181547382 Capitulo 04 Fracciones

ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI

La fracción a/ b es un ente matemático que puede definirse como una pareja ordenada de números enteros que resuelve la ecuación b.x = a , donde b �0 . Notación

Fracción:

Donde:

a b

+

Siempre los primeros, dejando huella

Podemos usar gráficos para representar este tipo de fracciones. En cada ejemplo que damos a continuación, determinaremos la fracción que representa la sección sombreada respecto de la figura total. Ejemplo:

a y b ��

1 7

b �0

A los términos de una fracción se les conocen como: a Numerador Denominador b

 

NOTA: Por la notación y la interpretación que se da a una fracción, muchos textos definen una fracción como: “Fracción es el cociente indicado de dos números enteros, cuyo divisor es distinto de cero”.

1 8 1 8

 

Son aquellas fracciones en las cuales el numerador es menor que el denominador. Ejemplo: 5 , 10

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

El todo: 7 cuadros (iguales) Parte: 3 cuadros 1

Cada cuadrado representa

7

del

total. La parte sombreada, expresada en 3 fracción representa los del total. 7

Ejemplo:

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

Fracciones Propias:

1 7

1 1 8 8 1 1 8 8

1 8 1 8

El todo: 8 secciones (iguales)

Parte : 5 secciones

Cada sección representa

1 8

del

área total. La sección sombreada representa los 5 del área total. 8

Ejemplo: 1 , 4

13 , 16

17 517

El todo: 27 cubitos (iguales) Parte: 2 cubitos sombreados

 Las fracciones propias son menores que la unidad.  La interpretación de este tipo de fracciones es una relación entre la parte y el todo en la que se incluye esa parte. Fracción =

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Parte Todo

 

Cada cubito representa

1 27

del

volumen total. Los cubitos sombreados representan 2 los del volumen total. 27 45

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

Fracciones Impropias:

NOTA:

Se dice de aquellas fracciones en las que el numerador es mayor que el denominador.

Como leer un número mixto

Ejemplo:

5 un quinto”

17 , 3

8 , 7

13 , 5

238 17





 Toda fracción impropia es mayor que la unidad.  Estas fracciones sólo pueden adoptar una interpretación como expresión de una medida. Fracción =

Unidades consideradas Patrón de medida

En el ejemplo que damos a continuación determinaremos la fracción que representa la sección sombreada respecto de una de las figuras que se toma como unidad de medida.



71

Se lee:

“Siete enteros

17 2 Se lee: “Diecisiete 3

enteros dos tercios”

51

Se lee:

7

“Cinco enteros

un séptimo”  El número mixto es la composición de un número entero y una fracción propia, es por esto, que se puede representar como:

ac

=

b

a 

c b

Ejemplo: 2 3

5 = 5

Ejemplo:

2 3

Unidades a considerar 10 cuadros

7 cuadros (iguales) Patrón de medida



La fracción que representa el área 10 sombreada es respecto de la 7 figura tomada como patrón de medida.

Transformar una fracción impropia a número mixto Ejemplo: Transformemos Se divide Denominador

Número Mixto Es una forma de representar una fracción impropia. Ejemplos: 16 3

5

1 3

20 7

2

6 7

19 2

9

1 2

16 5 1 3

Representación 1 3 5

Parte entera Numerador

Transformar un número mixto a fracción impropia Ejemplo: Transformar 3

1 a una fracción 5

Método práctico Representación

31 

46

16 a número mixto 5

5

= 

( 3 �5) +1 5

16 5

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Siempre los primeros, dejando huella Representación algebraica de Fracciones Equivalentes

Fracciones Aparentes: Dícese de las fracciones en las cuales tanto el numerador como el denominador son iguales. Ejemplos: 3 , 3

48 , 48

315 , 315

1238 1238

Fracciones aparentes  El valor de una fracción aparente es la unidad.

Fracciones Heterogéneas: Diremos que el grupo de fracciones son heterogéneos, cuando sus denominadores son todos diferentes. Ejemplo: 3 , 5

17 , 14

23 , 21

777 100

a una fracción dada b cualquiera. Si queremos representar algebraicamente una fracción a equivalente a , se haría de la b siguiente manera: Sea

ak bk donde: “k” es número entero k �0 NOTA Si se desea obtener fracciones equivalentes a una fracción dada cualquiera, esto se puede lograr multiplicando al numerador y al denominador por un mismo número entero distinto de cero.

Fracciones heterogéneas

Fracción Irreductible:

Fracciones Homogéneas: Al grupo de fracciones les denominamos homogéneos, cuando sus denominadores son todos iguales. Ejemplo: 1 , 7

12 , 7

20 , 7

333 7

Diremos que una fracción es irreductible o irreducible si el numerador y el denominador son primos entre sí (Pesi), es decir, ambos numerador y denominador, no poseen divisores comunes. Ejemplos: 3 , 11

Fracciones homogéneas

Dos fracciones o más fracciones son equivalentes, si éstas representan el mismo valor. Ejemplo: 5 8 10 16 5 10 y representan 8 16 el mismo valor, por lo tanto, estas fracciones son equivalentes.

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57 21

Fracciones irreducibles

Fracciones Equivalentes:

Como se observa,

6 , 23

Fracción Reductible: A la fracción en la que su numerador y denominador tienen divisores comunes, se le denominará “fracción reductible o reducible”. Ejemplos: 4 , 16

9 , 27

30 42

Fracciones reducibles NOTA: “De toda fracción reductible se puede obtener fracciones equivalentes 47

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO

irreductibles.” Esto se logra simplificando los factores comunes de ambos términos.

1 2 , 3

7 , 5

10 , 7

1 6

Fracciones ordinarias

Ejemplo: La fracción

18 es una fracción reductible 66

Pues, 18 y 66 poseen divisores propios comunes (2 y 3), por lo tanto, se podrá simplificar hasta llegar a una fracción equivalente irreductible.

Propiedades de las Fracciones Ordinarias:



3

9

Es decir:

18 = 66

18 66

3 11

=

Ejemplo:

33 11

Son equivalentes

Fracción Inversa: Dada una fracción cualquiera no nula.



A toda fracción que al multiplicarla con la fracción dada resulte la unidad, se le denominará “fracción inversa”. Una forma práctica de obtener una fracción inversa de la fracción dada, es simplemente invertir la fracción; esto es, el numerador pasa a ser el denominador y el denominador a ser el numerador. A esta fracción se le denomina como la fracción recíproca de la fracción inicial.

19 5

19 5

En un grupo de fracciones que tienen sus numeradores iguales, el mayor es aquel que tiene menor denominador. 5 5 5 ; ; 6 9 16

La fracción mayor de los tres es:



3 14 Una fracción inversa de dicha fracción es:

5 6

Si a los términos de una fracción propia, se les suma (o resta) un mismo número, la fracción resultante es mayor (o menor) que la fracción original. Ejemplo: 5 12 Agreguemos 2 al numerador y al 5 2 7 = denominador 12  2 14

14 3

Sea la fracción propia

Ordinarias

o

Fracciones

A aquellas fracciones que sus denominadores no son potencias de 10 se las denominan “fracciones ordinarias o comunes”.

48

La fracción mayor es:

De la sucesión:

Dada la fracción

Ejemplos:

7 , 5

Ejemplo:

Ejemplo:

Fracciones Comunes:

6 , 5

De la sucesión,

18 3 � 66 11

Por lo tanto:

En un grupo de fracciones homogéneas (con iguales denominadores), el mayor es aquel que tiene mayor numerador.

