1982 - Ioan N. Popescu - Gravitatia

Ioan N. Popescu •

"Teoria

GRAVITAŢIA

iniţiată de N ewto1t şi de Einstein, se găseşte astăzi într-o izolare maiestuoasă - un adevărat Taj Mahal al ştiinţei- care nu are decît foarte P~tţin sau deloc de-a face cu progresul rapid din alte ramuri ale ştiinţei". gravitaţiei,

completată

G. GAMOW, Laureat al premiului Nobel

Coperta de SIMON.\ NICULESCU

Dr. Ioan N. Popescu

GRAVITAŢIA Pledoarie pentru o

nouă

teorie a

gravitaţiei

(f) ~

EDITCRservaţie, Kepler va· găsi şi datele - cele zece opoziţii ale planetei llarte - care-i vor permite să rezolve enigma mişcării acestei planete şi, in felul acesta, să pună definitiv bazele sistemului copernican al universului.

Fig.

~-

Si~tl"mt:l

2-

Gravitaţia

lumii conceput Tycho Braht'.

-

cd. 854

de

17

s

~~:-

\7j,_---~

.. ,.,

Fig. 6. ·

Schemă.

de calcul pentru determinarea orbitei Pă.mintului (Kepler).

/

1 1 1 1

Reluind lucrările lui Tycho Brahe asupra planetei Marte, el constată o diferenţă de 8' între poziţiilr observate şi cele calculate pe baza excentricelor. Eroarea neputind fi imputată datelor de observaţie, Kepler...:.. elev al lui Măstlin, decicopernican prin formaţie ...:.. decide să revizuiască orbita Pămîntu­ lui pe baza observaţiilor lui Tycho Brahe, care înregistrase zi de zi poziţia Soarelui pe ecliptică. Această operaţie se impunea cu necesitate: dacă mişca­ rea ·aparentă a celorlalte planete depinde de mişcarea Pămîntului; atunci această din urmă mişcare va trebui mai Intii să fie precizată. Kepler utilizează o metodă originală al cărei principiu este următorul (fig. 6). Să presupunem momentul unei opoziţii a planetei Marte ( M) în care Pămîntul ocupă poziţia T 0 • După o revoluţie completă în jurul Soarelui (687 zile), Marte va ocupa evident aceeaşi poziţie, M, pe orbită, în timp ce Pămîntul va ocupa, de exemplu, poziţia T 1 , deoarece el nu a avut posibilitatea să execute două rotaţii complete în acest interval de timp; după alte 687 de zile. Pămîntul va ocupa poziţia T 2 şi aşa mai departe. Kepler cunoştea din datele de observaţie ale lui Tycho Brahe unghiurile T 0ST1 , T 0ST2 etc., precum şi unghiurile ST 1M, ST 2M etc., formate de direcţiile Pămînt-Soare şi Pămînt-Marte. Considertnd unghiurile SMT 1 , SMT 2 etc., care au latura comună invariabilă, SM, şi două unghiuri cunoscute, el a putut determina trigonometric distanţele ST1 , ST 2 etc. în fracţiuni din SM. Observaţiile consemnate în jurnale i-au furnizat, de asemenea, lui Kepler timpurile şi poziţiile a zece opoziţii, de la 1580 pînă la 1600. Din observaţiile lui David Fabricius din Emden şi ale sale însuşi, s-au mai adăugat încă două opoziţii, cele din 1602 şi 1604, astfel încît el a dispus în total de 12 asemenea distanţe ST, pe care, punîndu-le pe desen şi unind punctele corespondente, a determinat traiectoria Pămîntului în jurul Soarelui. Aceasta s-a dovedit a fi un cerc cu Soarele plasat la o distanţă de numai 1/59 din raza cercului, faţă de centru. Kepler a putut astfel să alcătuiască un tablou detaliat al mişcării Pămîntului în jurul· Soarelui, în care poziţia pe orbită era indicată în orice zi a anului. · Se cuvine să facem aici o paranteză, care va avea o legătură directă cu discuţia noastră ulterioară. În raţionamentele sale Kepler presupunea că "acţiunea animatoare" a Soarelui asupra· Pămîntului se exercită tangenţial faţă de traiec.torie şi această forţă, spunea el, este invers proporţională cu distanţa ST de la Soare la Pămînt, la fel cu viteza planetei pe orbita sa. Se ştie că această afirmaţie nu este exactă: viteza este proporţională cu distanţa de la Soare la tangenta la traiectorie! Kepler şi-a verificat ipoteza numai în cazurile particulare ale trecerii Pămîntului la periheliu şi la afeliu, rămînînd astfel convins că are dreptate. D!n fericire, această eroare a fost compensată printr-o a doua greşeală: pentru un arc infinit de mic al orbitei, timpul necesar Pămîntului pentru a-1 parcurge este proporţional cu lungimea razei vectoare,

