implicite şi soluţionarea lor necesită iteraţii succesive de calcul. Când termenul cinetic hv este atât de mic în comparaţie cu sarcina H încât este neglijabil, se obţine: Q ≅ m0 b 2 g H

3 2

(11.91)

Hidraulică vol. II

53

Uzual se utilizează relaţiile (11.90) şi (11.91), uneori efectul termenului cinetic asupra debitului fiind inclus în coeficientul de debit. În decursul timpului s-au întreprins numeroase experienţe asupra deversoarelor. Deşi experimentările individuale sunt consistente, rezultatele mai multor cercetări dau valori diferite cu abateri de câteva procente între ele. Coeficientul de debit pentru funcţionare normală m0 se numeşte coeficient de formă şi depinde de profilul transversal al deversorului (caracteristică principală). Coeficientul de debit al deversorului: (11.93) m = m0 ⋅ m1 ⋅ σ ⋅ ε ⋅ k1 ⋅ k2 ... este un produs al coeficientului de formă şi coeficienţilor de corecţie ai factorilor care influenţează curgerea - înecarea, contracţia, înclinarea, aerarea lamei, tensiunea superficială etc. Coeficienţii de corecţie sunt unitari pentru condiţii normale şi diferiţi de unitatea când sunt abateri de la normalitate. Formula (11.93) este aproximativă prin introducerea separată a corecţiilor. Coeficientul m este o funcţie complexă determinat de ansamblul fenomenului de curgere peste deversor (1.2.2). Prezentarea în continuare conţine clasificarea deversoarelor, calculul celor cu profil dreptunghiular, apoi alte forme de deversoare.

11.5.2. Clasificarea deversoarelor Există o mare varietate de deversoare – ca tip, formă, funcţional – iar utilizarea lor depinde de o serie de criterii. Clasificarea deversoarelor se face în funcţie de parametri: • geometrici - grosimea peretelui; - forma profilului; - forma deschiderii; - înclinarea - crestei faţă de orizontală; - deversorului faţă de liniile de curent; - deversorului faţă de verticală; - forma în plan. • hidraulici - felul racordării cu bieful aval; - condiţiile de acces al lichidului la deversor; - felul lamei deversante etc.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

54

10. După grosimea peretelui deversoarele se împart în trei categorii: 10.a. cu perete subţire (sau muchie ascuţită) – fig. 11.34. – la care curgerea nu este influenţată de grosimea δ a crestei, lama deversantă se dezlipeşte de muchia amonte ca la orificii (excepţie făcând curgerea cu lamă lipită) δ

αv02/2g H0 H V0 p1

p hav

Fig. 11.34. Deversor cu muchie ascuţită.

10.b. cu perete gros şi profil curb (fig. 11.35), la care lama deversantă se lipeşte de coronamentul deversorului. În această categorie se încadrează diferite forme ale profilului: deversoare poligonale sau curbe utilizate frecvent în practica inginerească.

H

H

c

δ b

a

c

Fig. 11.35. Deversoare cu profil gros şi curb: a, b) profil poligonal; c) profil curb

10.c cu prag lat (fig. 11.36) la care curgerea în partea centrală are caracteristici de curent gradual variat.

H Fig. 11.36. Deversor cu prag lat

δ c

Hidraulică vol. II

55

20. După forma profilului deversoarele pot fi poligonale sau curbe (v. fig. 11.35). 30. După forma deschiderii: deversoarele, în general, au forme geometrice regulate simple – dreptunghiulară, trapezoidală, triunghiulară, circulară etc., sau compuse: proporţional (hiperbolic cu dreptunghi, dublu trapezoidal etc.), fig. 11.37.

a

c

b

e

d

Fig. 11.37. Formele deschiderii deversoarelor

Anumite forme ale deschiderii sunt specifice deversoarelor pentru măsurarea debitelor, altele sunt utilizate pentru descărcătoare sau alte scopuri tehnice. 40. Înclinarea deversoarelor se referă la: aşezarea lor în plan faţă de direcţia curentului – se disting deversoare normale (frontale), oblice şi paralele (fig. 11.38); poziţia crestei faţă de orizontală – existând deversoare cu creastă orizontală sau înclinată (fig. 11.40).

b

b

b

θ a

b

c

Fig.11.38. Înclinarea deversoarelor faţă de direcţia curentului a) normal, b) oblic, c) paralel

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

56

υ

θ a

b

c

Fig. 11.39. Înclinarea paramentului amonte al deversorului faţă de verticală a) normal, b) înclinat amonte, c) înclinat aval

υ

a

b

Fig. 11.40. Înclinarea crestei deversorului faţă de orizontală a) orizontal, b) înclinat

Înclinarea deversorului faţă de direcţia curentului se introduce în calcule prin coeficientul de debit (11.93) printr-un coeficient de corecţie k1 (tab. 11.8)

()

θ 0

k1

Corecţia înclinării deversorului faţă de direcţia curentului Tabelul 11.8 15 30 45 60 90 0,86 0,91 0,94 0,96 1

50. După forma în plan există deversoare rectilinii, poligonale, curbe (arc de cerc, cerc), margaretă, crocodil etc. (fig. 11.41)

Fig. 11.41. Forma în plan a deversoarelor

Hidraulică vol. II

57

Efectul formei în plan al deversorului se introduce în calcule prin corectarea coeficientului de debit (11.93) prin coeficientul k2. La deversor poligonal pentru calculul debitului se însumează lungimea crestelor rectilinii care compun deversorul; pentru fiecare se ţine seama de oblicitatea faţă de direcţia curentului. La deversoare în arc de cerc: H k2 = 1 − n (11.94) p1 în care n are valorile din tabelul 11.9. Coeficienţi n pentru deversoare în arc de cerc Tabelul 11.9

()

Forma albiei

θ 0

15 0,71 0,83

Albie lată Albie îngustă

30 0,35 0,48

45 0,20 0,28

60 0,4 0,13

75 0,04 0,04

90 0,00 0,00

Criteriile hidraulice clasifică deversoarele după cum urmează:

+

înecat

_

h av

hn

H-const

av

neînecat

hav

hn

H-const

60. După felul racordării cu bieful aval există deversoare neînecate, când adâncimea nivelului din bieful aval nu are influenţă asupra curgerii şi deversoare înecate, când poziţia nivelului din aval influenţează debitul descărcat de deversor (fig. 11.42). Adâncimea de înecare hn este diferenţa între cota luciului apei din bieful aval şi cota crestei deversorului şi poate avea valori negative şi pozitive. De obicei pentru hn > 0 intervine influenţa nivelului aval asupra debitului descărcat, dar la anumite deversoare efectele de înecare pot apare şi la valori negative ale lui hav.

a

b

c

Q

Fig.11.42. Racordarea deversoarelor cu bieful aval a) neînecat, b) înecat, c)efectul adâncimii de înecare asupra debitului descărcat

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

58

Efectul înecării asupra debitului descărcat se introduce prin coeficientul de înecare: (11.95) σ = f (hn / H 0 )

70. După condiţiile de acces al lichidului la deversor se disting: 70.a. deversoare fără contracţie laterală, când frontul de acces are lăţimea frontului deversant (fig. 11.43.a) şi 70.b. deversoare cu contracţie laterală, când lăţimea albiei amonte este superioară frontului deversant şi aceasta poate fi divizat de pile (fig. 11.43.b).

Vo

B=b

a

Vo

B

b

b

Fig. 11.43.. Condiţiile de acces al apei la deversor.

Efectul condiţiilor de acces, a contracţiei laterale asupra debitului descărcat se introduce prin coeficientul de contracţie care depinde de forma culeilor, pilelor, avansului acestora, lungimea câmpului deversant fată de lăţimea albiei de acces. (11.96) ε = f (b, B, p1 , H , α )

80. Forma lamei deversante depinde de profilul crestei deversorului şi de aerisirea spaţiului dintre lama deversantă, paramentul aval şi pereţii laterali. Se consideră ca tip fundamental forma lamei de la un deversor cu muchie ascuţită, fără contracţie laterală, vertical cu creastă orizontală, frontal şi lama aerisită (sub lama deversantă presiunea este aceeaşi ca la suprafaţa sa). Existenţa pragului amonte p1 implică convergenţa liniilor de curent spre deschizătura deversorului; firele de curent care formează lama se dezlipesc la muchia amonte a crestei în punctul F şi pânza inferioară a lamei se ridică (datorită inerţiei) şi dă naştere la contracţia de fund (fig. 11.44).

Hidraulică vol. II

N K H

Hc

E 0,18H

p

B''

B' βγ

C'

C D

Vo

A'

A B

F

59

L

G H

1

Fig. 11.44. Forma lamei deversante perfecte

Proporţiile lamei deversante în raport cu sarcina H se menţin indiferent de grosimea lamei astfel DC = 0,112 H , C A = 0,668H , AE = 0,22 H , KN = 0,15 H , FL = 1,4 H , FD = 0,27 H , FG = 0,40 H , GL = 1,0 H , H c = 0,888 H Diagrama presiunilor în secţiunea AC urmăreşte curba AB’C, are presiuni relative nule în punctele A şi C, iar presiunea maximă p max / γ = 0,18H este în punctul B poziţionată prin B C ~ (0,3...0,4)C A . Curba A’B’’C’ este epura teoretică a vitezei (după Toricelli), iar curba reală A’C’ este concavă (datorită variaţiei presiunii în lamă). Forma lamelor deversante este explicată prin teoremele generale ale hidrodinamicii prin „principiul debitului maxim”, care se poate enunţa astfel: forma stabilă a fenomenelor hidraulice este aceea care, în condiţii externe date, corespunde condiţiilor de curgere cu debit maxim. În funcţie de posibilitatea pătrunderii aerului pe sub lama deversantă, aceasta poate lua următoarele forme (fig. 11.45): 80.a. Lamă deversantă liberă (sau aerată). În acest caz atât pânza superioară cât şi cea inferioară a lamei deversante sunt supuse presiunii atmosferice. Dacă spaţiul de sub lamă este mărginit de pereţii laterali lama aerată se poate menţine numai prin aport artificial de aer atmosferic din afară. Lama în mişcarea sa antrenează în aval aer de sub lamă, deci trebuie asigurat prin instalaţia de aerare debitul necesar de aer care depinde de dimensiunile şi caracteristicile deversorului.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

60

80.b. Lamă deversantă deprimată (sau neaerisită) se formează când aerarea spaţiului de sub lamă este împiedicată. Se formează la deversare fără contracţie laterală, când aerul de sub lama deversantă este antrenat parţial de către curent şi sub lamă se formează presiune vacuumetrică p < pa. Nivelul apei de sub pânză se va ridica la cotă superioară nivelului aval, iar diferenţa de presiune pe pânza superioară şi inferioară curbează mai puternic lama deversantă decât în cazul lamei aerate. Curbura mai pronunţată a lamei implică creşterea debitului descărcat faţă de lama deversantă aerată. Această formă de lamă deversantă ia naştere pentru H < 0,4 p1. 80.c. Lamă deversantă înecată dedesubt se formează în condiţiile asemănătoare ca şi lama deprimată însă în condiţiile H > 0,4 p1. În timp tot aerul de sub lamă este antrenat în aval şi spaţiul este ocupat de vârtejuri de lichid. Presiunea vacuumetrică de sub lamă este mai pronunţată şi curbarea sa la fel, ca şi debitul descărcat. Mişcarea vârtejurilor de sub lamă are şi un caracter pulsatoriu dând naştere la instabilitatea mişcării şi solicitarea suplimentară a construcţiei. În practica inginerească se evită lamele deversante deprimate şi înecate dedesubt prin utilizarea instalaţiilor de aerare sau modificarea paramentului aval al deversorului. 80.d. Lama deversantă aderentă sau lipită este cazul în care lama se lipeşte de paramentul aval. În cazul paramentului aval vertical sau înclinat înapoi această lamă ia naştere la sarcini mici, tensiunea superficială jucând rol important în lipire lamei de parament. De obicei se formează la sarcini sub 1 cm. La creşterea sarcinii lama se dezlipeşte, dând naştere la celelalte forme. La astfel de lamă coeficientul de debit (de formă) creşte datorită creşterii virtuale ale sarcinii pe seama presiunii vacuumetrice de sub lamă. În alte situaţii se creează chiar la sarcini mari lamă lipită prin modificarea paramentului aval al deversorului pentru evitarea presiunii vacuumetrice în spaţiul de sub lamă protejând astfel paramentul aval de solicitări suplimentare. H> =0,4p1

H 0,5 m, H > a şi b a > 0,1m rezultă m = 0,614. Fig. 11.49. Deversor proporţional

60. Condiţiile măsurătorilor de debit Atât la deversoare cu perete subţire cât şi la orificii şi ajutaje trebuiesc respectate anumite condiţii referitoare la prelucrarea dispozitivelor şi amplasarea lor în curent. Ele sunt stipulate în standarde şi normative şi se referă la: - verticalitatea şi netezimea peretelui amonte; - muchia amonte trebuie să fie unghi drept, bine prelucrat şi suficient de subţire ca jetul să nu atingă creasta după dezlipirea de muchie;

Hidraulică vol. II

65

- pereţii laterali şi fundul trebuie să permită contracţia perfectă şi laterală (unde este cazul), sau în cazul deversorului Bazin să fie eliminată contracţia laterală; - presiunea de sub lama de versanta să fie cea atmosferică; - canalul de apropiere să aibă secţiune uniformă pe distanţă suficientă pentru realizarea profilului de viteză „normal”; - suprafaţa liberă a apei unde se măsoară sarcina să fie lipsită de valuri şi unde; - trebuiesc cunoscute cu acurateţe dimensiunile dispozitivului de măsurare; - măsurarea sarcinii trebuie realizată cu acurateţe.

70. Măsurarea sarcinii hidraulice pe dispozitive de măsurare Sarcina pe dispozitive se măsoară cu manometre cu lichid de diferite tipuri sau cu ace de măsurare. La măsurătorile cu ace sarcina poate fi determinată în rezervoare de măsurare conectate la albie sau direct în canal. Rezervoarele reduc efectul valurilor care pot fi prezente în canale. Tubul de legătură între rezervor şi canal poate fi conectat de fundul sau de taluzul canalului (fig. 11.50). La măsurătorile de sarcină în rezervor trebuie verificată diferenţa de temperatură a fluidului din rezervor şi canal, şi în cazul existenţei acestei diferenţe la măsurători precise este obligatorie efectuarea corecţiilor de temperatură (referitoare la dilataţie). Rezervorul trebuie să aibă secţiune orizontală suficientă pentru eliminarea efectului tensiunii superficiale.

h

Fig. 11.50. Schema măsurării nivelului în albii deschise

Acul de măsurare trebuie să fie prevăzut cu riglă şi vernier respectiv deplasarea sa trebuie realizată cu şurub micrometric (fig. 11.51). Fig.11.51. Ac de măsurare cu riglă, vernier şi şurub micrometric

66

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

Acul de măsurare trebuie să fie bine ascuţit şi trebuie să fie îndoit, trebuie să străpungă nivelul din rezervorul de măsurare de jos în sus (pentru reducerea efectului tensiunii superficiale). În timpul măsurătorii trebuie asigurată verticalitatea riglei şi a acului de măsurare, iar cota „0” a crestei deversorului trebuie stabilită cu acurateţe (precizie de 0,1 mm). Sarcina trebuie măsurată la distanţă suficientă de paramentul amonte al deversorului unde nu se mai resimte curbura lamei deversante asupra nivelului, la (3…4)H în amonte.

80. Precizia măsurătorilor. Determinările debitelor cu deversoare reprezintă nişte măsurători indirecte, iar precizia acestor măsurători depinde de precizia măsurătorilor directe. Măsurătorile directe sunt afectate de erori sistematice şi erori întâmplătoare, rezultând şi măsurătorile indirecte cu anumite erori. La măsurători indirecte ale mărimii A = f(B1,B2,…,Bn), eroarea relativă rezultată este: n εA n εBi (11.114) δA = =∑ = ∑ δBi A Bi 1 1 unde δA este eroarea relativă de determinare a mărimii A; εA - eroarea absolută; εBi - eroarea absolută de măsurare a mărimii Bi măsurată direct, δBi - eroarea relativă de măsurare a mărimii determinante Bi. La deversorul cu deschiderea dreptunghiulară debitul se determină indirect după relaţia (11.91). Erorile relative referitoare la variabilele independente (m, b, H) vor fi: - pentru coeficientul de debit (11.115) δQ m = δm ; - pentru lungimea crestei δQb = δb , (11.116) iar pentru sarcină 3 dH 3 εH 3 (11.117) δQ H = = = δH 2 H 2 H 2

Hidraulică vol. II

67

Deversorul fiind executat şi montat pe poziţie, eroarea de măsurare a lungimii crestei devine eroare sistematică ca şi eroarea de determinare a coeficientului de debit. Eroarea relativă de măsurare a debitului cu un astfel de deversor devine: 3 (11.118) δQ = δ m + δb + δH 2 deci eroarea de măsurare a sarcinii se amplifică de 1,5 ori în eroarea de măsurare a debitului. Atingerea unui grad de precizie, impus prin toleranţă, cu grad de încredere P necesită un număr de repetiţii ale măsurătorilor directe şi care se determină din relaţia: 2

 t ( P)  (11.119) n≥ s  ε  în care t(P) este argumentul de probabilitate; ε - toleranţa măsurătorii, iar s eroarea standard (sau eroarea medie pătratică). Argumentul de probabilitate t(P) şi probabilitatea integrată sunt întabulate în tratate de calcul statistic. Dimensionarea unui deversor pentru măsurat debitul într-un anumit ecart (Qmin, Qmax) – ţine seama de precizia dorită, impusă prin toleranţa relativă δQ pentru Qmin în situaţia toleranţei absolute de măsurare a sarcinii εH (determinat de condiţiile de măsurare), rezultând: 3 εH Q şi b = (11.120) H≥ 2 2δQ m 2g H 3/ 2 În mod analog se poate pune problema şi la celelalte dispozitive de măsurare a debitului.

11.5.4. Deversoare cu profil gros În această categorie se încadrează deversoarele care satisfac condiţia: (11.121) 0,67 ≤ δ / H ≤ 2,5 H Ele au profil poligonal (dreptunghi, trapez, triunghi etc.). Calculul debitului la deversoarele cu profil gros cu deschidere dreptunghiulară utilizează relaţia: (11.122) Q = mb 2 g H 03 / 2

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

68

influenţa vitezei de acces fiind introdusă prin sarcina dinamică H0. Coeficientul de debit variază în limite destul de largi m ∈ (0,32...0,42 ) . Forma profilului corespunde fig. 11.52.

vo

H

vo

p1

H p1

δ a

H f

ro

δ c

b

H

θ

δ

H

δ

θ1 d

dh

θ2

hn

θ1 θ2 e

Fig. 11.52. Deversoare cu profil gros poligonal

Coeficientul de debit de formă se poate determina cu relaţiile: - pentru profil dreptunghiular ascuţit (fig. 11.52.a) (11.123) m0 = 0,32 + 0,05(2,5 − δ / H ) - pentru profil cu muchie rotunjită cu r0 = 0,2H (fig. 11.52.b) 2,5 − δ / H (11.124) m0 = 0,36 + 0,1 1 + 2δ / H Relaţiile sunt valabile pentru 0,67 ≤ δ / H ≤ 2,5 şi p1 / H ≥ 3 . Condiţia de acces pentru p1 / H < 3 afectează contracţia pe verticală fapt de care se poate ţine seama prin: (11.125) K v = 1 + 0,13H / p1 Pentru formele de profil din fig. 11.52.a,b,c, coeficientul de debit m0 este dat în tabelul 11.10. - la deversorul cu profil trapezoidal (fig. 11.52.d) coeficientul de formă depinde de înclinarea taluzului amonte şi aval. Când paramentul aval este vertical coeficienţii corespund (tab. 11.10), iar în situaţia înclinării paramentului aval (acesta favorizează o eventuală curgere în lama aderentă) sunt prezentaţi în (tab. 11.11).

Hidraulică vol. II

69

Coeficientul de debit m0 la deversoare cu profil gros fără contracţie laterală. Tabelul 11.10. m0

δ /H 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 2,0 4,0 8,0

∞

Pereţi verticali muchii vii 0,385 0,366 0,356 0,350 0,345 0,342 0,333 0,327 0,324 0,320

p1 / H 0,5…2 2…3

Parament amonte înclinat P1=f(ctgθ) 0,5 1,0 1,5 ≥ 2,5 0,385 0,372 0,365 0,361 0,357 0,355 0,349 0,345 0,343 0,340

0,385 0,377 0,373 0,370 0,368 0,367 0,363 0,361 0,360 0,358

0,385 0,380 0,377 0,376 0,375 0,374 0,371 0,370 0,369 0,368

0,385 0,382 0,381 0,380 0,379 0,378 0,377 0,376 0,376 0,375

Muchie amonte rotunjită sau teşită r0/H sau f/H r0/H 0,025 0,05 0,2 0,6 ≥1 0,385 0,372 0,365 0,361 0,357 0,355 0,349 0,345 0,343 0,340

0,385 0,374 0,368 0,364 0,361 0,359 0,354 0,350 0,348 0,346

0,385 0,377 0,374 0,370 0,368 0,366 0,363 0,360 0,359 0,357

0,385 0,380 0,377 0,376 0,375 0,374 0,371 0,369 0,369 0,368

0,385 0,382 0,381 0,380 0,379 0,378 0,377 0,376 0,376 0,375

Coeficientul de debit m0 la deversoare cu perete gros cu înclinarea paramentului aval Tabelul 11.11 δ /H ctgθ 2 3 5 10 1 2

0,5 0,42 0,38 0,36 0,46 0,42

0,7 0,40 0,37 0,36 0,42 0,40

1,0 0,36 0,35 0,35 0,37 0,36

2,0 0,34 0,34 0,34 0,33 0,33

Contracţia laterală la aceste deversoare se introduce prin coeficientul de contracţie ε , sub forma : H (11.126) ε = 1 − 0,1 0 ∑ ξ b în care b este lungimea crestei deversante; H0 – sarcina totală; ξ - un coeficient care depinde de forma marginii obstacolului (fig. 11.53). În multe cazuri lungimea crestei deversorului este inferioară lăţimii canalului b < B şi este fragmentat de pile şi este mărginit de culei. ∑ ξ se referă la toate marginile care produc contracţie.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

70

=1,0 1

=0,7 2

=0,7 2

=0,4 3

Fig. 11.53. Forma obstacolelor care produc contracţie şi valorile coeficienţilor ξ

Când pilele avansează faţă de paramentul amonte fig. 11.54 coeficienţii ξ se reduc conform (tab. 11.12). Reducerea coeficienţilor ξ cu avansul pilelor Tabelul 11.12 Poziţia pilei

Dreptunghiulară

Forma pilelor Circular triunghiular

Ogival

a=0

ξ1

ξ2

ξ3

a=0,5H

1 ξ1 2 1 ξ1 4

2 ξ2 3 1 ξ2 3

3 ξ3 5 2 ξ3 5

a=H

a

Fig. 11.54. Avansul pilei a

bi

Înecarea acestor deversoare se poate introduce în calcule prin relaţia  h  (11.102) sau prin valorile coeficientului de înecare σ  n  întabulate în H0  îndrumare de calcule hidraulice.

Hidraulică vol. II

71

- la deversorul cu profil triunghiular, de tip Keutner ( ctgθ 1 = ctgθ 2 = 1,25 ) utilizat frecvent la descărcător de suprafaţă lateral la acumulări cu baraje de pământ, debitul se determină cu relaţia: Q = m0 bh 2 g (H 0 − h ) , (11.127) lama deversantă fiind influenţată de paramentul aval. Se disting patru forme de curgere peste acest deversor, astfel: - curgere liberă, cu: hn < 0; dh < 0; m0 = 1, 258; h = 0, 73H 5 H / p1 ; - curgere înecată la limită, cu: hn > 0; dh < 0; m0 = 1, 251; h = 0, 7 H 10 H / p1 ; - curgere înecată cu: 1,174 <

H H < 1.29; dh > 0; m0 = 0, 965 ; h = 0, 745H 10 H / p1 hn hn

H ≥ 1, 29; dh > 0; m0 = 1, 240; h = 0, 745 H 10 H / p1 hn

- curgere înecată ondulatorie, cu: H H hn > 0; < 1,174; m0 = 0,965 ; h = 0,84 H 10 H / p1 . hn hn

11.5.5. Deversoare cu profil curb Deversoarele din această categorie au profilul curb sau conţin elemente de curbă. Se utilizează la realizarea părţii deversante a barajelor în scopul evitării, limitării presiunilor vacuumetrice pe paramentul aval sau dezlipirea lamei deversante. Există profile cu şi fără vacuum.

10. Deversoare cu profil curb fără vacuum sunt astfel concepute ca pe paramentul aval să nu apară vacuum. Paramentul aval este realizat astfel ca lama deversantă să se sprijine pe acesta. În cazul fluidului eulerian profilul care realizează această condiţie reproduce pânza inferioară a lamei deversante de la un deversor cu muchie ascuţită cu deschidere dreptunghiulară, fără contracţie laterală, cu lamă aerată, verticală sau înclinată în funcţie de paramentul amonte al barajului. Profilul de deversor astfel realizat – numit profil Bazin – nu îndeplineşte condiţiile datorită naturii reale ale lichidului.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

72

Poziţia pânzei inferioare se poate trasa utilizând teoria mişcărilor potenţiale (se trasează spectrul mişcării pentru fluid eulerian) cu ajutorul căreia rezultă vitezele, debitul şi presiunea pe parament. Un astfel de deversor realizează această condiţie numai pentru sarcina HC = 0,888H, H fiind sarcina pe deversorul cu muchie ascuţită. Din aceste considerente se corectează curbura teoretică a deversorului astfel ca aceasta intră puţin în lama deversantă. Orice dezlipire, presiune vacumetrică sau suprapresiune afectează turbulenţa, poate conduce la cavitaţie şi reduce coeficientul de debit. Profile care „intră” puţin în lama deversantă şi realizează suprapresiuni mici pe paramentul aval, au fost studiate de: de Marchi, Creager, Ofiterov, Smetana, WES (Waterway Experiment Station, Vicksburg). În continuare sunt prezentate profile de deversor Creager şi WES. H0 H

Hc

x

0

H0 H

x

0 45 a y

Tip A

Tip B

y

Fig. 11.55. Deversorul curb fără vacuum Creager

Debitul la aceste deversoare se calculează cu relaţia (11.122), sarcina sub care are loc curgerea fiind definită faţă de punctul cel mai înalt al profilului (fig. 11.55).

10.a. Deversorul cu profil curb Creager Profilul Creager se poate realiza cu paramentul amonte vertical (eventual retras din condiţii de economicitate) de tip A şi cu parament amonte înclinat la 450 (tip B) pentru condiţii de stabilitate sau de evacuare a gheţurilor. Curbura profilului se găseşte în tabele (tab. 11.13) pentru sarcina de calcul H = 1 m.

Hidraulică vol. II

73

Coordonatele profilelor de deversor Creager pentru H = 1 m Tabelul 11.13 Tip A

x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0

y 0,126 0,036 0.007 0,000 0,007 0,060 0,142 0,257

Tip B

x 1,2 1,4 1,7 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

y 0,397 0,565 0,870 1,22 1,96 2,82 3,82 4,93

x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0

y 0,043 0,010 0,000 0,005 0,023 0,090 0,189 0,321

x 1,2 1,4 1,7 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

y 0,480 0,665 0,992 1,377 2,14 3,06 4,08 5,24

Coordonatele profilelor pentru H ≠ 1 se obţin prin înmulţirea valorilor din tabelul 11.13, cu sarcina de calcul H. {x = xH =1H (11.128) {y = yH =1H Coeficientul de debit pentru sarcina de calcul H = Hmax, este m0 = 0,49 pentru tipul A şi m0 = 0,48 pentru tipul B. În cazul funcţionării deversoarelor la sarcini inferioare celei de calcul coeficienţii de debit sunt: - pentru profilul A  H   , când H / H max ≤ 0,8 m0 = 0,49 0,785 + 0,215 H max   şi (11.129) m0 = 0,49 0,88 + 0,12 H / H max , când H / H max > 0,8

(

)

- pentru profilul B m0 = 0,48(0,85 + 0,310 H / H max ) , când H / H max = 0,1...0,5 şi (11.130) 1 / 20 m0 = 0,48(H / H max ) , când H / H max > 0,5 . Pentru sarcini H superioare celei de calcul sub lamă presiunea devine vacuumetrică şi conduce la creşterea coeficientului de debit. Experienţele lui Creager arată că la debite deversate cu peste 10 % superioare debitului la sarcina de calcul produc vibraţii periculoase şi poate să apară cavitaţia pe parament.

74

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

10.b. Deversorul cu profil WES Profilele curbe ale deversoarelor WES se compun din mai multe segmente de curbă însă curba principală are ecuaţia: (11.131) X n = RH cn −1 y celelalte fiind segmente de cerc. Paramentul amonte poate fi vertical (chiar şi retras) sau înclinat cu m = 1/1; 1/3; 2/3. Parametrii m0, R şi n şi elementele arcelor de cerc al profilelor sunt indicate în fig. 11.56. Corecţiile pentru contracţie şi înecare corespund celor descrise la deversoare cu profil gros poligonale (11.5.4.). 20. Deversoare cu profil curb cu vacuum Aceste deversoare sunt profilate după curbe mai simple, arc de cerc sau elipsă (fig. 11.57). H

C

B

R

H

b

0 R

p1

55...60 a

D

a

2b

A b

c

Fig. 11.57. Deversoare cu profil curb cu vacuum

Pe creasta şi paramentul aval al deversorului la contactul cu lama deversantă se formează presiune vacuumetrică. În practică valoarea presiunii vacuumetrice se limitează la 5...6 mCA pentru evitarea dezlipirii lamei deversante şi apariţiei cavitaţiei, care, la rândul său produce vibraţii, afectează materialul paramentului şi stabilitatea construcţiei. Coeficientul de debit la deversoarele profilate după arc de cerc se poate calcula cu relaţia: 2 2 m = 0,312 + 0,3 − 0,01(5 − H / R ) + 0,09 H / p1  (11.132)  3  Pentru deversoarele profilate după arc de elipsă coeficientul de debit m depinde de H/a şi b/a, variind în limite largi m = 0,487...0,577. Pentru b/a = 2...3, m = 0,552...0,554. Presiunea vacuumetrică pe parament are următoarele valori: - pentru profilare după arc de cerc hvac = (1,39...1,58)H0; - pentru profilare după arc de elipsă cu: - b/a = 2; hvac = (1,27...1,55)H0; - b/a=3; hvac = (1,34...1,63)H0. Înecarea acestor deversoare începe la hn/H = 0,15, iar coeficienţii de corecţie σ = f (hn / H ) sunt întabulaţi în îndrumătoare.

Hidraulică vol. II

2 vo /2g

HoHc

2 vo /2g

n=1,85 R=2,00 mo=0,502 0,282Hc 0,175Hc

75

Ho Hc

n=1,81 R=1,939 mo=0,497 0,214Hc 0,115Hc

x

x

Rc=0,22Hc

Rc=0,2Hc

Rc=0,48Hc 3

Rc=0,5Hc m= 2/

y a

y b

Retragere

2 vo /2g

Ho Hc

2 vo /2g

n=1,836 R=1,936 mo=0,500 0,237Hc 0,139Hc

n=1,776 R=1,873 mo=0,495

Ho Hc 0,119Hc

x

x

m= 1/ 1

Rc=0,21Hc m= 1/ 3

Rc=0,68Hc y c

Rc=0,45Hc y d

Fig. 11.56. Deversoare WES a). parament amonte vertical sau retras; b). parament amonte înclinat 2/3; c). parament amonte înclinat 1/3; d). parament amonte înclinat 1/1; e). corecţia coeficientului de debit funcţie de înclinarea paramentului şi sarcină; f). corecţia coeficientului de debit funcţie de sarcină şi înălţimea pragului.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

76

11.5.6. Deversorul cu prag lat Deversoarele cu prag lat se caracterizează prin 2,5 < δ / H < 8...12 cu limita superioară valabilă muchiilor vii, iar limita inferioară muchiilor rotunjite. La intrarea pe deversor lama prezintă o strangulare pronunţată, se formează adâncimea contractată pe deversor, inferioară celei critice, h < hcr după care urmează o mişcare gradual variată în starea rapidă a curentului. Neuniformitatea la intrare este mai pronunţată la muchii vii din cauza dezlipirii. Dacă δ / H > 12 spre capătul aval, la aproximativ 3hcr amonte de muchia de ieşire, se formează hcr, iar în amonte curgere în stare lentă, racordată prin salt ondulat cu starea rapidă de la intrare. Când grosimea crestei δ este şi mai mare, zona de intrare este înecată şi pe creastă mişcarea este lentă fiind comandată de secţiunea de ieşire; deversorul se comportă ca un canal scurt. Pentru funcţionarea ca deversor curgerea este comandată din amonte, adâncimea pe prag h nu se modifică prin modificarea grosimei crestei. 0 1

H0 H

h cr

h

p1

1 0

δ1

δ2

δ3 δ4

Fig. 11.58. Forma suprafeţei libere pe deversorul cu prag lat în funcţie de

δ

Calculul debitului deversorului cu prag lat se poate efectua cu relaţia (11.122), în care m0 depinde de condiţiile de intrare (forma muchiei) şi de înălţimea pragului amonte p1. Berezinski recomandă următoarele relaţii de calcul pentru m0: 3 − p1 / H - muchii vii şi p1/H < 3: m0 = 0,32 + 0,01 0,46 + 0,75 p1 / H şi (11.133) m0 = 0,32 pentru p1 / H ≥ 3 ; - muchii rotunjite cu r = 0,2 H, pentru p1 / H < 3 :

Hidraulică vol. II

m0 = 0,36 + 0,01

77

3 − p1 / H 1,2 + 1,5 p1 / H

şi

(11.134)

m0 = 0,36, pentru p1 / H ≥ 3 . Particularitatea curgerii pe prag lat, cu comanda curgerii din amonte, permite stabilirea directă a debitului sub formele: Q = bhϕ 2 g (H 0 − h ) sau

Q = φ k 1 − kb 2 gH 03/ 2

(11.135)

cu k = h/H0. Relaţia (11.135), cu notaţia m 0 = ϕk 1 − k (11.136) capătă forma (11.122). Valorile coeficienţilor m0, k, φ corespund (tab. 11.14).

m0 φ k

Coeficienţii m0, k, φ pentru deversorul cu prag lat Tabelul 11.14 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,385 0,951 0,954 0,961 0,967 0,974 0,983 0,994 1,000 0,457 0,477 0,500 0,527 0,558 0,596 0,641 0,667

Contracţia laterală, după Berezinski este: a 4 (11.137) ε = 1− b / B (1 − b / B ) 3 0,2 + p / H 1 în care a = 0,19 pentru muchii de intrare vii şi a = 0,10 pentru muchii de intrare rotunjite. Pentru b/B < 0,2 şi p1/H > 3 coeficientul ε se calculează cu b/B = 0,2 şi p1/H = 3. Pentru hn/H0 = 0,78...0,83 deversorul se îneacă şi este necesară utilizarea coeficientului de corecţie σ(hn/H0) (tab. 11.15). Coeficientul de înecare σ(hn/H0) la deversorul cu prag lat Tabelul 11.15 hn/H0 σ hn/H0 σ

0,80 1,00 0,90 0,84

0,81 0,955 0,91 0,82

0,82 0,99 0,92 0,78

0,83 0,98 0,93 0,74

0,84 0,97 0,94 0,70

0,85 0,96 0,95 0,65

0,86 0,95 0,96 0,59

0,87 0,93 0,97 0,50

0,88 0,90 0,98 0,40

0,89 0,87

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

78

11.5.7. Alte tipuri de deversoare Practica hidrotehnică utilizează şi alte tipuri de deversoare ca funcţional, poziţie, rol sau construcţie. Astfel sunt deversoarele laterale, pâlnie sau deversoarele sifon.

10. Deversoare laterale Se utilizează ca deversor de captare sau evacuator de protecţie. Are dispoziţia obişnuită laterală (fig. 11.59), lăsând curgerea liberă pe albia principală. Când nivelul apei din albia principală depăşeşte cota crestei deversorului o parte a debitului se evacuează peste deversorul lateral. Qam = Qav+Qd (11.138) 1 b1

z h

Qam

p

I

z1 h01

2

l a1 Qd

α

I

p1

z2 h02 Qav

Qav 2 Qd

Fig. 11.59. Deversor lateral

1 Qam

Creasta deversorului poate fi paralelă cu fundul albiei principale sau diferit (ex. construit pentru a menţine sarcină constantă pe lungimea crestei). Când fundul albiei principale şi creasta sunt paralele lama deversantă şi nivelul din albia principală au variaţii substanţiale determinate de starea curentului din albie din amonte şi aval de deversor. Cel mai des întâlnit caz este când starea mişcării pe canal este lentă, atât amonte cât şi aval de deversor, în această situaţie secţiunea de comandă este cea din aval (2), cota de comandă z2 corespunde lui Qav. Pe canal în amonte mişcarea este gradual variată după o curbă coborâtoare b1, în secţiunea (1) realizându-se o adâncime h01 > hcr. Nivelul din canal în lungul deversorului este crescător după o curbă de supraînălţare a1.

Hidraulică vol. II

79

Debitul descărcat de deversor se poate calcula cu relaţia: Qd = σ l m0 l 2 g Z 23 / 2

(11.139)

în care

σ l = (Z 2 / l )1 / 6

(11.140) şi ţine seama de variaţia sarcinii în lungul crestei. Coeficientul de formă m0 se determină după criteriile prezentate pentru deversoare. Dacă deversorul este aşezat oblic faţă de axa curentului din canalul 1 1 1 / 10 atunci σ l = (Z 2 / l ) . principal cu tgθ = ... 3 40

Q

am

Q

Qav d

Fig. 11.60. Deversor lateral oblic

l

θ

Dacă starea curentului în canal este rapidă atât în amonte cât şi în aval, adâncimea scade în lungul crestei (fig. 11.61). Secţiunea de comandă este în amonte (1). 1

h h 02 cr

h ~h 1 cr 1

2

h h 02 cr 1

2

20. Deversorul pâlnie Deversoarele pâlnie au forma în plan circulară, arc de cerc sau alte forme; în majoritatea cazurilor secţiunea transversală este modelată după forma deversoarelor cu profil curb fără vacuum (fig. 11.63). Se folosesc în special ca evacuatoare de ape mari. R 0

D x

H

H

R

p1 y

b a

b

Fig. 11.63. Deversor pâlnie. a). secţiune; b). vedere în plan

Deversorul pâlnie poate avea diferite regimuri de funcţionare, determinate de raportul H/R, astfel (fig. 11.63’). - la H/R < 0,46 deversor neînecat; - H/R = 0,46...0,8 deversor autoînecat;

Hidraulică vol. II

- H/R = 0,8...1,0 a suprafeţei libere; - H/R = 1,0...1,6 - H/R > 1,6

81

deversor autoînecat cu dispariţia formei de pâlnie aspect de curgere orificiu-ajutaj interior; aspect de curgere ajutaj interior.

