19821045-Ondas-Estacionarias-en-Una-Cuerda-Tensa.pdf

Departamento de Física

Septiembre 16 de 2009 FIS-1043-10 Laboratorio de Física Calor Ondas

©Ciencias básicas Universidad del Norte - Colombia

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA TENSA María Alejandra Loaiza Caraballo [email protected] Ingeniería Electrónica

Daniel Rivera Royero [email protected] Ingeniería Industrial

ABSTRACT The movement in a stationary wave in a tense string is that which makes that the particles of the string move side to side. Standing or stationary waves are created by the interference of two waves from the same nature, with equal height , wavelength and frequency. Based on these concepts, it was possible to make this experience, where were clearly appreciated characteristics and properties of the movement in stationary waves, as the conditions to create variant nodes. Finally, it was made an analysis of the mathematic models that concern to this topic, and were gotten some conclusions. RESUMEN El Movimiento ondas estacionarias en una cuerda tensa es aquel que hace que las partículas de la cuerda se muevan de un lado a otro. Las ondas estacionarias se forman por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda y frecuencia; con base en estos conceptos fue posible realizar algunas experiencias, donde se apreciaron claramente claramente las características y propiedades del movimiento con ondas estacionarias, así así como las condiciones bajo las cuales los nodos nodos varían. Por último, se hizo un análisis de los modelos matemáticos que conciernen a esta temática y se obtuvieron ciertas conclusiones.

OBJETIVOS OBJETIVOS GENERALES  

Analizar las ondas estacionarias en una cuerda tensa Determinar las frecuencias resonantes de la cuerda tensa

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Identificar las condiciones para producir una onda estacionaria. Describir las características de las ondas estacionarias. Analizar e interpretar resultados, así como los modelos matemáticos ligados a la experiencia Verificar el error obtenido, y tratar de darle explicación a este.   



INTRODUCCIÓN En esta experiencia analizaremos un fenómeno generado por las ondas conocido como ondas estacionarias, que intuitivamente se define como un movimiento de vaivén, en el cual las partículas del cuerpo oscilan desde su posición de equilibrio en una dirección determinada de manera transversal al movimiento de la onda. Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda y frecuencia que avanzan en sentido opuesto a través de un medio. En el presente laboratorio, con base en el concepto y características de este tipo de ondas, se llevarán a cabo las actividades propuestas para encontrar las frecuencias para generar un determinado número de husos, se tomarán los respectivos datos y nos valdremos de las fórmulas matemáticas asociadas a la temática de ondas estacionarias para hallar velocidad de la onda, las distintas longitudes de onda y algo que tendrá prioridad será hallar la densidad lineal de masa de la cuerda que usaremos en el sistema.

MARCO TEÓRICO Las ondas estacionarias son ondas producidas en un medio limitado, como, por ejemplo, una cuerda elástica no muy larga y fija en al menos uno de sus dos extremos. Para generar en dicha cuerda una onda estacionaria, se puede atar por un extremo a una pared y hacer vibrar al otro con una pequeña amplitud. Se obtienen pulsos transversales que viajan hasta la pared, donde se reflejan y vuelven. La cuerda es recorrida por dos ondas de sentido opuesto y se producen interferencias que, en principio, dan lugar a unas oscilaciones bastante desordenadas.

Esta onda se llama estacionaria porque, a diferencia del resto de ondas, en las que se aprecia un avance de las crestas y los valles, no parece moverse. Si se fijan los dos extremos de la cuerda y se estira transversalmente de uno, dos, tres puntos se puede generar en la cuerda una secuencia de ondas estacionarias con un número creciente de nodos y vientres, como las indicadas en la figura adjunta. Una propiedad destacada de estas ondas estacionarias es que su longitud de onda (y, consecuentemente, su frecuencia) no puede adoptar cualquier valor arbitrario, sino sólo unos determinados valores que se relacionan con la longitud de la cuerda.

Hay puntos que nunca se mueven y en los que la amplitud del movimiento es cero (0). Éstos se llaman nodos. Sus opuestos son los antinodos, cuya amplitud es máxima. Entre nodo y nodo hay media longitud de onda. La longitud de onda es la distancia de un punto de la onda a otro cuando ya ha pasado un período, como la distancia entre cresta y cresta o valle y valle. El patrón de onda viaja con rapidez constante , y avanza una longitud de onda cuando pasa un período T , por lo tanto, la rapidez de la onda esta dada por

Todos los puntos de la onda oscilan con la misma frecuencia. Ya que para que se produzca una onda estacionaria es necesaria la presencia de más de una onda con las mismas características, una como reflejo de la otra, es posible aplicar el principio de superposición para explicar la combinación de ambas. Todas las características concernientes a las ondas transversales que se propagan en la cuerda, tal como velocidad, frecuencia, amplitud, entre otras, están a la vez relacionadas con la densidad de la cuerda en que viajan. Esta densidad es representada con la letra griega y sus unidades son