13

Fig. 7.

Schemă

de calcul pentru determinarea orbitei lui '!\larte (Kepler).

ST~ iat pentru a calcula durata parcursului un~i arc finit, Kepler nu dispunea de resursele calculului integral. l s-a părut că metoda cea mai bună ar consta în inlocuirea sumei tuturor razelor vectoare intermediare dintre ST şi o poziţie oarecare, ST1 - deci o sumă de lungimi- prin aria sectorului TSTp ln felul acesta descoperă Kepler proporţionalitatea dintre timp şi aria descrisă de raza Vectoare pentru cazul mişcării Pămîntului, cunoscută astăzi sub nuinele de legea ariilor, sau legea a doua a lui Kepler, care însă a fost prima in ordinea descoperirilor sale. Această lege, pe care el o extinde fără să ezite la mişcarea tuturor planetelor, va juca uri rol fundamental in deducerea legilor teoriei gravitaţiei a lui Newton. După cum se vede, fundamentul teoriei gravitaţiei newtoniene nu este lipsit de erori şi contradicţii, dar aceste erori iniţiale nu au impiedicat dezvoltarea şi confirmarea experimentală ulterioară a teoriei gravitaţiei! Acesta nu este deloc un caz singular in istoria ştiinţei: după cum arată Einst~in *, celebrele ecuaţii ale cimpului electromagnetic nu pot fi deduse logic şi coerent pe baza ecuaţiilor mecanicii (ecuaţiile Lagrange·de speţa doua), aşa cum a făcut-o Maxwell, descoperitorullor. Einstein însuşi prezintă in argumentarea teoriei sale, a relativităţii generale, multe lipsuri de logică sau chiar greşeli de fond, după cum demonstrează pe larg V.A. Fok [89]. "Faptul că teoria relativităţii generale, remarcabilă prin eleganţa şi puterea ei de convingere, nu a fost înţeleasă corect de autorul ei, nu trebuie să ne mire .. Marile, şi nu numai marile descoperiri, nu se fac după regulile logicii, ci printr-o intuiţie creatoare". ' După ce a determinat mişcarea Pămîntului, Kepler a putut trece la determinarea orbitei lui Marte, cu ajutorul poziţiilor observate ale acestei planete, indicate in tabelele lui Tycho Brahe. Considerînd, conform figurii 7, poziţiile Pămîntului şi ale lui Marte in momentul unei opoziţii (T 0 , M) şi după o perioadă de revoluţie a lui Marte {T1 , M), unghiul IP şi distanţa ST 1 au putut fi determinate cu ajutorul tabelelor mişcării Pămîntului, pe care le întocmise anterior. Unghiul ST 1M fiind cunoscut din observaţii, triunghiul S.\IT 1 permitea deci găsirea distanţei SM dintre Marte şi Soare. Procedind astfel şi pentru alte poziţii ale Pămîntului, Kepler a trasat grafic poziţiile lui llarte în raport cu Soarele, pentru o revoluţie completă şi a căutat cercul care ar putea uni aceste poziţii. După eforturi îndelungate, dar zadarnice, el a ajuns la concluzia că orbita lui Marte nu poate fi o circumferinţă şi că mişca­ rea sa nu poate fi reprezentată printr-o combinaţie de mişcări circulare; numai o elipsă avînd Soarele intr-unul din focare poate uni aceste puncte. El a constatat astfel că legea ariilor, pe care o descoperise în cazul mişcării circulare a Pămîntului, este valabilă şi în cazul mişcării eliptice a lui M~rte. • Einstein, A., Aulobiographisclzes, Library of Li·ring Philosophers, Illinois, S.V.A.; 1949.

