19.06.2020 - Assunto 3 - AFA - ESPCEX - Plinômios PDF

 

AFA - ESPCEX | Professor Demontiê Costa

MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3

POLINÔMIOS 1. Polinômios em x 1.1. Conceito - P(x) = A0xm + A1xm-1 + A2xm-2 + ... + A m  A0, A1, A2, ..., Am   – – São números complexos, ou seja, os coeficientes do polinômio. Os expoentes da variável x são números inteiros não negativos.

1.2. Grau de um polinômio Exemplos: a) P(x) = 3x - 9 grau[P(x)] = 1º grau b) P(x) = x 2 + 3x - 9 grau[P(x)] = 2º grau c) P(x) = x3 + 6x2 + 7x - 1 grau[P(x)] = 3º grau

1.2.1 Propriedade do grau de um polinômio Dados P(x) e Q(x), tem-se:

I. grau[P(x)] + grau[Q(x)]

  max{

grau[P(x)], grau[Q(x)]}

a) P(x) = x 2 + 3x - 9 e Q(x) = x 3 - 5x2 + 6x + 1 P(x) + Q(x) = x 2 + 3x  – 9 + x3 - 5x2 + 6x + 1 = x 3 - 5x2 + 9x - 8 grau[P(x) + Q(x)] = 3º grau

II. grau[P(x)] . grau[Q(x)] = grau[P(x)] + grau[Q(x)] a) P(x) = x + 2 e Q(x) = x + 1 P(x) . Q(x) = (x + 2) . (x + 1) = x 2 + 2x + x + 2 = x 2 + 3x + 2 grau[P(x) + Q(x)] = 2º grau

1.3 Raízes de um polinômio Exemplos: a) P(x) = 2x - 8 P(x) = 0 2x  – 8 = 0 2x = 8 x = 8/2 x=4 S = {4} Página | 1

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MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3 b) P(x) = -3x + 6 P(x) = 0 -3x + 6 = 0 -3x = - 6 (-1) 3x = 6 3x = 6/3 x=2 S = {2}

c) P(x) = x2 - 6x + 9 a=1

b=-6

b

2

c=8

 4.a.c



  6



2

 4.1.8

  36  32 4

 x 

 

b





2a 62

 x1 

2 62

 x 2 

8



2



2 .1

4



62 2

4

2 4





 6 

2

2

S = {2, 4}

d) P(x) = 5x 2 - 4x + 1 a=5

b=-4

b

2



c=1

 4.a.c

  4



2

 

 4.5.  1

  16  20

 

  36

 x 

b

 x1   x 2 



2a 46 10 46 10





10 10







 4 

2.5

36



46 10

1

2 10



1 5

S = {1, -1/5} Página | 2

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MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3 e) P(x) = (x  – 1).(2x  – 4).(2x  – 6) P(x) = 0 (x  – 1).(2x  – 4).(2x  – 6) = 0

x  – 1 = 0 x=1

2x  – 4 = 0 2x = 4 x = 4/2 x=2

2x  – 6 = 0 2x = 6 x = 6/2 x=3

S = {1, 2, 3}

f) P(x) = (2x  – 10).(3x  – 12).(6x  – 12) P(x) = 0 (2x  – 10).(3x  – 18).(6x  – 12) = 0

2x  – 10 = 0 2x = 10 x = 10/2 x=5

3x  – 18 = 0 3x = 18 x = 18/3 x=6

6x  – 12 = 0 6x = 12 x = 12/6 x=2

S = {2, 5, 6}

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2. Polinômio identicamente nulo  –  Um polinômio P(x) é identicamente nulo quando seus coeficientes forem nulos, ou seja, quando P(x) = 0,  x. Exemplos: a) Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio P(x) = (a  – 1)x2 + (2b  – 4)x + 2c  – 6 seja identicamente nulo. a  – 1 = 0 a=1

