1.5 Programacion Lineal Ejmp 2

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Investigación de Operaciones Problemas de Programacion Lineal Solucion Grafica de los Problemas de Minimización Ejemplo:

Dorian Auto fabrica automóviles de lujo y camiones. La compañía opina que sus clientes mas idoneos son hombres y mujeres de altos ingresos. Para llegar  A estos grupos, Dorian Auto ha emprendido una ambiciosa campaña publicitaria por TV, decidio comprar comerciales de un minuto en dos tipos de programa: programas de comedia

y

juegos de futbol americano. Cada comercial en programas de

comedia lo ven 7 millones de mujeres de altos ingresos y dos millones dehombres tambien de altos ingresos. Dos millones de mujeres de altos ingresos y 12 millones de hombres de altos ingresos ven cada comercial en juegos de futbol. Un anuncio de un minuto en los programa de comedia cuesta 50,000 dolares, y un comercial de un minuto en el juego de futbol cuesta 1000,000 dolares. A Dorian Dorian le gustaria que por lo menos 28 millones de mujeres de altos ingresos y 24 millones de hombres de altos ingresos vieran sus comerciales. Utilice la programación lineal para determinar como Dorian puede alcanzar sus objetivos publicitarios al minimo costo.

Solucion : Dorian debe decidir cuantos anuncios en los programas de comedia y en el de futbol debe comprar, por lo que las variables de decisión son

X¹ = numero de anuncios de un minuto comprados en programas de comedia X² = numero de anuncios de un minuto comprados en los juegos de futbol

Luego, Dorian quiere minimizar el costo total de los anuncios ( en miles de dolares)

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Costo total de anuncios = costo de los anuncios en programas de comedia + costo de anuncios en juegos de futbol =

costo

total de anuncios

anuncio en programas de comedia

+

en programas de comedia

costo

total de anuncios

anuncios en el futbol

en el futbol

= 50 X ¹ + 100 X²

Entonces, la funcion objetivo de Dorian es MinZ = 50X¹+ 100X²

Dorian se enfrenta a las siguientes limitaciones Restriccion 1 Los anauncios deben alcanzar por lo menos a 28 millones de mujeres

de altos ingresos Restricción 2 Los anuncios deben llegar por lo menos a 24 millones de hombres de

latos ingresos. Para expresar la limitaciones 1 y 2 en terminos de X¹ y de X² , sea MAI las mujeres de alto ingreso y HAI hombres de altos ingresos ( en millones ).

MAI =

MAI

total de anuncios

 Anuncios en programas de comedia

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en programas de comedia

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= 7X¹ + 2 X²

HAI =

HAI

total de anuncios

 Anuncios de futbol

en el futbol

= 2X¹ + 12X²

La restricción 1 ya se puede expresar como

7x¹ + 2X² ≥ 28 y la restricción 2 se podria expresar como

2X¹ + 12X² ≥ 24 Las restricciones de signo X¹ ≥ 0 Y X² ≥ 0 son necesarias, asi que PL de Dorian esta

dado por.

minZ = 50X¹ + 100X² s.a.

7X¹ + 2X² ≥ 28 ( HAI) 2X¹ + 12X² ≥ 24   (MAI) X¹ , X² ≥ 0

Este problema es caracteristico de una gran diversidad de aplcaciones de PL, e, las cuales el que toma la decisión desea minimizar el costo de cumplir un cierto conjunto de exigencias. Con el fin de resolver e forma grafica este PL, se empieza por graficar la region factible ( FIG 1). Observese que los puntos que se encuentran en la recta  AB o arriba de ella ( AB es un aparte de la recta 7X¹ + 2X² = 28 ) cumplen la restricción 1 y que los puntos que se encuentran en la recta CD o arriba de ella (CD es un aparte de la recta 2X¹ + 12X²= 24 ) cumpen la restricción 2 . En la Fig 1 se observa que los unicos puntos del primer cuadrante que satisfacen tanto a la

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restriccion1 como a la restricción 2, son los puntos de la region limitada por el eje X, CEB , y por el eje X²

X² B

14 12 10

Restc 1

8 6 `( 4, 4 ) 4

z= 320

z = 600

E 2 D

Restc 2

A 2

C 4

6

8

10

12

14

X¹

Fig 1 Solucion grafica para el problema de Dorian

 Al igual que en problema de Giapetto, el problema de Dorian tiene un rengion factible convexa, pero la region factible de Dorian contiene puntos para los

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cuales el valor de al menos una variable puede ser arbitrariamente grande, al contrario que el caso de Giapetto. Una regio factible de este tipo se llama region factible no acotada.

Dado que Dorian desea minimizar el costo total de los anuncios , la solucion optima del problema es el punto que tenga el valor de Z mas pequeño d ela region factible. Para encontrara la solucion optima, es necesario trazar una recta de isocostos que curza la region factible . Una recta de isocostos es cualquier recta en la cual todos los puntos tiene le mismo valor Z ( el mismo costo) . Se escoge en forma arbitraria la recta de isocostos que pasa por ( X¹ = 4 , X² = 4 ) para esto Z = 50 (4) + 100(4) y se grafica la recta de isocostos Z = 50X¹ + 100 X² = 600.

Se consideran las rectas paralelas a la recta de isocostos 50X¹ + 100X² = 600 en la direccion que decrese Z ( suroeste ). El ultimo punto en la region factible que cruza un arecta de isocostos sera el punto en la region factible que tiene el valor mas pequeño de Z. En la fig 1 se puede ver que el punto E tiene el valor Z mas pequeño que cualquier punto de la region factible ; esta es la solucion optima de Dorian . Observese que el punto E es donde se cortan las rectas 7X¹ + 2X² = 28 y 2X¹ + 12X² = 24. Al resolver en forma simultanea estas ecuaciones se obtien la solucion optima (X¹ = 3.6 , X² = 1.4 ) El valor optimo de Z se determina al sustituir los valores de X¹ y X² en la funcion objetivo. Entonces el valor optimo de Z es Z= 50(3.6) + 100(1.4) = 320 = 320,000 dolares. Puesto que con el punto E se cumplen las limitaciones MAI y HAI de igualdad ambas limitaciones son activas.

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