19

Astfel a stabilit Kepler modul in care Pămîntul şi Marte se mişcă efectiv in jurul Soarelui: trasind punct cu punct poziţiile observate, pe perioade mari de timp, ale acestor planete. Extinzind de la inceput şi fără ezitare aceste mişcări la toate planetele sistemului solar, Kepler a alcătuit schiţa sa a sistemului solar, o copie mult mai fidelă decit cea a lui Ptolemeu după natura observată. Ideea fundamentală a lui Copernic era astfel total confirmată, dar numărul de "ipoteze" era redus la minimum posibil: sistemul lumii putea fi explicat prin numai 8 mişcări cvasicirculare. Cele 20 de secole de evoluţie a unei ştiinţe, care a avut in permanenţă in studiu aceeaşi realitate fizică observa bilă, ar putea fi sintetizate şi astfel: elaborarea unei teorii coerente, cu ajutorul unui număr minim de "ipoteze". Această caracteristică a evol1:1ţiei generale a gindirii ştiinţifice, care poate fi urmărită pe multiple planuri pină in zilele noastre, a făcut să se nască convingerea că natura este guvernată intr-adevăr de legi simple, dar că această simplitate nu poate fi revelată de construcţii teoretice apriorice, ci numai de fapte empirice (Jordan [116]). ln raport cu cunoştinţele noastre de astăzi, schiţa kepleriană a sistemului nostru solar apare desigur ca un tablou supras~mplificat al realităţii observabile, dar ea constituie totuşi fundamentul intregii ţeorii a gravitaţiei a lui Newton şi, intr-un fel sau altul, al tuturor teoriilor moderne ale gravitaţiei. Celebrele trei legi ale lui Kepler: 1) în mişcarea lor în _iuml Soarelui planetele descriu elipse, Soare.,le fiind situat într-unul dintre focare; 2) raza vectoare care 1meşte o Planetă cu Soarele descrie arii egale în timpuri. egale; 3) raportul dintre cuburile ·semiaxelor m:.~ri ale orbitelor planetelor este egal cu raportul dintre pătratele perioadelor lor de revoluţie; descoperite absolut empiric .din mişcarea observată a planetelor, constituie un canon al teoriei perfecţionate privind structura heliocentrică a universului şi figurează. pină in prezent in manualele de astronomie şi fizică, fiind legi de bază ale ştiinţei contemporane. Aceste legi s-au dovedit exacte la .nivelul preciziei de observaţie a timpului; Tabelele rudolfiene, publicate de Kepler in 1627 la Ulm, care cuprind efemeridele planetelor calculate pe baza celor trei legi, au fost timp de un secol materialul de bază pentru toţi astronomii. Abia in 1725 Catalogul Britanic al lui Flamsteed, care lucrase cu telescopul şi atinsese o precizie de observaţie de lO ", aduce primele corecţii acestor efemeride. · Astăzi ştim sigur că nici una dintre planeteie sist~niului nostru solar nu este observată a se mişca absolut exact pe traiectoriile calculate conform acestor legi. Pentru a explica discrepanţele, au fost luate in consideraţie teoria perturbaţiilor reciproce. dintre planete, teoria relativităţii generale, forţele "negravitaţionale" etc. şi s-a:ti inventat o mulţime de ,,mecanisme specifice" pentru "salvarea" noilor fenomene, o adevărată reeditare in variantă modernă a istoriei epiciclurilor lui Ptolemeu. Dar despre ·toate acestea vom ·· vorbi pe ·larg tn cuprinsul acestei lucrări. ln succinta înşiruire pe care o facem aici, am· putea trece direct de la Kepler la Newton; toate elementele cinematice .ale mişcării planetelor sint întrunite pentru realizarea marii sinteze newtoniene. Intre momentul in care Kepler termină opera sa, Astronomia No'!Ja şi cel in care Newton publică lucrarea sa, Principia, se scurg exact 80 de ani. ·tn acest răstimp prima lunetă îndreptată de Galilei spre cer este perfecţionată în continuare de Huygens; pe lîngă cei patru sateliţi ai lui Jupiter, se descoperă văile şi munţii de pe