2b  – 4 = 0 2b = 4 b = 4/2 b=2

2c  – 6 = 0 2c = 6 c = 6/2 c=3

3. Operações com polinômios 3.1. Adição e subtração de polinômios Seja P(x) = 6x 2 + 7x  – 3 e Q(x) = x3 - 5x2 + 4x + 9, calcule: a) P(x) + Q(x) = 8x 2 + 7x  – 3 + x3 - 5x2 + 4x + 9 = x 3 + 8x2 - 5x2 + 7x + 4x  – 3 + 9 = x3 + 3x2 + 11x + 6 b) Q(x) - P(x) = 8x 2 + 7x  – 3 + x3 - 5x2 + 4x + 9 = x3 - 5x2 + 4x + 9  – (8x2 + 7x  – 3 ) = x 3 - 5x2 + 4x + 9  – 8x2 - 7x + 3 Q(x) - P(x) = x 3 - 5x2 - 8x2 + 4x  – 7x + 9 + 3 = x3 - 13x 2 - 3x + 12

3.2. Multiplicação de polinômios Seja P(x) = x + 3, Q(x) = x + 2 e R(x) = x - 1 calcule: a) P(x) . Q(x) = (x + 3) . (x + 2) = x 2 + 3x + 2x + 6 = x 2 + 5x + 6 b) P(x) . R(x) = (x + 3) . (x - 1) = x 2   – – x + 3x - 3 = x 2 + 2x - 3 c) Q(x) . R(x) = (x + 2) . (x - 1) = x 2   – – x + 2x - 2 = x 2 + x - 2

3.3. Divisão de polinômios P(x) | D(x) R(x)

Q(x)

P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)

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MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3 a) Determine a divisão de x 2 + 5x + 6 por x + 2: x2 + 5x + 6 -x2 – 2x

|x+2 x+3

----------3x + 6 -3x  – 6 ---------0

b) Determine a divisão de x 2 + 5x + 6 por x + 2: x3 + 5x2 + 8x + 4

|x+1

-x3   – – x2 

x 2 + 4x + 4

-----------------4x2 + 8x + 4 -4x2  –  – 4x -----------------4x + 4 -4x - 4 ---------------0

4. Teorema do resto  – O resto da divisão de P(x) por (x  – a) é igual a P(a). a) Determine o resto da divisão de P(x) = x 2 + 6x + 5 por x  – 2. Resto = P(2) = 22 + 6.2 + 5 = 4 + 12 + 5 = 21

b) Determine o resto da divisão de P(x) = x 2 - 7x + 1 por x  – 3. Resto = P(3) = 32 + 6.3 + 5 = 9 + 18 + 5 = 32

c) Determine o resto da divisão de P(x) = x 3 + x2 + 3x + 2 por x  – 1. Resto = P(1) = 13 + 12 + 3.1 + 2 = 1 + 1 + 3 + 2 = 7

d) Determine o resto da divisão de P(x) = x 3 + x2 + 3x + 5 por x + 1. Resto = P(-1) = (-1) 3 + (-1)2 + 3.(-1) + 5 = - 1 + 1 - 3 + 5 = 2

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5. Algoritmo de Briot-Ruffini a) (x2 - 5x + 6) : (x  – 2)

2

|1

-5

6

|1

-3

0

Q(x) = 1x  – 3 = x  – 3 R(x) = 0

b) (x2 - 7x + 16) : (x  – 3)

3

|1

-7

16

|1

-4

4

Q(x) = 1x  – 4 = x  – 4 R(x) = 4

c) (x3 + 5x2 + 8x + 4) : (x + 2) |1

5

8

4

-2 | 1

3

2

0

Q(x) = 1x2 + 3x + 2 = x 2 + 3x + 2 R(x) = 0

d) (x4 - 3x2 + 5x - 2) : (x + 1) |1 -1 | 1

0

-3

5

-2

-1

-2

7

-9

Q(x) = 1x3 - 1x2 - 2x + 7 = x 3 - x2 - 2x + 7 R(x) = -9

6. Relações de Girard 6.1. Fórmula para Polinômios Quadráticos: P(x) = ax2 + bx + c Soma das raízes: x 1 + x2 = - b/a Produto das raízes: x 1 . x2 = c/a

a) Determine a soma e o produto das raízes do polinômio P(x) = x2 - 7x + 10. a=1

b = -7

c = 10

Soma das raízes: x 1 + x2 = - b/a = -(-7)/1 = 7/1 = 7 Produto das raízes: x 1 . x2 = c/a = 10/1 = 10