2 V0 /2g

H0

H

x

0,5

-1

1

1,5 2 2,5 0,6 0,5

3,5 0,8 x/H0 priza 0,4 superioara

-0,5 0

3

0,5 1

0,3 2

1,5 y

2

R=oo

1,0

H/R=0

2,5 3 3,5 4

0,2

0,8 0,6 y/H0

0,2

0,5 0,4

0,3

priza inferioara

Fig. 11.63’. Forma lamei deversante la un deversor circular cu muchie ascuţită

La proiectarea acestor deversoare este recomandabilă funcţionarea lor neînecată, deci R > 2,2H şi profilul crestei să fie modelat după pânza inferioară a lamei deversante. Pentru situaţii H < Hcalc deversorul funcţionează neînecat, iar pentru H > Hcalc apar fenomenele de înecare menţionate. Coeficientul de debit de formă m0, pentru limitele H/R = 0,2...0,38 şi p1/R = 0...1, se poate calcula cu relaţia: 2/3 m0 = 0,49 − 0,068 H / R − 0,03 1 − ( p1 / R ) (11.141) iar debitul: (11.142) Q = m0 ε (2πR − nb ) 2 g H 3 / 2 unde n este numărul pilelor de grosime b. Coeficientul de contracţie se calculează asemănător celor prezentate la 11.5.4.

[

]

82

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

30. Deversorul sifon Deversorul sifon se foloseşte ca descărcător de protecţie fiind o construcţie formată dintr-un deversor cu profil curb, acoperit cu o capotă cu orificiu şi o mască, respectiv pereţi laterali (fig. 11.64). Paramentul aval al deversorului este prevăzut cu un „nas”. Descărcarea are loc într-o chiuvetă, adâncitură a canalului de derivaţie. Funcţionează ca un deversor lateral.

a H

nas

Dh h

H*

Fig. 11.64. Deversorul sifon

Când nivelul din canalul principal atinge cota crestei deversorului construcţia intră în funcţiune ca deversor. „Nasul” aruncă lama deversantă spre capotă, antrenând aerul în aval. Apa din bazinul aval împiedică intrarea aerului din aval. Când nivelul din canalul principal ajunge la nivelul măştii accesul aerului din amonte este oprit şi după un anumit timp, cât tot aerul din spaţiul dintre parament şi capotă este evacuat în aval (sifon amorsat) funcţionarea este ca al unui deversor cu sarcină în creştere - se realizează presiune vacuumetrică pe paramentul aval. După evacuarea aerului construcţia are o funcţionare de sifon sub sarcină H*. În prima fază debitul tranzitat este al unui deversor cu profil curb cu coeficient de debit m0, lucrând sub sarcina H şi lungimea crestei b. În faza a treia - de sifon - debitul tranzitat este al unei conducte în sifon secţiunea A = ab sub sarcina H* şi coeficientul de debit µ. Debitul evacuat în faza a treia este mult superior primei faze în special pe seama creşterii sarcinii. În faza intermediară debitul tranzitat este între debitele celorlalte forme de funcţionare.

Hidraulică vol. II

83

40. Module cu mască Modulele sunt dispozitive statice pentru regularea - limitarea la valori prestabilite a debitelor derivate. Există două tipuri de astfel de dispozitive: - cu o mască (deversor - orificiu); - cu două măşti (deversor - orificiu cu contrajet)

40.a. Modul cu o mască Este un dispozitiv rezultat dintr-un deversor cu profil triunghiular cu creastă rotunjită şi o mască plasată deasupra, în coordonate, formând unghi de 135o faţă de direcţia curgerii care realizează un orificiu mare peste deversor. Paramentul amonte al deversorului face unghi de 55o faţă de orizontală, iar paramentul aval unghiul de 15o (fig. 11.65). Funcţionează ca un deversor - orificiu lateral. Amonte Vana

Aval

H Hmax Hmin

∆H Salt Masca

3/2

q= α H

Fig. 11.65. Modul cu o mască

135

1/2

q= β H

Q Q Q min max Qn

Prag

a 15

55

În intervalul H = 0...a dispozitivul funcţionează ca deversor după caracteristica: (11.143) Q = αH 3 / 2 iar pentru H > a funcţionează ca orificiu mare după caracteristica: (11.144) Q = βH 1 / 2 Unghiul θ = 135 0 a măstii influenţează puternic coeficientul de contracţie care reduce debitul şi favorizează îndepărtarea saltului aval de dispozitiv. Dispozitivul menţine debitul în intervalul Qmin...Qmax, la Qnorm ± εQ domeniul ∆H = H max − H min .

84

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

Există dispozitive standardizate X1, XX1, XXX1, L1 şi C1, plasate în module, fiecare deschidere fiind protejată de vană plană cu poziţie fixă închis sau deschis (fig. 11.66).

Fig. 11.66. Schema de montare a modulelor cu mască

40.b. Modul cu două măşti Este un dispozitiv asemănător modulelor cu o mască având însă două măşti plasate deasupra deversorului. A doua mască este plasată mai sus faţă de deversor ca prima şi are înălţime limitată (fig. 11.66). Funcţionalul poate fi descris în funcţie de creşterea sarcinii faţă de cota pragului deversorului, astfel: - H = 0...a1 funcţionare ca deversor; - H = a1...a2 funcţionează ca orificiu cu prima mască în operare; - H = a2...H2 funcţionează ca orificiu cu a doua mască în operare (prima mască nu mai atinge apa); - H > H2 între cele două măşti se deversează apa, realizând un contracurent (jet) faţă de curentul principal derivat şi care devine mai important cu creşterea sarcinii. Măştile şi contracurentul reduc coeficientul de debit al orificiului în funcţiune menţinând debitul între Qmax-Qmin, la Qnorm ± εQ pentru o variaţie a sarcinii ∆H = H max − H min mai mare ca la modulul cu o mască.

Hidraulică vol. II

85

Nivel nominal H

contra curent

orificiu H1 deversor Q n - Q Qn Q n + Q

a2

a1

Q

Fig. 11.67. Modul cu două măşti

Există dispozitive standardizate X2, XX2, L2 şi C2.

11.6. APLICAŢII 10. Cele trei compartimente ale unui rezervor comunică prin două orificii mici în pereţii de despărţire verticali şi cu exteriorul un orificiu mic în perete subţire, vertical (fig. 11.68). Caracteristicile orificiilor sunt: diametrele D1 = 40 mm, D2 = 50 mm şi D3 = 55 mm şi au coeficienţii de debit µ1 = 0,600; µ 2 = 0,605 şi µ 3 = 0,62 . Primul compartiment este alimentat cu debitul curs. Să se determine debitul orificiilor şi denivelarea în rezervoare dacă sarcina totală este H = 3,80 m.

z1 1

µ1 D1

H

z2 2

µ2 3 D2

z3 µ3

D3

Fig. 11.68. Schema de calcul

Rezolvare. Conform ecuaţiei (11.9), cu p1 = p2 = 0 şi v0 = 0, se obţin sarcinile sub care are loc curgerea prin fiecare orificiu: Q2 Q2 Q2 Z1 = 2 2 ; Z 2 = 2 2 ; Z3 = 2 2 ; µ1 A1 2 g µ 2 A2 2 g µ3 A3 2 g

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

86

Însumând sarcinile se obţine: H = Z1 + Z 2 + Z 3 =

  

2 gH , 1 1 1 + + µ1 A12 µ 2 A22 µ 3 A32

sau Q =

cu Ai =

Q2  1 1 1  2 2 + 2 2 + 2 2 2 g  µ1 A1 µ 2 A2 µ 3 A3

πDi2 4

rezultă:

Q=

gH 8  1 1 1  2 4 + 2 4 + 2 4 2  π  µ1 D1 µ 2 D2 µ 3 D3

  

=

9,81 × 3,8 8  1 1 1 + +  2  2 4 2 4 2 π  0,600 × 0,04 0,605 × 0,050 0,62 × 0,055 4 sau Q = 5,046 x 10-3 m3/s = 5,046 l/s. Sarcinile Z1, Z2, şi Z3 rezultă din primele ecuaţii, astfel: =

(5,046 × 10 ) × 4 −3 2

Z1 =

0,60 2 × π 2 × 0,044 × 2 × 9,81

(5,046 × 10 ) × 4

Z3 =

= 2,28 m

2

0,6052 × π 2 × 0,054 × 2 × 9,81

(5,046 × 10 ) × 4 −3 2

  

2

−3 2

Z2 =

,

= 0,92 m

2

= 0,60 m 0,622 × π 2 × 0,0554 × 2 × 9,81 Confirmate prin H = Z1 + Z2 + Z3 = 2,28 + 0,92 + 0,60 = 3,80 m.

20. În peretele vertical al unui rezervor se practică două orificii mici. Adâncimea lichidului în rezervor este h. Să se determine astfel poziţia orificiilor pe aceeaşi verticală a peretelui ca jeturile rezultate să bată în acelaşi punct în planul orizontal al fundului rezervorului (fig. 11.69), când ϕ A = ϕ B = ϕ .

Hidraulică vol. II

h1

h

A

B

h2

87

x

Fig.11.69. Schemă de calcul

x

C y

Rezolvare. Axele de coordonate sunt trasate în secţiunea contractată; componentele vitezelor în jeturi fiind: - pentru orificiul A: vx = ϕ A 2gH1 şi v y = gt . - pentru orificiul B: vx = ϕ B 2 g (h − h2 ) şi v y = gt . Coordonatele particulelor la un moment dat în coordonatele considerate cu ϕ A = ϕ B = ϕ sunt: - pentru orificiul A, x x , x = vxt sau t = = vx ϕ 2 gh t

t

1 2 1 x2 sau . y = ∫ v y dt = ∫ gtdt = gt y= 2 2 4 ϕ h 0 0 1 - pentru orificiul B, x x x = vx ⋅ t sau t = = vx ϕ 2 g (h − h2 ) 1 2 y2 . gt = 2 2 4ϕ (h − h2 ) Planul orizontal al fundului rezervorului are coordonatele: - pentru orificiul A x2 y = h − h1 = 2 . 4ϕ h1 - pentru orificiul B x2 y = h2 = 2 . 4ϕ (h − h2 ) y=

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

88

În condiţia aceleiaşi abscise x rezultă: h1 (h - h1) = h2 (h - h2) sau h22 − h × h2 + h × h1 − h12 = 0 , cu soluţia h h2 h h  ± − h × h1 + h12 = ±  − h1  2 4 2 2  Soluţia h2 = h1, deci orificiile egal distanţate de la suprafaţă şi fund. h2 =

30. Debitul evacuat de un dren cu Q = 0,2...1 l/s se măsoară cu un ajutaj cilindric având coeficientul de debit µ = 0,80. Debitul trebuie măsurat cu o eroare relativă δQ = 5 0/00 când sarcina se poate măsura cu eroarea absolută εH = 1 mm. Să se dimensioneze ajutajul (fig. 11.70). lim nigraf dren

Fig. 11.70. Schemă de calcul. rezervor

H

d ajutaj

Rezolvare. Debitul se măsoară indirect cu ajutajul, mărimea direct măsurată fiind sarcina H. Relaţia de transformare este (11.45) în care coeficientul de debit este µ = 0,8. Eroarea relativă a măsurătorilor indirecte este: 1 dH 1 εH εQ dQ d µA 2 gH = = = = δQ = Q Q 2 H 2 H µA 2 gH

(

)

sau 1 εH 1 0,001 = = 0,1 m 2 δQ 2 0,005 care corespunde debitului minim, rezultând: 4Qmin 4 × 0,0002 d= = = 0,015 m = 15 mm. πµ 2 gh π × 0,8 × 2 × 9,81 × 0,1 H=

Hidraulică vol. II

89

La debitul maxim sarcina va fi: 2 2Qmax 2 × 0,0012 H max = 2 2 4 = = 0,638 m. µ π d g 0,82 π 2 × 0,0154 × 9,81 Sarcina fiind măsurată cu aceeaşi eroare precizia de măsurare a debitului creşte cu creşterea debitului.

40. Barajul unui lac de acumulare are golirea la fund formată dintr-o conductă cu D = 2,0 m şi coeficient de debit µ = 0,7. Cota geodezică a apei la nivel normal de exploatare este de 128 m, iar axul golirii de fund de 121 m. Debitul afluient din amonte este de Q0 = 5,5 m3/s. Curba suprafeţei lacului de acumulare pentru cotele caracteristice corespunde graficului din schema de calcul. Să se determine timpul de golire a lacului de la cota 128 m la cota 124 m.

Q0

8 A A A 128m

∆H

h(m)

6 4

H3 H2 H1 121m

Q

2 0

1

2

3

A(h) 106 m2 4 5 6

Fig. 11.71. Schema de calcul

Rezolvare. Într-un interval de timp dt în lac soseşte volumul Q0 dt şi se evacuează prin golirea de fund Qdt = µAg 2 gH dt , diferenţa lor fiind egală cu variaţia volumului apei din lac, respectiv: Q0 dt = µAg 2 gH dt = AdH de unde timpul de golire de la cota H1 la H2, rezultă: H1 H1 AdH 1 AdH t= ∫ = ∫ µAg g H 2 2 H − Q0 H 2 µAg 2 gH − Q0 µAg g Scriind ecuaţia în diferenţe finite, se obţine: H1 ( Ai + Ai −1 )(H i − H i −1 ) 1 t = ∑ ti = ∑ µAg g H 2 H i + H i −1 − K

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

90 unde

Q0 πD 2 K= şi Ag = . 4 µAg g Se lucrează pentru pasul de sarcină ∆H = Hi - Hi-1 = 1 m, rezultând: 5,5 π × 2,02 = 0,7985 m 0,5/s , Ag = = 3,14 m 2 ; K = 4 0,7 × 3,14 9,81 1 1 = = 0,145 s/m 2,5 µAg g 0,7 × 3,14 9,81 Caracteristicile lacului, suprafaţa orizontală şi sarcina pe golire în funcţie de cote conform graficului din fig. 11.71.sunt: Cota [m] Hi [m] 10-6Ai [m2] 128 127 126 125 124

7 6 5 4 3

4,7 4,1 3,0 1,7 0,9

Timpul de evacuare va fi:  (4,7 − 4,1)10 61 ( ( ( 4,1 − 3,0)10 61 3,0 − 1,7 )10 61 1,7 − 0,9)10 61  t = 0,145 + + +  6 + 5 − 0,7985 5 + 4 − 0,7985 4 + 3 − 0,7985   7 + 6 − 0,7985

t = 242 × 754 s = 2zile 19ore 25min 54sec. .

50. Debitul în intervalul Q = 0,2...0,5 m3/s se va măsura cu eroarea relativă admisă de δQ = 0,5% cu un deversor cu profil subţire fără contracţie laterală şi lamă deversantă aerată. Eroarea maximă de măsurare a sarcinii este εH = 1mm. Să se calculeze elementele deversorului. Rezolvare. Deversorul de măsurare este perfect, tipul Bazin, relaţia de calcul a debitului fiind (11.91). Se acceptă la dimensionare coeficientul de debit de formă m0 = 0,405. Fiind cazul măsurătorilor indirecte, variabila H, conform (11.117) rezultă sarcina la debitul minim: 3 εH 3 εH 3 0,001 sau H min = δQ = = = 0,3 m 2 H 2 δQ 2 0,005

Hidraulică vol. II

91

Lungimea crestei şi lăţimea canalului pe care se montează deversorul este: Qmin 0,2 b= = = 0,678 m . 3/ 2 m0 2 g H min 0,405 2 × 9,81 × 0,33 / 2 Rotunjind lăţimea de fund la b = 0,7 m, rezultă: H min

 Qmin  =   m0b 2 g 

2/3

  0,2 =   0,405 × 0,7 2 × 9,81 

2/3

= 0,294 m

şi

H max

 Qmax  =   m0b 2 g 

2/3

  0,5 =   0,405 × 0,7 2 × 9,81 

2/3

= 0,541 m

60. Un deversor cu profil WES, cu m0 = 0,502, trebuie să tranziteze debitul de calcul Q = 300 m3/s. Construcţia prezintă două câmpuri deversante, cu b = 14 m fiecare, având forma culei dreptunghiulară, iar pila este ogivală. Pragul deversorului în amonte p1 = 7m. Să se determine grosimea lamei deversante şi să se traseze profilul paramentului deversant pentru sarcina de calcul. Rezolvare. Într-o primă aproximare se neglijează efectul contracţiei, rezultând sarcina totală: 2/3

2/3

  Q   300 H0 =   ; H0 =   = 2,85 m  m0 ∑ b 2 g   0,502(2 × 14 ) 2 × 9,81  Sarcina pe deversor în prima aproximare este: α 0V02 H ′ = H0 − 2g Q 300 care cu H~H0 este V0 = cu V0 = = 1,09 m/s ( p1 + H )∑ b (7 + 2,85)(2 × 14)

α 0V02

1,1 × 1,092 rezultând H ′ = H 0 − = 2,85 − = 2,78 m 2g 2 × 9,81 Cu H’ se calculează coeficientul de contracţie, pentru culee: ξc = 1, iar pentru pilă ξc = 0,4. H 2,78 ε = 1 − 0,1∑ ξ = 1 − 0,1(2 × 1 + 2 × 0,4 ) = 0,976 . b 2 × 14 ∑

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

92

Se recalculează sarcina totală: 2/3

2/3

  Q   300 H0 =   =  = 2,90 m  m0ε ∑ b 2 g   0,502 × 0,976(2 × 14 ) 2 × 9,81  şi sarcina H 300 1,1 × 1,082 V0 = = 1,08 m/s şi H ′′ = 2,90 − = 2,83 m . (2 × 14)(7 + 2,90) 2 × 9,81 Cu aceste valori se reiau iteraţiile rezultând: ε = 0,976; H 0′′′ = 2,90 m; şi H = Hc = 2,83 m. Forma profilului este dată de ecuaţia: X 1,85 = 2,0 H c0,85Y R1 = 0,5 Hc = 0,5 x 2,83 = 1,415 m R2 = 0,2 Hc = 0,2 x 2,83 = 0,566 m e1 = 0,282 Hc= 0,282 x 2,83 = 0,798 m e1 = 0,175 Hc = 0,175 x 2,83 = 0,495 m

cu

Ecuaţia curbei profilului deversant este: 1 1 Y= X 1,85 = X 1,85 = 0,2605 X 1,85 0 , 85 0 ,85 2× Hc 2 × 2,83 Coordonatele profilului sunt: X Y

0,25 0,01 6

0,50 0,05 7

0,75 0,12 1

1,0 0,20 7

1,5 0,43 7

2,0 0,74 4

2,5 1,12 5

3,0 1,57 6

3,5 2,09 6

şi sunt materializate în (fig. 11.72). e1 e2

x

R1 R2 y

Sc 1:100

Fig. 11.72. Profilul WES pentru Hc = 2,83 m

4,0 2,68 4

Hidraulică vol. II

93

CAPITOLUL 12 MIŞCAREA UNIFORMĂ A LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ Mişcarea cu suprafaţă liberă în albii este un domeniu foarte larg al ingineriei hidrotehnice. Astfel de mişcări au loc în albii regulate (canale, conducte cu secţiune parţial umplută) şi albii naturale. În raport cu variabila timp mişcarea lichidelor cu suprafaţă liberă poate fi permanentă (staţionară) şi nepermanentă (nestaţionară). În raport cu variabila spaţiu se întâlnesc: - mişcări uniforme. - mişcări neuniforme - lent (gradual variate); - rapid variate. În acest capitol se studiază mişcarea uniformă a lichidelor cu definirea caracteristicilor mişcării, calculul hidraulic de verificare şi de dimensionare, respectiv probleme speciale de calcul. 12.1. NOŢIUNI GENERALE Mişcarea uniformă a lichidelor cu suprafaţă liberă este o mişcare permanentă (independentă de parametrul timp) la care liniile de curent sunt rectilinii şi paralele; parametrii hidraulici – viteză, secţiune udată – sunt constanţi în timp şi în lungul curentului; suprafaţa liberă este un plan înclinat paralel cu fundul albiei. Curgerea se produce datorită forţelor gravitaţionale prin „consumul” uniform al energiei specifice de poziţie în lungul curentului. Astfel de mişcări se pot întâlni în albii regulate (artificiale). În general albiile (suportul solid al mişcării) geometric se împart în: - albii regulate – prismatice, cilindrice, la care secţiunea depinde numai de adâncime A = A(h) şi care se obţin prin deplasarea paralelă a unei drepte cu poziţia sa iniţială pe o curbă sau linie frântă suport; - albii naturale (oarecare), la care secţiunea depinde atât de adâncime cât şi de poziţia în lungul curentului A = A(h, l). Calitatea albiei şi variaţia acesteia se caracterizează prin rugozitatea albiei şi care, pentru o mişcare uniformă, trebuie să fie constantă în lungul curentului.

94

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

Mişcarea uniformă este mai mult o ipoteză, în general curgerea cu nivel liber nu este permanentă şi cu atât mai puţin uniformă datorită sensibilităţii foarte mari a curentului la cele mai mici forţe perturbatoare (variaţia de debit în timp şi în lungul albiei, modificarea rugozităţii în lungul albiei, influenţa curenţilor de aer de la suprafaţa liberă, neregularităţi ale perimetrului udat, construcţii diverse etc). Mişcarea uniformă totuşi prezintă importanţă teoretică şi practică în calculele de dimensionare şi definirea altor tipuri de mişcări în raport cu aceasta. Se poate considera mişcarea uniformă pe perioade scurte în albii regulate în curgere permanentă pe sectoare de canale lungi, rectilinii, cum sunt canalele de irigaţie, desecare – drenaj, de aducţiune al apei potabile, de evacuare a apelor uzate, de aducţiune şi fugă a hidrocentralelor, de navigaţie, de plutărit, de colmataj etc. 12.1.1. Parametrii geometrici şi hidraulici ai canalelor. Elementele geometrice ale unui canal sunt: - forma secţiunii transversale, cu elementele sale caracteristice; - profilul longitudinal, caracterizat de panta longitudinală. Pentru exemplificare se definesc elementele caracteristice ale unui canal de secţiune trapezoidală (fig. 12.1). Bt B

αvο2 /2g

Ih

m=

ct g

ϕ

hs

ϕ h0

ht

hο

Vo

θ b

I

Fig.12.1. Elementele geometrice şi hidraulice ale albiilor regulate

Elementele geometrice se caracterizează prin: - lăţimea la fund a canalului b; - deschiderea totală Bt; - înclinarea taluzelor φ, caracterizat prin coeficientul unghiular al taluzului m = ctgφ; - panta longitudinală I = sinθ ~ tgθ.

Hidraulică vol. II

95

Elementele hidraulice ale acestui canal sunt: - adâncimea curentului h, numită adâncime normală h0 în mişcarea uniformă; - secţiunea udată (vie) A, este secţiunea normală pe direcţia de curgere; - perimetrul udat (muiat) P, este lungimea conturului secţiunii vii mărginit de solid; - raza hidraulică R = A/P; - lăţimea relativă β = b/h0; - lăţimea la oglinda apei B; - rugozitatea pereţilor şi fundului k, exprimat sub formă absolută sau sub forma coeficientului de rugozitate n (după Manning, Forheimer, Pavlovski etc.) sau γ (după Bazin); - panta piezometrică Ip, variaţia cotei nivelului liber în lungul curentului; - panta hidraulică (energetică), Ih, Ie care reprezintă variaţia energiei specifice totale pe lungimea curentului; - adâncimea de siguranţă (garda) canalului hs; - debitul volumic al curentului Q, volumul de lichid W care trece în timpul t prin secţiunea vie, Q = W/t; - viteza medie V, definită prin V=Q/A. În mişcarea uniformă, panta geometrică a canalului, panta piezometrică şi energetică sunt egale, iar liniile lor caracteristice sunt paralele. Parametrii geometrici şi hidraulici sunt constanţi în timp şi în lungul curentului la mişcări uniforme. 12.2. LEGILE CURGERII UNIFORME A LICHIDELOR ÎN ALBII REGULATE (CANALE). Pentru curgeri în albii regulate cu adâncimea apei relativ mică, se poate accepta densitatea constantă, iar principalele legi care guvernează mişcarea uniformă se referă la conservarea masei şi viteza medie. 12.2.1. Relaţia generală a curgerii uniforme în canale Prima lege respectată la curgeri uniforme în canale este conservarea masei (5.41). Q = Ai Vi (12.1)

96

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

A doua lege este legătura între viteza medie şi elementele geometrice ale secţiunii care se exprimă sub forma (8.7) (12.2) V = C RI 1/2 în care R este raza hidraulică, I – panta fundului, iar C (m /s) coeficientul lui Chézy, exprimat sub formele (8.8) sau după transformarea coeficientului Darcy-Weisbach λ în coeficient de rugozitate după tabelul 8.5. Această lege se poate stabili parţial şi pe cale mecanică, presupunând un volum de control între două secţiuni normale „solidificate” şi mişcându-se uniform pe un plan înclinat, rezultând V = f ( RI ) , sau prin „teorema produselor” din analiza dimensională rezultând V = ϕ (n,ν , ρ ,...) RI . Aceste relaţii se calibrează experimental, obţinându-se C. După înlocuirea (12.2) în (12.1) se obţine debitul mişcării uniforme: (12.3) Q = AC RI sau notând (12.4) K = AC R 3 unde K este modulul de debit, cu unitatea m /s. (12.5) Q=K I Modulul de debit este debitul pentru panta hidraulică unitară.

12.2.2. Distribuţia vitezelor pe secţiune Într-un curent turbulent în medie uniform cu suprafaţă liberă distribuţia vitezelor urmează o lege logaritmică în secţiuni normale la perete (asemănător conductelor). Gradientul de viteză este mai mare lângă contur, izotahele urmează forma conturului (rezistenţele din frecare sunt uniform distribuite), excepţie făcând colţurile secţiunii unde izotahele se îndepărtează (fig. 12.2). Viteza la fund este o viteză fictivă şi se obţine prin extrapolarea epurii vitezei din punctul cel mai de jos unde se poate măsura viteza. Relaţiile între viteza medie, ceea de la suprafaţă, maximă şi ceea de la fund sunt după cum urmează:

Hidraulică vol. II

97 Z

Z

us

a

x 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

umax

(1/5-1/6)h

h

b

y h

c

uf v umax

x

Fig. 12.2. Distribuţia vitezelor în curent cu nivel liber în mişcarea uniformă: a). distribuţia vitezei în secţiunea transversală; b). distribuţia vitezei în profil longitudinal; c). distribuţia vitezei în plan.

u f ~ 0,6V V ~ 0,85u s u max ~ 1,29u s ~ 1,52V Legea logaritmică la distribuţia vitezei în albii dreptunghiulare (după Popescu St.) este dată de relaţia: z +kf y + k p h − δz ln ln ln kf kp ka (12.6) u yz = u 0 b h h ln ln ln k p k f ka

iar în albii de secţiune trapezoidală: z + k f 0,5b + mz − y + k p h − δz ln ln ln kf kp ka u yz = γu 0 h + k f 0,5b + mz + k p h ln ln ln kf kp ka în care s-au utilizat relaţiile: • uyz – viteza în punctul cu coordonatele (y, z); • u0 - viteza punctuală maximă; • z - cota punctului în care se calculează viteza; • y - ordonata punctului de calcul; • m - coeficientul unghiular al taluzului; • kf - rugozitatea absolută a fundului canalului; • kp - rugozitatea absolută a pereţilor;

(12.7)

98

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

• ka - rugozitatea fictivă echivalentă ce ţine seama de frecarea cu aerul; • h - adâncimea apei în canal; • δ - coeficient care ţine seama de influenţa frecării cu aerul; • b - lăţimea la fund a canalului; • k - constantă. Curentul uniform fiind foarte sensibil la perturbări, orice neuniformitate a secţiunii, pereţilor, rugozităţii, mişcarea aerului la suprafaţă, modifică epura vitezelor.

12.2.3. Curenţi aeraţi În cazul canalelor cu pante mari agitaţia particulelor la suprafaţa liberă creşte, iar energia cinetică datorită pulsaţiei vitezei turbulente normală pe direcţia principală a mişcării depăşeşte forţele gravitaţionale şi de tensiune superficială. Astfel, picături trec în aer prin suprafaţa liberă, recad în curent şi antrenează aer în curentul lichid. Bulele de aer sunt antrenate în aval, stratul de la suprafaţă căpătând un aspect de emulsie spumoasă. La o astfel de curgere se disting patru straturi ale curentului, de jos în sus, astfel: lichid; lichid cu bule de aer; emulsie spumoasă şi aer cu picături de lichid (fig. 12.3). A e r cu p ic atu r i d e lic h id Em ulsie lichid -a er Lic hid c u bu le aer L ich id

4 3

Fig. 12.3. Stratificaţia curentului aerat.

2 1

Grosimea stratului de spumă creşte odată cu creşterea pantei, viteza de pulsaţie creşte, mai multe picături părăsesc suprafaţa liberă şi recad antrenând mai mult aer. Grosimea straturilor inferioare se micşorează. Volumul emulsiei (de lichid-aer) poate spori volumul de 7-8 ori faţă de volumul ce ar fi ocupat de lichid. Din acest considerent adâncimea curentului aerat este substanţial mai mare şi este necesară sporirea gardei canalului. Experienţele de laborator (Semenic, Brazova, D. Pavel) scot în evidenţă că până la pante

Hidraulică vol. II

99

0,0784 = Ia (12.8) R 0,0834 curgerea este neaerată şi calculele se pot efectua cu relaţia (12.3). La pante I > Ia apa se aerează succesiv, de sus în jos, astfel că raportul volumului de apă şi volumul amestecului β = Vapă/Vamestec < 1. Afectând cu indicele „a” mărimile caracteristice curentului aerat, debitul de apă este: Q = βQa = βAa C a Ra I (12.9) I<

La pante Ia < I < 0,542 aerarea curentului este parţială, iar pentru I > 0,542 curentul se aerează până la fund. Coeficientul de aerare β se poate calcula suficient de exact cu relaţia: Fr (12.10) β = 1 − 0,812 lg = 2,26 − 0,812 lg Fr 36 unde Fr = v2/gh este numărul Froude. Aerarea curentului de la intrarea în bieful cu pantă superioară pantei de aerare se produce la o anumită lungime de parcurs, între punctul numit începutul mişcării aerate şi care corespunde cu distanţa la care, în bieful cu I>Ia stratul limită ajunge la suprafaţă. Procentul de aer corespunzător numărului Fr se atinge după o anumită lungime de parcurs a curentului.

12.2.4. Instabilitatea mişcării uniforme În cazurile când viteza apei sau panta canalului sunt prea mari suprafaţa liberă a curentului nu mai este paralelă cu fundul, mişcarea devine nestabilă. Pe suprafaţa liberă apar unde călătoare, a căror înălţime la creastă poate ajunge de două ori adâncimea normală. Curgerea îşi pierde stabilitatea – după Vedernikov – când: V (12.11) Ve = xΠ = xΠ Fr > 1 Vcr în care Ve este numărul Vedernikov; x = 2 la mişcări laminare şi x = 1/2 la mişcări turbulente; Π – factor de formă a canalului. dP (12.12) Π =1− R dA Pentru Ve < 1 mişcarea este stabilă, iar pentru Ve > 1 mişcarea se mai numeşte supertorenţială sau ondulatorie. Aceste fenomene de instabilitate sunt caracteristice albiilor de secţiune dreptunghiulară sau trapezoidală. Instabilitatea apare la pante între 2 şi 35 %, când R/P < 1/10. Fenomenul nu

100

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

apare la canale de secţiune triunghiulară, parabolică, semicirculară sau combinaţia pe verticală a acestor secţiuni cu dreptunghi, însă nu s-a găsit explicaţia de ce.

12.3. CALCULUL HIDRAULIC AL ALBIILOR REGULATE DESCHISE ÎN MIŞCARE UNIFORMĂ Calculul hidraulic al albiilor regulate în mişcarea uniformă îmbracă două aspecte: - problema de verificare a debitului transportat; - problema de dimensionare a canalului.

12.3.1. Problema de verificare a canalelor în mişcare uniformă La astfel de probleme se determină debitele transportate de canale pentru forme date ale secţiunii, adâncime normală h0, coeficient de rugozitate n, panta fundului I cunoscute. Ştiind că pantele fundului, hidraulică (energetică) şi piezometrică coincid se utilizează relaţia generală a canalelor (12.3), din care rezultă debitul transportat. Atenţie mare trebuie acordată aprecierii coeficientului de rugozitate. Calculul coeficientului Chézy se efectuează după relaţia (8.8)sau relaţiile după tabelul 8.5, coeficienţii de rugozitate găsindu-se în tabelele 8.6 şi 8.7.

12.3.2. Problema de dimensionare a canalelor în mişcare uniformă Problemele de dimensionare ale canalelor în mişcare uniformă în general matematic sunt nedeterminate – numărul necunoscutelor este mai mare decât numărul ecuaţiilor posibil de scris. Prin adăugarea unor condiţii suplimentare tehnice (geotehnice, de rezistenţă, hidraulice), tehnologice şi economice problema se poate aduce la determinare. La problemele de dimensionare se ivesc cazurile: - determinarea pantei longitudinale; - determinarea elementelor secţiunii transversale.

Hidraulică vol. II

101

10. Determinarea pantei geometrice longitudinale Fiind date elementele geometrice ale secţiunii transversale, adâncimea normală h0, coeficientul de rugozitate n şi debitul Q, panta fundului canalului rezultă din: Q2 Q2 I= 2 2 = 2 (12.13) AC R K Practic se calculează pierderile de energie pe lungime unitară (panta hidraulică), dar în mişcarea uniformă pantele energetică, piezometrică şi geometrică a fundului canalului coincid (Ih = Ip = I), rezultând din (12.13) panta topografică a fundului. 20. Determinarea elementelor secţiunii transversale ale canalelor în mişcarea uniformă Elementele secţiunilor diferitelor forme de canale sunt determinate de două, trei sau mai multe variabile independente. Astfel la secţiunea triunghiulară, circulară, parabolică, dreptunghiulară două variabile independente definesc elementele secţiunii transversale (aria vie, perimetrul udat, raza hidraulică). La canale de secţiune trapezoidală, semieliptică trei variabile independente definesc elementele secţiunii, iar la alte forme, secţiuni compuse: dublu trapezoidală, policentrică, pantă dublă de taluz, clopot, ovoid, potcoavă, profile de galerii etc., variabilele independente sunt mai numeroase (fig. 12.4 şi 12.5). ϕ θ 2 variabile

R

h

( ,h)

p

h

(R,h)

h

h

b (b,h)

(p,h)

ct g

θ

a /2

b (θ ,h ,b)

3 variabile

h b/2

θ

(a ,b,h )

m 1

b1

m 1

m 2

h2 h1

m=

h

m2

h0 h1

b (b,h1,h2,m1,m 2,b 1)

(m1,m2,h 1,h0)

Fig.12.4. Variabile care determină elementele secţiunii canalelor

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

102

3

B/2

/2

60

B

r/2

b=2r

h=3r

3r

3/2r

r

B

h=2r

r

B 60

H=0,63B

2

r

1

b=2r 6

5

4

60

3/8r

3/4r

H=1,73R

B/ 2

0,86

7B

h=1,5p

r

3/8r

5/8r r 13/12r r/3

h=1,25r

9

60

r/2

6r

b= 2r

8

5/8r

/1

r/2

b= 2r

7

21

4r 1/

p /2

r/2

5 /1 6 r 1 1 /1 6 r

r 2r

h=3,5r

3 /4 r

r

b= 2r

r

h=2,5r

p /4

r

3/

3/2r

r 3r

r

3/4r

3r

r 0 ,5 8 3 r

r/6

b=3r b=2r B

10

12

11

r1

b=2r

2r

h

r r/2 r/2

h

r

h=2r

r 2

r

r

θ b1

b

b

Fig. 12.5. Elementele secţiunilor uzuale de canale închise folosite în tehnică

h=2r

3/4r

0 ,9 1 7 r

Hidraulică vol. II

103

La dimensionare, din condiţia mişcării uniforme având la dispoziţie numai relaţia (12.3) sunt necesare condiţii suplimentare. Condiţiile tehnice, în majoritatea cazurilor, stabilesc o relaţie între două variabile independente sau determină (impune) una din variabile. Astfel: geotehnica poate impune panta taluzului canalului din condiţia de stabilitate; condiţiile de rezistenţă stabilesc paramentul p al parabolei sau raportul a/b al semielipsei la jgheaburi sau unele dimensiuni de colţ ale jgheaburilor policentrice; tehnologia impune, din condiţii de tipizare, lăţimea la fund sau panta taluzului la valori fixe. Condiţiile hidraulice pot fi impuse sub diferite aspecte: - limitarea vitezei medii (ex. viteză minimă sub aspectul transportului de aluviuni – neînămolire sau viteza maximă prin neeroziune); - optim hidraulic – canalul să transporte debitul dat, la pantă longitudinală şi rugozitate dată, la secţiune minimă. Condiţiile economice la fel pot completa numărul ecuaţiilor propunând cost minim investiţiilor sau cheltuieli totale anuale minime.

20.a. Dimensionarea canalelor de secţiune trapezoidală Canalele trapezoidale sunt cele mai folosite în practică datorită unor avantaje tehnice în realizarea şi exploatarea lor. În general înclinarea taluzului, caracterizat prin coeficientul unghiular m = ctgθ, este determinată de condiţiile geotehnice (stabilitatea taluzului) sau tehnologice (de montare, turnare, lestare a îmbrăcăminţilor). La elemente: debit Q, coeficient unghiular al taluzului m, panta longitudinală I, coeficient de rugozitate n date, dimensionarea rămâne tot o problemă nedeterminată. Trebuiesc stabilite două necunoscute – h0 şi b, şi există o singură relaţie de calcul (12.3). Aducerea problemei la determinare se face prin impunerea la valori verosimile a uneia din variabile, de obicei b, sau se caută altă condiţie pentru stabilirea uneia din variabile sau a unei alte relaţii între variabile. 20.a1. Când este impusă una din variabile Se acceptă valoarea lăţimii la fund b cunoscută. Chiar cu o singură necunoscută – aceasta nu se poate explicita din relaţia (12.3), problema trebuie rezolvată printr-o metodă de aproximaţii succesive (coardei, Newton etc). Se mai cunosc câteva metode istorice, ca: metoda modelului abstract, metoda secţiunilor asemenea, metoda II Agroskin, tabele cu canale tipizate.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

m

104

n I

h0

θ

Fig. 12.6. Schemă pentru calculul canalelor trapezoidale

b

Cunoscând: Q = AC RI = K I pentru secţiunea trapezoidală elementele secţiunii sunt: START  A = h0 (b + mh0 )  2 C ite s te : Q ,m ,n ,I,b ,h i ,∆h  P = b + 2h0 1 + m εh  h0 (b + mh0 ) A h0 = h i R = = 2 P  b + 2h0 1 + m A = f 1(b ,m ,h 0 )  P = f 2 (b ,m ,h 0) R = A /P C = 1 R y Y = f( n ,R )  C = 1 /n R y n h 0= h 0 +∆h (12.14)

(12.3)

Q i= A C R i

Se impune o valoare iniţială lui h0 = hi şi un pas de calcul ∆h. Calculul se conduce după schema logică din fig. 12.7. Calculul poate fi efectuat automat sau manual, în ultimul caz utilizându-se (tab. 12.1).