20

Lun~.

inelul lui Saturn şi cinci dintre sateliţii săi, o mulţim~ imensă de stele inaccesibile ochiului liber. Prin ataşarea la lunetă a reticulului, a micrometrului cu şurub şi a cadranului cu diviziuni aceasta devine un instrument de măsură foarte precis. Gassendi observă astfel trecerea lui Mercur prin faţa Soarelui, prevăzută de Kepler pentru anul 1631, se fac încă două observaţii ale trecerii lui Mercur şi una a lui Venus (1639), se dovedeşte că mişcarea Lunii ascultă şi ea de legile lui Kepler etc. Ideile copernicane şi teoria heliocentrică a sistemului solar ieşiseră din domeniul ipotezelor şi se consolidaser~ într-atît încît deveniseră cu adevărat periculoase pentru dogmele bisericii creştine. Sfîntul Oficiu, care le tolerase timp de peste 70 de ani, le declară în sfîrşit false şi contrare acestor dogme, în 1616. Dacă în 1610.Galilei preda încă la Universitatea din Padova sistemul geocentric al lui Ptolemeu, în 1632 inchiziţia îl condamnă la Roma - într-un proces devenit celebru - pentru convingerile şi predicile sale copernicane. Astronomia de observaţie se extinde, se perfecţionează şi se organizează la scară naţională şi chiar internaţională. In 1667la Paris şi în 1675la Greenwich, iau fiinţă primele observatoare mari, care aveau să joace un rol de prim ordin în dezvoltarea ulterioară a ştiinţei astronomice şi a gravitaţiei în general. Pentru perioada la care ne referim, la observatorul din Paris se calculează, pe baza observaţiilor, paralaxa geometrică a Soarelui de 9,5" (cu numai 8% mai mare decît valoarea acceptată astăzi) şi astfel dimensiunile sistemului planetar al Soarelui pot fi cunoscute la scară cvasireală: de două ori mai mari decit se crezuse pînă aturtci. Verificarea la scară mare a sistemului lui Copernic şi Kepler dăduse un răspuns bun întrebării: cum se mişcă planetele? - şi cu aceasta putem considera încheiată ceea ce am putea numi astronomia cinematică. Intrebările care se puneau acum erau de ce aceste planete se mişcă astfel, care sînt cauzele care provoacă o astfel de mişcare? Răspunsul la aceste întrebări plutea într-un fel în aer: contemporanii lui Newton, Cristopher 'Wren, dr. Robert Hooke şi dr. Edmund Halley, observă- independent unul de altul- legea inversului pătratelor distanţelor, care va fi viitoarea lege a atracţiei gravitaţionale. Dar formularea clară şi coerentă a teoriei gravitaţiei universale avea să revină lui Newton, care o publică în anul 1687, în lucrarea Phylosopkiae Naturalis Principia M atkematica şi mai apoi în 1726 într-o formă mai completă, sub acelaşi titlu, într-o a treia ediţie. Această operă monumentală care a pus bazele mecanicii cereşti şi a mecanicii în general şi care a rămas şi astăzi- după aproape trei secole, -lafel de valabilă, este expusă de Newton într-o formă antică, după procedeul utilizat de Euclid. Deşi modul în care Newton a ajuns la rezultatele sale a fost evident, în primul rînd, unul inductiv, el şi-a expus teori~. folosind metoda deductivă: plecînd de la un număr redus de axiome şi principii, el deduce toate consecinţele matematice conform teoriei sale şi constată în final că mişcarea reală sub efect gravitaţional se face într-adevăr în acord cu această teorie. Aceasta i-a indus în eroare pe epigonii săi mai vechi şi mai noi, care, uitînd chiimrile facţrii teoriei, din sudoarea experimentului şi a observaţiei de multe secole; au zeificat puterea absolută a rationamentului aprioric abstract. La fel ca şi Euclid, Newton îşi începe lucrarea cu definiţii, al căror număr este opt, în care precizează noţiunile fundamentale ale dinamicii: masa, cantitatea de mişcare şi diversele categorii de forţe. Acestora le urmează o scolie, adică un comentar privind cele enunţate, în care işi propune s,ă