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b) Determine a soma e o produto das raízes do polinômio P(x) = 3x2 - 15x + 18. a=3

b = -15

c = 18

Soma das raízes: x 1 + x2 = - b/a = -(-15)/3 = 15/3 = 5 Produto das raízes: x 1 . x2 = c/a = 18/3 = 6

2

c) Determine a soma e o produto das raízes do polinômio P(x) = 5x  - 4x - 1. a=5

b=-4

c=-1

Soma das raízes: x 1 + x2 = - b/a = -(-4)/5 = 4/5 Produto das raízes: x 1 . x2 = c/a = -1/5

6.2. Fórmula para Polinômios do 3º grau: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d Soma das raízes: x 1 + x2 + x3 = - b/a Multiplicação duas a duas das raízes: x 1 . x2 + x1 . x2 + x2 . x3 = c/a Produto das raízes: x 1 . x2 . x3 = - d/a

a) P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 a=1

b=3

c=3

d=1

Soma das raízes: x 1 + x2 + x3 = - b/a = - 3/1 = - 3 Multiplicação duas a duas das raízes: x 1 . x2 + x1 . x2 + x2 . x3 = c/a = 3/1 = 3 Produto das raízes: x 1 . x2 . x3 = - d/a = - 1/1 = - 1

b) P(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 a=1

b=6

c = 12

d=8

Soma das raízes: x 1 + x2 + x3 = - b/a = - 6/1 = - 6 Multiplicação duas a duas das raízes: x 1 . x2 + x1 . x2 + x2 . x3 = c/a = 12/1 = 12 Produto das raízes: x 1 . x2 . x3 = - d/a = - 8/1 = - 8

c) P(x) = x3 - 6x2 + 12x - 8 a=1

b=-6

c = 12

d=-8

Soma das raízes: x 1 + x2 + x3 = - b/a = - (- 6/1) = 6 Multiplicação duas a duas das raízes: x 1 . x2 + x1 . x2 + x2 . x3 = c/a = 12/1 = 12 Produto das raízes: x 1 . x2 . x3 = - d/a = - (- 8/1) = 8

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7. Somas de Newton 7.1. Fórmula para Polinômios Quadráticos: P(x) = ax2 + bx + c S(n) = S(1) . S(n-1)   – – P . S(n-2)  a) Dado P(x) = x2   – – 3x + 2, em que x 1 e x2 são suas raízes, calcule x 15 + x25. a=1

b=-3

c=2

S(0) = x10 + x20 = 1 + 1 = 2 S(1) = x11 + x21 = x1 + x2  = - b/a = -(-3)/1 = 3 P = x1 . x2  = c/a = 2/1 = 2

S2 = x12 + x22 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – P . S(n-2)  S(2) = S(1) . S(2-1)   – – P . S(2-2)  S(2) = S(1) . S(1)   – – P . S(0)  S(2) = 3 . 3  – 2 . 2 S(2) = 9  – 4 S(2) = 5

S3 = x13 + x23 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – P . S(n-2)  S(3) = S(1) . S(3-1)   – – P . S(3-2)  S(3) = S(1) . S(2)   – – P . S(1)  S(3) = 3 . 5  – 2 . 3 S(3) = 15  – 6 S(3) = 9

S4 = x14 + x24 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – P . S(n-2)  S(4) = S(1) . S(4-1)   – – P . S(4-2)  S(4) = S(1) . S(3)   – – P . S(2)  S(4) = 3 . 9  – 2 . 5 S(4) = 27  – 10 S(4) = 17

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S5 = x15 + x25 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – P . S(n-2)  S(5) = S(1) . S(5-1)   – – P . S(5-2)  S(5) = S(1) . S(4)   – – P . S(3)  S(5) = 3 . 17  – 2 . 9 S(5) = 51  – 18 S(5) = 33

b) Dado P(x) = x2   – – 5x + 6, em que x 1 e x2 são suas raízes, calcule x 15 + x25. a=1

b=-5

c=6

S(0) = x10 + x20 = 1 + 1 = 2 S(1) = x11 + x21 = x1 + x2  = - b/a = -(-5)/1 = 5 P = x1 . x2  = c/a = 6/1 = 6