Se tiene:



5 7 < 12 14

Si a los términos de una fracción impropia, se les suma (o resta) un mismo número, la fracción es menor (o es mayor) que la fracción original. www.antorai.com.pe

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Siempre los primeros, dejando huella



11 Sea la fracción impropia , 6 restemos 3 al numerador y al 11 - 3 8 = denominador: 6- 3 3 Tenemos que:

8 3

<

Ejemplo: 125 = 125,000...0

11 6

Fracciones Decimales: Es toda fracción (o quebrado) que tiene por denominador potencias de 10.



Ejemplos: 3 9 17 346 , , , 10 10 100 1000

1 10 1 100 1 1000

-2

23,578 = 2357,8 �10



: un décimo : un centésimo

Si en un número natural o decimal se corre el punto “n” lugares a la izquierda, el número queda respectivamente multiplicado por n 10 . Ejemplo:

: un milésimo

3

23,578 = 0,023578 �10

NÚMEROS DECIMALES El número decimal es el resultado de efectuar la división con los términos de la fracción decimal.

Representar en su notación científica A continuación presentamos la forma como se debe representa un número decimal en notación científica: 

Ejemplos: 3 = 0,3 10 187 = 0,0187 10000

El valor de un número decimal no se altera escribiendo a la derecha cualquier número de ceros. Ejemplo: 0,0187 = 0,0187000...

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Si un número es múltiplo de 10 Se coloca el número entero que no tiene ceros a la derecha y se le multiplica con la potencia de 10 elevada al exponente igual al número de ceros de derecha del número. Ejemplos: * 10200 = 102�102 * 16000 = 16 �103

PROPIEDADES



Si en un número natural o decimal se corre el punto “n” lugares a la derecha, el número queda respectivamente multiplicado por -n 10 . Ejemplo:

Fracciones decimales Lectura de Fracciones Decimales

Todo número natural puede considerarse como decimal, escribiendo a su derecha un punto seguido de cualquier número de ceros.

* 10000 = 1�104 

Si un número es decimal menor que 1 Se escribe el número entero de la parte decimal y se le multiplica con la potencia de 10 elevada al exponente negativo del número de cifras de la parte decimal. 49

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

Ejemplos: * 0,2 = 2�10-1 * 0,12 = 12 �10-2 

Si un número es decimal mayor que 1 Se toma todo el número sin la coma y se le multiplica con la potencia de 10 elevado a la potencia negativa del número de cifras de la parte decimal. Ejemplos: * 1,2 = 12 �10-1 * 2,25 = 225 �10-2 * 3,4618 = 34618 �10-4

50

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Siempre los primeros, dejando huella Hallar la generatriz de 0, � 13

 Fracción Generatriz: Es la expresión fraccionaria del número decimal. FRACCIÓN DECIMAL EXACTA:



Ejemplos: 2,45 ; 0,48 ; 125,0987 Fracciones decimales exactas La generatriz de una fracción decimal exacta

Fracción generatriz:

Número decimal sin la coma

678 Fracción generatriz: 2 547 1000 {

Tantos ceros como cifras tenga en la parte decimal

NOTA: Si la fracción que se forma es una fracción reducible, se procederá a simplificar para obtener una fracción irreductible.

(El

Generatriz de un decimal periódico puro Para hallar la fracción generatriz, se toma como numerador la diferencia entre el número decimal (sin considerar la coma) y la parte entera; en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo.

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4419 999

Ejemplos: 

� 0,12573



� 0,523

Periodo: 573 Parte no periódica:12 Periodo: 23 Parte no periódica: 5

Generatriz de un decimal periódico mixto Para hallar la fracción generatriz, se pone en el numerador la diferencia entre el número decimal sin considerar la coma y la parte no periódica y, como denominador, tantos nueves como cifras tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Ejemplos: 

Hallar la fracción generatriz de � 0,4 06 Fracción generatriz:

406 - 4 402 = = 990 990 

201 445

� Hallar la generatriz de 4,1273 Fracción generatriz:

41273 - 412 = 9900

40861 9900

(El periodo

es: 483)

Ejemplos:

4423 - 4 = 999

Son aquellas fracciones decimales que tienen cierto número de dígitos a la derecha del punto decimal, además de un número de cifras que se repiten periódica e indefinidamente.

FRACCIÓN DECIMAL PERIÓDICA PURA Son aquellas fracciones decimales que en su parte decimal están formadas por bloques de dígitos que se repiten indefinidamente y periódicamente a partir del punto decimal.

13 99

FRACCIÓN DECIMAL PERIÓDICA MIXTA

Para hallar la fracción generatriz, se coloca en el númerador el número decimal sin considerar la coma y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Ejemplo: Hallar la fracción generatriz de 2,547

13 - 0 = 99

� Hallar la generatriz de 4,423



Es aquel número decimal que posee un número limitado de dígitos en su parte decimal, el último de los cuales necesariamente es distinto de cero.

Ejemplos: 0, � 3 = 0,33333...  periodo es: 3)  0, � 483 = 0,483483...

Fracción generatriz:

M.C.D. Y M.C.M. DE FRACCIONES El M.C.D. de varias fracciones es igual al M.C.D. de los numeradores entre el M.C.M. de los denominadores. 5 15 y Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 32 11 5 �5 15 � M.C.D.(5 ; 15) M.C.D.� , �= = 352 �32 11 � M.C.M.(32 ; 11) 51

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO

El M.C.M. de varias fracciones es igual al M.C.M. de los numeradores entre el M.C.D. de los denominadores. 5 15 y Ejemplo: Hallar el M.C.M. de 32 11 �5 15 � M.C.M.(5 ; 15) 5 M.C.M.� , �= = = 5 �32 11 � M.C.D.(32 ; 11) 1

1 4 2 5 4 6  x = � � � �7 11 3 7 9 11 Resolviendo: 4 80 � x= 11 99 � x = 80 - 36 = 44 99 99

�

x=

�

x=

80 4 99 11 4 9

Rpta.

Problema 31

Problema 11 Cuánto le falta cociente de 2 3 2 a) 9 1 d) 2

a 2 3 para ser igual al entre 3 4 . 2 3 b) c) 3 2 7 e) 3

Solución: Sea “x” el número pedido, del enunciado podemos establecer la siguiente ecuación: 2 2 x= 3 3 3 4 Resolviendo: 2 2 �4 x= 3 3 �3 8 2 x= 9 3

2 8 x= 3 9 8- 6 x= 9

� � x=

2 9

Rpta.

Problema 21 4 para ser igual a 11 5 2 4 6 los de los de los de los de 7. 7 3 9 11 3 9 4 a) b) c) 7 4 9 7 5 d) e) 3 3 Hallar lo que le falta a

Solución: Sea “x” lo que le falta, del enunciado establezcamos la siguiente ecuación:

Al retirarse 14 personas de una reunión, se 2 observa que ésta disminuye a sus 9 partes del número de personas que habian al inicio. ¿Cuántas personas quedaron? a) 2 b) 4 c) 5 d) 18 e) 9 Solución: Sea “n” el número de personas al inicio, como se retiran 14 personas, éstas equivalen a decir que: n-

Resolviendo: 9n - 2n 7n � � n=18 = 14 = 14 9 9 El número de personas que quedaron: 2 2 n = ( 18 ) = 4 Rpta. 9 9 Problema 41 Determinar la fracción que dividida por su 1369 inversa nos dé . 2304 13 41 37 a) b) c) 17 91 48 17 15 d) e) 13 13 Solución: a Sea la fracción, del enunciado: b a b = 1369 b 2304 a Resolviendo: a

2

b

2

=

37

2

48

2

2

2

�a � �37 � � �= � � �b � �48 �

�

De donde: 52

2 n = 14 9

a = b

37 48

Rpta.