21

lămurească noţiunile

de timp, spaţiu, mişcare absolută şi mişcare relativă. Vin apoi cele trei axiome ale mişcării, cunoscute în general sub denumirea de legile lui Newton: 1) Orice corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare în linie dreaptă, dacă nu este constrî'ns de forţe exterioare să-şi schimbe această stare. 2) Variaţia mişcării (adică a cantităţii de mişcare) este proporţională w forţa şi este dirijată după linia dreaptă în lungul căreia acţionează forţa. 3) Reacţiunea este întotdeaut~a egală cu acţiunea, sau, acţiunile reciproce a două corpuri sînt ît~totdeauna egale şi dirijate în sensuri contrare. Acestora Newton le adaugă scolia corespunzătoare. Urmează Cartea I unde în 14 secţiuni se ocupă de mişcarea corpurilor în vid. Newton demonstrează riguros matematic că dacă un corp (sau mai multe corpuri) descrie o conică sub influenţa unui centru de forţă plasat în focar (legea 1 a lui Kepler), atunci: - mişcarea corpului este o mişcare plană, iar razele vectoare descriu arii egale în timpuri egale (legea a II-a a lui Kepler); - forţa cu care este acţionat corpul este o forţă de atracţie (centripetă) îndreptată spre cel'ltrul de forţă; - această forţă este invers proporţională cu pătratul distanţei dintre corp şi centrul de forţă; . - raportul dintre cuburile semiaxelor mari ale orbitelor este egal cu raportul dintre pătratele perioadelor de revoluţie (legea a III-a a lui Kepler). Sistemul heliocentric şi legile lui Kepler conduc în modul cel mai direct la aceste concluzii. Newton demonstrează, de asemenea, o serie de teoreme auxiliare, care decurg din reciprocitatea acestor concluzii generale, sau din proprietăţile geometrice ale traiectoriilor. ln felul acesta, el integrează într-un sistem mecanic complet şi coerent schiţa lui Copernic şi Kepler a sistemului solar, punînd bazele actualei astronomii dinamice, a mecanicii cereşti şi a mecanicii în general. ln Cartea a II-a Newton studiază influenţa unui mediu rezistent asupra mişcării corpurilor materiale. Deşi teoremele şi concluziile expuse de el în această Carte au o valoare intrinsecă şi sînt aplicate şi astăzi în diverse domenii ale ştiinţei şi tehnicii, totuşi scopul principal al acestei Cărţi a fost acela de a combate teoria vîrtejurilor a lui Descartes, conform căreia planetele sînt antrenate în mişcarea lor de revoluţie de un gigantic vîrtej cu sediul în Soare, teorie care pe atunci domnea în chip absolut, inclusiv în Anglia şi care avea să supravieţuiască în:.: 100 de ani după apariţia operei lui Newton. Astfel scopul acestor două prime Cărţi apare clarl acela de a pune bazele dinamicii, de a prezenta legea gravitaţiei şi de a distruge filozofia lui Descartes. Dar acestea nu erau suficiente, trebuia ca sistemul său al lumii să interpreteze corect datele de observaţie. O asemenea demonstraţie o face Newton în a sa Carte a III-a. El arată aici că mişcarea planetelor în jurul Soarelui şi a sateliţilor în jurul planetelor se supune mecanicii sale. El identifică forţa centripetă, dedusă din legile lui Kepler, cu gravitaţia, explică pe această bază o mulţime de fenomene geofizice şi astronomice, ca de exemplu. fluxul şi refluxul mării, turtirea Pămîntului, mişcarea Lunii, mişcarea cometelor etc. Această ultimă parte a operei lui Newton apare - cum poate este şi firesc- mult mai puţiu riguroasă decît primele două părţi. Dacă ea stabileşte în mare măsură o bună corelare între teoria generală şi observaţii, în acelaşi timp ea revelează şi o serie de nepotriviri, dintre care unele nu au fost rezol-