S2 = x12 + x22 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – P . S(n-2)  S(2) = S(1) . S(2-1)   – – P . S(2-2)  S(2) = S(1) . S(1)   – – P . S(0)  S(2) = 5 . 5  – 2 . 6 S(2) = 25  – 12 S(2) = 13

S3 = x13 + x23 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – P . S(n-2)  S(3) = S(1) . S(3-1)   – – P . S(3-2)  S(3) = S(1) . S(2)   – – P . S(1)  S(3) = 5 . 13  – 6 . 5 S(3) = 65  – 30 S(3) = 35

S4 = x14 + x24 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – P . S(n-2)  S(4) = S(1) . S(4-1)   – – P . S(4-2)  S(4) = S(1) . S(3)   – – P . S(2)  S(4) = 5 . 35  – 6 . 13 S(4) = 175  – 78 S(4) = 97

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S5 = x15 + x25 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – P . S(n-2)  S(5) = S(1) . S(5-1)   – – P . S(5-2)  S(5) = S(1) . S(4)   – – P . S(3)  S(5) = 5 . 97  – 6 . 35 S(5) = 485  – 210 S(5) = 275

7.2. Fórmula para Polinômios do 3º grau: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d S(n) = S(1) . S(n-1)   – – S(2.2) . S(n-2) + P . S(n-3)  a) Dado P(x) = x3 - 6x2 + 12x - 8, em que x 1 x2 e x3 são suas raízes, calcule x 15 + x25 + x35. a=1

b=-6

c = 12

d=-8

S(0) = x10 + x20 + x30 = 1 + 1 + 1 = 3 S(1) = x11 + x21 + x31 = x1 + x2 + x3 = - b/a = - (-6)/1 = 6 S(2.2) = x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = c/a = 12/1 = 12 S(2) = x12 + x22 + x32 = S12   – – 2.S(2.2) = (6)2   – – 2 . 12 = 36  – 24 = 12 P = x1 . x2 . x3  = - d/a = - (-8)/1 = 8

S(3) = x13 + x23 + x33 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – S(2.2) . S(n-2) + P . S(n-3)  S(3) = S(1) . S(3-1)   – – S(2.2) . S(3-2) + P . S(3-3)  S(3) = S(1) . S(2)   – – S(2.2) . S(1) + P . S (0)  S(3) = 6 . 12  – 12 . 6 + 8 . 3 S(3) = 72  – 72 + 24 S(3) = 24

S(4) = x14 + x24 + x34 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – S(2.2) . S(n-2) + P . S(n-3)  S(4) = S(1) . S(4-1)   – – S(2.2) . S(4-2) + P . S(4-3)  S(4) = S(1) . S(3)   – – S(2.2) . S(2) + P . S (1)  S(4) = 6 . 24  – 12 . 12 + 8 . 6 S(4) = 144  – 144 + 48 S(4) = 48

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S(5) = x15 + x25 + x35 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – S(2.2) . S(n-2) + P . S(n-3)  S(5) = S(1) . S(5-1)   – – S(2.2) . S(5-2) + P . S(5-3)  S(5) = S(1) . S(4)   – – S(2.2) . S(3) + P . S (2)  S(5) = 6 . 48  – 12 . 24 + 8 . 12 S(5) = 288  – 288 + 96 S(5) = 96

b) Dado P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6, em que x 1 x2 e x3 são suas raízes, calcule x15 + x25 + x35. a=1

b=-6

c = 11

d=-6

S(0) = x10 + x20 + x30 = 1 + 1 + 1 = 3 S(1) = x11 + x21 + x31 = x1 + x2 + x3 = - b/a = - (-6)/1 = 6 S(2.2) = x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = c/a = 11/1 = 11

– 2.S(2.2) = (6)2   – – 2 . 11 = 36  – 22 = 14 S(2) = x12 + x22 + x32 = S12   – P = x1 . x2 . x3  = - d/a = - (-6)/1 = 6

