(18) Lamina - Plano y Espacio (2017)_PRO

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Matemática

“Plano y espacio” Síntesis de contenidos • Plano cartesiano cartesia no

• Sistema de referencia compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas ejes.

2do cuadrante y  1er cuadrante (–1,3) 3  –2

abscisa ordenada ( x   , y )  x  ,

(3,1)

1

1

 x 

 –1

3

Origen (0,0)  –2 to 4  cuadrante 3er cuadrante

(– 2,– 2)

• Punto medio entre dos puntos

 x 1, y 1) y B( x   x 2, y 2) dos puntos en el plano, entonces el punto medio entre A y B corresponde Sean A( x 

al par ordenado formado por el promedio entre las coordenadas respectivas, es decir: y 

M  =  =

(

 x 1 + x 2

2

 ,

y 1 + y 2

2

B

y 2 y 1 + y 2

)

2

M   A

y 1

 x 1 + x 2

 x 1

• Vectores

→

Un vector ( vector  ( v ) es un objeto matemático que se define por un módulo o magnitud, magnitud , una dirección y un sentido. sentido. Su representación en el plano cartesiano es mediante una flecha. Si v  (a,b) y w (c,d ) son vectores, entonces: →

→

Propiedad

Ejemplo

→

 – 2  (3, – 5) = ( – 6, 10)

k  v  = k   (a, b) = (k  a, k  b) •

→

•

•

•

•

(4, 2) + (5, – 3) = (9, – 1)

→

v   + w  = (a, b) + (c , d ) = (a + c , b + d ) →

→

(7, 5) – (– 1, 3) = (8, 2)

v   – w  = (a, b) – (c , d ) = (a – c , b – d )

Eje x  (Abscisa)  (Abscisa) Eje y  (Ordenada)  (Ordenada) Eje z  (Cota)  (Cota)

• Puntos en el espacio z 

Ej: Ubicar el punto (3, 2, 4) z  (3, 2, 4)

c 

4

(a,b,c ) b

a

y  2

3

 x 

• Distancia Distancia en el plano y en el espacio

2

 x  x 2

y 

(3, 2, 4) 3: tres unidades hacia adelante. 2: dos unidades hacia la derecha. 4: cuatro unidades hacia arriba.

 x 

 x 1, y 1) y B( x   x 2, y 2) dos puntos en el plano. Sean  A( x   x 1, y 1, z 1) y B( x   x 2, y 2, z 2) dos puntos en Sean A( x  el espacio. Entonces: Entonces:

�

 x 2 – x 1)2 + (y 2 – y 1)2 d  = ( x   AB

�

d  = ( x   x 2 – x 1)2 + (y 2 – y 1)2 + (z 2 – z 1)2  AB

      1       V       7       1       A          1       2       T       M       1       4       0       C       A       C       M       A

2

Ejercicios propuestos

1

Si el punto medio entre (5, a) y (b, − 3) es (7, 5), entonces (b − a) es igual a

4

En la figura, el punto A ubicado en el espacio tiene coordenadas z 

A)

–6

A)

(6, 4, 3)

B)

–4

B)

(4, 3, 6)

C)

0

C)

(3, 6, 4)

D)

4

D)

(4, 6, 3)

E)

6

E)

(3, 4, 6)

 A

6 y 

3  x 

2

3

Sean  A(4, 3) y B(12, 5) dos puntos en el plano cartesiano. ¿Qué distancia hay entre el origen y el punto medio entre  A  y B?

5

El punto  A(2, 1, – 3) se desplaza en el espacio hasta llegar a la posición (4, – 2, 1). Entonces, la distancia recorrida por el punto A es

A)

5

B)

13

A)

�3

C)

4�5

B)

�11

D)

4�3

C)

�17

E)

4�2

D)

�29

E)

�31

→

→

→

Si a  y b  son dos vectores tales que a = (3, – 5) y →

→

→

b = (–2, 4) , entonces (2b − a ) es igual a

A)

(− 1, 3)

B)

(− 5, 9)

C)

(− 7, 13)

D)

(− 10, 18)

E)

(− 14, 26)

4