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Siempre los primeros, dejando huella a= 4

Problema 51 ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador? 3 4 1 a) b) c) 7 9 9 1 5 d) e) 5 3 Solución: a Sea la fracción, del enunciado que dice: b “Resulta triplicada si se agrega a sus dos términos, su denominador”, tenemos: a b �a � = 3� � b b �b � Resolviendo: a  b 3a � = a  b = 6a 2b b � 1b = 5a Identificando valores tenemos: a=1

y

b= 5

Luego, la fracción original es: a 1 \ = Rpta. 5 b

Luego, la fracción original es: a 4 \ = Rpta. 9 b Problema 71 Hallar una fracción tal que si se le agrega su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la misma fracción multiplicada por 113 . 49

6 7 9 d) 10

7 8 10 e) 11

a)

b)

c)

ff

3

=f

3

113 49

�

Resolviendo: 3

3

�

49f = 64f

�

f=

7 8

3

Rpta.

Problema 81 2 , tal 5 que la suma de los cuadrados de sus términos sea 1 044. 22 8 10 a) b) c) 55 20 25 12 14 d) e) 30 35

Si a los términos de una fracción ordinaria irreducible, se le suma el cuádruple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original? 3 4 1 a) b) c) 7 9 9 1 5 d) e) 5 3

Hallar una fracción equivalente a

Solución: a Sea la fracción, del b plantemos la siguiente

Sea la fracción equivalente: enunciado

� 4 b = 9a tenemos:

Solución: 2k 5k De la condición del problema, tenemos:

ecuación:

a  4b a a - = b  4b b b Resolviendo: a  4b = 5b

8 9

Solución: Sea "f" la fracción pedida, del enunciado podemos plantear:

49f  49f = 113f 49 2 =f 64

Problema 61

b= 9

y

( 2k ) 2  ( 5k ) 2 = 1 044 Resolviendo: 2

2

4k  25k = 1044

�a � 2� � �b �

2

�

a  4b = 10a

Identificando valores

k = 36 Por lo tanto:

�

2

29k = 1044 k= 6

�

La fracción pedida es:

2(6) = 5(6)

12 30

Rpta

Problema 91 www.antorai.com.pe

53

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

Los 3/5 de “a” es “b” y los 8/9 de “b” es “c”. ¿Qué parte de “a”es “c”? 8 8 3 a) b) c) 15 23 25 4 11 d) e) 15 13 Solución: Traduciendo los enunciados 3 a = b …(I) 5

Los 3/5 de “a” es “b”:

8 b= c 9

Los 8/9 de “b” es “c”: …(II)

Sea “ f ” la parte (fracción) que cumple: f �a = c …(IV) De (I), despejando “a” obtenemos: a=

5b 3

…(V)

Reemplazando (V) y (II) en (IV), conseguimos: 5b 8b f� = 3 9 Rpta.

� f = 3 �8 5 �9

� f=

8 15

Problema 101 ¿Cuánto debemos quitar a los 2/3 de los 5/7 de los 6/5 de los 3/4 de 21 para que sea igual a la mitad de 1/3 de 2/5 de 3/4 de 14? a) 8,0 b) 8,1 c) 8,2 d) 8,3 e) 8,4

a) día d)

2 día 3 3 día 4

2 5 6 3 1 1 2 3 � � � 21 - x = � � � �14 3 7 5 4 2 3 5 4 83 x= 10

Problema 111 Durante los 7/9 de un día se consumen los 14/27 de la carga de una bateria. ¿En cuánto tiempo se consume la mitad de la carga?

c)

2 5

5 día 7

Sea “x” el tiempo en que se consume la mitad de la carga y “C” la carga de la batería 7 14 día � C 9 27 1 C � x día 2 Multiplicando m. a m. 7 1 14 � = x � 9 2 27 Efectuando: � x = 3 día Rpta. x = 27 �7 4 14 �9 �2 Problema 121 Una persona gasta su dinero de la siguiente manera: los 2/3 en alimentos, los 3/7 del resto en pasajes, los 8/35 del resto en ropa y lo que queda que es S/. 54, los ahorra. Determinar qué cantidad de dinero destina esa persona para los alimentos. a) S/. 345 b) S/. 245 c) S/. 300 d) S/. 500 e) S/. 700 Solución: Resolvamos este problema con un método práctico. Sea “M” el monto de dinero que tenía al principio, Alimentos

Sea “x” lo que debemos quitar, de acuerdo al enunciado planteamos:

54

e)

1 día 4

Solución: Para resolver este problema vamos a utilizar el método de la regla conjunta.

Solución:

Reduciendo y resolviendo: 7 � 90 - 10x = 7 � 9- x = 10 x = 8,3 Rpta.

b)

Gasta : Queda:

Pasajes

Ropa

2 3 8 3 7 35 � � � 1 4 27 � � � M = 54 3 7 35

El dinero que tenía al principio es: 3 �7 �35 �54 M= 4 �27 En alimentos el dinero que destina es:

2 M 3

2 �3 �7 �35 �54 � � �= 7 �35 = S /. 245 Rpta. 3 � 4 �27 � Problema 131 Una piscina está llena hasta sus 3/5 partes, si de dicha piscina se sacaran 2000 www.antorai.com.pe

ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI L, quedaría reducida a sus 4/7 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenar la piscina? a) 28 000 b) 34 000 c) 15 000 d) 20 000 e) 10 000 Solución: Sea “V” la capacidad en litros de la piscina Faltan: V

2 V 5

2000 litros 4 V 7

3 V 5

Del enunciado y deduciendo mediante el 3 4 V - V = 2 000 gráfico, tenemos: 5 7 Resolviendo: 21V - 20V � = 2 000 V = 70 000 35 La capacidad de la piscina es: 70 000 litros 2 Falta para llenar los V : 5 2 ( 70 000) = 28 000 Rpta. 5

Siempre los primeros, dejando huella 2 V 2 8 = Así, Fracción = Rpta. 5 5 V 8 Problema 151 Lolo reparte su fortuna entre sus 4 hijos, al mayor le da la mitad, al segundo le da 1/3 del resto, al tercero le da 1/4 de lo que queda. Si el último recibió S/. 600, ¿cuánto recibió el segundo? a) S/. 200 b) S/. 400 c) S/. 500 d) S/. 100 e) S/. 180 Solución: Sea “F” la fortuna a repartir. 1er. hijo

2do. hijo

3er. hijo

Después de

repartir 1 1 1 Reparte: al 3er. hijo 2 3 4 le queda: � � � 1 2 3 1F Queda: � � �F = 2 3 4 4 Lo que le toca al cuarto hijo es: 1 F = 600 4 Luego, la fortuna es: F = 2 400

Problema 141 Tengo un vaso lleno de vino, bebo la sexta parte, luego bebo 1/4 de lo que queda. ¿Qué fracción de lo que queda debo volver a beber para que sobren los 3/8 del vaso? 1 1 2 3 5 a) b) c) d) e) 7 5 5 5 2 Solución: Sea “V” la capacidad del vaso lleno de vino Veamos cuánto me queda después de beber por segunda vez. 1ra. vez

Bebe: Queda:

2da. vez

1 1 Queda en 6 4 el vaso � � 5 3 5 V � �V = 6 4 8

Como, al final sobra en el vaso los:

