18TK2 - TPN 2

Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salatić

11

 

3. RAVNO NAPREZANJE PLOČA ƒ

Ploče opterećene zapreminskim i površinskim silama ravnomerno raspoređenim po debljini ploče i paralelnim srednjoj ravni su napregnute u svojoj ravni. (zidni nosači, kontrafori, seizmička platna, čvorni limovi, i sl.)

ƒ

Presečne sile:

ƒ

Pretpostavke − Deformacija se odvija bez krivljenja. (Srednja ravan ploče postaje ravna i posle deformacije.) − Opterećenje ploče je ravnomerno raspoređeno po njenoj debljini. − Naponi su , i ravnomerno raspoređeni po debljini ploče. i u celoj oblasti identički su jednaki nuli. − Naponi ,

,

J Zapreminska sila J Površinska sila ƒ

,

, ,

zamenjuje se površinskom silom zamenjuje se linijskom silom

Uslovi ravnoteže

0

1

0

2

Dva uslova ravnoteže, tri nepoznate veličine: , , J Problem je statički neodređen, potreban je deformacijski uslov.

,

: ,

:

Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salatić

12

ƒ

Deformacija ploče

Veze komponenata deformacije sa presečnim silama 1 3 1 4 2 1

5 Uslov kompatibilnosti deformacija 6

Veze komponenata pomeranja sa presečnim silama 7 8 1 2

ƒ

9

1

1

Diferencijalna jednačina

,

Pet nepoznatih veličina: Pet jednačina:

,

,

,

(1), (2), (7), (8), (9)

Eliminacijom statičkih veličina iz uslova ravnoteže, uz jednačine (3)-(6), definiše se problem preko geometrijskih veličina (Metoda deformacije): 1

1 2

0

2

1

1 2

0

2

Eliminacijom deformacijskih veličina definiše se problem preko statičkih veličina (Metoda sila): 0 0 2 1 Za rešavanje sistema pogodno je primeniti naponsku (Airy-evu) funkciju

sa osobinom da je:

Uvodeći da se komponente opterećenja mogu izraziti kao parcijalni izvodi funkcije potencijala

:

Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salatić

13

  Dobija se jedna parcijalna diferencijalna jednačina četvrtog reda: 2

∆∆

1

1

∆

0

0

∆

Granični uslovi ƒ ƒ ƒ

Statički (površinski uslovi) Geometrijski Mešoviti (geometrijski i statički)

4. RAVNA DEFORMACIJA Brane, potporni zidovi, tuneli, ...

Tačke poprečnog preseka imaju samo komponente pomeranja u ravni xOy. 0;

0

Pa je: , ,

0; ƒ

0 ;

0

Diferencijalna jednačina ∆∆

1 2 1

∆

0

∆

14

Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salatić

5. LJUSKE

Ljuske – su površinske noseće konstrukcije sastavljene od zakrivljenih površi, čija je debljina mala u odnosu na druge dimenzije i koje prihvataju opterećenje podužnim (membranskim) silama i savijanjem. Ljuska je površinski nosač ograničen sa dve krive površi na odstojanju , za koje se pretpostavlja da je malo u odnosu na ostale dimenzije. Geometrijsko mesto tačaka na polovini debljine ljuske čine srednju površinu ljuske, koja po pravilu ima osu simetrije. Ravni koje prolaze kroz osu simetrije prave meridijanske preseke. Primena ljuski Tanke ljuske, kod kojih je odnos debljine ljuske ⁄ na jednicu. Može se postaviti kriterijum:

i radijusa krivine srednje površi 1⁄20.

Ostale ljuske koje ne zadovoljavaju kriterijum smatraju se da su debele ljuske.

, mali u odnosu

Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salatić

15

  Osnovne pretpostavke ƒ ƒ

Prava vlakna upravna na srednju površinu ljuske ostaje i posle deformacije prav, ne menjajući svoju dužinu. Normalni naponi u ravnima paralelnim srednjoj površini zanemaruju se u poređenju sa ostalim naponima.

Srednja površ ljuske Jednačina površi:

, ,

0

Eksplicitni oblik:

,

Vektorski oblik:

,

– vektor položaja tačke srednje površi ljuske ,

– parameri, krivolinijske koordinate

Glavne krivolinijske koordinate, određene su međusobno ortogonalnim linijama koje prolaze kroz posmatrnu tačku, sa osobinom da krivina linije ima minimalnu odnosno maksimalnu vrednost, u presečnoj ravni, upravnoj na srednju površ ljuske koja sadrži i tangentu na liniju u posmatranoj tački. Položaj bilo koje tačke ljuske određen je koordinatama i , i odstojanjem od srednje površi.