22

vate nici pînă. astăzi. În special mişcarea Luniil-a preocupat mulţi ani pe Newton şi de multe ori se plîngea prietenului său Halley că ea îi provoacă dureri de cap. El găseşte, de exemplu, fn final, că apsida Lunii se deplasează de două ori mai rapid de'cît ar permite teoria sa, că masa Lunii reprezintă 1/39 din masa Pămîntului, deci o valoare de peste două ori mai mare decît cea reală, care este aproximativ 1/91 etc. Pînă într-atît apărea Luna de dizidentă în detaliile mişcării sale, încît, pînă la urmă, pentru a explica avansul diferit al apogeului Lunii- după cum aceasta se află în conjuncţie sau in cvadratură cu Soarele- Newton admite că centrul elipsei Lunii se mişcă pe un ... epiciclu in jurul Pămîntului. Dar a,ceste mici inadvertenţe, ca şi altele, despre care vom vorbi mai pe larg în cele ce urmează, nu puteau constitui încă argumente împotriva valabilităţii absolute a teoriei sale. Generalizînd legea atracţiei de la Soare la planete, adică admiţînd că între planete şi sateliţii lor sau între diferitele planete se exercită aceeaşi forţă de atracţie gravitaţională, Newton ajunge la concluzia că elipsele lui Kepler sînt numai o primă aproximaţie a unei mişcări mai complicate, în care trebuie să se ţină seama, în afară de forţa de atracţie a Soarelui şi de perturbaţiile datorate acţiunii gravitaţionale mutuale a planetelor. În acest fel Newton foloseşte într-adevăr ca mijloc de generalizare nu inducţia - ca în cazul legilor mişcării - ci deducţia, care serveşte la corectarea legilor lui Kepler, respectiv la mărirea preciziei teoriei mişcărilor planetare. Newton menţionează în propoziţia a XIII-a efectele calitative ale acestor perturbaţii; studiul lor cantitativ - care urma deci să hotărască asupra absolutei exactităţi a legilor şi teoriei sale- avea să absoarbă munca celor mai mari matematicieni, fizicieni şi astronomi ai secolelor al XVIII-lea şi al XIX-lea, printre care Cla:iraut, D'Alembert, Lagrange, Laplace, Le Verrier, Newcomb etc. Necesitatea rezolvării acestei complexe probleme, care mai preocupă şi astăzi pe matematicieni şi astronomi, a dus la dezvoltarea impetuoasă a unor studii de mecanică analitică şi a unor metode matematice corespunzătoar.~. care ulterior au devenit capitole de-sine-stătătoare ale acestor discipline şi au căpătat noi domenii de aplicabilitate în toate ramurile fizicii moderne. Amintim, pentru a fixa cîteva jaloane -pe Daniel Bernoulli (1700-1782) şi Leonhard Euler (1707-1783), care au studiat sistemele de mai multe puncte materiale şi s-au ocupat de corpul rigid şi de hidrodinamică. pe D'Alembert (1717-1783), autorul principiului care înlocuieşte ecuaţiile de mişcare şi care-i poartă numele, pe Lagrange (1736-1813), care a dat acestor ecuaţii diferenţiale o formă deosebit de potrivită pentru cazuri mai complicate, pe Laplace (1749-1827) a cărui Mecanică Cerească în cinci volume constituie · un apogeu al mecanicii analitice în general. Toate aceste dezvoltări ale metodelor de cercetare mecanică şi matematică au permis perfecţionarea teoriei perturbaţiilor, întrevăzută de Newton în a sa propoziţie. a XIII-a, la un asemenea grad de precizie, încît pe baza perturbaţiilor observate ale orbitei planetei Uranus, J.C. Adams (1818-1892) şi Le Verrier ( 1811-1877) au putut calcula, independent unul de celălalt, orbita unei planete necunoscute şi mai depărtată de Soare- Neptun- pe care în 1846 Galle o descoperă efectiv pe cer, într-un punct care prezenta o abatere de numai 1 grad faţă de poziţia calculată. Această dezvoltare a permis însă cu mult mai mult decît descoperirea prin calcul a planetei Neptun, descoperire care nu a însemnat la urma urmei decit o nouă şi strălucită verificare a legilor lui Newton, pe lîngă multe altele care existau deja; ea i-a permis lui Le Verrier ca, incepind din anul1846 şi pînă la moartea sa în 1877, să realizeze 23