>

. ( Q -Q i) .. 0

<

h0 = h0 - ∆h

∆ h =∆h / 1 0

= 1

> ∆ h .. ε h . < = 1 S c rie :h 0 ,b ,m , n , i,A ,P ,R ,C ,Q i STO P

Fig. 12.7. Schema logică de calcul a adâncimii normale prin metoda iterativă

Dimensionarea canalelor trapezoidale Tabelul 12.1 Nr. crt.

hoi (m)

b (m)

Ai (m)

Pi (m)

Ri (m)

Ci m1/2s-1

Qi m3/s

Q m3/s

εQ m3/s

εh (mm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Hidraulică vol. II

105

Problema poate fi soluţionată şi grafic. Pentru câteva valori h0i se calculează elementele din tabelul 12.1. Pasul de calcul pentru hoi poate fi considerat 5...10 ori mai mare decât precizia impusă εh pentru h0. Se reprezintă grafic (pe hârtie milimetrică) mărimile (Qi, h0i), pentru ∆h acceptându-se pe ordonată cel puţin 1 cm. Curba Q = f(h0) obţinută, la valoarea debitului de dimensionare Q indică mărimea reală pentru h0 (fig. 12.8). h0 (m)

= f( h 0)

citeste h0 Q

Fig. 12.8. Soluţia grafică a dimensionării canalelor trapezoidale Qi (m3/s) Q

Calculele se conduc analog când se impune h0 şi se calculează b.

20.a2. Când se cunoaşte o relaţie monomă între b şi h0 Deseori se poate cunoaşte din condiţie de optim hidraulic sau tehnologic lăţimea relativă a canalelor trapezoidale, de forma b = βh0. Calculele în acest caz devin determinate:  A = h02 ( β + m)   P = h0 β + 2 1 + m 2   β +m  R = h   (12.14’) 0   β + 2 1+ m2      y  1 y  β +m   C = n h0  2    β + 2 1+ m  Mărimile din (12.14’) înlocuite în (12.3) permit explicitarea lui h0 sub forma:

)

(

(

)

1 2 ,5+ y

 Qn β + 2 1 + m 2    (12.15) h0 = 1, 5 + y 1/ 2   I (β + m )   Valoarea lăţimii relative poate fi dată de condiţia profilului hidraulic optim care poate fi formulat şi astfel: un canal de secţiune A dată pentru I, n, m cunoscut să 1 / 2+ y

106

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

transporte debit maxim. Utilizând pentru coeficientul Chezy relaţia putere după Pavlovski 1 (12.16) C = Ry n ecuaţia (12.3) se poate transforma în: 1 Q = A R y +1 / 2 I (12.17) n Pentru A, n, I constante, Q = max, dacă R = max, însă R = A/P este maxim pentru P = min. Primele două ecuaţii ale (12.14’) devin:  A = h02 (β + m ) = const (12.18)  2 P = h0 β + 2 1 + m = min Variabilele independente din (12.18) sunt β şi h0. Diferenţiind ecuaţiile se obţine: dA = 2h0 (β + m )dh0 + h02 dβ = 0 (12.19)  2 dP = β + 2 1 + m dh0 + h0 dβ = 0 Scăzând cele două relaţii după împărţirea primei cu h0, rezultă:

(

)

(

)

(

β = 2 1 + m2 − m

)

(12.20) La profil hidraulic optim rezultă R = h0/2, deci trapezul este circumscris şi (12.15) devine: 1

 Qn21 / 2+ y h0 =   I 1 / 2 2 1 + m 2 − m

(

 2 , 5+ y  

)

(12.21)

20.b. Dimensionarea canalelor de secţiune triunghiulară La această formă de secţiune sunt două variabile independente, φ sau θ şi h0 (fig. 12.9). În majoritatea cazurilor practice unghiul θ este impus din condiţii tehnice. Notând m = ctgθ, elementele secţiunii sunt (trapez cu b = 0):

h0

ϕ θ

Fig. 12.9. Schemă pentru canal triunghiular.

Hidraulică vol. II

107

  A = mh02  2 (12.22) P = 2h0 1 + m  mh0 R =  2 1 + m2 Utilizând pentru C relaţia putere (12.16), adâncimea normală este explicitabilă, sub forma:

(

)

1

 nQ 2 1 + m 2 1 / 2+ y  2,5+ y  (12.23) h0 =  I 1 / 2 m1,5+ y     Relaţia se poate obţine uşor din (12.15) pentru b = β = 0. Profilul hidraulic optim pentru canale triunghiulare se defineşte asemănător canalelor trapezoidale, rezultând:  A = h02 ctgθ = const  (12.24)  h0 P = 2 = min  sin θ  Prin diferenţierea ecuaţiilor în raport cu variabilele h0 şi θ rezultă:  h02 dθ = 0 dA = 2h0 ctgθdh0 − sin 2 θ (12.25)  θ 2 cos dP = dh0 − 2h0 dθ = 0  sin θ sin 2 θ din care rezultă: 1 π cos θ = sau θ = = 45 0 (12.26) 4 2

Mai simplu, din prima relaţie al sistemului (12.25) h0 =

A înlocuit în a ctgθ

doua, se obţine: P=2

A 2A =2 = min 2 sin 2θ ctgθ sin θ

(12.27)

Cu A = const. Trebuie ca sin2θ = max, sau 2θ = π/2, respectiv θ = 450.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

108

20.c. Dimensionarea canalelor de secţiune dreptunghiulară Canalele dreptunghiulare sunt destul de des întâlnite în practică datorită uşurinţei lor de execuţie. Ele sunt totdeauna consolidate. Elementele acestei secţiuni sunt definite tot de două variabile independente – b, h0 (fig. 12.10).

h Fig. 12.10. Schema pentru canal dreptunghiular.

b

Ca şi în cazul canalelor trapezoidale, chiar dacă se impune o variabilă din alte considerente, variabila necunoscută nu se poate explicita. De fapt şi canalul dreptunghiular este un caz particular de canal trapezoidal pentru θ = 900, m= ctg900 = 0. Elementele secţiunii sunt:  A = bh0  (12.28)  P = b + 2h0  R = bh /(b + 2h ) 0 0  20.c1. Când se impune una din variabile calculele se conduc asemănător ca la 20.a1. 20.c2 Când se cunoaşte o relaţie monomă între variabile Lăţimea relativă β = b/h0 aduce dimensionarea la o problemă determinată matematic. Ecuaţiile (12.28) devin:   A = βh 2 0  (12.29)  P = (β + 2 )h0  β R = h0  β +2 Din (12.3) rezultă:

 Qn(β + 2 ) h0 =  1 / 2 1, 5 + y  I β

1 / 2+ y

  

1 2 ,5+ y

(12.30)

Hidraulică vol. II

109

Canalele dreptunghiulare se folosesc şi ca jgheaburi şi condiţiile lor de rezistenţă pot stabili lăţimea relativă. Profilul hidraulic optim: canalul de secţiune dreptunghiulară să transporte la secţiune constantă (A = ct) debit maxim şi care implică perimetru minim.  A = βh02 = const (12.31)  ( ) P β h = + 2 = min 0  Diferenţiind ecuaţiile avem: dA = 2 βh0 dh0 + h02 dβ = 0 (12.32)  = ( + 2 ) + = 0 dP β dh h d β 0 0  din care rezultă: βoptim = 2 sau b = 2h0 (12.33) Înlocuind elementele în (12.3) rezultă adâncimea normală la profil hidraulic optim.  Qn2 h0 =  1/ 2  I

y −1 / 2

  

1 2, 5+ y

(12.34)

20.d. Canale de alte secţiuni curbe 20.d1. Parabolă (fig.12.11). Aceste secţiuni se utilizează la canale în construcţia jgheaburilor. Condiţia de rezistenţă defineşte, de obicei, parametrul parabolei p = 1/4...1/20. Y

B Fig. 12.11. Canal de secţiune parabolică.

h0 X

Ecuaţia formei este x2 = 2py

(12.35)

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

110

Elementele secţiunii sunt: 2  A = Bh0  3  (12.36)   h   h0  h h  0 0 0  P = p  1 1 + 2  + ln 2 + 1 + 2     p  p p   p     0 Celelalte calcule pot fi conduse ca la punctul 2 .a1. Asemănător cazurilor precedente se poate defini profilul hidraulic optim din care rezultă parametrul parabolei.

20.d2. Semielipsă (fig. 12.12). Aceste secţiuni de jgheab se utilizează pentru debite mai mari decât cele parabolice. Y

a 02 X

0

y

Fig. 12.12. Canal semieliptic

01

x

M

h0

Ecuaţia formei este: x2 y2 + =1 a2 b2 cu excentricitatea:

a2 − b2 ε= a Elementele secţiunii sunt: 2  B = 4a h −  h   2b  2b   A = 0,5ab[2t + π + sin (2 ⋅ t )] h h  unde 2  h  h    th = 2 −  2a  2a     Pentru perimetrul udat se poate utiliza fie relaţia:

(12.37)

(12.38)

(12.39)

Hidraulică vol. II

111

th

P = ∫ 4a 2 sin 2 t + 4b 2 cos 2 t ⋅ dt , −

(12.40)

π 2

care poate fi integrată numeric, fie:   π  P = 2b  E (th , k ) + E  , k   2   unde: b2 − a2 , k = b2 2

(12.40’) u

E ( th , k ) = ∫ 1 − k 2 ⋅ sin 2 t ⋅dt

iar

este

0

integrala eliptică de speţa a doua ale cărei valori se găsesc intabulate în îndrumare matematice. Asemănător cazurilor precedente se poate defini profil hidraulic optim, rezultând (a/b)optim. 20.d3. Lănţişor (fig. 12.13) Se poate utiliza ca secţiune de jgheab, prezentând condiţii de rezistenţă apreciabile pe secţiune. y

l

l B

A

Fig. 12.13. Canal lănţişor

b

b

f A'

B' h

-l

-b

0

b

x

l

Ecuaţia formei este: x   y = a cosh − 1, x ∈ [- l , l ] a   în care a este parametrul lănţişorului, L2 − 4 f 2 a= 8f Elementele secţiunii udate sunt:  A = 2bh + 2ab − eb / a − e −b / a + 2   h 2 P = L − 4 f 2 + 4h 2  f 

(

(

)

(12.41)

(12.42)

) (12.43)

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

112 în care:

b = a ln λ cu λ = 1 +

h h 2 2h + + ; a a2 a

l L – lungimea lănţişorului între punctele A şi B; L = 2a ⋅ sh . a 0 Celelalte calcule se conduc asemănător punctului 2 .a1. Asemănător cazurilor precedente se poate defini profilul hidraulic optim, rezultând (l/f)optim. 20.d4. Semicirculară (fig. 12.14) Sunt utilizate ca jgheaburi, confecţionate din diferite materiale de diferite dimensiuni. D X

0

r

ϕ

h0

Fig. 12.14. Canal semicircular.

Y

Calculele de verificare, dimensionare pun probleme asemănătoare celorlalte cazuri. Ecuaţia formei este: x2 + y2 = r 2 (12.44) Elementele secţiunii pentru gradul de umplere: h (12.45) α= 0 D sunt:  r2 (ϕ − sin ϕ ) A =  2  (12.46)  P = ϕr  ϕ − sin ϕ R = r  2ϕ Analizând secţiunile studiate din punct de vedere al optimului hidraulic se observă că forma secţiunii trebuie să admită raza hidraulică maximă, respectiv perimetru minim.

Hidraulică vol. II

113

Pentru aceeaşi secţiune definit de curbă continuă A = ct perimetrul minim prezintă secţiunea semicirculară, apoi lănţişorul, parabola şi elipsa. Canalele săpate în pământ sunt realizate deseori cu secţiune poligonală. Pentru forme poligonale izoperimetrice, când laturile sunt date, putând avea lungimi diferite, secţiunea vie maximă se obţine pentru poligon circumscris. Dacă laturile sunt egale, rezultă că soluţia optimă este un poligon regulat. Dintre poligoanele regulate izoperimetrice, cel mai favorabil este cel cu număr mai mare de laturi, iar la limită, cercul. Dacă nu se dă mărimea laturilor poligonului, ci numai direcţiile lor, într-o ordine care să asigure convexitatea poligonului, iar orientările laturilor să închidă poligonul, dintre poligoanele izoperimetrice, aria maximă este dată de un semipoligon care, împreună cu orizontala de nivel este circumscris unui cerc.

Observaţii. Alte forme de secţiuni de canal se calculează în mod asemănător celor prezentate, utilizându-se relaţia hidraulică pentru canale (12.3) şi expresiile specifice pentru secţiune şi perimetru. Atenţie deosebită trebuie acordată stabilirii coeficientului de rugozitate n care se găseşte intabulat în majoritatea tratatelor, îndrumătoarelor, cursurilor de hidraulică (v. tab.8.6) în funcţie de materialul canalului şi gradul său de prelucrare. În situaţia când canalul pe porţiuni de perimetru prezintă rugozităţi diferite, în calcule se foloseşte coeficientul de rugozitate echivalent ne, definit prin ∑ ni Pi ne = (12.47) ∑ Pi pentru nmax/nmin < 2 şi 2/3

 ∑ Pi ni 3 / 2  (12.48) ne =   P  ∑ i  pentru nmax/nmin > 2. S-a notat ni coeficientul de rugozitate a porţiunii Pi al perimetrului. Dacă secţiunea de curgere este compusă, calculul se poate efectua pe baza celor prezentate sau prin descompunerea secţiunii în secţiuni simple caracteristice calculele fiind efectuate pentru acestea cu mărimile secţiunilor, perimetrele aferente solide şi rugozităţile caracteristice:

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

114

Q = ∑ Qi

(12.49)

Erorile rezultate sunt sub 2%.

12.4. CALCULUL HIDRAULIC AL CANALELOR ÎNCHISE În tehnică se întâlnesc frecvent canale cu profil închis şi curgere cu nivel liber la canalizarea centrelor populate, galerii de aducţiune, drenuri etc. Ele pot avea în secţiune forme geometrice diferite: circulare, ovoid, clopot, potcoavă, secţiuni policentrice, secţiuni compuse etc. (v. fig. 12.5). Particularitatea acestor canale este că viteza medie maximă şi debitul maxim nu se obţin pentru secţiune de curgere plină. Calculul lor hidraulic este asemănător cu cele prezentate la 12.3 însă la proiectare dimensionarea lor la Qmax corespunde gradului de umplere pentru care secţiunea conduce debit maxim.

12.4.1. Calculul hidraulic al canalelor circulare În cele ce urmează se prezintă particularităţile curgerii şi calculelor hidraulice pentru secţiune circulară (fig. 12.15).

ϕ A

h0

0

D=2r

r

Fig. 12.15. Schemă de calcul al canalelor circulare închise

P,n

Elementele secţiunii se definesc ca şi în cazul canalelor semicirculare (12.46). În cazul canalelor închise viteza medie şi debitul nu se obţin pentru secţiunea plină, ci pentru un grad de umplere oarecare. Se notează cu indicele „p” mărimile geometrice şi hidraulice corespunzătoare secţiunii pline. Pentru gradul de umplere α = h0/D, (h0 = 0...D) caracteristicile secţiunii parţial umplute sunt: A ϕ − sin ϕ - aria relativă = ; Ap 2π

- perimetrul relativ

P ϕ = ; Pp 2π

Hidraulică vol. II

115

R ϕ − sin ϕ = . Rp ϕ Viteza medie şi debitul relativ vor fi:

- raza hidraulică relativă

 ϕ − sin ϕ  V C RI  = =  Vp C p Rp I  ϕ 

2/3

(12.50)

respectiv Q AC RI ϕ − sin ϕ  ϕ − sin ϕ    = = Q p Ap C p R p I 2π ϕ  

2/3

(12.51)

fiind acceptat pentru C relaţia lui Manning. Maximizarea funcţiei V/Vp = f1(φ) implică

d (V / V p )

= 0 din care rezultă dϕ sinφ – φcosφ = 0, care admite soluţia ϕ = 4,4934rad ≅ 257,5 0 . Procedând asemănător pentru funcţia debitului relativ, avem: Q/Qp = f2(φ), d (Q / Q p ) respectiv = 0 , din care rezultă 3φ - 5φcosφ + 2sinφ = 0, care admite dϕ

soluţia ϕ = 5,278 rad ≅ 302,40 . În (tab. 12.2) sunt evidenţiate în funcţie de gradul de umplere elementele relative ale secţiunii, viteza şi debitul relativ. Elementele secţiunii şi hidraulice relative la curgerea în canale circulare Tabelul 12.2 φ A P R V Q h α = 0 grad rad A0 P0 R0 V0 Q0 D 1

2

3

4

5

6

7

8

180 257,5 302,4 360

π 4,494 5,278 2π

0,5 0,81 0,94 1,0

0,5 0,871 0,974 1,0

0,5 0,715 0,840 1,0

1,0 1,217 1,160 1,0

1,0 1,140 1,104 1,0

1,0 0,992 1,076 1,0

116

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

Prin reprezentarea grafică în coordonate carteziene

V h0 , ; şi V0 D

 Q h0   , i se obţin grafice cu, curbele vitezelor şi debitelor relative în Q D 0  conducte circulare cu curgere liberă (fig. 12.16), valabile tuturor canalelor circulare. 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,0

α =h0 /D

0,9 0,8

/Q p

0,7

V/ V p

H=D

Q

0,6 0,5 0,4

Detaliu pentru 0,3 curba debitelor 0 0,05 0,2 0,1

Q/Q

p V/V p

0 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

Fig. 12.16. Grafic pentru calculul canalelor circulare

Pentru simplificare calculelor canalelor circulare închise se poate apela la graficul din fig. 12.16. Canalul circular la pantă longitudinală I, coeficient de rugozitate n la secţiune plină transportă debitul: πD 2 D Qp = C I 4 4 la viteza medie D Vp = C I. 4 La un grad de umplere dat α din fig. 12.16 rezultă debitul relativ Q/Qp = KQ, respectiv viteza relativă V/Vp = KV. Debitul real al canalului considerat va fi: Q = KQQp (12.52) respectiv viteza reală V = KV V p

(12.53)

Hidraulică vol. II

117

Alte forme de secţiuni de canale închise se calculează în mod asemănător. Fiecărei forme de secţiune i se construieşte câte un grafic al debitelor şi vitezelor relative în funcţie de gradul de umplere, apoi pentru condiţiile concrete date se determină debitul şi viteza la secţiunea plină (mai uşor de calculat decât pentru un anumit grad de umplere), iar, în final, pentru grad de umplere cunoscut, pe baza relaţiilor (12.51) şi (12.52), rezultă debitul şi viteza reală. În fig. 12.17 şi 12.18 sunt prezentate graficele debitelor şi vitezelor relative pentru secţiunea ovoid şi clopot. 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,0 0,9 0,8

B

0,7

R=0,5B R'=1,5B

Q

0,6

V

H=1,5B

0,5

5B 1, B = 25 ' R 0, r=

α,β

0

0,4

Detaliu pentru 0,3 curba debitelor 0 0,05 0,1 0,2 0,1 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

Fig. 12.17. Grafic pentru calculul canalelor ovoidale

α,β

0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,0 0,9

0,7

Q

0,6 0,5

V

R'=

D

H=0,634D

0,8

0,4

Detaliu pentru 0,3 curba debitelor 0 0,05 0,1 0,2

R=0,5D

0,1 0

α,β

0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

Fig. 12.18. Grafic pentru calculul canalelor de secţiune clopot

118

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

12.5. CALCULUL TEHNICO-ECONOMIC AL CANALELOR

Condiţiile de realizare economice ale canalelor, pe lângă cele tehnice completează numărul ecuaţiilor şi aduc problema de dimensionare la determinare. Aceste condiţii economice pot viza minimizarea investiţiilor sau cheltuielilor anuale. În principiu elementele unei secţiuni de canal (arie vie, perimetru udat, rază hidraulică) se pot exprima sub forma:  A = K h2 1 0  (12.54) P = K 2 h0  K R = 1 h0  K2 Panta hidraulică rezultată din (12.3), cu C după Pavlovski, este: K 3Q 2 Q2 Q2 (12.55) I= 2 2 = = 5+ 2 y 2 y +1 AC R h   0 K 1 K12 h04 2  1 h0  n  K2  Energia pierdută anual la transportul debitului Q pe unitatea de lungime de canal este: γ ⋅Q ⋅ I ⋅T (12.56) E=

η

în care η este randamentul ridicării apei, iar T durata anuală de funcţionare. Considerând pe preţul energiei unitare, cheltuielile totale anuale pentru energia pierdută pe unitate de lungime de canal sunt: γ ⋅ Q 3T ⋅ p e K 3 K 4 Q 3 Ce = E ⋅ pe = = 5+ 2 y (12.57) η ⋅ h05+ 2 y h0 Cheltuielile de amortizarea investiţiei şi pentru întreţinere Ci sunt distribuite pe timpul normat de funcţionare Tn prin coeficientul de amortizare a = 1/Tn. Cheltuielile anuale pentru unitate de lungime de canal – amortismentul investiţiei şi reparaţiilor capitale – reprezintă parţial cheltuielile fixe K5, parte sunt proporţionale cu perimetru (îmbrăcăminţi) K6h0, altă parte fiind proporţionale cu secţiunea canalului (deblee, ramblee) K7h02, deci cheltuielile de amortizare sunt: a ⋅ C i = K 5 + K 6 h0 + K 7 h02 (12.58)

Hidraulică vol. II

119

Cheltuielile totale anuale pentru unitate de lungime de canal devin: K 4Q 3 (12.59) CT = C e + a ⋅ C i = 5+ 2 y + K 5 + K 6 h0 + K 7 h02 h0 Funcţia continuă a cheltuielilor totale admite un minim în raport cu variabila h0, deci: dCT (5 + 2 y )K 4 Q 3 (12.60) =− + K 6 + K 7 h0 = 0 dh h06+ 2 y Ecuaţia de mai sus se rezolvă printr-o metodă numerică de aproximaţii succesive sau grafic. Funcţia cheltuielilor anuale de exploatare (12.57) scade cu creşterea lui h0, iar amortismentele (15.58) cresc cu creşterea lui h0. Astfel, funcţia costului total anual (12.59) admite un minim. Practic, pentru câteva adâncimi normale se calculează valoarea costurilor, apoi punctele (Ce, h0)i; (aCi, h0)i şi (CT, h0)i se reprezintă grafic (fig. 12.19) care permite stabilirea soluţiei dorite.

K6

C t h+ K7 h2

C

aC i= K

5+

Ct min

3

5+2y

Ce=K4Q /h (h0)

h0

ec

Fig. 12.19. Graficul cheltuielilor şi adâncimii economice pentru canale

Fără a se ţine seama de condiţii tehnice şi tehnologice calculul economic poate conduce uneori la adâncimi mari sau viteze mari pe canale. Aceste cazuri pot deveni dificile tehnologic sau pot, datorită vitezelor extreme, pune probleme în timpul funcţionării (depuneri, eroziuni).

12.6. VITEZE ADMISIBILE PE CANALE Încă de la proiectare trebuie avut în vedere ca viteza medie pe canale să fie cuprinsă între o limită inferioară – viteză minimă admisă – şi o limită superioară – viteză maximă admisă.

120

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

10. Viteză de neeroziune La depăşirea limitei superioare admise a vitezei, curentul de apă erodează patul albiei. Asemenea limite superioare ale vitezei există pentru toate materialele. Valorile lor depind de caracteristicile materialelor care alcătuiesc patul albiei şi de caracteristicile hidraulice ale curgerii. În cazul canalelor de pământ din materiale coezive se poate utiliza formula orientativă, recomandată de S. A. Ghrişkan: Vmax = k1Q 0,1 (12.61) în care coeficientul k1 depinde de materialul patului albiei, astfel: - nisip lutos k1 = 0,53; - lut nisipos k1 = 0,57; - lut k1 = 0,62; - lut argilos k1 = 0,68; - argile k1 = 0,75...0.85. Se mai pot utiliza recomandările lui Agroskin (tab. 12.3) Viteze maxime admisibile la materiale coezive pentru R = 1...3 m Tabelul 12.3 Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8

Materialul Nisip argilos, nisip slab Nisip argilos compact Argilă nisipoasă uşoară Argile nisipoase mijlocii Argile nisipoase compacte Argile moi Argile normale Argile grele

Vmax (m/s) 0,7...0,8 1,00 0,7...0,8 1,00 1,1...1,2 0,7 1,2...1,4 1,5...1,8

Observaţii Pentru R > 3 m, Vmax se poate mări (R/3)0,1 ori

În cazul materialelor necoezive ale albiei (nisip, pietriş) viteza de neeroziune rezultă din relaţia lui Levi. R (12.62) Vmax = 3 gDm lg 7 Dm în care Dm este diametru mediu al particulelor materialului patului albiei, iar R – raza hidraulică. Relaţia este valabilă pentru R/Dm = 50...5000. Valorile orientative ale vitezei admisibile la material necoeziv ale patului albiei corespund (tab. 12.4).

Hidraulică vol. II

121

Viteze maxime admisibile la materiale necoezive Tabelul 12.4. Nr. 1 2 3 4 5

Materialul nisip fin nisip grăunţos loess pietriş mărunt pietriş mare

Vmax (m/s) 0,23 0,45 0,4...0,6 0,6 0,9

Nr. 6 7 8 9

Materialul piatră spartă roci șistoase roci sedimentare roci dure

Vmax (m/s) 1,25 1,90 2,30 3,75

20. Viteza de neînămolire Viteza limită inferioară admisă în canale reprezintă, de obicei, viteza minimă necesară transportului hidraulic al solidelor. Sub această limită minimă solidele (aluviunile) transportate se depun, producând colmatarea canalului. Această viteză limită minimă se pune în cazul când curentul de apă transportă aluviuni (în cazul irigaţiilor, hidroenergeticii, aducţiuni deschise de apă brută din râuri) sau în cazul colectării şi transportului apelor uzate. În cazul transportului de aluviuni naturale determinarea aproximativă a vitezei de neînămolire se poate efectua cu relaţia: (12.63) Vmin = k 2 Q 0, 2 unde k2 este un coeficient care ia în considerare dimensiunile geometrice ale particulelor aluvionare şi mărimea hidraulică, astfel: • A = 0,55 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică w > 3,5 mm/s ; • A = 0,44 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică 1,5 ≤ w ≤ 3,5 mm/s ; • A = 0,33 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică w < 1,5 mm/s . În general nu se admit pe canale viteze medii sub 0,25 m/s, sub această limită se favorizează creşterea vegetaţiei acvatice. Există situaţii când criteriile vitezelor admisibile sunt în contradicţie, ex. pe canal de pământ viteza minimă admisă rezultă superioară vitezei maxime admise. Contradicţia trebuie rezolvată prin căptuşirea canalului cu un material care admite viteze maxime superioare vitezei minime admise, dar căptuşeala să nu afecteze funcţionalul canalului. 12.7. PIERDERI LOCALE DE SARCINĂ ÎN CURENŢI PERMANENŢI CU NIVEL LIBER Ca şi în cazul conductelor, pierderile locale de energie la curenţi permanenţi cu nivel liber se datoresc unor variaţii pe distanţe mici ale profilului vitezei – modificarea secţiunii, traseului, obstacole.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

122

Pierderile de energie (sarcină) locale la curgeri cu nivel liber sunt însoţite de variaţia nivelului (cotei) luciului apei, aceasta fiind deformată faţă de suprafaţa liberă a curentului uniform. Pierderea locală de sarcină se exprimă sub forma sa generală (dată de Weisbach). V2 hr = ζ ⋅ (12.64) 2g Calculele pot deveni complicate când pierderea locală este suma a mai multor pierderi elementare. În continuare se descriu câteva cazuri de pierderi locale la modificarea secţiunii de curgere, grătare, coturi.

10. Îngustarea secţiunii albiei (fig. 12.20). Curentul fiind caracterizat prin V1 şi A1 – viteza medie, respectiv secţiunea amonte şi V2 şi A2 – aceleaşi elemente aval de îngustare, coeficientul de rezistenţă locală depinde de forma îngustării. Pentru îngustare bruscă ζî = f(A2/A1), valorile corespunzând (tab. 12.5). v12 / 2 g

H

h r = ξ v22 / 2 g

v 22 / 2 g

Z

H

1

h

H

1

2

h2

Fig. 12.20. Pierderea de sarcină la îngustarea de secţiune în curent liber

v b

1

1

θ/2

v

2

b

2

Coeficientul rezistenţei locale la îngustarea bruscă de secţiune Tabelul 12.5 A2/A1 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ζî 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 La îngustare continuă se poate utiliza relaţia lui Hinds:  A2  V22  hr = k 1 − A  1  2g

(12.65)

Hidraulică vol. II

123

cu k = 0,15. Pentru racordări foarte line θ < 120 valoarea lui k = 0,05. Scăderea de nivel la îngustare rezultă din ecuaţia energiei: V22 − V12 (1 + k ) (12.66) ∆z = h1 − h2 = 2g La intrare în canal cu suprafeţe riglate (hidrodinamică) se poate considera ζi = 0,05 în relaţia lui Weisbach.

b1

b2

20. Lărgirea secţiunii albiei La lărgire bruscă de secţiune (fig.12.21) se poate aplica formula lui Altschul. (V2 − V1 )2 (h2 − h1 )2 hr = − (12.67) 2g 2h2

2

2

h2

v1

v2 /2g

h0 br

2

h1 v1 /2g

1

v2

v2

Fig. 12.21. Lărgirea bruscă a canalului

Pierderile de sarcină sunt mai mici decât cele date de relaţia Borda. Când h1 şi h2 sunt apropiate, relaţia (12.67) se reduce la relaţia lui Borda. Creşterea nivelului apei faţă de nivelul amonte este: 2 ( V2 h2 − h1 ) (V1 − V2 ) + ∆z = h2 − h1 = (12.68) g 2h2 La lărgire continuă de secţiune (fig. 12.22), pe porţiunea divergentă, pierderile de sarcină sunt: (V1 − V2 )2 hr = ψ (12.69) 2g

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

124

în care ψ este un coeficient de atenuare, dependent de unghiul de divergenţă (tab. 12.6).

b2

b1

θ/2 v1

v2

Fig.12.22. Lărgire continuă de secţiune

Valorile coeficientului de atenuare ψ Tabel 12.6 0 θ 20 40 ≥ 60 ψ 0,45 0,90 1,0

v v

rc

θ

b

30. Coturi (fig. 12.23) Coeficientul de rezistenţă locală la coturi este funcţie de criterii adimensionale.  r h V ⋅R θ   ; (12.70) ζ c = f  c ; 0 ; b b 180 υ  m m 

Fig. 12.23. Schema cotului canalului

b

Relaţia (12.70) se soluţionează prin aproximaţii din grafice întocmite în urma experimentărilor lui Shukry.

40. Grătare (fig. 12.24). Pierderile de sarcină la grătare se calculează cu formula lui Weisbach (12.64).

Hidraulică vol. II

125

Barele grătarului sunt paralele pe verticală, iar ansamblul ocupă toată secţiunea de curgere şi formează unghiul θ cu orizontala. hr v

v

θ

Fig. 12.24. Grătar normal pe direcţia de curgere a curentului v

Conform cercetărilor VODGEO, coeficientul de rezistenţă se determină cu relaţia: 1, 6

l b  s   (12.71) ζ g = k   2,3 + 8 + 2,4  sin θ l s+b  b în care s şi l sunt grosimea, respectiv lăţimea unei bare, b – lumina între bare, θ – unghiul de înclinare a grătarului faţă de orizontală şi k – coeficient de formă a barelor (fig. 12.25). Se mai poate utiliza relaţia Kirschmar pentru grătar frontal: 4/3

s (12.72) ζ g = β   sin θ b   în care β este un coeficient de formă a barelor grătarului (fig. 12.25). δ= /2

Forma barei grătarului

β k

δ=s/2 s

s

s 1,5s

6s

l 4s s/2

2,42 0,504

1,83 1,67 0,318

s/2

1,033 0,76 0,182

3,5s

0,76

1,79 -

Fig. 12.25. Secţiunea barelor grătarelor şi coeficienţii lor de formă

Unghiul de înclinare a grătarului faţă de direcţia curentului în plan sunt date grafic în îndrumare de calcul hidraulic (Kiselev). Viteza medie a apei la curgerea prin grătare este limitată, astfel: - la intrarea în camera turbinelor Vm = 0,9...1,2 m/s; - la prize de apă Vm = 0,25...1,0 m/s.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

126

12.8. APLICAŢII 10. Să se determine debitul transportat de un canal de secţiune trapezoidală (fig.12.1) şi viteza medie în mişcarea uniformă cunoscând elementele: b = 1,00 m; h0 = 1,50 m; m = 1,5; n = 0,020 şi I = 0,5 ‰. Să se construiască cheia debitului pentru canal prin 8 puncte. Rezolvare. Se utilizează relaţii (12.2), (12.3) respectiv (12.14). A = h0 (b + mh0 ) = 1,5(1,0 + 1,5 ⋅ 1,5) = 4,875 m 2

P = b + 2h0 1 + m 2 = 1,0 + 2 ⋅ 1,5 1 + 1,52 = 6,408 m R = A / P = 4,875 / 6,408 = 0,761 m C=

1 1/ 6 1 R = 0,7611 / 6 = 47,77 m 0,5 /s n 0,02

V = C RI = 47,77 0,761 ⋅ 0,0002 = 0,589 m/s Q = AC RI = V ⋅ A = 4,875 ⋅ 0,589 = 2,873 m3/s Cheia limnimetrică rezultă din calcule asemănătoare pentru: h0i = h0i −1 + ∆h , cu ∆h = 0,2 m (tab. 12.6). Cheia limnimetrică a canalului Tabelul 12.6 Nr. 1 1 2 3 4 5 6 7

h0 (m) 2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

A (m2) 3 0,260 0,640 1,140 1,760 2,500 3,360 4,340

P (m) 4 0,7211 2,4422 3,1633 3,8844 4,6056 5,3267 6,0478

R (m) 5 0,1511 0,2621 0,3604 0,4531 0,5428 0,6308 0,7176

C (m0,5/s) 6 36,489 39,998 42,179 43,819 45,159 46,304 47,310

Q (m3/s) 7 0,0521 0,1853 0,4082 0,7342 1,1763 1,7475 2,4598

V (m/s) 8 0,2006 0,2896 0,3581 0,4171 0,4705 0,5201 0,5668

Reprezentând (Q, h0)i şi (V, h0)i se obţine graficul cheii limnimetrice (fig. 12.26).

Hidraulică vol. II

127

h (m ) 1 ,4

0

0 ,1

0 ,2

0 ,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6 v (m /s)

(h

)

1 ,2

Fig. 12.26. Cheia debitelor şi vitezei pentru canalul trapezoidal

Q

1 ,0

v(

h)

0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 Q (m 3/s)

0 0 ,5

1

1 ,5

2

2 ,5

3

b2

m 1

n1

b2

h2

n 2

h1

m 2

20. Un canal dublu trapezoidal, folosit la evacuarea apelor la viitură (fig. 12.27) este caracterizat prin elementele: b1 = 2,0 m; h1 = 1,5 m; m1 = 1,0; n1 = 0,014; b2 = 4,0 m; h2 = 1,0 m; m2 = 1,5; n2 = 0,030 şi I = 2 ‰. Să se determine debitul transportat de canal în mişcarea permanentă şi uniformă.

b1 Fig. 12.27. Schema de calcul a canalului dublu trapezoidal

Rezolvare. Întrucât nmax/nmin = 0,03/0,014 = 2,143 > 2 în calcule se consideră un coeficient de rugozitate echivalent, determinat cu ecuaţia (12.47). Elementele geometrice şi hidraulice sunt: - aria: A1 = h1 (b1 + m1h1 ) = 1,5(2,0 + 1,0 ⋅ 1,5) = 5,25 m 2 ; A2 = h2 (2b2 + b1 + 2m1h1 + m2 h2 ) = 1(2 ⋅ 4,0 + 2,0 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1,5 + 1,5 ⋅1) = 14,50 m 2 ; A = A1 + A2 = 5,25 + 14,50 = 19,750 m 2 ; - perimetrul:

P1 = b1 + 2h1 1 + m12 = 2,0 + 2 ⋅ 1,5 1 + 12 = 6,243 m; P2 = 2b2 + 2h2 1 + m22 = 2 ⋅ 4,0 + 2 ⋅ 1 1 + 1,52 = 11,605 m; P = P1 + P2 = 6,243 + 11,605 = 17,848 m;

128

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

- raza hidraulică: A 19,750 R= = = 1,107 m; P 17,848 - coeficient de rugozitate echivalent: 2/3

2/3

 6,243(0,014 )3 / 2 + 11,605(0,030 )3 / 2   P1n13 / 2 + P2 n23 / 2    ne =   = 0,025;  = P 17,848     - coeficientul lui Chézy: 1 1 C = R1 / 6 = (1,107 )1 / 6 = 40,683 m0,5/s; ne 0,025 - debitul transportat: Q = AC RI = 19,75 ⋅ 40,683 1,107 ⋅ 0,002 = 37,807 m3/s.

30. Să se determine debitul maxim care poate fi transportat de un dren din olane de ceramică, cu D = 0,10 m, n = 0,013 şi I = 5‰. Se va calcula şi viteza medie corespunzătoare debitului maxim. Rezolvare. Drenul se comportă ca un canal circular închis. Din (fig. 12.16) şi (tab. 12.2) rezultă: V/Vp = 1,104 Qmax/Qp = 1,076 Caracteristicile secţiunii pline sunt: πD 2 π ⋅ 0,12 Ap = = = 7,854 ⋅ 10−3 m 2 4 4 Pp = πD = π ⋅ 0,1 = 0,3142 m

R p = 0,025 m Cp =

1 1/ 6 1 0,0251 / 6 = 41,596 m 0,5 /s R = 0,013 n

V p = C p R p I = 41,596 0,025 ⋅ 0,005 = 0,465 m/s Q p = V p Ap = 0,465 ⋅ 7,854 ⋅ 10−3 = 3,653 ⋅ 10−3 m3 / s = 3,653 l/s Debitul maxim transportat de dren, la grad de umplere α = h0/D = 0,94 este: Qmax = 1,076Qp = 1,075·3,653=3,930 l/s la care corespunde viteza medie: V = 1,104Vp = 1,104·0,465 = 0,513 m/s.

Hidraulică vol. II

129

40. Un canal de irigaţii, de formă trapezoidală, calibrată prin dale mici de beton (n = 0,016), cu b = 1,00 m, m = 1,5, trebuie să transporte debitul Q = 4 m3/s la panta I = 0,2 ‰. Să se determine adâncimea normală în canal, analitic (prin aproximaţii succesive), precum şi viteza medie. Rezolvare. La determinarea adâncimii normale se apelează la ecuaţia (12.3) şi elementele secţiunii trapezoidale (12.14). A = h0 (b + mh0 ) ; - aria:

P = b + 2h0 1 + m 2 ; R = A/P; 1 C = R1 / 6 . n

- perimetrul: - raza hidraulică - coeficientul lui Chézy

a) Soluţia analitică – prin aproximaţii succesive – metoda coardei – se poate folosi sub formă tabelară sau prin calcul automat. Se foloseşte schema din fig. 12.27. Q

Q0

h0i

h0m

Fig. 12.27. Schemă pentru metoda coardei.

h0s

h

Se calculează valorile funcţiei f(h0)=Q - Q0 pentru două valori ale lui h0, ca limită inferioară (h0i) şi superioară (h0s) între care se presupune a fi h0. Se h + h0 s mediază limitele ham = 0i cu care se calculează Q - Q0. Când Q - Q0 > 0 2 se înlocuieşte h0s cu h0m în caz contrar hoi cu hom. Intervalul se mediază din nou şi calculele se repetă până când hoi − h0 s < εh0 (εh0 este toleranţa preciziei de calcul). Rezultatele sunt date în tabelul 12.7. Când se foloseşte calculul automat, programul se întocmeşte după schema logică din (fig. 12.28).

