174677402 Soal Dan Pembahasan Kombinasi Dan Permutasi Peluang

Kelompok 2/ X-PPB : •

Dafa Faris Muhammad

(07)

•

Devita Titania Nindy

(08)

•

Diajeng Nashukha

(09)

•

Dini In Intan Af Afrida

(10)

•

Hafara Firdausi

(11)

•

Hanan Qonitah

(12)

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) (SPL TV) sama seperti seper ti sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), hanya saja sistem ini memiliki tiga variabel yang berbeda.

•

Sistem persamaan linear line ar tiga variabel (SPLTV) (SPLTV) dinyatakan diny atakan dengan :

 a  x  b  y  c  z   d   a  x  b  y  c  z   d   a  x  b  y  c  z   d   1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

Dengan,, ,

   , ,

1

, ,, ,  ,, ∈ 

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) (SPLTV) dapat diselesaikan melalui berbagai metode, metode, yaitu : 1. Metode Eliminasi dengan Penyamaan 2. Metode Substitusi 3. Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi) 4. Metode Determinasi 5. Metode Invers Matriks (akan dijelaskan pada BAB Matriks)

Langkah-langkahnya: •

•

•

•

•

Nyatakan x , y , z dalam dua variabel yang lainny Samakan persamaan yang didapatpada langkah 1 dengan pasangan yang berbeda, sehingga kita memperoleh SPLDV Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah2 dengan salah satu metode yang yang telah diberikan (eliminasi) Nilai nilai dua variabel yang didapat pada langkah 3 disubstitusikan ke dalam salah satu persamaan, sehingga didapat nilai variabel yang ketiga Tuliskan himpunan penyelesaiannya

Substitusi artinya mengganti

“

”

Langkah-langkahnya: •

•

•

Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang yang lain dari salah satu persamaan. Substitusikan hasil dari langkah 1 ke persamaan yang lain. Dan seterusnya

Metode campuran adalah penyelesaian penyelesaian sistem persamaan yang menggabungkan metode eliminasi dan substitusi. Metode ini adalah metode yang paling efektif dalam menyelesaikan men yelesaikan sistem persamaan linear line ar 3 variabel.

Sistem persamaan :

diubah menjadi bentuk susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy, dan Dz.

ax  by  cz  p  dx  ey  fz  q gx  hy  iz  r  

a

b

c

 p

b

c

D = d  e  f  

Dx = q e  f  

 g  h

r  h

a

i

i

a

 p

Dy = d  q  g 

c  f  

r 

b  p

Dz = d  e q  g  h

r 

Langkah selanjutny selanjutnya a adalah mendeterminan semua bentuk susunan bilangan diatas

i

•

•

Setelah di determinan, carilah x, y dan z dengan cara :

•

Tentukan nilai yang memenuhi persamaan

Selesaikan dengan berbagai cara diatas. Apakah semua hasilnya akan sama? Ayo kita buktikan!

=

−+

… … … )   =  −  +  … … )  = − −  … … . … ) ) •

•

Dari persamaan 1) dan 2) kita peroleh −+

=  −  +    −  +  =  −  +   =  −  +  −   =  +   +  =   ………)  •

Dari persamaan 2) dan 3) kita peroleh  −  +  = − −  − = − − −   =  +  + =   ………) 

∴  = (, , ) ( (, −, )

=

−+

… … … )

•

  =  −  +  … … )  = − −  … … . … ) )

−5 +  −5 4 4 + 5 +  −20 +  −19  

2 –  +  = 5  = −2 +  + 5 … 4) 4) •

Substitusikan persamaan 4) ke persamaan 3)

•

 + 3 +  = 0  + 3 + −2 +  + 5 = 0  = 4 + 5…5) •

Substitusikan persamaan 4) ke persamaan 2)  − 2 + 3 = 9  − 2 + 3 −2 −2 +  + 5 = 9 −5 +  = −6………6)

Substitusikan persamaan 5) ke persamaaan 6) = = = = =

−6 −6 −6 + 25 19 −

Substitusikan  = −1 ke persamaan 5  = 4 + 5  = 4 −1 + 5 =

•

Substitusikan  = 1 ,  = −1 ke persamaan 3  + 3 +  = 0 1 + 3 −1 +  = 0  =

∴  = (, , ) (, −, )

•

Eliminasi persamaan 1 dan 3, eliminir z 2 −  +  = 5  + 3 +  = 0  − 4 4

•

-------- 4) = 5 --

Eliminasi persamaan 1 dan 2, eliminir z 2 −  +  = 5 |x3|  − 2 + 3 = 9 |x1| 6 − 3 + 3 = 15 15

•

 − 2 + 3 = 95 −  •

•

= 6 --------- 5)