PROCEDIMIENTO Para la realización de esta experiencia se utilizaron las siguientes herramientas 1. Cuerda elástica 2. Masas de 

100 gramos



50 gramos



20 gramos



10 gramo

3. Polea (al extremo de la mesa) 4. Generador de funciones digitales 5. Cinta métrica Para dar inicio a la actividad, se encendió el generador de funciones digitales, el cual estaba conectado a un dispositivo llamado “generador de ondas mecánicas”,  al que estaba sujeto un extremo de la cuerda, que hacía a ésta bajar o subir tan frecuentemente como se quisiera. Con el generador controlábamos tanto la frecuencia como la amplitud de las ondas estacionarias que se generaban al momento de encenderlo. Para que de forma clara se dibujaran los diferentes husos, fue necesario varias veces ajustar la tensión, lo cual se logró al aumentar o disminuir el peso que se encontraba sujeto al otro extremo de la cuerda, generado por las pequeñas masas.

Para encontrar el pulso fundamental, es decir, aquel donde sólo hay un antinodo, se colocó una masa total de 600 gramos sobre el recipiente que colgaba de la polea. Esta masa es equivalente a 5,880 Newton, que es el valor de la Tensión en la cuerda.

La frecuencia recomendada fue de 25 Hz, sin embargo, fue necesario aumentarla para tener más claridad en el huso. Luego, se debía ir cambiando el valor de esta frecuencia para encontrar con cuáles valores de ésta era posible encontrar más husos. El máximo número fue de 7. Los datos recopilados se muestran en la tabla de husos vs Frecuencia.

Tabla No.1 MASA: 600 g; HUSOS 1 2 3 4 5 6 7

T= mg= 5,880 N FRECUENCIA (Hz) 26.8 55.2 76.9 103.3 130.3 157.3 187.9

Así como varían el número de husos y la frecuencia, lo hace la longitud de onda, que se reduce. Al haber dos husos, hay una longitud de onda, al haber tres husos, hay una longitud de onda y media. Cuando hay cuatro husos, resultan dos longitudes de onda y así hasta llegar a siete. En la siguiente tabla escribiremos los valores que va adquiriendo la distancia entre los husos, que nos ayudará a determinar cuánto es la longitud de onda.

Tabla No. 2 MASA: 600 g; HUSOS 1 2 3 4 5 6 7

T= mg= 5,880 N Dist. entre husos (m) 1.78 0,89 0,593 0,445 0,356 0,296 0,254

Longitud de onda (m) 3,56 1,78 1,186 0,88 0,712 0,592 0,508

Teniendo los valores de la frecuencia y las longitudes de onda, es posible hallar la velocidad experimental gracias a la relación Tabla No. 2 Frecuencia (1/s) 26,8 55,2 76,9 103,3 130,3 157,3 187,9

Longitud de Onda (m) 3,56 1,78 1,186 0,88 0,712 0,592 0,508

Velocidad (m/s) 95,408 98,256 91,2034 90,904 92,7736 93,1216 95,4532

Al haber hallado estos datos, resulta sencillo hallar la densidad lineal de la cuerda, gracias al modelo matemático que relaciona la frecuencia con el número de husos.

Pero no hay que olvidar que tanto la tensión T   de la cuerda como la Longitud de ésta permanecen constantes por lo que varían a la par el número de husos con la frecuencia. Son directamente proporcionales. Cada dato es tomado de la Tabla No. 1

Si nos remitimos a la tabla, cuando n=1, entonces f=26,8 Hz, por lo que la densidad será

Siguiendo con el cambio en n y f, obtenemos la tabla No. 4 Tabla No. 4 Frecuencia (1/s) 26,8 55,2 76,9 103,3 130,3 157,3 187,9

HUSOS 1 2 3 4 5 6 7

[kg/m] 0,00066073 0,00062298 0,00072224 0,00071156 0,00069878 0,00069046 0,00065862

Teóricamente, la densidad lineal de la cuerda es de 6,28 *10 -4  kg/m, y es notoria la cercanía de los valores hallados experimentalmente con el dicho durante la actividad. Procedemos a hallar el porcentaje de error para cada densidad hallada, sabiendo que

Reemplazando valores dentro de la ecuación y con la ayuda de Excel, hallamos los respectivos errores y podemos crear la tabla No. 5

Tabla No. 5 [kg/m] 0,00066073 0,00062298 0,00072224 0,00071156 0,00069878 0,00069046 0,00065862

% Error 5,2% 0,79% 15% 13% 11,2% 9,95% 4,87%

El valor de la densidad de masa lineal más próximo al real fue el encontrado cuando teníamos los datos de la onda estacionaria con una frecuencia de 55,2 Hz, 2 husos y la longitud de onda de 1,78 metros.