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

130

START C it e s t e : b ,m ,n ,t ,Q 0 i ε h 0 , h 0 i, h 0 s

lh

h 0 i l > ε h0

0 s-

Nu

Da h 0 s+ h 0 i

h 0m =

2

A (h o m ); P(h o m ); R (h o m ); C (h o m ); Q (h o m )

h 0 s= h 0 m Da

h0 =

hs

hi + 2

Q (h o m )-Q > 0 = A ( h0), Nu

P ( h 0),

h 0i = h 0m

R ( h0), C ( h0), V ( h0),

S c r ie : h 0 A, P, R, C, v

STOP

Fig. 12.28. Schemă logică pentru metoda coardei la dimensionarea canalelor.

Dimensionarea canalului trapezoidal prin metoda coardei după schema din (fig. 12.28). Tabelul 12.7. Nr. crt

h0i (m)

h0s (m)

h0m (m)

A (m2)

P (m)

R (m)

C (m0,5/s )

Q (m3/s)

Q-Q0

Obs .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,40 1,705 1,55 1,55 1,55 1,569 1,569 1,569 1,572

1,70 1,70 1,70 1,625 1,587 1,588 1,579 1,574 1,574

1,55 1,625 1,587 1,769 1,579 1,574 1,572 1,573

4,340 6,035 5,154 5,586 5,368 5,262 5,319 5,290 5,279 5,284

6,048 7,129 6,589 6,859 6,724 6,657 6,693 6,675 6,668 6,672

0,718 0,846 0,782 0,814 0,798 0,790 0,795 0,793 0,792 0,792

59,137 60,788 59,993 60,398 60,197 60,097 60,151 60,124 60,113 60,119

3,075 4,773 3,867 4,306 4,083 3,976 4,033 4,004 3,993 3,999

-0,925 +0,773 -0,132 +0,306 +0,083 -0,024 +0,033 +0,0045 -0,0071 -0,0013

< < > > < > > < <

v = 0,757 m/s.

Hidraulică vol. II

131

Prin calculul automat pentru εh0 = 10−6 se obţine Q = 4,000 m3/s; v = 0,757 m/s; A = 5,286 m2; P = 6,672 m; R = 0,792 m; C = 60,120 m0,5/s; h0 = 1,573 m. 50. Un debuşeu din piatră rostuită, de formă trapezoidală trebuie să transporte debitul Q = 4,0 m3/s, la panta I = 0,2 m = 1, şi lăţime la fund b = 0,8 m. Să se determine adâncimea curentului în mişcare permanentă şi uniformă. Rezolvare. Panta canalului (debuşeului) este mare şi este de aşteptat ca pe aceasta să se formeze curenţi aeraţi. Aerarea parţială are loc pentru: 0,0784 < I < 0,542 . R 0,0834 În această situaţie calculele sunt asemănătoare curenţilor neaeraţi, însă se lucrează cu elementele caracteristice curentului aerat (fig. 12.29). 1 1 Q = Qa = Aa C a Ra I ;

β

β

unde: β este coeficientul de aerare calculabil cu relaţia: β = 1 − 0,812 lg Fr / 36 ; Fr =

αQ 2 B

. g A3 Efectuând dimensionarea pentru curent neaerat rezultă: h0 = 0,464 m; A = 0,590 m2; P = 2,118 m; R = 0,279 m; C = 28,86 m0,5/s; 0,0784 0,0784 v = 6,78 m/s; Fr = 15,10; β = 1,306; 0, 0834 = = 0,087 , deci R 0,279 0,0834 curentul se aerează pentru pante de peste I>0,087. În concluzie calculele se efectuează pentru curent aerat prin aproximaţii succesive; se dau valori debitului aerat Qa, apoi se dimensionează 1 canalul pentru debitul aerat şi cu relaţia Qa = Q se determină debitul lichid.

β

Aproximaţiile se efectuează în jurul valorii Qa = βQ obţinut pentru dimensionare la curent neaerat: Qa = βQ = 1,306·4 = 5,224 m3/s. Rezultatele calculelor sunt centralizate în (tab. 12.8).

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

132

Calculul canalului la curgere aerată Tabelul 12.8 Nr. crt 1 2 3 4 5 6

Qa (m3/s) 5,22 5,21 5,20 5,19 5,18 5,17

ha (m) 0,5355 0,5349 0,5344 0,5338 0,5333 0,5328

Aa (m) 0,7151 0,7141 0,7131 0,7121 0,7110 0,7101

Pa (m) 2,3146 2,313 2,3115 2,3100 2,3085 2,3069

Ra (m) 0,3090 0,3087 0,3085 0,3083 0,3080 0,3078

Ca (m0,5/s) 29,365 29,361 29,357 29,354 29,350 29,346

va (m/s) 7,299 7,296 7,292 7,288 7,285 7,281

Fra

β

15,631 15,628 15,625 15,622 15,620 15,617

1,2942 1,2943 1,2943 1,2944 1,2945 1,2945

Q=Qa/β (m3/s) 4,0334 4,0250 4,0175 4,0096 4,0016 3,9937

Se observă că în cazul acestui curent aerat adâncimea normală creşte cu ∆h = 0,533 - 0,464 = 0,069 m, reprezentând 14,9 %. Ba

B

n= 1

n= 1

aerat h0=0,46m

neaerat

h0a=0,533m

b=0,8m

b=0,8m

Partial aerat

Neaerat

Fig. 12.29. Schema canalului curent neaerat şi aerat

60. Să se dimensioneze un canal trapezoidal căptuşit cu dale din beton (n = 0,014), pentru transportul debitului Q = 8 m3/s, la panta I = 0,2 ‰ m = 1,5 astfel ca viteza medie să fie cuprinsă în limitele vmin = 0,8 m/s, vmax = 1,4 m/s. Rezolvare. În lipsa altor condiţii impuse se propune profil hidraulic

optim:

(

)

β = 2 1 + m 2 − m , pentru care aria curgerii este:

(

)

A = h 2 (β + m ) = h 2 2 1 + m 2 − m , respectiv h=

A

.

2 1+ m − m Pentru vitezele impuse rezultă elementele limită: 2

Hidraulică vol. II

Amin =

Q 8 = = 5,714 m 2 Vmax 1,4

Amax =

Q 8 = = 10,0 m 2 Vmin 0,8 5,714

hmin =

2

133

= 1,647 m

2 1 + 1,5 − 1,5 10,0

hmax =

2 1 + 1,52 − 1,5

= 2,179 m

hmin 1,647 = = 0,823 m 2 2 h 2,179 Rmax = max = = 1,089 m 2 2 1 1/ 6 1 Cmin = Rmin = 0,8231 / 6 = 69,15 m 0,5 /s n 0,014 1 1/ 6 1 Cmax = Rmax = 1,0891 / 6 = 72,45 m 0,5 /s n 0,014 Rmin =

I min

Q2 82 = 2 = = 1,12 ⋅ 10 − 4 2 2 2 Amax Cmax Rmax 10,0 ⋅ 72,45 ⋅ 1,089

Q2 82 I max = 2 2 = = 4,98 ⋅ 10 − 4 . 2 2 Amin C min Rmin 5,714 ⋅ 69,15 ⋅ 0,823 Fiindcă Imin < I < Imax este posibilă dimensionarea la profil hidraulic optim cu respectarea condiţiilor de limitare a vitezei. Conform relaţiei (12.21) elementele secţiunii sunt:   2 2 / 3 nQ h0 =    2 1 + m 2 − m I 

3/8

)

  22 / 3 ⋅ 0,014 ⋅ 8 =   2 1 + 1,52 − 1,5 0,0002 

3/8

= 1,954 m

) ( b = β ⋅ h = 2( 1 + m − m )h = 2( 1 + 1,5 − 1,5)1,954 = 1,183 m A = h (2 1 + m − m ) = 1,954 (2 1 + 1,5 − 1,5) = 8,039 m (

2

0

2

2

0

2

2

2

viteza medie în canal este: Q 8 v= = = 0,995 m/s , A 8,039 care se încadrează în limitele impuse.

2

134

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

CAPITOLUL 13 MIŞCAREA PERMANENTĂ LENT (GRADUAL) VARIATĂ A LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ Mişcarea în albii deschise în general este nepermanentă, dar pe anumite perioade mişcarea poate fi permanentă. Formele de mişcare neuniformă sunt generate de modificările secţiunii albiilor în lungul curentului. Modificările de secţiune sunt prezente în albii naturale aproape pe întreaga lor lungime, dar şi albiile artificiale sunt împărţite în biefuri de către neregularităţi importante ale albiilor – modificări importante ale secţiunii, căderi, barări, secţiuni de reglare, alte construcţii şi instalaţii în albii. Chiar micile modificări ale secţiunii, rugozităţii produc modificarea, curbarea liniilor de curent. Curenţii cu suprafaţă liberă sunt foarte sensibili la perturbaţii, liniile de curent sunt uşor curbate ceea ce, chiar la debite constante, face ca mişcarea să nu aibă caracter uniform. Curenţii permanenţi cu suprafaţă liberă în raport cu curbura liniilor de curent se împart în: - curenţi lent (gradual) variaţi, la care curbura liniilor de curent este mică şi pe distanţe mici, în particular se pot considera drepte cvasiparalele; - curenţi rapid variaţi, la care curbura liniilor de curent este importantă pe distanţe mici, iar nici în particular liniile de curent nu pot fi considerate cvasiparalele. Mişcările lent variate se soluţionează în general pe cale hidraulică, iar curenţii rapid variaţi prin metode hidraulice sau hidrodinamice (prin teoria mişcărilor potenţiale cu neglijarea anumitelor caracteristici). Mişcările permanente neuniforme iau naştere când sunt deranjate condiţiile mişcării uniforme. Cum s-a mai menţionat, modificările secţiunii albiei, a rugozităţii sau elasticităţii patului albiei în lungul curentului implică mişcări neuniforme chiar pentru debite constante. Mişcările permanente neuniforme sunt de fapt mişcări pe biefuri, cu mişcări lent variate, racordate la limitele lor prin mişcări rapid variate. Modul în care un curent permanent cu suprafaţă liberă reacţionează la perturbări depinde în mare măsură de caracteristicile sale energetice şi, în special, de raportul dintre energia cinetică şi cea potenţială.

Hidraulică vol. II

135

În acest capitol se analizează energetic curenţii cu suprafaţă liberă, se deduce ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent variate, se analizează fizic forma suprafeţei libere a curenţilor lent variaţi, se prezintă metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale pentru albii regulate (canale) şi neregulate (albii naturale). 13.1. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A MIŞCĂRII PERMANENTE LENT (GRADUAL) VARIATE A CURENŢILOR CU NIVEL LIBER. Mişcarea cu debit constant (Q = const.) în albii are caracter de neuniformitate însă pe un bief cu neregularităţi mici, curbura liniilor de curent este mică, pe distanţe mici acestea se pot considera (în particular), cvasiparalele, iar modificarea parametrilor hidraulici în lungul curentului este lentă. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mişcării lent variate are la bază ecuaţia energiei (Bernoulli), aplicată unui tronson al unei albii oarecare (neregulate) între secţiunile 1 şi 2 (fig. 13.1). Se acceptă ipoteza că pierderile liniare în lungul curentului pe distanţe dl mici, sunt ca şi în cazul mişcării uniforme (12.13). h

y

α

dhr

le

2 v0 /2g

dh

lp V1

h0

V2

h1 0 z0

ϕ

I

h2

1

2

∆h

s l

dl

Fig. 13.1. Schemă a mişcării lent variate

Pentru pante mici ale fundului se acceptă: I = sin ϕ ≅ tgϕ şi pe distanţa dl panta energetică j şi piezometrică jp sunt egale. Aplicând ecuaţia energiei între secţiunile 1 şi 2, obţinem: α 1V12 p1 α 2V22 p 2 + + h1 + ∆h = + + h2 + dhr 2g 2g γ γ

(13.1)

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

136

Acceptând α=const. şi p1=p2=0, rezultă: α V22 − V12 I ⋅ dl − (h2 − h1 ) = + dhr 2g

(

Notând h2-h1=dh şi

α (V22 − V12 ) 2g

)

 αV 2 = d   2g

(13.2)

  , după înlocuire în (13.2) 

şi împărţire cu dl, avem:  αV 2   d  g 2 dh  + dhr I− =  dl dl dl Albia oarecare este caracterizată de A=f(h, l), deci

dA =

∂A ∂A dl + dh ∂l ∂h

(13.3)

(13.4)

Înlocuind viteza medie din ecuaţia de continuitate (V=Q/A), termenul: α d V2 αQ 2  ∂A ∂A dh  (13.5) ⋅ =− 3  + ⋅  2 g dl gA  ∂l ∂h dl  Sensul geometric al termenului ∂A / ∂h rezultă din fig.13.2.

( )

B A A

h

Fig.13.2. Exprimarea termenului ∂A / ∂h .

h z

Pentru ∂h infinit mic rezultă ∂A / ∂h = B , deci: dh αQ 2  ∂A dh  dhr (13.6) I− =− + B  + dl dl  dl gA 3  ∂l Acceptând ipoteza referitoare la pierderile de energie liniare şi paralelismul liniei energetice şi piezometrice pe distanţe mici: dhr Q 2 Q2 (13.7) j = jp = = 2 = 2 2 dl K AC R după înlocuire, rezultă variaţia adâncimii apei în lungul curentului, ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent variate în albii oarecare, sub forma:

Hidraulică vol. II

dh = dl

Q 2  αC 2 R ∂A  I − 2 2 1 − ⋅  gA ∂l  A C R

αQ 2

B 1− ⋅ 3 g A

137

(13.8)

Termenul

α Q2 B g

⋅

A

3

=

αV 2 ghm

= Fr

(13.9)

este numărul Froude al mişcării. Ecuaţia (13.8) pentru albii regulate - cilindrice, prismatice (cu A = f(h), deci ∂A / ∂l = 0 ), devine: Q2 Q2 I− 2 2 I− 2 2 dh A C R AC R (13.10) = = 2 dl 1 − Fr αQ B 1− ⋅ g A3 Pentru mişcări uniforme h = h0 = c şi se obţine: (12.3) Q = AC RI

13.2. STUDIUL ENERGETIC AL CURENŢILOR PERMANENŢI CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Analiza porneşte de la exprimarea energiei specifice a secţiunii pentru curentul uniform. De aceea rezultatele sunt riguros valabile curenţilor uniformi, dar cu erori mici pot fi extinse şi curenţilor lent variaţi. La mişcări cu variaţii importante erorile sunt considerabile, totuşi analiza energetică permite stabilirea unor concluzii calitative. 13.2.1. Energia specifică a curentului şi a secţiunii.

Se consideră un curent permanent de lichid la care elementele în mişcarea uniformă sunt specificate în (fig. 13.3).

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

138

1

α v02 / 2 g α v02 / 2 g

e

o'

2 1

V E

H0 h

E

0'

1

e

1

I ,n

E

L

z 0

0

E 1- E 2=∆E

0

h

e2 E2 z

2 0

e

Fig. 13.3. Energia specifică a secţiunii şi curentului

Energia specifică a curentului se defineşte faţă de un plan de referinţă arbitrar fix 0-0, admiţându-se legea liniară de distribuţie a presiunilor pe verticala adâncimii: αV 2 p αV 2 (13.11) E= + +z= +h+z γ 2g 2g Energia specifică a secţiunii e, este energia specifică faţă de planul de referinţă orizontal care trece prin punctul cel mai de jos al secţiunii: αV 2 αQ 2 (13.12) =h+ e= h+ 2g 2 gA 2 La definirea energiei specifice a secţiunii planul de referinţă se modifică pentru fiecare secţiune în parte; valoarea sa depinde de parametrii mişcării: adâncime şi viteză medie. 13.2.2. Variaţia energiei specifice a secţiunii în lungul curentului.

Mişcarea în albii deschise se produce pe seama „consumului” energiei specifice ale curentului E, prin frecări parte din energie se transformă în căldură, deci: dE < 0. dl La curenţi uniformi consumul de energie are loc pe seama energiei specifice de poziţie fiindcă celelalte componente se menţin constanţe (h0 = c şi v = c), deci: dE dz (13.13) = = I sau e = const. dl dl

Hidraulică vol. II

139

La mişcări neuniforme în albii neregulate însă au loc modificări ale energiei specifice a secţiunii în lungul curentului, astfel de dh d  αV 2  dh αQ 2  ∂A ∂A dh  = (13.14) = +  − + ⋅   dl dl dl  2 g  dl gA3  ∂l ∂l dl  sau conform (13.3) şi (13.7).  K 02  dhr de Q2 (13.15) =I− = I − 2 2 = I 1 − 2  dl dl AC R K   în care K0 este modulul de debit corespunzător mişcării uniforme, iar K pentru mişcarea permanentă neuniformă. Pentru mişcări uniforme dh / dl = 0; ∂A / ∂l = 0 şi K0=K, deci variaţia energiei specifice a secţiunii este nulă (ec. 13.13). Pentru mişcări neuniforme se disting două cazuri: 10. Pentru K > K0 rezultă A > A0 şi V < V0. Pentru pante pozitive în sensul curgerii I > 0 se obţine de/dl > 0, deci energia specifică a secţiunii creşte în lungul curentului. 20. Pentru K < K0 corespund A < A0 şi V > V0, rezultând de/dl < 0, deci energia specifică a secţiunii scade în lungul curentului. În ambele situaţii modificarea energiei specifice a secţiunii se datoreşte modificării pierderilor de energie. Dacă la curent uniform pierderea de energie este exact diferenţa de energie de poziţie datorită pantei geometrice, la mişcare neuniformă cu V < V0 pierderile sunt mai mici, pe când pentru V > V0 pierderile de sarcină sunt mai mari decât în mişcarea uniformă.

13.2.3. Stările curenţilor permanenţi Analiza funcţiei energiei specifice a secţiunii pentru albii regulate (cilindrice, prismatice), pentru care A = f(h) evidenţiază că funcţia continuă e(h) pentru h > 0 admite un minim pentru debit Q dat în punctul (emin, hcr). Minimalizând funcţia (13.12), prin anularea derivatei în raport cu variabila h de αQ 2 dA αQ 2 (13.16) = 1− ⋅ = 1− B=0 dh gA 3 dh gA 3 se obţine valoarea adâncimii critice hcr. Adâncimea critică se determină din condiţia

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

140

αQ 2  A 3  B  ⋅ = 1 sau =  (13.17) g A3 g  B  cr deci depinde de forma secţiunii şi debitul transportat. Explicitarea adâncimii critice este posibilă doar pentru câteva forme de secţiune (dreptunghi, triunghi, parabolă), la celelalte secţiuni relaţia se soluţionează prin metode numerice, de aproximări succesive. αQ 2

10. Calculul manual comportă operaţiuni de completare a (tab. 13.1). Calculul adâncimii critice Nr. crt 1

h (m) 2

B (m) 3

A (m2) 4

3

A /B (m5) 5

Tabelul 13.1 αQ2/g (m5) 6

Când coloanele 5 şi 6 sunt egale sau suficient de apropiate pentru o eroare de calcul ∆h, pentru h calculul se consideră terminat.

20. Calculul grafic se realizează prin reprezentarea coloanelor 2 şi 5 (fig.13.4), apoi pentru αQ2/g se obţine hcr. h hcr

Fig. 13.4. Grafic pentru stabilirea adâncimii critice A3/B

α Q2 g

30. Calculul automat după metoda coardei se realizează după schema logică din fig. 13.5. Se impun ca date iniţiale valori hi < hcr, h > hcr respectiv precizia de calcul ∆h. Calculul se opreşte prin condiţia preciziei de calcul.

Hidraulică vol. II

141

START Citeste: α, g,Q, elementele date ale sectiunii h i,h s , ∆h

α Q2/g

(h - h i ).: ∆h s

< =

> 3 Ai, Bi, Ai/Bi 3 As, Bs, As/Bs

hm =

h i = h cr

hi + hs 2

3 Am, Bm, Am/Bm

hs = hm

<

(

3 = Bm .0

αQ2 Am ): 4

> hi = hm

h m = h cr Scrie: h cr , Acr, Bcr

STOP

Fig. 13.5. Schemă logică pentru calculul adâncimii critice

Adâncimii critice îi corespund elementele critice ale curentului şi secţiunii (Acr, Vcr, Icr). Energia specifică a secţiunii pentru albii cilindrice şi prismatice pentru un debit Q depinde numai de adâncimea curentului. αQ 2 e( h ) = h + (13.18) 2 gA 2 (h) Funcţia e(h) are două asimptote:
h = 0 fiindcă h→0 corespunde e → ∞ şi
e(h) = h fiindcă corespunde h→∞ e → ∞. Energia specifică minimă a secţiunii la diferite debite este: Acr3 αQ 2 1 (13.19) emin = + hcr = + hcr = (hm )cr + hcr 2 2 2 2 gAcr 2 Bcr Acr

142

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

e= h

situându-se pe o dreaptă în coordonatele (e, h). h

a nt le

h2

e ar St

hcr

e ar St Q2

da pi a r

hcr Q3 Stare rapida

Q1

h1

emine

h cr + ) cr hm ( 2 1/ e=

h=0

e

Fig. 13.6. Variaţia energiei specifice a secţiunii

Graficul din (fig. 13.6) evidenţiază că acelaşi debit Q poate fi transportat de o albie la aceeaşi energie specifică a secţiunii pentru două adâncimi diferite: 1. h > hcr, stare lentă fluvială a curentului, pentru care energia potenţială are prepondere mai mare faţă de energia cinetică, V < Vcr; 2. h < hcr, stare rapidă torenţială a curentului, pentru care energia cinetică are o pondere mai mare decât cea potenţială, V > Vcr; 3. Adâncimii critice hcr îi corespunde starea critică a curentului, la care corespund elemente critice: Vcr, Icr respectiv emin. Particularizând cele prezentate secţiunii dreptunghiulare, cu notaţia q=Q/b se obţin: αQ 2 αq 2 (13.18’) e=h+ = +h 2 gb 2 h 2 2 gh 2 din care: 2 g (e − h ) q=h (13.20)

α

Din (13.17) rezultă:

hcr =

3

αq 2

g respectiv din (13.18), cu h = hcr.

(13.21)

Hidraulică vol. II

143

1 3 hcr = hcr (13.22) 2 2 care arată că la secţiuni dreptunghiulare la starea critică energia specifică a secţiunii se compune 2/3 din energia potenţială şi 1/3 energie cinetică. Debitul specific maxim se obţine pentru adâncimea critică şi are valoarea:

emin = hcr +

qmax = hcr3/ 2

g

(13.23)

α

Funcţia q(h) are forma din fig. 13.7. h h

Fig. 13.7. Variaţia debitului specific q = f(h) la albii de secţiune dreptunghiulară.

hcr q qmax

Viteza critică este: q ghcr (13.24) Vcr = max = α hcr Stării critice a curentului în mişcare uniformă îi corespunde panta critică din (fig. 12.3) şi (fig. 13.17), sub forma: gPcr I cr = (13.25) αC cr2 Bcr g care pentru albii foarte largi (P~B) devine I cr = . αC cr2 Graficul funcţiei (13.24) are forma din (fig. 13.8). h

Fig. 13.8. Starea curentului la diferite pante în mişcare uniformă. hcr Icr Stare lenta

Stare rapida

I

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

144

Observaţii. Pentru secţiuni triunghiulare şi parabolice adâncimea critică este explicitată, astfel: - la secţiune triunghiulară:

2αQ 2 gm 2 - la secţiune parabolică: hcr = 5

hcr =

4

(13.26)

27 αQ 2 ⋅ 64 gP

(13.27)

13.2.4. Recunoaşterea stării curentului. Recunoaşterea stării curentului are importanţă în multe probleme de dimensionare şi verificare a funcţionării sistemelor hidraulice deschise. Starea curentului se determină în funcţie de mai multe elemente, comparând caracteristicile curentului cu cele critice: h ⋮ hcr ;V ⋮Vcr ; I ⋮ I cr , sau în baza numărului Froude, când prin modificarea relaţiei (17.17) rezultă numărul Froude critic (tab. 13.2). αVcr2 (13.28) Frcr = =1 ghmcr Caracterizarea stării curentului Tabelul 13.2 Criteriul Adâncime Viteză Pantă Numărul Froude

lentă h > hcr V < Vcr I < Icr Fr < 1

Starea curentului critică h = hcr V = Vcr I = Icr Fr = 1

rapidă h < hcr V > Vcr I > Icr Fr > 1

Hidraulică vol. II

145

13.3. ANALIZA CALITATIVĂ A FORMEI SUPRAFEŢEI LIBERE A LICHIDELOR ÎN MIŞCARE LENT (GRADUAL) VARIATĂ. În mişcarea permanentă lent variată, suprafaţa liberă a lichidelor este curbată şi se numeşte, impropriu, remuu (vâltoare). Standardele definesc curbe de supraînălţare sau pozitive şi curbe de coborâre a nivelului – curbe negative. Atât curbele de supraînălţare cât şi cele de coborâre pot fi de mai multe categorii în funcţie de natura singularităţilor care le produc şi de starea curentului – lentă, rapidă sau critică. Analiza calitativă a formelor şi tipurilor curbelor suprafeţei libere în mişcare permanentă lent variată în albii cilindrice sau prismatice se face cu ajutorul ecuaţiei diferenţiale (13.10). Această ecuaţie exprimă legea variaţiei adâncimii în lungul curentului. Prin integrarea ecuaţiei se obţine relaţia de calcul a suprafeţei libere a lichidului. Se întâlnesc trei situaţii de pantă diferite faţă de care atât analiza calitativă a suprafeţei libere, cât şi integrarea ecuaţiei diferenţiale prezintă particularităţi, astfel I > 0; I = 0 şi I < 0.

13.3.1. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă lent variată pentru I > 0. Se modifică forma relaţiei (13.10) astfel: - la numărător.  K 02   Q2 1 Q2    I − 2 2 = I 1 − 2 2 ⋅  = I 1 − K 2  I AC R A C R     2 2 2 2 punându-se în evidenţă K 0 = Q / I = A0 C 0 R0 modulul de debit aferent mişcării uniforme, caracterizat de h0 şi K2=A2C2R modulul de debit corespunzător unei adâncimi curente h. αQ 2 Acr3 - la numitor se notează: = = N cr , corespunzătoare adâncimii g Bcr critice hcr şi B/A3=N, corespunzătoare unei adâncimi curente h în mişcarea lent variată, obţinându-se:

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

146

K 02 1− 2 dh K =I N dl 1 − cr N

(13.29)

Necesitatea acestei forme a ecuaţiei rezultă din constatarea că forma suprafeţei libere a lichidului depinde de poziţia adâncimii variabile h în mişcarea lent variată faţă de adâncimea normală h0 şi de adâncimea critică hcr. Ecuaţia (13.29) exprimă tocmai această dependenţă. În funcţie de poziţia suprafeţei adâncimii normale h0 faţă de adâncimea critică hcr, pe profilul longitudinal al albiei există trei situaţii: - linia adâncimii normale este deasupra liniei adâncimii critice, situaţie corespunzătoare stării lente a curentului în mişcarea uniformă (fig. 13.9.a). Liniile celor două adâncimi cu linia fundului împart domeniul curgerii în trei zone: a - peste linia adâncimii normale; b - între liniile adâncimii normale şi critice; c - între liniile adâncimii critice şi fundului. - linia adâncimii normale este situată între linia adâncimii critice şi fundului, caz caracteristic stării rapide a curentului în mişcarea uniformă (fig. 13.9.b). Curentul, şi în acest caz prezintă trei zone: a, b, c; - liniile adâncimii normale şi critice coincid, caz caracteristic stării critice curentului. Dispare zona b, curentul fiind împărţit în zonele a şi c (fig. 13.9.c). În fig. 13.9. linia adâncimilor normale s-a notat cu N - N, iar cea a adâncimilor critice cu C - C. Miscare uniforma in stare lenta

Miscare uniforma in stare rapida

a

N

C

a

N b

C

N

b

C

c

c 0 0.

c)

N= =C

Hidraulică vol. II

147

Adâncimea curentă h în cazul mişcării permanente lent variate este situată într-o zonă din figura 13.9; în funcţie de situaţie suprafaţa liberă are caracteristici diferite bine definite fiecărui caz în parte.

10. Cazul pantei pozitive, starea mişcării uniforme lentă 0 < I < Icr. Curentul este caracterizat prin h0 > hcr, V < Vcr, Fr < 1. Adâncimea curentului h în mişcarea lent variată poate fi situată în cele trei zone a, b, c (fig. 13.9.a). 10.a. - Zona a este caracterizată prin h > h0 şi h > hcr. Conform relaţiei (13.29) pentru h > h0, rezultă K > K0, deci numărătorul ecuaţiei este pozitiv. Pentru h > hcr şi N > Ncr, deci şi numitorul este pozitiv. Variaţia adâncimii în lungul curentului este pozitivă, dh/dl > 0, adâncimea creşte din amonte spre aval. Pe albie în zona a se formează o curbă de supraînălţare tip a1 (fig. 13.10). Acest tip al suprafeţei libere este întâlnită frecvent în practică, când un canal lent (0 < I< Icr) este barat de deversor, stăvilar, pile, baraj sau alte obstacole în albie. N

a 1

C '

b hcr

h0 c

b1

N

c1

C '

0 < I< Ic r

Fig. 13.10. Suprafaţă liberă în mişcare gradual variată la albii lente 0 < I < Icr.

Variaţia energiei specifice în lungul curbei a1 creşte spre aval, semnul lui de/dl coincide cu semnul numărătorului (13.15). Energia specifică a secţiunii are valoare minimă la adâncimea critică şi spre aval adâncimea h se îndepărtează de cea critică. Adâncimea teoretică pe bief de lungime nedefinită în zona a este cuprinsă în limitele: h = (h0 , ∞ ) . O analiză succintă a funcţiei (13.29) permite stabilirea asimptotelor şi direcţia curburii suprafeţei libere, astfel: - în amonte h→h0, K→K0 rezultând dh/dl→0, deci în partea superioară suprafaţa liberă tinde asimptotic la suprafaţa caracteristică mişcării uniforme;

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

148

- în aval h→∞, K→∞, N→∞, deci K02/K2→0 şi Ncr/N→0. Astfel dh/dl→I, în partea inferioară suprafaţa liberă tinde asimptotic la orizontală. Forma curbei este concavă şi teoretic se întinde în amonte la infinit. Practic curba se consideră terminată unde adâncimea h în mişcare lent variată diferă puţin de adâncimea normală h0. Rezultatele analizelor sunt centralizate în tabelul 13.3. zona a. Forma curbei la o barare corespunde fig. 13.11. N C

a1 hcr h0 h

N C

0 < I < Ic r

Fig. 13.11. Curba de supraînălţare a1 la bararea unui curent lent.

10.b. Zona b este caracterizată prin hcr < h < h0, deci K < K0 şi N > Ncr. Numărătorul ecuaţiei (13.29) este negativ, iar numitorul pozitiv, deci dh/dl < 0, adâncimea scăzând din amonte spre aval ca şi energia specifică a secţiunii (conform 13.15). Adâncimea curentului hє(h0, hcr). Curba suprafeţei libere coborâtoare are formă convexă şi este de tipul b1 (fig. 13.10). Asimptotele suprafeţei libere sunt: - în amonte h→h0 (analiza este identică cazului a) şi suprafaţa liberă tinde asimptotic la suprafaţa corespunzătoare mişcării uniforme; - în aval h→hcr, respectiv N→Ncr şi dl/dh→−∞ care arată că în aval teoretic curba b1 are asimptotă normala la linia adâncimilor critice. Rezultatele analizelor corespund zonei b din tabelul 13.3. Întrucât în apropierea adâncimii critice mişcarea nu mai respectă ipoteza de lent (gradual) variată, curbura liniilor de curent este importantă, practic în zona terminală aval, (13.29) nu mai este valabilă. Adâncimea h în jurul adâncimii critice are variaţie rapidă în lungul curentului şi suprafaţa liberă se dispune după altă lege decât (13.29). Astfel de curbe coborâtoare b1 se întâlnesc pe canale cu pantă caracteristică stării lente (0 < I < Icr) la căderi sau creşteri bruşte ale pantei (fig. 13.12).

Hidraulică vol. II

149

N C

h0

N

b1 hcr

Fig. 13.12. Curba de coborâre b1 la o cădere pe canal.

C

0 K0 N > N cr a >0 >0 >0 h > hcr a1 negativă h < h0 coborâre K < K0 N > N cr b 0 hcr b1 pozitivă h < h0 supraînălţare K < K0 N < N cr c 0 (conform tabelului 13.3 zona c), deci adâncimea creşte spre aval după o curbă de supraînălţare de tipul c1. Energia specifică a secţiunii scade spre aval, iar adâncimea se aproprie de adâncimea critică. În capătul aval al curbei c1, h→hcr, respectiv N→Ncr şi numitorul ecuaţiei (13.29) tinde la zero, fapt care arată că la hcr în mişcare are loc o discontinuitate. În apropierea adâncimii critice curbura liniilor de curent este pronunţată, nu se respectă ipoteza mişcării gradual variate. În apropierea adâncimii critice mişcarea este descrisă de altă lege, a mişcării rapid variate

150

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

(care se prezintă în capitolul 14). Alura curbei este concavă, fiind prezentată în (fig. 13.10). Astfel de curbe c1 sunt frecvente în practică, când într-un canal cu 0 < I < Icr o construcţie (stavilă parţial ridicată, barare cu deversor) produce mişcarea în stare rapidă (fig. 13.13). Curbele de tipul c1 se întâlnesc la racordarea biefurilor (cap. 15). N N C

C N C c1

N C

I< Ic r

Fig. 13.13. Forme de curbe de supraînălţare tip c1.

20. Cazul pantei pozitive, starea rapidă a mişcării uniforme I > Icr. În cazul albiei cu mişcare uniformă în stare rapidă curentul este divizat de liniile fundului, luciului apei în mişcare uniformă şi linia adâncimii critice tot în trei zone a, b, c (conform fig. 13.9.b). Adâncimea curentă h poate fi situată în aceste zone. 20.a. Zona a este caracterizată prin h > hcr > h0, rezultând K > K0 şi N > Ncr, atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt pozitive, deci dh/dl > 0, ceea ce arată că adâncimea curentului în mişcare gradual variată creşte spre aval. Adâncimea aparţine domeniului hє(hcr, ∞). În aval h→∞, astfel K→∞ şi N→∞, rezultând dh/dl→I, deci curba de supraînălţare convexă a suprafeţei libere tinde asimptotic la un plan orizontal. În partea amonte h→hcr, N→Ncr şi numitorul ecuaţiei (13.29) tine la zero, care indică discontinuitate a funcţiei şi mişcării pentru h = hcr. Asimptota la curba teoretică a suprafeţei libere este normala la linia adâncimilor critice. În apropierea adâncimii critice nu se respectă ipoteza mişcării lent variate, curbura liniilor de curent este importantă şi fenomenul fizic de fapt este descris de altă lege. Curba de supraînălţare a2 este redată în (fig. 13.14). Rezultatele analizei corespund tabelului 13.4.

Hidraulică vol. II

151

a

C

a2 hcr

N h0

b C

c

b2 c2

N

Fig. 13.14. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii rapide I > Icr.

În practică curbe de supraînălţare a2 se formează în canale rapide la bararea acestora cu stăvilare, deversoare, praguri (fig. 13.15). C

C

N

N

2

I>Icr

C N

2

I>Icr

C N

Fig. 13.15. Forme de curbe de supraînălţare tip a2.

Analiza curbei suprafeţei libere în mişcare gradual variată pentru I > Icr. Tabelul 13.4 Semn Semn h ⋮ h0 Zona Tip curbă K ⋮ K 0 numărător N ⋮ N cr numitor dh / dl ⋮ 0 h ⋮ hcr de / dl ⋮ 0 pozitivă h > h0 supraînălţare K > K0 N > N cr a >0 >0 >0 h > hcr a2 negativă h < h0 coborâre K > K0 N < N cr b >0 h0 rezultă K > K0, deci numitorul ecuaţiei (13.29) pozitiv, iar h < hcr implică N < Ncr, deci numitorul negativ, pe ansamblu dh/dl < 0 arătând faptul că adâncimea în mişcarea gradual variată scade spre aval. Suprafaţa liberă concavă este o curbă de coborâre tip b2 (v.fig.13.14). În amonte h→hcr, N→Ncr arată că asimptota la curba teoretică este normala la linia adâncimilor critice însă în apropierea adâncimii critice curbura liniilor de curent este importantă, nu se respectă ipoteza mişcării lent variate şi mişcarea aici este guvernată de alte legi. În aval h→h0, K→K0 şi dh/dl→0 arată că în aval suprafaţa liberă a apei tinde asimptotic la suprafaţa caracteristică mişcării uniforme. Curba b2 spre aval se îndepărtează de linia adâncimilor critice, K > K0, deci energia specifică a secţiunii creşte spre aval (pierderile de energie prin frecare în curent sunt inferioare câştigului de energie pe seama pantei (energie de poziţie) care permite accelerarea curentului lichid. Rezultatele analizelor corespund zonei b din tabelul 13.4. În practică curbe de coborâre b2 se întâlnesc pe canale rapide – jilipuri (fig. 13.16). C N I <

b

I c r I >

2

Ic r

C N

Fig. 13.16. Curbă de coborâre b2 pe jilip.

20.c. Zona c este caracterizată de hє(0, h0), astfel pentru h < h0 şi K < K0, rezultă numărătorul ecuaţiei (13.29) negativ şi h < hcr, N < Ncr, numitorul este tot negativ, deci dh/dl > 0 arată creşterea adâncimii spre aval după o curbă de supraînălţare convexă de tipul c2. În amonte adâncimea poate descreşte nedefinit, iar în aval h→h0, K→K0 şi dh/dl→0 arată că în aval curba c2 tinde asimptotic la linia adâncimilor normale. Forma curbei corespunde (fig. 13.14), iar analizele sunt centralizate în tabelul 13.4 (zona c). Cum de/dl < 0, energia specifică a secţiunii scade spre aval, în lungul curbei c2 adâncimea creşte spre adâncimea critică. Curbe c2 se întâlnesc pe canale rapide la schimbare de pantă sau după un evacuator pe canal rapid care realizează adâncimi la evacuare inferioare adâncimii normale (fig. 13.17).

Hidraulică vol. II

153

C C N2

N1

c2 I> 1 I cr

C

N2

N

N1

c2 hc

I> 2 Icr

I> Icr

Fig. 13.17. Forme ale curbei de supraînălţare c2.

30. Cazul stării critice a curentului I = Icr. Curentul în acest caz este caracterizat prin h0 = hcr şi prin suprapunerea celor două adâncimi zona b dispare, rămânând zonele a şi c (v. fig. 13.9.c). Adâncimea curentă h în mişcare gradual variată poate fi situată în cele două zone menţionate. 30.a. Zona a este caracterizată prin h > h0 = hcr, rezultând K > K0 şi N > Ncr, deci atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt pozitivi, deci dh/dl > 0, adâncimea curentului crescând din amonte spre aval după o curbă de supraînălţare tip a3 (fig. 13.18). Energia specifică a secţiunii de/dl > 0 astfel şi aceasta creşte spre aval odată cu îndepărtarea adâncimii de cea critică. În aval h→∞, K→∞, N→∞ rezultând dh/dl = I = Icr. Practic curba suprafeţei libere este o orizontală. În amonte h→hcr=h0 apare nedeterminare în ecuaţie, de fapt mişcarea în apropierea adâncimii critice este guvernată de altă lege, nu a mişcării gradual variate. N=C

a3 c

3

h0 = hcr

N=C

Fig. 13.18. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii critice I = Icr.