S(3) = x13 + x23 + x33 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – S(2.2) . S(n-2) + P . S(n-3)  S(3) = S(1) . S(3-1)   – – S(2.2) . S(3-2) + P . S(3-3)  S(3) = S(1) . S(2)   – – S(2.2) . S(1) + P . S (0)  S(3) = 6 . 14  – 11 . 6 + 6 . 3 S(3) = 84  – 66 + 18 S(3) = 36

S(4) = x14 + x24 + x34 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – S(2.2) . S(n-2) + P . S(n-3)  S(4) = S(1) . S(4-1)   – – S(2.2) . S(4-2) + P . S(4-3)  S(4) = S(1) . S(3)   – – S(2.2) . S(2) + P . S (1)  S(4) = 6 . 36  – 11 . 14 + 6 . 6 S(4) = 216  – 154 + 36 S(4) = 98

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MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3

S(5) = x15 + x25 + x35 = ? S(n) = S(1) . S(n-1)   – – S(2.2) . S(n-2) + P . S(n-3)  S(5) = S(1) . S(5-1)   – – S(2.2) . S(5-2) + P . S(5-3)  S(5) = S(1) . S(4)   – – S(2.2) . S(3) + P . S (2)  S(5) = 6 . 98  – 11 . 36 + 6 . 14 S(5) = 588  – 396 + 84 S(5) = 276

8. Raízes racionais de um polinômio do 3º grau: a) Determine as raízes do polinômio P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6.  a=1

b=-6

c = 11

d=-6

Sejam Q divisores inteiros de a e P os divisores inteiros de d.  P   {1,2   ,3,6}  

Q  1  

Possíveis soluções racionais do polinômio

 P   {1,2  ,3,6}   Q Possíveis raízes racionais P(x) = x 3 - 6x2 + 11x - 6 P(1) = 13   – – 6.12 + 11.1  – 6 = 1  – 6 + 11  – 6 = 0 P(2) = 23   – – 6.22 + 11.2  – 6 = 8  – 24 + 22  – 6 = 0 P(3) = 33   – – 6.32 + 11.3  – 6 = 27  – 54 + 33  – 6 = 0 S = {1, 2, 3}

b) Determine as raízes do polinômio P(x) = x 3 - 6x2 + 12x  – 8.  a=1

b=-6

c = 12

d=-8

Sejam Q divisores inteiros de a e P os divisores inteiros de d.

Q  1

 

 P   {1,2   ,4,8}  

Possíveis soluções racionais do polinômio

 P  Q

 {1,2   ,4,8}  

Possíveis raízes racionais P(x) = x 3 - 6x2 + 12x  – 8 P(2) = 23   – – 6.22 + 12.2  – 8 = 8  – 24 + 24  – 8 = 0 S = {2}

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MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3

01. Verifique se são ou não polinômios: a) p(x) = x 2 + 3x  – 9 b) p(x) = x 3 - 5x2 + 6x + 1 c) p(x) = x 5 + 2x + 7 d) p(x) = x 3/2 - 6x2 + 3x + 1 e) p(x) = x -2 - 5x-1 + 6 f) p(x) = x 7 - 5x6 + 6x4 + 1 g)  p( x)

  

 

 x

3



2

 x  

h) p(x) = - x 3 - 2x2 + 6x + 3 i) p(x) = - x 5 - 5x3 + 6x2 + 7 Resposta: a) é polinômio

b) é polinômio

c) é polinômio

d) não é polinômio

e) não é polinômio

f) é polinômio

g) não é polinômio

h) é polinômio

i) é polinômio

3

2

02. Dado o polinômio p(x) = x  + 4x   – 7x + 5, calcule: a) p(0)

b) p(1)

c) p(2)

d) p(-1)

e) p(-3)

d) p(-2)

a) 5

b) 3

c) 15

d) 15

e) 35

f) 27

Resposta:

03. Dado o polinômio p(x) = (x3 - 3)2 . (x2 + 2)3, determine: a) a soma dos seus coeficientes; b) o termo independente. c) p(0) d) p(1) e) p(2) Resposta: a) 108

b) 72

c) 72

d) 36

e) 5400

04. Um polinômio p(x) é do 1º grau. Sabendo que p(0) = 3 e p(1) = 5, escreva o polinômio. Resposta: p(x) = 2x + 3

05. Um polinômio p(x) é do 1º grau. Sabendo que p(0) = -5 e p(-2) = 1, escreva o polinômio. Resposta: p(x) = -3x - 5

06. Um polinômio p(x) é do 2º grau. Sabendo que p(0) = 6, p(2) = 0 e p(3) = 0, escreva o polinômio. 2

Resposta: p(x) = x  - 5x + 6

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MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3