3 V 8

Quiere decir, que he bebido: 5 3 2 V- V = V 8 8 8 Se pide la fracción de lo que queda que es lo que he bebido. Es decir: he bebido Fracción = de lo que queda

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El segundo recibe: 1 �1 � � �2 400 �= S /. 400 Rpta. 3 �2 � Problema 161 Un jugador en el 1er. juego pierde 1/3 de su dinero, en el 2do. pierde 1/4 del resto y en el 3er. pierde 1/5 del nuevo resto; si al final se quedó con S/. 200, ¿con cuánto empezó a jugar? a) S/. 200 b) S/. 400 c) S/. 300 d) S/. 100 e) S/. 500 Solución: Sea “M” el dinero que tiene al inicio del juego. 1er. juego 2do. juego 3er. juego

Pierde: Queda:

Despueé de 1 1 1 perder en el 3er. 3 4 5 juego le queda: � � � 2 3 4 2M � � �M = 3 4 5 5

Como al final se quedó con S/. 200, es decir: 55

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

2 M = 200 5 Luego, empezó a jugar con: M = S/. 500 Rpta. Problema 171 Una tela pierde al ser lavada 2/9 de su largo y 1/5 de su ancho. Cuántos metros de tela debencomprarse para obtener después de lavarla 224 m2 , si el ancho de la tela original era de 10 m. a) 26 b) 30 c) 36 d) 40 e) 50 Solución: Grafiquemos el problema: 1 (10) 5

ANTES DE...

DESPUÉS DE... 2 4 ( 10) 224 m 10 5 2 7 L L L 9 9 Se sabe que el área de la tela después de lavada debe ser 224 m2 , por lo tanto: 7 4 L � ( 10) = 224 9 5 Resolviendo, tenemos: 224 �9 �5 �10 � L = 36 Rpta. L= 7 �4

Pierde

En este tipo de problemas, se homogeneiza lo hecho por cada objeto (caños, grifos) o personas a “un día“, “1 minuto”, etc., para poder solucionar el problema dado. Por ejemplo, si nos dicen que: “una piscina es llenada por un caño en 8 horas”, entonces debemos considerar que en 1 hora la piscina tendra agua hasta 1/8 parte.

PROBLEMA PROBLEMA

Un tanque puede ser llenado por un caño en 3 horas y por un segundo caño en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque, si los 2 caños funcionan abiertos simultáneamente?

Solución : Homogeneicemos los datos: * En una hora, cada caño llena: 1 1er. caño: del tanque 3 1 2do. caño: del tanque 4 * En una hora, ambos caños hacen: 1 1  del tanque 3 4 7 12

Es decir,

del tanque

* El tanque completo lo hace en: Problema 181 Se tienen 15 botellas llenas de gaseosa cada una con capacidad de 4/3 de litro. Si se derraman los 3/5 de las 15 botellas, ¿cuántos litros quedan? a) 8 b) 6 c) 4 d) 5 e) 7 Solución: * La cantidad de gaseosa que se tiene en �4 � 15.� L �= 20L las 15 botellas es: �3 � 3 * Si se derraman los de las 15 botellas, 5 2 quedan los de 20 L, entonces 5 quedarán: 2 ( 20 L ) = 8 Rpta. 5

(RENDIMIENTOS) 56

12 7

hora. 12 = 7

5 1 hora Rpta. 7

Problema 11 Ana hace un trabajo en 15 días y Mary lo hace en 30 días. ¿En cuánto tiempo harán dicho trabajo juntas? a) 10 días b) 12 días c) 15 días d) 20 días e) 25 días Solución: Sigamos los pasos anteriores, homogeneicemos los datos: * En un día, ¿qué parte del trabajo hacen? 1 Ana: del trabajo. 15 1 Mary: del trabajo 30 * En un día, ambas chicas harán del trabajo www.antorai.com.pe

ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 1 1  del trabajo 15 30 Es decir, 2 1 1 = del trabajo 30 10

Siempre los primeros, dejando huella Aplicando la fórmula:

* El trabajo completo lo harán: días 10 días

10 1

Rpta.

OTRO MÉTODO Para este tipo de problema es recomendable aplicar la siguiente fórmula: P 1 1 1 1 =   K  t t1 t2 t3 tn Donde: P: Parte de la tarea a desarrollar. t: Tiempo que tardan en hacer toda la tarea. t1, t2, t3,…, tn : Tiempos que demoran en hacer la tarea individualmente. Apliquemos este método en el ejercicio anterior Datos: P = 1 (es todo el trabajo) t1 = 15 días Ana: Mary: t2 = 30 días

t= ?

Reemplazamos estos valores en la fórmula 1 1 1 � 1= 1 =  t 15 30 t 10 10 = 10 días Rpta. \ t= 1 Problema 21 Una piscina puede ser llenada por un primer caño en 5 horas y por un segundo caño en 8 horas. En cuántas horas se llenará el tanque completamente si ya posee agua hasta su séptima parte y funciona un tercer caño, el cual lo desagüa completamente en 4 horas (los 3 caños funcionan simultáneamente). 1 3 1 a) 13 b) 11 c) 13 7 7 9 1 1 d) 6 e) 15 9 3 Solución:

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P 1 1 1 =  t t1 t2 t3

Con “P” es la parte que falta llenar. 1 Si se llenó hasta , entonces faltarán: 7 P=

6 7 t1 = 5 horas t2 = 8 horas t3 = 4 horas

1er. caño: 2do. caño: 3er. caño:

Reemplazamos estos valores en la fórmula 6 6 13 10 � = 7 = 1 1- 1 7t 40 40 t 5 8 4 6 3 = 7t 40

�

t = 11

3 horas 7

Rpta.

Problema 31 Dos grifos llenan juntos un estanque en 30 horas, si uno de los grifos fuera desagüe, se tardaría en llenar el estanque 60 horas. En cuánto tiempo uno de los grifos llenará el estanque, si éste está vacío. a) 30 horas b) 90 horas c) 40 horas d) 50 horas e) 45 horas Solución: Los grifos y los tiempos que se demoran en llenar el estanque individualmente son: 1er. grifo: “x” horas 2do. grifo: “y” horas Si ambos grifos llenan el estanque: 1 1 1  = x y 30 Si el 2do. grifo fuera desagüe: 1 1 1 - = x y 60 Resolviendo: 1 1 1  = x y 30 1 1 1 = x y 60 1 3 �1 � 1 2� �=  = �x � 30 60 60 57

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

2 3 = x 60

�

x=40

De la ecuación (II), reemplazando el valor de “x”, y resolviendo tenemos: 1 1 1 1 1 1  = � = 40 y 30 y 30 40 1 4- 3 1 1 = � = � y = 120 y 120 y 120

Solución : Para su mejor entendimiento, construiremos un gráfico, veamos:

H h1

h2

Tomando en cuenta las alternativas: 40 horas

h3

Rpta. H : Altura de donde se deja caer la pelota de ping pong

En este tema se debe tener en cuenta que una pelota, bola o esfera cae sobre una superficie plana y los rebotes se dan sobre un mismo punto.

Según el enunciado gráfico, tenemos: 2 h1 = H 5 2 h2 = h1 5 2 h3 = h2 5

h2 =

h1 h2 g

h3 =

P

Este gráfico lo representaremos de otra manera para su mejor entendimiento:

16 =

H

g

g

P

g

P

…(I) … ( II ) … ( III )

h3

g

P

2 �2 � � H � … ( IV ) 5 �5 �

h4

g

P

2� 2 �2 � � � H� � …(*) 5� 5 5 � � � �

Por dato: h3 = 16 cm , reemplazando en ( * ) 16 =

P

el

Reemplazamos ( IV ) en ( III )

h3

h2

observando

Reemplazamos ( I ) en ( II )

H

h1

y

8 H 125

2. 2. 2. H 5 5 5

�

H= 250 cm Rpta.