Racordarea nivelului amonte depinde în special de adâncimea normală a curentului şi are loc prin mişcare rapid variată. Acest tip de curbă se întâlneşte la racordarea unui canal în stare rapidă la un rezervor (fig. 13.19).

154

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

a3 h0 = h c r I = Ic r

Fig. 13.19. Curba de supraînălţare a3 şi formele de racordare cu nivelul din canal în stare critică.

Rezultatele analizelor sunt sintetizate în tabelul 13.5. Analiza curbei suprafeţei libere în mişcare gradual variată pentru I=Icr Tabelul 13.5 Semn Semn h ⋮ h0 Zona Tip curbă K ⋮ K 0 numărător N ⋮ N cr numitor dh / dl ⋮ 0 h0 ≡ hcr de / dl ⋮ 0 pozitivă h > h0 supraînălţare K > K0 N > N cr a >0 >0 >0 h0 ≡ hcr a3 pozitivă h < h0 supraînălţare K < K0 N < N cr c 0, deci adâncimea curentului creşte din amonte spre aval după o curbă de supraînălţare tip c3 (fig.13.18). De fapt adâncimea creşte astfel încât defineşte o suprafaţă orizontală. Energia specifică a secţiunii scade spre aval, adâncimea în lungul curentului creşte spre adâncimea critică. În amonte adâncimea poate descreşte nedefinit, iar în aval se racordează cu adâncimea normală în stare critică. Rezultatele analizelor corespund tabelului 13.5, zona c. Curba de supraînălţare c3 se întâlneşte la racordare, la schimbarea de pantă a biefurilor rapide cu biefuri cu Icr sau la ieşirea de sub un stăvilar sau trecere peste deversor, bieful aval având pantă critică (fig. 13.20).

Hidraulică vol. II

C

c3

155

C C c3

I>Icr I=Icr

C

I=Icr

Fig. 13.20. Curbe de supraînălţare c3.

13.3.2. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcare permanentă gradual variată pentru I = 0.

Panta canalului fiind nulă mişcarea uniformă nu poate avea loc şi astfel axa normală a curentului teoretic este la infinit. Există doar axa critică şi linia fundului care împarte mişcarea în două domenii b şi c, respectiv peste şi sub axa critică (fig. 13.21). Mişcarea are loc datorită „consumului” din energia specifică potenţială (adâncime) sau cinetică. Ecuaţia diferenţială (13.10) se particularizează pentru I = 0, devenind: Q2 − 2 dh K (13.10’) = dl αQ 2 B 1− ⋅ g A3 În această ecuaţie, asemănător (13.3.1), se face modificarea numitorului, notând: αQ 2 Acr3 = = N cr , g Bcr şi B/A3 = N, obţinându-se: dh − Q 2 / K 2 = (13.30) N cr dl 1− N b

b0 C

C c

c0 I=0

Fig. 13.21. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii orizontale, I = 0.

156

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

10. Zona b este caracterizată prin h > hcr. Numărătorul ecuaţiei (13.30) este negativ (Q şi K au valori pozitive finite), iar numitorul pozitiv, întrucât N > Ncr, deci dh/dl < 0. Adâncimea curentului scade spre aval în lungul unei curbe de coborâre convexe de tipul b0. În partea amonte a curbei adâncimea poate creşte nedefinit, iar în aval, când h→hcr, în ecuaţia (13.30) apare discontinuitate. Curba teoretică b0 în partea sa aval are tangentă o verticală, normală la linia adâncimii critice. În apropierea adâncimii critice variaţia adâncimii nu respectă ipoteza mişcării gradual variate, curbura firelor de curent fiind importantă. Energia specifică a secţiunii scade spre aval, adâncimea curentă spre aval descreşte spre adâncimea critică. În practica inginerească astfel de curbe b0 se formează în canale construite în palier. 20. Zona c este caracterizată prin h < hcr. Numărătorul ecuaţiei (13.30) rămâne neschimbat (ca în cazul 10), iar numitorul negativ (N < Ncr), rezultând dh/dl > 0, deci adâncimea curentului creşte spre aval, variind teoretic în intervalul hє(0, hcr). În albie se formează o curbă de supraînălţare concavă de tipul c0 (fig.13.21). În amonte adâncimea poate să coboare nedefinit, iar în aval, când h→hcr, apare discontinuitate în ecuaţia (13.30), care arată că spre aval curba suprafeţei libere tinde asimptotic la normala la adâncimea critică. În apropierea adâncimii critice mişcarea este rapid variată şi este descrisă de altă lege. Astfel de curbe c0 iau naştere în albii orizontale la ieşirea curentului de apă de sub stavile sau la trecerea peste deversoare.

13.3.3. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă gradual variată pentru I < 0. În cazul pantei negative mişcarea uniformă nu are sens fizic. În ecuaţia (13.10) se evidenţiază valoarea negativă a pantei prin înlocuirea I’=|I|, obţinând: Q2 − I′ − 2 dh K (13.10’’) = 2 dl αQ B 1− ⋅ g A3

Hidraulică vol. II

157

Numitorul ecuaţiei se transformă identic cu cele descrise la (13.3.1), obţinând:  Q2  −  I ′ + 2  K  dh (13.31) =  N cr dl 1− N Curentul este împărţit de axa critică C - C în subdomeniile b şi c (fig. 13.22). Numărătorul ecuaţiei totdeauna este negativ şi arată că energia specifică a secţiunii scade spre aval pentru ambele subdomenii. b

'

b c '

C

c

hcr

Fig. 13.22. Suprafaţa liberă în mişcarea gradual variată în canale cu pantă negativă I < 0

I< 0

10. Zona b este caracterizată prin h > hcr, rezultând N > Ncr, deci numitorul ecuaţiei (13.31) este pozitiv, obţinându-se dh/dl < 0. Adâncimea curentului scade spre aval după o curbă de coborâre convexă tip b’. Adâncimea în aval scade spre adâncimea critică astfel şi energia specifică a secţiunii scade tinzând spre valoarea sa minimă la hcr. În amonte adâncimea poate creşte nedefinit în funcţie de lungimea albiei, iar în aval, când h→hcr în ecuaţia (13.31) apare nedeterminare, care arată că suprafaţa liberă teoretică tinde asimptotic la normala liniei adâncimii critice. În vecinătatea adâncimii critice curbura liniilor de curent este pronunţată, nu respectă ipoteza mişcării gradual variate, deci în această zonă curgerea este rapid variată şi este guvernată de alte legi. Astfel de curbe ale suprafeţei libere se întâlnesc în canale cu dublu flux. 20. Zona c este caracterizată prin h < hcr, respectiv N < Ncr, rezultând dh/dl > 0 şi creşterea adâncimii spre aval în mişcare lent (gradual) variată. Curba suprafeţei libere de supraînălţare este concavă de tipul c1. Spre aval când adâncimea tinde către adâncimea critică este valabilă constatarea de la punctul 10. Curbe c’ ale suprafeţei libere se întâlnesc în cazuri asemănătoare curbelor c0, canalul având însă pantă negativă.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

158

13.4. METODE DE CALCUL ALE CURBELOR SUPRAFEŢEI LIBERE ÎN ALBII CILINDRICE ŞI PRISMATICE. Integrarea ecuaţiei diferenţiale ale mişcării permanente lent variate (13.10) a avut o evoluţie lungă datorită dificultăţilor de ordin matematic. Există mai multe soluţii de integrare în cazuri particulare sau aproximaţii, în forme analitice sau grafice, majoritatea lor prezentând mai mult importanţă istorică. În cele ce urmează se vor prezenta două metode: prima posibilă de aplicat şi în cazul unui calcul manual, iar al doilea prin metoda diferenţelor finite.

13.4.1. Exponentul hidraulic al albiei. Pentru orice albie de formă regulată este satisfăcută relaţia exponenţială: 2 x  K ′′   h ′′  (13.32)   =   K′   h′  în care: K’ este modulul de debit corespunzător adâncimii h’; K’’ – modulul de debit corespunzător adâncimii h’’, iar x un exponent constant pentru o albie dată şi care depinde de forma secţiunii transversale şi rugozitate, purtând numele de exponentul hidraulic al albiei. Relaţia (13.32) nu are fundamentare teoretică strictă şi în general este aproximativă. A fost propus de B. A. Bahmetev pentru a putea integra ecuaţia diferenţială a mişcării gradual variate (13.10). Curba

(13.33) K = AC R = f 1 (h) caracterizează dependenţa modulului de debit şi adâncime (curba plină din fig.13.23), iar (13.34) K = χ ⋅ h x / 2 = f 2 ( h) aproximează modulul de debit printr-o funcţie de altă formă (curba punctată din fig. 13.23).

Hidraulică vol. II

159

x/2

K= h h h''

h'

M''

K=AC R

Fig. 13.23. Variaţia modulului de debit cu adâncimea şi aproximaţia sa.

M'

K'

K''

K

Luând pe curba (13.34) punctele M’(K’, h’) şi M’’(K’’, h’’) corespunzătoare intervalului de adâncime hє(h’, h’’) prin logaritmarea ecuaţiei (13.32) se obţine exponentul hidraulic al albiei: K ′′ lg lg K ′′ − lg K ′ x=2 = K′ (13.35) h′′ lg h′′ − lg h′ lg h′ În acest mod se obţine relaţia (13.34), care este o relaţie aproximativă a modulului de debit pe intervalul de adâncime considerat. Trecând relaţia (13.35) la limită, pentru h’→h’’ se obţine: d lg K (13.36) x=2 d lg h care este exponentul hidraulic al albiei la adâncimea dată h. Dacă coeficientul Chézy C se calculează după o relaţie monomă cu exponent y=const., pentru albii regulate există posibilitatea calculării unor relaţii pentru exponentul hidraulic al albiei prin dezvoltări în serie. În general valorile exponentului hidraulic sunt cuprinse între 2...6. Tehnica actuală de calcul permite obţinerea cu uşurinţă a exponentului hidraulic al albiei din relaţia (13.35). Conform relaţiei (13.32) indicele hidraulic x ar fi constant. Calculând x din (13.35) acesta reprezintă o valoare medie a indicelui x, situată între x’ şi x” corespunzători adâncimilor h’ şi h’’. În urma celor arătate se pot rezuma următoarele: - dacă pentru coeficientul C se utilizează o relaţie monomă cu puterea y = const., atunci pentru albii largi dreptunghiulare şi parabolice, albii dreptunghiulare înguste şi albii triunghiulare, indicele x nu depinde de h, deci relaţia (13.32) se poate considera exactă;

160

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

- pentru albii dreptunghiulare, parabolice (excepţie cele menţionate anterior), eliptice, circulare, trapezoidale etc. x depinde de h şi relaţia (13.32) este aproximativă; - pentru albii neregulate şi regulate închise, relaţia (13.32) este neriguroasă, însă este posibilă folosirea ei în calcule practice. Relaţii explicite de calcul aproximativ al exponentului hidraulic al albiei sunt prezentate în (tab. 13.6). Exponentul hidraulic al albiei pentru secţiuni particulare. Tabelul 13.6 Forma albiei Relaţia de calcul pentru x Valorile lui x Observaţii pentru y = 1/6 m–  m   − x = (3 + 2 y )1 + coeficient β + m  trapez isoscel unghiular al 2 2 1+ m taluzului − (1 + 2 y ) b β + 2 1 + m2 β= h 2 2,66 b 3,33 − x = (3 + 2 y ) − (1 + 2 y ) β= dreptunghi β +2 β +2 h dreptunghi ≈ 3,33 foarte larg ≈ (3 + 2 y ) dreptunghi foarte îngust ≈2 ≈2 triunghi parabolă foarte largă

≈ (5 + 2 y )

≈ 5,33

≈ (4 + 2 y )

≈ 4,3

Există şi grafice pentru determinarea exponentului hidraulic al albiei x.

Hidraulică vol. II

161

13.4.2. Soluţionarea ecuaţiei mişcării gradual variate în albii regulate prin metoda exponentului hidraulic al albiei (B. A. Bahmetev) Integrarea ecuaţiei diferenţiale a mişcării permanente lent variate (13.10) se face separat pentru următoarele categorii de pantă: panta talvegului pozitivă (I > 0), nulă (I = 0) şi negativă (I < 0), relaţia necesitând transformări de formă diferite.

10. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual variate în albii regulate cu pantă pozitivă Integrarea ecuaţiei (13.10) presupune modificarea formei acesteia, atât la numărător cât şi la numitor punându-se în evidenţă (K0/K)2, rezultând: 2

K  1−  0  dh  K  =I 2 dl αIC 2 B  K 0  1−   gP  K 

(13.37)

Se notează, j=

αIC 2 B

(13.38)

gP

obţinând: 2

K  1−  0  dh  K  =I (13.39) 2 dl K  1 − j 0   K  Adâncimea relativă având notaţia: η = h / h0 (13.40) se obţine h = h0η sau în formă diferenţială dh = h0 dη . Raportul (K0/K)2 se înlocuieşte din relaţia de definiţie a exponentului hidraulic al albiei: 2

x

x

1  K0  h    =  0  =   ,  K   h η  în (13.39) obţinându-se:

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

162

h0 dη =I dl

1−

1

ηx

η x −1 =I x 1 η −j 1− j x η

(13.41)

în care variabilele sunt l şi η. După separarea variabilelor obţinem: I dη (13.42) dl = dη + (1 − j ) x h0 η −1 Se integrează ecuaţia pentru adâncimile h1 şi h2, aflate la distanţa L1 respectiv L2 de origine, cu notaţia L = L1 - L2, respectiv η1 = h1/h0 şi η2 = h2/h0, conform fig. 13.24, rezultând:

N Q=c

h2

I>0 L1

L 1

0

Fig. 13.24. Condiţiile integrării ecuaţiei (13.10) pentru I > 0.

N

h1

h0

L2

2 η

2 I (L2 − L1 ) = η 2 − η1 + ∫ (1 − j ) dx η h0 η −1 η1

(13.43)

Atât j cât şi x depind de h, însă pentru tronsoane de canal cu variaţie limitată a adâncimii hє(h1, h2), j poate fi considerată constantă la valoarea sa medie, rezultând: η2 I dη (13.44) L = η 2 − η1 + (1 − j m ) ∫ x h0 η − 1 η1 Introducând notaţia:

ϕ (η , x ) = − ∫

dη η x −1

(13.45)

se obţine: I L = η 2 − η1 − (1 − j m )[ϕ (η 2 , x 2 ) − ϕ (η1 , x1 )] h0

(13.46)

Hidraulică vol. II

163

S-au notat: L – lungimea tronsonului de canal la capetele căruia sunt caracteristice h1 în amonte şi h2 în aval, η1 = h1/h0 şi η2 = h2/h0 fiind adâncimile relative la capetele tronsonului faţă de adâncimea normală h0. α ⋅ I ⋅ C m2 ⋅ Bm . (13.47) jm = g ⋅ Pm Valorile medii Cm, Bm şi Pm se pot calcula ca medie a mărimilor C1, B1 şi P1 respectiv C2, B2 şi P2. Chiar la un calcul al lui jm cu elementele Cm, Bm şi Pm h + h2 determinate cu adâncimea mediată hm = 1 , valoarea sa diferă 2 nesemnificativ faţă de calculul anterior. Funcţia φ(η, x) se calculează prin dezvoltare în serie, astfel: - pentru η1

ϕ (η , x ) =

η 1− x

η 1− 2 x

η 1−3 x

(13.49) + + + ... x − 1 2 x − 1 3x − 1 Constantele de integrare ale funcţiei (13.45) au fost considerate nule, iar valorile pentru diferite perechi de valori (η, x) sunt intabulate în anexe. Pentru valori η şi x intermediare celor existente în tabele se permite interpolarea liniară, după relaţiile: x − x1 ϕ (η , x ) = ϕ (η , x1 ) + [ϕ (η, x2 ) − ϕ (η, x1 )] (13.50) x 2 − x1 η − ηa [ϕ (η b , x ) − ϕ (η a , x )] (13.51) ϕ (η , x ) = ϕ (η a , x ) + ηb − η a şi schema: x

η ηa ⋮ η ⋮ ηb

x1 φ(ηa, x1)

... ...

φ(ηb, x1)

...

x φ(ηa, x) ⋮ φ(η, x) ⋮ φ(ηb, x)

... x2 ... φ(ηa, x2)

...

φ(ηb, x2)

164

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

Observaţii: 10.a. În albii de pământ cu rugozitate mare la calculul curbei a1 se poate considera j = 0, acesta având influenţă mică asupra calculelor. Pentru celelalte tipuri de curbe parametrul j trebuie luat în calcul. Deşi j depinde de adâncime el s-a considerat constant la integrare. Pe un sector de canal cu mişcarea permanentă gradual variată modificarea parametrului j cu adâncimea în calculul suprafeţei libere, este neglijabilă în majoritatea cazurilor. Parametrul j trebuie considerat la valoarea sa medie, determinată cu (13.47). Eventual se poate impune o condiţie de toleranţă relativă pentru j, astfel: j1 − j2 < δj (13.52) jm 10.b. Indicele hidraulic al albiei se determină cu relaţia (13.35), considerând pentru calculul lui xi, parametrii h’ = h0 la care corespunde K’ = K0 şi h” = hi la care corespunde K” = Ki. Asigurarea preciziei de calcul impune limitarea abaterilor relative ale exponenţilor hidraulici ai albiei pentru adâncimile de calcul, astfel: x1 − x2 < δx (13.53) xm În calcule orientative abaterea relativă maximă poate fi δx = 0,1, iar la calcule mai precise δx = 0,05. 20. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual variate în albii regulate orizontale. În cazul pantei nule I = 0 ecuaţia (13.10’) trebuie modificată faţă de parametri caracteristici axei critice a curentului, atât la numărător, cât şi la numitor se evidenţiază termenul (Kcr/K)2. 2 K cr2 Q2 α ⋅ Q 2 B α ⋅ I cr C 2 B  K cr  Cu schimbarea = = I cr 2 respectiv   şi g A3 g P K  K2 K notaţia: α ⋅ I cr ⋅ C 2 B j cr = (13.54) g P se obţine:

Hidraulică vol. II

165

2

K  I cr  cr  dh  K  =− 2 dl  K cr  1 − j cr    K  Notând adâncimea relativă, h ξ= hcr rezultă h = hcrξ, respectiv dh = hcrdξ. Înlocuind (K/Kcr)2 = ξx , după înlocuire (13.55) devine: 1 − I cr x hcr dξ I cr ξ = = , j cr dl j cr − ξ x 1− x

(13.55)

(13.56)

ξ

respectiv după separarea variabilelor: I cr dl = j cr − ξ x dξ (13.57) hcr Se integrează ecuaţia pentru adâncimile curente h1 şi h2, caracteristice uneia din curbele suprafeţei libere pentru albii orizontale, aflate la distanţele L1, respectiv h L2 de o origine. Se utilizează notaţiile L = L2 - L1 şi ξ 1 = 1 , respectiv hcr h ξ 2 = 2 (fig. 13.25). hcr

(

)

C

C Q

hcr

h1

h2 I=0

L1

Fig. 13.25. Condiţiile integrării ecuaţiei (13.10’) pentru I = 0.

L L2

Rezultă: ξ

2 I cr (L2 − L1 ) = ∫ jcr dξ − 1 (ξ 2x +1 − ξ1x +1 ) . hcr x +1 ξ1

166

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

Acceptând pe tronsonul de calcul jcrm = const, rezultă: I cr 1 ( (13.58) L = j crm (ξ 2 − ξ 1 ) − ξ 2x +1 − ξ1x +1 ) hcr x +1 Calculatoarele simple permit efectuarea facilă a operaţiilor. Totuşi literatura mai veche conţine şi forma: I cr L = j crm (ξ 2 − ξ 1 ) − [ϕ (ξ 2 , x 2 ) − ϕ (ξ 1 , x1 )] (13.58’) hcr în care:

ϕ (ξ , x ) =

ξ x +1

(13.59) x +1 Valorile funcţiei φ(ξ, x) sunt intabulate în anexe. Între valorile intabulate se permite interpolarea liniară ca şi în cazul pantei pozitive. Pentru calculul jcrm şi x trebuiesc respectate condiţiile descrise la pantă pozitivă. 30. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual variate în albii regulate cu pantă negativă (I < 0). În cazul canalelor cu pantă inversă, I < 0, se pleacă de la ecuaţia (13.10”) unde, |I|=I’. Modificarea ecuaţiei se face faţă de o curgere virtual inversă cu panta I’. Se pune în evidenţă (K0’/K)2 atât la numitorul cât şi la numărătorul ecuaţiei, obţinând: 2  K 0′  1+   K  dh  = −I ′ (13.60) 2 dl α ⋅ I ′ ⋅ C 2 ⋅ B  K 0′  1−   g⋅P  K  Notând: α ⋅ I′⋅C2 B (13.61) j′ = g P se obţine:

Hidraulică vol. II

167

2

 K′  1+  0  dh  K  = −I ′ 2 dl  K 0′  1 − j ′   K  Introducând adâncimea relativă h ς= h0′ cu forma diferenţială dh = h0′ dς şi

(13.62)

(13.63)

(K 0′ / K )2 = 1 / ς x ,

(13.62’)

ecuaţia (13.62) se transformă în h0′ d ς ς x +1 = I′ dl j′ − ς x

(13.64)

în care variabilele sunt l şi ζ. După separarea variabilelor se obţine: I′ j′ − ς x dς (13.65) dl = x dς = − dς + ( j ′ + 1) x h0′ ς +1 ς +1 Se integrează ecuaţia pentru adâncimile h1 şi h2, caracteristice uneia din curbele suprafeţei libere pentru albii regulate cu pantă inversă, aflate la distanţele L1, respectiv L2 de origine. Se utilizează notaţiile L=L2-L1 şi h h ς 1 = 1 , respectiv ς 2 = 2 (fig. 13.26), obţinându-se: h0′ h0′ 1

2 Q ' h1

Q C

C h2

h 0'

I< 0

hcr L1

L L2

Fig. 13.26. Condiţiile integrării ecuaţiei (13.10”) pentru I < 0.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

168

ς

2 I′ dς . L2 − L1 ) = − (ς 2 − ς 1 ) + ∫ ( j ′ + 1) x ( ς h0′ + 1 ς1

Variaţia j’ pentru intervalul adâncimilor (h1, h2) este mică şi se poate considera j’m = const., obţinându-se

I′ L = − (ς 2 − ς 1 ) + ( jm′ + 1) φ (ς 2 , x2 ) − φ (ς 1 , x1 )  h0′

(13.66)

cu notaţia:

φ (ς , x ) = ∫

dς ς x +1

(13.67)

Valorile φ(ζ, x) sunt întabulate în anexe, calculate prin dezvoltare în serie a funcţiei (13.67), astfel: - pentru ζ < 1:

ϕ (ς , x ) = c1 + ς −

ς x +1 x +1

+

ς 2 x +1

ς 3 x +1

− + ... 2 x + 1 3x + 1

(13.68)

iar pentru ζ > 1:

ϕ (ς , x ) = c 2 −

ς 1− x

ς 1− 2 x

ς 1−3 x

+ − + ... (13.69) x − 1 2 x − 1 3x − 1 Constanta de integrare c1 = 0, iar constanta c2 se determină astfel ca pentru ζ = 1 valorile funcţiei φ(ζ, x) calculate după (13.68) şi (13.69) să fie egale, ceea ce corespunde condiţiei de continuitate a funcţiei. Parametrul jm' se calculează cu valorile mediate Bm, Pm şi Cm, fiecare fiind media acestor parametri determinaţi adâncimilor h1 şi h2. Calculul exponenţilor hidraulici ai albiei se realizează în mod asemănător prezentat la punctul 1 şi pentru precizia calculului trebuie să se satisfacă condiţia de toleranţă (13.53). Soluţionarea calculului curbelor suprafeţei libere pentru toate cazurile de pantă se poate realiza pe baza unui program unic de calcul automat, care progresiv solicită datele de intrare. În cazul depăşirii condiţiei de toleranţă a exponentului hidraulic se înjumătăţeşte ecartul de adâncimi până la încadrarea în toleranţă.

Hidraulică vol. II

169

13.4.3. Calculul suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variată prin metoda diferenţelor finite

Calculele pentru trasarea suprafeţei libere a apei în mişcarea gradual variată se pot efectua pe baza ecuaţiei energiei specifice şi conservării masei sau prin trecerea la diferenţe finite a ecuaţiilor (13.8), în cazul albiilor oarecare, sau (13.10) în cazul albiilor regulate. 10. Ecuaţia energiei (Bernoulli) în diferenţe finite

Mişcarea permanentă gradual variată în albii deschise are loc cu modificarea lentă în spaţiu a parametrilor mişcării, fără curburi importante ale firelor de lichid. Prima lege aplicabilă acestor mişcări se referă la conservarea masei exprimată de ecuaţia de continuitate (5.41). (5.41) Vi Ai = Q = const A doua lege se referă la conservarea energiei, exprimată de ecuaţia energiei (6.51) conform fig. 13.27. 2

pa

1

∆z A 2h 2 V2

Q=c

z2

h1 A 1 V1

Fig. 13.27. Schemă pentru deducerea ecuaţiei mişcării

z1

∆L 0

0

Pentru distanţă finită ∆L între secţiunile 1-2, rezultă: p α v2 p α v2 z 2 + 2 + 2 2 = z1 + 1 + 1 1 + hr1− 2 γ γ 2g 2g Înlocuind pierderile prin Q2 hr1− 2 = 2 ∆L K iar p1 = p2 = pa se obţine: α v2 α v2 Q2 z 2 + 2 2 = z1 + 1 1 + 2 ∆L 2g 2g K

(13.70)

(13.71)

(13.72)

170

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

sau

α 1v12 − α 2 v 22

Q2 ∆L (13.73) 2g K2 unde K este modulul de debit mediu pe tronsonul de calcul de lungime ∆L. K + K2 (13.74) K= 1 2 Relaţia (13.73) arată că pierderea medie de energie specifică pe tronsonul ∆L este media aritmetică a pierderilor de energie de la capetele tronsonului. Înlocuind vitezele medii din ecuaţia de continuitate se obţine: Q 2  α1 α 2  Q 2  + (13.75) ∆z = z 2 − z1 = − ∆L 2 g  A12 A22  K 2 Dacă pe tronsonul de calcul intervin şi pierderi locale de energie, efectul lor se poate introduce prin coeficienţii lor de rezistenţă hidraulică ζ (13.75) devenind: Q 2  α1 α 2  Q 2 ∆z = z 2 − z1 = (1 + ∑ ς ) 2  2 − 2  + 2 ∆L (13.76) K  A1 A2  K Calculul suprafeţei libere se realizează într-o direcţie, din aval spre amonte sau invers, în funcţie de parametrii cunoscuţi. Construirea curbei suprafeţei libere presupune cunoaşterea parametrilor z, A, K, într-o secţiune precum şi Q, ∆L şi ζ. Tronsoanele de calcul pot avea pas constant sau variabil. Este recomandabil ca tronsonul să prezinte o pantă relativ uniformă. Pentru explicaţii se consideră secţiuni de pornire 1, fiind cunoscute z1, h1, A1, K1, respectiv Q, ∆L şi ζ. Calculele se realizează prin iteraţii succesive: se propune o valoare verosimilă z2’ determinând A2’, h2’, respectiv ∆z’ (din partea a doua a ecuaţiei (13.76)). Din prima parte a ecuaţiei (13.76) rezultă: z ′2′ = z1 + ∆z ′ . Dacă z′2′ − z′2 < εzadm , (εzadm fiind toleranţa pentru determinarea valorii ∆z = z 2 − z1 =

+

lui z2), calculul se consideră terminat. În caz contrar se adoptă o nouă valoare lui z2 ca fiind media aritmetică: z ′ + z ′2′ z ′2′′ = 2 (13.77) 2 Iteraţiile se repetă până la satisfacerea condiţiei de toleranţă pentru calculul valorii z2. Se poate accepta εzadm= 0,001. Calculul poate fi efectuat

Hidraulică vol. II

171

manual sau după program. În cazul calculului manual datele se centralizează în tabele de forma (tab. 13.7). Calculul suprafeţei libere prin diferenţe finite în mişcarea gradual variată Tabelul 13.7 Secţiunea 1 Secţiunea 2 Tronson ∆L z1 Km ∆z Obs. A1 K1 z2 A2 K2 3 2 3 2 3 (m) (m) (m ) (m /s) (m) (m ) (m /s) (m /s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Metoda diferenţelor finite este aplicabilă şi albiilor naturale, la care împărţirea în sectoare de calcul trebuie să ţină seama ca panta să fie cât mai uniformă. Pentru fiecare secţiune în parte trebuie cunoscute A = f1(h), P = f2(h), K = f3(h) care implică şi aprecierea corectă a rugozităţii în fiecare secţiune. Curbele menţionate se întocmesc pe baza ridicărilor batimetrice. Este necesară şi trasarea unui profil longitudinal riguros al albiei pentru evidenţierea sectoarelor de calcul (având panta fundului relativ uniformă şi continuă). 20. Trecerea la diferenţe finite a ecuaţiei (13.8)

Conform fig. 13.1. ecuaţia (13.8) se scrie în diferenţe finite sub forma: ∆h = ∆l

I−

 α ⋅ Cm2 Rm ∆A  1 −  g ⋅ Am ∆l   α ⋅ Q 2 Bm 1− g Am3

Q2 Am2 Cm2 Rm

(13.78)

Ecuaţia este valabilă şi pentru albiile naturale nu numai albiilor de secţiune regulată. Aplicarea ecuaţiei trebuie realizată pe tronsoane de albie cu panta I uniformă, lungimea tronsonului de calcul ∆l poate fi variabilă. (Cu cât ∆l este mai mic precizia calculelor creşte). Pentru cazul albiilor naturale este necesară cunoaşterea în secţiunile de calcul a funcţiilor A = f1(h), P = f2(h), R = f3(h), C = f4(h), B = f5(h), care se determină prin ridicarea profilului longitudinal şi secţiunilor prin măsurători topo-batometrice. Pentru albii regulate aceste funcţii sunt calculabile. Mărimile Am, Pm, Rm, Cm, Bm reprezintă valorile medii ale acestor mărimi la capetele sectorului de calcul.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

172

Conform fig. 13.1. calculul parcurge albia din amonte spre aval (se poate şi invers) şi pentru Q, h1, A1, R1, n1, C1, B1 ∆l, n2 cunoscute presupune următoarele: - se presupune o valoare ∆h’ verosimilă rezultând h2’, A2’, R2’, C2’, B2’. - se calculează valorile medii Am, Rm, Cm, Bm. - din (13.78) aplicată, rezultă ∆h” care se compară cu valoarea ∆h’ propusă. În situaţia |∆h”-∆h’| < ε∆h calculul se consideră terminat, ε∆h fiind toleranţa impusă pentru calculul lui ∆h. În caz contrar se refac calculele cu un ∆h′ + ∆h ′′ nou ∆h ′′′ = până la încadrarea în precizia de calcul impusă. 2 Precizia de calcul poate fi considerată ε∆h = 1 mm. 13.4.4. Construirea curbelor suprafeţei libere pe râuri cu albie majoră sau albii bifurcate

La construirea curbei suprafeţei libere pe cursuri de apă cu albie majoră sau ramificată, secţiunea transversală trebuie considerată o secţiune compusă (fig. 13.28, 13.29). 0 As

Ap

Ap

As

0

Fig. 13.28. Albie compusă cu albie majoră – Ap şi albie minoră - As Sect x-x ls

1 t bra

2

ar und s ec

bra t p rinc i

pal

lp

Fig. 13.29. Albie ramificată braţ principal – Ap, lp şi braţ secundar – As, ls

Hidraulică vol. II

173

La albie compusă se împarte albia cu un plan vertical 0-0 în albie minoră şi majoră, lungimea celor două fiind aceeaşi. La albie ramificată lungimile braţului principal şi secundar pot diferi. Debitul total transportat se poate considera suma debitelor pentru albia principală şi secundară calculate separat: Q = Q p + Qs (13.79) În capetele albiei compuse respectiv ramificate căderile de nivel sunt identice: ∆z = ∆z p = ∆z s

(13.80)

În calculul căderii se acceptă forma simplificată (neglijarea primului termen) a ecuaţiei (13.75) Q p2 Qs2 (13.81) ∆z p = 2 l p şi ∆z s = 2 l s Kp Ks din care:

Qp = K p

∆z p lp

şi Q s = K s

∆z s ls

(13.82)

Pentru albii compuse ecuaţia de continuitate devine: ∆z Q = (K p + K s ) (13.83) l l fiind lungimea sectorului, iar pentru albii ramificate: Qp  lp   l p  ∆z K + K  = K + K  Q= (13.84) p s p s K p  l s   l s  l p S-au admis valorile medii ale modulelor de debit pe sector calculate la capetele acestuia cu relaţia: 1 (13.85) K 2 = (K 12 + K 22 ) 2 13.4.5. Principalele tipuri de probleme la calculul suprafeţei libere în mişcare permanentă gradual variată

Construirea suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variată întruneşte mai multe tipuri de probleme, principalele categorii fiind încadrate în două grupe:

174

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

10. Cunoscând debitul Q, panta I, geometria albiei, şi două adâncimi, se cere stabilirea distanţei dintre aceste adâncimi. Lungimea curbei se determină din ecuaţiile (13.46, 13.58, 13.66 sau 13.78). În calcule manuale se respectă următorul breviar: - se calculează adâncimea normală h0 (unde este cazul) şi cea critică hcr; - în funcţie de pantă, adâncimi la capetele tronsonului h1, h2 şi adâncimi normale şi critice se stabileşte tipul curbei; - se calculează adâncimile relative (η, ξ sau ζ); - se calculează elementele geometrice B, A, P, I şi hidraulice C, K, j şi x, care se mediază; - se verifică dacă x şi j pe sectorul de calcul, între adâncimi se încadrează în toleranţă; - în cazul neîncadrării lui x şi j în toleranţă se reconsideră adâncimile, intervalul ∆h = |h1-h2| se înjumătăţeşte, recalculând una din adâncimile caracteristice, scurtându-se sectorul de calcul. Cu noile valori se reface calculul anterior prezentat; - cu elementele determinate se calculează sau se extrag din tabele valorile funcţiilor φ(η, x), sau φ(ξ, x),sau φ(ζ, x) care se interpolează; - aplicând una din relaţiile (13.46, 13.58, 13.66, sau 13.78) se calculează lungimea sectorului de albie. 20. Cunoscând debitul Q, panta albiei I, rugozitatea, lungimea sectorului de calcul şi o adâncime la un capăt de sector se cere determinarea adâncimii la celălalt capăt al sectorului. Problema se poate rezolva prin ambele metode prezentate. Prin metoda exponentului hidraulic al albiei, adâncimea necunoscută nu este explicitabilă şi se apelează la aproximaţii succesive, utilizând procedeul de la punctul 10. Se propune adâncimii necunoscute o valoare arbitrară verosimilă, calculându-se lungimea sectorului care, apoi, se compară cu lungimea dată a sectorului. În caz de diferenţe se modifică verosimil adâncimea necunoscută. Calculele se consideră terminate când abaterea între lungimea dată şi cea calculată este în intervalul abaterilor admisibile. Calculele pot fi conduse şi prin metoda diferenţelor finite descrise la 13.4.3, paragraful 1. Pentru calculul „remuurilor” după metoda exponentului hidraulic al albiei sunt întocmite programe pentru calculul automat (un singur program

Hidraulică vol. II

175

pentru metodă) cu limbaj conversaţional, facilităţi de calcul şi prezentare a rezultatelor numeric şi grafic. Aceleaşi afirmaţii sunt valabile şi pentru metoda diferenţelor finite. În cazul construirii curbei suprafeţei libere în albii naturale, importanţă mare trebuie acordată împărţirii cursului de apă în sectoare. Se lucrează cu valori medii ale elementelor hidraulice (de la capetele tronsoanelor) care se consideră caracteristici reale. Împărţirea în sectoare de calcul se face diferit în funcţie de datele hidrometrice disponibile. Când există profil longitudinal şi secţiuni transversale se caută ca pe tronson suprafaţa liberă să aibă pantă constantă, secţiunea vie să nu sufere variaţii bruşte. Se caută sectoare fără variaţie importantă a secţiunii, în caz contrar sectoare convergente sau divergente. Diferenţele de nivel ale apei pe sector nu trebuie să depăşească ∆z=0,75m (valoarea nu trebuie considerată ca o limită absolută). În cazul existenţei confluenţilor, secţiunea respectivă trebuie considerată limită de sector pentru a fi respectată condiţia mişcării permanente (Q = const.). 13.5. APLICAŢII 10. Să se construiască graficul energiei specifice în scţiunea transversală a unui canal dreptunghiular, având b = 2,0 m, pentru debitele Q1 = 1,0 m3/s, Q2 = 2,0 m3/s şi Q3 = 3,0 m3/s. Tot pentru aceste debite să se calculeze elementele critice ale curentului în mişcarea uniformă (α = 1,05, n = 0,015). Rezolvare. Energia specifică a secţiunii se obţine dând valori lui h inferioare şi superioare lui hcr în ecuaţia (13.18), corespunzătoare secţiunii dreptunghiulare. α ⋅ Q2 e= h+ , 2 ghb Rezultatele sunt date în (tab. 13.8) şi (fig. 13.30). Minima funcţiei este pe 2 dreapta e = hcr . 3 Din relaţia (13.21) se obţine adâncimea critică:

hcr = 3

α ⋅ Q2 gb 2

,

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

176

iar din (13.24) şi (13.25) vcr şi Icr. Q Q2 vcr = ; I cr = 2 2 . Acr Acr C cr Rcr Elementele sunt calculate în tab. 13.9.

hcr (m) 0,299 0,475 0,622

Acr (m2) 0,598 0,950 1,244

Q2 = 2,0 m /s h (m) e (m) 0,25 1,106 0,30 0,895 0,35 0,787 0,40 0,734 0,475 0,712 0,60 0,749 0,70 0,809 0,80 0,884 1,00 1,054

Pcr (m) 2,598 2,949 3,244

Rcr (m) 0,230 0,322 0,384

Ccr (m0,5/s) 52,20 55,19 56,83

Icr (10-3) 4,45 4,52 4,69

1,0

0,8

h

Q (m3/s) 1,00 2,00 3,00

Tabelul 13.8 Q3 = 3,0 m3/s h (m) e (m) 0,35 1,333 0,40 1,153 0,45 1,045 0,50 0,982 0,622 0,933 0,70 0,946 0,80 0,988 0,90 1,049 1,00 1,120

3

Q1 = 1,0 m /s h (m) e (m) 0,10 1,438 0,15 0,745 0,20 0,534 0,25 0,464 0,299 0,449 0,35 0,459 0,40 0,484 0,50 0,554 1,00 1,013

h(m)

Nr. crt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

h2 0,6

b 3 Q(m/s) 3,0

0,4 2,0 0,2 h1 0,0 0,4

1,0 0,5

0,6 e 0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

e(m)

Fig. 13.30. Graficul energiei specifice a secţiunii pentru canalul dreptunghiular cu b = 2,0 m.