07. Um polinômio p(x) é do 2º grau. Sabendo que p(0) = 2, p(1) = 0 e p(2) = 0, escreva o polinômio. Resposta: p(x) = x2 - 3x + 2

08. Determine os valores de a e b para que sejam iguais os polinômios p(x) = 5x + 7 e q(x) = (a  – 1)x + (b  – 4). Resposta: a = 6 e b = 11

09. Determine os valores de a e b para que sejam iguais os polinômios p(x) = -4x + 3 e q(x) = (a  – 5)x + (b  – 9). Resposta: a = 1 e b = 12

10. Dados os polinômios: p(x) = 3x 2 - 5x + 2, q(x) = 5x 2 + 6x + 7 e r(x) = -2x2 + 7x  – 9, calcule: a) p(x) + q(x)

b) p(x) + r(x)

c) r(x) + q(x)

d) p(x) - q(x)

e) r(x) - q(x)

f) p(x) - r(x)

a) 8x 2 + x + 9

b) x2 + 2x  – 7

c) 3x2 + 13x - 2

d) -2x2 - 11x - 5

e) -7x2 + x  – 16

f) 5x2 - 12x + 11

a) x2 + 9x + 14

b) x2 + x - 2

c) x2 + 6x - 7

d) x2 + 4x + 4

e) x2 - 2x + 1

f) x2 + 14x + 49

Resposta:

11. Dados os polinômios: p(x) = x + 2, q(x) = x + 7 e r(x) = x - 1, calcule: a) p(x) . q(x) b) p(x) . r(x) c) r(x) . q(x) d) p(x) . p(x) e) r(x) . r(x) f) q(x) . q(x) Resposta:

12. Efetue as divisões de p(x) por q(x) a seguir: a) p(x) = x 2 + 7x + 10 por q(x) = x + 2 b) p(x) = x 2 + 9x + 14 por q(x) = x + 7 c) p(x) = x 2 - 6x + 8 por q(x) = x - 2 d) p(x) = x 2 - 8x + 15 por q(x) = x - 3 Página | 14

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MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3 e) p(x) = 2x 4 - 2x3   – – 13x2 + 10x - 1 por q(x) = 2x 2 + 4x - 3 f) p(x) = 3x 3 - 5x2 + x - 2 por q(x) = x - 2 Resposta: a) x + 5

b) x + 2

c) x - 4

d) x  – 5

e) x2 - 3x + 1

f) 3x2 + x + 3

13. (Unifesp SP) Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x 3  –2x2 + x  – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas

raízes é igual a a) 1.

b) 2.

c) 4.

d) 8.

e) 9.

Resposta: Respos ta: B

14. (UECE) O número de soluções da equação a) 0

b) 1

c) 2

x

x

5x



2

x

2



3

,é

d) 3

Resposta: D

15. (Mackenzie SP) Se a, b e c são as raízes da equação x 3  2x2 + 3x  4 = 0, então a)

2

 

3

b)

4

 

c)

3

7

 

d)

3

 

e)

4

3

1

1 a

1 

 b

1 

c

  vale

 

4

Resposta: D

16. (UFC CE) Os números reais a, b, c  e  e d  são  são tais que, para todo  x  real,  real, tem-se ax 3 + bx2 + cx + d = (x 2 + x  – 2)(x

 – 4)  – (x + 1)(x 2   – – 5x + 3).