CRITERIOS DE ERROR En la presente experiencia fue necesario realizar tres tipos de mediciones: mediciones de longitud, mediciones de masa (del portamasas y las masas colgantes) y mediciones de frecuencia. El realizar todas esas mediciones sirve para determinar las longitudes de onda teóricas para cada modo. Las mediciones de longitud fueron realizadas con una cinta métrica, cuyo error es de ± 0.05 cm. Las mediciones de masa se realizaron con una balanza electrónica cuyo error es de ± 0.05 g. Considerando todo lo anterior, se pueden suponer errores en los valores de longitud de onda hallados debido a la incertidumbre de las mediciones realizadas por los instrumentos antes mencionados. Dichos errores son sistemáticos y pueden ser calculados Además de los errores considerados antes, surgen errores de tipo causal, los cuales son errores de apreciación de los observadores, los cuales son inevitables debido a la imperfección de los sentidos. Cabe resaltar que además del error instrumental de la cinta, existe una dificultad evidente para medir las longitudes de onda debido a que la ubicación de la cinta en los nodos resulta ser un problema de apreciación del medidor. Otro error causal resulta si se tiene en cuenta que idealizamos la forma de las limitaciones de la cuerda, las cuales supusimos como nodos fijos y en realidad éstos presentan cierta movilidad. Se supuso también que la densidad del lineal de la cuerda es

4

   6.28  10

kg  m

, lo cual

supone que la cuerda presenta una sección transversal constante y una densidad homogénea a lo largo de toda la misma. Así mismo, no han sido considerados errores eventuales relacionados con imperfecciones en su microestructura, la masa misma de la cuerda, así como pérdidas de energía por calentamiento, sonido y fricción con el aire. Se supuso también que la aceleración gravitacional es .

ANÁLISIS DE RESULTADOS Los resultados obtenidos se han extraído gracias a los datos tomados en el laboratorio, sin embargo, no se ha tenido en cuenta lo dispersivo del medio. Con un correcto manejo y análisis de la situación, se corroboró que cuando dos ondas que viajan en sentidos contrarios se combinan por el principio de superposición, lo cual dará paso a un patrón de vibración estacionario llamado “Onda estacionaria”. La frecuencia de resonancia mínima

producida por este encuentro se denomina frecuencia fundamental, que es cuando las ondas “dibujan” un solo huso.

PREGUNTAS DE ANÁLISIS ¿En la formula de las cuerdas

n = 1,2,3,…., que significado físico tiene “n”?

Respuesta: Esta ecuación no se debe ver “de derecha a izquierda, sino de izquierda a derecha” (D.

Castro, 2009) para entenderla, es decir, no debemos entender que a medida que aumente “n” (número de husos), va a aumentar la frecuencia, sino al contrario, el aumento de la frecuencia genera una mayor cantidad de husos en la onda estacionaria. Es decir que hay proporcionalidad directa entre n y f.

¿Qué sucede con la rapidez de una onda en una cuerda tensa cuando se duplica la frecuencia? Supóngase que la tensión en la cuerda permanece igual. Respuesta: , podríamos pensar que la velocidad es directamente Como vemos, en la fórmula proporcional a la frecuencia, entonces, si la longitud de onda permanece constante, la velocidad se duplicaría a la par de la frecuencia. Pero en la práctica vimos que quien de veras variaba era la velocidad no mostraba un cambio muy brusco. En la conclusión se hablará de la razón posible. ¿Qué ocurre con la longitud de onda de una onda en una cuerda tensa cuando se duplica la frecuencia? Supóngase que la tensión en la cuerda permanece igual. Respuesta: Si en la ecuación

despejamos , nos resulta

De lo que podemos afirmar que si aumenta la frecuencia, disminuye la longitud de onda, tal como vimos en el laboratorio. Es el cambio más notorio.

CONCLUSIÓN La experiencia llevada a cabo permitió corroborar que existen ciertas configuraciones permitidas para las longitudes de onda de pulsos estacionarios en una cuerda, verificándose además exitosamente que las relaciones entre los “modos” de oscilación y

las longitudes de onda son tal como se habían estudiado previamente en la teoría: . Se comprobó además la relación existente entre la frecuencia y los modos de oscilación: . Los datos que sirvieron como soporte para verificar las anteriores relaciones no resultaron satisfacerlas con rigurosa exactitud, pero esto es de esperarse considerando todos los criterios de error antes mencionados. Otra importante verificación que se consiguió fue la de la independencia de la velocidad respecto a la frecuencia, amplitud y longitud de onda, ya que ésta (la velocidad) se mantuvo invariante ante los cambios de esos parámetros, respondiendo a la relación , la cual nos muestra que la velocidad depende de la tensión a la que esté sometida la cuerda y de las propiedades del medio, en este caso de la densidad lineal de la cuerda.

BIBLIOGRAFÍA SEARS, Francis; SEMANSKY, Mark; YOUNG, Hugh; FREEDMAN, Roger. FÍSICA UNIVERSITARIA VOLUMEN I. Edición 11. Pearson, México 2004. 864p. ISBN 970-26-0511-3