marea sinteză de verificare a teoriei gravitaţiei, elaborarea unei teorii newtoniene a mişcării planetelor sistemului solar, care să ţină cont de ansamblul perturbaţiilor lor reciproce. El a analizat cyasitotalitatea observaţiilor anterioare făcute asupra mişcării acestor planete, a determinat masele şi elementele lor cinematice şi dinamice şi le-a calculat Tabelele. Această lucrare fundamentală a însemnat apogeul teoriei newtoniene a gravitaţiei, dar, în acelaşi timp, ea a marcat suficient de clar limitele acestei teorii, limite cantitative, care au fost ulterior confirmate şi precizate de lucrările lui S. Newcomb şi ale altora. S-a impus astfel, cu tot mai multă insistenţă, necesitatea elaborării unei noi teorii, mai exactă, a gravitaţiei. De atunci au trecut aproape o sută de ani. Între timp au fost formulate multe critici, mai mult sau mai puţin filozofice, la adresa teoriei newtoniene a gravitaţiei, au fost propuse multe alte_teorii privind gravitaţia, mai mult sau mai puţin sofisticate, dar mecanica cerească- adică acea mecanică prin O mişcarea particulei va fi infinită şi pentru E < O finită. Cînd r-+ O, ea tinde către + ooşi cînd r-+ ooea tinde către zero, trecînd prin valori negative~ Funcţia trece printr-un minim,

U•

a.2m

ermin

=- -· 28'Jt2

(2.63)

cînd &m,2

c2

a.m

GM

r=--=--·

(2.64)

Se vede din {2.42) că dacă energia particulei are tocmai această valoare, e = O şi orbita va fi un cerc cu raza dată de {2.64). Se deduce, de asemenea, din (2.47), că în acest caz, · GM

V=--• r

care se numeşte v#eză circulară şi care în cazul mişcării viteză cosmică) are valoarea v = 7,912 kmfs.

(2.65)

circumterestre (prima

u~,

o 38

Fig. 9. Energia potenţială "eficace" în cîmpul gravitaţional newtonian.

dau

Cu valorile a şi e scoase din (2.44) _p_=a(1- e);

fmi·• =

·

Din (2.66)

şi

şi

1

(2.64)

(2.42),

rmu =

+e

rădăcinile ecuaţiei

_p_=a(l 1- e

Uec(r)

+ e).

=

E

(2.66)

rezultă relaţia utilă

3m.2 c2 - = - = a ( l - e), (/.m GM

pe care o vom utiliza în cele ce

(2.67)

urmează.