Desse modo, o valor de b + d  é:  é: a)  –2

b) 0

c) 4

d) 6

e) 10

Resposta: D

17. (PUC SP) Sabe-se que a equação x 4 + x3   4x 2 + x + 1 = 0 admite raízes inteiras. Se m é a maior das raízes não inteiras dessa equação, então o valor de a)  – 6

b)  – 3

c) 0

m

1 m

d)

 é: 5

 

e)

2

5

 

Resposta: Respos ta: B

18. (UEPG PR) Em relação à equação x 3   – – 7x2 + 14x  – 8 = 0, assinale o que for correto. 01. A soma de suas raízes é 7. 02. Uma das raízes é nula. 04. As suas raízes constituem uma progressão geométrica. 08. O produto de suas raízes é um número ímpar. 16. Uma das raízes é imaginária. Resposta: 01 + 04 = 05

19. (UFSC SC)  As dimensões, em metros, de um para paralelepípedo lelepípedo retângulo são dadas pelas raízes do polinômio x3  14x2 +56x  64. Determine, em metros cúbicos, o volume desse paralelepípedo. Resposta:  64 Página | 15

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MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3

20. (UFMG MG) Sejam p(x) = ax 2 + (a  15)  15)x x +1 e

1 2 q ( x )  2x - 3x    polinômios com coeficientes reais.  b

Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. Então, é CORRETO afirmar que o valor de a + b é a) 3.

b) 6.

c) 9.

d) 12.

Resposta: C

21. (Fepecs DF) A soma das das raízes da e equação quação x3   – – 6x2 + 11x  – 6 = 0 é igual a: a)  – 3;

b)  –1;

c) 0;

d) 1;

e) 6.

Resposta: Respos ta: E

22. (UFTM) O polinômio P(x) = x3 + a . x2 + b . x + c tem conhecidos os valores P(1) =  – 4, P( –1) =  – 8 e P(2) =  – 5.

Sabendo-se que uma raiz de P(x) vale  – b . a , então o produto de suas 3 raízes é igual a a)  –3.

b)  –2.

c) 1.

d) 2.

e) 3.

Resposta: Respos ta: E

23. (UFViçosa MG) Se a, b, e c  são  são raízes reais do polinômio p( x ) = 20  x 3 + 20  x 2 + 9  x  +  + 1, então log(a2 + b2 + c 2), onde log denota logaritmo decimal, é: a) 2

b) 1

c) 2

d) 0

e) 1

Resposta: Respos ta: E

24. (Unioeste PR) O capital livre para investimentos, ou o capital de giro, de uma empresa (C) em função dos anos (t) de sua existência no mercado pode ser descrito pela função C(t)  t 3  14t 2  56t  64 . Sabe-se que no 4° ano a empresa apresentou um capital de giro igual a zero. Os demais anos, nos quais a empresa apresentou um capital de giro também igual a zero, somam a) 8.

b) 5.

c) 10.

d) 7.

e) 11.

Resposta: C

25. (UFJF MG) Sobre o polinômio

f ( x )  9x  3



15x 2



32x  12 , podemos dizer que:

a) possui uma raiz real e duas raízes complexas que não são reais. b) a soma de suas raízes é igual a 15. c) o produto de suas raízes é igual a 12. d) uma de suas raízes é positiva de multiplicidade 1. e) nenhuma de suas raízes é um número natural. Resposta: Respos ta: E

26. (UNESP) Sejam f(x) = x 3 + x2 - x + 2 e g(x) = f(x) - f(2). Calcule as raízes de g(x). Resposta: {2, -3 + 11i, -3 -11i} 27. (Mackenzie) Se k e p são, respectivamente, a soma e o produto das raízes da equação 4x 5-2x3+x2  –x+1 = 0, então k+p vale: a) -4 b) -2/5 c) +1/4 d) -1/4 e) 5/2 Resposta: D 28. (UFV) Sabendo-se que o número complexo z=1+i é raiz do polinômio p(x)=2x 4+2x2+x+a,calcule o valor de a.  Resposta: 15/2 29. (ITA) A divisão de um polinômio P(x) por x 2-x resulta no quociente 6x2+5x+3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) igual a) 1 por 2x+1 é b) 2 a: Resposta: Respos ta: E

c) 3

d) 4

e) 5  Página | 16

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MATEMÁTICA II –  ASSUNTO  ASSUNTO 3

30. (ITA) No desenvolvimento de (ax 2 - 2bx + c + 1)5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e -1 são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a a) -1/2. b) -1/4. c) 1/2. d) 1. e) 3/2. Resposta: A 

BONS ESTUDOS! 

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