Tabelul 13.9 vcr emin (m/s) (m) 1,671 0,449 2,106 0,712 2,411 0,933

Hidraulică vol. II

177

20. Să se determine starea mişcării uniforme într-un canal trapezoidal cu b = 1,0 m, I = 0,2 ‰, h0 = 1,57 m, m = 1,5, n = 0,016 care transpotă debitul Q = 4 m3/s, v = 0,757 m/s. Rezolvare. Stabilirea stării curentului se face pe baza tabelului 13.2, în prealabil calculându-se elementele critice ale curentului. Din relaţia (13.17) prin aproximaţii succesive se determină hcr (tab. 13.10). Tabelul 13.10 3 Nr. h A B A /B αQ2/g (m) crt. (m) (m2) 1 0,8 1,760 3,40 1,603 2 0,9 2,115 3,70 2,557 3 0,81 1,794 3,43 1,684 1,713 4 0,82 1,829 3,46 1,767 5 0,812 1,801 3,436 1,700 6 1,804 3,439 1,708 0,813 7 0,814 1,808 3,442 1,717

Elementele critice ale curentului şi secţiunii sunt: hcr = 0,813 m. Q 4,0 vcr = = = 2,217 m/s Acr 1,804 Pcr = b + 2hcr 1 + m 2 = 1 + 2 ⋅ 0,813 1 + 1,52 = 3,931 m Rcr =

Acr 1,804 = = 0,459 m Pcr 3,931

Ccr =

1 1/ 6 1 Rcr = 0,4591 / 6 = 54,89 m0,5 /s n 0,016

Q2 42 = = 3,56 ⋅ 10−3 2 2 2 2 Acr Ccr Rcr 1,804 ⋅ 54,89 ⋅ 0,459 Numărul Froude pentru curent este: α ⋅ Q 2 b + 2mh 0 1,05 ⋅ 4 2 1 + 2 ⋅ 1,5 ⋅ 1,57 Fr = = = 0,067 g h 03 (b + mh 0 ) 3 9,81 1,57 3 (1 + 1,5 ⋅ 1,57 ) 3 Întrucât: h0 = 1,57 m > hcr = 0,813 m I cr =

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

178

v0 = 0,757 m/s < vcr = 2,217 m/s I = 0,2 ‰ < Icr = 3,56‰ Fr = 0,067 < Frcr = 1 rezultă că starea mişcării este lentă. 30. Să se dimensioneze un canal trapezoidal pentru transportul debitului Q = 10 m3/s la profil hidraulic optim şi stare critică a mişcării uniforme, cunoscând m = 1,5 şi n = 0,017. Rezolvare. Necunoscutele sunt h0, b, I însă h0 = hcr şi I = Icr. Pentru calculul necunoscutelor se pot scrie ecuaţiile: Q = AC RI b = 2 1 + m2 − m β= h0

(

α ⋅ Q2 g ştiind:

)

A3 = B

(

A = h 02 2 1 + m 2 − m

(

)

P = 2h0 2 1 + m 2 − m

)

h0 2 1 C = R1 / 6 n R=

B = 2h 1 + m 2 din condiţia stării critice rezultă:

α ⋅ Q2 g

=

(

h06 2 1 + m 2 − m 2h 1 + m

)

3

2

sau h0 = 5

2α ⋅ Q 2 1 + m 2

(

g 2 1+ m − m 2

deci:

h0 = 5

2 ⋅ 1,05 ⋅ 102 1 + 1,52

(

2

9,81 2 1 + 1,5 − 1,5

)

3

= 1,328 m

Din condiţia profilului hidraulic optim rezultă lăţimea la fund:

)

3

,

Hidraulică vol. II

(

)

(

179

)

b = 2h0 1 + m 2 − m = 2 ⋅ 1,328 1 + 1,52 − 1,5 = 0,804 m , iar din ecuaţia mişcării uniforme, panta: Q2 10 2 I= 2 2 = = 3,62 ⋅ 10 −3 . 2 2 A C R 3,713 ⋅ 59,94 ⋅ 0,664

40. Să se construiască curba suprafeţei libere a apei într-un tronson de canal convergent, de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 100 m3/s; n = 0,016, b1 = 40 m, b4 = 15 m, L = 37,5 m, I = 1‰, h1 = 0,3 m, α = 1,1, g = 9,81 m/s2 şi εz = 0,01. 1 Β

2

4

Sectiunea B-B

15m

20m

30m

b

40m

3

Q Α

Β ∆L=15m ∆L=7,5m

∆ L= 15m

h

Α

b

L=37,5m Sectiunea A-A

1,330

0,825

0,473

0,30

h

hcr

h0

C1

h(m )

Fig. 13.31. Schema calculului nivelului pe un tronson de canal convergent.

Rezolvare. Soluţionarea problemei este posibilă prin aplicarea diferenţelor finite în mişcarea gradual (lent) variată, (13.74), deşi modificarea parametrilor geometrici şi hidraulici este importantă. Pasul de calcul al lungimii ∆L trebuie să fie mic, astfel ca pe această distanţă firele de curent să poată fi considerate drepte paralele. Micşorarea lăţimii canalului implică modificarea continuă a adâncimii normale şi critice, întrucât b = f(L) intervine prin expresiile (12.3) şi (13.17). Pentru calcule se transcrie ecuaţia 13.17, pentru parcurgere sens din amonte spre aval:

180

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

 α ⋅Q2  1 1  Q2  + − ∆L ∆z ′ = , 2 g  Ai2+1 Ai2  K 2   ′′ ∆z = z i − z i +1 cu

∆z′ − ∆z′′ < εz .

Adâncimea în secţiunea i+1 este: hi +1 = zi +1 − zi + hi + ∆L ⋅ I Plecând cu elementele cunoscute în secţiunea 1 cu pasul ∆L se calculează elementele secţiunii 2, apoi 3 şi 4. Rezultatele sunt prezentate în (tab. 13.11). S-a considerat plan de referinţă orizontala care trece pe fundul secţiunii 1. Pentru secţiunea 3 sunt date iteraţiile calculului, iar alura suprafeţei libere se observă din profilul longitudinal (fig. 13.31). Adâncimile normală şi critică pentru cele 4 secţiuni au valorile înscrise în (tab. 13.12) şi sunt redate tot în profilul longitudinal.

Secţiunea 1 2 3 4

b (m) 40 30 20 15

Tabelul 13.12. h0 hcr (m) (m) 1,18 0,89 1,42 1,08 1,87 1,41 2,31 1,71

Întrucât nivelul este situat sub linia adâncimilor h0 şi hcr şi h0 > hcr suprafaţa liberă este o curbă de tip c1.

Tabelul 13.11 b (m)

z (m)

h (m)

A (m2)

R (m)

40

0,30

0,30

12,00

0,296

51,01

2

30

0,458

0,473

14,19

0,459

3

20

0,75

0,765

15,30

3

20

0,80

0,815

3

20

0,81

Secţiunea

∆L (m)

1

C

K (m /s) (m3/s)

1 1 − Ai2+1 Ai2

1 1 1   2 + 2  2  K i +1 K i 

∆z’

∆z”

332,8

-1,978*10-3

6,313*10-6

-0,162

-0,158

54,88

527,4

-6,945*10-4

2,660*10-6

+0,010

-0,292

0,711

59,04

761,5

-1,203*10-4

2,500*10-6

-0,299

-0,342

16,30

0,754

59,62

843,6

-1,293*10-3

2,473*10-6

-0,354

-0,352

0,825

16,50

0,762

59,73

860,4

-1,161*10-3

9,487*10-7

-0,508

-0,512

1,33

19,95

1,130

63,78

1353

0,5

15

7,5 4

15

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

182

50 Un jilip de secţiune dreptunghiulară, cu b = 1,20 m, n = 0,017, I = 0,1 şi h0 = 0,6 m transportă debitul Q = 6 m3/s. Să se determine adâncimea apei în capătul aval al jilipului ştiind adâncimea la intrare h1 = 1,20 m şi lungimea L = 45 m. Se consideră α = 1,1, g = 9,81 m/s2 şi δx = 0,05.

h 1 hcr h0

L

b

2

I h2

b Fig. 13.32. Schema curgerii pe jilip.

Rezolvare. Adâncimea critică este: 1,1 ⋅ 62 = 1,41m . gb 2 9,81 ⋅ 1,22 Fiindcă h0 < hcr starea curgerii pe jilip este rapidă. În capătul amonte h1 = 1,2 m, este situat între h0 şi hcr, deci pe jilip suprafaţa apei se dispune după o curbă de coborâre tip b2. Adâncimea în capătul aval al jilipului se obţine prin calcule iterative a lungimii, dând valori lui h2 în intervalul h1 şi h0. Prin aplicarea relaţiilor 13.4.2. paragraful 1, se obţin valorile din (tab. 13.13). hcr = 3

α ⋅ Q2

=3

Tabelul 13.13. Mărimea h0 h1

h2

h (m)

η

A (m2)

P (m)

Pm (m)

R (m)

0,5

0,6

C (m 7s)

Cm (m0,5/s)

K (m3/s)

jm

x

xm

δx (%)

φ(η,x)

L (m)

-

0,72

2,40

-

0,300

-

-

18,97

-

-

-

-

-

-

1,2

2,000

1,440

3,60

-

0,400

50,49

-

45,99

-

2,555

-

-

0,240

-

0,700

1,170

0,840

2,600

3,100

0,323

48,73

49,61

23,26

10,68

2,648

2,601

3,6

0,725

23,20

0,63

1,05

0,756

2,46

3,03

0,307

48,32

49,41

20,25

10,84

2,680

2,618

4,8

1,112

45,8

0,631

1,052

0,757

2,462

3,031

0,308

48,33

49,41

20,29

10,84

2,678

2,616

4,7

1,103

45,25

0,632

1,053

0,758

2,464

3,032

0,308

48,33

49,41

20,34

10,84

2,680

2,617

4,8

1,091

44,77

Adâncimea în capătul aval al jilipului h2 = 0,631 m.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

184

60. Un canal trapezoidal rectiliniu, având b = 1,5 m, m = 1, n = 0,016 şi I = 0,002 transportă debitul Q = 8 m3/s în mişcare uniformă. Un deversor frontal ridică nivelul apei la adâncimea h = 2,3 m în secţiunea amonte de deversor. Să se construiască curba suprafeţei libere a apei prin metoda exponentului hidraulic al albiei şi prin diferenţe finite prin cel puţin 10 puncte. Se consideră α = 1,05 şi δx = 0,01. Rezolvare. Se calculează adâncimea normală a apei în mişcare uniformă h0 = 1,30 m şi adâncimea critică hcr = 1,124 m. Se stabileşte tipul curbei: - h0 > hcr starea curgerii uniforme este lentă. - h > h0 rezultă curbă în zona a de tipul a1. a. Construirea suprafeţei libere prin metoda exponentului hidraulic al albiei.

a.1. Se dau 10 valori adâncimii apei respectând condiţia 1,30 < h < 2,40 m conform fig. 13.33.

l9-10

l8-9

l7-8

l6-7

l5-6

l4-5

l3-4

2,20

I=0,002

2

l2-3

1

2,30

3

2,10

4

2,00

1,90

5

h0=1,30

1,80

6

hcr=1,124

7

1,70

8

1,60

9

1,50

1,40

10

l1-2

Fig. 13.33. Linia suprafeţei libere a apei în canal.

Aplicând ecuaţiile din 13.4.2. paragraful 1, se determină distanţele dintre secţiunile învecinate lij. Calculul complet este prezentat pentru secţiunile 1 şi 2, celelalte rezultate fiind centralizate în tab. 13.14.

Hidraulică vol. II

185

a.2. Se calculează A, P, B, R, C, K, pentru h1 şi h2 şi x faţă de h0. h2 = 2,20 m h0 = 1,30 m h1 = 2,30 m A = h(b + mh )

A1 = 8,74 m2

A2 = 8,14 m2

A0 = 3,64 m2

P = b + 2h 1 + m 2

P1 = 8,00 m

P2 = 7,72 m

P0 = 5,18 m

R = A/ P

R1 = 1,092 m

R2 = 1,054 m

R0 = 0,703 m

1 C = R1 / 6 n

C1 = 63,42 m0,5/s C2 = 63,05 m0,5/s C0 = 58,94 m0,5/s

K = AC R

K1 = 579,2 m3/s

K2 = 526,9 m3/s

K0 = 179,9 m3/s

B = b + 2mh

B1 = 6,10 m

B2 = 5,90 m

B0 = 4,10 m

x1 = 4,098

x2 = 4,085.

x=

2 lg K / K 0 lg h / h0

a.3. Exponentul hidraulic mediu este xm = 4,092 şi se verifică încadrarea exponenţilor hidraulici în toleranţă. x1 − x 2 4,098 − 4,085 = = 0,003 < δ ⋅ x = 0,01 . xm 4,092

a.4. Fiind satisfăcută condiţia de toleranţă lungimea l1-2 se poate stabili cu un singur pas de calcul din relaţia: h L = 0 {η av − η am − (1 − j m )[ϕ (η av , x ) − ϕ (η am , x )]} I α ⋅ C m2 I Bm 1,05 ⋅ 63,235 2 ⋅ 0,002 ⋅ 6,00 jm = = = 0,653 g Pm 9,81 ⋅ 7,86 ştiind: Cm = 63,235 m0,5/s; Pm = 7,86 m şi Bm = 6,00 m. Adâncimile relative sunt: h h 2,30 2,20 η1 = 1 = = 1,769 şi η 2 = 2 = = 1,692 . h0 1,30 h0 1,30 Se extrag din tabele φ(η, x) şi se interpolează, obţinând:

186

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

φ(η1, x1) = 0,0592 şi φ(η2, x2) = 0,0688, rezultând: 1,30 [1,769 − 1,692 − (1 − 0,653)(0,0592 − 0,0688)] = 52,2 m l1− 2 = 0,002 b. Construirea suprafeţei libere prin metoda diferenţelor finite. Pentru distanţele dintre secţiunile 1...10 din (tab. 13.14). se aplică ec. (13.74) obţinând valorile din (tab. 13.15). Iteraţiile calculelor pentru z, respectiv h nu sunt redate, ele având mersul din 13.4.2. paragraful 2. Compararea valorii adâncimilor din tabelele 13.14. şi 13.15. indică o concordanţă bună a celor două metode când condiţiile de toleranţă sunt respectate. S-a luat planul de referinţă la baza secţiunii 1. S-a calculat cu asemenea precizii pentru a pune în evidenţă corectitudinea.

Elementele curbei de supraînălţare de tip a1 calculate după metoda exponentului hidraulic al albiei Tabelul 13.14 P (m)

Pm (m)

R (m)

(m /s)

1,769

8,74

8,000

7,860

1,092

63,42

2,20

1,692

8,14

7,720

1,054

63,05

2,10

1,615

7,56

7,440

1,016

62,67

Secţ.

A (m2)

h (m)

η

1

2,30

2 3

C 0,5

Cm (m0,5/S)

K (m3/s)

B (m)

579,2

6,10

526,9

5,90

477,6

5,70

63,235 7,580

4

2,00

1,538

7,00

7,157

5

1,90

1,462

6,46

6,874

0,978

62,27

0,940

61,86

7,016

1,80

1,385

5,94

6,591

7

1,70

1,308

5,44

6,308

8

1,60

1,231

4,96

6,025

9

1,50

1,154

4,50

5,743

0,901

61,43

0,862

60,98

0,823

60,51

0,784

60,01

5,460

h0

1,30

-

3,64

5,18

-

4,90

272,3

4,70

239,1

4,50

0,744

59,49

0,703

58,94

-

179,9

4,10

4,079

0,641 0,635

0,36 0,35

-

212,5 56,3

0,45

268,8 58,6

0,40

327,4 62,8

0,43

390,2 70,4

0,3069 3,966

-

53,9

0,40

0,50

3,956 -

158,6

0,2271 3,985

0,600

53,7

0,1762 4,001

0,608

104,9

0,1413 4,018

0,615

52,7

0,1153 4,035

0,621

52,2

0,0963 4,050

0,628

0,000

0,0805 4,065

-

460,6 90,2

0,4614 -

L (m)

52,2

0,32

3,976 4,40

4,30

0,647

l (m)

0,0688

3,993 4,60

208,3

0,30

4,009 4,80

59,750

4,092

4,027 5,00

60,260

5,602 4,06

308,0 60,745

5,884

1,077

5,10

0,653

φ(η,x)

0,0592

4,043 5,20

346,4

∆x (%)

4,057 5,40

61,205

6,167

1,40

5,30

61,645

6,450

10

387,4

62,065

6,733 6

5,50

xm

4,072 5,60

431,1

x

4,085 5,80

62,470

jm

4,098 6,00

62,860

7,299

Bm (m)

-

550,8

Secţiune

Elementele curbei de supraînălţare de tip a1 calculată după metoda diferenţelor finite Tabelul 13.15 l (m)

1

L (m)

0,000

h (m)

2,300

A (m2)

8,740

R (m)

1,092

C (m0,5/s)

63,421

K (m3/s)

52,20

2,200

8,140

1,054

63,050

104,9

2,100

7,560

1,016

62,667

447,58

158,6

1,999

6,995

0,978

62,266

430,63

53,7 4 53,9 5

212,5

1,900

6,460

0,940

61,856

268,8

1,800

5,940

0,901

61,426

327,4

1,699

5,435

0,862

60,972

307,67

390,2

1,598

4,951

0,822

60,496

271,59

62,8 8 70,4 9

460,6

1,497

4,487

0,782

59,996

10

550,8

1,395

4,039

0,742

59,462

2,3000 -2,001

3,291

4,40

4,14

-2,405

3,993

5,40

5,23

2,3044 2,3098 -2,944

4,888

6,40

6,72

-3,522

6,028

8,80

8,73

-4,379

7,500

12,6

16,6

-5,510

9,450

16,2

16,6

2,3162 2,3250 2,3376 2,3538 -6,950

12,06

24,6

24,7

-8,878

15,60

39,8

39,9

-11,633

20,51

78,4

78,6

2,3784

238,09

90,2 206,80

Z (m)

(x10-6)

346,38

58,6 7

∆Z2 (x10-3)

387,37

56,3 6

∆Z1 (x10-3)

526,92

52,7 3

(x10-3)

1 1 1   2 + 2  2  Ki K i +1 

579,18

52,2 2

1 1 − 2 2 Ai Ai +1

2,4182 2,4966

Hidraulică vol. II

189

CAPITOLUL 14 MIŞCAREA PERMANENTĂ RAPID VARIATĂ A LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ Mişcarea permanentă rapid variată faţă de cea lent (gradual) variată prezintă următoarele caracteristici mai importante: - curbura liniilor de curent este mare, astfel încât repartiţia presiunilor pe secţiunea vie A diferă de distribuţia hidrostatică, iar pierderile de sarcină locale nu pot fi neglijate în raport cu cele liniare; - domeniul D în care se produce mişcarea rapid variată este definit de două secţiuni drepte S’ şi S’’ situate una faţă de alta la distanţa l = l’’ - l’ relativ mică. Forţele de vâscozitate de tip Newton la frontiera domeniului sunt neglijabile faţă de forţele tangenţiale datorate vâscozităţii şi turbulenţei din interiorul domeniului; - în interiorul domeniului D există deseori zone de vârtejuri şi de „apă moartă”, despărţite de curentul principal prin suprafeţe de discontinuitate pentru viteze. Datorită mai ales acestor zone, nu există în prezent o soluţie generală pentru mişcările rapid variate. Există însă o metodă generală de studiu a acestor mişcări. Ea se bazează în primul rând pe ecuaţia energiei care stabileşte pierderile de energie, iar celelalte caracteristici ale mişcării se determină cu ajutorul teoremei impulsului şi al ecuaţiei de continuitate. Pierderile de energie iau naştere în interiorul domeniului şi nu sunt reflectate în ecuaţia teoremei cantităţii de mişcare. În acest capitol se studiază câteva mişcări rapid variate, mai des întâlnite în practică, astfel: saltul hidraulic, mişcări neuniforme la singularităţi în albii – prag urcător, coborâtor, prag de fund, pile. 14.1. SALTUL HIDRAULIC Saltul hidraulic este fenomenul hidraulic de trecere a curentului de la starea rapidă la cea lentă. În capitolul 13 ecuaţia (13.8), respectiv (13.10) au permis analiza formelor suprafeţei libere în mişcarea lent variată, însă s-a constatat că pentru curbele care se apropie de hcr relaţiile în apropierea lui hcr nu sunt valabile, curbura firelor de curent este mai mare. Pentru h = hcr apare

190

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

discontinuitate în ecuaţii. De fapt în apropierea şi la trecerea adâncimii curente h prin adâncimea critică hcr, curbura firelor de curent este pronunţată, se schimbă orientarea curburii firelor de curent sau apar discontinuităţi în mişcare. Fenomenul hidraulic de mişcare rapid variată prin care se face trecerea de la starea rapidă a curentului – caracterizată de adâncimi inferioare celei critice – la starea lentă – caracterizată prin adâncimi superioare celei critice – se numeşte salt hidraulic. De fapt discontinuitatea din ecuaţia (13.8) este rezolvată de natură prin saltul hidraulic, în domeniu fiind prezente zone de curent principal, vârtejuri, zone de antrenare de aer în curent care conturbă substanţial suprafaţa liberă. Variaţiile parametrilor hidraulici prin salt nu sunt bruşte, ci rapide în lungul saltului. Parte din energia cinetică a curentului prin salt se transformă în energie potenţială, fenomenul însă este caracterizat prin pierderi importante de energie. Trecerea curentului de la starea lentă la stare rapidă (ex. schimbare de pantă) se face fără conturbarea suprafeţei libere, însă la adâncimea hcr se schimbă orientarea curburii suprafeţei libere. Conturbarea importantă a suprafeţei libere prin salt şi păstrarea suprafeţei libere la trecerea adâncimii curente prin adâncimea critică în funcţie de direcţie (de la starea rapidă la lentă sau invers) are explicaţii energetice. 14.1.1. Formele saltului hidraulic Prin experimentări s-a observat că saltul hidraulic are forme variate. După sistematizarea efectuată de Bradley şi Peterka se disting 5 forme caracteristice în funcţie de numărul Froude (Fr) al curgerii de la intrarea în salt. 10. Saltul ondulat (fig. 14.1), ia naştere pentru Fr’ = 1...3. Trecerea de la adâncimea de intrare în salt h’ la cea de ieşire h’’ are loc printr-o ridicare bruscă a nivelului, urmată de o serie de ondulaţii în jurul nivelului aval. Prima ondulaţie, care reprezintă saltul, depăşeşte nivelul aval. Este caracterizat prin disipare slabă de energie.

Hidraulică vol. II

191

∆ E

C

C h '' h

h'

hav cr

Fig. 14.1. Saltul ondulat Fr’ = 1...3

20. Saltul incipient (fig. 14.2), are loc pentru Fr’ = 3...6. Saltul apare ca o ridicare relativ bruscă a suprafeţei libere, care are o formă neregulată, cu mici încreţituri care apar datorită unor mici vârtejuri transversale apropiată de suprafaţa liberă. Schimbarea profilului vitezei are loc gradat; disiparea energiei este slabă. ∆E

C

C h '' ha m

hcr

h '

ha v

Fig. 14.2. Saltul incipient Fr’ = 3...6

30. Saltul cu jet oscilant (fig. 14.3) se formează pentru Fr’ = 6...20. Faţă de starea lentă a curentului aval, în amonte viteza este substanţial mai mare şi are aspectul unui jet care pătrunde în curentul din aval, cu care se amestecă după un anumit parcurs. Jetul este individualizat, dar nu-şi păstrează stabilitatea pe verticală. Produce o ridicare locală a suprafeţei libere. Când jetul este dirijat după axa curentului există o tendinţă de formare a unui vârtej de suprafaţă, cu întoarcerea curentului şi antrenare de aer. Disiparea energiei este moderată. În aval jetul oscilant produce valuri care se propagă la distanţe apreciabile. Acest tip de salt reprezintă forma de trecere spre saltul perfect. ∆E

C

C h '' ham

h '

h

h cr

Fig. 14.3. Saltul cu jet oscilant Fr’ = 6...20

a v

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

192

40. Saltul stabil (perfect) (fig. 14.4) ia naştere pentru Fr’ = 20...80. Este forma caracteristică de salt. Jetul, format din curentul rapid din amonte, pătrunde sub curentul lent din aval şi se menţine stabil pe patul albiei pe o distanţă de circa 70% din lungimea saltului, după care se produce integrarea rapidă a jetului în curentul aval. Deasupra jetului se formează un curent de întoarcere, compus din câteva vârtejuri cu ax orizontal. Suprafaţa liberă este înclinată. În zona vârtejurilor şi în zona de amestec a jetului cu curentul aval turbulenţa are intensitate foarte mare, care conduce la disipări intense de energie, care ajunge la 30...70 % din energia specifică din amonte (în funcţie de Fr’). Zona vârtejurilor este caracterizată prin antrenare puternică de aer, cu aspect alb lăptos. Sub efectul turbulenţei suprafaţa liberă se destramă, în interiorul vârtejurilor pătrund numeroase bule de aer, care sunt antrenate şi în zona de amestec a jetului cu curentul aval şi sunt antrenate şi în aval până ce ajung la suprafaţă sub efectul forţei arhimedice. Saltul are poziţie relativ stabilă, secţiunile de intrare şi ieşire se deplasează puţin în lungul curentului. Suprafaţa liberă în aval rămâne relativ netedă. ∆E E'

I

a

C

C h ''

ham

II

h'

hcr

h a v E ''

ls

Fig. 14.4. Saltul perfect Fr’ = 20...80

Caracteristicile saltului perfect. Acest tip de salt poate fi privit ca o undă staţionară la care se observă două zone distincte, între care există un schimb continuu de particule: - zona superficială, I, în care particulele sunt antrenate într-o mişcare de vârtej cu axe aproape orizontale, transversale pe curent, în care este antrenată şi o importantă cantitate de aer; - zona inferioară, II, care se prezintă ca un curent – jet – care se lărgeşte pe verticală spre aval şi apoi se integrează în curentul aval, antrenând în mişcare şi o parte din bulele de aer din zona I. Distribuţia vitezelor în lungul saltului are forma din fig. 14.5.

Hidraulică vol. II

193

C

C

u1

+

Fig. 14.5. Distribuţia vitezei în saltul hidraulic perfect

Parametrii hidraulici la intrare în salt se notează cu –’- iar la ieşire cu –”- caracteristice fiind : a). secţiunile de intrare A’ şi de ieşire A”; b). adâncimile de intrare h’ şi de ieşire h”, numite şi adâncimi reciproce sau conjugate; c). lungimea saltului ls este distanţa în lungul curentului între secţiunile de intrare şi de ieşire; d). supraînălţarea în salt, a = h”-h’; e). energia pierdută prin salt ∆E = E’-E”. 5. Saltul dezvoltat (violent) are loc pentru Fr’ > 80 (fig. 14.6). Păstrează aspectele saltului perfect privind formarea vârtejurilor de suprafaţă, antrenarea aerului, generarea turbulenţei accentuate. Creşte intensitatea disipării energiei care poate ajunge la 80 % din energia specifică a curentului amonte. Pentru acest tip de salt este caracteristică instabilitatea poziţiei pe albie, prezintă o mişcare de pendulare, deplasându-se spre aval, apoi revenind spre amonte. Această mişcare de pendulare amonte – aval generează valuri în aval. Datorită turbulenţei pronunţate, pulsaţiile presiunii solicită construcţiile hidrotehnice şi materialele din care acestea sunt realizate. ∆E

C

C h '' ha m

h'

h cr

Fig. 14.6. Saltul violent Fr’ > 80.

hav

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

194

14.1.2. Ecuaţia fundamentală a saltului hidraulic în albii orizontale. Analiza curentului într-o albie orizontală la ieşirea de sub o stavilă arată stare rapidă şi conform cu cele prezentate în capitolul 13 adâncimea creşte spre aval după o curbă de supraînălţare c0. Dacă albia este suficient de lungă şi se termină cu o cădere, curentul revine la stare lentă şi suprafaţa liberă coboară spre adâncimea critică după o curbă de coborâre b0. Trecerea de la starea rapidă (curba c0) la starea lentă (curba b0) se realizează prin discontinuitatea suprafeţei libere, prin saltul hidraulic (fig. 14.7.) '

h

''

R'

le

zona de v a r t e ju r i

D

C0

A

b0

D'

h '' hc r

cu re n t p r in c ip a l N

hr

R ''

B V'

a

B'

V '' A'

h'

N'

e

e m in e '' e '

0

Fig. 14.7. Energetica saltului hidraulic

Trecerea de la starea rapidă la starea lentă după o suprafaţă α ⋅ v2 continuă ABD nu este posibilă, e = + h , de/dl = dhr/l, întrucât z 2g = c şi hr creşte spre aval, deci dhr/dl > 0, iar pentru I = 0, de/dl < 0. Pentru suprafaţa liberă ABD, ultima condiţie este satisfăcută pe porţiunea AB, dar pe porţiunea BD graficul energiei specifice e indică creşterea, de/dl > 0. Energia specifică ar trebui să urmeze curba A’B’D’, însă creşterea B’D’ este imposibilă. Contradicţia este rezolvată prin apariţia saltului hidraulic prin care graficul energiei specifice urmăreşte curba A’D’ (prin salt), apoi în curba b0 D’B’. În curba c0 energia specifică urmăreşte curba N’A’. Fie secţiunile ΄ şi ˝ două secţiuni drepte situate aval şi amonte de salt (fig. 14.8.). Se acceptă în aceste secţiuni o repartiţie hidrostatică a presiunii. Se consideră volumul de control mărginit de secţiunile ΄, ˝, pereţii canalului cilindric, şi suprafaţa liberă pentru care se aplică ecuaţia teoremei impulsului sub forma (6.82) F = ρ ⋅ Q(β ′v′ − β ′′v′′) + F ′ + F ″ + G (6.82) p

p

Hidraulică vol. II

195

h

h ''

' hcr

emin e''

h' e'

V'

Fp'

e

h'' h'' hcr

V''

∆e

Fp''

G

h'

θ (h')=θ (h'')

ls h'G h'

A''

A' G'

θ (h)

G''

h''G

θ

h''

Fig. 14.8. Schemă pentru calculul ecuaţiei saltului hidraulic

Proiectând ecuaţia după axa albiei, se obţine ρ ⋅ Q(β ′v′ − β ′′v′′) + F ′ − F ″ = 0 p

p

în care:

Fp′ = p′A′ = γ ⋅ hG′ A′ şi F ″ = p′′A′′ = γ ⋅ h ″ A′′ p

G

cu hG’ şi hG” adâncimile centrelor de greutate ale secţiunilor A’ şi A”. Explicitând vitezele din ecuaţia de continuitate: Q Q şi v ′′ = v′ = A′ A′′ după înlocuire şi gruparea termenilor se obţine ecuaţia saltului hidraulic: 2 β ′⋅ Q2 ′ ′ β ′′ ⋅ Q ″ + hG ⋅ A = + hG ⋅ A′′ (14.1) gA′ gA′′ Pentru o secţiune cilindrică (sau prismatică) dată toate elementele geometrice variabile sunt în funcţie de adâncimea h, deci se poate defini funcţia

θ ( h ) = hG ⋅ A +

β Q2 g

⋅

A

(14.2)

care este funcţia saltului. Ecuaţia (14.1) arată că funcţia saltului ia valori egale în secţiunile de intrare şi ieşire din salt pentru adâncimile conjugate h’ şi h”. În domeniul h ∈ (0, ∞) funcţia (14.2) este continuă, iar pentru: h→0 rezultă θ(h)→∞, şi h→∞ rezultă θ(h)→∞,

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

196

însă pentru valori finite pentru h, θ(h) ia valori finite, deci funcţia saltului dθ (h ) admite un minim pentru = 0. dh Efectuând derivata β ⋅ Q 2 dA d (hG ⋅ A) dθ (h ) =− ⋅ + dh dh gA 2 dh conform figurii 14.9. rezultă: - pentru o creştere dh a adâncimii, creşterea momentului static este: dh

B

x' dA

G

x

hG h

A

Fig. 14.9. Schema derivării momentului static hGA.

∆h ∆h 2 . − A ⋅ hG = A ⋅ ∆h − B 2 2 Trecând la limită, pentru ∆h→0, cantitatea  ∆h 2   A ⋅ ∆h + B  ∆( A ⋅ hG ) d ( A ⋅ hG ) 2  =A lim = = lim ∆h →0 ∆ h → 0   ∆h dh ∆h     respectiv dA/dh = B. După înlocuiri se obţine: β ⋅Q2 B (14.3) ⋅ =1 gA A 3 Pentru β~1 funcţia saltului este minimă pentru Fr=1, adică pentru adâncimea critică, hcr (fig. 14.10). ∆(hG A) = A(hG + ∆h) + B ⋅ ∆h

∆e

h

e(h)

ᒕ (h)

h''

hcr h' e''

e'

e(h) ᒕ(h)

Fig. 14.10. Graficul funcţiei saltului şi energiei specifice ale secţiunii în salt

Hidraulică vol. II

197

10. Calculul parametrilor saltului hidraulic Se urmăreşte determinarea adâncimilor conjugate h’ şi h”, a energiei specifice pierdute prin salt, ∆e, creşterea nivelului prin salt, a şi lungimea saltului, ls. 10.a. Calculul adâncimilor conjugate a1. La calculul manual, cunoscând una dintre adâncimile conjugate, cu ajutorul funcţiei saltului prin calcul analitic (dacă este posibil) sau iterativ se poate determina cealaltă adâncime ştiind că pentru adâncimile reciproce, situate sub şi deasupra adâncimii critice, funcţia saltului ia valori identice. Mai este necesară cunoaşterea debitului şi a formei secţiunii transversale ale albiei. Se presupune cunoscută h’. Cu (14.2) se determină θ(h’): Se compară h’ cu hcr apoi cu valori pentru h” în partea opusă lui hcr faţă de unde este situat h’ prin calcul iterativ se calculează θ(h”) după (tab. 14.1).

Calculul adâncimilor conjugate ale saltului Adâncimea h' h"

A

hG

Tabelul 14.1 θ(h)

Calculul se consideră terminat când, pentru eroarea admisă, ″ ″ hi″ − hi +1″ < εh′′ este satisfăcută condiţia θ  hi  < θ (h ′) < θ  hi +1  .     a2. La calculul grafic se reprezintă funcţia saltului (fig. 14.10) pentru albia cu forma secţiunii transversale şi debitul Q cunoscute, calculându-se valoarea funcţiei saltului pentru câteva adâncimi inferioare şi superioare adâncimii critice. Graficul trebuie să aibă scara corespunzătoare preciziei de calcul. Cunoscând una dintre adâncimile reciproce din grafic rezultă cealaltă. a3. Calculul automat se efectuează pe bază de program întocmit după schema logică după a1 (fig. 14.11). În prealabil sau combinat trebuie calculată şi adâncimea critică (după 13.2.3).

198

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

Fig. 14.11. Schemă logică pentru calculul adâncimilor conjugate prin aproximaţii succesive.

Programul simplu poate fi scris în unul dintre limbajele de programare. În cazul albiilor de secţiune dreptunghiulară funcţia saltului se particularizează, prin A’ = b⋅h’; A” = b⋅h”, hG’ = h’/2, hG” = h”/2 şi q = Q/b,

β ' ⋅ q2

h′2 β '' ⋅ q 2 h′′ + = + gh′ 2 gh′′ 2

(14.4)

Cunoscând una dintre adâncimile conjugate cealaltă se poate explicita pentru β΄ = β˝ = β, obţinând:  h ′′  8β ⋅ q 2  h′ = 1+ − 1 3  ′ ′ 2  gh  sau (14.5)  h′  8β ⋅ q 2  h′′ = 1+ − 1 3   2 gh ′ 

Hidraulică vol. II

199

Acceptând β ≈ α şi utilizând (13.21) ecuaţiile (14.5) se mai pot scrie.  8hcr3 h ′′  ′ h = 1 + 3 − 1  2  h ′′ 

(14.6) 3   8h h′ h′′ =  1 + cr3 − 1  2  h′  3 sau cu (hcr/h) = Fr. h ′′ h′ = 1 + 8Fr ′′ − 1 2 (14.7) h′ h′′ = 1 + 8Fr ′ − 1 2 A doua adâncime conjugată rezultă din calcule aproximativ cu 2,5...4% superioară valorilor obţinute experimental. Diferenţele dintre rezultatele teoretice şi experimentale sunt puse pe seama aerării şi transportului în aval a aerului înglobat în curentul de lichid.

(

)

(

)

10.b. Energia pierdută în saltul hidraulic Pierderile de energie prin saltul hidraulic se datoresc turbulenţei intense în salt, a transportului de masă dintre cele două zone şi dintre macrovârtejuri şi atmosferă, precum şi datorită energiei consumate pentru întreţinerea mişcării macrovârtejurilor. Frecările la suprafaţa solidă a albiei sunt mici în comparaţie cu celelalte pierderi. Scriind diferenţa energiilor specifice la intrare şi ieşire din salt, avem:  α 1v ′ 2   α ⋅ v ′2′ 2   −  h ′′ +  (14.8) ∆e = e′ − e′′ =  h′ + 2 g 2 g     care, particularizată secţiunii dreptunghiulare, devine: 3 ( h′′ − h ′) (14.9) ∆e = 4h ′h ′′ 10.c. Creşterea nivelului prin saltul hidraulic Creşterea de nivel prin salt are loc prin transformarea energiei cinetice de la intrare în energie potenţială la ieşire cu valoarea: (14.10) a = h ′′ − h ′

200

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

10.d. Lungimea saltului hidraulic Lungimea saltului, ls, se defineşte de obicei ca lungimea zonei de macrovârtejuri, măsurată de-a lungul albiei. Până în prezent nu există o teorie unitară asupra lungimii saltului şi din acest considerent există pentru definirea sa un mare număr de relaţii semiempirice şi empirice. O informaţie asupra lungimii saltului furnizează teorema produselor a analizei dimensionale, care conduce la (14.11) ls = h ′ ⋅ f ( Fr ′) fiind considerate mărimi care influenţează h’, v’, ρ şi g în cazul canalelor de secţiune dreptunghiulară. De tipul relaţiei (14.11) sunt formulele: - Smetana ls = 3h ′ 8 Fr ′ + 1 − 3 (14.12) h′ (14.13) - Woycicki ls = 81 8 Fr ′ + 1 − 2 Fr ′ − 241 60 care pentru Fr’ < 250 mărginesc inferior şi superior lungimile experimental obţinute. Tot relaţiile de această formă este: - relaţia lui M. D. Certousov

( (

)

)

(

)

0,81

(14.14) ls = 10,3h ′ Fr ′ − 1 Alte relaţii empirice exprimă lungimea saltului în albii dreptunghiulare în funcţie de h”: - Safranez ls = 4,5⋅h” (14.15) (14.16) - Bradley – Peterka ls = 6,15⋅h”, 40 ≤ Fr’ ≤ 120 Multe relaţii exprimă lungimea saltului în funcţie de înălţimea acesteia: (14.17) ls = m ⋅ a, cu m = 5...7, astfel: - Kumin – Smetana ls = 6·a (14.18) -0,43 - Iamandi ls = 6,52·a (lgFr’) (14.19) În albii de secţiune trapezoidală, pentru calcule preliminare se poate utiliza relaţia lui Posey şi Hsing  B ′′ − B ′   (14.20) ls = 5 ⋅ h′′1 + 4  ′ B   Pentru lucrări hidrotehnice importante lungimea saltului se determină experimental pe modele hidraulice.