Rotaciona ljuska – Srednja površ ljuske je proizvoljna rotaciona površ.

1 2 2 4 5

Tipovi ljuski Proizvoljna rotaciona površ Sferna kupola Konusna ljuska Hiperbolična Cilindrična ljuska

Koordinate:

, , , , ,

Parametri , , , ,

Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salatić

16

ƒ

Komponentalni naponi i presečne sile

Na diferencijalno malom poluprecnicima glavnih krivina komponentalni naponi:

,

,

,

sa , razmatraju se

delu i

,

,

Presečne sile u tangencijalnoj ravni na srednju površ ljuske

Momenti savijanja, torzioni momenti i transverzalne i sile

Napomena: U opštem slučaju i Broj uslova ravnoteže je 6. Broj nepoznatih veličina je 10. ´ problem je statički neodređen (neophodno je posmatrati i deformaciju ljuske)

1.1

Bezmomentna teorija ljuski

Bezmomentno (membransko) naprezanje – Ako se u svim presecima ljuske javljaju samo sile, , , , , koje leže u tangencijalnoj ravni na srednju površ ljuske. Ovakva naprezanja se javljaju u svakom slučaju ako je ljuska toliko tanka da ne poseduje nikakvu otpornost na savijanje – savršeno savitljiva ljuska, membrana. Membrana ne može da primi ni sile pritiska zbog pojave izbočavanja, a može da primi samo membranske sile zatezanja.

Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salatić

17

  Uslovi da se javi membransko naprezanje i kod ljuski koje imaju konačno malu krutost na savijanje: ƒ Debljina ljuske mora da je mala, tako da odnos ⁄ u poređenju sa jedinicom takav da se može zanemariti. ƒ Srednja površina ljuske mora biti glatka. ƒ Opterećenje ljuski mora biti blago, bez skokova. ƒ Oslanjanje ljuski mora biti tako da se na krajevima javljaju samo membranske sile. ƒ Deformacija sračunata na osnovu određenih presečnih sila mora biti jednoznačno određena. ƒ Debljina ljuske je konstantna ili kontinualno promenljiva.

Primena Bezmomentne teorije ljuski: −

Postoji veliki broj slučajeva u praksi gde se može primeniti površinske nosače

−

Prvi korak za opšte rešenje problema momentne teorije ljuski

−

Ako se zanemari odnos ⁄ , onda je , pa se mogu postaviti tri uslova ravnoteže za tri nepoznate presečne sila, problem postaje statički određen.

Analogija sa linijskim lučnim nosačima Kod kružnih lučnih nosača sa radijalnim jednako raspodeljenim opterećenjem javljaju se samo aksijalne-normalne sile: To stanje je membransko, jer se ne javljaju ni momenti ni transverzalne sile. Za razliku od linijskih sistema, kod kojih je moguće za izabrani oblik ose nosača odrediti samo jedno opterećenje za koje se javlja membransko naprezanje, kod ljuski je moguće odrediti više vrsta opterećenja.

Slika: Membransko naprezanje cilindrične ljuske pri lokalnom naprezanju

Teorija konstrukcija 2 – predavanja dr Ratko Salatić

18

1.2

Momentna teorija ljuski

Kružna cilindrična ljuska pri rotaciono simetričnom opterećenju

Slika: Priimena metode sila za određivanje stanja savijanja rotaciono simetričnog opterećenog rezervoara

Duga cilindrična ljuska - Ljuska geometrijskih karakteristika da je veličina 1 √

3 1

LITERATURA: 1. 2. 3. 4. 5.

Nikola Hajdin, Teorija površinskih nosača, Građevinski fakultet u Beogradu, Beograd 1984. Karl Girkmann, Površinski sistemi nosača, Građevinska knjiga, Beograd 1965. Gothart Franc, Teorija armiranobetonskih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd 1979. Kurt Beyer, Statika armiranin betonskih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd 1963. S. Timošenko i S. Vojnovski-Kriger, Teorija ploča i ljuski, Građevinska knjiga, Beograd 1962.

5