Eliminasi persamaan 4 dan 5, eliminir y  − 4 = 5

|x1|

5 −  = 6|x4|  − 4 = 5 20 − 4 = 24 24 −19 = −19 −19  = −19  = 

Substitusi  = 1 pada persamaan 5 5 −  = 6 5. (1) −  = 6 5 −  =6 − = 6− 5 − =1  = − Substitusi  = 1 dan  = −1 pada persamaan 3  + 3 3 + =0 1 + 3. −1 +  = 0 1−3 +=0 −2 +=0 =

∴  = (, , ) (, −, )

= −4 + −3 + 3 − −2 − 18 − −1 = −4 − 3 + 3 + 2 − 18 18 + 1 = −19

= 18 + 15 + 0 − 9 − 0 − 5 = 19

= −10 +0+27−0−45− −9 = −10 + 0 + 27 − 0 − 45 + 9 = −19

= 0 + −9 + 15 − −10 − 54 − 0 = 0 − 9 + 15 + 10 − 54 − 0 = −38

∴  = (, , ) (, −, )

Penyelesaian (Menggunakan metode campuran) : •

Diketahui :

•

Ditanya :

•

Dijawab :

•

•

Eliminasi persamaan 1 dan 3, eliminir c

•

Eliminasi persamaan 1 dan 2, eliminir c

•

•

Substitusi b=5 pada persamaan 4

Eliminasi persamaan 4 dan 5, eliminir a

Substitusi a=3 dan b=5 pada persamaan 3

Penyelesaian (Menggunakan metode campuran) : •

Diketahui :

•

Ditanya :

•

Dijawab :

•

•

Eliminasi persamaan 1 dan 2, eliminir z

Eliminasi persamaan 3 dan 4, eliminir y

•

•

Substitusi x = ½ ke dalam persamaan 3

Subsitusi Subsit usi x = ½ dan y = - 5/2 ke dalam persamaan 2

1. 5 tahun yang yang lalu umur seorang seorang kakek kakek 15 kali umur cucunya. 7 tahun yang akan datang umur seorang ayah dan anaknya anaknya menjadi 57 tahun. selisih umur kakek dan ayahnya adalah 15 tahun. Berapa umur masing-masing sekarang? Penyelesaian (Menggunakan metode campuran) Misal : Kakek (K), Ayah (A), Cucu (C) •

Diketahui :

•

Ditanya : Berapa umur masing-masing sekarang?

K? A? C? •

Dijawab :

•

Pengolahan persamaan matematika

•

•

•

Eliminasi persamaan 1 dan 4, eliminir K

Substitusi C = 8 ke dalam persamaan 4

Elimisasi persamaan 2 dan 3, eliminir A •

Substitusi K = 50 ke dalam persamaan 3

2. Pak Panjaitan Panjaitan memiliki 2 Hektar sawah sawah yang yang ditanami padi dan sudah saatnya saatnya diberi pupuk. Terdapat 3 jenis pupuk (Urea, (Ur ea, SS, TPS) yang harus digunakan agar hasil panen padi lebih maksimal. Harga per karung setiap jenis pupuk adalah Rp75.000; Rp120.000; Rp150.000. Banyak Banyak pupuk yang dibutuhkan Pak Panjaitan sebanyak 40 karung. Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Panjaitan untuk membeli pupuk adalah Rp4.020.000. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan?

Penyelesaian (Menggunakan metode campuran) : Misal : Urea (x), SS (y), TPS (z) •

Diketahui :

•

Ditanya : Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus

dibeli Pak Panjaitan? x? y? z? •

Dijawab :

•

Substitusi x = 2y ke dalam persamaan 1

•

 +  +  = 40 2 +  +  = 40 40 -------- 4) 3 +  = 40 -•

Substitusi x = 2y ke dalam persamaan 3 75 + 12 75 120 0 + 15 150 0 = 4. 4.02 020 0 75.. (2 75 (2) ) + 12 120 0 + 150 = 4.0 4.020 20 50 50  + 12 120 0 + 15 150 0 = 4. 4.02 020 0 -------- 5) 27 + 15 = 402 --

•

Eliminasi persamaan 4 dan 5, eliminir z 3 +  = 40 x15 27 + 15 = 402 x1 45 45  + 15 15  = 60 600 0 27 27  + 15 15  = 40 402 2 18 = 198  = 

Substitusi y = 11 pada persamaan 2  = 2 = 2. 11  = 

•

Substitusi y = 11 dan x = 22 pada persamaan 1  +  +  = 40 22 + 11 +  = 40 33 +  = 40  = 40 − 33 =

 Jadi, banyak pupuk

yang harus dibeli Pak Panjaitan dengan uang yang tersedia adalah 22 sak Urea, 11 sak SS, dan 7 sak TSP.

PERTANYAAN?