Hidraulică vol. II

201

14.1.3. Ecuaţia saltului hidraulic în albii dreptunghiulare cu pantă mare În cazul unui canal uniform de secţiune dreptunghiulară şi pantă I ≠ 0 legătura între adâncimile conjugate, într-o primă aproximaţie, se poate stabili conform fig. 14.12, astfel: '

'' hr1-2

le 2

α'v' /2g

α''v''2/2g

Ss

Fig. 14.12. Schemă pentru calculul adâncimilor conjugate în canale cu pantă

h h''

h' M' z

I

Sf

M''

l

Presiunile relative în punctele M’ şi M” sunt respectiv p1 = γ·h’ şi p2 = γ·h” şi se consideră ca la 14.1.2. Greutatea lichidului pe unitate de lăţime este: γ ⋅ (h ′ + h ′′) G = ⋅ M ′M ′′ . 2 Aplicând ecuaţia teoremei impulsului volumului de control sub forma (6.82) şi proiectând pe orizontală, pentru albie de lăţime unitară, rezultă: (14.21) ρ ⋅ q (β ′v ′ − β ′′v ′′) + Fp ′ − Fp ′′ + G ⋅ cos ϕ = 0 care pentru β’=β”=1 devine: 1 1 1 (14.22) ρ ⋅ q (v ′ − v ′′) = γ ⋅ h ′ 2 − γ ⋅ h ′′ 2 + γ ⋅ (h ′ + h ′′)∆z 2 2 2 Utilizând ecuaţia de continuitate pentru lăţimea unitară h’v’ = h”v”, după împărţire prin γ ecuaţia (14.22) devine  2 2h ′ 2 ⋅ v1′ 2 2h ′ 2 ⋅ v ′ 2  3 2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′   h − ∆z ⋅ h −  h + h ⋅ ∆z + = 0 (14.23) h + g g   din care se determină pe h” în funcţie de h’. Din ecuaţia energiei scrise secţiunilor de intrare şi ieşire din salt, cu α1 = α2 = 1, rezultă v 2 − v 22 (14.24) hr = h ′ − h ′′ + ∆z + 1 2 pierderea de sarcină în salt. Înălţimea saltului în canale înclinate de secţiune dreptunghiulară se poate determina cu relaţia empirică propusă de G. N. Kosiakova

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

202

(14.25) aî = a (1 − 1,75 ⋅ I ) a fiind înălţimea saltului în albie orizontală. Lungimea saltului se poate calcula cu relaţia (14.17) pentru panta canalului I < 1/3. 14.2. ALTE FORME DE MIŞCĂRI PERMANENTE RAPID VARIATE ALE CURENŢILOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Saltul hidraulic este singura mişcare rapid variată care se poate produce într-un canal uniform. Alte tipuri de mişcări rapid variate se produc în canale uniforme cu singularităţi. Pe anumite porţiuni scurte în raport cu lungimea canalului singularităţile produc pierderi locale de energie şi redistribuţia energiei specifice pe termenii – cinetic şi potenţial. 14.2.1. Pragul urcător este o construcţie într-un canal uniform care produce variaţia rapidă a pantei fundului. Poate fi bruscă sau treptată, aceasta din urmă poate fi realizată după plan înclinat sau profilat hidrodinamic (fig. 14.13). h r le e1 h 1

v1

v2

h2 e 2

e1 h 1

h2 e 2

d a

le

le

h2 e 2

e1 h 1

d

d b

c

Fig. 14.13. Forma pragului urcător

În funcţie de starea mişcării din amonte forma suprafeţei libere ia forme diferite. Pentru analize se consideră o treaptă urcătoare de înălţime d, situată pe un canal uniform cu pantă nulă în exteriorul treptei. Treapta este profilată hidrodinamic, astfel încât într-o primă aproximaţie se pot neglija pierderile de sarcină (fluid eulerian). Se consideră două secţiuni drepte, amonte şi aval de treaptă, suficient de departe pentru a se putea admite în vecinătatea lor liniile de curent drepte paralele. Fundul canalului, secţiunile considerate şi suprafaţa liberă definesc volumul de control (fig. 14.14). În secţiunea 1 sarcina hidrodinamică, faţă de planul fundului canalului amonte (pentru α = 1) este:

Hidraulică vol. II

203

v12 H1 = + h1 = e1 , 2g iar în secţiunea 2: v 22 H2 = + h2 + d = e2 + d . 2g Pentru lichid eulerian H1 = H2 şi e1 =e2 + d. 1

h

2

le

h1

w

h2 v2

1 B1

h1 v1

2

h2

B2

N1

N2

hcr

e (h ) d

d

M2 e2

M1

e

e1

Fig. 14.14. Analiza suprafeţei libere la prag urcător

v12 v 22 În cazul stării lente a curentului se observă că , = N1 B1 < N 2 B2 = 2g 2g respectiv h1 = M 1 N 1 > M 2 N 2 = h2 , deci: v22 v22 v12 v22 h2 + d = e2 + d − = e1 − = h1 + − < h1 2g 2g 2g 2g şi suprafaţa liberă coboară la prag urcător. Aplicând ecuaţia teoremei impulsului pentru canal de secţiune dreptunghiulară şi lichid eulerian (s-au neglijat frecările), se obţine: 2 h12 (h2 + d ) α ⋅ q 2 α ⋅ q 2 − + − =0 (14.26) 2 2 gh1 gh2 în care q = Q/b şi α1 = α2 = α. Ţinând seama de natura reală a lichidului se obţine: 2 h12 (h2 + d ) q2 α ⋅ q2 α ⋅ q2 − −ς 2 d + − =0 (14.27) 2 2 gh1 gh2 gh1 în care ζ este coeficientul de rezistenţă a pragului urcător (cap. 12). Linia energiei coboară datorită pierderilor de sarcină (fig. 14.13a). În mod analog se poate demonstra că în cazul stării rapide a curentului nivelul creşte după pragul urcător (ne situăm pe curba energiei specifice a secţiunii sub adâncimea critică).

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

204

14.2.2. Treaptă coborâtoare Pentru analize se consideră treaptă coborâtoare (fig. 14.15) cu înălţimea d situată pe un canal uniform cu pantă nulă în exteriorul treptei. Se acceptă ipoteze asemănătoare treptei urcătoare. h B2

h2 e1

w

v1 h1

h1

v2

e2

B1

N2

N1

hc r

h2 d

d

M1

M2

e

e1 e2

Fig. 14.15. Analiza suprafeţei libere la prag coborâtor

Faţă de planul de referinţă – fundul canalului aval, pentru v 22 v12 + h2 = e2 , întrucât α1 = α2 = 1 rezultă H 1 = + h1 + d = e1 + d şi H 2 = 2g 2g pentru lichid eulerian H1=H2, se obţine e1 + d = e2. În cazul stării lente a curentului v12 v 22 , respectiv h1 = M 1 N 1 < M 2 N 2 = h2 , deci: = N 1 B1 > N 2 B2 = 2g 2g v12 v12 v 22 v12 h1 + d = e1 + d − = e2 − = h2 + − < h2 2g 2g 2g 2g şi suprafaţa liberă creşte la pragul coborâtor. Aplicând ecuaţia teoremei impulsului pentru volumul de control W (neglijând frecările), se obţine: (h1 + d )2 h22 α ⋅ q 2 α ⋅ q 2 (14.28) − + − =0 2 2 gh1 gh2 Ţinând seama de pierderile de sarcină, avem: (h1 + d )2 h22 q2 α ⋅ q2 α ⋅ q2 (14.29) − +ς ⋅ d+ − =0 2 2 gh1 gh2 2 gh12 Valoarea coeficientului de rezistenţă locală la pragul coborâtor are valori negative (ζ = -0,5...-1,0). Ecuaţiile (14.27) şi (14.29) reprezintă legătura funcţională între adâncimile de dinainte şi după singularitate.

Hidraulică vol. II

205

În cazul stării rapide a curentului la prag coborâtor nivelul apei scade după acesta.

14.2.3. Prag de fund (fig. 14.16)

2

2

1 le

e1 h1 Fp

αv2/2g

2

αv1/2g

Această singularitate produce o variaţie a adâncimii curentului, forma suprafeţei libere poate fi explicat calitativ prin combinarea efectelor de la pragul urcător şi coborâtor. La intrarea pe prag şi pe aceasta are loc o coborâre a nivelului apoi la trecerea după prag nivelul creşte.

V1

V2 W

1 F l1

d

h2

F l2

h r1 -2

e2 Fp

2

Fig. 14.16. Analiza suprafeţei libere la pragul de fund

Aplicând ecuaţia teoremei impulsului cu β1 = β2 = 1 ρ ⋅ Q(V1 − V2 ) + Fp1 + Fp 2 + Fl1 + Fl 2 = 0

(14.30)

pentru canal de secţiune dreptunghiulară, acceptând pe feţele pragului distribuţia hidrostatică a presiunii Fl1 = γbd (2h1-d)/2 şi Fl2=γbd(2h2-d)/2, respectiv cu Fp1 = γbh12/2 şi Fp2=γbh22/2 şi utilizând Fr1=v12/gh1, obţinem: 2    2d   h1  d   − 1 − 2  (14.31) h2 = 8 ⋅ Fr1 + 1 −  2 h h  1   1   

care este relaţia între h1 şi h2. Pierderea de sarcină produsă de treaptă este:  h1 Fr1 1 − (h2 / h1 )2  v 22 − v12 (14.32) hr = h1 − h2 − = h1 1 − − ⋅  2g 2 (h2 / h1 )2   h2 Coeficientul de rezistenţă hidraulică a pragului în forma de exprimare Weisbach devine:

h ς p =  2  h1

  

2

 1 − h2 / h1  1 + 2  − 1 Fr  1 

(14.33)

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

206

14.2.4. Pilă în albie

Pilele de pod constituie un exemplu de discontinuitate în canale uniforme şi se referă la modificarea lăţimii canalului (fig. 14.17). Fenomenul de mişcare are caracter spaţial şi din acest considerent metoda utilizată anterior nu este indicată. Pentru coeficientul de rezistenţă locală ζ se folosesc relaţiile empirice. Cel mai frecvent caz este atunci când starea mişcării este lentă atât în amonte cât şi în aval. Pila produce în amonte o supraînălţare ∆h = h1 - h2. Adâncimea din aval poate fi considerată adâncimea normală, h2 = h0, in amonte formându-se o curbă de supraînălţare a1. α v21 / 2 g le

h

hr

α v22 / 2 g h1

h2

hcr

Fig. 14.17. Forma suprafeţei libere la pile Supraînălţarea ∆h se poate calcula cu relaţia lui Rehbock  v 22  v 22 3   ∆h = h1 − h2 = µ ⋅ 9 µ + µ + 0,4 [τ − µ (τ − 1)]1 + (14.34) gh 2  2g  unde µ este un coeficient adimensional (µ ≈ 0,8 la pile de formă hidrodinamică şi µ ≈ 0,4 la pile de secţiune dreptunghiulară), iar τ = Ap/A este reducerea relativă a secţiunii datorită pilelor (Ap – secţiunea ocupată de pile, A – secţiunea vie la h0).

(

)

14.3. APLICAŢII 10. Să se determine parametrii saltului hidraulic care se formează într-un canal de secţiune trapezoidală, cunoscând: b = 1,2 m; m = 1,50; Q = 8 m3/s; h’ = 0,5 m şi α = α0 = 1,0.

Hidraulică vol. II

207

Rezolvare. a. Determinarea adâncimii conjugate În canale trapezoidale adâncimile conjugate nu se pot explicita reciproc, ele se calculează cu ajutorul funcţiei salt prin aproximaţii succesive (calcul manual sau automat) sau grafic. α ′ ⋅ Q2 α ′′ ⋅ Q 2 θ (h ) = 0 + hG′ ⋅ A′ = 0 + hG′′ A′′ = θ (h′′) gA′ gA′′ A = h(b + mh ) hG =

h B + 2b h 3b + 2mh ⋅ = ⋅ 3 B + b 6 b + mh

a.1. Aproximaţii succesive prin calcul manual Se calculează cu elementele cunoscute θ(h’) apoi se dau valori pentru h” > hcr, utilizând metoda coardei. Se calculează elementele A”, hG” şi θ(h”). Calculul se consideră terminat când |h”i+1-h”i| ≤ εh, care se admite εh = 1,0 cm. Rezultatele sunt centralizate în (tab. 14.2). h (m)

A (m2)

hG (m)

0,50 1,50 2,0 1,90 1,95 1,96 1,97

0,975 5,175 8,400 7,695 8,044 8,114 8,185

0,218 0,588 0,762 0,727 0,745 0,748 0,751

Tabelul 14.2 θ(h) (m3) 6,904 4,298 7,177 6,443 6,800 6,873 6,948

a.2. Aproximaţiile prin calcul automat folosesc schema logică din fig. 14.11. Pentru limita inferioară a domeniului de variaţie a lui h” se consideră h” = hcr. Valorile obţinute pentru εh = 10-4 m, sunt: h” = 1,964 m; hG” = 0,7494 m; A” = 8,1435 m2; θ(h”) = 6,9042 m3; θ(h”) - θ(h’) = 4,5·10-4; δ(θ) = 0,065 ‰.

208

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

b. Înălţimea saltului a = h” - h’ = 1,96 - 0,50 = 1,46 m. c. Energia specifică pierdută prin salt  α ⋅ Q2   α ⋅ Q2  ∆e = e′ − e′′ = h′ + − h′′ + = 2  2 ′ ′ ′ 2 g A 2 g A    

    82 82 = 0,50 + − 1 , 96 + = 1,92 mCA   2 2 2 ⋅ 9 , 81 ⋅ 0 , 975 2 ⋅ 9 , 81 ⋅ 8 , 114     d. Lungimea saltului   B′′ − B′  12,96 − 4,2   = 5 ⋅ 1,961 + 4  = 66,4 m ls = 5h′′1 + 4    ′ B 4 , 2    

B” = b + 2mh” = 1,2 + 2⋅3⋅1,96 = 12,96 m B’=b + 2mh’ = 1,2+2·3·0,5=4,2 m e. Calculul grafic al adâncimii conjugate se face cu ajutorul epurii funcţiei saltului. Pentru diverse valori ale lui h se construieşte graficul θ(h) şi e(h) apoi din grafic se extrag h”, a, şi ∆e (tab. 14.3 şi fig. 14.18). Tabelul 14.3 h θ(h) e(h) h θ(h) e(h) 3 3 (m) (m ) (m) (m) (m ) (m) 0,45 7,899 5,032 1,20 3,540 1,452 0,50 6,904 3,931 1,30 3,706 1,495 0,60 5,502 2,655 1,40 3,960 1,553 0,70 4,608 2,015 1,50 4,298 1,622 0,80 4,038 1,685 1,60 4,717 1,698 0,90 3,693 1,519 1,70 5,214 1,780 1,00 3,516 1,447 1,80 5,789 1,866 1,05 3,479 1,434 1,90 6,443 1,955 1,087 3,472 1,431 1,964 6,903 2,013 1,10 3,473 1,432 2,00 7,177 2,047

Hidraulică vol. II

209

h(m ) 2 ,0 h ''= 1 ,9 6 m 1 ,8 1 ,6 a=1,46 m

1 ,4 1 ,2 h cr 1 ,0

θ (h) 0 ,8 e (h ) 0 ,6 h '= 0 ,5 m

∆ e = 1 ,9 0 m

0 ,4 0 ,2 3 1

e '' 4 2

5 3

3

e'

6

7

8

4

5

6

θ(m ) e (m )

Fig. 14.18. Calculul grafic al elementelor saltului

20. Să se determine tipul şi parametrii saltului hidraulic care se formează într-un canal orizontal de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 4 m3/s; b=2,0 m şi h”=1,50 m; (α=1,09). Rezolvare. Adâncimea critică:

α ⋅ Q2

2 1 , 09 ⋅ 4 hcr = 3 =3 = 0,763 m g ⋅ b2 9,81 ⋅ 22 Prima adâncime conjugată a saltului: 3 3   1,50  h′′  hcr  0 , 763      h′ = 1 + 8  − 1 = 1 + 8  − 1 = 0,325 m ′ ′ 2 h 2 1 , 50            Înălţimea saltului: A = h” - h’ = 1,50-0,325 = 1,175 m Energia specifică pierdută prin salt: ( h′′ − h′)3 (1,50 − 0,325)3 ∆e = = = 0,83 m 4h′′h′ 4 ⋅ 1,50 ⋅ 0,325 Lungimea saltului (după Kumin şi Smetana) ls = 6(h” - h’) = 6(1,50 - 0,325) = 7,05 m

210

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

Numărul Fr’: 2 ( v ′) Q2 42 ′ Fr = = 2 = = 11,9 3 gh ′ 9,81 ⋅ 2 2 ⋅ 0,3253 gb (h ′) Tipul saltului: pentru 6 < Fr’ < 20, salt cu jet oscilant.

Hidraulică vol. II

211

CAPITOLUL 15 RACORDAREA BIEFURILOR Se defineşte bief un sector al unei albii deschise, cuprins între două discontinuităţi ale acesteia care determină, în general, o schimbare accentuată a tipului de curgere. Astfel pot fi privite ca discontinuităţi: trecerea bruscă de la o pantă la alta (schimbare de pantă), trecerea curentului peste deversoare sau orificii, căderea pe o treaptă sau pe mai multe trepte, trecerea peste un prag, prag urcător, trecerea prin lărgiri sau îngustări de secţiune ş.a. Astfel de discontinuităţi ale albiei influenţează substanţial nivelul şi forma suprafeţei libere a curentului. Mişcarea permanentă a unui curent cu suprafaţă liberă se compune dintr-o succesiune de biefuri, cu mişcări gradual variate de diferite tipuri (determinate de caracteristicile fiecărui bief), racordate în dreptul discontinuităţilor, pe porţiuni mai scurte, de mişcări permanente rapid variate. De obicei discontinuităţile mici, neimportante influenţează nesemnificativ suprafaţa liberă şi sunt luate eventual în calcul ca o modificare a rugozităţii sau se neglijează. Modificările importante ale continuităţii albiei determină variaţii importante ale nivelului şi trebuiesc luate în seamă în calcule. Starea mişcării pe biefuri influenţează hotărâtor fenomenele hidraulice de pe biefuri şi racordarea lor în dreptul discontinuităţilor. 15.1. PROPAGAREA PERTURBAŢIILOR ÎN ALBII DESCHISE Se cunoaşte că starea mişcării într-o albie deschisă poate fi lentă sau rapidă. Forţa de greutate are un rol determinant în cazul mişcărilor cu suprafaţă liberă, mişcările fiind caracterizate şi de numărul Froude. Fie mişcarea unui lichid cu viteza v la adâncimea h, caracterizată de numărul Fr = v2/gh, într-un canal dreptunghiular. Valoarea critică Fr = 1 delimitează cele două stări ale curentului. Se consideră un val plan călător izolat care se deplasează cu celeritatea c într-un lichid greu, de adâncime h, aflat iniţial în repaus, iar ABCD o suprafaţă de control fixă în raport cu sistemul de referinţă (fig. 15.1.b).

212

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

∆ h l

a.

h e

B

∆ h

C

h

W

- ( c -∆v ) A

-c

b. D

e

Fig. 15.1. Schemă pentru calculul celerităţii

Se presupune că l >> h şi ∆h π/2, iar în echilibru static θ = π. y

t2 t3 t1

x

y

a) v=0

t2

t3

b) vc

Fig. 15.2. Formele de propagare a undei solitare în funcţia vitezei din canal.

Prin urmare, mişcarea lichidelor în canale regulate (prismatice, cilindrice) în privinţa stării curentului se mai poate caracteriza după cum o perturbaţie se poate sau nu propaga spre amonte. Observaţia este valabilă în canale regulate dacă se consideră Fr = v2/ghm, respectiv c ≈ ghm şi hm = A/B. Constatările prezintă importanţă în racordarea biefurilor: în stare lentă perturbaţiile se propagă din aval spre amonte; secţiunile de comandă fiind situate în aval şi în starea rapidă din amonte spre aval, secţiunile de comandă fiind situate în amonte.

214

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

15.2. TRASAREA CURBEI SUPRAFEŢEI LIBERE LA RACORDAREA BIEFURILOR Orice trasare şi calcul a suprafeţei libere într-un canal comportă următoarele operaţii: - recunoaşterea stării curentului pe biefuri; - stabilirea secţiunilor de comandă şi calculul cotelor luciului apei în aceste secţiuni; - stabilirea fenomenelor hidraulice, calculul şi trasarea propriu-zisă a suprafeţei libere. Starea curentului pe bief se stabileşte pentru o mişcare presupusă uniformă şi pentru condiţiile efective de adâncimi rezultate conform celor prezentate la 13.2.4. Secţiunile de comandă, ca regulă generală, pentru biefuri lente în mişcare uniformă sunt situate în extremitatea aval, iar pentru biefuri rapide aceste secţiuni se găsesc în extremitatea amonte. (v. paragraful precedent). O secţiune de comandă este caracterizată prin faptul că impune o cotă determinată suprafeţei libere care, în general, depinde de debit. Această cotă, numită cotă de comandă arată dispunerea suprafeţei libere faţă de adâncimea normală şi ceea critică. În funcţie de această dispunere a cotei suprafeţei libere pe bieful analizat rezultă mişcarea uniformă sau gradual variată – tipul curbei. În concordanţă cu neregularitatea geometrică a canalului, la limita biefurilor rezultă fenomenele hidraulice ale mişcării rapid variate la racordare. În eventualitatea schimbării stării curentului pe bief se poate localiza şi singura formă de mişcare rapid variată pe canalul uniform – saltul hidraulic. Plecând de la secţiunile de comandă, din aproape în aproape se pot determina (calcula) parametrii fenomenelor hidraulice de pe bief şi se poate construi suprafaţa liberă. În funcţie de discontinuităţile pe canal (acestea biefează canalul) întâlnindu-se mai multe tipuri de racordare a două biefuri, astfel: - racordare la schimbare de pantă; - racordare cu lame efluente; - alte tipuri de racordări.

Hidraulică vol. II

215

15.2.1. Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme) la schimbare de pante. Racordarea biefurilor la schimbarea pantei geometrice evidenţiază patru situaţii caracteristice, după cum urmează: - racordare bief lent cu bief lent; - racordare bief rapid cu bief rapid; - racordare bief lent cu bief rapid; - racordare bief rapid cu bief lent. Elementele biefului amonte se notează cu indicele 1, iar a biefului aval cu 2.

10. Racordarea bief lent cu bief lent În această situaţie există două posibilităţi în funcţie de adâncimile normale din cele două biefuri în cazul pantelor pozitive şi câte un caz pentru panta biefului amonte nulă sau negativă. 10.a. Adâncimea normală în primul bief este superioară adâncimii din bieful 2, h01 > h02. Este satisfăcută condiţia 0 < I1 < I2 < Icr. Adâncimea critică pentru Q = ct este unică şi este situată sub adâncimile normale. Pentru ambele biefuri lente secţiunea de comandă este în extremitatea aval. Pe bieful 2, fără alte condiţii în aval mişcarea este uniformă, iar această adâncime comandă mişcare uniformă pe bieful 2. În secţiunea amonte a biefului 2 adâncimea este h02, identică cu adâncimea în secţiunea aval a biefului 1, care este secţiune de comandă, respectiv cota luciului apei, cotă de comandă. Astfel pe bieful 1, bief lent adâncimea de comandă este situată în zona b, hcr < h < h01 şi pe bieful 1 este mişcare gradual variată după o curbă de coborâre de tipul b1 (fig. 15.3). Ν1 b1 C

h01

N1 N2

Fig. 15.3. Racordarea a două biefuri lente la schimbare de pantă: 0 < I1 < I2 < Icr.

Mu

0 h02 > h01. În curgere uniformă ambele biefuri sunt în stare rapidă, deci secţiunile de comandă sunt situate în amontele biefurilor. Pe bieful 1 în secţiunea amonte nefiind impuse alte condiţii, se stabileşte adâncimea normală care se menţine pe tot bieful şi devine adâncime de comandă pentru bieful 2. În bieful 2, h01 este situată în zona c, deci pe acest bief suprafaţa liberă se dispune după o curbă crescătoare de tipul c2. (fig. 15.8). C C

N2 N1

N2 c2

Mu

h01

h02 hcr

N1

I1>I cr I2>I

cr

Fig. 15.8. Racordarea a două biefuri rapide la schimbarea de pantă: Icr< I 2< I1.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

218

30. Racordarea bief lent cu bief rapid În această situaţie se disting trei cazuri, în funcţie de panta biefului 1 care este inferioară pantei critice, I1 < Icr şi poate lua valori pozitive, zero sau negative. Starea curgerii pe bieful 1 este lentă. Pe bieful 2 panta este superioară celei critice, I2 > Icr, şi starea curentului este rapidă. Pentru secţiune identică pe cele două biefuri, la mişcarea permanentă adâncimea critică (respectiv axa critică) este unică. Pentru bieful amonte în starea lentă a curgerii secţiunea de comandă este situată în aval, la schimbarea de pantă, iar pentru bieful aval rapid secţiunea de comandă este în amonte, tot la schimbarea de pantă. Secţiunea de comandă fiind comună celor două biefuri, fără a avea condiţii suplimentare referitoare la cota (adâncimea) de comandă, nivelul în această secţiune se obţine cunoscând legea fenomenelor naturale care tind sa-şi minimizeze energia specifică, rezultând pentru secţiunea de comandă (de schimbare a pantei) adâncimea critică hcr. Chiar dacă presupunem panta biefului 2 I2→∞, cădere pe bief lent, caz în care biefurile nu se influenţează reciproc şi în secţiunea aval al biefului 1 adâncimea este cea critică. 30.a. Pentru 0 < I1 < Icr < I2 sunt caracteristice h02 > hcr > h01. Pe bieful 1 nivelul coboară de la cel normal în amonte la hcr în aval după o curbă de coborâre convexă de tipul b1, iar pe bieful 2 scăderea adâncimii continuu de la hcr spre adâncimea normală h02 în zona b după o curbă de coborâre concavă de tipul b2. Schema nivelurilor şi variaţia energiei specifice a secţiunii în lungul canalului sunt vizualizate în fig. 15.9. e

l b1

Fig. 15.9. Racordarea bief lent cu bief rapid 0< I1 < Ic r< I2.

h0 1 hc r

b2

0 < I1 < I c r I2 > I cr

h0 2

Acest tip de racordare permite stabilirea următoarelor observaţii: - trecerea de la starea lentă la cea rapidă a curentului are un aspect continuu, dar comportă o coborâre pronunţată a suprafeţei libere în jurul secţiunii de comandă – de schimbare a pantei. În această secţiune are loc

Hidraulică vol. II

219

schimbarea inflexiunii suprafeţei libere. Curgerea curentului în jurul secţiunii are un pronunţat caracter de neuniformitate datorită modificărilor importante în structura curentului – trecerea de la profilul de viteză caracteristică stării lente la profilul de viteză proprie stării rapide. Redistribuirea vitezelor apare şi la celelalte forme de racordare tratate. - starea mişcării de pe bieful 1, cu I1 < Icr, se menţine lentă, oricât de mare ar fi panta biefului 2, la limită când I2 > ∞, cădere pe canal, tot principiul curgerii cu minimizarea energiei specifice a secţiunii arată coborârea în capătul biefului 1 a adâncimii la hcr. (Datorită neuniformităţii mişcării hcr se obţine ceva mai amonte de cădere fig. 15.10). b1

h0 1 h

0 ,7 h c r

cr

0 < I1< I c r

Fig. 15.10. Schema nivelului în apropierea căderii.

lh c r I2=

0

3 .b. Situaţia I1 = 0 şi I2 > Icr conduce la racordarea materializată în figura 15.11, cu curba b0 pe bieful 1 şi b2 pe bieful 2. 30.c. Pentru I1 < 0 şi I2>Icr racordarea scoate în evidenţă curba b’ a suprafeţei libere pe bieful 1 şi b2 pe bieful 2. (fig. 15.12). b'

b0 C C

hc r

N2

b2

hc r

C

h0 2

Fig. 15.11. Racordarea bief lent cu I1 = 0 cu bief rapid I2 > Icr

N2

I 1< 0

N2

b2

I2 > I cr

C

h0 2

N2

Fig. 15.12. Racordarea bief lent cu I1 < 0 cu bief rapid I2>Icr

La racordare bief lent cu bief rapid cele două biefuri nu se influenţează reciproc. Adâncimea critică corespunzătoare energiei specifice minime din secţiunea de comandă are rolul hotărâtor.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

220

40. Racordare bief rapid cu bief lent Bief 1, rapid, este caracterizat de h01 < hcr, respectiv I1 > Icr, secţiunea de comandă fiind situată în capătul amonte al biefului. Fără alte condiţii suplimentare adâncimea în secţiunea de comandă este cea normală h01, care determină mişcare uniformă pe bief. Bieful 2, lent, este caracterizat de h02 > hcr, respectiv I2 < Icr şi secţiunea de comandă este în avalul biefului. Fără condiţii suplimentare în secţiunea de comandă adâncimea este cea normală, h02, care determină pe bieful 2 mişcare uniformă pentru I2 > 0. La racordarea celor două biefuri adâncimea trebuie să treacă de la h01 < hcr la h02 > hcr care implică apariţia saltului hidraulic. Poziţia saltului depinde de valoarea adâncimilor normale de pe cele două biefuri; cel puţin una din adâncimile normale trebuie să fie una din adâncimile conjugate ale saltului hidraulic. La analiza fenomenului, într-o primă ipoteză, se poate accepta că adâncimea normală din bieful 2 este adâncimea de ieşire din salt, h02 = h”. Adâncimii de ieşire din salt h” îi corespunde o adâncime de intrare h’, calculabilă prin funcţia saltului. În funcţie de mărimea h’ faţă de adâncimea normală de pe bieful 1, h01 se întâlnesc trei situaţii distincte, astfel: 40.a. dacă h’ > h01, adâncimea de intrare în salt trebuie să crească la h’ pentru a satisface condiţiile funcţiei saltului. În această situaţie saltul se formează pe bieful 2, între schimbarea de pantă şi secţiunea de intrare în salt interpunându-se o curbă de supraînălţare c1 prin care adâncimea creşte de la h01 la h’. (fig. 15.13). C N1

s a lt

h0 1 I 1> I cr

Mu

N2

N1

h0 1

Mu

h " = h0 2

C1

h'

N2

h0 2

C

0 < I2 < I c r

Fig. 15.13. Racordare bief rapid cu bief lent cu salt pe bieful 2.

40.b. în situaţia h’ = h01, saltul se formează cu secţiunea de intrare situată în secţiunea schimbării de pantă, în rest pe ambele biefuri fiind menţinută mişcarea uniformă (fig. 15.14).

Hidraulică vol. II

C N1

221

s a lt

h0 1 I 1> I

N2

Mu

Mu

N1

h " = h0 2 h 0 1= h '

cr

N2

h0 2

C

0 < I2 < I c r

Fig. 15.14. Racordarea bief rapid cu bief lent cu începutul saltului la schimbarea de pantă

40.c. când pentru h” = h02 rezultă h’ < h01 se remarcă faptul că cea mai mică adâncime pe canal este h01, deci adâncimea de intrare în salt va fi h’ = h01, rezultând h” < h02, deci saltul se formează pe bieful 1. Între h” şi h02 pe bieful 1 suprafaţa liberă se dispune după o curbă de tipul a2 (fig. 15.15). C N1

s a lt

a2

N2

M u N2

M u

h0 1

N1

h 0 1= h '

h0 2

h"

C

I1> I cr

ls

la 2

0 < I2 < I c r

Fig. 15.15. Racordare bief lent cu bief rapid cu salt pe bieful 1

Observaţie În situaţia când bieful 2 este orizontal sau are pantă negativă, bieful are lungime limitată şi mişcarea pe tot bieful 2 este permanentă neuniformă, cu fenomene de mişcări gradual, eventual rapid variate. În condiţia 40.a, de formare a saltului pe bieful 2, pe acest bief în ordine suprafaţa liberă se dispune curbă c0, salt, curbă b0 în cazul pantei nule şi curbă c’, salt, curbă b’ în cazul pantei negative. Pe bieful 1 mişcarea se menţine uniformă. În condiţia 40.b saltul se formează la schimbarea de pantă, pe bieful 1 se menţine mişcarea uniformă, iar pe bieful 2 suprafaţa liberă urmează o curbă b0 sau b’ în funcţie de panta acestuia. În condiţia 40.c pe bieful 1 în ordine este mişcare uniformă, salt, curbă a2, iar pe bieful 2 curbă b0 sau b’ în funcţie de panta acestuia.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

222

50. Racordarea a trei biefuri la schimbare de pantă Combinaţiile multiple care există la racordarea a trei biefuri fac ca toate posibilităţile să nu fie prezentate aici. Metoda generală de studiu se va examina pentru un singur caz particular pentru a pune în evidenţă principiile folosite în analiză. Se consideră un canal prismatic uniform format din trei biefuri care în mişcare uniformă ar avea, în ordine spre aval, starea curentului rapidă – lentă – rapidă. În funcţie de lungimea biefului 2 fenomenele de mişcare permanentă lent şi rapid variată întâlnite sunt diferite şi au fost prezentate în punctele 10...40 pentru racordarea a două câte două biefuri la schimbare de pantă. În cele ce urmează, lungimea biefului 2 se consideră astfel încât saltul hidraulic să se formeze pe traseul acestui bief (fig. 15.16), iar panta patului albiei este pozitivă, 0 < I2 < Icr.

C

s a lt N2

N1 Mu

S1

I1 > I cr

h01

N1

N2

b1

h 02 C1

h'

h"

hcr

N3

b2

hc r

0< I2 < I cr S2

I3 > I cr

C

h0 3

N3

Fig. 15.16. Schema suprafeţei libere la racordare a trei biefuri la schimbare de pantă (R – L –R)

Secţiunea S1 din amonte este secţiunea de comandă pentru bieful 1 şi fără condiţii suplimentare, comandă mişcare uniformă pe acest bief. Secţiunea S2 este secţiune de comandă a biefurilor 2 şi 3. S-a considerat că pe bieful 2 starea mişcării revine la starea lentă după saltul care se formează pe acest bief (vezi 15.2.1 punct 40.a). În partea amonte a biefului suprafaţa liberă se dispune după o curbă de supraînălţare c1, urmată de salt hidraulic, apoi o curbă de coborâre b1 care se sfârşeşte în secţiunea de comandă S2, unde adâncimea este cea critică. Pe bieful 3 suprafaţa liberă va urma o curbă de coborâre de tipul b2 (vezi fig. 15.9). Racordarea a trei sau mai multe biefuri se analizează după raţionamentele prezentate anterior, fiecărui caz în parte. Fiecărui bief i se determină, după caz, adâncimea normală, critică, starea curentului, se stabilesc secţiunile de comandă cu parametrii hidraulici corespunzători şi se

Hidraulică vol. II

223

analizează calitativ fenomenele de mişcări permanente – uniforme, lent şi rapid variate pe biefuri. Fiecare element se calculează conform celor prezentate în capitolele 11, 12, 13 şi 14.

15.2.2. Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme) prin construcţii cu lame efluente În unele situaţii, din necesităţi tehnice, curenţii cu suprafaţă liberă sunt trecuţi peste deversoare, prin orificii, dând naştere la lame efluente, jeturi, cu starea rapidă a mişcării în aval. Cele mai simple racordări cu lame efluente sunt cele cu deversoare de diferite tipuri – cu muchie ascuţită, profil gros, profil practic sau cu prag lat (fig. 15.17), racordările prin orificii mari de stavilă simple sau combinate cu praguri (fig. 15.18). În funcţie de raportul mărimilor hidraulice înainte şi după construcţie, în bieful aval forma racordării poate fi diferită. În bieful aval se disting trei forme de racordare referitoare la epura vitezei după construcţie, astfel: 2

αv0/2g a

H H0 E0 E

p1

V0

hc

hcr hav

2

αv0/2g H0 E 00 E

V0

H

b

hcr hav

hc 2

αv0/2g V0

E0

H0 H

c

E hc

Fig. 15.17. Racordare cu lame deversante

hav

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

224

E0 E

V0

hav a

hc

Fig. 15.18. Racordare cu lame efluente create de orificii E0 E

V0

hc hav

- racordare cu regim de fund al vitezei în bieful aval; - racordare cu regim de suprafaţă al vitezei în bieful aval; - racordare cu regim mixt al vitezei în bieful aval. Racordării cu regim de fund al vitezei îi este caracteristică situaţia că pe profilul vitezei în secţiune, viteza maximă este situată în apropierea patului albiei (fig. 15.19.a). Asemenea situaţie se întâlneşte în cazul când curentul efluent atinge fundul albiei în imediata vecinătate a construcţiei. Regimul de suprafaţă este caracterizat prin viteze maxime pe secţiune în apropierea suprafeţei libere. Este caracteristică evacuatorilor cu prag aval (fig. 15.19.b). 0

v

v

0

h

h a

b

Fig. 15.19. Profilul vitezei în albii deschise: a) regim de fund al vitezei; b) regim de suprafaţă al vitezei

10. Racordarea biefurilor prin construcţii cu lame efluente în regim de fund al vitezei Se presupune un evacuator (construcţie) cu lamă efluentă – deversor sau orificiu mare – în canal prismatic, iar bieful aval (2) de lungime cunoscută. Pentru pantă pozitivă, I2 > 0, şi bief de lungime mare, spre capătul aval al biefului curgerea permanentă este (sau tinde) uniformă. La pantă I2 ≤ 0 curgerea permanentă este neuniformă. Lama deversantă sau jetul aval de construcţie ajunge la fundul albiei în secţiunea contractată c-c unde adâncimea de obicei este minimă şi

Hidraulică vol. II

225

se numeşte adâncime contractată hc. Excepţie face situaţia când adâncimea la piciorul construcţiei este superioară adâncimii normale din bieful 2 hc’ > h02 şi poate să fie caracteristică pentru I2 > Icr. Adâncimea în secţiunea contractată este inferioară adâncimii critice, hc < hcr.

10.a. Fenomene hidraulice pe bieful 2 pentru 0 < I2 < Icr Când lungimea biefului 2 este mare spre aval se obţine adâncimea normală, h02 > hcr. Adâncimea în secţiunea contractată este inferioară adâncimii critice hc < hcr, deci pe traseul biefului adâncimea creşte de la hc la h02 trecând prin adâncimea critică, caz în care se formează saltul hidraulic. Adâncimea de ieşire din salt este adâncimea normală din aval h” = h02. Lama deversantă fiind lipită de fundul albiei aval distribuţia vitezei pe verticală este caracteristică regimului de fund.

p1 s a lt

la m

E

Mu

a

E0

de ve rs a

p

C c

nt a

c

C

h c c1 h' cl 1

h " = h0 2 0 < I 2 < Ic r sl

Fig. 15.20. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei, 0 < I2 < Icr, cu salt îndepărtat

În funcţie de raportul adâncimii contractate şi a celei de intrare în salt există trei situaţii distincte: - pentru hc < h’, între adâncimea contractată şi saltul hidraulic se interpune o curbă de supraînălţare caracteristică pantei 0 < I2 < Icr de tipul c1. Aval de salt mişcarea este uniformă cu adâncimea h02 comandată fără alte condiţii din avalul biefului (fig. 15.20). - pentru hc = h’ saltul hidraulic se formează exact din adâncimea contractată, forma de racordare pe bieful 2 conţinând: lama deversantă, saltul, apoi mişcarea uniformă. (fig. 15.21). Se numeşte racordare cu salt apropiat.