2.4. GENERALIZAREA LEGII GRAVITAŢIEI, A LUI NEWTON: ECUAŢIA LAPLACE-POISSON Legea gravitaţiei a lui Newton se referă numai la interacţiunea gravitaţională dintre puncte materiale. Corpurile cereşti reale la care ea se aplică nu sînt însă simple puncte matematice fără dimensiuni şi problema care se pune este aceea de a şti dacă şi în ce măsură o astfel de suprasimplificare presupusă de teorie este acceptabilă. Cu alte cuvinte se pune problema de a generaliza această lege, astfel încît să fie valabilă efectiv pentru cazul unor corpuri materiale de dimensiuni finite. Evident, soluţia gtnerală- în stil clasic- a problemei, va fi dată de suprapunerea interacţiunii gravitaţionale newtoniene, exercitată de fiecare dintre punctele materiale care alcătuiesc corpul de dimensiuni finite, de însumarea lor, observînd ce devine în acest caz legea gravitaţiei a lui Newton. Fie A un punct material de masă m şi P un punct de masă unitate; A va exercita asupra lui P o forţă de atracţie m

F=-G-,

(2.68)

r2

unde r este distanţa A P. Putem considera că o astfel de forţă derivă din

m

U=G-.

funcţia

(2.69)

r

care se numeşte potenţial newtonian (el nu se confundă cu energia potenţială, care este - U = - GM/r). Fie un sistem de axe trirectangulare Oxyz, in care coordonatele punctului A sînt a, b şi c, iar cele ale punctului de masă unitate, P, sînt x, y şi z. Vom aYea, astfel r = ../(x - a) 2 (y - b) 2 (z - c)2, (2.70)

+

+

iar componentele forţei de atracţie, aplicate punctului P, vor fi

x = au . ax •

5e

Y =

au . z = au . ay'

âz

(2. 71)

observă uşor că

ar =x-a; ar

r-

ax

ar = z- c,

r ay =y- b; r7

oz

(2.72)

39

astfel incît vom. putea scrie componentele

forţei

sub

următoarea formă

echi-

valentă

o( ~ )

au

Gm ar Gm X = - = - - - = G m - - = --(x-a),

ax

Y

z

=

r2

ax

ax

,s

au=_ Gm ar =Gm •(:) = _ Gm(y-b),

ay

r2

= au=-

az

ay

ay

a(:az

Gm ar '-Gm r2

az

,s

t-

(2 •731

Gm(z -c).

,s

Fie acum o masă materială oarecare, conţinută intr-un volum -r. Vom presupune această masă omogenă şi vom.nota cu p masa sa specifică (masa unităţii de volum), pe care o vom numi .simplu densitate. Nu există nici o dificultate in a defini potenţialul newtonian, creat de această masă in orice punct P exterior volumului -r. Într-adevăr, dacă mai multe puncte materiale atrag acest punct, atracţia rezultantă va fi suma vectoţială a atracţiilor individuale, care4llerivă fiecare 4intr-un potenţial. Atracţia rezultantă derivă deci dintr-un potenţial, care este suma potenţialelor create individual de diferitele puncte materiale. Putem aplica acest raţionament in cazul masei conţinută in volumul T. Fiecare element de volum d-r are masa pd-r şi atrage punctul P situat la distanţa r faţă de acest volum elementar, cu o forţă elemenţară-GpdT/r2, care derivă din funcţia de forţă Gpd-r/r şi ale cărei corn ponente pe cele trei axe sînt ;,

a(~) Gp--1 -d-r; ax

1

a(~) G~d-r; .aY

Extinzind la întregul volum T, care nentele forţei rezultante

a(~) r ~~~.,.Gp-d-r ax

; ' A = .. Y

z

. ( ( (

~~t

= ( ( (

~~\

ceea ce

=-

.

. ar

1

1

ax

masa,

(2.74)

găsim

ay

)))....

Gp a( : )d <

=

az

arată existenţa

-

r

C(C Gp _t,

1J....

unui

r

pentru compo-

a d-r d-r. -'\\ Gp-, aX 1.. . -

1

G/C) d< = - ((( Gp_t, ard