MÉTODO PRÁCTICO Si la fracción que se eleva en cada rebote es constante se puede utilizar la siguiente fórmula:

Recordar que el punto "P" no se desplaza a ningun lado

PROBLEMA PROBLEMA

Se hace caer una pelota de ping pong sobre una mesa desde cierta altura, si se conoce que en cada rebote se eleva 2/5 de la altura anterior. Hallar la altura inicial si se conoce que en el tercer rebote alcanzó una altura de 16 cm. 58

n

hn = f × H Donde: H : Altura inicial, de la cual se suelta o se tira la pelota. www.antorai.com.pe

ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI f : Fracción que se "eleva" en cada rebote. (Esta fracción es constante).

Siempre los primeros, dejando huella Datos: Fórmula: 3 5

n : Número de rebotes.

f=

hn : Altura que se eleva en el ené-simo rebote (altura final).

n=3

Aplicación: Para el problema anterior Datos:

hn = f �H

n=3

�2 � 16 = � � �H �5 �

3

hn = 16

Efectuando: H = 250 cm Rpta.

Problema 1 Se deja caer una pelota desde una altura de 81 cm, si en cada rebote que da, alcanza una altura que es los 2/3 de la altura anterior. ¿Qué altura se elevará la pelota en el cuarto rebote? a) 10 cm b) 14 cm c) 16 cm d) 18 cm e) 200 cm

Problema 3 Se deja caer una pelota desde 31,25 m si en el quinto rebote que dio alcanzó 2,43 m, además en cada rebote que da pierde la misma fracción que la altura anterior. Hallar la fracción que alcanza en cada rebote que da. 1 2 8 a) b) c) 2 3 9 1 3 d) e) 7 5 Solución: Datos: H=31,25

n=5

2,43 = ( f ) �31,25

hn = f �H

4

�2 � h4 = � � �81 �3 � Efectuando: h4 = 16 cm Rpta.

Problema 2 Una bolita de caucho se deja caer desde cierta altura y en cada rebote pierde 2/5 de la altura anterior, si en el tercer rebote alcanzó una altura de 27 cm. ¿De qué altura se dejó caer la bolita de caucho inicialmente? a) 100 cm b) 125 cm c) 150 cm d) 175 cm e) 200 cm Solución: En este problema se debe tener cuidado, porque en cada rebote pierde 2/5 de la altura anterior, esto significa que en cada rebote se elevará 3/5. www.antorai.com.pe

5

Operando: f=

n

Reemplazando:

n

hn = f �H

Reemplazando

Fórmula:

2 3

Fórmula

f=? h5 = 2,43

H=81 cm

h4 = ?

h3 = 27

�3 � 27 = � ��H �5 � Efectuando: H = 125 cm Rpta.

Reemplazando:

n=4

Reemplazando:

n

2 f= 5

f=

hn = f �H

3

Fórmula:

H=?

Solución: Datos:

n

H=?

3 5

Rpta.

Problema 4 Se deja caer una pelota desde 20,48 m en cada rebote que da alcanza 1/2 de la altura anterior. ¿Cuántos rebotes ha dado la pelota, si la última altura que alcanzó es de 0,04 m? a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 Solución: Datos: H=20,48 f=

1 2

Fórmula: n

hn = f �H

Reemplazando n

n=? hn = 0,04

�1 � 0,04 = � ��20,48 �2 � Operando, tenemos n = 9 Rpta.

Distancia de la trayectoria recorrida hasta un determinado número de rebotes 59

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO

H ( 1+ f - 2f D Trayectoria = 1- f

n

)

Donde: H : Altura inicial n : Número de rebotes f : Fracción que se "eleva" en cada rebote Problema 5 Una bolita de caucho se deja caer desde cierta altura y en cada rebote se eleva 3/5 de la altura anterior, si en el cuarto rebote alcanzó una altura de 81 cm. Hallar la longitud de la trayectoria que hizo la bolita de caucho desde que se dejó caer hasta chocar al suelo por cuarta vez. a) 2095 cm b) 2345 cm c) 2445 cm d) 2218 cm e) 2365 cm

1

En el problema anterior, ¿qé distancia recorrera la bolita de caucho hasta que ésta se detenga por completo? a) 1200 b) 2750 c) 2500 d) 2950 e) 2540 Solución: Aplicaremos la fórmula dada. Datos:

Fórmula:

H = 625 3 f= 5

Dhasta detenerse =

H ( 1 f ) 1- f

Reemplazando:

Dhasta detenerse

� 3� 625� 1 � � 5� = 3 15 = 2500 cm

Rpta.

Solución: Hallando el valor de “H” Datos:

Fórmula: n

H=? f=

hn = f �H

3 5

Reemplazando: 4

n=4

�3 � 81 = � � �H �5 �

h4 = 81

Efectuando: H = 625 cm

Aplicaremos la siguiente fórmula: D Trayectoria =

H ( 1  f - 2f 1- f

n

)

…(I)

Reemplazando en ( I ) 4 � 3 �3 �� 625 � 1  - 2� �� �5 �� � 5 D Trayectoria = 3 15 625  375 - 162 = 2 5 = 2095 cm Rpta.

Distancia total recorrida hasta detenerse Dhasta detenerse =

H ( 1 f) 1- f

PROBLEMAS VARIADOS 1. Si a los términos de una fracción ordinaria irreducible se les suma el cuádruple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original? a) 3/5 b) 3/8 c) 3/7 d) 4/5 e) 4/9 2. Si son las 2 p.m. ¿Qué parte del día falta por transcurrir? a) 2/5 b) 5/8 c) 3/7 d) 5/12 e) 7/12 3. Los 3/5 de “P” es “Q” y los 8/9 de “Q” es “R”. ¿Qué parte de “P” es “R”? a) 2/5 b) 8/15 c) 3/5 d) 4/11 e) 2/9 4. Gloria llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 de la película, 6 minutos después llega Patty y sólo ve los 4/5. Si la película empezó a las 4 p.m., ¿a qué hora termina? a) 5:20 p.m. b) 5:30 p.m. c) 5:15 p.m. d) 5:18 p.m. e) 5:17 p.m.