226

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

la

p1

s a lt

m a

E0 E

M pu

de ve

C c

r sa

p

C

nt

h " = h0 2

a

h c= h '

0 < I2 < I c r

c

Fig. 15.21. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei 0 < I2 < Icr, cu salt apropiat

- pentru hc > h’, rezultă că nu există condiţii pentru dezvoltarea unui salt perfect. În această situaţie saltul avansează spre amonte şi acoperă parţial lama deversantă formându-se un salt înecat (fig. 15.22). Presupunând adâncimea de intrare în salt h’ = hc din funcţia saltului rezultă h” < h02. Raportul σî = h”/h02 este supraunitar şi caracterizează gradul de înecare al saltului şi se numeşte coeficient de înecare.

p

salt inecat Mu

nta rsa ve de

E0 E

a m la

p1

N C

h02 hc

0 h0 rezultă saltul este îndepărtat şi de fapt adâncimea de ieşire din salt h” este h0. Între adâncimea contractată şi adâncimea de intrare în salt este o curbă de supraînălţare c1. b.4. Elementele saltului: - adâncimea de ieşire: h” = h0 = 1,58 m - adâncimea de intrare: 3 3   1,58  h′′  hcr   0,765     h′ = 1 + 8  − 1 = 1 + 8  − 1 = 0,301 m . ′ ′ 2 2    h   1,58     

- lungimea saltului: ls = 6(h”-h’) = 6(1,58-0,301) = 7,67 m. - viteza la intrare: Q 4 v′ = = = 6,64 m/s . b ⋅ h′ 2 ⋅ 0,301 - numărul Fr’: v′ 2 6,64 2 Fr ′ = = = 14,9 ⇒ salt cu jet oscilant. g ⋅ h ′ 9,81 ⋅ 0,301

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

244

b.5. Elementele curbei c1 (tab. 15.11)

Tabelul 15.11. h (m)

η

A (m2)

P (m)

R (m)

φ(η,x)

(m /s)

K (m3/s)

x

0,5

C

h0

1,58

-

3,16

5,16

0,612

51,19

126,5

-

-

h1=hc

0,246

0,156

0,492

2,492

0,197

42,38

9,25

2,82

0,156

0,301 0,191 Valori medii

0,602

2,602 2,547

0,231

43,52 42,95

12,60

2,78 2,80

0,191

h2=h’

δx = jm =

x1 − x2 2,82 − 2,78 = = 0,014 < 0,05 xm 2,80

α i hm 2 B ⋅

g

Pm

=

1,1 ⋅ 0,001 ⋅ 42,952 2 ⋅ = 0,162 9,81 2,547

h0 {η2 − η1 − (1 − jm )[ϕ (η2 ) − ϕ (η1 )]} = I 1,58 = [0,191 − 0,156 − (1 − 0,162)(0,191 − 0,156)] = 9,0 m 0,001 δx - se încadrează în toleranţă. Elementele calculate corespund fig. 15.36. lC1 =

2

α v0 / 2 g

H 0= 3 , 6 6 m

M pu s a lt

H = 3 ,6 4 m V0 = 0 , 5 5 m / s a = 0 ,4

C h "= h = 1 ,5 8 m 0 C1 h c r= 0 , 7 6 5 m h '= 0 , 3 0 1 m h c= 0 , 2 4 6 m 0 ,8 -1 ,2 m

9 ,0 m

7 ,6 7 m

Fig. 15.36. Valorile parametrilor saltului hidraulic

Hidraulică vol. II

245

Capitolul 16 DISIPAREA ENERGIEI. DISIPATORI DE ENERGIE Una din cele mai importante probleme a racordării biefurilor o constituie controlul şi disiparea energiei curentului evacuat în bieful aval. Această energie suplimentară, de multe ori ocazională, nu este economic să fie recuperată prin construcţii şi instalaţii anume şi din acest considerent se disipează controlat, altfel putând afecta siguranţa construcţiilor hidrotehnice. 16.1. Noţiuni generale. Tipuri de disipatoare Construcţiile de racordare – evacuare cu lame efluente creează stare rapidă a curentului, cu viteze mari (la racordări cu salt îndepărtat) şi conduc la erodarea albiei aval, producând afuieri. Pe o anumită distanţă în aval de construcţia de racordare se produce disiparea energiei suplimentare a curentului. Fie o construcţie de racordare cu deversor având profil practic care evacuează în aval debitul maxim Qmax (fig. 16.1). lin ia e n e rg e

H0 H

∆E l

t ic a

∆E s

la m

salt

e a d

E

rs a nt a

l1

E 0av

p

ve

l0 1

Σ ∆E

∆E c 1

E0

hc

C1 0 0

Anexa 1

η

2,00

2,50

3,00

3,25

x 3,50

3,75

4,00

4,50

5,00

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,905 0,910 0,915 0,920

0 0,050 0,100 0,151 0,203 0,255 0,309 0,365 0,424 0,485 0,549 0,619 0,693 0,709 0,727 0,741 0,758 0,775 0,792 0,810 0,829 0,848 0,867 0,887 0,907 0,928 0,950 0,972 0,996 1,020 1,045 1,071 1,098 1,127 1,156 1,178 1,221 1,256 1,293 1,333 1,375 1,421 1,472 1,499 1,527 1,557 1,589

0 0,050 0,100 0,150 0,201 0,252 0,304 0,357 0,411 0,468 0,527 0,590 0,657 0,671 0,685 0,699 0,714 0,729 0,744 0,760 0,776 0,792 0,809 0,826 0,844 0,862 0,881 0,900 0,920 0,940 0,961 0,983 1,006 1,030 1,055 1,081 1,109 1,138 1,139 1,202 1,237 1,275 1,316 1,339 1,362 1,386 1,412

0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,251 0,302 0,354 0,407 0,461 0,517 0,575 0,637 0,650 0,663 0,676 0,689 0,703 0,717 0,731 0,746 0,761 0,776 0,791 0,807 0,823 0,840 0,857 0,874 0,892 0,911 0,930 0,950 0,971 0,993 1,016 1,040 1,065 1,092 1,120 1,151 1,183 1,218 1,237 1,257 1,278 1,300

0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,301 0,352 0,405 0,458 0,513 0,570 0,630 0,642 0,655 0,668 0,681 0,694 0,707 0,721 0,735 0,749 0,793 0,778 0,793 0,808 0,824 0,841 0,857 0,874 0,892 0,911 0,930 0,949 0,970 0,992 1,014 1,033 1,063 1,090 1,118 1,148 1,181 1,199 1,218 1,237 1,257

0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,301 0,351 0,404 0,456 0,510 0,566 0,625 0,637 0,649 0,661 0,674 0,687 0,700 0,713 0,726 0,740 0,754 0,768 0,782 0,797 0,812 0,828 0,844 0,860 0,877 0,895 0,913 0,932 0,952 0,972 0,993 1,016 1,039 1,064 1,091 1,120 1,151 1,168 1,185 1,204 1,223

0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,351 0,403 0,455 0,508 0,563 0,620 0,632 0,644 0,656 0,668 0,681 0,693 0,704 0,719 0,732 0,746 0,759 0,773 0,787 0,802 0,817 0,833 0,849 0,865 0,882 0,899 0,917 0,936 0,955 0,975 0,997 1,020 1,044 1,069 1,096 1,126 1,142 1,158 1,175 1,193

0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,351 0,402 0,454 0,507 0,561 0,617 0,628 0,640 0,652 0,664 0,678 0,688 0,700 0,713 0,726 0,739 0,752 0,766 0,780 0,794 0,808 0,823 0,838 0,854 0,870 0,887 0,904 0,922 0,940 0,960 0,980 1,002 1,025 1,049 1,075 1,103 1,118 1,134 1,150 1,167

0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,401 0,452 0,504 0,556 0,611 0,622 0,634 0,645 0,657 0,668 0,680 0,692 0,704 0,716 0,728 0,741 0,754 0,767 0,780 0,794 0,808 0,822 0,837 0,852 0,867 0,883 0,900 0,917 0,935 0,954 0,974 0,995 1,017 1,040 1,066 1,080 1,094 1,109 1,124

0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,401 0,452 0,503 0,555 0,608 0,619 0,630 0,641 0,652 0,664 0,675 0,687 0,694 0,710 0,722 0,734 0,746 0,759 0,772 0,785 0,798 0,811 0,825 0,839 0,854 0,869 0,885 0,901 0,918 0,933 0,954 0,973 0,994 1,016 1,039 1,052 1,065 1,079 1,093

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

550 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,925 0,930 0,935 0,940 0,945 0,950 0,955 0,960 0,965 0,970 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000 1,001 1,005 1,010 1,015 1,020 1,025 1,030 1,035 1,040 1,045 1,050 1,060 1,070 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31

1,622 1,658 1,696 1,738 1,782 1,831 1,885 1,945 2,013 2,092 2,184 2,297 2,442 2,646 3,000

1,440 1,469 1,500 1,534 1,570 1,610 1,654 1,702 1,758 1,820 1,896 1,985 2,100 2,264 2,544

1,323 1,348 1,374 1,403 1,434 1,467 1,504 1,545 1,592 1,645 1,708 1,784 1,882 2,019 2,250

1,279 1,302 1,327 1,354 1,382 1,413 1,447 1,485 1,528 1,577 1,634 1,705 1,795 1,922 2,137

1,243 1,265 1,288 1,313 1,339 1,368 1,400 1,436 1,476 1,522 1,576 1,642 1,726 1,844 2,043

1,212 1,232 1,254 1,278 1,304 1,331 1,361 1,394 1,431 1,474 1,524 1,586 1,665 1,776 1,965

1,185 1,204 1,225 1,247 1,271 1,297 1,325 1,356 1,391 1,431 1,479 1,537 1,611 1,714 1,889

1,141 1,158 1,177 1,197 1,218 1,241 1,267 1,295 1,327 1,363 1,455 1,457 1,523 1,615 1,771

1,108 1,124 1,141 1,159 1,179 1,200 1,223 1,248 1,277 1,310 1,349 1,395 1,456 1,539 1,680

3,728 2,997 2,652 2,415 2,307 2,197 2,117 2,031 1,966 1,908 1,857 1,768 1,693 1,627 1,573 1,522 1,477 1,436 1,398 1,363 1,331 1,301 1,273 1,247 1,222 1,199 1,177 1,156 1,136 1,117 1,098 1,081 1,065 1,049 1,033 1,018 1,004

2,766 2,139 1,865 1,704 1,591 1,504 1,432 1,372 1,320 1,274 1,234 1,164 1,105 1,053 1,009 0,969 0,933 0,901 0,872 0,846 0,821 0,798 0,776 0,756 0,737 0,719 0,702 0,686 0,671 0,657 0,643 0,630 0,618 0,606 0,594 0,582 0,571

2,184 1,647 1,419 1,291 1,193 1,119 1,061 1,010 0,967 0,929 0,898 0,838 0,790 0,749 0,713 0,680 0,652 0,626 0,602 0,581 0,561 0,542 0,525 0,510 0,495 0,480 0,467 0,454 0,442 0,431 0,420 0,410 0,400 0,391 0,382 0,373 0,365

1,977 1,477 1,265 1,140 1,053 0,986 0,932 0,886 0,846 0,811 0,780 0,727 0,683 0,646 0,613 0,584 0,558 0,534 0,512 0,493 0,475 0,458 0,443 0,428 0,414 0,401 0,389 0,378 0,368 0,358 0,348 0,339 0,330 0,332 0,314 0,306 0,299

1,790 1,329 1,138 1,022 0,940 0,879 0,827 0,785 0,748 0,716 0,688 0,609 0,599 0,564 0,534 0,507 0,483 0,461 0,442 0,424 0,407 0,391 0,377 0,364 0,352 0,341 0,330 0,320 0,310 0,301 0,292 0,284 0,276 0,269 0,262 0,255 0,248

1,646 1,216 1,031 0,922 0,847 0,789 0,742 0,702 0,668 0,638 0,612 0,566 0,529 0,497 0,469 0,444 0,422 0,402 0,384 0,368 0,353 0,339 0,326 0,314 0,302 0,292 0,282 0,272 0,263 0,255 0,247 0,240 0,233 0,226 0,220 0,214 0,208

1,508 1,107 0,936 0,836 0,766 0,712 0,668 0,632 0,600 0,572 0,548 0,506 0,471 0,441 0,415 0,392 0,323 0,354 0,337 0,292 0,308 0,295 0,283 0,272 0,262 0,252 0,243 0,235 0,227 0,219 0,212 0,205 0,199 0,193 0,187 0,182 0,171

1,310 0,954 0,792 0,703 0,641 0,594 0,555 0,522 0,495 0,470 0,448 0,411 0,381 0,355 0,332 0,312 0,294 0,279 0,265 0,252 0,240 0,229 0,218 0,209 0,200 0,192 0,185 0,178 0,171 0,164 0,158 0,153 0,147 0,142 0,137 0,133 0,129

1,138 0,826 0,681 0,602 0,547 0,504 0,469 0,440 0,415 0,393 0,374 0,342 0,315 0,291 0,272 0,254 0,239 0,225 0,212 0,201 0,191 0,181 0,173 0,165 0,167 0,150 0,144 0,138 0,132 0,127 0,122 0,117 0,113 0,108 0,104 0,100 0,097

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

Hidraulică vol. II

551

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 20,0

0,990 0,977 0,964 0,952 0,940 0,928 0,917 0,906 0,896 0,886 0,876 0,866 0,856 0,847 0,838 0,829 0,821 0,813 0,805 0,767 0,733 0,707 0,675 0,650 0,626 0,605 0,585 0,566 0,549 0,518 0,490 0,466 0,444 0,424 0,405 0,389 0,374 0,360 0,346 0,294 0,255 0,226 0,203 0,168 0,145 0,126 0,110 0,100 0,093

0,561 0,551 0,542 0,533 0,524 0,516 0,508 0,500 0,492 0,484 0,477 0,470 0,463 0,456 0,450 0,444 0,438 0,432 0,426 0,399 0,376 0,355 0,336 0,318 0,303 0,289 0,276 0,264 0,253 0,233 0,216 0,201 0,188 0,176 0,165 0,155 0,146 0,138 0,131 0,103 0,084 0,070 0,060 0,046 0,036 0,029 0,024 0,021 0,008

0,357 0,349 0,341 0,334 0,328 0,322 0,316 0,310 0,304 0,298 0,293 0,288 0,283 0,278 0,273 0,268 0,263 0,259 0,255 0,235 0,218 0,203 0,189 0,177 0,166 0,156 0,147 0,139 0,132 0,119 0,108 0,098 0,090 0,082 0,076 0,070 0,065 0,060 0,056 0,041 0,031 0,025 0,020 0,014 0,010 0,009 0,006 0,005 0,002

0,292 0,285 0,279 0,273 0,267 0,261 0,255 0,250 0,245 0,240 0,235 0,231 0,226 0,222 0,218 0,214 0,210 0,206 0,202 0,185 0,170 0,157 0,145 0,135 0,126 0,118 0,111 0,104 0,098 0,087 0,078 0,070 0,064 0,058 0,053 0,048 0,044 0,041 0,038 0,027 0,020 0,015 0,012 0,008 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001

0,242 0,236 0,230 0,225 0,219 0,214 0,209 0,205 0,200 0,196 0,192 0,188 0,184 0,180 0,176 0,173 0,169 0,166 0,163 0,148 0,135 0,124 0,114 0,105 0,097 0,090 0,084 0,079 0,074 0,065 0,057 0,051 0,049 0,041 0,037 0,034 0,031 0,028 0,026 0,018 0,012 0,009 0,009 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,000

0,203 0,197 0,192 0,187 0,183 0,178 0,174 0,169 0,165 0,161 0,158 0,154 0,151 0,147 0,144 0,141 0,138 0,135 0,132 0,119 0,108 0,098 0,090 0,083 0,076 0,070 0,065 0,060 0,056 0,048 0,042 0,037 0,033 0,030 0,027 0,024 0,022 0,020 0,018 0,012 0,008 0,006 0,004 0,003 0,002 0,001 0,001 0,001 0,000

0,170 0,167 0,162 0,158 0,153 0,149 0,145 0,142 0,138 0,135 0,131 0,128 0,125 0,122 0,119 0,116 0,113 0,111 0,109 0,097 0,087 0,079 0,072 0,066 0,060 0,055 0,050 0,046 0,043 0,037 0,032 0,028 0,024 0,022 0,019 0,017 0,015 0,014 0,012 0,008 0,005 0,004 0,003 0,001 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000

0,125 0,121 0,117 0,113 0,110 0,107 0,104 0,101 0,098 0,095 0,092 0,090 0,087 0,085 0,083 0,081 0,079 0,077 0,075 0,066 0,058 0,052 0,047 0,042 0,038 0,034 0,031 0,028 0,026 0,022 0,018 0,016 0,013 0,012 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 0,004 0,002 0,001 0,001 0,001

0,094 0,090 0,087 0,084 0,081 0,079 0,076 0,074 0,071 0,069 0,067 0,065 0,063 0,061 0,059 0,057 0,056 0,054 0,053 0,046 0,040 0,035 0,031 0,027 0,024 0,022 0,019 0,017 0,016 0,013 0,011 0,009 0,008 0,006 0,005 0,005 0,004 0,003 0,003 0,002 0,001

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

552

Valorile funcţiei ϕ (ξ ) pentru albii cu fund orizontal ( i = 0 )

Anexa 2

ξ

2,00

2,50

3,00

3,25

x 3,50

3,75

4,00

4,50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94

0,0000 0,0001 0,0003 0,0011 0,0027 0,0052 0,0090 0,0113 0,0213 0,0304 0,0497 0,0554 0,0720 0,0756 0,0794 0,0833 0,0874 0,0915 0,0958 0,1003 0,1048 0,1095 0,1143 0,1193 0,1244 0,1297 0,1351 0,1406 0,1463 0,1552 0,1582 0,1643 0,1707 0,1772 0,1838 0,1906 0,1976 0,2046 0,2120 0,2195 0,2272 0,2350 0,2430 0,2512 0,2596 0,2681 0,2769

0 0 0,0001 0,0004 0,0010 0,0022 0,0042 0,0073 0,0116 0,0175 0,0252 0,0352 0,0478 0,0506 0,0537 0,0567 0,0599 0,0632 0,0667 0,0703 0,0740 0,0779 0,0820 0,0861 0,0905 0,0950 0,0996 0,1044 0,1093 0,1144 0,1197 0,1252 0,1309 0,1367 0,1426 0,1488 0,1552 0,1618 0,1685 0,1755 0,1826 0,1900 0,1976 0,2054 0,2134 0,2216 0,2301

0 0 0 0,0001 0,0004 0,0009 0,0020 0,0037 0,0064 0,0102 0,0156 0,0229 0,0324 0,0346 0,0369 0,0394 0,0419 0,0446 0,0474 0,0504 0,0535 0,0564 0,0600 0,0635 0,0672 0,0710 0,0750 0,0791 0,0834 0,0879 0,0925 0,0974 0,1024 0,1075 0,1130 0,1186 0,1245 0,1305 0,1368 0,1432 0,1499 0,1569 0,1640 0,1714 0,1791 0,1870 0,1952

0 0 0 0,0001 0,0003 0,0007 0,0014 0,0027 0,0048 0,0079 0,0124 0,0185 0,0268 0,0288 0,0308 0,0330 0,0353 0,0387 0,0402 0,0429 0,0457 0,0486 0,0517 0,0549 0,0582 0,0617 0,0654 0,0693 0,0733 0,0775 0,0818 0,0864 0,0911 0,0961 0,1012 0,1066 0,1122 0,1179 0,1239 0,1302 0,1367 0,1434 0,1504 0,1576 0,1651 0,1729 0,1809

0 0 0 0 0,0002 0,0004 0,0010 0,0020 0,0036 0,0061 0,0098 0,0151 0,0223 0,0240 0,0259 0,0278 0,0298 0,0320 0,0343 0,0367 0,0392 0,0418 0,0446 0,0476 0,0507 0,0539 0,0573 0,0609 0,0646 0,0685 0,0726 0,0769 0,0814 0,0861 0,0910 0,0961 0,1014 0,1070 0,1127 0,1188 0,1250 0,1315 0,1383 0,1454 0,1527 0,1603 0,1682

0 0 0 0 0,0001 0,0003 0,0007 0,0014 0,0027 0,0047 0,0078 0,0123 0,0186 0,0201 0,0217 0,0235 0,0253 0,0272 0,0292 0,0314 0,0337 0,0361 0,0387 0,0414 0,0442 0,0472 0,0504 0,0537 0,0572 0,0608 0,0647 0,0687 0,0729 0,0774 0,0820 0,0869 0,0920 0,0973 0,1028 0,1087 0,1147 0,1210 0,1276 0,1345 0,1391 0,1417 0,1569

0 0 0 0 0,0001 0,0002 0,0005 0,0011 0,0021 0,0037 0,0063 0,0101 0,0156 0,0161 0,0183 0,0198 0,0215 0,0232 0,0250 0,0270 0,0291 0,0313 0,0336 0,0361 0,0387 0,0415 0,0444 0,0475 0,0507 0,0541 0,0577 0,0615 0,0655 0,0697 0,0741 0,0788 0,0836 0,0887 0,0941 0,0997 0,1056 0,1117 0,1181 0,1248 0,1318 0,1391 0,1468

0 0 0 0 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0012 0,0023 0,0040 0,0068 0,0109 0,0120 0,0131 0,0143 0,0156 0,0170 0,0185 0,0201 0,0218 0,0236 0,0256 0,0276 0,0298 0,0322 0,0347 0,0374 0,0402 0,0432 0,0464 0,0497 0,0533 0,0571 0,0610 0,0652 0,0697 0,0744 0,0793 0,0845 0,0900 0,0958 0,1018 0,1082 0,1149 0,1220 0,1294

Hidraulică vol. II

553

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48

0,2858 0,2949 0,3042 0,3137 0,3234 0,3333 0,3434 0,3537 0,3643 0,375 0,386 0,397 0,408 0,420 0,432 0,444 0,456 0,468 0,481 0,493 0,507 0,520 0,534 0,548 0,562 0,576 0,591 0,605 0,620 0,635 0,651 0,667 0,683 0,699 0,716 0,732 0,749 0,767 0,784 0,802 0,820 0,839 0,857 0,876 0,895 0,905 0,930 0,954 0,975 0,995 1,016 1,037 1,059 1,081

0,2388 0,2477 0,2568 0,2662 0,2760 0,286 0,296 0,306 0,317 0,328 0,339 0,350 0,362 0,374 0,386 0,399 0,412 0,425 0,438 0,452 0,466 0,480 0,495 0,510 0,525 0,541 0,557 0,573 0,591 0,607 0,624 0,642 0,660 0,678 0,697 0,716 0,735 0,775 0,785 0,796 0,817 0,838 0,860 0,882 0,905 0,928 0,951 0,975 0,999 1,024 1,049 1,074 1,100 1,127

0,2036 0,2123 0,2213 0,2306 0,2402 0,250 0,260 0,271 0,281 0,292 0,304 0,316 0,328 0,340 0,353 0,366 0,380 0,394 0,408 0,422 0,437 0,453 0,469 0,485 0,501 0,518 0,536 0,554 0,572 0,591 0,610 0,630 0,650 0,671 0,692 0,714 0,736 0,759 0,782 0,806 0,830 0,855 0,881 0,907 0,933 0,960 0,988 1,016 1,045 1,075 1,105 1,136 1,167 1,199

0,1892 0,1973 0,2067 0,2159 0,2255 0,2353 0,2455 0,256 0,267 0,278 0,289 0,301 0,314 0,326 0,339 0,353 0,367 0,381 0,396 0,411 0,426 0,442 0,458 0,475 0,493 0,511 0,529 0,548 0,567 0,587 0,607 0,628 0,650 0,672 0,694 0,717 0,741 0,766 0,791 0,816 0,842 0,869 0,897 0,925 0,954 0,983 1,013 1,044 1,076 1,108 1,141 1,175 1,210 1,245

0,1764 0,1849 0,1938 0,2029 0,2124 0,2222 1,2324 0,243 0,254 0,265 0,277 0,289 0,301 0,314 0,327 0,341 0,355 0,370 0,385 0,401 0,417 0,433 0,450 0,468 0,486 0,505 0,524 0,544 0,564 0,585 0,607 0,629 0,652 0,675 0,699 0,724 0,749 0,775 0,802 0,829 0,853 0,887 0,916 0,947 0,978 1,010 1,043 1,077 1,111 1,147 1,183 1,210 1,258 1,297

0,1650 0,1734 0,1822 0,1913 0,201 0,2111 0,221 0,231 0,242 0,254 0,265 0,278 0,290 0,303 0,317 0,331 0,346 0,361 0,376 0,392 0,409 0,426 0,444 0,462 0,481 0,501 0,521 0,541 0,563 0,585 0,608 0,631 0,655 0,680 0,706 0,732 0,759 0,787 0,816 0,845 0,876 0,907 0,939 0,972 1,006 1,041 1,077 1,114 1,151 1,190 1,230 1,270 1,312 1,355

0,1548 0,1631 0,1717 0,1808 0,1902 0,200 0,210 0,221 0,232 0,243 0,255 0,268 0,281 0,294 0,308 0,322 0,337 0,352 0,368 0,385 0,402 0,420 0,438 0,457 0,477 0,497 0,519 0,541 0,563 0,586 0,610 0,635 0,661 0,687 0,714 0,743 0,772 0,820 0,832 0,864 0,897 0,930 0,965 1,001 1,038 1,076 1,115 1,155 1,196 1,238 1,282 1,327 1,373 1,420

0,1371 0,1453 0,1538 0,1627 0,1721 0,182 0,192 0,203 0,214 0,226 0,238 0,250 0,264 0,278 0,292 0,307 0,323 0,339 0,356 0,374 0,392 0,411 0,431 0,452 0,473 0,496 0,519 0,548 0,568 0,594 0,620 0,648 0,677 0,707 0,738 0,770 0,808 0,837 0,873 0,909 0,947 0,986 1,027 1,059 1,112 1,157 1,203 1,251 1,300 1,351 1,403 1,457 1,513 1,571

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

554 0

1

2

3

4

5

6

7

8

1,49 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,45 2,50 2,55 2,60 2,65 2,70 2,75 2,80 2,85 2,90 2,95 3,00 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0

1,103 1,125 1,170 1,217 1,265 1,315 1,365 1,417 1,470 1,525 1,581 1,638 1,696 1,756 1,817 1,880 1,944 2,009 2,076 2,145 2,215 2,286 2,359 2,434 2,510 2,587 2,667 2,872 3,087 3,313 3,549 3,797 4,056 4,326 4,608 4,902 5,208 5,527 5,859 6,203 6,561 6,932 7,317 7,716 8,130 8,557 9,000 14,29 21,33 30,38 41,67 72,0 114,3 170,7

1,154 1,181 1,237 1,295 1,355 1,417 1,481 1,546 1,614 1,684 1,756 1,830 1,907 1,986 2,067 2,150 2,236 2,324 2,414 2,507 2,603 2,701 2,802 2,906 3,012 3,121 3,232 3,524 3,834 4,164 4,512 4,882 5,272 5,684 6,119 6,577 7,059 7,565 8,097 8,655 9,240 9,854 10,49 11,17 11,87 12,60 13,36 22,92 36,57 55,23 79,86 151,2 259,3 413,7

1,232 1,266 1,335 1,406 1,480 1,558 1,638 1,722 1,808 1,898 1,992 2,088 2,188 2,292 2,399 2,510 2,624 2,743 2,866 2,992 3,123 3,258 3,397 3,542 3,690 3,841 4,000 4,415 4,862 5,342 5,856 6,407 6,996 7,625 8,294 9,008 9,766 10,57 11,42 12,33 13,29 14,30 15,37 16,49 17,68 18,93 20,25 37,52 64,0 102,5 156,0 324,0 600,0 1024

1,281 1,313 1,395 1,474 1,557 1,644 1,734 1,829 1,926 2,028 2,134 2,244 2,358 2,477 2,600 2,728 2,861 2,999 3,141 3,288 3,442 3,600 3,764 3,933 4,109 4,290 4,477 4,972 5,508 6,088 6,720 7,386 8,109 8,885 9,716 10,61 11,56 12,57 13,65 14,80 16,03 17,33 18,71 20,17 21,72 23,35 25,08 48,30 85,18 140,5 219,9 477,2 918,9 1621

1,337 1,378 1,462 1,551 1,644 1,741 1,843 1,948 2,059 2,174 2,294 2,420 2,551 2,687 2,829 2,976 3,130 3,289 3,455 3,627 3,806 3,992 4,185 4,384 4,591 4,806 5,028 5,619 6,263 6,962 7,721 8,543 9,431 10,39 11,42 12,53 13,72 15,00 16,37 17,84 19,40 21,08 22,86 24,75 26,77 28,91 31,18 62,39 113,8 193,3 310,6 705,4 1412 2574

1,399 1,445 1,538 1,637 1,740 1,849 1,963 2,082 2,207 2,338 2,475 2,618 2,767 2,924 3,087 3,257 3,434 3,619 3,812 4,013 4,222 4,440 4,660 4,902 5,147 5,401 5,655 6,370 7,143 7,987 8,909 9,912 11,00 12,18 13,47 14,85 16,35 17,96 19,70 21,56 23,57 25,71 28,01 30,47 33,09 35,89 38,87 80,84 152,4 266,7 440,0 1046 2175 4102

1,469 1,519 1,623 1,732 1,847 1,969 2,097 2,232 2,373 2,521 2,677 2,840 3,011 3,190 3,378 3,574 3,779 3,994 4,218 4,452 4,697 4,952 5,218 5,490 5,785 6,086 6,400 7,241 8,168 9,188 10,31 11,53 12,87 14,33 15,93 17,66 19,53 21,56 23,76 26,16 28,70 31,46 34,42 37,61 41,02 46,68 48,60 105,1 200,1 369,0 625,0 1555 3361 6554

1,680 1,691 1,819 1,954 2,098 2,250 2,412 2,582 2,762 2,953 3,154 3,360 3,590 3,825 4,073 4,335 4,609 4,898 5,202 5,520 5,855 6,205 6,573 6,959 7,363 7,786 8,228 9,425 10,76 12,25 13,90 15,73 17,75 19,98 22,43 25,12 28,08 31,30 34,83 38,68 42,87 47,42 52,36 57,71 63,51 69,77 76,53 178,8 372,4 711,7 1271 3463 8085 16850

Hidraulică vol. II

555

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9,0 10,0

242,0 333,3

625,0 903,0

1640 2500

2674 4184

4374 7027

7177 11840

11810 20000

32210 57500

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

556

Anexa 3 Valorile funcţiei ϕ (ζ ) pentru albiile cu pantă negativă ( i < 0 )

ζ

2,00

2,50

x 3,00

3,50

4,00

0

1

2

3

4

5

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95

0,050 0,099 0,148 0,196 0,244 0,291 0,336 0,380 0,422 0,463 0,502 0,540 0,547 0,554 0,562 0,569 0,576 0,583 0,590 0,597 0,603 0,610 0,617 0,624 0,630 0,637 0,643 0,649 0,656 0,662 0,668 0,674 0,680 0,686 0,692 0,698 0,704 0,710 0,715 0,721 0,727 0,732 0,738 0,743 0,749 0,754 0,759

0,050 0,100 0,150 0,198 0,246 0,295 0,342 0,389 0,434 0,477 0,518 0,558 0,566 0,574 0,581 0,589 0,596 0,604 0,611 0,619 0,626 0,633 0,640 0,648 0,655 0,662 0,668 0,675 0,681 0,688 0,694 0,700 0,706 0,712 0,718 0,724 0,730 0,736 0,742 0,748 0,754 0,760 0,765 0,771 0,777 0,782 0,787

0,050 0,100 0,150 0,199 0,248 0,297 0,346 0,393 0,440 0,485 0,528 0,571 0,579 0,587 0,595 0,602 0,610 0,618 0,626 0,634 0,641 0,649 0,657 0,664 0,672 0,679 0,686 0,693 0,700 0,707 0,713 0,720 0,727 0,733 0,740 0,746 0,752 0,758 0,764 0,770 0,776 0,781 0,787 0,793 0,799 0,804 0,809

0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,299 0,348 0,396 0,444 0,490 0,534 0,579 0,588 0,596 0,605 0,613 0,621 0,630 0,633 0,646 0,653 0,661 0,668 0,676 0,683 0,691 0,698 0,705 0,712 0,720 0,727 0,734 0,741 0,748 0,755 0,761 0,767 0,774 0,780 0,786 0,792 0,798 0,804 0,810 0,815 0,820 0,826

0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,349 0,397 0,445 0,493 0,539 0,585 0,594 0,603 0,612 0,620 0,629 0,638 0,646 0,654 0,662 0,670 0,678 0,686 0,694 0,702 0,709 0,717 0,724 0,731 0,738 0,746 0,753 0,760 0,766 0,773 0,780 0,786 0,792 0,799 0,805 0,811 0,817 0,823 0,829 0,835 0,840

Hidraulică vol. II

557

0

1

2

3

4

5

0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49

0,764 0,770 0,775 0,780 0,785 0,790 0,795 0,800 0,805 0,810 0,815 0,819 0,824 0,828 0,833 0,837 0,842 0,846 0,851 0,855 0,859 0,864 0,868 0,872 0,876 0,880 0,884 0,888 0,892 0,896 0,900 0,904 0,908 0,911 0,915 0,919 0,922 0,926 0,930 0,933 0,937 0,940 0,944 0,947 0,951 0,954 0,957 0,960 0,964 0,967 0,970 0,973 0,977 0,980

0,793 0,798 0,803 0,809 0,813 0,817 0,823 0,827 0,831 0,836 0,841 0,846 0,851 0,856 0,860 0,864 0,868 0,872 0,876 0,880 0,884 0,888 0,892 0,896 0,900 0,904 0,908 0,912 0,916 0,919 0,922 0,927 0,830 0,934 0,937 0,940 0,943 0,947 0,951 0,954 0,957 0,960 0,963 0,966 0,969 0,972 0,975 0,978 0,980 0,983 0,986 0,989 0,991 0,994

0,815 0,820 0,825 0,830 0,834 0,840 0,845 0,850 0,855 0,859 0,864 0,869 0,873 0,877 0,881 0,886 0,891 0,895 0,899 0,903 0,907 0,911 0,915 0,918 0,921 0,925 0,929 0,932 0,935 0,938 0,942 0,945 0,948 0,952 0,955 0,958 0,961 0,964 0,967 0,970 0,973 0,976 0,979 0,981 0,984 0,986 0,989 0,992 0,995 0,997 1,000 1,002 1,005 1,007

0,831 0,837 0,842 0,847 0,851 0,856 0,862 0,866 0,871 0,875 0,879 0,884 0,888 0,892 0,897 0,901 0,905 0,909 0,913 0,917 0,921 0,925 0,928 0,931 0,935 0,939 0,943 0,946 0,949 0,952 0,955 0,958 0,961 0,964 0,966 0,969 0,972 0,974 0,977 0,980 0,983 0,986 0,989 0,991 0,993 0,995 0,998 1,001 1,003 1,005 1,007 1,009 1,010 1,012

0,847 0,851 0,857 0,861 0,867 0,872 0,876 0,881 0,887 0,891 0,895 0,900 0,904 0,908 0,912 0,916 0,920 0,924 0,927 0,927 0,935 0,938 0,942 0,946 0,949 0,952 0,955 0,958 0,961 0,964 0,967 0,970 0,973 0,975 0,978 0,981 0,984 0,986 0,989 0,991 0,993 0,995 0,997 0,998 1,000 1,002 1,004 1,006 1,008 1,010 1,012 1,013 1,015 1,017

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

558 0

1

2

3

4

5

1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 8,0 10,0

0,983 0,987 1,012 1,026 1,039 1,052 1,064 1,075 1,086 1,097 1,107 1,126 1,144 1,161 1,176 1,190 1,204 1,216 1,228 1,239 1,249 1,293 1,324 1,351 1,373 1,405 1,447 1,471

0,997 1,010 1,022 1,033 1,044 1,054 1,064 1,073 1,082 1,090 1,098 1,112 1,125 1,137 1,148 1,157 1,166 1,174 1,181 1,188 1,194 1,218 1,237 1,251 1,260 1,272 1,290 1,298

1,009 1,020 1,030 1,039 1,048 1,057 1,065 1,072 1,079 1,085 1,090 1,100 1,109 1,117 1,124 1,131 1,137 1,142 1,146 1,150 1,154 1,165 1,176 1,183 1,188 1,195 1,201 1,203

1,014 1,023 1,032 1,040 1,047 1,053 1,059 1,065 1,070 1,074 1,078 1,085 1,092 1,097 1,102 1,106 1,110 1,113 1,116 1,119 1,121 1,129 1,134 1,137 1,139 1,142 1,144 1,145

1,019 1,028 1,034 1,040 1,046 1,051 1,056 1,060 1,064 1,067 1,070 1,075 1,079 1,083 1,086 1,089 1,091 1,093 1,095 1,097 1,098 1,102 1,105 1,107 1,109 1,110 1,110 1,110

10 10-14 10-13 10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1

-15

a

1xa 33,96 31,66 29,36 27,05 24,75 22,45 20,15 17,84 15,54 13,24 10,94 8,63 6,33 4,04 1,82 0,219

2xa 33,27 30,97 28,66 26,36 24,06 21,76 19,45 17,15 14,85 12,55 10,24 7,94 5,64 3,35 1,22 0,049

Valorile integralei logaritmice

3xa 32,86 30,56 28,26 25,96 23,65 21,35 19,05 16,74 14,44 12,14 9,84 7,53 5,23 2,96 0,91 0,013

4xa 32,58 30,27 27,97 25,67 23,36 21,06 18,76 16,46 14,15 11,85 9,55 7,25 4,95 2,68 0,70 0,0038

5xa 32,35 30,05 27,75 25,44 23,14 20,84 18,54 16,23 13,93 11,63 9,33 7,02 4,73 2,47 0,56 0,0011

x

x

6xa 32,17 29,87 27,56 25,26 22,96 20,66 18,35 16,05 13,75 11,45 9,14 6,84 4,54 2,30 0,45 3,6·10-4

W ( x) = − Ei ( x) = ∫ e − x / x ⋅ dx

∞

7xa 32,02 29,71 27,41 25,11 22,81 20,50 18,20 15,90 13,60 11,29 8,99 6,69 4,39 2,15 0,37 1,2·10-4

8xa 31,88 29,58 27,28 24,97 22,67 20,37 18,07 15,76 13,46 11,16 8,86 6,55 4,26 2,03 0,31 3,1·10-5

9xa 31,76 29,46 27,16 24,86 22,55 20,25 17,95 15,65 13,34 11,04 8,74 6,44 4,14 1,92 0,26 1,2·10-5

Anexa 4

Hidraulică vol. II

559