1.5 Teorema de existencia

Teorema de existencia

En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y,...existe(n)...'. Esto, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es continua. Una controversia que data del temprano siglo XX concierne al tema de teoremas de existencia, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta. El punto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran alcance, mayor que el del análisis numérico. Los teoremas de existencia y unicidad de solución tienen gran importancia en el estudio de los problemas matemáticos y del cálculo. Muchas son difíciles de resolver y por ello es importante asegurarse de la existencia de solución antes de intentar resolverlas. Por otra parte el tema tiene interés para las aplicaciones: que representa un modelo matemático determinista de una situación física, y del cual esperamos exista solución. Además la solución debe ser única pues si se repite el experimento en las mismas condiciones, cabe esperar los mismos resultados.

Teorema de existencia para integrales definidas. Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: Que el valor de f (c) es el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a, b]. Quizá sea interesante hacer varias observaciones: 1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad. 2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente. 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza, presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por

la Regla de Barrow o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson. También, hemos visto que cuando f(x) es la razón de cambio de la función F(x) y f(x) ≥ 0 en [a, b] entonces la integral definida tiene la siguiente interpretación: = cambio total en f(x) cuando x cambia de a a b. Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) o equivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, podemos definir Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las ciencias sociales y naturales. Podemos citar, algunos ejemplos: Ejemplo 1. Si v (t) es el volumen de agua de un depósito, en el instante t, entonces su derivada v'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito instante t. Así

=

en

el

, es el cambio en la cantidad de agua

en el depósito entre los instantes t1 y t2. Si [c] (t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera

es el cambio en la concentración [c]

desde el instante t1 hasta el t2. Ejemplo 2. Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x) entonces la densidad lineal es ρ(x)=m'(x). De esta manera , es la masa del segmento de la varilla entre x=a y x=b. Si la tasa de crecimiento de una población es

, entonces

, es el aumento de población durante el período desde t1 hasta t2. Ejemplo 3. Si c(x) es el costo para producir x unidades de un artículo, entonces el costo marginal es la derivada c'(t). Por consiguiente

, es el

incremento en el costo cuando la producción aumenta desde x1 hasta x2 unidades. Ejemplo 4. Si un objeto se mueve a lo largo de una recta con función de posición s (t), entonces su velocidad es v (t) = s'(t) de modo que

, es

el cambio de la posición, o desplazamiento, de la partícula durante el período desde t1 hasta t2. Dado que la aceleración de un objeto es a(t) = v'(t), podemos asegurar que la expresión

, es el cambio en la velocidad en el

instante t1 hasta el t2. Ejemplo 5. La potencia P (t) indica la razón de cambio de la energía E (t). Esto permite decir que P (t) = E'(t) y por lo tanto resulta

, indica la

energía utilizada en el tiempo entre t1 y t2. La definición que estudiamos de integral definida nos permite calcular o evaluar la integral de funciones sencillas pero en la mayoría de los casos el cálculo del límite de sumas resulta complicado.

TAREA No. 4 Contesta las cuestiones siguientes. 1. Es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y,...existe(n)...'.

2. Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b].

Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: El valor f (c) se conoce como _____________de la función f (x) en el intervalo [a, b]. 3. Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: El punto c puede no ser único. El teorema de existencia asegura la existencia de por lo menos ______ punto con esa propiedad.

4. Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: El _____________ de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

5. Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de _______________.

6. Determina si es verdadero o falso a las cuestiones del Teorema de Existencia. Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se verifica que: 1) El punto c es único. 2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida.

7. Determina si es verdadero o falso a las cuestiones del Teorema de Existencia. Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se verifica que: 1) El punto c es único. 2) El valor medio de la función f (x) se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. 3) El

cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida.

8. Determina si es verdadero o falso a las cuestiones del Teorema de Existencia. Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a, b]. Entonces se verifica que: 1) El punto c puede no ser único. 2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. 9. El cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, se refiere a la definición de una integral definida. Esta definición o principio se puede aplicar a todas ________________en las ciencias sociales y naturales.