Problema 6 60

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ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 5. Con los S/.65 que tenía compré libros por S/.15 y gasté en un traje los 7/10 del resto. ¿Cuánto me queda? a) S/. 15 b) S/. 20 c) S/. 12 d) S/. 24 e) S/. 30 6. De un salón de la academia sólo asisten a un examen los 2/3 de los alumnos, y de éstos aprueban los 3/7; si los desaprobados son 24. ¿Cuántos alumnos hay en dicho salón? a) 65 b) 80 c) 72 d) 63 e) 75 7. Un tanque de gasolina está lleno en sus 3/5 partes. Si se sacara 100 galones quedarían sus 4/7 partes. ¿Cuántos galones faltan para llenar el tanque? a) 1400 b) 2100 c) 2800 d) 6300 e) 7500 8. En un bus donde viajaban 100 personas ocurre una volcadura. De los sobrevivientes la onceava parte eran niños y la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos casados biajaban en totaln? a) 15 b) 9 c) 45 d) 55 e) 5

Siempre los primeros, dejando huella entraron en acción, más 820. ¿Cuántos hombres se conformaban este ejército? a) 4200 b) 3000 c) 2400 d) 4000 e) 2800 13. Los 2/3 de los miembros de un club son mujeres y la cuarta parte de los varones están casados. Si hay 9 varones solteros, ¿cuántas mujeres hay en total? a) 36 b) 20 c) 48 d) 30 e) 24 14. Para realizar una encuesta las horas de trabajo se han distribuido de la siguiente manera: 1/3 del total para observar, 1/4 del total para tomar datos, 1/5 del total para procesar los datos, finalmente 65 horas para imprimir los resultados. ¿Cuántas horas de trabajo se utilizarán en total? a) 300 b) 240 c) 250 d) 360 e) 420 15. Una camioneta cargada totalmente con arroz pesa 5300 kg., pero si sólo lleva los 5/7 de su capacidad pesa los 9/5 de la camioneta vacía. Hallar el peso de la camioneta vacía, en toneladas. a) 3,2 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 1,5

9. Un recipiente se llena con 60 litros de vino. Se consume 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua, luego se consume 2/5 del contenido y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué cantidad de agua hay en la mezcla final? a) 40 L b) 28 L c) 36 L d) 24 L e) 20 L

16. Un gato trepa hasta la copa de un árbol en 3 saltos consecutivos, siendo cada salto los 3/5 del salto anterior. Si el tercer salto con el que llega a la copa es 45 cm, hallar la altura total del árbol. a) 105 cm b) 350 cm c) 245 cm d) 75 cm e) 205 cm

10. Si los 11/20 del volumen de un depósito están ocupados por cierta sustancia, para llenar el depósito se necesita S/. 540. ¿Cuánto cuesta 5/3 de litro de dicha sustancia, sabiendo que la capacidad del depósito es de 400 litros? a) S/. 15 b) S/. 20 c) S/. 12 d) S/. 24 e) S/. 30

17. Un conejo da 2 1/3 saltos por segundo y tiene ya caminados 20 1/3 saltos; en ese instante se suelta un galgo detrás de él. Este galgo da 3 1/2 saltos por segundo. Calcular en qué tiempo alcanzará el galgo al conejo. a) 17 s b) 18 s c) 17 3/7 s d) 18 2/7 s e) 16 2/5 s

11. Un cartero dejó 1/5 de las cartas que lleva en una oficina, los 3/8 en un banco, si aún le quedaban 34 cartas por distribuir. ¿Cuántas cartas tenía para distribuir? a) 90 b) 120 c) 70 d) 60 e) 80

18. Un depósito está lleno de agua, se saca la mitad y se llena con alcohol, la operación se realiza dos veces más. Hallar la relación final entre el agua y el alcohol. a) 1/7 b) 1/8 c) 3/7 d) 4/7 e) 2/5

12. En una batalla resultaron muertos la vigésima parte del número de hombres de un ejército, y heridos la doceava parte del mismo número más 60. Los que quedaron ilesos representan la mitad de los que

19. Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí, luego recupero 1/3 de lo que no recupero y tengo entonces 42 soles.

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61

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ¿Cuánto me quedaría luego de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? a) S/. 36 b) S/. 39 c) S/. 42 d) S/. 48 e) S/. 91 20. Del siguiente hexágono regular. ¿Qué parte representa la región sombreada? 1 a) 3 2 b) 3 1 c) 2 2 d) 5 7 e) 9 21. ¿Qué parte de la región sombreada representa la región no sombreada? 1 a) 4 1 b) 3 2 c) 3 3 d) 4 1 e) 2 22. En el rectángulo ABCD, qué parte de la fracción que representa a la región sombreada es la fracción que representa a la región no sombreada. 2 a) B C 3 2 b) 5 5 c) 4 4 d) 5 3 A e) D 5 REDUCCIÓN A LA UNIDAD 23. Un caño “A” llena un tanque en 2 horas y otro caño “B” lo desaloja en 6 horas, funcionando juntos. ¿En cuántas horas se llenara el tanque? a) 4 b) 3 c) 6 d) 9 e) 5 62

COMPENDIO ACADÉMICO 1

24. Ana puede hacer una obra en 20 días y Braulio lo podría hacer en 60 días. Si Ana y Braulio trabajan juntos, ¿en cuántos días terminarán la obra? a) 10 b) 12 c) 15 d) 9 e) 18 25. Un caño llena un estanque en 12 horas y una llave vacía el mismo estanque en 15 horas. ¿En cuantas horas se llenarán los 2/3 del estanque, si ambas llaves empiezan a funcionar al mismo tiempo? a) 40 b) 60 c) 30 d) 20 e) 50 26. Un grifo de agua puede llenar 1/5 del tanque en 2 horas; 1/3 del tanque se puede vaciar por un desagüe en 4 horas. Si ambos se abren a la vez, la mitad del tanque se llenará en: a) 30 h b) 120 h c) 15 h d) 45 h e) 60 h 27. Un caño llena un tanque en cierto tiempo y un desagüe lo vacía en la mitad de tiempo. Si el tanque estuviera lleno en sus 2/3 partes y se abriera simultáneamente caño y desagüe, se vaciaría en 8h. ¿En cuánto tiempo llenaría el tanque, si el caño trabajára solo? a) 8 h b) 6 h c) 12 h d) 9 h e) 11 h 28. Dos obreros pueden realizar un trabajo en 15 días. Si uno de ellos se demora 16 días más que el otro trabajando solo, ¿en quá tiempo haría el trabajo el otro, si tambien trabajaría solo? a) 40 d b) 16 d c) 35 d d) 24 d e) 18 d 29. Tres grifos proveen de agua a un estanque, estando vacío el estanque; el primero y el segundo funcionando juntos lo llenan en 6 horas; el segundo y el tercero lo harían en 3 horas, el primero y el tercero lo llenarían juntos en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si sólo funciona el tercer grifo, estando el depósito inicialmente vacío? a) 3 h b) 3 h 38 m c) 4 h d) 4 h 40 m e) 4 h 48 m 30. Para preparar un pavo al horno, Patty se demora una hora, Lelia dos horas y Liseth tres horas. ¿Cuánto tiempo tardarán las tres personas juntas, en preparar dos pavos y medio? a) 8/11 h b) 1/2 h c) 49 1/11 h d) 51 2/11 h e) 1 4/11 h www.antorai.com.pe

ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI 31. Hebert es doblemente veloz que Juan y éste es doblemente veloz que Julio. Si los tres juntos construyen un muro en 6 días. ¿En cuántos días podrá construir la mitad del muro si trabajase Juan solo? a) 21/4 b) 20 c) 21 d) 21/2 e) 22 32. Se tienen 2 desagües ubicados en la tercera parte y en el fondo de un recipiente, que vacían en 6 h y 9 h, respectivamente. Si abrimos los dos simultáneamente, ¿en qué tiempo quedara vacío todo el recipiente? a) 7 h b) 7,2 h c) 8 h d) 8,1 h e) 7,5 h 33. Un recipiente de 720 litros de capacidad está vacío y a su vez está cerrado el desagüe que posee. En cuánto tiempo se llenará si, abrimos al mismo tiempo el desagüe que desocupa 24 litros en 3 minutos y otras dos llaves que llenarán la primera 72 litros en 12 minutos y la otra 36 litros en 9 minutos. a) 7 h b) 6 h c) 8 h d) 5 h e) 9 h 34. Una cañería llena una piscina en 4 horas y otra puede dejar la vacía en 6 horas, ¿en qué tiempo puede llenarse la piscina, si la cañería de desagüe se abre una hora después? a) 11 h b) 10 h c) 9 h d) 12 h e) 13 h 35. Efraín trabajando solo, puede hacer un trabajo en 12 días, pero a los 5 días de iniciado el trabajo le ponen un ayudante, trabajan juntos 3 días y concluyen la obra, ¿qué tiempo habría demorado en concluir ese trabajo, si el ayudante trabaja solo? a) 9 días b) 8 días c) 6 días d) 12 días e) 7 días 36. Un tanque puede ser llenado por la cañería “A” en 6 horas y vaseado por otra cañeria “B” lo puede vaciar en 8 horas. Se abren ambas cañerías durante 2 horas y luego se cierra “B”, y “A” continúa abierta por 3 horas, al final de las cuales se reabre “B”. Desde la reapertura de “B”, ¿qué tiempo demora el tanque en llenarse? a) 7 h b) 10 h c) 9h d) 12 h e) 6 h 37. Tres grifos M, N y P pueden llenar un estanque en 60 h, 48 h y 80 h, respectivamente. Estando vacío el reservorio, se abren los grifos M, N y P con intervalos de 4 horas, ¿en cuántas horas podrán llenar todo el estanque? www.antorai.com.pe

Siempre los primeros, dejando huella a) 80/3 b) 72/3 c) 45/3 d) 52/3 e) 71/3 REBOTES 38. Una pelota de jebe cada vez que rebota se eleva los 3/4 de la altura de donde cayo; después de 5 rebotes la pelota se ha elevado 4,86 m. ¿De qué altura cayo al inicio la pelota de jebe? a) 2016 cm b) 2048 cm c) 4860 cm d) 4680 cm e) 2118 cm 39. Una pelota cae desde cierta altura y en cada rebote que da siempre pierde 2/5 de altura anterior de donde cayó. Si en el cuarto rebote se eleva a 9 cm. ¿Desde qué altura cayó la primera vez? a) 70 cm b) 36 7/16 cm c) 69 4/9 cm d) 35 5/16 cm e) 60 cm 40. Una bola cae desde cierta altura y se observa que en cada rebote pierde 2/5 de su altura anterior, alcanzando 81 cm de altura en el cuarto rebote. Señalar la altura que alcanzó en el segundo rebote. a) 6,25 m b) 2,50 m c) 135 cm d) 2,25 m e) 220 cm 41. Se deja caer una bola sobre una mesa desde cierta altura. Sabiendo que en el tercer rebote alcanza una altura de 27 cm y que después de cada rebote pierde 2/5 de altura. Hallar la longitud de la trayectoria que describe la bola hasta el punto en que alcanza la máxima altura después del segundo rebote. a) 320 cm b) 230 cm c) 235 cm d) 325 cm e) 125 cm 42. Una bola es soltada desde cierta altura y cada vez que da un bote siempre pierde los 2/3 de la altura anterior de donde cayó. Si después del cuarto rebote se ha elevado 8 cm. Hallar la longitud de la trayectoria que hizo la bola hasta chocar al suelo por cuarta vez. a) 1252 cm b) 1024 cm c) 1224 cm d) 1272 cm e) 1248 cm

1. Una fracción es equivalente a 3/7, cuya suma de sus términos es 150. Hallar la diferencia de sus términos. 63

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 55 d) 75

b) 60 e) 50

2. Hallar la fracción equivalente a que la suma de los cuadrados términos sea 1044. 18 12 a) 45 b) 30 c) 6 4 d) 15 e) 10

COMPENDIO ACADÉMICO c) 45 2/5, tal de sus 12 35

3. Un auto tiene que recorrer 780 km. Si ya recorrió la tercera parte de todo su recorrido. ¿Cuántos kilómetros le faltan por recorrer? a) 300 b) 250 c) 260 d) 600 e) 520 4. En una jaula se encuentran 20 loros, 15 monos y 10 papagayos. ¿Qué parte del total de animales corresponden a los monos? 1 2 1 a) 2 b) 3 c) 3 1 3 d) 5 e) 5 5. Si ya son las 6 a.m., ¿qué parte del día falta por transcurrir? 1 3 2 a) 2 b) 4 c) 3 3 1 d) 5 e) 4 6. Un padre de familia reparte su fortuna entre sus 3 hijos de la siguiente manera: al primer hijo le dio la cuarta parte, al segundo la tercera y al tercero la sexta parte y aún así le quedó S/. 2400. ¿Cuánto le tocó al segundo hijo? a) S/. 3200 b) S/. 7200 c) S/. 4800 d) S/. 3600 e) S/. 5400 7. Una piscina está llena hasta sus 3/5 partes. Si se sacara 2000 litros quedaría llena hasta sus 4/7 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenar la piscina? a) 28 000 b) 30 000 c) 32 000 d) 40 000 e) 42 000 8. Una piscina tiene agua hasta la séptima parte de su capacidad total. Si añadimos 200 litros, ahora el tanque tiene la quinta parte de su capacidad llena de agua. ¿Cuál es la capacidad total de la piscina? a) 1 700 L b) 2 000 L c) 2 500 L d) 3 500 L e) 3 000 L 64

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9. En la Academia, de una cierta cantidad de alumnos se observa que 1/3 de los alumnos están en el grupo “D”, 1/4 del total en el grupo “C”, 1/5 del total en el grupo "B” y 65 alumnos en el grupo “A”. ¿Cuántos alumnos hay en los grupos C y D? a) 200 b) 150 c) 140 d) 145 e) 175 10. Si de los profesores de la academia los 2/3 son mujeres y los 3/5 de los varones son casados, en tanto que los otros 6 varones son solteros. ¿Cuántos profesores son en total? a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 70 11. Si se mezclan 4 copas de cuba libre y 12 copas de gaseosa. ¿Qué fracción de la mezcla representa el cuba libre? a) 5/6 b) 1/6 c) 1/2 d) 1/4 e) 3/4 12. Si se mezclan 2 litros de Kan-Kun, 4 litros de Pomalca y 3 litros de gaseosa. ¿Qué parte de la mezcla representa Pomalca? 2 2 4 a) 7 b) 5 c) 9 3 1 d) 7 e) 2 13. Se tiene un tanque con tres llaves, la primera llena el estanque en 6 horas, la segunda llena el mismo en 4 horas y la tercera llave vacía en 8 horas. ¿En cuántas horas se llenará el estanque, si las tres llaves empiezan a funcionar al mismo tiempo? a) 24/7 b) 22/7 c) 7/24 d) 15 e) 13 14. Un estanque puede ser llenado por un primer caño en 3 horas y por otro segundo caño en 4 horas. Si funcionan a la vez los dos caños y el estanque está vacío. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque? a) 12/7 h b) 7/12 h c) 4/12 h d) 4 h e) 3 h 15. Rodrigo puede pintar una casa en 12 días, mientras que Marcos pinta la misma casa en 60 días. Los dos juntos, en cuántos días pintarían la casa. a) 5 b) 6 c) 10 d) 8 e) 9 16. Un tanque de petróleo se llena en 4 horas abriendo la válvula A y se descarga en 5 horas operando la válvula B. En www.antorai.com.pe

ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI cuanto tiempo se llenaría si el operador comete el error de dejar abierta la válvula B. a) 6 h b) 7 h c) 9h d) 19 h e) 20 h 17. “ A ” puede construir una pared de ladrillos en 6 días, trabajando juntos “A” y “B” pueden completar el trabajo en 4 días. Si “B” trabaja solo en cuántos días podrá contruir la pared. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 18. Dos grifos llenan un tanque en 6 horas, pero si el segundo hace las veces de un desagüe, el tanque es llenado en 12 horas. En cuántas horas solo el primer grifo llena todo el tanque. a) 8 b) 16 c) 20 d) 24 e) 30

Siempre los primeros, dejando huella espera, nace varón, quiere que éste reciba 1/3 de su herencia, y los 2/3 para la madre; pero si nace mujer, los 3/4 serán para ella y 1/4 para la madre, pero enorme fue la sorpresa de la madre que tuvo mellizos (un varón y una mujer). Determine, ¿cuánto recibió la madre, si la herencia asciende a 1800 dólares? a) $. 200 b) $. 400 c) $. 600 d) $. 800 e) $. 1000 25. Sergio se casó en 1986, cuando 1/3 del tiempo transcurrido era igual a la tercera parte del tiempo que faltaba por transcurrir. ¿En qué fecha exacta se casó Sergio? a) 1 de Julio b) 2 de Julio c) 4 de Agosto d) 3 de Agosto e) 7 de Julio

19. David es el doble de rápido que Yuri además entre los dos hacen un trabajo en 6 días. ¿Én cuántos días Yuri haría solo el trabajo? a) 9 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36

26. A un alambre de 91 metros de longitud se le hace tres cortes, de manera que la longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior aumentado en la mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? a) 10 m b) 11,2 m c) 41,2 m d) 35 m e) 37,8 m

20. Una bola elástica cada vez que da un bote se eleva a una altura igual a 1/3 de la altura anterior. ¿Desde qué altura fue soltada, si después de 3 rebotes se elevó 4 metros? a) 118 m b) 81 m c) 27 m d) 108 m e) 109 m

27. Teresa tiene S/.180, pierde y gana 1 4 4 , , alternadamente de lo que iba 2 5 9 quedando. ¿Al final con cuánto se quedó? a) S/. 90 b) S/. 80 c) S/. 120 d) S/. 82 e) S/. 81

21. Se deja caer una pelota desde una altura de 9 metros y al rebotar siempre pierde la cuarta parte de la altura anterior de donde cayó, ¿después de cuántos rebotes la altura final es 729/256 metros? a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4

28. Un depósito contiene 75 litros de leche pura, luego se extrae 1/3 de su contenido y se reemplaza por agua, enseguida se extrae 1/5 de la mezcla y también se reemplaza por agua y por último se extrae 1/4 de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua. ¿Qué relación de leche pura y agua quedan en el depósito? a) 2/5 b) 2/9 c) 1/7 d) 2/3 e) 1/9

22. Una bola cae desde una altura de 6,25 metros y en cada rebote alcanza 2/5 de la altura anterior. Luego del cuarto rebote se elevó a una altura de: a) 16 cm b) 8 cm c) 80 cm d) 40 cm e) 48 cm 23. Una bolita de plástico es soltada desde una altura de 81 cm y en cada rebote que da siempre se eleva la misma fracción de altura. Si después de 3 rebotes se elevó 24 cm. ¿Qué fracción pierde después de cada rebote? 1 3 2 a) 4 b) 4 c) 3 1 1 d) 3 e) 7 24. Un padre, en su agonía le hace saber su última voluntad a su esposa embarazada, y es que si el bebé que ella

29. Un depósito está lleno de agua, se saca la mitad y se llena de vino. La operación se realiza dos veces más. Hallar la relación entre el agua y vino. a) 1/4 b) 1/7 c) 1/8 d) 3/8 e) 5/9 30. Qué fracción del total representa la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. 1 A B a) 4 1 b) 2

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C

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

COMPENDIO ACADÉMICO 1

1 c) 6 1 d) 8 2 e) 7 31. Un joven y un niño hacen una tarea en 16 días. 5 jovenes y seis niños hacen la misma tarea en 3 días. ¿En cuántos días hace la misma tarea un solo joven? a) 48 b) 40 c) 32 d) 24 e) 16 32. Qué parte del área no sombreada es el área sombreada, si P, Q, R y S son puntos medios del cuadrado ABCD. 3 a) 16 R A B 5 b) 12 3 c) 8 P Q 3 d) 4 3 S D C e) 13 33. Un tejido pierde al lavarse 1/3 de su longitud y 1/4 de su ancho. Averiguar cuántos metros de esta tela debe comprarse para obtener después del lavado 4M m2. Si el ancho original de la tela era de “a” metros. 4a 10a 8M a) M b) M c) a 4M 8a d) a e) M 34. ¿Qué fracción es el área sombreada del área no sombreada? 1 a) 3 2 b) 3 c) 1 1 d) 4 3 e) 5 35. ¿Qué fracción del cuadrado ABCD es el área de la región no sombreada? 3 a) 8 A B 3 b) 4 5 c) 8 2 d) 3 66

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C

1 e) 2 36. Una liebre perseguida por un perro lleva ya adelantados 90 saltos y da 5 saltos mientras el perro da 4, y como 7 saltos de la liebre equivalen a 5 del perro, se desea saber, ¿cuántos saltos tendrá que dar el perro para alcanzar a la liebre? a) 300 b) 500 c) 400 d) 450 e) 600 37. En un tonel se mezclan “m” litros de agua, “ 2m ” litros de alcohol y “ m2  2 ” litros de vino. Si se extraen “ m  1 ” litros de esta mezcla, ¿qué cantidad de alcohol se extrajo? m 2m a) m  2 b) m  2 c) m  2 1 m 1 d) m  2 e) m  2 38. A y B pueden hacer una obra en 3 días, B y C en 4, A y C en 5. ¿En cuántos días puede hacer A la obra, trabajando solo? 1 1 a) 8 8 b) 7 17 c) 10 d) 7 e) 15 39. Tres obreros pueden hacer un muro: trabajando juntos el primero y el segundo emplearían 1 día 5/7; el segundo y el tercero emplearían 2 días 2/9; el primero y el tercero emplearían 1 día 7/8. ¿Qué tiempo necesita cada uno respectivamente para hacer dicho muro? a) 3, 4 y 5 días b) 4, 5 y 6 días c) 2, 3 y 4 días d) 5, 6 y 7 días e) 8, 5 y 2 días 40. Dos caños pueden llenar un depósito en 27 horas. Después de estar abiertos ambos durante 12 horas se cierra uno y el otro llena lo que falta en 20 horas. ¿En cuántas horas llenará el depósito el caño de menor caudal? a) 36 b) 104 c) 108 d) 110 e) 112 41. El caño de suministro A de la figura mostrada llena el tanque en 12 horas, estando cerrado el caño de desfogue B. El caño B quita la parte que le corresponde en 10 horas, estando cerrado A. Estando vacío el tanque se abren los 2 caños a la vez, ¿en qué tiempo se llenará el tanque? a) 40 h

A

b) 36 h h

B www.antorai.com.pe h 3

ACADEMIA ANTONIO RAIMONDI c) 44 h

Siempre los primeros, dejando huella

d) 46 h e) 42 h 42. Un recipiente de 540 litros de capacidad está vacío y su desagüe está cerrado. En qué tiempo se llenará abriendo a la vez el desagüe que echa 18 litros en 3 minutos y dos llaves que llenan, la primera 60 litros en 10 minutos y la segunda 32 litros en 8 minutos. a) 2 h 10 min b) 3 h 5 min c) 2 h d) 3 h 2 min e) 2 h 15 min

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